Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Ψηφιακός
διαµορφωτής
Π Ο Μ Π Ο Σ
Κανάλι
Σήµα
Εξόδου
Μετατροπέας
εξόδου
Αποκωδικοποιητής
πηγής
Αποκωδικοποιητής
καναλιού
∆ Ε Κ Τ Η Σ
Ψηφιακός
αποδιαµορφωτής
Οποιοδήποτε και αν είναι το φυσικό µέσο για τη µετάδοση του σήµατος, το κύριο χαρακτηριστικό είναι ότι
το µεταδιδόµενο σήµα αλλοιώνεται κατά τυχαίο τρόπο από µία ποικιλία πιθανών µηχανισµών. Η πιο
συνήθης µορφή υποβάθµισης του σήµατος προέρχεται από έναν προσθετικό θόρυβο ο οποίος συχνά
καλείται θερµικός θόρυβος.
u (t )
r (t )
1
1
0
−1
Tb
2Tb
3Tb
t
Κανάλι
0
−1
Tb
2 Tb
3Tb
t
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Χωρητικότητα και Κωδικοποίηση Καναλιού
Σκοπός ενός συστήµατος επικοινωνίας είναι η µετάδοση πληροφορίας από µια πηγή
πληροφορίας σε ένα προορισµό µέσω ενός καναλιού επικοινωνίας.
Ο ρόλος του µηχανικού είναι να σχεδιάσει ποµπούς και δέκτες που να στέλνουν την έξοδο της
πηγής µέσα από το κανάλι στον προορισµό µε υψηλή πιστότητα.
Η κωδικοποίηση του καναλιού αποσκοπεί στην προστασία των µηνυµάτων έναντι των
σφαλµάτων που προκαλεί το κανάλι.
Εισαγωγή 9-2
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Κάθε κανάλι επικοινωνίας χαρακτηρίζεται από µια σχέση µεταξύ εισόδου και εξόδου η οποία
είναι ενγένει, µία στοχαστική διαδικασία.
Η εξασθένιση, οι µη γραµµικότητες, οι περιορισµοί στο εύρος-ζώνης, η διάδοση µέσω πολλών
διαδροµών και ο θόρυβος είναι µερικοί παράγοντες εξαιτίας των οποίων η έξοδος ενός
καναλιού µπορεί να είναι διαφορετική από την είσοδό του.
Τα κανάλια που συναντάµε στην πράξη είναι κανάλια κυµατοµορφών µε περιορισµένο εύροςζώνης.
Ένα κανάλι συνεχούς κυµατοµορφής καθίσταται ισοδύναµο µε ένα κανάλι διακριτού χρόνου
χρησιµοποιώντας το θεώρηµα της δειγµατοληψίας.
Εισαγωγή 9-3
Σεραφείµ Καραµπογιάς
X
Y
Αλφάβητο εισόδου
Αλφάβητο εξόδου
p (y | x )
Ενγένει η έξοδος yi δεν εξαρτάται µόνον από την είσοδο xi την ίδια χρονική στιγµή αλλά επίσης
από τις προηγούµενες εισόδους (περίπτωση καναλιών µε ISI), ακόµη και από προηγούµενες και
επόµενες εισόδους (στα κανάλια αποθήκευσης). Εποµένως ένα κανάλι µπορεί να έχει µνήµη.
Σε ένα διακριτό κανάλι χωρίς µνήµη για κάθε y ∈ Y n και x ∈ X n έχουµε
n
p (y | x ) = ∏ p(yi | xi )
i =1
Εισαγωγή 9-4
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Το δυαδικό-συµµετρικό κανάλι (Binary Symmetric Channel - BSC)
P (0 | 0 ) = 1 − ε
0
P (1 | 0 ) = ε
0
ε = P ( 0 | 1) = P (1 | 0 ) = Q
P ( 0 | 1) = ε
1
P (1 | 1) = 1 − ε
Πιθανότητα διασταύρωσης
1
2Eb
N0
Το δυαδικό-συµµετρικό καναλιού (Binary
Symmetric Channel (BSC))
όπου Eb είναι η ενέργεια bit και N0/2 η φασµατική πυκνότητα ισχύος του θορύβου.
Εισαγωγή 9-5
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παράδειγµα δυαδικού-συµµετρικού καναλιού είναι το κανάλι AWGN µε δυαδική
σηµατοδοσία που χρησιµοποιεί αντίποδα σύµβολα.
− Eb
s2
Eb
0
Σηµεία σήµατος για αντίποδα σύµβολα
s1
Η πιθανότητα να εκληφθεί από λάθος το 1 για 0 ή το 0 για 1 είναι
ε = P(1 | 0) = P(0 | 1) = Q
( )
2 Eb
N0
όπου Eb είναι η ενέργεια bit και N0/2 η φασµατική πυκνότητα ισχύος του θορύβου.
Σ' ένα κανάλι AWGN µε δυαδική αντίποδη σηµατοδοσία, η είσοδος είναι είτε √Eb ή – √Eb και
η έξοδος είναι το άθροισµα της εισόδου και του Gaussian θορύβου του καναλιού, εποµένως X =
{±√Eb}, Y = R και
f ( y | x) =
−
1
2π σ 2
e
( y − x )2
2σ 2
όπου σ2 είναι η διακύµανση του θορύβου.
Εισαγωγή 9-6
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Το πιο σηµαντικό κανάλι συνεχούς αλφαβήτου είναι το διακριτού-χρόνου AWGN κανάλι µε
περιορισµό ισχύος εισόδου. Στο κανάλι αυτό το X και το Y είναι το σύνολο των πραγµατικών
αριθµών, και η σχέση εισόδου-εξόδου δίδεται από την
Y=X+Z
Ο θόρυβος του καναλιού Gaussian µηδενικής
µέσης τιµής µε διακύµανση ίση µε PN
Z
Y =X+Z
X =R X
Περιορισµός
ισχύος εισόδου
για µεγάλο n
1
n
Y=R
Κανάλι προσθετικού λευκού Gaussian
θορύβου µε περιορισµό ισχύος.
∑ i =1 x i2 ≤ P
n
Εισαγωγή 9-7
Σεραφείµ Καραµπογιάς
ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΝΑΛΙΟΥ
Είναι δυνατή µία αξιόπιστη µετάδοση (δηλαδή, µε πιθανότητα σφάλµατος µικρότερη από
δεδοµένη τιµή) ακόµα και µε “ενθόρυβα” κανάλια, αρκεί ο ρυθµός µετάδοσης δεδοµένων να
είναι µικρότερος από µία τιµή καλούµενη χωρητικότητα του καναλιού (channel capacity).
Το θεώρηµα κωδικοποίησης ενθόρυβου καναλιού λέει ότι ο βασικός περιορισµός που θέτει ο
θόρυβος σε ένα κανάλι επικοινωνίας δεν τίθεται στην αξιοπιστία της επικοινωνίας αλλά στο
ρυθµό µετάδοσης των δεδοµένων.
Χωρητικότητα καναλιού 9-8
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παράδειγµα
∆ιακριτό κανάλι χωρίς-µνήµη µε τέσσερα σύµβολα εισόδου και εξόδου.
1
2
a
a
1
2
1
2
b
c
1
2
b
1
2 1
2
c
1
2
d
1
2
d
Παράδειγµα διακριτού καναλιού
Αν ο ποµπός και ο δέκτης συµφωνήσουν ότι ο ποµπός θα χρησιµοποιεί µόνο τα σύµβολα a και
c, τότε η πιθανότητα σφάλµατος είναι µηδέν.
