ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Α. Αλγεβρικές παραστάσεις

ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
1.2
Β
37
ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα
Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα , καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο αριθμούς τις οποίες ονομάζουμε
αριθμητικές παραστάσεις
Για παράδειγμα
7-5.2 +(-7).4 , 3⋅4 2 +7⋅23.
Υπάρχουν όμως και προβλήματα στα οποία καταλήγουμε σε εκφράσεις οι
οποίες εκτός από αριθμούς περιέχουν και μεταβλητές. Οι εκφράσεις αυτές
ονομάζονται αλγεβρικές παραστάσεις,
ΟΡΙΣΜΟΙ
Ονομάζουμε αλγεβρική παράσταση μία έκφραση, που αποτελείται
από αριθμούς και γράμματα, που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων.
Μια αλγεβρική παράσταση μπορεί να είναι:
Ειδικότερα μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των
μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί
Αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης ονομάζουμε τον αριθμό
που βρίσκουμε όταν αντικαταστήσουμε το κάθε γράμμα (μεταβλητή) με
κάποιο αριθμό και κατόπιν εκτελέσουμε τις σημειωμένες πράξεις.
π. χ η αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης
2x 2 y + 3xy για x=1 και y=4 ειναι 2⋅12 ⋅4 + 3⋅1⋅4 = 20
Μονώνυμα
Ονομάζουμε Μονώνυμο την αλγεβρική παράσταση στην οποία σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ γραμμάτων
και αριθμών.
π.χ 2xy 2 ,
1
xyz 3 ,
5
5 xyz , −
3 2
xy z
2
Σε ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του
μονώνυμου, ενώ το υπόλοιπο γινόμενο των μεταβλητών λέγεται κύριο
μέρος του μονώνυμου.
38
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
π. χ Στο μονώνυμο 2xy3z o αριθμός 2 είναι ο συντελεστής και το γινόμενο xy3z το κύριο μέρος.
Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός Το μονώνυμο 4 x 4 y2 είναι
του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυ- :
τή, ενώ βαθμός του μονωνύμου ως προς 4ου βαθμού ως προς x
όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροι- 2ου βαθμού ως προς y
6ου βαθμού ως προς x , y.
σμα των εκθετών των μεταβλητών του.
Δύο ή περισσότερα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται
όμοια.
π. χ όμοια είναι τα μονώνυμα 3x2y, −5x2y, 6yx2, −2x2y
Τα όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα, ενώ,
αν έχουν αντίθετους συντελεστές, λέγονται αντίθετα,
π.χ. τα μονώνυμα 4 x 2 y 3 και - 2 x 2 y 3 , είναι αντίθετα .
Οι αριθμοί θεωρούνται ως μονώνυμα και τα ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα. Ειδικότερα , ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ όλα τα άλλα σταθερά μονώνυμα είναι μηδενικού βαθμού. ( Π.χ. ο
αριθμός 6, μπορεί να γραφεί 6x0 ή 6y0 κ.τ.λ. ).
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1. Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι μονώνυμα ;
x3y
2
δ) 2x 2 yω3 ε) 3 - 2 αβ 3 στ) αβγ 3
• α) - 3x 2 y β) 3 + x 2 y γ) 2
3
ω
(
)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μονώνυμα είναι οι αλγεβρικές παραστάσεις των ερωτημάτων α , δ , ε
και στ . Η β δεν είναι γιατί υπάρχει πρόσθεση, η γ δεν είναι γιατί υπάρχει
διαίρεση. Η παράσταση 3 − 2 ≅ 3 − 1,414 = 1,586 είναι πραγματικός αριθμός και είναι συντελεστής του μονωνύμου.
2. Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια ;
ωyx 3
3
5
α) 6x2y2 β) − xy 3 γ) –x3yω δ) –5y3x ε)
στ) y 2 x 2
4
2
5
3
xy
ζ)
η) − x 2 y 2 θ) yx3ω ι) 2 xy 3
7
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
(
)
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
39
Όμοια μονώνυμα είναι αυτά των ερωτημάτων α, στ και η. Επίσης αυτά των
ερωτημάτων β, δ ,ζ και ι. Τέλος όμοια είναι αυτά των ερωτημάτων γ, ε και θ
γιατί έχουν αντίστοιχα το ίδιο κύριο μέρος x2y2 , xy 3 και yx3ω.
3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο
μέρος
Βαθμός
ως προς
x
Βαθμός
ως προς
y
Βαθμός ως
προς x, y
4ος
5ος
5xy4
5
xy4
–xy2
-1
xy2
1ος
2ος
3ος
1 2 5
x y
7
− 3x 4
1
7
x 2 y5
2ος
5ος
7ος
− 3
x4
4ος
0ος
4ος
1ος
1
και κύριο μέρος xy 2 ω3 . Να βρεί3
τε το ίσο του και το αντίθετο μονώνυμό του.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1
Το ίσο μονώνυμο είναι : − x y2ω3
3
1
Το αντίθετο μονώνυμο είναι : x y2ω3
3
5. Να λύσετε το σταυρόλεξο.
4. Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή −
40
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
ΟΡΙΖΟΝΤΙA
1. Έκφραση που περιέχει αριθμούς
και μεταβλητές συνδεόμενες με τα
σύμβολα των πράξεων (δύο λέξεις).
2. Είναι τα μονώνυμα 8 , –5 , 0 , 3 .
3. Είναι ο βαθμός του μονωνύμου 3x2ω
ως προς y.
4. Στο μονώνυμο – 2x2y είναι το – 2.
ΚΑΘΕΤA
1. Το μονώνυμο αυτό δεν έχει βαθμό.
2. Στο μονώνυμο 7x4yω5 ως προς x
είναι 4.
3. Παράσταση που μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.
6 3
x y , – 3x3y.
2
4. Είναι τα μονώνυμα 5xy2 , 25 xy2.
5. Είναι τα μονώνυμα 4α2β5 , – α2β5.
6. Η …… του μονωνύμου – 2x2y για
x = 2 και y = –1 είναι 8.
7. Είναι ο βαθμός των σταθερών μονωνύμων 6 , –3 , 7.
8. Η πράξη αυτή δε σημειώνεται μεταξύ των μεταβλητών ενός μονωνύμου.
5. Είναι τα μονώνυμα −
6. Ο συντελεστής του μονωνύμου xy.
7. Είναι το xyω2 στο μονώνυμο 4 xyω2
( δύο λέξεις ).
8. Η απλούστερη αλγεβρική παράσταση.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Α
Λ
Γ
Ε
Σ
Τ
Α
Μ
Μ
Η
Δ
Ε
Ν
Ι
Κ
Ο
Ν
Β
Α
Θ
Μ
Ο
Σ
Ω
Ρ
Ι
Κ
Ε
Ρ
Α
Υ
Ν
Τ
Μ
Ο
Ν
Ν
Υ
Μ
Η
Α
Κ
Ε
Ρ
Α
Ι
Α
Ο
Π
Δ
Α
Ν
Τ
Ι
Θ
Ε
Τ
Α
Κ
Υ
Λ
Ρ
Σ
Ρ
Α
Τ
Ο
Μ
Ο
Ι
Α
Σ
Μ
Τ
Ι
Μ
Η
Η
Σ
Ο
Μ
Α
Σ
Η
Δ
Ε
Ν
Μ
Η
Δ
Ε
Ν
Ι
Σ
Ρ
Ο
Α
Φ
Α
Ι
Ρ
Ε
Σ
Η
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
41
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΗ 1
Να βρείτε την αριθμητική τιμή των αλγεβρικών παραστάσεων
α)–2xy3 + x2y – 4 για x = –2 και y = 1
2
1
β) xω 2 + ω 3 για x = 3 και ω = –2
3
2
ΛΥΣΗ
Οι αριθμητικές τιμές των παραστάσεων είναι :
α) –2(–2)13 + (–2)21 – 4 =+4+4– 4=+4
1
2
1
8
2
3
2
β) 3(- 2 ) + (- 2 ) = 2(- 2 ) + (− 8) = 2(4 ) − =8 – 4 =4
2
3
2
2
ΑΣΚΗΣΗ 2
5
και μεταβλητές α , β .Να προσδιορίσε7
τε το μονώνυμο, αν ο βαθμός του ως προς α είναι 2 και ως προς α , β είναι
5.
Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή −
ΛΥΣΗ
Ο βαθμός του μονωνύμου ως προς β είναι : 5–2=3 και το ζητούμενο μονώ5
νυμο είναι: − α2β3
7
ΑΣΚΗΣΗ 3
Να προσδιορίσετε την τιμή του φυσικού αριθμού ν , ώστε το μονώνυμο
3xν y2
α) να είναι μηδενικού βαθμού ως προς x
β) να είναι πέμπτου βαθμού ως προς x , y
γ) να έχει αριθμητική τιμή 48 , για x = 2 και y = – 1.
ΛΥΣΗ
α) Αφού είναι μηδενικού βαθμού ως προς x το ν = 0
β) Πρέπει : ν + 2 =5 . Άρα ν = 5 – 2 = 3
48
γ) Πρέπει : 3 ⋅ 2 ν (-1) 2 = 48 ή 3 ⋅ 2 ν = 48 ή 2 ν =
= 16 ή 2 ν = 2 4 ή ν = 4
3
42
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
ΑΣΚΗΣΗ 4
Να βρείτε τους αριθμούς κ, λ, ν ,ώστε τα μονώνυμα 4 x 3 y ν , λx κ y 2 να είναι:
α) όμοια
β) ίσα
γ) αντίθετα
ΛΥΣΗ
α) Για να είναι όμοια πρέπει κ=3 και ν=2 και λ οποιοσδήποτε αριθμός, γιατί
τότε θα έχουν το ίδιο κύριο μέρος το x 3 y 2 .
β) Για να είναι ίσα πρέπει μαζί με τις προηγούμενες προϋποθέσεις κ=3 και
ν=2 να είναι και οι συντελεστές ίσοι , δηλαδή λ=4.
γ) Για να είναι αντίθετα πρέπει μαζί με τις προηγούμενες προϋποθέσεις
κ=3 και ν=2 να είναι οι συντελεστές αντίθετοι , δηλαδή λ=-4.
ΑΣΚΗΣΗ 5
Να γράψετε τα μονώνυμα που εκφράζουν το εμβαδόν
και τον όγκο μιας σφαίρας που έχει ακτίνα ρ. Να
προσδιορίσετε το συντελεστή, το κύριο μέρος και το
βαθμό κάθε μονωνύμου. Ποια είναι η αριθμητική τιμή
κάθε μονωνύμου , για ρ = 10 ;
ΛΥΣΗ
Ο τύπος που μας δίνει το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας είναι:
Ε σφ = 4πρ 2 όπως παρατηρούμε είναι ένα μονώνυμο με συντελεστή το 4π,
κύριο μέρος το ρ 2 και βαθμό 2ο γιατί το π δεν είναι μεταβλητή αλλά πραγματικός αριθμός(άρρητος).
Ο τύπος που μας δίνει τον όγκο μιας σφαίρας είναι: Vσφ =
4 3
πρ όπως
3
4
παρατηρούμε είναι ένα μονώνυμο με συντελεστή το π , κύριο μέρος το
3
ο
3
ρ και βαθμό 3 γιατί το π δεν είναι μεταβλητή αλλά πραγματικός αριθ-
μός(άρρητος).
