-1–
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ
http://mathhmagic.blogspot.com/
Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Επαναληπτικά)
΄΄ Ε̟ί̟εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ
δυο ευθειών του ε̟ι̟έδου ̟ου τέµνονται
και δεν κείνται ε̟ ‘ ευθείας .΄΄
ΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣ
Στοιχεια 1, Ορισµός 8
1.Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
Αν ω είναι μια οξεία γωνία ορθογωνίου τρίγωνου , τότε ορίζουμε:
ηµω =
απέναντι κάθετη πλεύρα
υποτείνουσα
συνω =
εφω =
απέναντι κάθετη πλεύρα
προσκείµενη κάθετη πλεύρα
σφω =
προσκείµενη κάθετη πλεύρα
υποτείνουσα
προσκείµενη κάθετη πλεύρα
απέναντι κάθετη πλεύρα
(σφω= συνεφαπτομένη της γωνίας ω)
Π.χ ,στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε
ηµ Γ =
γ
α
γ
α
, συν Γ =
, εφ Γ =
, σφ Γ =
β
β
α
γ
2)Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας
Έστω ω η γωνία (0 ≤ω ≤ 360o) που παράγεται
από τον ημιάξονα Οχ όταν αυτός περιστρέφεται
κατά την θετική φορά (δηλ αντίθετα με την
κίνηση των δεικτών του ρολογιού).
Ο θετικός ημιαξονας Οχ λέγεται αρχική πλευρά
της γωνίας ω , ενώ η τελική του θέση λέγεται
τελική πλευρά της γωνίας ω. Θεωρούμε τυχαίο
σημείο Μ(χ,y) της τελικής πλευράς διαφορετικό
από το 0.
Αν ρ είναι η απόσταση του Ο από το Μ, δηλαδή ρ =
ηµω =
y
ρ
συνω =
χ
ρ
εφω =
y
χ
σφω =
χ
y
(ψ ≠0)
χ 2 + y 2 > 0 , τότε ορίζουμε:
(ΙΙ)
Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ , κινούμενος κατά την θετική φορά, διαγράψει ν πλήρεις στροφές
( μια πλήρης στροφή είναι 360ο) και μετά γωνία θο ,τότε λέμε ότι έχει διαγράψει γωνία
ω = ν ⋅ 3600 + θ 0
Π.χ αν ο Οχ’ διαγράψει 2 πλήρεις στροφές και στη συνεχεία γωνία 40ο , τότε έχει διαγράψει
γωνία ω = 2 ⋅ 3600 + 400 = 7600 .
Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ κινούμενος κατά την αρνητική φορά( με τη φορά της κίνησης των
δεικτών του ρολογιού) διαγράψει ν πλήρεις στροφές και μετά γωνία θo , τότε λέμε ότι έχει
διαγράψει αρνητική γωνία ν ⋅ 3600 + θ 0 η γωνία ν ⋅ 3600 − θ 0 .
Π.χ αν ο Οχ , κινούμενος με την αρνητική φορά , διαγράψει μια πλήρη στροφή και μετά γωνία
50ο , τότε έχει διαγράψει γωνία – (360ο +50ο ) = 410ο .
Για γωνίες μεγαλύτερες των 360ο ή αρνητικές γωνίες ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς
πάλι με τους τύπους (ΙΙ).
Σύμφωνα με τα παραπάνω , όλες οι γωνίες της μορφής κ.360ο +ω
(κ∈
∈Ζ και –360ο < ω < 360ο ) έχουν την ίδια τελική πλευρά και για αυτό έχουν τους ίδιους
τριγωνομετρικούς αριθμούς με την γωνία ω. Δηλαδή έχουμε :
ημ(κ.360ο +ω)=ημω
συν(κ.360ο +ω)=συνω
εφ(κ.3600+ω)=εφω
σφ(κ. 3600+ω)=σφω
Π.χ ημ740ο =ημ(2.360ο +20ο )=ημ20ο , εφ1991ο=εφ(5. 360ο +1910) =εφ191ο
συν(-500ο )=συν(-2. 360ο +220ο ) ή συν(-360ο –140ο )=συν(-140ο
).
Ο τριγωνομετρικός κύκλος
Ο κύκλος με κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και
ακτίνα ρ=1 , λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος .
Έστω μια γωνία ω της οποίας η τελική πλευρά
τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(χ,ψ).
Αφού ρ=(ΟΜ)=1, έχουμε:
συνω=χ= τετμημένη του Μ
ημω=y= τεταγμένη του Μ
Έστω ε η εφαπτόμενη του τριγωνομετρικού
κύκλου στο Α, που τέμνει την τελική πλευρά ΟΜ
της γωνίας ω στο Γ.Από την ομοιότητα των
ορθογωνίων τρίγωνων ΟΕΜ και ΟΑΓ έχουμε:
(ΜΕ ) ( ΑΓ )
= ( ΑΓ )
=
(ΟΕ ) (ΟΑ )
[αφού (ΟΑ)=1]
Αν π.χ η ω είναι οξεία γωνία , τότε
(ΜΕ)=y=ημω , (ΟΕ)=χ=συνω
και (ΑΓ)=yΓ(τεταγμένη του Γ) και επομένως εφω=
y
χ
= yΓ .
Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται για οποιαδήποτε γωνία ω και γι αυτό η ε λέγεται
ευθεία των εφαπτόμενων.
Αν φέρουµε την εφαπτόµενη του τριγωνοµετρικού κύκλου στο Β και τέµνει την ΟΜ στο ∆ ,τότε οµοίως
βρίσκουµε
σφω =
χ
y
= χ∆ ,
(τετµηµένη του ∆)
Για το λόγο αυτό η εφαπτόμενη σ λέγεται
ευθεία των συνεφαπτομένων.
Σχόλιο: Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε τα εξής:
-Οι αριθμοί ημω και συνω παίρνουν τιμές στο διάστημα [-1,1],
δηλαδή:
-1≤
≤ ημω ≤ 1 και –1 ≤ συνω ≤ 1
-Οι αριθμοί εφω και σφω παίρνουν τιμές σε όλο το ℝ .
4)Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών
Αν π.χ η τελική πλευρά μιας γωνίας ω βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο, τότε οι συντεταγμένες
(χ,ψ) οποιουδήποτε σημείου αυτής είναι θετικές και επομένως ημω>0 ,συνω>0,εφω>0 και
σφω>0.
Στο 2ο τεταρτημόριο έχουμε χ<0 , ψ>0 όποτε ημω>0 ,συνω<0, εφω<0, σφω<0.Ομοίως βρίσκουμε
για το 3ο και το 4ο τεταρτημόριο.
Συνοψίζουμε στον παρακάτω πίνακα:
Τεταρτηµόρια
ηµω
συνω
εφω
σφω
1ο
+
+
+
+
2ο
+
-
3ο
+
+
4ο
+
-
Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί εφω και σφω είναι ομόσημοι. Πιο απλά το πρόσημο των
τριγωνομετρικών αριθμών, φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.
5.Ακτίνιο
Λέμε ότι το τόξο κύκλου (Ο, ρ) είναι τόξο ενός ακτινίου (rad), όταν έχει μήκος ίσο με την ακτίνα
ενός κύκλου.
Λέμε ότι μια γωνία ω είναι γωνία ενός ακτινίου , όταν γίνει επίκεντρη γωνία κύκλου (ο,ρ) και
βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου.
Ένας κύκλος ακτίνας ρ έχει μήκος 2πρ και επομένως η γωνία 3600 έχει 2π rad , ενώ η γωνία 180ο
είναι π rad .Η γωνία 1 rad είναι
180
π
μοίρες και γενικά η γωνία α rad είναι α
180
π
μοίρες..
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:
α
µ
=
π
180
Αν μια γωνία είναι μο και α rad , τότε
Π.χ μια γωνία 20ο είναι α =
π
180
20 0 =
π
9
rad ,ενώ μια γωνία
3π
rad
5
είναι
3
180 0 = 108 0 .
5
Σημείωση: Στο εξής , όταν γράφουμε ημχ, συνχ κ.λ.π θα εννοούμε ημ(χrad) , συν(χrad) κ.λ.π.
6) Τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0ο,30ο ,45ο ,60ο ,90ο
Γωνία ω
0ο ή 0 rad
30ο ή
π
6
rad
45ο ή
1
2
ημω
0
συνω
1
εφω
0
σφω
δεν
ορίζεται
π
4
60ο ή
π
3
rad 90ο ή
π
2
rad
1
3
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3
rad
0
1
3
δεν
ορίζεται
1
3
3
0
Τριγωνομετρικές ταυτότητες
Έστω μια γωνία ω της οποίας η τελική πλευρά τεμνει τον τριγωνομετρικο κύκλο (0,1) στο σημείο
Μ(χ,ψ) όποτε έχουμε :
ημω=
y
ρ
= y ,συνω=
χ
=χ (αφου ρ=1)
ρ
i) Επειδή x 2 + y 2 = ρ 2 = 1 , έχουμε:
ημ2ω+συν2ω=1
ii)Αφού εφω=
y
χ
και σφω=
x
, έχουμε:
y
ηµω
συνω
, σφω=
εφω=
συνω
ηµω
ιιι)Παρατηρουμε ότι οι αριθμοι εφω και σφω είναι αντιστροφοι , δηλαδή
εφω ⋅ σφω = 1
ιv)Από την ταυτότητα ημ2ω+συν2ω=1 :
.αν συνω ≠ 0 , έχουμε :
1
ηµ 2ω συν 2ω
+
=
2
2
συν ω συν ω συν 2ω
ή εφ 2ω + 1 =
1
συν ω
2
ή συν 2ω =
1
1 + εφ 2ω
.αν ημω ≠ 0 , έχουμε:
1
1
ηµ 2ω συν 2ω
1
ή ηµ 2ω =
+
=
ή 1 + σφ 2ω =
2
2
2
2
1 + σφ 2ω
ηµ ω
ηµ ω ηµ ω ηµ ω
Επίσης είναι ηµ 2ω = 1 − συν 2ω = 1 −
ηµ 2ω =
1
1 + εφ 2ω
=
1 + εφ 2ω − 1
, δηλαδή
1 + εφ 2ω
εφ 2ω
1 + εφ 2ω
Αναγωγή στο ̟ρώτο τεταρτηµόριο
Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οποιασδήποτε γωνίας , ανάγεται στον
υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας του 1ου τεταρτημορίου.
1.Αντίθετες γωνίες
Θεωρούμε δυο αντίθετες γωνίες ω και ω ′ ( ω ′ = - ω )που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τον
τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ ′ αντίστοιχα ..Τα σημεία Μ και Μ ′ είναι
συμμετρικά ως προς άξονα x ′x και επομένως έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες
τεταγμένες.
Είναι: ηµω ′ = − y = −ηµω
συνω ′ = χ = συνω
εφω ′ = −
σφω ′ = −
y
χ
χ
y
= −εφω
= −σφω
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:
«Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους
τριγωνομετρικούς αριθμούς.»
