ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
(1) Να απλοποιήσετε τα κλάσματα
x 2  4x  4 (α  β)2  αβ
(3x  2y)2
,
,
3x 2  12
4y 2  9x 2
α3β  β4
(2) Να απλοποιήσετε τα κλάσματα
x 2  x  12
4x 2  4xy  y 2
i)
ii)
iii)
x 2  2x  8
4x 3  xy 2
(3) Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις
1
1
x8
2x  4
3x  2 6x  4


 2
 2

2
2x  4 3x  6 3x  12 x  2x x  2x x 2  4
(4) Να γίνουν οι πράξεις:
x  2 y 2  xy
x2y
,

 (x  4)  2
y  4 4  x2
x  16
x 2  25 x 2  3x  2

x 2  1 x 2  6x  5
(5) Να γίνουν οι πράξεις:
α2ν  1 x2
x 4  x 2  4x  4 x 2  4x  4

,

αν  1
x2
x3  8
x 3  4x
(6) Να γίνουν οι πράξεις:
1
1
1
i)
 2
 2
2
x  3x  2 x  x  2 x  1
(7) Να γίνουν οι πράξεις:
α 3
3
3α  6
 2

2
α  4α  4 α  2α α  2
(8) Να γίνουν οι πράξεις:
3
1  α β
 2α



 2
     2
2
α β α β β α
α β

(9) Να γίνουν οι πράξεις:
1
1
2


3 x
x 3
1
1

x 3
3 x
(10) Να γίνουν οι πράξεις:
3
3
3


α
β
γ
1
1
1
β γ
γα
α β
(11) Να γίνουν οι πράξεις:
ii)
α
β
γ


(α  β)(α  γ) (β  γ)(β  α) (γ  α)(γ  β)
(12) Να γίνουν οι πράξεις:
y  1
1 
x2  y2



 (x  y)

2  x  y x  y  x 2 y  xy 2
(13) Να γίνουν οι πράξεις:
x
 x

x2 

  1   1 1  2
x  y2 
y
 y

(14) Να γίνουν οι πράξεις:

α 
α2  
β 
2β β2 
1

:
1


1

:
1


 


 
 
β 
β2  
α 
α α2 

(15) Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς α, β, x, y ισχύει ότι αy  βx , να
αποδείξετε ότι η παράσταση A 
β2
x2
είναι ίση με 1.

x 2  y 2 α2  β2
x 2  4x  4
x 2  2x  8
και
B

x 2  2x
x4
α) Να καθορίσετε τα πεδία ορισμού των κλασμάτων Α και Β
β) Να υπολογίσετε την παράσταση Α-Β.
(16) Δίνονται τα κλάσματα Α 
(17) Αν είναι
x  3 2  2 και
παράσταση:
x2y2
xy
y 3 3 2
τότε να υπολογίσετε την
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου
ΒΑΘΜΟΥ
(1) Να λύσετε τις εξισώσεις:
x2  x  1 x2  x  1
x
(α)


x 1
x 1
2   x 2  1
5x
2x  5
7x  10
 2
 2
x  x  6 x  x  12 x  6x  8
3x
2x  5
5x  1
(γ) 2
 2
 2
x  x  2 x  2x  3 x  5x  6
5x
2x  5
7x  10
(δ) 2
 2
 2
x  x  6 x  x  12 x  6x  8
3x  5 2x  3
5x 2  2x


0
(ε)
2x  3 3x  5  3x  5  3  2x 
(β)
2
(2) Να απλοποιήσετε την κάτω παράσταση και στη συνέχεια να λύσετε
την εξίσωση Α=9
8x  12
5x
20x
Α


