1. 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ρητές αλγεβρικές

ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
1. 9
123
ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις
Μια αλγεβρική παράσταση με την μορφή κλάσματος που οι όροι του είναι
πολυώνυμα, λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς ρητή παράx 4 + 2 x 2 − 3x + 4
σταση. Για παράδειγμα η παράσταση
x+2
Οι μεταβλητές μιας ρητής παράστασης δεν μπορούν να πάρουν τιμές που
μηδενίζουν τον παρονομαστή της, αφού δεν ορίζεται κλάσμα με παρονοx4 + 5
μαστή μηδέν. Για παράδειγμα, η παράσταση
ορίζεται , αν x ≠ -3 .
x+3
Από εδώ και πέρα όταν γράφουμε μια ρητή παράσταση , θα εννοείται ότι οι
μεταβλητές της δεν παίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή.
Όπως μια αριθμητική παράσταση, έτσι και μια ρητή παράσταση , μπορεί να
απλοποιηθεί, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής της είναι γινόμενα και
έχουν κοινό παράγοντα .
Για παράδειγμα, η παράσταση
3α + β
δεν απλοποιείται, ενώ η παράσταση
β
3x 2 y
απλοποιείται , γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράxy
γοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα ,
3x 2 y 3x 2 y : xy
=
= 3x .
έχουμε
xy
xy : xy
Αν όμως σε μια ρητή παράσταση ο αριθμητής ή ο παρονομαστής δεν είναι
γινόμενο, τότε για να την απλοποιήσουμε
¾ παραγοντοποιούμε και τους δύο όρους της και
¾ διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες των όρων της.
x 2 −1
απλοποιείται ως εξής
Για παράδειγμα, η παράσταση
x +1
x 2 − 1 (x + 1)(x − 1)
=
= x −1
x +1
x +1
124
ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση
της στήλης Α τις τιμές της μεταβλητής της από τη στήλη Β, για τις οποίες ορίζεται.
Στήλη Α
Στήλη Β
1
1.
x ≠1
α 6
α. x
2.
x ≠ 0 και x ≠ 1
β 3
x −1
γ 4
β. x + 1
3.
x ≠–1
x
δ 1
2
4.
x ≠ 1 και x ≠ – 1
γ. x − 1
ε 5
5.
οποιοσδήποτε αριθμός
2(x − 1)
x −1
δ.
6.
x ≠0
3
ε.
x2 +1
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Στην α πρέπει να ισχύει x ≠ 0 άρα είναι το 6.
Στην β πρέπει να ισχύει x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1 άρα είναι το 3.
Στην γ πρέπει να ισχύει x 2 − 1 ≠ 0 → (x + 1)(x − 1) ≠ 0 → x ≠ −1 και x ≠ 1
άρα είναι το 4.
Στην δ πρέπει να ισχύει x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1 άρα είναι το 1.
Στην ε πρέπει να ισχύει x 2 + 1 ≠ 0 άρα είναι το 5.
2. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ) , αν είναι σωστές ή
με
(Λ ) , αν είναι λανθασμένες
2
x (x + 1)
x +1
= x +1
= x +1
…
β)
α)
x
x
(x + 2)(x + 1) x + 2
x + 2(x + 1) x + 2
γ)
δ)
=
=
4(x + 1)
4
4(x + 1)
4
x 2 − y2
(x − y) 2
ε)
=x+y
στ)
=x+y
x−y
x−y
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Η α είναι λάθος (Λ) γιατί ο αριθμητής δεν παραγοντοποιείται .
Η β είναι σωστή (Σ) γιατί απλοποιείται το x από τον αριθμητή και τον παρονομαστή .
ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
125
Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί απλοποιείται το x+1 από τον αριθμητή και τον
παρονομαστή .
Η δ είναι λάθος (Λ) γιατί στον αριθμητή δεν βγαίνει κοινός παράγοντ ς το
x+1 για να απλοποιηθεί.
Η ε είναι σωστή (Σ) γιατί απλοποιείται το x-y από τον αριθμητή και τον παρονομαστή επειδή x 2 − y 2 = (x + y )( x − y) .
Η δ είναι λάθος (Λ) γιατί
(x − y ) 2
x−y
=
(x − y )(x − y ) = x − y .
x−y
3. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες .
7x
7
=
x (......) x − 2
x (x + 1)
=x
γ)
.........
...........