Δηλαδή είναι:
συν (−ω ) = συνω ,ηµ (−ω ) = −ηµω , εφ ( −ω ) = −εφω , σφ (−ω ) = −σφω
Π.χ είναι : ηµ (−30 0 ) = −ηµ 30 0 =-
π
π
2
1
, συν (− ) = συν ( ) =
4
4
2
2
2.Παραπληρωματικές γωνίες
Θεωρούμε δυο παραπληρωματικές γωνίες ω και ω ′ ( ω ′ =180ο + ω )που οι τελικές τους πλευρές
τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ ′ αντίστοιχα. Τα σημεία αυτά είναι
συμμετρικά ως προς τον άξονα ψ ′ψ και επομένως έχουν αντίθετες τετμημενες και την ίδια
τεταγμένη. Είναι:
ηµω ′ = y = ηµω
συνω ′ = − χ = −συνω
εφω ′ = −
y
χ
= −εφω
σφω ′ = −
χ
y
= −σφω
Έτσι συμπεραίνουμε ότι:
«Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους
τριγωνομετρικούς αριθμούς.»
Δηλαδή είναι:
ηµ (1800 − ω ) = ηµω , συν (1800 − ω ) = −συνω
εφ (1800 − ω ) = −εφω , σφ (1800 − ω ) = −σφω
π.χ ημ150ο =ημ(180ο –30ο )=ημ30ο =
π
π
3π
1
=εφ( π - )= -εφ = - 1
, εφ
4
4
4
2
3.Γωνιες που διαφέρουν κατά 180ο
Αν είναι ω ′ - ω =180ο , τότε έχουμε ω ′ =180ο +ω=180ο –(-ω), δηλαδή οι γωνιες ω ′ και ω είναι
παραπληρωματικές. Είναι:
ηµω ′ = ηµ (−ω ) = −ηµω , συνω ′ = −συν (−ω ) = −συνω
εφ ω ′ = − εφ ( −ω ) = εφω , σφ ω ′ = −σφ ( −ω ) = σφω
«οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180ο (ή π rad ) έχουν την ίδια εφαπτομένη και
συνεφαπτομένη , ενώ έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο.»
Δηλαδή είναι:
ηµ (180 0 + ω ) = −ηµω , συν (180 0 + ω ) = −συνω
εφ (180
0
+ ω ) = εφω , σφ (180
0
+ ω ) = σφω
Π.χ ημ240ο =ημ(180ο +60ο )= - ημ60ο =-
3
2
4.Συμπληρωματικές γωνίες
Θεωρούμε δυο συμπληρωματικές γωνίες ω ′ και ω ( ω ′ =90ο - ω ) που οι τελικές τους πλευρές
⌢
τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ ′ αντίστοιχα. Οι γωνίες AOM και
⌢
BOM είναι ίσες και επομένως τα σημεία Μ και Μ ′ είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της
⌢
γωνίας xOψ .
Είναι:
ηµω ′ = χ = συνω , συνω ′ = y = ηµω
εφω ′ =
χ
y
= σ φω ,σ φω ′ =
y
χ
= εφω
Έτσι συμπεραίνουμε ότι:
«Στις συμπληρωματικές γωνίες το ημίτονο καθεμίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης
και η εφαπτόμενη καθεμίας ισούται με τη συνεφαπτομένη της άλλης..»
Δηλαδή είναι :
ηµ (90 0 − ω ) = συνω , συν (90 0 − ω ) = ηµω , εφ (90 0 − ω ) = σφω , σφ (90 0 − ω ) = εφω
Π.χ ημ60ο=συν30ο =
3
π
π
3
, εφ67ο =σφ230 ,σφ =εφ =
6 3
3
2
Συνοπτικά τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούμε να τα παρουσιάσουμε στον παρακάτω
πίνακα .
Πίνακας αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο
χ
-α
π-α
π+α
π
2
ημχ
συνχ
εφχ
σφχ
-ημα
συνα
-εφα
-σφα
ημα
-συνα
-εφα
-σφα
-ημα
-συνα
εφα
σφα
−α
συνα
ημα
σφα
εφα
π
2
+α
συνα
-ημα
-σφα
-εφα
3π
−α
2
3π
+α
2
-συνα
-ημα
σφα
εφα
-συνα
ημα
-σφα
-εφα
Για να θυμόμαστε εύκολα τον παραπάνω πίνακα, αρκεί να γνωρίζουμε ότι:
1. Ο τριγωνομετρικός αριθμός παραμένει ο ίδιος αν η γωνία χ είναι της μορφής π ± α και
αλλάζει από ημ σε συν,από εφ σε σφ και αντίστροφα όταν η γωνία χ είναι της μορφής
3π
±α .
2
π
2
±α ή
2. Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας
χ (θεωρούμε ότι 0<α<
π
2
).Είναι « + » αν ο τριγωνομετρικός αριθμός του χ είναι θετικός και « - »
αν είναι αρνητικός στο τεταρτημόριο αυτό.
Λυμένες Ασκήσεις
1)Να βρείτε τους αριθμούς
i) ημ1125ο ii)συν(-660ο ) iii)εφ1470ο
Λύση
i) Διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκουμε 1125ο =3.360ο +45ο και επομένως
ημ1125ο= ημ(3.360ο +45ο ) = ημ45ο=
2
2
ii) συν(-660ο )=συν(-720ο +60ο )=συν(-2.360ο +60ο )=συν60ο =συν60ο =
iii)εφ1470ο =εφ(4.360ο +30ο )=εφ30ο =
1
2
3
.
3
Παρατήρηση: Για να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας μο >360ο ,
εργαζόμαστε ως εξής: Διαιρούμε το μ με το 360 .Αν κ είναι το πηλίκο και ω το υπόλοιπο της
διαίρεσης (0ο ≤ ω ≤ 360ο ) , τότε έχουμε μο =κ.360ο +ωο και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας
μο ταυτίζονται με τους αντιστοίχους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
2)Να βρείτε τους αριθμούς :
i) ημ
33π
25π
ii) συν
4
6
iii)εφ
61π
3
iv)σφ
241π
6
Λύση
25
1
25π 25
= 2+ .
=
⋅ 2π .Αν διαιρέσουμε το 25 με το 12 , βρίσκουμε 25=2.12+1 , δηλαδή
12
6
12
12
π
π 1
π
25π
25π
1
= ηµ (2 ⋅ 2π + ) = ηµ =
= (2 + ) ⋅ 2π = 2 ⋅ 2π + και ηµ
Επομένως
6
6
6 2
6
12
6
π
33π
π
π
2
33π 33
1
= συν (4 ⋅ 2π + ) = συν =
.
=
⋅ 2π = (4 + ) ⋅ 2π = 4 ⋅ 2π + και συν
ii) Είναι
4
4
4
4
8
8
2
4
π
π
π
61π
61π 61
1
= εφ (10 ⋅ 2π + ) = εφ = 3 .
= ⋅ 2π = (10 + ) ⋅ 2π = 10 ⋅ 2π + και εφ
iii)Είναι
3
3
3
3
6
8
3
π
π
π
241π
241π 241
1
= σφ (20 ⋅ 2π + ) = σφ = 3 .
=
⋅ 2π = (20 + ) ⋅ 2π = 20 ⋅ 2π + και σφ
iv)
6
6
6
12
12
6
6
i)Είναι
3)Αν ηµω =
3
και 90ο ≤ ω ≤ 180ο , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της
5
γωνίας ω .
Λύση
3
5
Είναι συν 2ω = 1 − ηµ 2ω = 1 − ( ) 2 = 1 −
9 16
=
.
25 25
Αφού 90ο ≤ ω ≤ 180ο ,είναι συνω <0 και επομένως συνω = −
16
4
=− .
25
5
3
3
ηµω
συνω
4
=− .
= 5 = − και εφω =
Ακόμη έχουμε εφω =
ηµω
3
συνω − 4
4
5
1 − εφ 2 χ
= 1 − 2ηµ 2 χ = 2συν 2 χ − 1
4)Να αποδείξετε ότι :
2
1 + εφ χ
Λύση
ηµ 2 χ
συν 2 χ − ηµ 2 χ
συν 2 χ
συν 2 χ
συν 2 χ − ηµ 2 χ συν 2 χ − ηµ 2 χ
1 − εφ 2 χ
=
=
=
=
=
1
1 + εφ 2 χ
ηµ 2 χ
συν 2 χ + ηµ 2 χ συν 2 χ + ηµ 2 χ
1+
συν 2 χ
συν 2 χ
συν 2χ − ηµ 2 χ = 1 − ηµ 2 χ − ηµ 2 χ = 1 − 2ηµ 2 χ και ακόμη
συν 2 χ − ηµ 2 χ = συν 2 χ − (1 − συν 2 χ ) = 2συν 2 χ − 1 .
1−
5)Να αποδείξετε τις ταυτότητες
i) συν ω =
2
1
1 + εφ 2ω
εφ 2ω
ii) ηµ ω =
1 + εφ 2ω
2
Λύση
i)Κάνοντας πράξεις στο δεύτερο μέλος της αποδεικτέας βρίσκουμε:
1
1 + εφ 2ω
συν 2ω
1
=
=
= συν 2ω .
2
2
2
2
ς
ηµ ω
συν ω + ηµ ω συν ω + ηµ ω
1
=
1+
συν 2ω
συν 2ω
ii)Είναι: ηµ 2ω + συν 2ω = 1 ⇔ ηµ 2ω = 1 − συν 2ω .
Όμως ξέρουμε ότι : συν 2ω =
ηµ 2ω = 1 −
1
=
1 + εφ 2ω
1
1 + εφ 2ω
και επομένως έχουμε:
εφ 2ω
1 + εφ 2ω − 1
=
.
1 + εφ 2ω
1 + εφ 2ω
6)Αν το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας ω είναι ίσοι αριθμοί τότε να βρείτε ποιες
μπορεί να είναι οι τιμές τους.
Λύση
Είναι ηµ ω = συν ω και επομένως η ταυτότητα ηµ 2ω + συν 2ω = 1 δίνει:
ηµ 2ω + συν 2ω = 1 ⇔ 2ηµ 2ω = 1 ⇔ ηµω = ±
Άρα ηµω = συνω =
2
2
ή
7)Έστω θ γωνία τέτοια ώστε
2
2
ηµω = συνω = −
ηµθ + συνθ =
i) Να υπολογίσετε τον αριθμό ηµθ ⋅ συνθ .
2
.
2
3 +1
2
ii) Να βρείτε τις πιθανές τιμές των αριθμών ημθ και συνθ.
