1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ●Ορισμος * 2 Μια ακολουθια ονομαζεται καιΠοτε μονοισχυει αν, υπαρχει 3. Ναγεωμετρικη δειχτει οτι απροοδος + 110 ,αν 20α. το ισον;λ   , τετοιος ωστε για α, καθε ν   * ,να 2. Aν β θετικοι να ισχυει: συγκρινεται τους αριθμους Α = α 3 + β 3 , Β = α 2 β + αβ 2 . α αν+1 = λαν η ν +1 = λ αν Ο αριθμος λ ονομαζεται λογος της γεωμετρικης προοδου. ● Τρεις αριθμοι α,β,γ είναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου αν και μονο αν: β 2 = αγ η β = αγ Αποδειξη Αν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, τοτε ισχυει : ● αν = α1  λν -1 ● Sν = α1 (λν - 1) αν λ≠1 η Sν = ν  α1 αν λ=1 λ- 1 Αποδειξη Το αθροισμα των ν πρωτων ορων γεωμ. προοδου, δινεται : Sv = α1 + α1 .λ + α1 .λ 2 + ... + α1 .λ ν-2 + α1 .λ ν-1 (1) και λSv = α1 .λ + α1 .λ 2 + α1 .λ 3 + ... + α1 .λ ν-1 + α1 .λ ν (2) Απο (2) - (1) : λSv - Sv = α1 .λ ν - α1  (λ - 1)Sv = α1 (λ ν - 1)  Sv = α1 (λ ν - 1) λ -1 M ε θ ο δ ο ς ( Δ ι α δ. Ο ρ ο ι Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η ς Π ρ ο ο δ ο υ ) Aν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, να δειχτει οτι και οι : (α - β + γ) 2 , α 2 + β 2 + γ 2 , (α + β + γ) 2 ειναι επισης διαδ. οροι γεωμετρικης προοδου. 1ο Βημα : Βρισκουμε τη δοσμενη σχεση : • Αφου οι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, τοτε ισχυει : β2 = αγ (1) 2ο Βημα : Ελεγχουμε αν οι τρεις ζητουμενοι οροι ειναι διαδοχικοι : • Για να ειναι οι (α - β + γ)2 , α2 + β2 + γ2 , (α + β + γ)2 διαδ. οροι γεωμ. προοδου πρεπει : (1) (α2 + β2 + γ2 )2 = (α - β + γ)2 (α + β + γ)2  (α2 + β2 + γ2 )2 = [(α + γ)2 - β2 ]2  (α2 + β2 + γ2 )2 = [(α + γ)2 - αγ]2  (α2 + β2 + γ2 )2 = (α2 + 2αγ + γ2 - αγ)2  (1) (α2 + β2 + γ2 )2 = (α2 + αγ + γ2 )2  (α2 + β2 + γ2 )2 = (α2 + β2 + γ2 )2 που αληθευει. τοιος ωστε για κάθε ν   * να ισχυει: αν+1 = αν + ω η αν+1 - αν = ω H Εννοια του διανυσματος Ο αριθμος ω ονομαζεται διαφορα της αριθμητικης προοδου. ● Τρεις αριθμοι α,β,γ είναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου αν και μονο αν: α +γ 2β=α+γ η β = 2 Αποδειξη Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/  β / α = λ β γ  =  β2 = α.γ  α β  γ / β = λ Αντιστροφα : Αν ισχυει β2 = α.γ τοτε β / α = γ / β, που σημαινει οτι οι αριθμοι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμ. προοδου. ● Ο αριθμος β λεγεται γεωμετρικος μεσος των α και γ. ● Σε μια γεωμετρικη προοδο ( αν ) με λογο λ, ισχυουν: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 2 Mεθοδος (Αθροισμα ν πρωτων ορων Γ. Π.) Το αθροισμα των 4 πρωτων ορων γεωμετρικης προοδου ισουται με 15, ενω το αθροι