Η ουσία του θεωρήµατος της κωδικοποίησης σε ενθόρυβο κανάλι είναι το ότι
χρησιµοποιούνται µόνο εκείνες οι είσοδοι των οποίων οι αντίστοιχες έξοδοι είναι
διαχωρισµένες.
Χωρητικότητα καναλιού
9-9
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Για τους περισσότερους τύπους καναλιών στην πράξη δεν υπάρχει τρόπος να έχει κανείς µη
επικαλυπτόµενες εξόδους.
Σε ένα δυαδικό-συµµετρικό κανάλι µπορούµε να εφαρµόσουµε την πιο-πάνω προσέγγιση στην
επέκταση του καναλιού.
X n = {0 ,1}
Y n = {0 ,1}
n
n
Αλφάβητο εισόδου
Αλφάβητο εξόδου
y
x
n-στη επέκταση ενός
συµµετρικού καναλιού
δυαδικού-
n
p ( y | x ) = ∏ p ( y i | xi )
i =1
Η υποσυνθήκη πιθανότητα
Χωρητικότητα καναλιού 9-10
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Σύµφωνα µε το νόµο των µεγάλων αριθµών για n αρκετά µεγάλο, αν διαβιβαστεί µέσα από ένα
κανάλι µία δυαδική ακολουθία µήκους n, η έξοδος θα διαφέρει από την είσοδο µε µεγάλη
πιθανότητα σε nε θέσεις.
Ο αριθµός των δυνατών ακολουθιών που διαφέρουν ως προς µία ακολουθία µήκους n κατά nε
θέσεις, δίνεται από την
n ≈ 2 n H b (ε )
ne
όπου H b (ε ) = −ε log 2 (ε ) − (1−ε ) log 2 (1−ε ) είναι η συνάρτηση δυαδικής εντροπίας.
Για κάθε µπλοκ εισόδου υπάρχουν κατά προσέγγιση 2 n H b ( ε ) υψηλής πιθανότητας έξοδοι.
Από το άλλο µέρος ο ολικός αριθµός των υψηλής πιθανότητας ακολουθιών εξόδου (τυπικές
ακολουθίες) είναι κατά προσέγγιση 2 n H ( Y )
Χωρητικότητα καναλιού 9-11
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Εποµένως, ο µέγιστος αριθµός ακολουθιών εισόδου που παράγουν µη επικαλυπτόµενες
ακολουθίες εξόδου, είναι τουλάχιστον ίσος µε
n H (Y )
2
M = n H ( ε ) = 2 n ( H ( Y )− H b ( ε ) )
2 b
και ο ρυθµός µετάδοσης ανά χρήση καναλιού είναι
R=
X n = {0 ,1}
n
log M
= H (Y ) − H b ( ε )
n
Y n = {0 ,1}
n
Αριθµός στοιχείων ≈ 2 n H b ( ε )
(µε υψηλής πιθανότητα)
x
Σχηµατική αναπαράσταση ενός BSC
Ολικός αριθµός στοιχείων
υψηλής πιθανότητας 2 n H ( Y )
Χωρητικότητα καναλιού 9-12
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Για να µεγιστοποιήσουµε το ρυθµό µετάδοσης µέσω καναλιού, πρέπει να επιλέξουµε το p( x) το
οποίο µεγιστοποιεί το H( Y ).
Αν η X επιλεγεί έτσι ώστε να είναι µια τυχαία µεταβλητή µε οµοιόµορφη κατανοµή, δηλαδή αν
P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = 0,5, το ίδιο θα συµβεί και µε την Y, και η H (Y ) θα είναι µέγιστη και
ίση µε 1 οπότε έχουµε
R = 1 − H b (ε )
Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο πιο πάνω ρυθµός
είναι ο µέγιστος ρυθµός αξιόπιστης
µετάδοσης µε το BSC. Ως αξιόπιστη
µετάδοσης εννοούµε εκείνη στην οποία
είναι δυνατόν να επιτύχουµε η πιθανότητα
σφάλµατος να τείνει στο µηδέν όταν το
µήκος n του µπλοκ τείνει στο άπειρο.
C = 1 − H b (ε )
Η χειρότερη επίδοση πραγµατοποιείται όταν
ε = 1/2, οπότε ο ρυθµός είναι R = 0.
0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1
ε
Η χωρητικότητα C ενός BSC
Χωρητικότητα καναλιού 9-13
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ο µέγιστος ρυθµός µε τον οποίο µπορούµε να επικοινωνούµε µε ένα διακριτό κανάλι χωρίς
µνήµη, ενώ ταυτόχρονα η πιθανότητα σφάλµατος να πλησιάζει το µηδέν υπό την προϋπόθεση
ότι το µήκος του κωδικού µπλοκ αυξάνει, καλείται χωρητικότητα του καναλιού και
συµβολίζεται µε C.
Θεώρηµα Κωδικοποίησης Ενθόρυβου Καναλιού
Η χωρητικότητα ενός διακριτού καναλιού χωρίς-µνήµη, δίνεται από τη σχέση
C = max I ( X ; Y )
p(x)
όπου I(X; Y) είναι η αµοιβαία πληροφορία µεταξύ της εισόδου και της εξόδου.
Αν ο ρυθµός µετάδοσης R < C τότε για κάθε δ > 0 υπάρχει κώδικας µε µήκος n ώστε η Pe < δ.
Αν ο ρυθµός µετάδοσης R > C τότε η πιθανότητα σφάλµατος για οποιονδήποτε κώδικα
οποιουδήποτε µήκους µπλοκ αποµακρύνεται από το µηδέν.
Χωρητικότητα καναλιού 9-14
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παράδειγµα
Υπολογίστε τη χωρητικότητα του καναλιού.
0,5
a
a
0,25
0,25
0,5
b
b
0,25
c
0,5
c
Χωρητικότητα καναλιού 9-15
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Χωρητικότητα Gaussian Καναλιού
Z
Y =X+Z
X =R X
1
n
∑
n
x2
i =1 i
Y=R
Κανάλι προσθετικού λευκού Gaussian
θορύβου µε περιορισµό ισχύος.
≤P
Για µπλοκ, x, µήκους n στην είσοδο, την έξοδο, y, και το θόρυβο, z, έχουµε
y = x+z
Για µεγάλο n από το νόµο των µεγάλων αριθµών έχουµε
1
n
2
z
∑ i=1 i =
n
1
n
2
(
)
y
−
x
∑ i=1 i i ≤ PN
n
y−x
2
≤ nPN
Αυτό σηµαίνει ότι, µε πιθανότητα που πλησιάζει στη µονάδα (καθώς το n αυξάνει), το y θα
βρίσκεται µέσα σε µία n-διάστατη σφαίρα (υπερσφαίρα) ακτίνας √nPN κεντραρισµένης στο x.
Χωρητικότητα καναλιού 9-16
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Λόγω του περιορισµού της ισχύος P στην είσοδο και της ανεξαρτησίας µεταξύ εξόδου και του
θορύβου, η ισχύς εξόδου είναι το άθροισµα της ισχύος εισόδου και της ισχύος θορύβου.
1
n
2
y
∑ i=1 i ≤ P + PN
n
ή
y
2
≤ n ( P + PN
)
Αυτό συνεπάγεται ότι οι ακολουθίες εξόδου (και πάλι ασυµπτωτικά και µε µεγάλη πιθανότητα)
θα βρίσκονται µέσα σε µία n-διάστατη υπερσφαίρα ακτίνας √n(P + PN) µε κέντρο την αρχή των
αξόνων.