Για ρ=10 είναι Ε(10 ) = 4π10 2 = 400π = 1256 και V (10 ) =
12560
4
π10 3 =
3
3
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
43
ΑΣΚΗΣΗ 6
Mία ομάδα καλαθοσφαίρισης έδωσε 9 αγώνες. Να
γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει τους
βαθμούς που συγκέντρωσε, αν σε κάθε νίκη παίρνει 2
βαθμούς και σε κάθε ήττα 1 βαθμό.
ΛΥΣΗ
Έστω ότι έκανε x νίκες οπότε θα έκανε 9-x ήττες (γιατί δεν υπάρχουν ισοπαλίες). Επομένως οι βαθμοί που πήρε ήταν:
2.x + (9 − x ).1 = 2x + 9 − x = x + 9 Άρα η αλγεβρική παράσταση που εκφράζει τους βαθμούς είναι η x+9
ΑΣΚΗΣΗ 7
Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που
εκφράζει το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΓΔΕ.
Ποιο είναι το εμβαδόν , όταν x=12;
ΛΥΣΗ
Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι Ε=ΒΓ2=x2+52=x2+25(Πυθαγόρειο θεώρημα)
Το εμβαδόν για x=12 είναι E(12) = 12 2 + 25 = 144 + 25 = 169
44
Β.
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
Πράξεις με μονώνυμα
Οι μεταβλητές ενός μονωνύμου αντιπροσωπεύουν κάποιους αριθμούς οπότε στις πράξεις που γίνονται μεταξύ μονωνύμων ισχύουν όλες οι ιδιότητες
των πράξεων που ισχύουν και στους αριθμούς.
Πρόσθεση μονωνύμων
Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο προς αυτά που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους ( η πρόσθεση όμοιων μονώνυμων λέγεται αναγωγή ομοίων όρων)
π. χ 3x3+2x3−4x3=(2+2−4)x3=x3 και 2αβ+5αβ−3αβ=(2+5−3)αβ=4αβ
Στην περίπτωση που τα προστιθέμενα μονώνυμα δεν είναι όμοια τότε το
άθροισμα δεν είναι μονώνυμο ,αλλά μία αλγεβρική παράσταση που λέγεται πολυώνυμο.
π. χ 4x4+2x3−2x και αx4+βx3+γx2+δx+ε
Πολλαπλασιασμός μονωνύμων
Το γινόμενο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει συντελεστή το
γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε κάθε μεταβλητή το άθροισμα των εκθετών της.
(
⎛1
⎞⎛ 1
⎞
π .χ (− 2 xyz)⎜ x 2 y 3 z 2 ⎟⎜ − xy 2 z ⎟ 6 x 3 y 3 z 3
⎝2
⎠⎝ 3
⎠
(− 2) 1 ⎜⎛ − 1 ⎟⎞6xx 2 xx 3 yy 3 y 2 y 3 zz 2 zz 3 =
2 ⎝ 3⎠
2 ⋅ 6 1+ 2+1+3 1+ 3+ 2+3 1+ 2+1+ 3
=
x
y
z
= 2x 7 y 9 z 7
2⋅3
Όπως είναι φανερό χρησιμοποιούμε
προσεταιριστική ιδιότητα του
) την
πολλαπλασιασμού για να βάλουμε
τους αριθμούς και τις μεταβλητές
μαζί και την ιδιότητα των δυνάμεων
μ ν
μ+ ν
α .α = α
(γενικευμένη) για τον πολλαπλασιασμό των μεταβλητών
Διαίρεση μονωνύμων
Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το πηλίκο των συντελεστών τους και κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε καθεμία τη διαφορά των εκθετών της.
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
(
)(
)
π.χ 8x 2 y 3 : 4xy 2 = 8x 2 y 3 ⋅
=
45
Μετατρέπουμε την διαίρεση
σε πολλαπλασιασμό με τον
αντίστροφο.