σμα των 8 πρωτων ορων της ισουται με 255. Να βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου α1 καθως και ο λογος λ. 1ο Βημα : Σχηματιζουμε συστημα 2Χ2 με τα δοσμενα : S4 = 15 • S8 = 255 2ο Βημα : Λυνουμε το συστημα που προκυπτει :  λ4 - 1  λ4 - 1 α = 1  α = -3 = 15 = 15 α  α1  1   1 λ -1 η  1  λ -1 λ = 2  λ = -2  λ = ±2  λ = ±1(απορ) η λ = ±2   Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/  λ4 - 1  λ4 - 1 λ4 - 1  λ4 - 1 α = 15 = 15 α = 15  1 (:)  1 = 15 α  λ -1 λ -1 λ -1    8   1 λ -1 8 8 λ -1 λ -1 λ -1 8 4    = 17 = 255 α = 255  λ - 1 = 17(λ - 1)  1 λ - 1  λ 4 - 1 λ -1  λ4 - 1  λ4 - 1  λ4 - 1  λ4 - 1 λ 4 =y λ 4 =y α = 15 α = 15 = 15 = 15  1  α α   1 λ -1   1 λ -1   1 λ -1   λ -1  λ 8 - 17λ 4 + 16 = 0  y2 - 17y + 16 = 0  y = 1 η y = 16  λ 4 = 1 η λ 4 = 16       α1 • α  1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 1 • Εστω γεωμετρικη προοδος με πρωτο ορο α1 = 1 και λογο λ = 2. • Να βρεθει ο πεμπτος ορος της. • Αν το αθροισμα των ν πρωτων ορων της ειναι ισο με 511, τοτε να βρεθει το πληθος ν των ορων αυτων. • Εστω γεωμετρικη προοδος με α3 = 4 και α6 = 32. • Να βρεθει ο πρωτος ορος της α1 . • Να βρεθει ο λογος λ. • Να βρεθει το αθροισμα των 10 πρωτων ορων της. • Ο τυπος του ν - οστου ορου Γ.Π. δινεται απο : Αν ν = 5, τοτε : α5 = α1  λ5-1  α5 = 1  24  α5 = 16 Το αθροισμα των ν πρωτων ορων Γ.Π. δινεται απο : λν - 1 Sv = α1 . λ -1 Ομως, λν - 1 2ν - 1 Sv = 511  α1 = 511  1. = 511  2ν - 1 = 511  2ν = 512  2ν = 29  λ -1 2-1 ν=9 2 2 2 2 α1 = 1 α3 = 4 α1  λ = 4 (:) α1  λ = 4 α1  λ = 4 α1  2 = 4 •          5 3 3 3 α6 = 32 λ = 2 λ = 2 λ = 2 α1  λ = 32 λ = 8 Αρα, S10 = 1. 210 - 1 = 210 - 1 = 1024 - 1 = 1023 2-1 Αν οι αριθμοι συνα, ημβ, συνβ, ημα αποτελουν διαδοχικους ορους γεωμετρικης προ οδου, τοτε να δειχτει οτι : συν(α - β) = 1. • Αφου συνα, ημβ, συνβ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου τοτε : ημ2β = συνασυνβ (1) • Αφου ημβ, συνβ, ημα ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου τοτε : συν 2β = ημαημβ (2) Οποτε, προσθετοντας κατα μελη τις (1) και (2) προκυπτει ημ β + συν β = συνασυνβ + ημαημβ 2 2 1 = συνασυνβ + ημαημβ συν(α - β) = 1 ημ2β+συν2β=1  συν(x - y)=συνxσυνy +ημxημy  Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ αν = α1 .λν-1 . 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ • Εστω γεωμετρικη προοδος με : α1 + α4 = 9 και α2 .