Χωρητικότητα καναλιού 9-17
Σεραφείµ Καραµπογιάς
n-διάστατη υπερσφαίρα
ακτίνας ≈ n PN
y−x
2
n-διάστατη υπερσφαίρα
ακτίνας ≈ n ( P + PN )
≤ nPN
x
y
2
≤ n ( P + PN
)
Ο όγκος της n-διάστατης
υπερσφαίρας είναι Vn = Kn Rn
Οι ακολουθίες εξόδου ενός Gaussian καναλιού µε περιορισµό ισχύος
Ο αριθµός των µηνυµάτων που µπορούν να µεταδοθούν αξιόπιστα µέσα από αυτό το κανάλι
είναι
M=
K n ( n ( P + PN
K n ( n PN
))n 2
)n 2
P + PN
=
P
N
n 2
= 1+ P
PN
n 2
Χωρητικότητα καναλιού 9-18
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η χωρητικότητα ενός καναλιού διακριτού-χρόνου µε προσθετικό λευκό Gaussian θόρυβο και
µε περιορισµό ισχύος εισόδου είναι
C = 1 log 2 M = 1 n log 2 1 + P
n
n2
PN
= 1 log 1 + P
2
2
PN
Αν N0/2 είναι η φασµατική πυκνότητα του θορύβου και W το εύρος ζώνης τότε η ισχύς του
θορύβου ανά δείγµα είναι
W N0
−W 2
PN = ∫
df = W ⋅ N 0
Η χωρητικότητα είναι
bits
C = 1 log 2 1 + P
2
N 0W µετάδοση
Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση επί τον αριθµό των µεταδόσεων/sec, ο οποίος είναι 2W,
έχουµε τη χωρητικότητα σε bits/sec.
C = W log 2 1 + P bits
N 0W sec
Αυτός είναι ο διάσηµος τύπος του Shannon για τη χωρητικότητα ενός καναλιού µε προσθετικό
λευκό Gaussian θόρυβο.
Χωρητικότητα καναλιού 9-19
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Όρια στις επικοινωνίες
Η χωρητικότητα ενός καναλιού µε λευκό, προσθετικό, {Gaussian} θόρυβο δίνεται από την
C = W log 2 1 + P bits
N 0W sec
Οι βασικοί παράγοντες που καθορίζουν τη χωρητικότητα του καναλιού είναι το εύρος-ζώνης
W, η φασµατική πυκνότητα ισχύος N0 του θορύβου και η ισχύς P του σήµατος.
Υπάρχει δυνατότητα ανταλλαγής µεταξύ της ισχύος ανά δείγµα, P, και του εύρους-ζώνης, W,
υπό την έννοια ότι µείωση της µίας µπορεί να αντισταθµισθεί από την αύξηση της άλλης.
Η αύξηση της χωρητικότητας σε συνάρτηση µε την ισχύ είναι λογαριθµική, δηλαδή είναι
“αργή”.
Επίσης η χωρητικότητα του καναλιού µπορεί να αυξηθεί σε οποιαδήποτε τιµή, αυξάνοντας την
ισχύ εισόδου
Όρια στις επικοινωνίες 9-20
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η αύξηση του W έχει δύο αντίθετες επιπτώσεις.
Μ' ένα κανάλι µεγαλύτερου εύρους-ζώνης µπορούµε να µεταδώσουµε περισσότερα
δείγµατα/sec και, εποµένως, να επιτύχουµε υψηλότερο ρυθµό µετάδοσης.
Ένα µεγαλύτερο εύρος-ζώνης σηµαίνει υψηλότερο θόρυβο εισόδου στο δέκτη πράγµα που
µειώνει την επίδοσή του.
C (P N0 )
Για να δούµε την επίδραση της αύξησης
του εύρους-ζώνης, ας θεωρήσουµε ότι
το W τείνει στο άπειρο, οπότε χρησιµοποιώντας τον κανόνα του L' Hospital
βρίσκουµε
lim C = P log e = 1, 44 P
W →∞
N0
N0
Αυτό σηµαίνει ότι µε την αύξηση του
εύρους-ζώνης δεν δυνατή η αύξηση της
χωρητικότητας µέχρις οποιαδήποτε
επιθυµητή τιµή.
1,6
1,44
1,2
0,8
0,4
0
0
20
40
60
80 W ( P N )
0
Γραφική παράσταση της χωρητικότητας του
καναλιού συναρτήσει του εύρους-ζώνης.
Όρια στις επικοινωνίες 9-21
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Γνωρίζουµε ότι σε οποιαδήποτε πραγµατικό σύστηµα επικοινωνίας πρέπει R < C. Για AWGN
έχουµε
R < W log 2 1 +
P
N 0W
Ορίζουµε ως φασµατικό ρυθµό bits το
r= R
W
οπότε έχουµε
r < log 2 1 +
P
N 0W
Αν Eb είναι η ενέργεια ανά bit, τότε Eb = P / R οπότε ο φασµατικός ρυθµός bits ικανοποιεί την
r < log 2 1 + r
Eb
N0
ή ισοδύναµα
Eb 2 r −1
>
N0
r
Η γραφική παράσταση της r = f (Eb/N0) δίνεται στο επόµενο σχήµα
Όρια στις επικοινωνίες 9-22
Σεραφείµ Καραµπογιάς
r= R
W
101
Eb 2 r −1
>
N0
r
r = log 1 + r
Eb
N0
− 1, 592
1
0
5
10
15
20 E b ( dB )
Περιοχή αξιόπιστης επικοινωνίας
r < log 1 + r
Eb
N0
N0
Eb 2 r − 1
ή
<
N0
r
Φασµατικός ρυθµός bits συναρτήσει του
SNR/bit σ' ένα βέλτιστο σύστηµα.
10 −1
Από την καµπύλη φαίνεται ότι (καθώς το r τείνει στο 0), παίρνουµε
Eb
N0
= ln 2 = 0,693 ≈ −1,6 dB
min
Η τιµή αυτή του Eb/N0 είναι ένα απόλυτο ελάχιστο για αξιόπιστη επικοινωνία. Με άλλα λόγια,
για αξιόπιστη επικοινωνία, πρέπει να έχουµε
Eb
> 0,693
N0
Όρια στις επικοινωνίες 9-23
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Tα θεµελιώδη όρια που υπάρχουν κατά την κωδικοποίηση των πηγών εκφράστηκαν
συναρτήσει της εντροπίας της πηγής, της “συνάρτησης ρυθµού-παραµόρφωσης” R(D), που
σχετίζεται µε την πηγή, και το αντίστοιχο µέτρο παραµόρφωσης D.
Η εντροπία δίνει ένα κατώτερο όριο για το ρυθµό ενός κώδικα που είναι σε θέση να
αναπαράγει την πηγή χωρίς σφάλµα, ενώ η συνάρτηση R(D) δίνει ένα κατώτερο όριο για το
ρυθµό ενός κώδικα που είναι ικανός να αναπαράγει την πηγή µε δεδοµένη παραµόρφωση D.
Αν θέλουµε να µεταδώσουµε µία πηγή U εντελώς αξιόπιστα µέσω ενός καναλιού
χωρητικότητας C, απαιτούµε να έχουµε
H (U ) < C
Αν είναι ικανοποιητική µετάδοση µε µέγιστη παραµόρφωση ίση µε D, τότε η απαίτηση γίνεται
R(D) < C
Αυτές οι δύο σχέσεις ορίζουν τα θεµελιώδη όρια της διαβίβασης πληροφορίας. Και στις δύο
περιπτώσεις, δεχθήκαµε ότι για την έξοδο κάθε πηγής είναι δυνατή η µετάδοση µέσω του
καναλιού.