Εφαρμόζουμε την ιδιότητα
των δυνάμεων
1
8x 2 y 3
=
=
4xy 2
4 xy 2
8 2−1 3− 2
x y = 2 xy
4
(
)(
και − 6 xy 4 : 2 x 5 y 2
αμ
)
1
− 6 xy 4
=
= −6 xy 4 ⋅ 5 2 =
2x 5 y 2
2x y
6
3y 2
= − x 1−5 y 4− 2 = −3x − 4 y 2 = − 4
2
x
αν
= α μ- ν .Ομοίως.
ΣΗΜ. Όπως είναι φανερό
από το δεύτερο παράδειγμα
το πηλίκο μονώνυμων δεν
είναι πάντα μονώνυμο.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με
(Λ) αν είναι λανθασμένες.
α) Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο.
β) Η διαφορά δύο μονωνύμων είναι μονώνυμο.
γ) Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο.
δ) Το πηλίκο δύο μονωνύμων είναι μονώνυμο.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
α) Είναι σωστή (Σ), για παράδειγμα 3x 2 y + 4x 2 y = 7 x 2 y .
β) Είναι λάθος (Λ), για παράδειγμα η διαφορά 3x 2 y − 4 x 2 y 3 δεν είναι μονώνυμα αλλά πολυώνυμο.
γ) Είναι σωστή (Σ), για παράδειγμα (3x 2 y )(
. − 4x 2 y ) = −12x 4 y 2
δ) Είναι λάθος (Λ), για παράδειγμα το πηλίκο
6xy 2
1
= 3. δεν είναι μο2 3
xy
2x y
νώνυμο.
2. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:
α) - 5x 2 + 2x 2 = ................β) - 5x 2 .2x 3 = ..............γ ) 3x - 2y + 2x = ............
δ) 4x 2 y − yx 2 = .................ε) 2xy.y 2 = ..................στ) 6x 3 y : 3xy = .............
- 12x 3 y 4x 2
ζ )5x ω (......) = −10x ω η)
=
........
y
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
4
3
6
4
θ) 3x 2 y − ....... = −4x 2 y
46
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
α) - 5x 2 + 2x 2 = −3x 2
β) - 5x 2 .2x 3 = −10x 5 γ) 3x - 2y + 2x = 5x − 2y
δ) 4x 2 y − yx 2 = 3x 2 y
ε) 2xy.y 2 = 2xy 3
ζ)5x 4 ω 3 (− 2x 2 ω) = −10x 6 ω 4 η)
- 12x 3 y 4x 2
=
y
− 3xy 2
στ) 6x 3 y : 3xy = 2x 2
θ) 3x 2 y − 7x 2 y = −4x 2 y
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΗ 1
Να κάνετε τις πράξεις:
α) - 7x 2 y + 4x 2 y
β) 4αx 2 − 6αx 2 + αx 2 γ) 6x 3 −
δ) 0,25αβ - 0,35αβ + 0,5αβ ε)
9 3
x
2
2 2 4
xy ω − 1,2xy 2 ω 4 στ) - 3 2 x 2 + 4 2 x 2 − 2 x 2
5
ΛΥΣΗ
α) - 7x 2 y + 4x 2 y = −3x 2 y
β) 4αx 2 − 6αx 2 + αx 2 = -αx 2
9
3
γ) 6x 3 − x 3 = x 3
2
2
δ) 0,25αβ - 0,35αβ + 0,5αβ = 0,4 αβ
2 2 4
xy ω − 1,2xy 2 ω 4 = -0,8 xy 2 ω 4
5
στ) - 3 2 x 2 + 4 2 x 2 − 2 x = 0
ε)
α) Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα για
να προσθέσουμε τους συντελεστές των ομοίων
μονωνύμων.