1
ε)
=
2
α+β
2(α + β)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
7x
7
α)
=
x (x - 2) x − 2
(α + β)(α - β)
β)
=1
(α − β)(α + β)
x (x + 1)
=x
γ)
x +1
x (x + 1)
= x +1
δ)
x
.2(α + β)
1
ε)
=
2
α+β
2(α + β)
3 (x + 2)
3
=
στ)
2
(x + 2 ) x + 2
α)
(α + β)(......)
=1
(α − β)(.......)
x (x + 1)
= x +1
δ)
.......
3 (x + 2)
3
=
στ)
..........
x+2
β)
α) Εφόσον το x απλοποιείται πρέπει να υπάρχει
το x-2 .
β) Εφόσον μένει μονάδα θα πρέπει στον αριθμητή να υπάρχει ο παρονομαστής και στον παρονομαστή ο αριθμητής.
γ) Για να μείνει το x θα πρέπει να είναι στον
παρονομαστή ο άλλος παράγοντας του γινομένου που είναι το x+1.
δ) Για να μείνει το x+1 θα πρέπει να είναι στον
παρονομαστή ο άλλος παράγοντας του γινομένου που είναι το x.
ε) Για να απλοποιηθεί το 2 και το α+β πρέπει να
υπάρχουν αυτοί στον αριθμητή.
στ) Για να μείνει στον παρονομαστή το x+2 θα
πρέπει ο παρονομαστής να είναι το τετράγωνο
του αριθμητή.
ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
126
4. Ένας μαθητής για να βρει τις τιμές της μεταβλητής x ,για τις οποίες ορί-
ζεται η παράσταση
x
x
1
,έγραψε
=
και απάντησε ότι
x (x − 4 )
x (x − 4 ) x − 4
η παράσταση ορίζεται όταν x ≠ 4 .Είναι σωστή η απάντησή του.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Όχι δεν είναι σωστή γιατί εκτός του x ≠ 4 έπρεπε να πει ότι ορίζεται όταν
ισχύει το x ≠ 4 και το x ≠ 0 γιατί στην αρχική παράσταση υπάρχει στον
παρονομαστή και το x.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΗ 1
Nα βρείτε τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις
1
x−4
α)
β)
y+3
2y − 5
γ)
ω−2
(ω + 1) 2
δ)
6x + 1
x(x − 3)
ΛΥΣΗ
Πρέπει οι παρονομαστές να είναι διαφορετικοί από το μηδέν
5
α) x ≠ 4 , β) y ≠
, γ) ω ≠ − 1 , δ) x ≠ 0 και x ≠ 3
2
ΑΣΚΗΣΗ 2
Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις
α)
ε)
4x
6x
x+4
4+x
β)
στ)
3y 2
12y
y −1
1− y
γ)
ζ)
2xω 2
8x 2 ω
ω−2
(2 − ω) 2
δ)
η)
5α 2 βγ 3
10αβ 2 γ
(α − β)(β − γ)
(β − α)(γ − β)
ΛΥΣΗ
α)
4x 2
=
,
6x 3
α) Απλοποιείται το x από αριθμητή
και παρονομαστή.
ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
β)
3y 2
y
=
4
12y
127
β) Απλοποιείται το 3y από αριθμητή
και παρονομαστή .
,
γ) Απλοποιείται το 2xω από αριθμητή και παρονομαστή .
2xω 2
ω
=
,
γ)
2
8x ω 4x
5α 2 βγ 3
αγ 2
δ)
=
2β
10αβ 2 γ
δ) Απλοποιείται το 5αβγ από αριθμητή και παρονομαστή .
ε) Απλοποιείται το x+4 από αριθμητή και παρονομαστή .
x+4
=1 ,
4+x
y −1
στ)
=−1,
1− y
ω−2
ζ)
=
(2 − ω) 2
ω−2
ω−2
1
=
=
=
2
2
[− (ω − 2)] (ω − 2) ω − 2
(α − β)(β − γ)
(α − β)(β − γ)
η)
=
=
[- (α - β )][- (β - γ )]
(β − α)(γ − β)
(α − β)(β − γ)
=1
=
(α − β )(β − γ )
ε)
στ) Απλοποιείται το y-1 από αριθμητή και παρονομαστή αφού μετατρέψουμε τον παρονομαστή σε –(y1) .
ζ) Απλοποιείται το ω-2 από αριθμητή και παρονομαστή αφού μετατρέψουμε τον παρονομαστή σε (ω-2)2 .
η) Απλοποιείται το (α-β)(β-γ) από
αριθμητή και παρονομαστή αφού
μετατρέψουμε κατάλληλα τον παρονομαστή.