Όρια στις επικοινωνίες 9-24
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Π Ο Μ Π Ο Σ
Κανάλι
Σήµα
Εξόδου
Μετατροπέας
εξόδου
∆ Ε Κ Τ Η Σ
Ο ρόλος του κωδικοποιητή καναλιού είναι να εισάγει, κατά έναν ελεγχόµενο τρόπο, κάποιο πλεονασµό
στη δυαδική ακολουθία πληροφορίας ο οποίος να µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο δέκτη για να κατανικήσει
τις επιδράσεις του θορύβου. Έτσι αυξάνεται η αξιοπιστία των λαµβανοµένων δεδοµένων.
Ένας (τετριµµένος) τρόπος κωδικοποίησης µίας δυαδικής ακολουθίας πληροφορίας είναι απλώς η
επανάληψη κάθε δυαδικού ψηφίου m φορές, όπου m θετικός ακέραιος
1
0
1 1
Κωδικοποιητής
καναλιού
111 000 111 111
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-25
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Π Ο Μ Π Ο Σ
110
Σήµα
Εξόδου
Ψηφιακός
διαµορφωτής
Μετατροπέας
εξόδου
111 111 000
Αποκωδικοποιητής
καναλιού
∆ Ε Κ Τ Η Σ
110
Κανάλι
Ψηφιακός
αποδιαµορφωτής
111 111 000
Ο προστιθέµενος πλεονασµός στην ακολουθία πληροφορίας χρησιµοποιείται από τον αποκωδικοποιητή
καναλιού στην αποκωδικοποίηση της επιθυµητής ακολουθίας πληροφορίας.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-26
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Ψηφιακός
διαµορφωτής
Π Ο Μ Π Ο Σ
110
Σήµα
Εξόδου
Μετατροπέας
εξόδου
111 111 000
Αποκωδικοποιητής
καναλιού
∆ Ε Κ Τ Η Σ
Αποκωδικοποιητής
πηγής
110
Κανάλι
Ψηφιακός
αποδιαµορφωτής
111 101 000
Σφάλµα στη µετάδοση
Ο προστιθέµενος πλεονασµός στην ακολουθία πληροφορίας χρησιµοποιείται από τον αποκωδικοποιητή
καναλιού στην αποκωδικοποίηση της επιθυµητής ακολουθίας πληροφορίας. Έτσι, ο προστιθέµενος
πλεονασµός χρησιµεύει στο να αυξήσει την αξιοπιστία των λαµβανόµενων δεδοµένων και να βελτιώνει
την πιστότητα του λαµβανόµενου σήµατος.
Ο κύριος σκοπός της χρήσης κωδικοποίησης στα συστήµατα επικοινωνίας είναι να αυξήσουµε την
Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ των µεταδιδόµενων σηµάτων και έτσι να µειώσουµε την πιθανότητα
σφάλµατος υπό δεδοµένη ισχύ εκποµπής.
Τα συστήµατα ψηφιακής επικοινωνίας µπορούν να µεταδώσουν δεδοµένα µε διαφορετικούς ρυθµούς
µετάδοσης (transmission rate). Ο ρυθµός µετάδοσης µιας ζεύξης µετρείται σε bits/sec.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-27
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Μελετάµε δύο σηµαντικότατους τύπους κωδίκων, τους κώδικες µπλοκ (block codes) και τους
συνελικτικούς (ή συγκεραστικούς) κώδικες (convolutional codes).
Σ' έναν κώδικα µπλοκ, η ακολουθία των bits πληροφορίας έχει κατατµηθεί σε διαδοχικά µπλοκ
µήκους k bits και κάθε µπλοκ έχει απεικονισθεί στην είσοδο του καναλιού µ' ένα µπλοκ µήκους
n-bits (n > k), καλούµενη κωδική λέξη.
Μπλοκ από k bits
1
2
3
⋯
k bits πληροφορίας
Κωδικές λέξεις των n bits
k
Κωδικοποιητής
καναλιού
1
2
3
⋯
k bits πληροφορίας
k k +1
⋯
n
n-k bits ελέγχου
Η απεικόνιση αυτή είναι ανεξάρτητη από τα προηγούµενα µπλοκ, δηλαδή δεν υπάρχει µνήµη
από ένα µπλοκ προς ένα άλλο επόµενο.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-28
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Στους συνελικτικούς κώδικες, υπάρχει ένας ολισθητής-καταχωρητής µήκους k·L. Τα bits
πληροφορίας µπαίνουν στον ολισθητή-καταχωρητή, k bits κάθε φορά, και στην έξοδο του
κωδικοποιητή βγαίνουν n bits τα οποία είναι ένας γραµµικός συνδυασµός διαφόρων bits του
ολισθητή, και στη συνέχεια µεταδίδονται µέσω του καναλιού.
L·k βαθµίδες
bits
πληροφορίας
Ρυθµός = rb
1
…
2
k
1
…
2
k
1
…
2
k
Ένας συνελικτικός
κωδικοποιητής.
Μεταγωγέας
1
2
3
n
Κωδικοποιηµένη
ακολουθία
προς διαµορφωτή
Κωδικός ρυθµός Rc =
n
k
Τα n αυτά bits εποµένως εξαρτώνται όχι µόνον από τα πιο πρόσφατα k bits που µόλις µπήκαν
στον ολισθητή, αλλά επίσης και από τα (L – 1)·k προηγούµενα που περιέχονται στο ολισθητή
και αποτελούν την κατάστασή του (state).
Η ποσότητα mc = L ορίζεται ως µήκος εξαναγκασµού (constraint length) του συνελικτικού
κώδικα.
Η κύρια διαφορά µεταξύ των κωδίκων µπλοκ και των συνελικτικών κωδίκων είναι η ύπαρξη
µνήµης στους δεύτερους.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-29
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Για να µελετήσουµε τις απαιτήσεις της κωδικοποίησης σε εύρος-ζώνης, παρατηρούµε ότι εάν
δεν χρησιµοποιείται κώδικας, το χρονικό εύρος των χρησιµοποιούµενων παλµών για τη
µετάδοση ενός bit είναι
Tb =
1
R
Με τη χρήση κώδικα, στο ίδιο χρονικό διάστηµα που θα µεταδίδαµε k παλµούς, πρέπει τώρα να
µεταδώσουµε n παλµούς, πράγµα που σηµαίνει ότι η διάρκεια του καθενός θα είναι µειωµένη
κατά έναν παράγοντα k/n = Rc. Εποµένως, ο λόγος διεύρυνσης εύρους-ζώνης (bandwidthexpansion ratio) δίνεται από την
Wcoding
1 n
=
=
B=
Wno coding Rc k
Έτσι, το εύρος-ζώνης έχει αυξηθεί αναλογικά. Μπορεί να αποδειχθεί ότι σ' ένα κανάλι AWGN,
υπάρχει µία σειρά κωδίκων µε παραµέτρους (ni,ki) µε σταθερό κωδικό ρυθµό (ki/ni = Rc
ανεξάρτητα του i) που ικανοποιούν την
Rc =
k 1
P
< log 1 +
n 2
N 0 ⋅W
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-30
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Γραµµικοί κώδικες µπλοκ
Ένας (n, k) κώδικας µπλοκ ορίζεται πλήρως από M = 2k δυαδικές ακολουθίες µήκους n που
καλούνται κωδικές λέξεις και συµβολίζονται µε ci για 1 ≤ i ≤ 2k.
