ΕΔΩ

1
H Εννοια του διανυσματος
Διανυσμα :
Β Περας

2
Λεγεται ενα προσανατολισμενο
ευθ.
τμημα
του
οποιου
τα
ακ3. Να δειχτει οτι α + 110  20α. Ποτε ισχυει τοΑΒ
ισον;
3
ρα θεωρουνται
.Το
σημειοτους
λεγεται
αρχη Α = α + β 3 , Β = α 2 β + αβ 2 .
2. διατεταγμενα
Aν α, β θετικοι
, ναπρωτο
συγκρινεται
αριθμους
ή σημειο εφαρμογης, ενω το δευτερο λεγεται περας του δια- Α
νυσματος.
Αρχη

Το διανυσμα με αρχη Α και περας Β συμβολιζεται με ΑΒ
η και με ενα πεζο ελληνικο ή λατινικο γραμμα βαζοντας πα
νω του ενα βέλος π.χ. το κ

κ

Oμορροπα διανυσματα
Ειναι τα παραλληλα διανυσματα που αν :
● εχουν τον ιδιο φορεα, η μια απ’τις ημιευθειες που οριζουν,
περιεχεται στην αλλη.
● εχουν παραλληλους φορεις, βρισκονται στο ιδιο ημιεπιπεδο ως προς την ευθεια που περναει απ’τις αρχες τους.
Συμβολισμος ‘  ’


π.χ. u  v
H Εννοια του διανυσματος

|u|= 1
Α

v
Φορεας διανυσματος:
Ειναι η ευθεια πανω στην οποια βρισκεται το διανυσμα. Η


ευθεια ε ειναι φορεας του u και v , η ευθεια ζ ειναι φορεας

του κ
Παραλληλα ή συγγραμικα διανυσματα:
Εχουν τον ιδιο φορεα ή παραλληλους φορεις.




Συμβολισμος ‘ // ’ π.χ. u / /v και u / /κ
Διανυσματα με ιδια διευθυνση:
  
Λεγονται τα παραλληλα διανυσματα π.χ. τα
κ , u ,v
Β

| ΑΒ |=1

u
ε

κ
ζ

v

u
ε
ζ

u

v
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/

Μετρο διανυσματος ΑΒ :

Λεγεται το μηκος του ευθ. τμηματος ΑΒ. Συμβολιζεται | ΑΒ |


και προφανως ειναι | ΑΒ |  0 . Ισχυει | ΑΑ |=0
Μοναδιαιο λεγεται το διανυσμα που εχει μετρο την μοναδα.
 
π.χ.τα AB , u

ΑΑ


0
Μηδενικο:
Λεγεται το διανυσμα του οποιου η αρχη και το τελος συμπι 
πτουν. Συμβολιζεται 0 ή ΑΑ .
2
H Εννοια του διανυσματος
Αντιρροπα διανυσματα
Ειναι τα παραλληλα διανυσματα που αν :
● εχουν τον ιδιο φορεα, καμια απ’τις ημιευθειες που οριζουν
δεν περιεχεται στην αλλη.
● εχουν παραλληλους φορεις, βρισκονται σε διαφορετικα ημιεπιπεδα ως προς την ευθεια που περναει απ’τις αρχες
τους.
Συμβολισμος ‘  ’


π.χ. u  v

v

u
ε

v
ζ
 
u = v η (σχημα)
 
u =κ
Αντιθετα διανυσματα
Ειναι δυο αντιρροπα διανυσματα που εχουν ισα μετρα.




 
Δηλαδη: m  n και | m |=| n | τοτε m =- n η (σχημα)




 
n  κ και | n |=| κ | τοτε n =- κ

v

u

n

m

κ

 
 Για καθε διανυσμα ΑΒ ειναι : ΑΒ = -ΒΑ
 Το μηδενικο διανυσμα εχει οποιαδηποτε κατετυθυνση, οποτε ειναι παραλληλο με
οποιοδηποτε αλλο διανυσμα.


 
 Αν Μ το μεσο του τμηματος ΑΒ τοτε : ΑΜ = ΜΒ και ΑΜ = - ΒΜ
 
 Αν ΑΜ = ΜΒ τοτε : Μ το μεσο του τμηματος ΑΒ
 
Γωνια δυο διανυσματων u , v
Λεγεται η θετικη και κυρτη γωνια που σχηματιζουν, οταν με
παραλληλη μεταφορα αποκτησουν κοινη αρχη.