ΑΣΚΗΣΗ 3
Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις
3y − 9
6x
α)
β) 2
2
2x + 4x
y − 3y
ε)
x 2 − 16
x 2 − 4x
στ)
y2 −1
y 2 + 2y + 1
x 2 + xω
γ) 2
ω + xω
ζ)
6x 2 + 3xω
4x 2 − ω 2
5α 2 − 20
δ)
(α − 2) 2
η)
α 2 + αβ + β 2
α3 − β3
ΛΥΣΗ
6x
3
6x
=
=
2x + 4x 2 x (x + 2 ) x + 2
3(y − 3) 3
3y − 9
β) 2
=
=
y − 3y y(y − 3) y
α)
2
,
α) Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή και απλοποιείται το 2x.
β) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή
και τον παρονομαστή και απλοποιείται το y-3.
ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
128
x (x + ω ) x
x 2 + xω
=
=
,
2
ω + xω ω(ω + x ) ω
5α 2 − 20 5(α + 2 )(α − 2 ) 5(α + 2)
δ)
=
=
α−2
( α − 2) 2
(α − 2) 2
γ) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή
και τον παρονομαστή και απλοποιείται το ω+x.
x 2 − 16 ( x − 4)( x + 4) x + 4
=
=
,
x ( x − 4)
x
x 2 − 4x
y2 −1
( y + 1)( y − 1) y − 1
στ) 2
=
=
y +1
( y + 1) 2
y + 2y + 1
ε) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή
και τον παρονομαστή και απλοποιείται το x-4.
γ)
δ) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή
και απλοποιείται το α-2.
ε)
ζ)
στ) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή
και τον παρονομαστή και απλοποιείται το y+1.
3x (2 x + ω)
3x
6x 2 + 3xω
=
=
2
2
(2x + ω)(2x − ω) 2 x − ω
4x − ω
η)
α 2 + αβ + β 2
α 2 + αβ + β 2
1
=
=
3
3
2
2
α −β
(α − β ) α + αβ + β
α −β
(
)
ζ) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή
και τον παρονομαστή και απλοποιείται το 2x+ω.
η) Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή και απλοποιείται το α2+αβ+β2.
ΑΣΚΗΣΗ 4
Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις
y 2 − 5y + 4
x + 3x + 2
α) 2
β) 2
x + 4x + 4
y − 6y + 8
2
γ)
ω 3 − 2ω 2 + ω
ω3 − ω
ΛΥΣΗ
α)
x 2 + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2) x + 1
=
,
=
x+2
( x + 2) 2
x 2 + 4x + 4
y 2 − 5y + 4 ( y − 1)( y − 4) y − 1
=
=
β)
y 2 − 6y + 8 ( y − 2)( y − 4) y − 2
ω(ω − 1)
ω 3 − 2ω 2 + ω
=
=
3
ω(ω − 1)(ω + 1)
ω −ω
2
γ)
ω(ω − 1)
ω −1
=
ω(ω − 1)(ω + 1) ω + 1
2
=
α) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον
παρονομαστή και απλοποιείται το x+2.
β) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον
παρονομαστή και απλοποιείται το y-4.
γ) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον
παρονομαστή και απλοποιείται το ω-1.
ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
129
ΑΣΚΗΣΗ 5
Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις
x(x − 1) + 4(x − 1)
α)
x 2 + 2x − 3
γ)
(2ω + 1) 2 − (ω + 2) 2
ω4 − 1
β)
δ)
y(y − 3) + y 2 − 9
4y 2 − 9
(α + 1)(α − 2) 2 − 4(α + 1)
α3 + α2
ΛΥΣΗ
x(x − 1) + 4(x − 1)
=
x 2 + 2x − 3
(x − 1)(x + 4) = x + 4
=
(x − 1)(x + 3) x + 3
y(y − 3) + y 2 − 9
β)
=
4y 2 − 9
y( y − 3) + ( y − 3)( y + 3)
=
=
( 2 y) 2 − 3 2
( y − 3)( y + y + 3) ( y − 3)(2 y + 3)
=
=
=
(2 y + 3)(2 y − 3) (2 y + 3)(2 y − 3)
y−3
=
2y − 3
(2ω + 1) 2 − (ω + 2) 2
γ)
=
ω4 − 1
[(2ω + 1) + (ω + 2)][(2ω + 1) − (ω + 2)]
=
(ω 2 + 1)(ω 2 − 1)
(3ω + 3)(ω − 1)
=
=
2
(ω + 1)(ω + 1)(ω − 1)
3(ω + 1)(ω − 1)
3
=
= 2
2
(ω + 1)(ω + 1)(ω − 1) ω + 1
α)
(α + 1)(α − 2) 2 − 4(α + 1)
=
α3 + α2
(α + 1)[(α − 2) 2 − 4] α(α − 4) α − 4
= 2
=
α
α 2 (α + 1)
α (α + 1)
δ)
α) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον
παρονομαστή και απλοποιείται το x-1.
β) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον
παρονομαστή και απλοποιείται το 2y+3.
γ) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον
παρονομαστή και απλοποιείται το ω+1.
δ) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον
παρονομαστή και απλοποιείται το α+1 και το
α.
ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
130
ΑΣΚΗΣΗ 6
Ένας λαμπαδηδρόμος κατά τα τελευταία μέτρα της διαδρομής του διήνυσε
την απόσταση ΑΒ με σταθερή ταχύτητα 5 m/sec. Φτάνοντας στο σημείο Β
ένας άλλος λαμπαδηδρόμος ξεκινώντας από το σημείο Β διήνυσε την απόσταση ΒΓ με σταθερή επιτάχυνση 4m/sec2 . Αν ο χρόνος που κινήθηκε κάθε
αθλητής ήταν t sec να αποδείξετε ότι η μέση ταχύτητα με την οποία διανύ5
θηκε η απόσταση ΑΓ ήταν t + m/sec .
2
ΛΥΣΗ
Σύμφωνα με τον τύπο της Φυσικής S=u.t, είναι ΑΒ=5t.
Σύμφωνα
επίσης
με
τον
τύπο
της
Φυσικής
S=
1 2
.4 t = 2 t 2 .
2
Ο χρόνος που χρειάστηκε να την διανύσει ήταν t+t=2t.
ΒΓ =
Οπότε η μέση ταχύτητα που διανύθηκε η απόσταση ΑΓ, είναι:
ΑΒ + ΒΓ ΑΓ ⎛ 5 ⎞
uΜ =
=
= ⎜ + t ⎟m / sec .
2t
2t ⎝ 2 ⎠
1 2
αt ,
2
είναι
ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
131
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
1. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα:
3 + 6 + 9.... + 300
3x + 6x + 9x... + 300x
α)
,
β)
2 + 4 + 6... + 200
2 x + 4 x + 6 x... + 200 x
ΛΥΣΗ
3 + 6 + 9.... + 300 3(1 + 2 + 3 + .... + 100) 3
=
=
2 + 4 + 6... + 200 2(1 + 2 + 3 + ... + 100) 2
3x + 6x + 9x... + 300x 3x (1 + 2 + 3 + ... + 100) 3
β)
=
=
2x + 4x + 6x... + 200x 2x (1 + 2 + 3 + ... + 100) 2
α)
2. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν x2+5x+6 και μήκος x+3. Ποιο είναι το πλάτος του;
ΛΥΣΗ
Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι το γινόμενο του μήκους του επί το πλάτος του οπότε έχουμε:
Ε = μήκος * πλάτος
x 2 + 5x + 6 = (x + 3) * πλάτος
πλάτος =
x 2 + 5x + 6 (x + 3)(x + 2)
=
=x+2
x+3
x+3
x3 +1
.
3. Να απλοποιηθεί το κλάσμα. 4
x + x2 +1
ΛΥΣΗ
(x + 1) x 2 − x + 1 =
x3 +1
=
x4 + x2 +1 x2 + x +1 x2 − x +1
x +1
= 2
x + x +1
(
(
)(
)
)
Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή
χρησιμοποιώντας την ταυτότητα
α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)
Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει
132
ΜΕΡΟΣ Α΄1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
4. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε κλάσμα της 1ης γραμμής το αντίστοιχο του
απλοποιημένο κλάσμα από τη 2η γραμμή.
x2 + x
x2 − x
x2 − x
x2 − x
α)
, β)
, γ)
, δ) 2
x
x −1
x
x −1
x
1
x2 − x
1.
, 2.
, 3. x - 1, 4. x + 1, 5. 2
, 6. x
x +1
x −1
x −1
ΛΥΣΗ
x 2 + x x (x + 1)
=
= x +1
x
x
x 2 − x x (x − 1)
β)
=
=x
x −1
x −1
x 2 − x x (x − 1)
γ)
=
= x −1
x
x
x2 − x
x (x − 1)
x
δ) 2
=
=
x − 1 (x + 1)(x − 1) x + 1
α)
α) Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή τοx.
Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει
β) Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή τοx.
Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει
γ) Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή τοx.
Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει
δ) Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή τοx.
Στον παρονομαστή έχουμε διαφορά τετραγώνων
Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει
Άρα το α αντιστοιχεί στο 4, το β στο 6, το γ στο 3 και το δ στο 1.

Download Report