C = c1 , c 2 , … , c M
κάθε ci είναι µία ακολουθία µήκους n µε συνιστώσες 0 ή 1.
Ένας κώδικας µπλοκ είναι γραµµικός αν κάθε γραµµικός συνδυασµός δύο κωδικών του
λέξεων (συνιστώσα-προς-συνιστώσα modulo-2 άθροιση ⊕ ) είναι επίσης κωδική του λέξη.
Παράδειγµα
Ο κώδικας (n, k) = (5, 2) που ορίζεται ως C = {00000, 10100, 01111, 11011} είναι γραµµικός
κώδικας.
Η γραµµικότητα ενός κώδικα εξαρτάται µόνον από τις κωδικές λέξεις και όχι από τον τρόπο µε
τον οποίο οι ακολουθίες των bits πληροφορίας απεικονίζονται στις κωδικές λέξεις.
00 → 00000
00 → 10100
01 → 01111
10 → 10100
01 → 01111
10 → 00000
11 → 11011
11 → 11011
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-31
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η απόσταση Hamming µεταξύ δύο κωδικών λέξεων ci και cj είναι ο αριθµός των συνιστωσών
στις οποίες διαφέρουν µεταξύ τους οι δύο κωδικές λέξεις και συµβολίζεται µε
d H (c i , c j
)
Το βάρος Hamming, ή απλά βάρος µιας κωδικής λέξης ci είναι το πλήθος των µη µηδενικών
συνιστωσών της κωδικής λέξης, και συµβολίζεται µε
w(ci )
Η ελάχιστη απόσταση ενός κώδικα είναι η ελάχιστη απόσταση Hamming µεταξύ δύο
οποιανδήποτε διαφορετικών κωδικών λέξεων. ∆ηλαδή,
d min = min
d (c i , c j
c ,c
i
i≠ j
j
)
Η ελάχιστη απόσταση ενός κώδικα, όπως θα δούµε, συνδέεται µε την ικανότητά του διόρθωσης
ή αναγνώρισης σφάλµατος.
Το ελάχιστο βάρος ενός κώδικα είναι το ελάχιστο των βαρών των κωδικών λέξεων εκτός της
κωδικής λέξης µε όλο µηδενικά. ∆ηλαδή,
w min = min
w(c i )
c ≠0
i
Σε οποιονδήποτε γραµµικό κώδικα αποδεικνύεται ότι dmin = wmin.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-32
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Περιγραφή γραµµικών κωδίκων µπλοκ µε πίνακες
Σε ένα (n, k) γραµµικό κώδικα µπλοκ αν έχουµε την αντιστοιχία των ειδικών ακολουθιών
πληροφορίας ei (1 ≤ i ≤ k) στις κωδικές λέξεις gi 1 ≤ i ≤ k.
e 1 = (100 … 0 )
→ g1
e 2 = ( 010 … 0 ) → g 2
⋮
⋱ ⋮
e k = ( 000 …1) → g k
τότε επειδή οποιαδήποτε ακολουθία x = (x1, x2, …, xk) µπορεί να γραφεί ως
k
x = ∑ xi e i
η αντίστοιχη κωδική λέξη είναι
i =1
k
c = ∑ xi g i
i =1
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-33
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ορίζουµε το γεννήτορα πίνακα για τον κώδικα αυτό ως
g 1 g 11
g
ορισµός g
2
G = = 21
⋮ ⋮
g k g k1
g 12
g 22
⋮
gk 2
… g1n
… g2n
⋱
⋮
… g kn
τότε η κωδική λέξη c η οποία αντιστοιχεί ακολουθία πληροφορίας x δίνεται από την
c = x ⋅G
Για το κώδικα (5,2) στον οποίο η απεικόνιση µεταξύ των λέξεων πληροφορίας και των
κωδικών λέξεων είναι
00 → 00000
01
10
→
→
01111
10100
11
→
11011
ο γεννήτορας πίνακας είναι ο
10100
G=
01111
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-34
Σεραφείµ Καραµπογιάς
c = x ⋅G
10100
10100
=
(
1
,
1
)
⋅
= (1, 1, 0 , 1,1 )
01111
01111
( c1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 ) = ( x1 , x 2 ) ⋅
Ένας κώδικας ονοµάζεται συστηµατικός κώδικας όταν η κωδική λέξη που αντιστοιχεί σε κάθε
λέξη πληροφορίας αρχίζει µε την αντιγραφή της ακολουθίας των bits πληροφορίας.
Τα πρόσθετα bits που ακολουθούν τα bits πληροφορίας στην κωδική λέξη λέγονται bits ελέγχου
ισοτιµίας.
Ο γεννήτορας πίνακας ενός συστηµατικού κώδικα έχει τη µορφή
G = [I k | P ]
όπου Ik δηλώνει έναν k × k µοναδιαίο πίνακα και P είναι ένας δυαδικός πίνακας k × (n – k).
Για ένα συστηµατικό κώδικα, έχουµε
xi ,
ci = k
∑ j =1 p ji x j ,
1≤ i ≤ k
k +1 ≤ i ≤ n
όπου όλες οι προσθέσεις είναι modulo-2.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-35
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ένας γραµµικός κώδικας µπλοκ C είναι εξορισµού ένας k-διάστατος γραµµικός υπόχωρος του
n-διάστατου χώρου.
Το ορθογώνιο συµπλήρωµα του k-διάστατου υποχώρου είναι ο (n – k)-διάστατος υποχώρος
που περιέχει όλες τις ακολουθίες µήκους n που είναι ορθογώνιες προς όλα τα διανύσµατα του
k-διάστατου υποχώρου
Ο (n – k)-διάστατος αυτός υπόχωρος ορίζει έναν (n, n – k) γραµµικό κώδικα που είναι γνωστός
ως δυϊκός του αρχικού (n, k) κώδικα C και συµβολίζεται µε CT.
Οι κωδικές λέξεις του αρχικού κώδικα C και εκείνες του CT είναι ορθογώνιες οι µεν προς τι δε.
Αν συµβολίσουµε τον γεννήτορα πίνακα του δυϊκού κώδικα µε Η, που είναι ένας πίνακας
(n – k) × n, τότε κάθε κωδική λέξη του αρχικού κώδικα C είναι ορθογώνια προς όλες τις
γραµµές του Η, δηλαδή, cHt = 0 για όλα τα c του C.
Ο γεννήτορας πίνακας του δυϊκού κώδικα CT, Η, είναι ένας πίνακας (n – k) × n και καλείται
πίνακας ελέγχου ισοτιµίας του αρχικού κώδικα C.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-36
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Κάθε κωδική λέξη του αρχικού κώδικα C είναι ορθογώνια προς όλες τις γραµµές του H,
δηλαδή,
c ⋅ H t = 0 για όλα τα c ∈ C
και επειδή όλες οι γραµµές του γεννήτορα πίνακα είναι κωδικές λέξεις, ισχύει
G ⋅Ht = 0
Ο πίνακας ελέγχου ισοτιµίας µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την επαλήθευση του αν µία δυαδική
ακολουθία µήκους n ανήκει στον κώδικα.
Στην ειδική περίπτωση συστηµατικού πίνακα ο πίνακας ελέγχου ισοτιµίας έχει τη µορφή
[
H = − P t | I n−k
Σηµειώνεται ότι στη δυαδική περίπτωση
]
− P t =. P t
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-37
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Κώδικες Hamming
Οι κώδικες Hamming είναι µία κατηγορία γραµµικών κωδίκων µπλοκ µε n = 2m –1, k = 2m – m
– 1 και dmin= 3, για κάθε ακέραιο m ≥ 2.
