ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ 1.2 9 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων • • • • Αν α=β τότε α+γ=β+γ Αν α=β τότε α-γ=β-γ β Αν α=β τότε α·γα=β·γ = Αν α=β τότε γ γ με γ≠0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει για μια συγκεκριμένη τιμή του x, ονομάζεται εξίσωση με άγνωστο τον αριθμό x. Π.χ η ισότητα 2x+4 = x-1 αληθεύει για x=-5 .Πράγματι για x=-5 έχουμε 2(-5)+4=-5-1 ή -6 = -6 Η παράσταση 2x+4 λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης ,ενώ η παράσταση x-1 δεύτερο μέλος της εξίσωσης. Σε μία εξίσωση μπορούμε να "μεταφέρουμε" όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας τους το πρόσημο. Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=α ,τότε λέμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0 ,τότε λέμε ότι η εξίσωση είναι αόριστη. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Στις παρακάτω ισότητες να συμπληρώσετε τον αριθμό που λείπει: α) 5+ ..... = 35 β ) 5 · ..... = 35 γ)127- ..... = 103 δ) 32- ..... = 35 ε) 14 + ..... = 5 στ) 2 · ..... + 3 = 1 7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 5x = 35 127 - x = 103 32 - x = 35 14 + x = 5 2x + 3 = 17 5 + x = 35 35 127 - 103 = x 32 - 35 = x x = 5 - 14 2x = 17 - 3 x = 35 - 5 x = 5 x = 24 x = -9 x = 30 x = -3 14 x=7 x= =8 2 οπότε α) 5+ .30.... = 35 β ) 5 · .7.... = 35 γ)127- .24.... = 103 δ) 32- (-3)..... = 35 ε) 14 + (-9)..... = 5 στ) 2 · .8.... + 3 = 1 7 ΜΕΡΟΣ Α΄-1.2- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 10 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ α) Η εξίσωση 2x=6 έχει λύση τον αριθμό 3. 3 β) Η εξίσωση 5x+x=x είναι ταυτότητα. 3 γ) Οι εξισώσεις x + 1 =5 και -x+5=1 έχουν λύση 3 τον ίδιο αριθμό. δ) Η εξίσωση 3x=0 είναι ταυτότητα. 3 ε) Η εξίσωση 0·x=0 είναι αδύνατη. 3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Διαιρούμε με τον συντεα) 2x = 6 2. 6 =3 2 β) 5x + x = x 5x + x - x = 0 5x = 0 ή x = 0 γ) x + 1 = 5 → x = 5 - 1 = 4 x= - x + 5 = 1 → -x = 1 - 5 → -x = -4 → x = -4 =4 -1 δ) 3x = 0 ή x = 0 ε) 0x = 0 ( ταυτότητα) 3. Να αντιστοιχίσετε κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β. λεστή του αγνώστου. (Σ) β) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και προκύπτει εξίσωση με λύση το x=0.(Λ) γ) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και η λύση της πρώτης είναι 4 και της δεύτερης αν διαιρέσουμε με τον συντελεστή του αγνώστου επίσης 4. (Σ) δ) (Λ) ε) (Λ) ΣΤΗΛΗ Α α) -2x=4 i) -8 β) 3x=-9 ii) 3 γ) 2x = 4 4 x= = 2 -2 α → iii 1 2 x= 4 δ) 2x=3+x ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3x = -9 -9 x= = -3 3 β → iv ΣΤΗΛΗ Β 1 x = -4 2 -4 -8 x= = = -8 1 1 2 γ→ i iii) -2 iv) -3 2x = 3 + x 2x x = 3 x=3 δ → ii ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να εξετάσετε αν ο αριθμός που δίνεται είναι η λύση της εξίσωσης: α) -2x+3=21 