Σεραφείµ Καραµπογιάς Ι∆ΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ e − j ω t0 , | ω | < ω c |ω | > ωc 0, H (ω ) = όπου ωc είναι η συχνότητα αποκοπής. | H (ω ) | arg H (ω ) 1 Ζώνη αποκοπής −ω c κλίση = - t0 Ζώνη διέλευσης ωc ω ω Ζώνη αποκοπής Η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήµα εισόδου, µε φασµατικό περιεχόµενο εντοπισµένο στη ζώνη διέλευσης, είναι µια χρονική καθυστέρηση t0. | H (ω ) | x (t ) 0 t −ω c y (t ) = x (t − t 0 ) 1 ωc 0 t0 t Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-13 Σεραφείµ Καραµπογιάς x1 (t ) y1 (t ) H (ω ) argH(ω) t t0 1 −ω c κλίση = – t0 ωc t ω x2 (t ) y 2 (t ) H (ω ) argH(ω) t0 1 t −ω c κλίση = – t0 x (t ) = x1 (t ) + x2 (t ) ωc t ω y (t ) = y1 (t ) + y 2 (t ) H (ω ) argH(ω) t t0 1 −ω c κλίση = – t0 ωc ω Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-14 t Σεραφείµ Καραµπογιάς x1 (t ) y1 (t ) H (ω ) argH(ω) t x2 (t ) t1 1 ωc −ω c y 2 (t ) H (ω ) argH(ω) t x (t ) = x1 (t ) + x2 (t ) t2 1 ωc −ω c t ω y (t ) = y1 (t ) + y 2 (t ) H (ω ) argH(ω) t t ω 1 −ω c ωc t ω Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-15 Σεραφείµ Καραµπογιάς sin (ω c t ) x (t ) = πt x (t ) − ωπ ω < ωc 1, X (ω ) = 0, ω = Π 2 ω αλλι ωɺ ς c X (ω ) ωc π 1 π ωc c 0 −ω c t 0 ω ωc Ολίσθηση στο χρόνο για κάθε πραγµατικό αριθµό t0 είναι F x (t − t 0 ) ←→ e − j ω t 0 X (ω ) sin [ωc (t − t0 )] h (t ) = π (t − t0 ) H (ω ) = e − jω t 0 ⋅ Π ( ) ω 2ω C Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-16 Σεραφείµ Καραµπογιάς Το αποτέλεσµα της παραθύρωσης Η κρουστική απόκριση του ιδανικού κατωπερατού φιλτρού sin [ω c ( t − t0 ) ] ω c ω c ( t − t0 ) h (t ) = = sinc π ( t − t0 ) π π | H (ω ) | h (t ) ωc π π −ω c t0 + ωπc t − ωc 0 ωc ω Το αποτέλεσµα της παραθύρωσης t0 Tc = t arg H (ω ) 2π ωc ω Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-17 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ιδανικά φίλτρα | H ( f )| | H ( f )| 1 1 fc 0 Ζώνη διέλευσης f fc 0 Ζώνη αποκοπής Ζώνη αποκοπής f Ζώνη διέλευσης Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο | H ( f )| | H ( f )| 1 1 0 Ζώνη αποκοπής f1 f2 Ζώνη διέλευσης f Ζώνη αποκοπής Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο 0 Ζώνη διέλευσης f1 f2 Ζώνη αποκοπής f Ζώνη διέλευσης Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-18 Σεραφείµ Καραµπογιάς Πραγµατικά φίλτρα | H ( f )| | H ( f )| LPF A A A A 2 2 0 Ζώνη διέλευσης fc f 0 Ζώνη αποκοπής Ζώνη αποκοπής Πραγµατικό βαθυπερατό φίλτρο | H ( f )| A A 2 2 Ζώνη αποκοπής f f2 Ζώνη διέλευσης f Ζώνη διέλευσης | H ( f )| A ΒPF f1 fc Πραγµατικό υψιπερατό φίλτρο A 0 HPF Ζώνη αποκοπής Πραγµατικό ζωνοπερατό φίλτρο 0 