Λύση
i)
Είναι ηµθ + συνθ =
3 +1
και επομένως έχουμε:
2
( Υψώνουμε στο τετράγωνο)
(ηµθ + συνθ ) 2 = (
⇔ ηµθσυνθ =
3 +1 2
3
3
⇔ 1 + 2ηµθσυνθ = 1 +
) ⇔ ηµ 2θ + συν 2θ + 2ηµθσυνθ = 1 +
2
2
2
3
4
3 1
+ και γινόμενο ίσο με
2 2
1
3
και ημθ =
συνθ =
2
2
ii) Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί ημθ και συνθ έχουν άθροισμα ίσο με
1
3
3 1
ή
και συνθ =
⋅ Άρα είναι: ημθ =
2
2 2
2
8)Αν ηµχ + συνχ = λ , να υπολογίσετε (ως συναρτηση του λ)
τις παρακάτω παραστάσεις :
i) ηµχσυνχ
ii) ηµ 3 χ + συν 3 χ
iii) ηµ 4 χ + συν 4 χ
iv) ηµ 6 χ + συν 6 χ
Λύση
i) Αφού ηµχ + συνχ = λ , έχουμε:
(ηµχ + συνχ ) 2 = λ2 ⇔ ηµ 2 χ + συν 2 χ + 2ηµχσυνχ = λ2 ⇔ 1 + 2ηµχσυνχ ⇔
ηµχσυνχ =
λ2 − 1
2
.
ii)
ηµ 3 χ + συν 3 χ = (ηµχ + συνχ )(ηµ 2 χ − ηµχσυνχ + συν 2 χ ) = λ ⋅ (1 −
λ2 − 1
)=λ⋅
2
1
λ (3 − λ2 ) .
2
iii) ηµ 4 χ + συν 4 χ = (ηµ 2 χ ) 2 + (συν 2 χ ) 2 = (ηµ 2 χ + συν 2 χ ) 2 − 2ηµ 2 χσυν 2 χ =
= 1 − 2(
λ2 − 1
2
)2 = 1 −
3 − λ2
==
2
(λ2 − 1) 2 2 − λ4 + 2λ − 1 1
=
= (1 − λ4 + 2λ2 ) .
2
2
2
iv)
ηµ 6 χ + συν 6 χ = (ηµ 2 χ ) 3 + (συν 2 χ ) 3 = (ηµ 2 χ + συν 2 χ )(ηµ 4 χ − ηµ 4 χσυν 2 χ + συν 4 χ ) =
1 − λ4 + 2λ2 (λ2 − 1) 2 1
ηµ 4 χ + συν 4 χ − (ηµχσυνχ ) 2 =
−
= (6λ2 − 3λ4 + 1) .
2
4
4
9)Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμές του χ για τις οποίες ισχύει:
1
1
και συνχ =
3
3
ii) ηµχ = α − 2 και συνχ = α + 2 οπου α ∈ ℜ
i) ηµχ =
Λύση
Αν υπάρχει τέτοιο χ, θα ισχύει ηµ 2 χ + συν 2 χ = 1 .
i) Στην περίπτωση αυτή έχουμε:
1
3
1
3
1 1 2
+ = ≠1
9 9 9
1
1
Άρα δεν υπάρχει χ ώστε: ηµχ = και συνχ = .
3
3
ηµ 2 χ + συν 2 χ = ( ) 2 + ( ) 2 =
ii) Αντίστοιχα έχουμε:
ηµ 2 χ + συν 2 χ = (α − 2) 2 + (α − 2) 2 = α 2 + 4α + 4 + α 2 − 4α + 4 = 2α 2 + 8 ≠ 1
7
που δε ισχύει γιατί για κάθε α ∈ ℜ ισχύει
2
α2 ≥ 0 . Συνεπώς δεν υπάρχει χ ώστε συνχ = α + 2 και ηµχ = α − 2 όπου( α ∈ ℜ ).
Διότι αν ήταν 2α 2 + 8 = 1 ⇔ 2α 2 = −7 ⇔ α 2 = −
10)Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:
i) −
π
ii)135o
3
iii)
7π
6
Λύση
i )Είναι: ηµ (−
π
3
) = −ηµ
π
3
=−
3
2
, συν (−
π
3
) = συν
π
3
π
π
π
π
3
.
εφ (− ) = −εφ = − 3 και σφ (− ) = −σφ = −
3
3
3
3
3
ii)Επειδή 180ο –135ο =45ο , είναι:
ηµ135ο = ηµ 45 0 =
2
2
, συν 135ο = −συν 45 0 = −
2
2
εφ135ο = −εφ 45 0 = −1 , σφ135ο = −σφ 45 0 = −1 .
π
π
7π
7π
= π + όποτε
− π = , θα είναι :
iii) Επειδή
6
6
6
π
π
7π
1
ηµ
= ηµ (π + ) = −ηµ = −
6
6
6
2
7π
π
π
3
συν
= συν (π + ) = −συν = −
6
6
6
2
6
7π
π
3
= εφ =
6
6
3
π
7π
σφ
= σφ = 3 .
6
6
εφ
11)Να αποδειχθει ότι :
ηµ (3π − θ ) ⋅ συν (5π + θ ) ⋅ εφ (7π + θ ) ⋅ σφ (9π − θ )
=1
ηµ (2π − θ ) ⋅ συν (4π − θ ) ⋅ εφ (6π − θ ) ⋅ σφ (8π + θ )
Λύση
Θα κάνουμε χρήση των τύπων αναγωγής .
Είναι :
ηµ (3π − θ ) = ηµ (2π + π − θ ) = ηµ (π − θ ) = ηµθ
συν (5π + θ ) = συν (4π + π + θ ) = συν (π + θ ) = −συνθ
εφ (7π + θ ) = εφ (6π + π + θ ) = εφ (π + θ ) = εφθ
σφ (9π − θ ) = σφ (8π + π − θ ) = σφ (π − θ ) = −σφθ
Όμοια για τον παρανομαστή
ηµ (2π − θ ) = ηµ (−θ ) = −ηµθ
συν (4π − θ ) = συν (−θ ) = συνθ
εφ (6π − θ ) = εφ (−θ ) = −εφθ
=
1
2
σφ (8π + θ ) = σφθ
Έτσι:
ηµ (3π − θ ) ⋅ συν (5π + θ ) ⋅ εφ (7π + θ ) ⋅ σφ (9π − θ )
=
ηµ (2π − θ ) ⋅ συν (4π − θ ) ⋅ εφ (6π − θ ) ⋅ σφ (8π + θ )
ηµθ ⋅ (−συνθ ) ⋅ εφθ ⋅ (−σφθ )
=1
−ηµθ ⋅ συνθ ⋅ (−εφθ ) ⋅ σφθ
Ασκήσεις προς λύση
1. Αποδείξτε ότι: (ημx + συνx)2 = 1 + 2ημx.συνx.
2. Απλοποιήστε τις παραστάσεις:
α) εφx.συνx
β) ημx.συν2x + ημ3x
γ) 1 − ηµx ⋅ 1 + ηµx
3. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις:
α)
β)
συν 4 x - συν 2 x
ηµ 4 x - ηµ 2 x
ηµ 2 x - ηµ 2 y
συν 2 x - συν 2 y
4. Αν ημ15° =
2
2
( 3 + 1) να βρείτε:
( 3 - 1) και ημ75° =
4
4
α) το συν15°
β) την εφ15°
5. Χρησιμοποιώντας τον τύπο
Μέτρο
0°
30°
α
µ
= , να συμπληρώσετε τον πίνακα:
180 π
45°
120°
150°
180°
1°
γωνίας
σε
μοίρες
Μέτρο
π
π/
3π/
γωνίας
/
2
4
σε
3
ακτίνια
0
π
1
6. Με βάση τα στοιχεία που σημειώνονται στο
διπλανό τριγωνομετρικό κύκλο και τις
απαραίτητες
ευθείες
που
πρέπει
να
χαράξετε, να βρείτε:
α) συν0°
β) συν30°
συν90°
συν120°
συν180°
συν240°
συν270°
συν330°
Δικαιολογήστε την απάντησή σας στο (β)
ερώτημα.
7. Στο διπλανό τριγωνομετρικό κύκλο:
Να
σχεδιάσετε
τις
γωνίες
που
σημειώνονται στους πίνακες Α, Β, Γ και στη
συνέχεια να συμπλη-ρώσετε τους πίνακες
αυτούς.
3.
8.Συμπληρώστε στον παρακάτω πίνακα το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά
της γωνίας θ.
τεταρτημό
ριο
τελικής
πλευράς
ημθ > 0 και συνθ < 0
εφθ < 0 και συνθ < 0
σφθ > 0 και συνθ > 0
εφθ < 0 και συνθ > 0
ημθ < 0 και εφθ < 0
σφθ < 0 και ημθ > 0
ημθ > 0 και εφθ > 0
ημθ > 0 και συνθ < 0
9. Πόσο είναι σε ακτίνια οι γωνίες:
α) ενός ισόπλευρου τριγώνου;
β) ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου
10. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.
γωνία θ
πρόσημο
πρόσημο
πρόσημο
πρόσημο
ημθ
συνθ
εφθ
σφθ
117°
- 100°
925°
- 40°
11. Αν ημθ < 0 και εφθ > 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας θ βρίσκεται:
Α. στο 1ο τεταρτημόριο
Β. στο 2ο τεταρτημόριο
Δ. στον ημιάξονα Οx΄
Ε. στο 4ο ή 1ο τεταρτημόριο
Γ. στο 3ο τεταρτημόριο
12. Εάν ημθ = 0,4 και 0° < θ < 90°, υπολογίστε το συνθ και την εφθ.
2
και 90° < y < 180°, υπολογίστε το συνy και την εφy.
3
13. Εάν ημy =
14. Εάν εφθ =
8
και 180° < θ < 270°, υπολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της
15
γωνίας θ.
15. Εάν εφθ = -
3
και 270° < θ < 360°, να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνο- μετρικούς αριθμούς
4
της γωνίας αυτής.
16. Αν 2εφθ - 3 = 0 και ημθ < 0, να βρεθεί το συνθ.
17.Αν 6ημ2x + ημx - 1 = 0 και π < x <
3π
, να βρεθεί το συνx.
2
18. Αποδείξτε ότι για οποιεσδήποτε γωνίες x, α, β ισχύουν:
α) (ημx - συνx)2 = 1 - 2 ημx . συνx
β) ημ4x - συν4x = ημ2x - συν2x = 1 - 2συν2x = 2ημ2x - 1
γ) (1 + ημx + συνx)2 = 2 (1 + συνx) (1 + ημx)
δ)
1 - εφ 2 x
2
= 1 - 2ημ2x
1 + εφ x
ε) 1 -
συν 2 x
= ημx
1 + ηηµ
στ) ημ2α (1 + σφ2α) + συν2α (1 + εφ2α) = 2
ζ)
εφα
εφα + σφβ
=
εφβ
σφα + εφβ
19. Αν ηµx + συνx = 1, τότε η γωνία x παίρνει:
Α. καμία τιμή
B. μια τιμή
Γ. τρεις τιμές
Δ. άπειρες τιμές
Ε. τέσσερις τιμές
20. Αν ηµx + συνx = 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας x βρίσκεται:
Α. στο 1ο τεταρτημόριο
B. στο 2ο τεταρτημόριο
Γ. στο 3ο τεταρτημόριο
Δ. στο 4ο τεταρτημόριο
Ε. δεν υπάρχει γωνία x που να ικανοποιεί αυτή τη σχέση
21. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των παραστάσεων:
α) y = 2 + 3 συνx
β) y = 5 + ημ2x
γ) y =
1
2 - ηµx
22. Αν x1, x2 είναι ρίζες της εξίσωσης
(1 + ημφ) x2 - (1 + ημ2φ) x + (1 - ημφ) ημφ = 0, ημφ ≠ -1
τότε να δείξετε ότι: x1 + x2 + x1 ⋅ x2 = 1
23. Αν συνx - ημx =
2 ημx, τότε και συνx + ημx =
2 συνx.