x=-7 β) 3x+5=7,5 x=0,5 γ) -3x+4=7x-6 x=1 ΛΥΣΗ 2ξ + 3 = 21 2ξ = 21 - 3 α) 2ξ = 18 18 ξ= = -9 -2 3x + 5 = 7,5 3x = 7,5 - 5 β) 3x = 2,5 2,5 x= = 0,8 3 3 - 3x + 4 = 7x - 6 - 3x - 7x = -6 - 4 γ) - 10x = -10 - 10 x= =1 - 10 ΑΣΚΗΣΗ 2 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2x+21=4+x-5 β) -9 + 7y+y=1-2y γ) 3t-3(t+1) = t+2(t+1)+1 ΛΥΣΗ α) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε τις πράξεις Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. Επομένως ο αριθμός που μας δώσανε δεν είναι λύση της εξίσωσης γιατί -7≠--9 β) Όπως και στο προηγούμενο ερώτημα καταλήγουμε σε λύση διαφορετική από τη δοθείσα 0,83≠0,5 γ) Στην περίπτωση αυτή ενεργώντας όπως και στα προηγούμενα ερωτήματα καταλήγουμε σε λύση που συμφωνεί με την δοθείσα. ΜΕΡΟΣ Α΄-1.2- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 12 2x + 21 = 4 + x - 5 α) 2x - x = 4 - 5 - 21 x = -22 - 9 + 7y + y = 1 - 2y 7y + y + 2y = 1 + 9 β) 10y = 10 10 y= =1 10 3t - 3(t + 1) = t + 2(t + 1) + 1 3t - 3t - 3 = t + 2 t + 2 + 1 γ) 3t - 3t - t - 2t = 2 + 1 + 3 - 3t = 6 6 t= = -2 -3 α) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε αναγωγή ομοίων. β) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε αναγωγή ομοίων. Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. γ) Κάνουμε πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. ΑΣΚΗΣΗ 3 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4(2x+1)-6(x-1)=3(x+2) , β) (y+1)3 + 2(y-4) = 2y-(y-6) γ) 6(ω+2)+3 = 3-2(ω-4) ΛΥΣΗ 4(2 x + 1) - 6(x - 1) = 3(x + 2) 8 x + 4 - 6 x + 6 = 3x + 6 α ) 8 x - 6 x - 3x = 6 - 4 - 6 - x = -4 -4 x= =4 -1 (y + 1)3 + 2(y - 4) = 2 y - (y - 6) 3y + 3 + 2 y - 8 = 2 y - y + 6 β) 3y + 2 y - 2 y + y = 6 - 3 + 8 4 y = 11 11 y= 4 α) Κάνουμε πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. β) Ομοίως ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ 6(ω + 2) + 3 = 3 - 2(ω - 4) 6ω + 12 + 3 = 3 - 2ω + 8 γ) 6ω + 2ω = 3 + 8 12 3 8ω = -4 ω= -4 1 =8 2 13 γ) Κάνουμε πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: 2x + 3 3x - 5 = 2 4 7x - 6 5x + 2 β) = 3 4 2(x - 1) - 2 1 - 3x γ) = 2 4 α) ΛΥΣΗ 2x + 3 3x - 5 = 2 4 3x - 5 2x + 3 4. = 4. 2 4 α) 2(2x + 3) = 3x - 5 4x + 6 = 3x - 5 4x - 3x = -5 - 6 x = -11 7x - 6 5x + 2 = 3 4 7x - 6 5x + 2 = 12. 12. 3 4 4(7 x - 6) = 3(5x + 2) β) 28x - 24 = 15x + 6 28x - 15x = 6 + 24 13x = 30 30 x= 13 α) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Κάνουμε πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. β) Ομοίως ΜΕΡΟΣ Α΄-1.2- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 14 2(x - 1) 2 1 3x = 2 4 2(x - 1) 2 1 3x = 4. 4. 2 4 2.[2(x 1) 2] = 1 3x γ) 2(2x 2 2) = 1 3x 4x 4 4 = 1 3x 4x + 3x = 1 + 4 + 4 7x = 9 9 x= 7 γ) γ) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών που είναι το 4. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο της εξίσωσης με το 4. Απλοποιούμε τους παρονομαστές, σημειώνοντας τους πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας παρενθέσεις όπου απαιτούνται. Κάνουμε πράξεις χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: x + 4 x − 4 1 − 3x α) − = −2 5 3 15 y - 1 2y + 7 1 − 3y β) − = y+ 3 6 2 1 1 ω − 23 γ) (ω + 4) − 7 = (1 − ω) + 4 7 4 ΛΥΣΗ x + 4 x − 4 1 − 3x = −2 − 5 3 15 x+4 x−4 1 − 3x − 15. = 15. − 15.2 15. 5 3 15 α) 3(x + 4 ) − 5(x − 4) = 1 − 3x − 30 3x + 12 − 5x + 20 = 1 − 3x − 30 3x − 5x + 3x = 1 − 30 − 12 − 20 x = −61 α) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών που είναι το 15. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο της εξίσωσης με το 15. Απλοποιούμε τους παρονομαστές, σημειώνοντας τους πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας παρενθέσεις όπου απαιτούνται. Κάνουμε πράξεις χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ y - 1 2y + 7 1 − 3y = y+ − 3 6 2 y -1 2y + 7 1 − 3y − 6. = 6.y + 6. 6. 3 6 2 β) 2(y − 1) − (2 y + 7 ) = 6 y + 3(1 − 3y ) 2y − 2 − 2y − 7 = 6y + 3 − 9y 2y − 2y − 6y + 9y = 3 + 2 + 7 12 =4 3y = 12 ή y = 3 γ) 1 (ω + 4) − 7 = (1 − ω) 1 + ω − 23 4 7 4 1 1 ω − 23 28. (ω + 4 ) − 28.7 = 28.(1 − ω) + 28. 4 4 7 7(ω + 4) − 196 = 4(1 − ω) + 7(ω − 23) 7ω + 28 − 196 = 4 − 4ω + 7ω − 161 7ω + 4ω − 7ω = 4 − 161 − 28 + 196 11 4ω = 11 ή ω = 4 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να λύσετε τις εξισώσεις: ⎛ 2x ⎞ ⎛x ⎞ α) 3x - ⎜ − 5⎟ = 6 − ⎜ − 2⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠ t +5⎞ ⎛ t + 1 1 + 2t ⎞ ⎛ β) 5 - ⎜ − ⎟ = 12 − ⎜ t − ⎟ 3 ⎠ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎝ ΛΥΣΗ 15 β) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών (Προσέχουμε να βάλουμε σε παρένθεση τον αριθμητή γιατί έχει δύο όρους ) Εδώ χρειάζεται να βάλουμε σε παρένθεση τον όρο 2y+7 γιατί ο συντελεστής μετά την απλοποίηση είναι μονάδα Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. γ) Ομοίως 16 ⎛ 2x ⎞ ⎛x ⎞ − 5⎟ = 6 − ⎜ − 2⎟ 3x - ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠ 2x x +5= 6− +2 3x − 3 3 2x x 3.3x − 3. + 3.5 = 3.6 − 3. + 3.2 3 3 α) 9x − 2x + 15 = 18 − x + 6 9x − 2x + x = 18 + 6 − 15 8x = 9 9 x= 8 β) ⎛ t + 1 1 + 2t ⎞ ⎛ t +5⎞ − 5-⎜ ⎟ ⎟ = 12 − ⎜ t − 3 ⎠ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎝ t + 1 1 + 2t t+5 + = 12 − t + 5− 2 3 6 t +1 1 + 2t t+5 + 6. = 6.12 − 6.t + 6. 6.5 − 6. 2 3 6 30 − 3(t + 1) + 2(1 + 2t ) = 72 − 6t + t + 5 30 − 3t − 3 + 2 + 4t = 72 − 6t + t + 5 − 3t + 4t + 6t − t = 72 + 5 − 30 + 3 − 2 6t = 48 48 =8 t= 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 Να λύσετε τις εξισώσεις: 1 t 1+ x 2t 1− 1 3= 2 , β) α) 2 = 1 1 1 3 2− 2+ 1+ 2 2 4 ΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α΄-1.2- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ α) Διώχνουμε πρώτα τις παρενθέσεις Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Κάνουμε