Ζώνη διέλευσης ΒRF f1 f f2 Ζώνη αποκοπής Ζώνη διέλευσης Πραγµατικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-19 Σεραφείµ Καραµπογιάς Άσκηση Να βρεθεί το ανάπτυγµα σε τριγωνοµετρική σειρά της τάσης υ(t) υ (t ) T0 = 2π V −π −2π π 0 2π π 2 T1 t T0 4 Από το Παράδειγµα 3.6 έχουµε T0 = 4 T1 x (t ) 1 − T0 − T0 2 − T1 0 T1 T0 a −1 2 T0 t 1 2 a0 2 π a1 ak 2 π −2 1 2 2π 2 2π 2π 2 x (t ) = + cos t − cos 3 t + cos 5 t −… 2 π T0 3π T0 5π T0 0 2 Παρατηρούµε ότι η τάση εισόδου υ(t) είναι ένα περιοδικό σήµα µε ω0 = 2π/Τ = 1. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι υ ( t ) = 2V 2 cos ( t ) − 2 cos ( 3t ) + 2 cos( 5t ) − … π 3π 5π Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-20 Σεραφείµ Καραµπογιάς Άσκηση 4.5 υ (t ) V −2π −π υ (t ) 0 π 2π t e − jω , |ω |< 4 H (ω ) = |ω |> 4 0, υ 0 (t ) Η τάση εισόδου υ(t) είναι ένα περιοδικό σήµα µε κυκλική συχνότητα ω0 = 2π/Τ = 1. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι 4V 1 1 ( ) ( ) υ t = cos t − cos (3 t ) + cos (5 t )+⋯ 3 5 π t0 Επειδή η συχνότητα αποκοπής του ιδανικού είναι ωc = 4, από e − j ωκατωπερατού , | ω | < ω φίλτρου c (ω ) =διέρχονται το ιδανικό κατωπερατόHφίλτρο µόνο οι δύο πρώτοι όροι, µε χρονική 0, |ω | > ωc καθυστέρηση t0 = 1. Έτσι η έξοδος του φίλτρου είναι | H (ω ) | x (t ) 0 1 y (t ) = x (t − t 0 ) 4V 1 ( ) ( ) ( ) υo t = cos −tω− 1 − cos 3 t − 1 ωc 3 π c 0 t t0 t Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-21 Σεραφείµ Καραµπογιάς Άσκηση υ (t ) V −2π −π υ (t ) 0 π 2π t υ 0 (t ) sin 4π (t − 1) h (t ) = π (t − 1) Η τάση εισόδου υ(t) είναι ένα περιοδικό σήµα µε κυκλική συχνότητα ω0 = 2π/Τ = 1. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι 4V 1 1 υ (t ) = cos ( t ) − cos (3 t ) + cos (5 t )+⋯ 3 5 π t0 ) Επειδήh (ηt −συχνότητα αποκοπής του ιδανικού κατωπερατού είναι ωc = 4, από −φίλτρου jω t e < , | | ω ω F (ω ) οι = δύο πρώτοι όροι,c µε χρονική το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο διέρχονται H µόνο |ω | > ω c 0, t του φίλτρου είναι καθυστέρηση t0 = 1.t0Έτσι η έξοδος 0 | H (ω ) | x (t ) 0 1 y (t ) = x (t − t 0 ) 4V 1 ( ) ( ) ( ) υo t = cos −tω− 1 − cos 3 t − 1 ωc 3 π c 0 t t0 t Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-22 Σεραφείµ Καραµπογιάς Άσκηση 4.6 υ (t ) V x (t ) −2π −π 0 π 2π t y (t ) d y (t ) + y (t ) = x (t ) dt Η τάση εισόδου υ(t) είναι ένα περιοδικό σήµα µε ω0 = 2π/Τ = 1. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι 4V 1 1 ( ) υ (t ) = cos t − cos 3 t + cos 5 t + ⋯ ( ) ( ) 3 5 π Στο Παράδειγµα 4.1 έχουµε υπολογίσει την απόκριση συχνότητας του συστήµατος πρώτης τάξης H (ω ) = x ( t ) = A cos (ω 0 t ) H (ω ) 1 1 + jω y ( t ) = H (ω 0 ) A cos[ ω 0 t + arg H (ω 0 ) ] Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-23 Σεραφείµ Καραµπογιάς Αν η είσοδος του συστήµατος είναι η αρµονική συνιστώσα υ1 ( t ) = ( 4 V π ) cos ( t ) τότε η έξοδος του συστήµατος είναι y1 ( t ) = H (1) 4V π cos [t + arg H (1) ] = [ 4V cos t − π 4 2π ] Με όµοιο τρόπο υπολογίζουµε την απόκριση yn(t) για κάθε αρµονική συνιστώσα υn(t), n = 2, 3, … του σήµατος εισόδου υ(t) και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της γραµµικότητας υπολογίζουµε την έξοδο του συστήµατος 4V 1 1 −1 π y (t ) = cos t − 4 − cos 3 t − tan (3) +⋯ π 2 3 10 ( ) [ ] Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-24 Σεραφείµ Καραµπογιάς Άσκηση 4.7 x (t ) 2 t 5 x ( t ) = 2 e u (t ) H (ω ) x(t ) y (t ) 1 ωc ω − ωc t 0 Ο ΜF του σήµατος εισόδου και το µέτρο του µετασχηµατισµού είναι 2 X (ω ) = 0, 2+ jω 4 0, 2 2 +ω 2 2 και X (ω ) = Η ολική ενέργεια του σήµατος εισόδου είναι ∞ ∞ 2 E εισ = x(t ) dt = −∞ 4e 2t 5 dt = − 10 e 2t 5 ∞ 0 = 10 0 Η ενέργεια του σήµατος εισόδου µπορεί να υπολογιστεί και στο πεδίο των συχνοτήτων ∞ E εισ 1 = 2π 4 2 0 , 2 +ω −∞ ∞ 2 [ 2 124 tan2 −d1 ωbx= 4 5 tan d ω =dx a π a 2 + 2bπ2 x 20 0 , 2ab+ ω −1 ( 5ω ) ] ∞ = 0 4 π 5 π 2 = 10 Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-25 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος εξόδου είναι 2 , Y (ω ) = H (ω ) X (ω ) = 0, 2 + jω 0, − ωc ≤ ω ≤ ωc αλλι ωɺ ς Θεώρηµα του Parseval ∞ Ex = ∞ 2 x(t ) dt = −∞ 1 2π ∞ 2 2 X (ω ) d ω = −∞ X( f ) d f −∞ H ολική ενέργεια του σήµατος εξόδου είναι Eεξόδ. = 1 2π ωC ωC 4 dω = 2 2 ω 0 , 2 + −ω C 0 [ 4 4 −1 d ω = 5 tan ( 5ω ) π 0 , 2 2 +ω 2 ] ωC = 0 4 π 5 tan −1 (5ω C ) Επειδή η ενέργεια του σήµατος εξόδου πρέπει να είναι ίση µε τη µισή της ενέργειας του σήµατος εισόδου, έχουµε την εξίσωση 4 π 5 tan −1 ( 5 ω c ) =5 απ’ όπου προκύπτει ω c = 0,2 rad sec Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-26 Σεραφείµ Καραµπογιάς Να βρεθεί η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας του συστήµατος. δ (t ) − δ (t − τ ) Σύστηµα ολοκλήρωσης Είσοδος x (t ) = δ (t ) Έξοδος y (t ) = h (t ) ∫ (⋅) dt Σύστηµα καθυστέρησης κατά τ δ (t − τ ) Περιγραφή του συστήµατος στο πεδίο του χρόνου. t y (t ) = h (t ) = ∫−∞ (δ (ξ ) − δ (ξ − τ ) ) dξ = u (t ) − u (t − τ ) = Π t − τ / 2 τ H 3 (ω ) = j1ω H 1 (ω ) = 1 Είσοδος H 2 (ω ) = e− Έξοδος j ωτ Περιγραφή του συστήµατος στο πεδίο συχνότητας. − jωτ 1− e H ολική (ω ) = jω 2 e = ⋅ ω − jω τ 2 e jω τ 2 2j −e − jω τ 2 = 2 ω sin ω τ 2 e − jω τ 2 =τ ( )e sin ω τ2 ω τ − jω τ 2 2 Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier 4-27
© Copyright 2024 Paperzz