Συμβολιζουμε με (u, v) ή (v,u) με 00  (u, v) ή (v,u)  1800
 Τα ομορροπα διανυσματα σχηματιζουν γωνια 00 


u  v τοτε (u, v) = 00
 Τα αντιροπα διανυσματα σχηματιζουν γωνια 180 


u  v τοτε (u, v) = 1800
 

 Στη περιπτωση που (u, v) = 900 τα διανυσματα u, v λεγον  
ται καθετα ή ορθογωνια και συμβολιζονται u  v.
0

u

v

v
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
Ισα διανυσματα
Ειναι δυο ομορροπα διανυσματα που εχουν ισα μετρα.




Δηλαδη: u  v και | u |=| v | τοτε




u  κ και | u |=| κ | τοτε

u
3
Πραξεις διανυσματων
 
Αθροισμα δυο διανυσματων u , v
 
 Mε παραλληλη μεταφορα καθιστουμε τα διανύσματα u, v
διαδοχικα (το περας του πρωτου αρχη του δευτερου).
 

Αθροισμα u + v ειναι το διανυσμα με αρχη, την αρχη του u

και περας, το περας του v.
 
 Mε παραλληλη μεταφορα καθιστουμε τα διανύσματα u, v

u

v
 
u+v

u

v
 
u+v
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
με κοινη αρχη. Σχηματιζουμε παραλληλογραμμο με διαδοχι  
κες πλευρες τα διανυσματα u, v.
 
Αθροισμα u + v ειναι το διανυσμα της διαγωνιου του παραλλη  
λογραμμου με αρχη, την αρχη των u, v.
Ιδιοτητες της πρόσθεσης διανυσματων
   
α) α+β = β+α
(αντιμεταθετική)
     
β) (α+β)+γ = α+(β+γ)
(προσεταιριστική)
   
γ) α+0 = 0+α
(ουδέτερο στοιχείο)
 

(αντίθετο στοιχείο
δ) α+(-α) = 0
 
Διαφορα δυο διανυσματων u , v


 Η διαφορα του διανυσματος v απ'το διανύσμα u, ειναι το

αθροισμα του διανυσματος u με το αντιθετο του διανυσμα 

τος v (το - v ).
  

Ειναι u - v = u + (-v)
 
 Mε παραλληλη μεταφορα καθιστουμε τα διανύσματα u, v
με κοινη αρχη. Σχηματιζουμε παραλληλογραμμο με διαδοχι  
κες πλευρες τα διανυσματα u, v.
 
Αθροισμα u - v ε ιναι το διανυσμα της διαγωνιου του παραλλη 
λογραμμου με αρχη, το περας του v.
Διανυσμα θεσης σημειου του επιπεδου
 Ενα σημειο Ο του επιπεδου, που το θεωρουμε ως αρχη, το
λεμε σημειο αναφορας.
 Διανυσματικη ακτινα του σημειου Α (διανυσμα θεσης του

σημειου Α) λεμε το διανυσμα ΟΑ, οπου Ο το σημειο αναφορας.

 Ενα διανυσμα MΝ ισουται με τη διανυσματικη ακτινα του περατος του μειον τη διανυσματικη ακτινα της αρχης του.
  
Δηλαδη ειναι: MΝ = ΟΝ - ΟM (Ο το σημειο αναφορας).
 
u-v

u

v

-v

u

v

v
 
u-v
Α
Ο
Μ
Ο

v
Ν
4
Πραξεις διανυσματων
Τριγωνικη ανισοτητα στα διανυσματα
Το μετρο του αθροισματος δυο διανυσματων περιεχεται με ταξυ του αθροισματος των μετρων τους και της απολυτης
τιμης της διαφορας των μετρων τους.


 


Δηλαδη : | | u | - | v ||  | u + v |  | u | + | v |

u

 
u+v

v

u
Πολλαπλασιασμος αριθμου λ με διανυσμα u
 
Γινομενο του αριθμου λ  0 με το διανυσμα u  0 ειναι ενα


διανυσμα που συμβολιζεται λu η λ  u και

 αν λ > 0 τοτε ειναι ομορροπο του u

 αν λ < 0 τοτε ειναι αντιρροπο του u

 
 αν λ = 0 η u = 0 τοτε ειναι ισο με 0

2u
Ιδοτητες πολλαπλασιασμου αριθμου με διανυσμα
 
 
 
 
 λ(u+v) = λu+λv
 λu = 0  λ = 0 η u = 0

 



 (λ + μ)u = λu+μu
 (-λu) = λ(-u) = - (λu)


 


 λ(μu) = (λμ)u
 λ(u - v) = λu - λv



 (λ - μ)u = λu - μu


 
 λu = λv και λ  0 τοτε u = v




 λu = μu και u  0 τοτε λ = μ
 
Συνθηκη παραλληλιας δυο διανυσματων u , v
 
 
Δυο διανυσματα u, v με v  0 ειναι παραλληλα αν και μονο


αν υπαρχει λ   τετοιος ωστε u = λv.

u
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/

-2u

v

2u
Γραμμικος συνδιασμος διανυσματων
 
 Γραμμικος συνδιασμος δυο διανυσματων u, v ειναι καθε δια 


νυσμα της μορφης κ = μu + ρv με μ,ρ  .
  