24. Αν 3ημθ + 5συνθ = 5, τότε να δείξετε ότι: (3συνθ - 5ημθ)2 = 9.
5
, 90° < x < 180°, τότε το συνx ισούται με:
13
13
8
8
12
Ε.
Δ. Γ.
Β.
5
13
13
13
25. Αν το ημx =
Α. -
12
13
26. Για οποιαδήποτε γωνία x, με x ≠ κπ και κ ∈ Ζ, η έκφραση (ημ2x)2
ισούται με:
Α. 4ημx 2
B. ημ22x
Γ. ημ4x2
Δ. ημ4x
Ε. 4ημx
27. Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις ισότητες:
Σωστό Λάθος
α) ημ500° = ημ140°
β) συν750° = συν30°
γ) εφ (-1200°) = εφ (-120°)
28. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών:
780°,
1110°,
17π
3
29. Να δείξετε ότι: εφ (740° + x - y) - εφ (20° + x - y) = 0.
30. Να απλοποιηθεί το κλάσμα:
ηµ (3π + α) σϕ (7π + α)συνα
συν (3π + α) σϕ (4π + α) ηµα
31. Υπολογίστε:
α) ημ (-
π
)
6
γ) συν (-
π
)
3
β) εφ (-45°)
δ) σφ (- 60°)
32. Εάν x και y είναι δύο οποιεσδήποτε γωνίες, να δείξετε ότι:
α) συν (x - y) = συν (y - x)
β) ημ (x - y) = - ημ (y - x)
33. Επαληθεύστε τις ισότητες:
α) συν (x - π) = συν (x + π)
β) ημ (x - π) = ημ (π + x)
34. Να εκφράσετε συναρτήσει του συνx και του ημx την παράσταση:
Α = συν (- x) + ημ (- x) + ημ (π + x) + συν (π - x)
35. Δίνεται: συν
1
π
=
2
8
2+ 2 .
Υπολογίστε:
π
8
9π
9π
και συν
γ) ημ
8
8
α) ημ
ε) ημ
7π
7π
και συν
8
8
π
π
δ) ημ (- ) και συν (- )
8
8
β) ημ
325π
325π
και συν
8
8
36. Υπολογίστε το ημίτονο και το συνημίτονο των παρακάτω γωνιών:
α)
2π
,
3
π
97π
71π
4π
,
, - ,
3
3
3
3
108π
π
81π
3π
5π
, ,
,
,
4
4
4
4
4
π
13π
11π
7π
5π
,
,
, - ,
γ)
6
6
6
6
6
13π
11π
8π
,
,
δ) 4
6
3
β) -
Χρησιμοποιήστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών
π
π π
καθώς και τους
και
,
6
3 4
τύπους που συνδέουν τις γωνίες
37. Το ημ (π - ω) ισούται με:
Α. συνω
Β. - ημω
Γ. ημω
Δ. - συνω
Ε. κανένα από τα προηγούμενα
38. Το συν (π + ω) ισούται με:
Α. ημ (-ω) Β. συνω
Γ. ημω
Δ. - συνω
Ε. κανένα από τα προηγούμενα
39. Η εφ (π + ω) ισούται με:
Α. σφω
Β. εφω
Γ. - εφω
Δ. σφ (-ω)
Ε. κανένα από τα προηγούμενα38. Να δειχθεί ότι ημ2 (κ360° + x) + συν2 (κ360° - x) = 1.
40. Αν ημx =
Α.
3
4
3
, 90° < x < 180°, τότε εφx ισούται με:
5
9
9
3
4
Ε.
Δ.
Γ. Β.
3
16
4
3
41. Το άθροισμα ημ (-ω) + συν (-ω) + ημ (180° - ω) + συν (180° - ω)
ισούται με:
Α. 1
Β. - 1
Γ. 0
Δ. 2
Ε. 2ημω
42. Να δειχθεί ότι οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα αν το άθροισμα των
ημιτόνων των τεσσάρων γωνιών που έχουν κορυφή το σημείο τομής των διαγωνίων είναι 4.
43. Να δειχθεί ότι η εφαπτομένη κάθε εξωτερικής γωνίας οξυγώνιου τριγώνου είναι αρνητικός
αριθμός.
44. Αν x γωνία τριγώνου, να δειχθεί ότι ημ x - 360
= - ημx.
45. Να γράψετε συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας θετικής και μικρότερης από
45° τις εκφράσεις:
α) εφ85°, β) ημ65°, γ) συν125°
46. Η παράσταση ημ2x + ημ2 (
Α. 2
Β. 0
π
- x) ισούται με:
2
Γ. 2ημ2x
Δ. 1
Ε. 1 - ημ2x
47. α) Να αποδείξετε ότι: συν (x + 45°) = ημ (45° - x)
β) Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος:
συν2(x + 45°) + συν2(x - 45°) + ημ2(45° - y) + ημ2(y + 45°).
48. Να αποδείξετε ότι:
- ηµ (270 + θ)
=
1 + συν (90 + θ)
ηµ (180 + θ) - 1
.
συν (180 - θ)
π
ηµ( π + x) ηµ ( - x)
2
.
49. Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση:
συν ( − x) συν ( π + x)
50. Να δείξετε ότι για κάθε κ ∈ Ζ είναι:
ημx = (-1)κ συν [(2κ + 1)
π
- x]
2
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Ορισμός :Μια συνάρτηση F ορισμένη σε ένα σύνολο Α λέγεται περιοδική όταν υπάρχει Τ ∈ ℝ
(Τ>0, Τ ανεξάρτητο του χ) τέτοιο ώστε για κάθε χ ∈ Α . Να ισχύει:
χ+Τ ∈ Α , χ-Τ ∈ Α και F(χ-Τ)= F(χ+Τ)
Ο αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης .
.●Αν υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αριθμοί, τότε περίοδο ονομάζουμε το μικρότερο από αυτούς..
.●Οι συναρτήσεις ημχ και συνχ έχουν πεδίο ορισμού όλο το ℜ και είναι περιοδικές με περίοδο 2π
, ενώ οι συναρτήσεις εφχ και σφχ έχουν περίοδο το π.
.●Η εφχ έχει πεδίο ορισμού το ℝ - κπ +
ℝ - {κπ , οπου κ ακεραιος
}.
π
2
, όπου κ ακεραιος
, ενώ η σφχ
το
Ορισμός:Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α θα είναι άρτια αν:
i) Α συμμετρικό ως προς το 0 και
ii)για κάθε χ ∈ Α ισχύει f(x)=f(-x)
ενώ θα είναι περιττή αν:
i) Α συμμετρικό ως προς το 0 και
ii) για κάθε χ ∈ Α ισχύει f(x)=f(-x) .
● Το γεγονός ότι μια συνάρτηση είναι περιοδική είναι πολύ σημαντικό γιατί μας επιτρέπει να
μελετήσουμε την συνάρτηση και να κάνουμε την γραφική παράσταση μόνο σε διάστημα
πλάτους Τ (γιατί σε κάθε διάστημα πλάτους ( η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα
επαναλαμβάνεται η ίδια ).Δηλαδή , την ημχ και την συνχ μπορούμε να την μελετήσουμε
πλήρως σε ένα διάστημα πλάτους 2π , ενώ την εφχ και την σφχ σε διάστημα πλάτους π.
● Εκτός του ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές , αν παρατηρήσουμε
προσεκτικά τον πίνακα ανάγωγης στο 1ο τεταρτημόριο, θα δούμε ότι τελικά οι ημχ, εφχ και
σφχ είναι περιττές , ενώ η συνχ είναι άρτια. Αυτό σημαίνει ότι η μελέτη αυτών των
συναρτήσεων μπορεί να γίνει σε μικρότερο διάστημα από αυτό που είπαμε προηγουμένως .
Π.χ Έστω η συνάρτηση f(χ)=συνχ .Αντί να την μελετήσουμε στο[0,2π] ,επιλέγουμε στο
διάστημα
[-π,π] που έχει το ίδιο πλάτος επειδή είναι συμμετρικό ως προς το Ο. Επειδή είναι
άρτια η συνάρτηση, θα την μελετήσουμε και θα κάνουμε την γραφική παράσταση της στο
[0,π].Η γραφική παράσταση στο [-π,0] θα είναι συμμετρική της πρώτης ως προς τον ψ΄ψ
άξονα..
Πίνακας αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο
3π
π
3π
π
χ
-α
π-α
π+α
2
ημχ
συνχ
εφχ
-ημα
συνα
-εφα
ημα
-συνα
-εφα
-ημα
-συνα
εφα
−α
συνα
ημα
σφα
2
+α
συνα
-ημα
-σφα
2
−α
-συνα
-ημα
σφα
2
+α
-συνα
ημα
-σφα
σφχ
-σφα
-σφα
σφα
εφα
-εφα
εφα
-εφα
ΜΕΛΕΤΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
f(x)=ημχ
Πεδίο ορισμού: ℝ
Σύνολο τιμων:[-1,1]
Περιοδικη:με περιοδο[0,2π]
Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,2π]
Πίνακας τιμών
χ
Μονοτονια
χ
0
π
2
π
0
π
π
3π
2
2π
0
-1
0
2
3π
2
2π
ημχ
0 1
ηµχ
Γραφικη παράσταση στο [0,2π]
Μεγιστη τιμή: Για χ=
π
, το ημ
π
=1
2
2
3π
3π
=-1
,το ημ
Ελαχιστη τιμή :Για χ=
2
2
Περιττη: Ισχύει F(-χ) =ημ(-χ)=-ημχ=-F(x)
Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων
Ο(0,0).
Γραφικη
̟αράσταση στο
ℝ
- 24 –
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Β ΛΥΚΕΙΟΥ
f(x)=συνχ
Πεδίο ορισμού: ℝ
Σύνολο τιμών: :[-1,1]
Περιοδικη:με περιοδοΤ=2π
Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,2π]
Πίνακας τιμών
3π
χ
0 π π
2
ημχ
1 0
2π
2
-1
0
1
Μονοτονια
χ
0
π
2
3π
2
π
2π
συνχ
Γραφική ̟αράσταση στο [0,2̟]
Μέγιστη τιμή: Για χ=0, το συν0=1
Ελάχιστη τιμή :Για χ=π, το συνπ= -1
Άρτια: Ισχύει f (-χ) = συν(-χ) =συνχ = f(x)
Κέντρο συμμετρίας : Ο αξονας ψ΄ψ
Γραφική
̟αράσταση στο
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ
ℝ
http://mathhmagic.blogspot.com/
f(x)=εφχ
Πεδίο ορισμού: ℜ -{χ=2κπ+
π
2
κ ∈Ζ}
Σύνολο τιμων: ℜ
Περιοδικη: με περιοδο Τ=π
Η μελέτη της θα γίνει στο διάστημα [ −
π π
, ]
2 2
Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x)
Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων
Ο (0,0)
Μονοτονια
χ
-
π
2
0
Ασυμπτωτες: Οι ευθειες x =
π
2
x=−
εφχ
Γραφικη παράσταση στο [ −
π π
, ]
2 2
π
2
π
2
και
π
Γραφικη ̟αράσταση στο ℝ -{χ=2κ̟+ κ ∈ Ζ }
2
f(x)=σφχ
Πεδίο ορισμού: ℝ -{χ=κπ κ ∈ Ζ }
Σύνολο τιμων: ℝ
Περιοδικη: με περιοδο Τ=π
Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [ 0, π ]
Μονοτονια
χ
0
π
2
π
σφχ
Γραφικη παράσταση στο [ 0, π ]
Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x)
Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων
Ο (0,0)
Ασυμπτωτες: Οι ευθειες x = 0 και x = π
Γραφικη ̟αράσταση στο ℝ -{χ=κ̟ κ ∈ Ζ }
ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!
● Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρημωχ και f(x) =ρσυνωχ οπού
ρ,ω ∈ ℝ :
i) έχουν μέγιστη τιμή ίση με ρ και ελάχιστη τιμή ίση με - ρ .
ii) Είναι περιοδικές με περίοδο ίση με Τ=
2π
ω
● Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρεφωχ και f(x) =ρσφωχ οπού
ρ,ω ∈ ℝ :
i) δεν έχουν ακροτατα (μέγιστο ή ελάχιστο).
ii)Είναι περιοδικές με περίοδο ίση με Τ=
π
ω
Λυμένες ασκήσεις (Τριγωνομετρικές συναρτήσεις )
1)Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων
f(x) =4ημχ και g(x)=2ημ
χ
2
Λύση
●Η καμπύλη ψ=4ημχ έχει περίοδο 2π , μέγιστη τιμή ίση με 4 και ελάχιστη
τιμή ίση με –4.
2π
χ
= 4π , μέγιστη τιμή ίση με 2 και
● Η καμπύλη ψ=2ημ έχει περίοδο
1
2
2
ελάχιστη τιμή ίση με –2.
Λαμβάνοντας υποψιν την γενική μορφή της καμπύλης ψ=ρημωχ
2)Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ηµχ-1
Λύση
Η καμπύλη ψ = ημχ-1 προκύπτει από την μετατόπιση της
ψ=ημχ προς τα κάτω.
Παρατήρηση
Αν γνωρίζουμε την καμπύλη με εξίσωση ψ = f ( x) τότε μπορούμε άμεσα να
σχεδιάσουμε τις καμπύλες με εξισώσεις ψ = f ( x) + a και ψ = f ( x + a ) .
●Η καμπύλη με εξίσωση ψ = f ( x) + a προκύπτει από την καμπύλη με εξίσωση
ψ = f ( x) με μετατόπιση κατά α προς τα κάτω αν α<0 ή κατά α προς τα πάνω αν
α>0.
●Η καμπύλη με εξίσωση ψ = f ( x + a ) προκύπτει από την καμπύλη με εξίσωση
ψ = f ( x) με μετατόπιση κατά α προς τα δεξιά αν α<0 ή κατά α προς τα αριστερά
αν α >0.
3)Στο σχήμα παριστάνεται μια περιοδική συνάρτηση της f.
Να βρείτε ένα πιθανό τύπο της f.
Λύση
Από την γενική μορφή της καμπύλης
συμπεραίνουμε ότι ένας πιθανός τύπος της
συνάρτησης f είναι ο f(x)=ρημωχ.
Η μέγιστη τιμή της f είναι ίση με 9, άρα
ρ=9
Η περίοδος της f είναι ίση με 24 , άρα
π
2π
= 24 ⇔ ω =
12
ω
Επομένως ένας πιθανός τύπος για την f είναι ο
f(x)= 9ηµ
πχ
12
4)Σε μια περιοχή στο Παλλιριστάν το βάθος της θάλασσας μεταβάλλεται περιοδικά λόγω της
παλίρροιας. Σε ένα συγκεκριμένο σημείο το βάθος της θάλασσας (σε μ) δίνεται για μια ημέρα
από την συνάρτηση:
f ( t ) = 5 + 4 ,5συν (
πt
6
)
όπου t ∈ [0,24] είναι ο χρόνος (σε ώρες) που πέρασε από τα μεσάνυχτα.
i)να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f .
ii) Με βάση το σχήμα να βρείτε σε ποια χρονικά διαστήματα είχαμε πλημμυρίδα και σε ποια
είχαμε άμπωτη.
Λύση
Η καμπύλη ψ = 4, 5συν (
2π
π
πt
6
) έχει μέγιστη τιμή 4,5 ελάχιστη τιμή –4,5 και περίοδο
= 12 .Για να σχεδιάσουμε την συνάρτηση f αρκεί να μετατοπίσουμε την καμπύλη
6
ψ = 4, 5συν (
πt
6
) κατά 5 μονάδες προς τα πάνω.
ii)Στα διαστήματα τα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα( δηλαδή στα [6,12],[18,24])έχουμε
πλημμυρίδα ενώ στα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα ( δηλαδή στα [0,6],[12,18]
έχουμε άμπωτη.
5)Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις
i) f(x)= ηµ ( χ − π )
ii) f(x)= εφ ( χ +
π
2
)
Λύση
i)Όταν f(x)=g(x-κ) , τότε η γραφικη παράσταση της f(x) είναι η παραλληλη
μετατοπιση της γραφικηςπαραστασης της g(x) κατά κ μονάδες [δεξιά αν κ>0 ή
αριστερα αν χ<0].Άρα η γραφικη παράσταση της f(x) θα είναι η παραλληλη
μετατοπιση της ημχ προς τα δεξιά κατά π μονάδες .
Επίσης η f(x) θα έχει πεδίο ορισμού ολο το R και περιοδο 2π.
ii) f(x)= εφ ( χ +
π
2
) . Η γραφικη παράσταση της f(x) είναι η παραλληλη
μετατοπιση της g(x)=εφχ κατά
π
2
προς τα αριστερα.Η f(x) έχει περιοδο π
όπως και η g(x)=εφχ.
Επειδη η g(x) έχει πεδίο ορισμού ℝ − κπ +
πεδίο ορισμού ℝ − {κπ , κ ∈ Ζ}
π
, κ ∈ Ζ ,η f(x) θα έχει
2
Προσοχή!!
π
ηµχ
π
,για να οριζεται πρέπει συνχ ≠ 0 , άρα χ ≠ κπ + .Εδώ κπ +
2
2
συνχ
π
με κ ∈ ℤ είναι τα σημεια τομης της γραφικης παράστασης της f(x)= εφ ( χ + ) με
Επειδη η εφχ =
2
τον χ΄χ .
6)Να γίνει η γραφική παράσταση τηs f(x)= 2ηµ
χ
2
Λύση
Επειδή η g(x) = ηµχ έχει πεδίο ορισμού όλο το R και η h(x)= ηµ
χ
2
θα έχει πεδίο ορισμού το R [
το ημίτονο ορίζεται για κάθε τόξο].Όπως είπαμε στην θεωρία , η συνάρτηση ημ(ωχ) έχει περίοδο
2π
2π
=4π.
1
ω
2
χ
χ
Επειδή όμως f(-x)= = 2ηµ (− ) = −2ηµ = −f ( x ) ,η f είναι περιττή. Άρα αρκεί να μελετηθεί σε
2
2
Τ=
.Άρα η περίοδος της h(x):
διάστημα πλάτους 2π, πχ στο[0,2π].
χ
2ηµ
F(x)
0
χ
2
0
0
π
3
1
2
π
2
1
2
2
2
4π
3
3
2
3
π
1
2
5π
3
1
2
1
2π
0
0
Με την βοήθεια αυτού του πίνακα, φτιάχνουμε την γραφική παράσταση της f(x) από το 0 έως το
π.
Η αντίστοιχη γραφική παράσταση στο [-2π,0] φτιάχνεται συμμετρικά ως προς το Ο(0,0).
Η υπόλοιπη γραφική παράσταση είναι επανάληψη της καμπύλης που προέκυψε
[πλάτους [-2π,2π]].
Παρατήρηση
Γενικά για να βρούμε τη περίοδο μιας συνάρτησης λύνουμε την εξίσωση f(x+T)=f(x) και
υπολογίζουμε το Τ, το οποίο πρέπει να είναι ανεξάρτητο του χ. Αν υπάρχουν πολλά τέτοια
επιλέγουμε το μικρότερο θετικό.
7)Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:
i) f ( x ) = 4 + 6ηµχ ii) f ( x ) = 9 − 2ηµχ
Λύση
i) Ξέρουμε ότι:
−1 ≤ ηµχ ≤ 1 ⇔ −6 ≤ 6ηµχ ≤ 6 ⇔
−6 + 4 ≤ 4 + 6ηµχ ≤ 6 + 4 ⇔
−2 ≤ 4 + 6ηµχ ≤ 10 ⇔ −2 ≤ f ( x) ≤ 10
Άρα f(A)=[-2,10].
ii)
−1 ≤ συνχ ≤ 1 ⇔ 2 ≥ −2ηµχ ≥ −2 ⇔
9 + 2 ≥ 9 − 2συνχ ≥ −2 + 9 ⇔ 11 ≥ 9 − 2συνχ ≥ 7 ⇔
11 ≥ f ( x) ≥ 7
Άρα f(A)=[7,11].
8)Να εξετασετε αν οι συναρτήσεις :
i) f ( x ) =
ηµ 7 χ + εφ 3 χ
ηµ 2 χ + 5
ii) f ( x ) = 2συν 2 χ + συνχ + 1
είναι άρτιες ή περιττές.
Λύση
i) Το πεδίο ορισμού της f είναι το ℝ .
Ξέρουμε ότι , για κάθε , x ∈ ℝ, ⇒ − x ∈ ℝ (συμμετρικό πεδίο ορισμού).
f (− x ) =
−
ηµ 7 (−χ) + εφ 3 (−χ) − ηµ 7 χ − εφ 3 χ − (ηµ 7 χ + εφ 3 χ) − (ηµ 7 χ + εφ 3 χ)
=
=
=
=
ηµ 2 x + 5
(ηµ x ) 2 + 5
(−ηµ x ) 2 + 5
ηµ 2 (−χ) + 5
ηµ 7 χ + εφ 3 χ
= −f ( x ) .
ηµ 2 x + 5
Άρα η συνάρτηση είναι περιττή.
ii)Το πεδίο ορισμού της g είναι το R.
Ξέρουμε ότι , για κάθε , x ∈ R , ⇒ − x ∈ R
g(-x)= 2συν 2 ( −χ) + συν( −χ) + 1 = 2συν 2 χ + συνχ + 1 = g(x).
9)Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή και η περίοδος των πιο κάτω συναρτήσεων:
i) f(x)=- 2ηµ
χ
ii)g(x)=-συν(-
2
2
χ) iii) h(x)=3εφ(-2χ)
2
Λύση
i) Η f έχει μέγιστο το − 2 = 2 ,και ελάχιστο το –2 και περίοδο T=
ii) Η g έχει μέγιστο το − 1 = 1 ,και ελάχιστο το –1 και περίοδο
2π
T=
−
2
2
=
2π
2
2
=
4π
2
=
4π 2
= 2π 2 .