Οι κώδικες Hamming αποδεικνύεται ότι έχουν διορθωτική ικανότητα ενός απλού σφάλµατος.
Ο πίνακας ελέγχου ισοτιµίας αυτών των κωδίκων αποτελείται από όλες τις δυαδικές
ακολουθίες µήκους m εκτός της ακολουθίας που έχει όλο µηδενικά.
Ένας (7, 4) κώδικας Hamming συστηµατικής µορφής µπορεί να έχει πίνακα ελέγχου
ισοτιµίας τον ακόλουθο
1
H = 1
0
0
1 11
0
1
0 10
1
1
1 10
0
0
0
01
1
1
0
00
1
0
1
01
0
0
0
11
1
0
0
1
οπότε ο γεννήτορας πίνακας είναι
1
0
G=
0
0
0
1
1
1
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-38
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Αποκωδικοποίηση “Soft-Απόφασης”
Η φώραση-σήµατος η οποία βασίζεται στην Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ του λαµβανόµενου
και του διαβιβαζόµενου σήµατος ονοµάζεται αποκωδικοποίηση soft-απόφασης.
Αν χρησιµοποιηθεί δυαδικό PSK
E
− E
0
d 12E
=2 E
Αστερισµός δυαδικού PSK
1
Μία κωδική λέξη ci = (ci1, ci2, …, cin) απεικονίζεται στην ακολουθία
n
s i ( t ) = ∑ ψ ik ( t − ( k − 1) T )
k =1
όπου
ψ ik
ψ ( t ),
(t ) =
− ψ ( t ),
c ik = 1
c ik = 0
Το σήµα ψ ( t ) είναι ένα σήµα διάρκειας T και ενέργειας E , που είναι ίσο µε µηδέν έξω από το
διάστηµα [0, Τ].
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-39
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ δύο οιωνδήποτε κυµατοµορφών σήµατος είναι
( ) = ∑ (± 2
d ijE
2
E
1≤ k ≤ n
k : c ik ≠ c jk
)
2
= 4 d ijH E
αυτή δίνει µία απλή σχέση µεταξύ Ευκλείδειας και Hamming απόστασης όταν χρησιµοποιείται ένα σχήµα σηµατοδοσίας PSK (ή οποιοδήποτε άλλο σχήµα αντίποδης σηµατοδοσίας).
Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά αντίποδα σήµατα είναι
Pe = Q
2E
N0
και επειδή
d =2 E
E
έχουµε
Pe = Q
dE
2 N0
αν χρησιµοποιηθεί η σχέση µεταξύ Ευκλείδειας και Hamming απόστασης έχουµε
P ( j λήφθηκε | i στάλθηκε ) = Q
d ijH 2 E
N0
Η Q ( y ) είναι µία φθίνουσα συνάρτηση του y. Επίσης dij ≥ dmin έτσι έχουµε το ακόλουθο
φράγµα στην πιθανότητα σφάλµατος ενός συστήµατος το οποίο χρησιµοποιεί αντίποδη
σηµατοδοσία.
P ( j λήφθηκε | i στάλθηκε ) = Q
d min 2 E
N0
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-40
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Γνωρίζουµε ότι για M-αδικά ορθογώνια σήµατα, η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου PM
φράσσεται εκ των άνω από το φράγµα ένωσης (union bound)
PM ≤ ( M − 1) ⋅ P2 = ( M − 1) ⋅ Q
Es
N0
Χρησιµοποιώντας το φράγµα αυτό έχουµε
P (σφάλµα | i στάλθηκε
) ≤ ( M − 1) ⋅ Q
d min 2 E
N0
και αν δεχθούµε ισοπίθανα µηνύµατα, έχουµε τελικά για την πιθανότητα σφάλµατος
Pe ≤ ( M − 1) ⋅ Q
d min 2 E
N0
Με τον όρο βέλτιστη αποδιαµόρφωση, εννοούµε ότι περνάµε το λαµβανόµενο σήµα r(t) µέσα
από µία συστοιχία προσαρµοσµένων φίλτρων για να επιτύχουµε ένα λαµβανόµενο διάνυσµα r,
και κατόπιν βρίσκουµε το πλησιέστερο προς το r σηµείο του αστερισµού υπό την έννοια της
Ευκλείδειας απόστασης.
Ο τύπος αυτός αποκωδικοποίησης που εµπλέκει την εύρεση της ελάχιστης Ευκλείδειας
απόσταση καλείται αποκωδικοποίηση soft-απόφασης, και απαιτεί υπολογισµούς µε
πραγµατικούς αριθµούς.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-41
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Για ορθογώνια σηµατοδοσία
ψ 2 (t )
(
s 2 = 0,
E
)
d 12E =
s1 =
2E
(
E ,0
)
ψ 1 (t )
Σηµεία σήµατος για ορθογώνια σύµβολα.
Η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ δύο οιωνδήποτε κυµατοµορφών σήµατος είναι
(d ijE )2 = ∑ [ψ 1 ( t ) − ψ 2 ( t ) ]2 dt = 2 d ijH E
1≤ k ≤ n
k : c ik ≠ c jk
Το φράγµα στην πιθανότητα σφάλµατος ενός συστήµατος το οποίο χρησιµοποιεί ορθογώνια
σηµατοδοσία είναι
P ( j λήφθηκε | i στάλθηκε ) = Q
d min E
N0
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-42
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Αποκωδικοποίηση “Hard-Απόφασης”
Ένας απλούστερος τρόπος αποκωδικοποίησης είναι να πάρουµε αποφάσεις ως προς τις
συνιστώσες του λαµβανόµενου διανύσµατος r, και έπειτα να βρούµε την κωδική λέξη που
βρίσκεται πλησιέστερα σε αυτήν.
Κατά την αποκωδικοποίηση µε hard-απόφαση ακολουθούνται τρία βασικά στάδια.
Ενπρώτοις, εκτελούµε αποδιαµόρφωση περνώντας το λαµβανόµενο r(t) µέσω των
προσαρµοσµένων φίλτρων και δειγµατοληπτώντας την έξοδο για να πάρουµε το διάνυσµα r.
Στη συνέχεια, “κβαντίζουµε” κάθε µία συνιστώσα µε τη βοήθεια ενός κατωφλίου για να
πάρουµε το δυαδικό διάνυσµα y.
Τέλος, αποκωδικοποιούµε βρίσκοντας την κωδική λέξη που είναι εγγύτερη στο y υπό την
έννοια απόστασης Hamming.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-43
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παράδειγµα
Κώδικας µπλοκ (3, 1) µε κωδικές λέξεις 000 και 111 οι οποίες µεταδίδονται µε διαµόρφωση
δυαδικού PSK µε E = 1.
E =1
− E = −1
Ο αστερισµός του δυαδικού PSK είναι
0
Αν το λαµβανόµενο διάνυσµα είναι r = (0,5 0,5 -3).
d 12E = 2
1
Η Ευκλείδεια απόσταση του r από τα δύο σηµεία (1, 1, 1) και (-1, -1, -1) είναι αντίστοιχα
(d
(d
E
E
( r , (1, 1, 1) ) ) = ( 0 , 5 ) 2 + ( 0 , 5 ) 2 + ( 4 ) 2 = 16 , 5
2
( r , ( − 1, − 1, − 1) ) ) = (1, 5 ) 2 + (1, 5 ) 2 + ( − 2 ) 2 = 8 , 5
2
Εποµένως η soft-απόφαση οδηγεί στην αποκωδικοποίηση του r ως (-1, -1, -1), δηλαδή, στην
κωδική λέξη 000.