τις πράξεις Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου β) Διώχνουμε πρώτα τις παρενθέσεις Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Προσέχουμε στην απαλοιφή να βάλουμε παρενθέσεις όταν έχουμε αριθμητές με δύο όρους. Κάνουμε τις πράξεις Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ 1+ x 2 =1 1 3 1+ 4 1+ x 2 = 1 → 4(1 + x ) = 1 5 3 10 3 4 α) 4(1 + x ) 1 30. = 30. 10 3 12(1 + x ) = 10 12 + 12x = 10 12x = 10 − 12 12x = −2 1 −2 x= =− 12 6 1 t 2t 1− 3= 2 β) 1 1 2− 2+ 2 2 6t - 1 2 − t 3 = 2 3 5 2 2 2(6 t − 1) 2(2 − t ) = 15 6 2(2 − t ) 2(6 t − 1) 30. = 30. 6 15 4(6t − 1) = 10(2 − t ) 24 t − 4 = 20 − 10 t 24 t + 10 t = 20 + 4 → 34t = 24 24 12 t= = 34 17 17 α) Κάνουμε τις απαιτούμενες πράξεις για να μετατρέψουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλό. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Προσέχουμε στην απαλοιφή να βάλουμε παρενθέσεις όταν έχουμε αριθμητές με δύο όρους. Κάνουμε τις πράξεις Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου β) Κάνουμε πράξεις στους αριθμητές και στους παρονομαστές των κλασμάτων(πρόσθεση κλασμάτων) Κάνουμε τα σύνθετα κλάσματα απλά Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Προσέχουμε στην απαλοιφή να βάλουμε παρενθέσεις όταν έχουμε αριθμητές με δύο όρους. Κάνουμε τις πράξεις Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου ΜΕΡΟΣ Α΄-1.2- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 18 ΑΣΚΗΣΗ 8 Για ποια τιμή του x είναι Α = Β; α) Αν A = 5x − 3, B = 12 - 2x 3 x β) Αν A = 2(x - 1) + , B = 6 + 2 3 ΛΥΣΗ Α=Β α) 5x - 3 = 12 - 2x 5x + 2x = 12 + 3 7x = 15 15 x= 7 Α=Β 3 x 2(x - 1) + = 6 + 2 3 3 x 6.2(x - 1) + 6. = 6.6 + 6. 2 3 β) 12(x − 1) + 9 = 36 + 2x 12x − 12 + 9 = 36 + 2x 12x − 2x = 36 + 12 − 9 39 = 3,9 10x = 39 → x = 10 α) Εξισώνουμε τις παραστάσεις που μας έχουνε δώσει και επιλύουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. β) Εξισώνουμε τις παραστάσεις που μας έχουνε δώσει και επιλύουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Κάνουμε τις πράξεις Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται η εξίσωση: μ(x + 6)-2 = (2μ-1)x + 2 α) Αν μ=2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση x=8. β) Αν η εξίσωση έχει λύση x=7, να αποδείξετε ότι μ=3. γ) Αν μ=1, να λύσετε την εξίσωση. ΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ α) Για μ = 2 έχουμε 2(x + 6) − 2 = (2.2 − 1)x + 2 2x + 12 − 2 = 3x + 2 2x − 3x = 2 − 12 + 2 − x = −8 → x = 8 β) Για x = 7 έχουμε μ (7 + 6 ) - 2 = (2.