2
iii) Η h δεν έχει μέγιστο , ούτε ελάχιστο.
Έχει περίοδο Τ=
π
π
= .
−2 2
2π
= 4π .
1
2
π
π
≤ α < β ≤ , να συγκριθούν οι αριθμοί
4
2
β
α
i) ημα και ημβ ii)ημ2α και ημ2β
iii)ημ και ημ
2
2
10)Αν είναι
Λύση
i)Επειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [
π
π π
π
, ] και είναι ≤ α < β ≤
4 2
4
2
θα είναι ημα <ημβ.
ii)Έχουμε
π
π
π
≤ 2α < 2β ≤ π και επειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως
≤ α < β ≤ .Άρα είναι
2
4
2
φθίνουσα , θα είναι ημ2α>ημ2β.
iii)Έχουμε
β
π α β π
α
π
π
≤ < ≤ όποτε: ημ < ημ .
≤ α < β ≤ . Άρα είναι
2
2
8 2 2 4
4
2
Ασκήσεις προς λύση.
1)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
i) f(x)=
1
ηµχ
2
ii) f(x)= ηµ
χ
2
iii) f(x)=3 ηµ3χ
iv) f(x)=2- ηµ3χ .
2) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
1
3
i) f(x)= συνχ
ii) f(x)= 3συνχ − 1
iii ) f(x)= 1 + συν
χ
2
3) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
i) f(x)= εφ3χ
ii) f(x)= 2εφ
χ
2
π
4
iii ) f(x)= εφ(χ − )
4)Να βρείτε τις περιόδους των συναρτήσεων:
χ
1
iii) f(x)=3 ηµ3χ
ηµχ
ii) f(x)= ηµ
2
2
v) f(x)= συν3πχ
iv) f(x)= 3συνχ − 1
i) f(x)=
5)Βρείτε την περίοδο , την μέγιστη , και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων.
5
3
i) f(x)= 7ηµ( χ)
ii) f(x)= − 10ηµ (
x
)
8π
f(x)= − 2ηµ( 2χ) − 1
6)Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι σταθερές .
i)f(χ)= ηµ 4 χ + συν 4 χ + 2ηµ 2 χ ⋅ συν 2 χ
ii) f(x)=
2εφ 2 χ
+ 2(συν 2 χ + 1)
1 + εφ 2 χ
7) Να προσδιορίσετε την τριγωνομετρική συνάρτηση με περίοδο 10 η οποία να είναι περιττή και
να έχει μέγιστη τιμή το 6.
8)Να προσδιορίσετε τριγωνομετρική συνάρτηση με περίοδο
8
η οποία να είναι άρτια και να
π
έχει ελάχιστη τιμή το 2 .
9)Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:
i) f(x)= − συν 1500 χ + 4 ii) f(x)= − 10ηµ (
x
)+2
6π
10)Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
i)
f(x)= − συν 2χ και f(x)= − συν 2χ +2
ii)
f(x)= ηµ( πχ) και f(x)= ηµ( 2πχ)
iii)
f(x)= − 3ηµ( πχ) και f(x)= − πηµ( πχ)
11)Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 8συν(αχ ) − 2α .Να προσδιορίσετε τον θετικό αριθμό α σε καθεμία
από τις περιπτώσεις:
i)Η f έχει περίοδο ίση με 10.Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή της f ;
ii)H f έχει ελάχιστη τιμή ίση με -16 .Ποια είναι η περίοδος της ;
12)Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους η συνάρτηση
f(x)=α+βημ8χ
έχει ελάχιστη τιμή το –5 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο (
π
, 3 − 3) .
12
π
− x − συν (π + x ) .
2
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ( x) και να απλοποιηθεί ο τύπος της.
β) Να βρεθούν η περίοδος και τα ακρότατα της f ( x) .
γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f ( x) .
12) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ηµ
13)Μερικές τιμές της περιοδικής συνάρτησης f περιλαμβάνονται στον παρακάτω πίνακα. Αν
είναι γνωστό ότι η μέγιστη τιμή της f είναι το 10 τότε:
χ
0
3
6
9
12
15
18
f(x)
10
0
-10
0
10
0
-10
i)Ποια μπορεί να είναι η περίοδος της f ;
ii) Να βρείτε ένα πιθανό τύπο για την f.
iii)Με βάση τον τύπο που προσδιορίσατε να βρείτε τις τιμές :
3
2
f( ) και f( 2000) .
14)Η πίεση του αίματος ενός ανθρώπου προσεγγίζεται με ικανοποιητική ακρίβεια από την
συνάρτηση
P(t)=100+20συν2 t
όπου t ≥ 0 είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα.
i)Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της πίεσης P ονομάζονται αντίστοιχα συστολική και
διαστολική πίεση. Να βρείτε την συστολική και την διαστολική πίεση του συγκεκριμένου
ανθρώπου.
ii)Πόσους σφυγμούς το λεπτό έχει ο άνθρωπος αυτός ; (π=
22
)
7
15)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
ii) f(x)= σφχ
i) f(x)= εφχ
16)Έστω η συνάρτηση f(x)= συνχ − συνχ, 0 ≤ χ ≤ 2π
i) Για τις διάφορες τιμές του χ να απλοποιήσετε τον τύπο της
ii) Να κάνετε την γραφική της παράσταση.
17)Έστω η συνάρτηση: f(x)=
2 − συν 2 χ − 2 ηµχ
1 + ηµ 2 χ
. Να αποδείξετε ότι:
i) όταν ημχ ≠ ±1 , η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ.
ii) f(x)<1.
18)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)= ηµ 2 χ g(x)= ηµ 2 χ ⋅ συν 2 χ .Να αποδειχθεί ότι είναι περιοδικές με
περίοδο αντίστοιχα T=π (για την f)
T=
π
(για την g).
2
18)Πόσες διαφορετικές μεταξύ τους τιμές , μπορεί να πάρει η συνάρτηση f(x)=συν
2 xπ
, χ ∈ℤ .
5
19)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f με f(x)= ηµ 2 ( π + χ) − 3συν 2 ( π − χ) + 5ηµχ ⋅ συν(−χ) είναι
περιοδική με περίοδο π, αλλά δεν είναι άρτια ούτε περιττή.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ
1)Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές ;
Α.f(x)=2εφχ
Β.f(x)=
ηµ 7 χ + ηµχ
ηµχ
Γ. f(x)= 2συνχ + ηµχ
Δ. f(x)= 2συν 2 χ
2)H συνάρτηση f(x) = − 4συνχ + 3
:
Α. έχει μέγιστο το 4 και ελάχιστο το –4
Β. έχει μέγιστο το 7 και ελάχιστο το –1
Γ. έχει μέγιστο το 3 και ελάχιστο το –1
Δ. δεν έχει μέγιστο και ελάχιστο.
3)Η συνάρτηση f(x)=ημχ έχει:
Α. κέντρο συμμετρίας το Ο(0,0)
Β. άξονα συμμετρίας τον ψ΄ψ
Γ. άξονα συμμετρίας τον χ΄χ
Δ. Ούτε κέντρο συμμετρίας ούτε άξονα συμμετρίας .
4)Έστω η συνάρτηση f(x)=ασυνχ+β. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία
Α(
π
,3)
3
και Β(
π
,1) ,τότε το α+β είναι ίσο με:
2
Α.1 Β.2 Γ.3 Δ.4 Ε. 5
5)Όταν είναι
π
< χ < π, τότε η τιμή του ημχ :
2
Α. αυξάνεται από το -1 στο 0
Β. αυξάνεται από το 0 στο 1
Γ. ελλατωνεται από το 0 στο 1
Δ. ελαττώνεται από 1 στο –1
Ε. ελαττώνεται από 1 στο 0
6)Η συνάρτηση f(x)= εφωχ έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία χ=2π. Τότε το ω είναι:
Α.500
Β.0,25
Γ.
3
4
Δ.
3241
4
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Μια ισότητα που περιέχει τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας ή περισσότερων άγνωστων
γωνιών και δεν είναι ταυτότητα λέγεται τριγωνομετρική εξίσωση.
Κάθε γωνία που επαληθεύει μια τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται μερική λύση. Το σύνολο των
μερικών λύσεων λέγεται γενική λύση της εξίσωσης.
Οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι οι :
ημχ=α ,συνχ=α ,εφχ=α και σφχ=α , α ∈ R.
Λύση της εξίσωσης ημχ =α (1 )
Αν a >1 , η εξίσωση είναι αδύνατη.
Αν a ≤ 1, τότε θα υπάρχει γωνία θ τέτοια ώστε ημθ=α
,όποτε ημχ=ημθ και οι λύσεις της εξίσωσης (1) δίνονται από τους τύπους:
χ=2κ̟+θ ή χ=2κ̟+(̟-θ) , κ ∈ Ζ
Άρα έχουµε:
χ=2κ̟+θ
ηµχ=ηµθ ⇔
κ∈ Ζ
χ=2κ̟+(̟-θ)
Λύση της εξίσωσης συνχ =α (2)
Αν a >1 , εξίσωση είναι αδύνατη.
Αν a ≤ 1, τότε θα υπάρχει γωνία θ τέτοια ώστε συνθ=α
,όποτε συνχ=συνθ και οι λύσεις της εξίσωσης (1) δίνονται :
χ=2κ̟+θ ή χ=2κ̟-θ , κ ∈ Ζ
Άρα έχουµε:
χ=2κ̟+θ
συνχ=συνθ ⇔
κ∈ Ζ
χ=2κ̟-θ
Λύση των εξισώσεων εφχ=α και σφχ=α.
Επειδή η εφχ παίρνει τιμές στο R, θα υπάρχει γωνία θ τέτοια ώστε εφθ=α, όποτε έχουμε:
εφχ=εφθ ⇔ χ=κ̟+θ, κ ∈ Ζ
Αντίστοιχα για την εξίσωση σφχ=α θα
είναι
σφχ=σφθ ⇔ χ=κ̟+θ, κ ∈ Ζ
Λυμένες ασκήσεις
1)Να λύσετε τις εξισώσεις:
i) ημχ=0
ii)συνχ= -
1
2
iii)συνχ= -1
Λύση
i) ημχ=0 ⇔ ημχ=ημ0 ⇔ , κ ∈ Ζ
x = 2 kπ
χ = 2κπ
⇔ κ ∈ Ζ
⇔ κ ∈ Z
⇔ κ ∈ Ζ ⇔ χ=λπ, λ ∈ Ζ.