Αν χρησιµοποιηθεί hard-απόφαση το διάνυσµα που προκύπτει από τη σύγκριση των
συνιστωσών του r ως προς το κατώφλι µηδέν είναι y = (1, 1, 0).
Η πλησιέστερη κωδική λέξη υπό την έννοια της απόστασης Hamming είναι το 111.
Η αποκωδικοποίηση soft-απόφασης είναι η βέλτιστη µέθοδος και επιτυγχάνει µικρότερη
πιθανότητα σφάλµατος.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-44
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Συστηµατικός τρόπος αποκωδικοποίησης µε hard-απόφαση
Μία τυπική διάταξη είναι ένας 2n
ακολουθίες µήκους n.
× 2k πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι δυαδικές
– k
Στη πρώτη γραµµή γράφονται όλες οι κωδικές λέξεις, ci 1 ≤ i ≤ 2k, ξεκινώντας από την “όλοµηδενικά” λέξη c1.
c1
c2
c3
… cM
Από τις υπόλοιπες ακολουθίες µήκους n που δεν έχουν γραφεί στην πρώτη γραµµή διαλέγουµε
µία που έχει το ελάχιστο βάρος, την καλούµε e1 και τη γράφουµε κάτω από την c1.
c1
c2
c3 … c M
e1
_
_
…
_
Κάτω από κάθε µία από τις ci γράφουµε την e 1 ⊕ c i για 2 ≤ i ≤ M.
c1
c2
e1
e1 ⊕ c 2
c3
…
cM
e1 ⊕ c 3 … e1 ⊕ c M
Η τρίτη γραµµή συµπληρώνεται κατά τον ίδιο τρόπο. Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρις ότου
δεν µείνει καµιά δυαδική n-άδα για να αρχίσουµε νέα γραµµή.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-45
Σεραφείµ Καραµπογιάς
c1
c2
c2
…
cM
e1
e2
⋮
e1 ⊕ c 2
e2 ⊕ c2
⋮
e1 ⊕ c 3
e2 ⊕ c3
⋮
…
…
⋱
e1 ⊕ c M
e2 ⊕ cM
⋮
e 2 n−k −1
e 2 n−k −1 ⊕ c 2
συνοµάδα
e 2 n−k −1 ⊕ c 3 … e 2 n−k −1 ⊕ c M
οδηγός συνοµάδας
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-46
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η τυπική διάταξη έχει τις ιδιότητες
Όλα τα στοιχεία τυπικής διάταξης είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Εποµένως η τυπική
διάταξη περιέχει ακριβώς 2n – k γραµµές.
Αν y1 και y2 είναι στοιχεία της ίδιας συνοµάδας, έχουµε y1 Ht = y2 Ht. Εποµένως κάθε
συνοµάδα της τυπικής διάταξης µπορεί να αναγνωριστεί µονοσήµαντα από το γινόµενο el Ht
Για οποιαδήποτε ακολουθία y µήκους n, ορίζουµε ως σύνδροµο s το
s = y ⋅Ht
Αν η y ανήκει στην (l + 1)-στη συνοµάδα y = e l ⊕ c i , τότε προφανές s = el Ht.
Το σύνδροµο είναι µία δυαδική ακολουθία µήκους n – k και σε κάθε υποµάδα αντιστοιχεί ένα
µοναδικό σύνδροµο.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-47
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ιαδικασία αποκωδικοποίησης µε hard-απόφαση
1. Βρείτε το διάνυσµα r που αντιπροσωπεύει το λαµβανόµενο σήµα.
2. Συγκρίνετε κάθε συνιστώσα του r µε το βέλτιστο κατώφλι και πάρετε µία δυαδική απόφαση
για κάθε σύγκριση για να αποκτήσετε το δυαδικό διάνυσµα y.
3. Βρείτε το σύνδροµο s = y Ht του y.
4. Βρείτε µε τη χρήση της τυπικής διάταξης την συνοµάδα που αντιστοιχεί στο s.
5. Βρείτε τον οδηγό της συνοµάδας e, και αποκωδικοποιείστε το y ως
c=y⊕ e
Η διαφορά µεταξύ του διανύσµατος y και του αποκωδικοποιηµένου διανύσµατος c είναι e, η
δυαδική n-άδα e αναφέρεται συχνά ως ίχνος σφάλµατος.
Οι οδηγοί συνοµάδας αποτελούν το σύνολο των διορθώσιµων ιχνών σφάλµατος
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-48
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παράδειγµα
∆ίνεται ο κώδικας (5, 2) µε κωδικές λέξεις τις 00000, 01111, 10100 και 11011.
Ο γεννήτορας πίνακας του κώδικα είναι
1 0 1 0 0
G=
0 1 1 1 1
Ο πίνακας ελέγχου της ισοτιµίας G είναι
1 1 1 0 0
H = 0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
Η τυπική διάταξη του κώδικα είναι
Οδηγός
συνοµάδας
00000
10000
01000
00010
00001
11000
10010
10001
Σύνδροµο
01111
11111
00111
01101
01110
10111
11101
11110
10100
00100
11100
10110
10101
01100
00110
00101
11011
01011
11011
11001
11010
00011
01001
01010
000
100
111
010
001
011
110
101
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-49
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ανίχνευση Σφάλµατος έναντι ∆ιόρθωσης Σφάλµατος
Γύρω από κάθε κωδική λέξη υπάρχει µία “σφαίρα Hamming” ακτίνας ec, όπου ec δηλώνει τον
αριθµό των διορθώσιµων σφαλµάτων
d min
d min
c1
c2
ec
c1
ec
c2
ec
ec
d min άρτιο
d min περιττό
Σχέση µεταξύ ec και dmin
Όταν οι σφαίρες Hamming είναι µη επικαλυπτόµενες, ο κώδικας είναι σε θέση να διορθώσει
τα ec σφάλµατα.
Η συνθήκη για την µη επικάλυψη των σφαιρών είναι
d min −1 , d min περιττό
ec = d 2 −2
min2 , d min άρτιο
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-50
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Όταν ενδιαφερόµαστε να ανιχνεύουµε την ύπαρξη σφαλµάτων παρά να τα διορθώνουµε τότε
e d = d min − 1
όπου ed το πλήθος σφαλµάτων µέχρι τα οποία ο κώδικας έχει την ικανότητα να ανιχνεύει
ύπαρξη σφάλµατος.
Αν είναι επιθυµητό να γίνεται και διόρθωση και ανίχνευση σφάλµατος τότε
d min
c1
c2
ec
ed
ec
Σχέση µεταξύ ec, ed και dmin
παρατηρούµε ότι
e c + e d = d min − 1
( ec ≤ ed )
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-51
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παράδειγµα
∆ίνεται ο (7, 4) κώδικας µπλοκ µε πίνακα γεννήτορα
1
0
G=
0
0
0 0 0 1 1 1
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
Ο πίνακας ελέγχου ισοτιµίας του κώδικα είναι ο
1 1 1 0 1 0 0
H = 1 1 0 1 0 1 0
1 0 1 1 0 0 1
Για τη λέξη πληροφορίας x = (1 0 1 1) η κωδική λέξη είναι c = (1 0 1 1 | 0 0 1) και φυσικά
το σύνδροµο είναι s = (0 0 0).