 Γραμμικος συνδιασμος των διανυσματων u1 ,u2 ... uν ειναι κα 



θε διανυσμα της μορφης κ = λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λν uν με

-3v
 
2u - 3v
λ1 , λ2 , ... , λν  .
Διανυσματικη ακτινα μεσου (εφαρμογη)
To σημειο Μ ειναι μεσο του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ αν
 
 ΟΑ + ΟΒ
και μονον αν: ΟΜ =
.
2
Α π ο δειξη
 
   
  
Ειναι ΑΜ = ΜΒ  ΟΜ - ΟΑ = ΟΒ - ΟΜ  2ΟΜ = ΟΒ + ΟΑ 
 
 ΟΑ + ΟΒ
ΟΜ =
2
Α
Ο
Μ
Β
5
Συντεταγμενες στο επιπεδο
Αξονας
Ειναι μια ευθεια x'x στην οποιαν εχει ορισθει ενα σημειο Ο
 
για αρχη και ενα μοναδιαιο διανυσμα ΟΑ = i στη διευθυνση
x’
της ημιευθειας Οx.
θετικος ημιαξονας ειναι η ημιευθεια Οx,ενω αρνητικος η ημι ευθεια Οx'.

i
O
M(x) x
A

x


Για καθε σημειο Μ του αξονα υπαρχει μοναδικο x  , τετοιο ωστε ΟΜ = xi .


Αντιστροφα, για καθε x  , υπαρχει στον αξονα σημειο Μ, τετοιο ωστε ΟΜ = xi .
Ο x λεγεται τετμημενη του σημειου Μ.
y
Μy
M(x, y)
j
x’ O
y’
i
Μx x
Καθε σημειο Μ του επιπεδου αντιστοιχιζεται σ'ενα ζευγος (x,y) πραγματικων αριθμων
που λεγονται συντεταγμενες του σημειου Μ. Το x ειναι η τετμημενη του σημειου Μ, ενω το y ειναι η τεταγμενη του σημειου Μ. Το σημειο Μ συμβολιζεται: Μ(x,y) η (x,y).
Αντιστροφα, καθε ζευγος (x,y) πραγματικων αριθμων αντιστοιχιζεται σ'ενα σημειο Μ του
επιπεδου.
Συντεταγμενες διανυσματος
Καθε διανυσμα στο επιπεδο γραφεται με μοναδικο τροπο σαν

γραμμικος συνδιασμος των μοναδιαιων διανυσματων i, j .

 

Δηλαδη u = xi + yj (Συμβολιζουμε : u = (x, y)).


Τα διανυσματα xi και yj αποτελουν τις συνιστωσες του δια 
νυσματος u.
y

u

u
Μy
j
x’ O
y’
M(x, y)
i
Μx x
 Δυο διανυσματα ειναι ισα, αν και μονον αν, οι αντιστοιχες συντεταγμενες τους ειναι


 
ισες. Αν u = (x1 , y1 ) και v = (x2 , y2 ) τοτε : u = v  x1 = x2 και y1 = y2 .
 
 Προσθεση : u + v = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
 
 Αφαιρεση : u - v = (x1 , y1 ) - (x2 , y2 ) = (x1 - x2, y1 - y2 )

 Πολλαπλασιασμος με αριθμο : λu = λ(x1 , y1 ) = (λx1 , λy1 )
 
 Γραμμικος συνδιασμος : λu + μv = λ(x1 , y1 ) + μ(x2 , y2 ) = (λx1 + μx2 , λy1 + μy2 )
Συντεταγμενες μεσου ευθυγραμμου τμηματος
To ευθυγραμμο τμημα ΑΒ με ακρα Α(x1 ,y1 ), Β(x2 ,y2 ) εχει
x + x2
y +y
μεσο M(x,y) με συντεταγμες x = 1
και y = 1 2 .
2
2
Α(x1 , y1 )
Μ(x, y)
Β(x2 , y2 )
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
Ορθοκανονικο συστημα συντεταγμενων στο επιπεδο
Ειναι δυο καθετοι αξονες x'x, y'y με κοινη αρχη Ο στους


οποιους εχουν οριστει τα μοναδιαια διανυσματα i και j.
Ο x'x ειναι ο αξονας των τετμημενων, ενω ο y'y ο αξονας
των τεταγμενων.
Το συστημα των δυο αξονων λεγεται και Καρτεσιανο επιπεδο.

Download Report