χ = 2( κ + 1)π x = 2 κπ + π
x = 2κπ +
2π
π
1
⇔ κ ∈ Ζ
ii) συνχ= - ⇔ συνχ= - συν ⇔ συνχ=συν
3
3
2
χ = 2 κπ −
2π
3
2π
3
(-συνχ=συν(π-χ))
iii) συνχ= -1 ⇔ συνχ =συνπ ⇔ (χ=2κπ ± π, κ ∈Ζ ) ⇔ χ=2λπ+π,
2) Να λύσετε τις εξισώσεις :
i) ηµχ= -
Λύση
3
2
ii) συνχ= 2
2
iii)εφχ=0
λ ∈Ζ
π
χ = 2κπ −
χ = 2κπ + (− 4 )
π
π
2
⇔ κ ∈ Ζ
⇔ ημχ=-ημ ⇔ ημχ=ημ(- ) ⇔ κ ∈ Ζ
i) ημχ= 4
4
2
π
χ = 2κπ +
χ = 2κπ + π − (− )
4
(-ημχ=ημ(-χ))
ii) συνχ=-
π
π
3
⇔ συνχ= - συν ⇔ συνχ=συν(π- ) ⇔
6
6
2
συνχ = συν
π
4
ή
5π
4
5π
5π
⇔ χ=2κπ ±
6
6
κ∈ Ζ
iii) εφχ=0 ⇔ χ=κπ, κ ∈ Ζ
3)Να
λύσετε τις εξισώσεις :
i)-2ηµ3χ=
ii)συν
3
x
+1=0
3
iii)εφ(
π
3
-2χ)=
3
Λυση
i) -2ημ3χ=
3 ⇔ ημ3χ = -
π
π
3
⇔ ημ3χ= - ημ ⇔ ημ3χ =ημ(- ) ⇔
3
3
2
π
6 κπ − π
χ =
3x = 2κπ + (− 3 )
9
⇔ κ ∈ Ζ
⇔ κ ∈ Ζ
π
6 κπ + 4π
χ =
3χ = 2 κπ + π − (− )
3
9
ii) συν
x
+1=0
3
⇔ συν
x
x
x
x
= - 1 ⇔ συν = συνπ ⇔ ( =2κπ ± π, κ ∈ Ζ ) ⇔ ( =2λπ+π, λ ∈ Ζ )
3
3
3
3
⇔ χ=6λπ+3π , λ∈ Ζ
iii) εφ(
π
3
-2χ)=
3 ⇔ εφ(
π
3
-2χ)=εφ
π
3
⇔(
π
3
-2χ=κπ+
− κπ
, κ∈ Ζ .
2
4)Να λύσετε την εξίσωση ηµ2χ – 3ηµχ +2 =0
Λύση
Θέτουμε ημχ= t με t ≤ 1. Έτσι η εξίσωση γράφεται :
π
3
, κ∈ Ζ ) ⇔
⇔ (-2χ=κπ ,
κ ∈ Ζ ) ⇔ χ=
t 2 – 3t +2=0
Η τελευταία είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τις t1= 1 και t2=2.Η t2=2 απορρίπτεται
, γιατί είναι t 2 >1.Άρα έχουμε:
ημχ=1 ⇔ ημχ=ημ
π
2
⇔ χ=2κπ+
π
2
, κ∈ Ζ .
Χρήσιμες παρατηρήσεις
Κάποιες φορές είναι δυνατόν να έχουμε μια εξίσωση με διαφορετικούς τριγωνομετρικούς
αριθμούς , την μετατρέπουμε σε εξίσωση με τον ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό με την βοήθεια
συμπληρωματικών γωνιών ή με την βοήθεια γνωστών ταυτοτήτων.
• Αν μια εξίσωση έχει η παίρνει την μορφή ηµ ( f ( x)) = −ηµ ( g ( x)) , τότε γράφουμε :
f ( x) = 2κπ − g ( x)
,κ ∈ ℤ
ηµ ( f ( x)) = −ηµ ( g ( x)) ⇔ ηµ ( f ( x)) = ηµ (− g ( x)) ⇔
f ( x) = 2κπ + π + g ( x)
Σημειώνουμε ότι αντί της σχέσης −ηµ ( g ( x )) = ηµ ( − g ( x )) μπορούμε να γράψουμε:
−ηµ ( g ( x)) = ηµ (π + g ( x))
π.χ
ηµ (2 χ + π ) = −ηµ ( χ + π )
τότε
ηµ (2 χ + π ) = −ηµ ( χ + π ) ⇔ ηµ (2 χ + π ) = ηµ (−( χ + π ))
2 χ + π = 2κπ − ( χ + π )
3χ = 2κπ − 2π
⇔
⇔
2 χ + π = 2κπ + π + χ + π
χ = 2κπ + +π
2
2
χ = κπ − π
⇔
3
3 ,κ ∈ ℤ
χ = 2κπ + +π
ή εναλλακτικά
ηµ (2 χ + π ) = −ηµ ( χ + π ) ⇔ ηµ (2 χ + π ) = ηµ (π + χ + π )
2 χ + π = 2κπ + 2π + χ
⇔ ηµ (2 χ + π ) = ηµ (2π + χ ) ⇔
2 χ + π = 2κπ + π − 2π − χ
χ = 2κπ + π
χ = 2κπ + π
⇔
⇔
2
2 ,κ ∈ ℤ
3χ = 2κπ − 2π
χ = 3 κπ − 3 π
Ανάλογα και στην περίπτωση του συνημίτονου δηλαδή:
• Αν μια εξίσωση έχει η παίρνει την μορφή συν ( f ( x)) = −συν ( g ( x)) , τότε γραφούμε :
f ( x) = 2κπ + π − g ( x)
,κ ∈ ℤ
συν ( f ( x)) = −συν ( g ( x)) ⇔ συν ( f ( x)) = συν (π − g ( x)) ⇔
f ( x) = 2κπ − (π − g ( x))
Δηλαδή
f ( x) = 2κπ ± (π − g ( x), κ ∈ ℤ
−συν ( g ( x)) = συν (π − g ( x)) μπορούμε να γράψουμε:
−συν ( g ( x)) = συν (π + g ( x))
Σημειώνουμε ότι αντί της σχέσης
Όποια μορφή και αν επιλέξουμε ,θα προκύψουν οι ίδιες λύσεις .
(Δείτε την επόμενη άσκηση!!)
5)Να λυθούν οι εξισώσεις :
π
π
π
π
i) ηµ 2χ = συν(χ − ) ii) εφ( − χ) − σφ2χ = 0 iii) ηµ(χ − ) = συν( − χ)
2
3
3
2
Λύση
ηµ2χ=συν(
π
π
π
i) ηµ 2χ = συν(χ − ) ⇔ συν( − 2χ) = συν(χ − ) ⇔
2
2
2
2 κπ π
π
π
π
π
χ = − 3 − 3
− 3χ = 2 κπ − 2 − 2
2 − 2x = 2κπ + χ − 2
⇔ κ ∈ Ζ
⇔ κ ∈ Ζ
⇔ κ ∈ Ζ
χ = −2κπ
χ = −2 κπ
π
π
− 2χ = 2 κπ − π +
3
2
π
−χ)
2
π
π
π
π
ii) εφ( − χ) − σφ2χ = 0 ⇔ εφ( − χ) = σφχ ⇔ εφ( − χ) = εφ( − 2χ) ⇔
3
3
3
2
π
π π
π
π
− x = κπ + − 2χ
χ = κπ + −
χ = κπ +
⇔ 3
⇔
2
2 3 ⇔
6.
κ ∈ Ζ
κ ∈ Ζ
κ ∈ Ζ
π
π
π
π
π
π
π
iii) ηµ(χ − ) = συν( − χ) ⇔ ηµ(χ − ) = ηµ( + χ − ) ⇔ ηµ(χ − ) = ηµ(χ + ) ⇔
2
3
2
2
3
2
6
π π
π
π
0χ = 2κπ + 6 + 2
χ − 2 = 2κπ + χ + 6
Α∆ΥΝΑΤΗ
⇔ κ ∈ Ζ
⇔ κ ∈ Ζ
⇔ κ ∈ Ζ
π π
π
π
2π
2χ = 2 κπ + π − +
χ − = 2κπ + π − χ −
χ = κπ +
2
6
6 2
3
Παρατήρηση 2:Όταν δίνεται διάστημα λύσης , πρέπει να περιορίζεται η παράμετρος κ ∈ Ζ ώστε
οι λύσεις να βρίσκονται εντός του δεδομένου διαστήματος .(βλέπε επόμενη άσκηση)
2
π
στο[0, π] .
6)Να λυθεί η εξίσωση ηµ(χ − ) =
3
2
Λύση
π
π
7π
χ = 2 κπ + 6
χ − 3 = 2 κπ + 4
π
π
π
2
⇔ κ ∈ Ζ
ηµ(χ − ) =
⇔ ηµ(χ − ) = ηµ ⇔ κ ∈ Ζ
3
2
3
4
π
π
13π
χ = 2 κπ +
χ − = 2 κπ + π −
12
3
4
Πρέπει:
7
5
7
7
7π
7
⇔−
≤κ≤
, κ ∈ Ζ .Aρα κ=0.
≤ π ⇔ 0 ≤ 2 κ + ≤ 1 με κ ∈ Ζ .Άρα − ≤ 2κ ≤
12
12
24
24
12
12
7π
7π
⇔χ=
Επομένως η λύση είναι χ=0+
12
12
13
1
13
1
13π
13
1
⇔ − ≤ 2κ ≤
⇔−
≤ κ ≤ − , κ∈Ζ
≤ π ⇔ 0 ≤ 2κ +
≤−
ii) 0 ≤ 2 κπ +
12
12
24
24
12
12
12
7π
.
Δεν υπάρχει όμως τέτοιο κ .Άρα μοναδική λύση είναι η χ=
12
i) 0 ≤ 2 κπ +
7)Η ημερήσια ζήτηση για ένα προιον προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την συνάρτηση:
πt
f(t)=10000+9000συν
183
όπου t ≥ 0 είναι ο χρόνος ( σε ημέρες ) και η χρονική στιγμή t=0 αντιστοιχεί στην αρχή του
έτους.(Θεωρήστε ότι το έτος έχει 366 μέρες ).
i) Πως θα χαρακτηρίζατε το είδος αυτό, καλοκαιρινό ή χειμωνιάτικο; Να δικαιολογήσετε
την απάντηση σας .
ii)Να βρείτε τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η ημερήσια ζήτηση για το είδος αυτό θα
είναι ίση με 14500.Σε ποιες ημερομηνίες αντιστοιχούν αυτές οι χρονικές στιγμές ;
Λύση
i)Η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστη τιμή όταν
πt
πt
πt
συν
= 1 ⇔ συν
= συν0 ⇔
= 2 κπ ⇔ t = 366 κ δηλαδή τις χρονικές στιγμές
183
183
183
2π
= 366 ημέρες και η χρονική στιγμή t=0
0,366,732,1098,….κ.λ.π.όμως η f έχει περίοδο
π
183
αντιστοιχεί στην αρχή του έτους .