β) Ομοίως
γ) Ομοίως
δ) Ομοίως
ε) Ομοίως
στ) Ομοίως
ΑΣΚΗΣΗ 2
Να υπολογίσετε τα γινόμενα:
3
α) − 3x.5x 2
β) 6x 2 . x 3 γ ) 2xy 3 .(− 3x 2 y ) δ) − 3x 2 y.(− 2xy 4 ω)
4
1
4
⎞
⎛ 5
⎛ 2
⎞
⎛ 1
⎞
ε) - αβ 3 .4αβ 3 στ) x 3 α 2 .⎜ − xα 3 ⎟ ζ )⎜ − xy 3 ⎟.(- 3x 2 ω)⎜ - yω3 ⎟
3
3
⎝ 6
⎠
⎝ 5
⎠
⎝ 4
⎠
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
α) Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές
των μονωνύμων και για τον πολλαπλασιασμό των κυρίως μερών εφαρμόζουμε
την ιδιότητα των δυνάμεων
μ ν
μ+ ν
α .α = α
.
β) Ομοίως
γ) Ομοίως
δ) Ομοίως
ε) Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές
των μονωνύμων και για τον πολλαπλασιασμό των κυρίως μερών εφαρμόζουμε
την ιδιότητα των δυνάμεων
α) − 3x.5x 2 = -15x 3
3
9
β) 6x 2 . x 3 = x 5
4
2
3
2
γ ) 2xy .(− 3x y ) = -6x 3 y 4
δ) − 3x 2 y.(− 2xy 4 ω) = 6x 3 y 5 ω
1
4
ε) - αβ 3 .4αβ 3 = - α 2 β 6
3
3
στ)
4 3 2 ⎛ 1 3⎞ 1 4 5
x α .⎜ − xα ⎟ = - x α
3
3
⎝ 4
⎠
(
47
στ) Ομοίως
)
⎛ 2
⎞
⎛ 5
⎞
ζ )⎜ − xy 3 ⎟. - 3x 2 ω ⎜ - yω3 ⎟ = -x 3 y 4 ω 4
⎝ 5
⎠
⎝ 6
⎠
ζ) Ομοίως
ΑΣΚΗΣΗ 3
Να υπολογίσετε τα πηλίκα:
(
)
⎛ 1
⎞ ⎛6
⎞
γ ) ⎜ - α 3β 5 ⎟ : ⎜ α 2 β 2 ⎟
⎝ 3
⎠ ⎝5
⎠
⎛ 1
⎞
⎛ 7
⎞
δ) 0,84x 2 ω5 : - 0,12xω 3 ε) - x 3 α 4 ω : ⎜ - x 2 α ⎟ στ) 0,5α 3β 7 : ⎜ - α 2 β 2 ⎟
⎝ 4
⎠
⎝ 10
⎠
α) 12α 3 : (- 3α )
(
β) 8x 2 y : 2xy 2
)(
) (
)
(
)
ΛΥΣΗ
α) 12α 3 : (- 3α ) = -4α 2
β) 8x 2 y : 2xy 2 = 4xy - 1
(
)
5
⎞
⎞ ⎛6
⎛ 1
γ ) ⎜ - α 3β 5 ⎟ : ⎜ α 2β 2 ⎟ = - α.β 3
18
⎠
⎠ ⎝5
⎝ 3
δ) 0,84x 2 ω5 : - 0,12xω 3 = -7xω 2
)(
)
(
⎞
⎛ 1
ε) (- x 3α 4 ω) : ⎜ - x 2 α ⎟ = 4xα 3ω
⎠
⎝ 4
5
⎞
⎛ 7
στ) (0,5α 3β 7 ) : ⎜ - α 2β 2 ⎟ = - αβ 5
7
⎝ 10
⎠
α) Διαιρούμε τους συντελεστές των
μονωνύμων και για την διαίρεση των
κυρίως μερών εφαρμόζουμε την ιδιόμ
μ−ν
ν
τητα των δυνάμεων α : α = α
.