2
2
4x  12x  9 2x  3x 9  4x 2
(3) Να απλοποιήσετε τα κλάσματα και μετά τα λύσετε την εξίσωση Α-Β=0
9   2x  1   4x  1
2
3x 2  6x
Α
2x 2  8
Β
2
4   x 2  4x  4 
(4) Να λυθούν οι εξισώσεις:
2x 2  1  2 3 x  3  0 2x 2  1  2 5 x  5  0




x 2   α  1 x  2α 2  α  0
5  x 2  2x   3  x  2  28
 x  1
4x 2  9  0
2
  x  2  29
2
2
5x 2  3x  0
(5) Για ποιες τιμές των κ, λ η εξίσωση 5x 2   2κ  1 x  λ  4  0 έχει
μοναδική λύση το 0;
(6) Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του λ το πλήθος των ριζών της
εξίσωσης: 1  λ  x 2  3  2λ  x  λ  0
(7) Να δειχθεί ότι εάν β  0 και α  0 και
α β
 2
β α
τότε η εξίσωση
x 2  2 α  x  β  0 έχει δυο ρίζες ίσες.
(8) Για ποιες τιμές του α η x 2  9  4αx
4x 2  4x  α  0 έχει δυο ρίζες ίσες;
είναι αδύνατη ενώ η
(9) Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ ώστε η εξίσωση x 2   κ  1  x  λ2  0 να
έχει διπλή ρίζα η οποία και να βρεθεί.
x   x
1 
 1
(10) Να λυθεί η εξίσωση 


 :
  1
 x 1 x 1  x 1 x 1
(11) Να λυθεί η εξίσωση 2x 2  5x 1  3  0
(12) Να λυθεί η εξίσωση x 2  4x 1  3  0
2
3 
3

(13) Να λυθεί η εξίσωση  x     x    2  0
x 
x

(14) Αν
Α  4x 2  12x  9 ,
B  4x 2  2x και
λυθούν οι εξισώσεις: Α  0 , Β  0 , Γ  0 ,
Γ   x  2  9 , τότε να
2
Γ
0
B
(15) Δίνονται τα πολυώνυμα Α  x   3x 2  9 και Β  x    x  1
2
α) Να βρείτε το πολυώνυμο Γ  Α  Β και
β) Να λύσετε τις εξισώσεις Α  0 , Β  0 και
(16) Δίνεται η εξίσωση αx 2  βx  γ  0 ( α  0 ) Αν α  γ  β τότε οι ρίζες
γ
της εξίσωσης είναι οι x  1 και x  
α
(17) Δίνεται η εξίσωση αx 2  βx  γ  0 ( α  0 ) Αν α  γ  β τότε οι ρίζες
γ
της εξίσωσης είναι: x  1 και x 
α
3x 2  6x
x 2  4x  4
και
Β=
x2  4
x2  x  2
α) Να καθορίσετε το πεδίο ορισμού των κλασμάτων Α και Β.
β) Να τα απλοποιήσετε και
γ) Να λύσετε την εξίσωση Α  Β .
(18) Δίνονται τα κλάσματα Α=
(19) Το άθροισμα ενός αριθμού και του εξαπλάσιου του αντίστροφού του
είναι 5. Να βρείτε τον αριθμό.
(20) Να βρείτε έναν αριθμό ο οποίος αυξανόμενος κατά 17 γίνεται ίσος με
το εξηκονταπλάσιο του αντίστροφου του.
(21) Βρείτε δυο διαδοχικούς ακέραιους που έχουν γινόμενο 182.
(22) Βρείτε δυο φυσικούς αριθμούς που έχουν διαφορά 2 και γινόμενο 8.
(23) Να βρείτε τρεις διαδοχικούς άρτιους ακέραιους αριθμούς τέτοιους
ώστε το τετράγωνο του μεσαίου να είναι κατά 408 μικρότερο από το
άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων.
(24) Αγόρασε κάποιος τετράδια και έδωσε 600 €. Αν το κάθε τετράδιο
κόστιζε 1 € λιγότερο, με τα ίδια χρήματα θα αγόραζε ένα τετράδιο
παραπάνω. Πόσα τετράδια αγόρασε;
(25) Ο αριθμητής ενός κλάσματος με όρους θετικούς είναι κατά 2
μικρότερος από τον παρονομαστή. Αν και οι δυο όροι ελαττωθούν
κατά 1, το κλάσμα ελαττώνεται κατά 1/21. Να βρείτε το κλάσμα.

Download Report