α3 = 8. • Να βρεθει ο πρωτος ορος της α1 . • Να βρεθει ο λογος λ. • Εστω γεωμετρικη προοδος με α1 + λ = 5 και α2 = 6. • Να βρεθει ο πρωτος ορος της α1 . • Να βρεθει ο λογος λ. • Να βρεθει το αθροισμα των 5 πρωτων ορων της. 4-1  α1 + α4 = 9  α1 + α1  λ = 9 •   2-1 3-1 (α1  λ )(α1  λ ) = 8  α2  α3 = 8 =9 8   α12 - 9α1 + 8 = 0  α1 = 1 η α1 = 8  α1 + α = 9    1   3   3  8 8 λ3 = 8 λ = α 2 λ = α 2  1  1  α12  α =8 α = 8 α1 = 1  1  1 η   3 1   1 λ = 2 λ = λ = 8  2   α1 + λ = 5  α1 + λ = 5   οποτε οι αριθμοι α1 , λ ειναι ριζες της εξισωσης : •  α1  λ = 6  α2 = 6 x2 - 5x + 6 = 0  (x1 = 2, x2 = 3)  (α1 = 2, λ = 3) η (α1 = 3, λ = 2) 34 - 1 = 81 - 1 = 80 3-1 24 - 1 • Αν α1 = 3 και λ = 2, τοτε : S5 = 2 = 2(16 - 1) = 30 2-1 • Αν α1 = 2 και λ = 3, τοτε : S5 = 2 • Nα βρεθει ο x, αν οι αριθμοι x - 3, 4 - 2x , x - 2 με x  2 αποτελουν δ.ο.Γ.Π. . Ποιοι ειναι οι οροι αυτοι; • Aν α, β, γ ειναι δ.ο.Γ.Π. , να δειχτει οτι και οι (α - β + γ) 2 , α 2 + β 2 + γ 2 , (α + β + γ) 2 ειναι επισης δ.ο.Γ.Π. . • Αφου οι x - 3, 4 - 2x, x - 2 ειναι διαδοχικοι οροι γεωμ. προοδου, τοτε : x <2 (x - 3)(x - 2) = ( 4 - 2x)2  x2 - 5x + 6 = 4 - 2x  x2 - 3x + 2 == 0  x 2 x2 - x - 2x + 2 = 0  x(x - 1) - 2(x - 1) = 0  (x - 1)(x - 2) = 0  x = 1 η x = 2  x = 1 • Για x = 1 οι διαδοχικοι οροι ειναι : -2, 2 , - 1 . • Αφου οι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, τοτε ισχυει : β2 = αγ (1) Για να ειναι οι (α - β + γ)2 , α2 + β2 + γ2 , (α + β + γ)2 διαδοχικοι οροι γεωμ. προοδου πρεπει : (1) (α2 + β2 + γ2 )2 = (α - β + γ)2 (α + β + γ)2  (α2 + β2 + γ2 )2 = [(α + γ)2 - β2 ]2  (α2 + β2 + γ2 )2 = [(α + γ)2 - αγ]2  (α2 + β2 + γ2 )2 = (α2 + 2αγ + γ2 - αγ)2  (1) (α2 + β2 + γ2 )2 = (α2 + αγ + γ2 )2  (α2 + β2 + γ2 )2 = (α2 + β2 + γ2 )2 που αληθευει. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ 8   α1 + α1  α 2  1   λ3 = 8  α12  α1 = 1  8 η  3 λ = α 2  1  α1 + α1  λ 3 = 9  α1 + α1  λ 3 = 9   3  8  2 3  α1  λ = 8 λ = α 2  1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 3 • Σε γεωμετρικη προοδο με πρωτο ορο α1 και λογο λ, ισχυει : • α1 = 2λ • α3 - α1 = 12 Να βρεθει η προοδος και το αθροισμα των 5 πρωτων ορων της. •Το αθροισμα των 4 πρωτων ορων γεωμετρικης προοδου ισουται με 15, ενω το αθροι σμα των 8 πρωτων ορων της ισουται με 255. Να βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου α1 καθως και ο λογος λ.  α1 = 2λ  α1 = 2λ  α1 = 2λ  α1 = 2λ  2    •  3 2  α3 - α1 = 12  λ - λ - 6 = 0 2λ  λ - 2λ = 12  α1λ - α1 = 12  α1 = 2λ  α1 = 2λ  α1 = 2λ  α1 = 4     η γ.π. : 4, 8, 16, ...  