μ - 1)7 + 2 7μ + 6μ - 2 = 14μ - 7 + 2 7μ + 6μ - 14μ = -7 + 2 + 2 - μ = -3 → μ = 3 γ) Για μ = 1 έχουμε (x + 6) − 2 = (2.1 − 1)x + 2 x +6−2 = x +2 x − x = 2 − 6 + 2 → 0x = −2 19 α) Βάζουμε στην θέση του μ το 2 Κάνουμε τις πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. β) Βάζουμε στην θέση του x το 7 και στη συνέχεια επιλύουμε την εξίσωση που προκύπτει με άγνωστο το μ. Κάνουμε τις πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. γ) Βάζουμε στην θέση του μ το 1 Κάνουμε τις πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων Η εξίσωση είναι αδύνατη ΑΣΚΗΣΗ 10 Δίνεται το διπλανό τρίγωνο: Α α) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ. Ποιο είναι x+5 σ' αυτή την περίπτωση το μήκος της κά2x+3 θε πλευράς; β) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να Γ Β είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. Ποιο 2x+1 είναι σε αυτή την περίπτωση το μήκος της κάθε πλευράς του; γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή ΛΥΣΗ α) Για να είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ πρέπει ΑΒ=ΑΓ και α) 2x + 3 = x + 5 2x − x = 5 − 3 → x = 2 β) 2 x + 1 = x + 5 2x − x = 5 − 1 → x = 4 εξισώνουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις που μας δώσανε. Οπότε οι πλευρές είναι ΑΒ=2x+3=2.2+3=7, ΑΓ=x+5=2+5=7 , ΒΓ=2x+1=2.2+1=5 β) Για να είναι ισοσκελές με βάση τη ΑΒ πρέπει ΑΓ=ΒΓ και εξισώνουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις που μας δώσανε. Οπότε οι πλευρές είναι ΑΒ=2x+3=2.4+3=11, ΑΓ=x+5=4+5=9 , ΒΓ=2x+1=2.4+1=9 ΜΕΡΟΣ Α΄-1.2- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 20 γ) Για να είναι ισοσκελές με βάση τη ΑΓ πρέπει ΑΒ=ΒΓ και εξισώνουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις που μας δώσανε. Η εξίσωση που προκύπτει είναι αδύνατη επομένως δεν υπάρχει τιμή του x για την οποία το τρίγωνο με βάση την ΑΓ. να είναι ισοσκελές ΑΣΚΗΣΗ 11 Δίνεται το ορθογώνιο του διπλανού σχήματος. Να βρείτε τους αριθμούς x, y και ω, (το ω παριστάνει μοίρες). 2y+3 3x-1 γ) 2x + 3 = 2x + 1 2x − 2x = 1 − 3 → 0x = −2 2ω-40ο 11 15-2y ΛΥΣΗ 3x − 1 = 11 → 3x = 11 + 1 12 3x = 12 → x = =4 Επειδή οι απέναντι πλευρές ορθογωνίου είναι 3 ίσες εξισώνουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις των 2 y + 3 = 15 − 2 y → 2 y + 2 y = 15 − 3 απέναντι πλευρών. 12 Όλες οι γωνίες ενός ορθογωνίου είναι ορθές 4 y = 12 → y = =3 Εξισώνουμε την παράσταση που μας δώσανε με 4 τις 900 2ω - 40 = 90 → 2ω = 90 + 40 130 2ω = 130 → ω = = 65 0 2 ΓΙΑ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ Μπορείτε να συμπληρώσετε τα κενά στα παρακάτω αριθμητικά σταυρόλεξα; 2.x+5=11 → 2x=11-5→ 2x=6→x=3 2 . 3 + 5 = 11 5x+4=39→5x=39-4→ 5x=35→ x=7 . . . . 3x+2=17→3x=17-2→ 3x=15→ x=5 3 . 5 + 7 = 22 x.5+7=22→5x=22-7→5x=15→ x=3 + + + + 2.3+x=13→ x=13-6→ x=7 7 . 2 + 4 = 18 7.2+4=14+4=18 = = = = 11.22+18=242+18=260 13 . 17 + 39 = 260 13.17+39=221+39=260 -2x-9=-1→ -2x=8→ x= -4 3 . -3 + -2 = -11 -3x-4=-7→ -3x=-3→ x=1 . . . . x.1-3=-6→ x=-3→ x=-3 -3 . 1 + -4 = -7 x.(-3)-2=-11→ -3x=-9→ x=3 + + + + 3(-3)+x=-14→ x=-14+9→ x=-5 -5 . -3 + -9 = 68 -14(-6)-1=84-1=83 = = = = -5(-3)-9=15-9=6 -14 . -6 + -1 = 83 -11(-7)+6=77+6=83