έχει γίνει σφάλµα
Αν έχουµε το διάνυσµα λήψης r = (1 0 0 1 0 0 1) τότε το σύνδροµο είναι s = (1 0 1).
Το σύνδροµο s = (1 0 1), στην περίπτωση αυτή όπου έχει γίνει µόνο ένα σφάλµα, είναι η
τρίτη σειρά του πίνακα Ht.
Ο τρόπος αυτός δεν λειτουργεί σωστά όταν εµφανίζονται πολλαπλά σφάλµατα.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-52
Σεραφείµ Καραµπογιάς
ΣΥΝΕΛΙΚΤΙΚΟΙ
ΚΩ∆ΙΚΕΣ
Σε ένα συνελικτικό κώδικα, κάθε µπλοκ των k bits απεικονίζεται, όπως και στους κώδικες
µπλοκ, σε ένα µπλοκ των n bits που διαβιβάζονται µέσα από το κανάλι.
Τα n αυτά bits δεν καθορίζονται µόνον από τα τρέχοντα k bits πληροφορίας αλλά επίσης και
επίσης και από προηγούµενα bits πληροφορίας.
L·k βαθµίδες
bits
πληροφορίας
Ρυθµός = rb
1
…
2
k
1
2
…
k
1
2
…
k
Κωδικοποιηµένη
ακολουθία
προς διαµορφωτή
…
1
2
k
Ρυθµός = n rb
n
3
Μεταγωγέας
Το διάγραµµα βαθµίδων ενός συνελικτικού κώδικα
Οι n-άδες εξόδου του κωδικοποιητή δεν εξαρτώνται µόνον από τα k πιο πρόσφατα bits εισόδου
του κωδικοποιητή αλλά επίσης και από τα ( L – 1 )·k bits πληροφορίας που περιείχαν οι πρώτες
( L – 1 )· k βαθµίδες του καταχωρητή πριν φτάσουν τα k νέα bits
Rc =
k
n
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-53
Το L καλείται µήκος εξαναγκασµού και ο κωδικός ρυθµός είναι
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ψηφία µηνύµατος
Ρυθµός = rb
D1
D2
D3
c 3 Μεταγωγέας
c2
c1
Έξοδος
Ρυθµός = 3 rb
Παράδειγµα συνελικτικού κωδικοποιητή µε L = 3, n = 3, k = 1,
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-54
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆εχόµαστε ότι ο ολισθητής καταχωρητής είναι αρχικά µηδενισµένος.
0
0
0
Έστω ότι το πρώτο bit δεδοµένων είναι 1. Όταν το bit αυτό εισέλθει στον ολισθητή
καταχωρητή το περιεχόµενο τους είναι 1 0 0.
1
0
0
1
1
1
και οι αντίστοιχες έξοδοι των τριών αθροιστών είναι 1 1 1.
Στο τέλος του χρονικού διαστήµατος [0, Τb] ο µεταγωγέας δειγµατοληπτεί τις τρεις εξόδους
των αθροιστών.
Παρατηρούµε ότι σε κάθε ένα bit µηνύµατος ο κωδικοποιητής δίνει τρία bit εξόδου.
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-55
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Tb
0
2Tb
3Tb
4Tb
5Tb
Χρόνος
0 0 0
d1
d 2 d1
d 3 d 2 d1
d4 d3 d2
d5 d4 d3
1 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0
0 1 1
Περιεχόµενο
καταχωρητών
111
1 01
011
01 0
0 01
Έξοδος
Το d1 επηρεάζει αυτά τα 9 bits
Το d2 επηρεάζει αυτά τα 9 bits
Το d3 επηρεάζει αυτά τα 9 bits
Η λειτουργία κωδικοποίησης του συνελικτικού κωδικοποιητή
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-56
Σεραφείµ Καραµπογιάς
di
d i +1
d i+2
0
0
( 000 )
( 000 )
1
0
(111 )
( 000 )
0
1
(101 )
(111 )
1
d i −1 = 0
( 010 )
d i−2 = 0
0
0
(100 )
(101)
1
1
( 011 )
(111)
0
1
( 001 )
( 010 )
1
(110 )
Κωδικές λέξεις των 9 bits
που επηρεάζονται από το di
000 000 000
000 000 111
000 111 101
000 111 010
111 101 100
111 101 011
111 010 001
111 010 110
Κωδικό δένδρο
του συνελικτικού
κωδικοποιητή
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-57
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παράδειγµα
L=3
k =1
n=2
Το πλήθος των καταστάσεων είναι
Το διάγραµµα ενός συνελικτικού
κωδικοποιητή ρυθµού 1/2
2 ( L −1 ) k = 4
Οι γεννήτορες ακολουθίες του συνελικτικού κώδικα είναι
g 1 = [1 0 1]
g 2 = [1 1 1]
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-58
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικές ιδιότητες των συνελικτικών κωδίκων
Ένας συνελικτικός κώδικας έχει πεπερασµένη
µνήµη, µπορεί να αναπαρασταθεί µε ένα
διάγραµµα µετάπτωσης καταστάσεων (statetransition diagram).
Οι µεταπτώσεις µεταξύ καταστάσεων δηλώνονται µε βέλη τα οποία συνδέουν τα τετράγωνα, προσδιορίζοντας µε τη φορά τους τις
αφίξεις ή αποχωρήσεις από την κατάσταση.
Σε κάθε βέλος προσδιορίζεται τόσο η είσοδος
στον κωδικοποιητή, που προκάλεσε την µετάπτωση, όσο και η έξοδος του κωδικοποιητή.
0 00
00
0 11
1 11
0 01
10
01
1 00
0 10
1 10
11
∆ιάγραµµα Μετάπτωσης καταστάσεων για τον κωδικοποιητή
1 01
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-59
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Μία δεύτερη µέθοδος περιγραφής των συνελικτικών κωδίκων είναι ο καθορισµός του
διαγράµµατος δικτυώµατος (trellis diagram) που αντιστοιχεί στον κώδικα.
Για να κατασκευάσουµε το διάγραµµα trellis τοποθετούµε σ'
έναν κατακόρυφο άξονα όλες τις δυνατές καταστάσεις και
επαναλαµβάνουµε τον άξονα αυτόν για κάθε χρονική
περίοδο µετάπτωσης.
Κατόπιν, κάθε µετάπτωση από µία κατάσταση σε µία άλλη
δηλώνεται µε ένα ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει τα
παραστατικά σηµεία των δύο καταστάσεων σε δύο
διαδοχικούς κατακόρυφους άξονες.
Στην περίπτωση που k = 1, δηλώνουµε συνήθως τον κλάδο
που αντιστοιχεί στην είσοδο του 0 µε έντονη συνεχή γραµµή
και τον κλάδο που αντιστοιχεί στην είσοδο του 1 µε
διακεκοµµένη γραµµή.
Κατάστάσεις
α
00
b
01
c
10
d
11
00
11
Χρόνος
t =T
Παράδειγµα
Ποια είναι η κωδικοποιηµένη ακολουθία που αντιστοιχεί στην ακολουθία πληροφορίας
x = (1101011)
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-60
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Κατάστάσεις
α
00
b
01
c
10
d
11
t =0
t =T
0 00
0 11
00
t = 2T
t = 3T
t = 4T
t = 5T
t = 6T
t = 7T
Χρόνος
1 11
0 01
10
01
1 00
0 10
11
1 01
1 10
Κωδικοποιητής - αποκωδικοποιητής καναλιού 9-61
© Copyright 2025 Paperzz