3   2  λ - λ - 6 = 0 (λ - 2)(λ + 2λ + 3) = 0 λ = 2 λ = 2 λ 5-1 - 1 24 - 1 Οποτε, S5 = α1 =4 = 4(24 - 1) = 4(16 - 1) = 4  15 = 60 λ -1 2-1 4  λ -1  λ4 - 1  λ4 - 1  λ4 - 1 α = 15 15 α = 15 α =  1  1 (:)  1 S4 = 15 = 15  λ -1  α1 λ -1 λ -1 •   8   λ -1   8 8 S8 = 255  α λ - 1 = 255  α λ - 1 = 255  λ - 1 = 17  λ 8 - 1 = 17(λ 4 - 1)  1 1  λ - 1  λ - 1  λ 4 - 1  λ4 - 1  λ4 - 1  λ4 - 1  λ4 - 1 λ 4 =y λ 4 =y α = 15 α = 15 = 15 α = 1 5  1   α   1 λ -1   1 λ -1   1 λ -1   λ -1  λ 8 - 17λ 4 + 16 = 0  y2 - 17y + 16 = 0  y = 1 η y = 16  λ 4 = 1 η λ 4 = 16     Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ • Nα βρεθουν τρεις ακεραιοι αριθμοι που να αποτελουν διαδοχικους ορους γεωμετρι κης προοδου, αν το αθροισμα τους ειναι 14 και το γινομενο τους 64. • Nα βρεθουν τρεις ακεραιοι αριθμοι που να αποτελουν διαδοχικους ορους γεωμετρι κης προοδου, αν το αθροισμα τους ειναι 14 και αν στο μεσαιο προσθεσουμε τον αριθ μο 1, τοτε οι τρεις ακεραιοι γινονται διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου. x Εστω , x, λx ειναι οι τρεις ζητουμενοι ακεραιοι (δ.οροι Γ.Π.). λ x x 4  λ + x + λx = 14  + x + λx = 14  + 4 + 4λ = 14 λ  0  x = 4 •  λ  λ   2  x 5λ + 2 = 0 2λ 3    x  λx = 64  x = 64  x = 4   λ x = 4  λ = 2 : οι διαδοχικοι οροι ειναι : 2, 4, 8    1  1  λ = 2 η λ = 2  λ = 2 : οι διαδοχικοι οροι ειναι : 8, 4, 2  x  2(x + 1) + x = 14  2x + 2 + x = 14 x = 4  λ + x + λx = 14    •      x x 4 2(x + 1) = x + λx 2x + 2 = λ + λx 2x + 2 = λ + λx 10 = λ + 4λ  λ x = 4  λ = 2 : οι διαδοχικοι οροι ειναι : 2, 4, 8 x = 4     2 1   1 2λ - 5λ + 2 = 0  λ = 2 η λ = 2  λ = 2 : οι διαδοχικοι οροι ειναι : 8, 4, 2 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ  λ4 - 1  λ4 - 1 α = 1 α = -3 = 15 = 15  α1 α   1 λ -1  1 η  1  λ -1 λ = 2 λ = -2  λ = ±1(απορ) η λ = ±2  λ = ±2   Οποτε α1 =3 • α9 = 768  α1  λ 8 = 128  3λ 8 = 768  λ 8 = 256  λ 8 = 28  λ = 2 λ 6 - 1 α1 =3 26 - 1 = 3 = 3(64 - 1) = 3  63 = 189 λ - 1 λ =2 2-1 • Για την γεωμετρικη προοδο γνωριζουμε οτι : • α1 = 2 • S6 = α1 • αv = 128 • Sν = 254 Οποτε  λν - 1  λν - 1  λ.64 - 1 α1 =2 Sv = 254 = 254 α = 254 = 254 2 2  1     λ -1   λ -1 λ -1   αν = 128 2λ ν -1 = 128  λ ν -1 = 64  α λ ν -1 = 128    1 64λ - 1 = 127λ - 127 63λ = 126 λ = 2 λ = 2 λ = 2   ν -1   ν -1    ν -1   6 ν - 1 = 6 ν = 7  λ = 64  λ = 128 2 = 2 Αρα θα παρεμβαλουμε 5 ορους. Σ'ενα τουρνουα τεννις παιρνουν μερος 512 τεννιστες και αγωνιζονται με το συστημα νοκ αουτ (ο χαμενος αποχωρει, ο νικητης συνεχιζει). Αν οι νικητες δινουν εναν αγωνα καθημερινα, αυτος που θα φτασει στο τελικο, ποσους αγωνες θα εχει δωσει συνολικα; Την πρωτη μερα αγωνιζονται 512 τεννιστες, την δευτερη οι μισοι, και τη ημερα του τε λικου 2. Το πληθος των αθλητων ακολουθει γεωμετρικη προοδο. 1 Για τη γεωμετρικη προοδο γνωριζουμε οτι : • α1 = 512 • αν = 2 •λ = 2 Οποτε αν = α1λ ν-1 1  2 = 512   1 λ= 2 2 α1 =512 ν -1 1   2 ν -1 1 1 =   256 2 ν-1 8 1 =    ν -1 =8 ν = 9 2 Αρα ο αθλητης που φτανει στο τελικο δινει συνολικα 9 αγωνες . Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ • Μεταξυ των αριθμων 3 και 768 παρεμβαλουμε 7 ακεραιους αριθμους, ωστε ολοι μαζι να αποτελουν ορους γεωμετρικης προοδου. • Να βρεθει ο λογος λ της γεωμετρικης προοδου. • Να βρεθει το αθροισμα των 6 πρωτων ορων της. • Μεταξυ των αριθμων 2 και 128 παρεμβαλουμε γεωμετρικους ενδιαμεσους, ωστε το αθροισμα των ορων της γεωμετρικης προοδου να ειναι ισο με 254. • Ποσους ορους θα παρεμβαλουμε; • Να βρεθει ο λογος λ της γεωμετρικης προοδου. • Για την γεωμετρικη προοδο γνωριζουμε οτι : • α1 = 3 • α9 = 768 •ν = 9 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ • Εστω γεωμετρικη προοδος με : α5 - α2 = 28 και α4 + α3 = 24. • Να βρεθει ο πρωτος ορος της α1 . • Να βρεθει ο λογος λ. • Να βρεθει ο εβδομος ορος της α7 . • Εστω γεωμετρικη προοδος με α5 = 48 και α8 = 384. Eιναι • αν+1 = αν .λ • β 2 = αγ, α, β, γ δ. ο. γ. π. • αν = α1 λν-1 • Sν = α1 λν - 1 λ - 12 • Να βρεθει ο πρωτος ορος της α1 . • Να βρεθει ο λογος λ. • Να βρεθει το ν αν αν = 3072. • Να βρεθει ο πρωτος ορος της α1 . • αν+1 = αν .λ • β 2 = αγ, α, β, γ δ. ο. γ. π. • αν = α1 λν-1 • Να βρεθει ο λογος λ. λν - 1 • Εστω γεωμετρικη προοδος με α3 + λ = 7 και α4 = 10. • Sν = α1 λ - 12 • Να βρεθει ο πρωτος ορος της α1 . Αν ειναι γνωστα τα α + β και αβ, • Να βρεθει ο λογος λ. τοτε οι αριθμοι α, β ειναι ριζες • Να βρεθει το αθροισμα των 7 πρωτων ορων της. της : x - (α + β)x + αβ = 0 • Nα βρεθει ο x, αν οι αριθμοι 9 - 5x, 9 - x, 3 - x • αν+1 = αν .λ αποτελουν διαδοχικους ορους γεωμετρικης προ - • β 2 = αγ, α, β, γ δ. ο. γ. π. οδου. Ποιοι ειναι οι οροι αυτοι; • αν = α1 λν-1 • Aν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προ λν - 1 • Sν = α1 οδου, να δειχτει οτι : λ - 12  1 1 1  α2β2 γ2  3 + 3 + 3  = α3 + β3 + γ3 . β γ  α • Aν α, α + β, α + β + γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, να δειχτει οτι : αγ2 = αβ2 + β3 + γβ2 . α2 + αγ α + γ β2 + γ 2 , , ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου, να δειχτει οτι οι α-γ 2 γ-α αριθμοι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου. • Aν Αν οι αριθμοι ημβ, ημα , συνα, συνβ αποτελουν δια - • Χρησιμοποιουμε τη σχεση δοχικους ορους γεωμετρικης προοδου, τοτε να δει - β 2 = αγ στους τρεις πρωτους χτει οτι : ημ(α + β) = 1. και στους τρεις τελευταιους ... συν(α - β) = συνασυνβ + ημαημβ ημα(α + β) = ημασυνβ + συναημβ Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ • Εστω γεωμετρικη προοδος με : α2 + α4 = 20 και α1  α5 = 64. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ • Nα βρεθουν τρεις ακεραιοι αριθμοι που να αποτε Προκειμενου να βρουμε τρεις λουν διαδοχικους ορους γεωμετρικης προοδου, αν δ.ο. γ.π., τους συμβολιζουμε : το αθροισμα τους ειναι 21 και το γινομενο τους 216. x • Nα βρεθουν τρεις ακεραιοι αριθμοι που να αποτε , x, λx λ λουν διαδοχικους ορους γεωμετρικης προοδου, αν το αθροισμα τους ειναι 70 και αν πολλαπλασιασου με το μεσαιο με 5 και τους ακρους με 4, τοτε οι τρεις ακεραιοι γινονται διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου. • Αν οι αριθμοι α, β, γ ειναι ταυτοχρονα διαδοχικοι οροι αριθμητικης και γεωμετρικης προοδου, να δειξετε οτι : α = β = γ. ισχυει : • α1 = 3λ • α1 + α2 = 18 Να βρεθει η προοδος και το αθροισμα των 5 πρω των ορων της. • Το αθροισμα των 3 πρωτων ορων γεωμετρικης προοδου ισουται με 21, ενω το αθροισμα των 3 επο - • αν+1 = αν .λ • β 2 = αγ, α, β, γ δ. ο. γ. π. • αν = α1 λν-1 • Sν = α1 λν - 1 λ - 12 μενων ορων της ισουται με 168. Να βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου α1 καθως και ο λογος λ. • Το αθροισμα των 3 πρωτων ορων γεωμετρικης προοδου ισουται με 90, ενω το αθροι σμα των 6 πρωτων ορων της ισουται με 120. Να βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου α1 καθως και ο λογος λ. • Σε γεωμετρικη προοδο με πρωτο ορο α1 και λογο λ, ισχυει : • S6 = 28S3 • S4 = 80 Να βρεθει η προοδος. • Μεταξυ των αριθμων 5 και 160 παρεμβαλουμε 4 Αν μεταξυ των αριθμων α και ακεραιους αριθμους, ωστε ολοι μαζι να αποτελουν β παρεμβαλουμε κ αριθμους, ορους γεωμετρικης προοδου. ωστε να προκυψει γεωμετρικη • Να βρεθει ο λογος λ της γεωμετρικης προοδου. προοδος, τοτε : • Να βρεθει το αθροισμα των 5 πρωτων ορων της. • α = α • α = β 1 κ+2 • Μεταξυ των αριθμων 3 και 1377 παρεμβαλουμε γεωμετρικους ενδιαμεσους. Αν ο τεταρτος ορος της γεωμετρικης προοδου να ειναι ισο με 51, τοτε : • Ποιος ειναι ο λογος λ της γεωμετρικης προοδου. • Ποσους ορους θα παρεμβαλουμε; Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ • Σε γεωμετρικη προοδο με πρωτο ορο α1 και λογο λ, 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ • Ενα κυτταρο διασπαται καθε μερα σε δυο νεα κυτ ταρα και το καθε νεο κυτταρο διασπαται σε δυο κυτταρα την επομενη κλπ. Ποσα κυτταρα θα υ παρχουν συνολικα την 10η μερα; • Καποιος αποταμιευει 100 ευρω το 2001, 300 ευρω • αν +1 = αν .λ • β 2 = αγ, α, β, γ δ. ο. γ. π. • αν = α1 λν -1 • Sν = α1 λν - 1 λ - 12 το 2002, 900 ευρω το 2003 και συνεχιζει με τον ιδιο ρυθμο. • Ποσα ευρω θα αποταμιευσει το 2010; • Ποσα ευρω συνολικα θα εχει αποταμιευσει μεχρι το 2010; Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/