β) Ομοίως
γ) Ομοίως
δ) Ομοίως
ε) Ομοίως
στ) Ομοίως
48
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
ΑΣΚΗΣΗ 4
Να κάνετε τις πράξεις:
2
3
2
3
⎛ 1 2 ⎞
α) ⎜ - x y ⎟ (6xy 3 ) β) (- 2x 2 y 3 ) : (- 8x 3 y 4 ) γ) (- 2xy 4 ω 3 ) .( x 2 y )
⎝ 3
⎠
ΛΥΣΗ
2
⎛ 1
⎞
α) ⎜ - x 2 y ⎟ (6xy 3 ) =
⎝ 3
⎠
2
⎛1
⎞
= ⎜ x 4 y 2 ⎟(6xy 3 ) = x 5 y 5
3
⎝9
⎠
(
) (
)
= (− 8x y ): (- 8x y ) = x y
γ) (- 2xy ω ) .(− x y ) =
. − x y )=
= (4x y ω )(
3
β) - 2x 2 y 3 : - 8x 3 y 4 =
6
9
4
2
8
3
3 2
6
4
2
6
3
5
α) Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονωνύμων
και για τον πολλαπλασιασμό των κυρίως μερών εφαρμόμ ν
μ+ν
ζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α .α = α
.
β) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (α.β)ν =αν.βν
Διαιρούμε τους συντελεστές των μονωνύμων και για την
διαίρεση των κυρίως μερών εφαρμόζουμε την ιδιότητα
μ
μ−ν
ν
των δυνάμεων α : α = α
.
γ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (α.β)ν =αν.βν
και κατόπιν πολλαπλασιάζουμε όπως στο α ερώτημα.
3
3
= −4x 8 y11ω 6
ΑΣΚΗΣΗ 5
Να βρείτε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων. Ποιες από τις εκφράσεις
που βρήκατε είναι μονώνυμα;
ΛΥΣΗ
α) x 2 + x 2 + x 2 = 3x 2
β) xy + xy = 2xy
γ) x 2 + xy
α) Το εμβαδόν του πρώτου σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών 3 τετραγώνων πλευράς x.
β) Το εμβαδόν του δεύτερου σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών 2 ορθογωνίων διαστάσεων x και y.
γ) Το εμβαδόν του τρίτου σχήματος είναι το άθροισμα
των εμβαδών ενός ορθογωνίου διαστάσεων x και y και
ενός τετραγώνου πλευράς x.
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
δ) (2x ) +
2
πx 2
π
= 4x 2 + x 2 =
2
2
π⎞
⎛
= ⎜ 4 + ⎟x 2
2⎠
⎝
πx 2
ε) 2xy +
2
49
δ) Το εμβαδόν του τέταρτου σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών ενός τετραγώνου πλευράς x και ενός
ημικυκλίου ακτίνας x.
ε) Το εμβαδόν του πέμπτου σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών ενός ορθογωνίου διαστάσεων 2x,y
και ενός ημικυκλίου ακτίνας x.
Οι εκφράσεις των ερωτημάτων α, β, δ είναι μονώνυμα.
ΑΣΚΗΣΗ 6
Να συγκρίνετε το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου με το
άθροισμα των εμβαδών των κίτρινων τριγώνων.
ΛΥΣΗ
(ΔΕΓ) = x.y
Το πράσινο τρίγωνο έχει εμβαδόν
2
(ΑΕΔ) + (ΕΒΓ) = ΑΕ.y + ΕΒ.y =
2
2
xy
και το
2
άθροισμα των κίτρινων εμβαδών είναι επίσης
xy
το οποίο προκύπτει αν προσθέσουμε τα εμ2
βαδά των δύο κίτρινων τριγώνων που εκφράζονται με δύο μονώνυμα
y
(ΑΕ + ΕΒ) = y .x = xy
2
2
2
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
1. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος τριπλάσιο από το πλάτος του x . Το μονώνυμο που εκφράζει το εμβαδόν του είναι:
α ) 3x,
β) 3x 2 , γ) x 2 , δ) 4x
ΛΥΣΗ
Εφόσον το πλάτος είναι x το μήκος θα είναι 3x και το εμβαδόν του ορθογωνίου
θα είναι: Ε ορθογωνίου = x.3x = 3x 2 άρα η σωστή απάντηση είναι η β.