Άρα η f παρουσιάζει την μέγιστη τιμή της στην αρχή του έτους , δηλαδή το χειμώνα .Μπορούμε
να πούμε επομένως ότι το συγκεκριμένο είδος είναι χειμωνιάτικο.
ii)Η ημερήσια ζήτηση θα είναι ίση με 14500 όταν:
π
πt
183 = 2 κπ + 3
t = 366k + 61
πt
πt
π
= 14500 ⇔ συν
= συν ⇔ κ ∈ Ζ
⇔ k ∈ Z
f(t)=14500 ⇔ 10000 + 9000συν
183
183
3
πt
t = 366 − 61
π
= 2 κπ −
183
3
Επειδή όμως πρέπει t ≥ 0 , όπως εύκολα βρίσκουμε από τις λύσεις αυτές δεκτές είναι οι:
t = 366k + 61, k ∈ N
∗
t = 366 − 61, k ∈ N
Οι λύσεις t=366k+61 αντιστοιχούν στη 61η μερα κάθε έτους δηλ στην 1η Μαρτίου.
Οι λύσεις t=366k-61 αντιστοιχούν στη 305η μέρα κάθε έτους δηλ στην 31η Οκτωβρίου.
8)Να λυθει ηεξισωση
1 + ηµχ
συνχ
+
συνχ
=4
1 + ηµχ
Λύση
Εχουμε παρανομαστες και για αυτό θα πρεπει να θεσουμε περιορισμους
συνχ ≠ 0 ⇔ χ ≠ κπ +
π
2
,κ ∈ ℤ
1 + ηµχ ≠ 0 ⇔ ηµχ ≠ −1 ⇔ χ ≠ 2κπ −
π
2
,κ ∈ ℤ
Έχουμε λοιπόν:
1 + ηµχ
συνχ
+
συνχ
= 4 ⇔ (1 + ηµχ )2 + συν 2 χ = 4συνχ (1 + ηµχ ) ⇔
1 + ηµχ
1 + ηµ 2 χ + 2ηµχ + συν 2 χ = 4συνχ (1 + ηµχ )
2 = 4συνχ ⇔
ηµ 2 χ +συν 2 χ =1
⇔
2 (1 + ηµχ ) = 4συνχ (1 + ηµχ )
1
π
π
= συνχ ⇔ συν = συνχ ⇔ χ = 2κπ ± , κ ∈ ℤ
2
3
3
Όλες οι τιμές είναι δεκτές συμφωνά με τους περιορισμούς .
Στην λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ βασικό όχι μόνο να
θέτουμε τους απαραιτήτους περιορισμούς αλλά και να ελέγχουμε με προσοχή
αν οι τιμές (λύσεις ) που προκύπτουν είναι δεκτές ή απορρίπτονται.
9)Να λυθεί η εξίσωση:
(1 + ηµχ )(1 +
1
συνχ
) = (1 + συνχ )(1 +
1
ηµχ
)
Λύση
Για να ορίζονται οι παρανομαστές πρέπει :
συνχ ≠ 0 ⇔ χ ≠ κπ +
π
2
,κ ∈ ℤ
,
ηµχ ≠ 0 ⇔ χ ≠ κπ , κ ∈ ℤ
Έτσι η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
(1 + ηµχ )(1 +
1
) = (1 + συνχ )(1 +
1
)⇔
συνχ
ηµχ
συνχ + 1
ηµχ + 1
(1 + ηµχ )
− (1 + συνχ )
=0⇔
συνχ
ηµχ
(1 + ηµχ )(1 + συνχ )(
1
−
1
συνχ ηµχ
1 + ηµχ = 0,1 + συνχ = 0,
1
−
)=0⇔
1
συνχ ηµχ
Έχουμε
1 + ηµχ = 0 ⇔ ηµχ = −1 ⇔ χ = 2κπ −
π
2
,κ ∈ ℤ
Οι τιμές αυτές απορρίπτονται λόγω περιορισμών .
(οι τιμές χ = 2κπ +
χ = 2κπ −
π
2
π
2
απεικονίζονται στον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Β ,Β΄.Οι τιμές
στο σημείο Β΄. Άρα οι τιμές χ = 2κπ −
συνχ = −1 ⇔ χ = 2κπ + π , κ ∈ ℤ
Οι τιμές αυτές απορρίπτονται διότι χ ≠ κπ .
(1)
ηµχ = συνχ ⇔
χ = κπ +
π
4
ηµχ
π
= 1 ⇔ εφχ = 1 ⇔ εφχ = εφ ⇔
2
συνχ
,κ ∈ ℤ
Οι τιμές αυτές είναι δεκτές .
π
2
απορρίπτονται )
Ασκήσεις προς λύση
1. Να λυθούν οι εξισώσεις:
i) ημx = - ημ25°
iii) 3ημx + 6 = 0
iv) συν (x + 50°) = ημ (x + 20°)
v) 2ημ2χ-1=0
vi) συνx = - συν30°
vii) σφ2x - 1 = 0
viii) εφ ( χ −
π
6
)=− 3
2)Να λυθούν οι εξισώσεις:
i) 2ημ2x - 3ημx + 1 = 0
ii) 2ημ2θ = 3 (1 - συνθ)
iv) συνχ + 1 = −
1
4συνχ
=
vii) 16συν4x - 25συν2x + 9 = 0
x) εφ4x - 4εφ2x + 3 = 0
xi) 2ημ2x - συν2x - 1 = 0
xii)
1 + εφχ
= 2ηµχ
1 + σφχ
3)Να λυθούν οι εξισώσεις:
i) ημx + συνx = 0
ii) ημ2x = συν(χ-
π
)
3
iv) συν 3χ = ηµ ( χ +
π
3
)
,
4)Να λυθούν οι εξισώσεις :
π
4
i) συν ( x − ) =
3ηµ ( x +
3π
)
4
ii) (2ημx-1)2+(3συνx- 3 )2=0,
iii) 4συν 4 χ + 5ηµ 2 χ − 4 = 0
5) Να λυθούν οι εξισώσεις::
i)
ημ(ημχ)=0
ii)
συν(συνχ)=1
6)Να λύσετε στο διάστημα [0,2π] τις εξισώσεις :
i) εφχ +
ii)
συνχ
=2
1 + ηµχ
1 + συνχ = ηµχ
7)Να λύσετε την εξίσωση
i) 2ηµ
ii)
π( t + 9)
=1
6
O πληθυσμός
ενός είδους άγριου ζώου παρουσιάζει κατά την διάρκεια του έτους
διακύμανση που περιγράφεται ικανοποιητικά από την συνάρτηση :
f(t)= 2000ηµ
π( t + 9)
+ 16000
6
όπου f(t) είναι ο πληθυσμός , t ο χρόνος (σε μήνες) και η χρονική στιγμή t=0 αντιστοιχεί στην
αρχή του έτους .Να προσδιορίσετε τις χρονικές στιγμές του έτους κατά τις οποίες ο πληθυσμός
θα είναι ίσος με 17000.
8)Έστω ότι ο ήλιος ανατέλλει στις 7:30 κάθε πρωί και μέχρι να δύσει, δώδεκα ώρες μετά, διανύει
στον ουρανό τόξο 180ο με σταθερό ρυθμό ώστε στις 13:30 να βρίσκεται ακριβώς πάνω από μια
συγκεκριμένη τοποθεσία.
Να βρείτε τις ώρες κατά τις οποίες δέντρο ύψους 10 μέτρων, που βρίσκεται στην παραπάνω
τοποθεσία, κάνει σκιά μήκους 10 3 μέτρων.
9)Να λύσετε την εξίσωση 2συν 3 χ + ηµ 2 χ = 2συνχ στο διάστημα[0,
π
] .
2
10)Να προσδιορίσετε πραγματικούς αριθμούς χ,ψ τέτοιους ώστε να ισχύει:
συν
χ
ψ
− ηµ + 2 = 0 .
3
2
11)Έστω η συνάρτηση f ( x ) =
συν 2 χ
2 − συν 2 χ
i) Να δείξετε ότι ορίζεται στο R.
ii) Να βρείτε τις τιμές του α ∈ R για τις οποίες έχει λύση η εξίσωση f(χ)=α.
12)Δίνεται η εξίσωση
3
4
ηµ 2 χ + λ 2συνχ = λ + , λ ∈ ℝ
Αν μια λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός χ =
α)να βρείτε την τιμή του λ
2π
τότε :
3
β)Nα βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης.
1 + συνχ = ηµχ .
13)Να λυθει η εξισώση
14)Δίνεται η συνάρτηση :
f ( x) = κ ⋅ηµ (
2x
)+λ
3
με x ∈ ℝ, κ ∈ ℝ +* , λ ∈ ℝ .Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(0,1) και η
μέγιστη τιμή της f είναι το 3.
α)Να αποδείξετε ότι κ =2 και λ=1
β)Να κατασκευάσετε πίνακα τιμών για την συνάρτηση f
και να κάνετε την γραφική
παράσταση στο διάστημα Δ= [ 0,3π ]
γ)Να βρείτε τα σημεία , στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει
χ ∈ [ 0,3π ] .
15)Να λύσετε την εξίσωση :
π
π
ηµ 2002 (3x − ) + συν 2004 ( x + ) = 0
2
3
0ταν x ∈ (π , 2π )
Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής
1) Η εξίσωση ημx = -
1
έχει λύσεις τις:
2
π
6
5π
π
ή x = 2κπ +
Γ. x = 2κπ +
6
6
Α. x = 2κπ +
π
6
7π
π
ή x = 2κπ +
Δ. x = 2κπ 6
6
Β. x = 2κπ -
Ε. καμία από τις προηγούμενες
2) Η εξίσωση συνx = π
4
π
Δ. x = 2κπ 4
Α. x = 2κπ ±
2
έχει λύσεις τις:
2
π
Β. x = κπ ±
4
Ε. x = (κ + 1) π ±
Γ. x = 2κπ ±
3π
4
3)Οι εξισώσεις ημχ=α και συνχ=α έχουν λύση , όταν :
Α. α ≠ 0
Β. α ≤ 1
Δ. α ≤ 1
Ε. α > 1
Γ. α ≥ −1
3π
4
τον άξονα χχ΄, όταν
4)Αν η εξισωση συνx = α+2 εχει λυση , τοτε :
Γ. α ≥ 2
Β. α ≤ 1
Α. α > 0
Δ. α ∈ [ −3, −1]
Ε. −2 ≤ α ≤ 1
5)Οι λύσεις της εξίσωσης ημχ = 0 είναι οι :
Α. x = κπ
Β. x = 2κπ
Δ. x = 2κπ +π
Γ. x = 2κπ +
π
2
Ε. τίποτα από τα παραπάνω
6) Η στήλη Α περιέχει ορισμένες βασικές εξισώσεις των οποίων οι λύσεις βρίσκονται στη στήλη
Β. Συνδέστε κάθε εξίσωση με τις λύσεις της.
στήλη Α
ημx = ημ15°
ημx =
1
2
x = κπ +
συνx = 0
συνx = -
εφx =
στήλη Β
π
x = 2κπ ±
4
1
2
3
εφx = - 1
π
3
x = 360° κ ± 120°
x = κπ -
π
4
π
12
11π
ή x = 2κπ +
12
x = 2κπ +
x = κπ +
π
2
x = 2κπ +
π
6
ή x = 2κπ + π -
x = κπ +
π
4
x = κπ -
π
3
x = 2κπ -
π
12
ή x = 2κπ + π +
π
6
π
12
© Copyright 2024 Paperzz