=
2. Η Μαρία έχει x ευρώ, ενώ η Ελένη έχει 2 ευρώ λιγότερα από το τριπλάσιο ποσό της Μαρίας. Η αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το χρηματικό ποσό της Ελένης είναι :
α ) x - 2,
β) 3x + 2, γ) 3x , δ) 3x - 2
ΛΥΣΗ
Σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος η αλγεβρική παράσταση που
εκφράζει το χρηματικό ποσό της Ελένης είναι 3x − 2 .
3. Χρησιμοποιώντας τους τύπους του παραδείγματος 2( σελίδα 27 του βιβλίου σας) να υπολογίσετε το ιδανικό βάρος ενός άνδρα ηλικίας 25 ετών
και ύψους 174 cm και μιας γυναίκας ηλικίας 24 ετών και ύψους 167 cm.
ΛΥΣΗ
50
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ
Το ιδανικό βάρος ενός άνδρα ηλικίας t=25 ετών και ύψους υ=174 cm είναι
t ⎞
25 ⎞
⎛
⎛
βάσει το τύπου Β = κ.⎜ υ − 100 + ⎟ = 0,9.⎜174 − 100 + ⎟
10 ⎠
10 ⎠
⎝
⎝
Β = 0,9.(74 + 2,5) = 0,9.76,5 = 68,85 κιλά (κ=0,9 για τον άνδρα)
Επίσης το ιδανικό βάρος μιας γυναίκας ηλικίας t=24 ετών και ύψους
t ⎞
24 ⎞
⎛
⎛
υ=167 cm είναι βάσει το τύπου Β = κ.⎜ υ − 100 + ⎟ = 0,8.⎜167 − 100 + ⎟
10 ⎠
10 ⎠
⎝
⎝
Β = 0,8.(67 + 2,4) = 0,8.69,4 = 55,52 κιλά .
4. Να βρεθούν οι τιμές των κ και λ, ώστε να ισχύουν οι ισότητες
(
)(
)
α) - 15x 3κ -1 y λ : - 3x κ y 2 = 5x 3 y,
(
)(
)
β) 4α 2κ -1β 3λ : 12α κ + 2 β λ +1 =
2 3
αβ ,
3
ΛΥΣΗ
α) (- 15x 3κ -1 y λ ) : (- 3x κ y 2 ) = 5x 3 y,
5x 3κ -1- κ y λ -2 = 5x 3 y
5x 2κ -1 y λ -2 = 5x 3 y οπότε πρέπει να είναι
2κ - 1 = 3 και λ - 2 = 1 ή 2κ = 4 και λ = 3 ή κ = 2 και λ = 3
2
β) 4α 2κ -1β 3λ : 12α κ + 2 β λ +1 = αβ 3 ,
3
4 2κ -1-(κ + 2) 3λ -(λ +1) 2 3
.α
β
= αβ
12
3
2 2κ -1- κ -2 3λ -λ -1 2 3
α
β
= αβ
3
3
2 κ -3 2λ -1 2 3
α β
= αβ οπότε πρέπει να είναι
3
3
κ - 3 = 1 και 2λ - 1 = 3 ή κ = 4 και 2λ = 4 ή κ = 4 και λ = 2
5. Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες 3x και 4x αντιστοίχως. Να βρεθεί η ακτίνα
του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο
αρχικών κύκλων.
ΛΥΣΗ
2
2
2
2
Ε = Ε 1 + Ε 2 = πρ1 + πρ 2 = π(3x ) + π(4 x ) =
(
)(
)
(
)
= π9 x 2 + π16 x 2 = π 9 x 2 + 16 x 2 = π 25x 2 = π(5x )
Επομένως η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των
εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων είναι 5x.
2

Download Report