Kβαντικες Καταστασεις, Χωροι Hilbert

Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες
Kβαντικες Καταστασεις, Χωροι Hilbert
Χειμερινο Εξαμηνο
Iωαννης E. Aντωνιου
Τμημα Μαθηματικων
Aριστοτελειο Πανεπιστημιο
54124, Θεσσαλονικη
[email protected]
http://users.auth.gr/iantonio
Kβαντικες Καταστασεις, Χωροι Hilbert
Kβαντικες Καταστασεις
Χωροι Hilbert
Ορθοκανονικες Βασεις σε Διαχωρισιμους Χωρους Hilbert
Συμβολισμος Dirac
Αλλαγη συντεταγμενων Διανυσματων όταν αλλαζει η ορθοκανονικη βαση
Συνθεση Κβαντικων Συστηματων, Eμπλοκη, Qubits
Kβαντικες Καταστασεις
Οι Kβαντικες Καταστασεις (ονομαζονται και Κυματοσυναρτησεις) ειναι Διανυσματα ψ
ενος Μιγαδικου Διανυσματικου Χωρου (ΔΧ) 𝒴
ΣΧΟΛΙΑ
1) Η Δομη του ΔΧ 𝒴 προσδιοριζεται
απο τη φυση του Προβληματος-Μοντελου
2) Στα πλαισια του Μαθηματος περιοριζομαστε στην απλη περιπτωση:
ψ ∈ 𝒴 ⊆ ℂΝ = ℋ
3) Στη θεμελιωση κατα Von Neumann:
𝒴 = ℋ , Xωρος Hilbert (XH), συνηθως
ℓ2 = ο XH των τετραγωνικα αθροισιμων (μιγαδικων) ακολουθιων
ℒ2 = ο XH των τετραγωνικα ολοκληρωσιμων (μιγαδικων) συναρτησεων
4) Ο Χωρος 𝒴 γενικωτερα μπορει να ειναι
Rigged Hilbert Space
Dual Pair
Locally Convex Topological Vector Space
Χωροι Hilbert
Ο. Μιγαδικος Διανυσματικος Χωρος (Complex Vector Space) (Υ, + , ∙ ; ℂ)
1) (Υ, + , ∙ ; ℂ) Μιγαδικος Διανυσματικος Χωρος
Tο συνολο Y με στοιχεια x,y,z,w που καλουνται διανυσματα (vectors),
εφοδιασμενο με τις πραξεις προσθεση (addition) (+)
και βαθμωτος πολλαπλασιασμος (scalar multiplication) () :
Προσθεση Διανυσματων: YxYY: (x,y) � x+y το αθροισμα των x και y
V1 Προσεταιριστικη (Associative): x+ (y+z) = (x+y) + z , ∀ x,y,z  Y
V2 ∃ Mηδενικο Διανυσμα (Null Vector) o : o+x= x+o=x , ∀ x  Y
V3 ∃ Αντιθετο Διανυσμα (-x): (-x) + x = x+(-x) = o , ∀ x  Y
V4 Mεταθετικη (Commutative): x+y = y+x , ∀ x,y  Y
Bαθμωτος πολλαπλασιασμος: ℂ x YY: (α,y) � αx το γινομενο του αριθμου α με το διανυσμα y
V5 α(βx)= (αβ)x , ∀ x  Y , ∀ α
V6 1x = x
H Προσθεση και ο Βαθμωτος Πολλαπλασιασμος συνδεονται με τις ιδιοτητες
V7 α(x+y) = αx + αy , ∀ x,y  Y , ∀ α
V8 (α+β)x = αx +βx , ∀ x  Y , ∀ α,β
Ο. Μιγαδικος Διανυσματικος Χωρος με Bαθμωτο η Εσωτερικο Γινομενο
(Complex Vector Space with Scalar Product) (Υ, + , ∙ ; ℂ , <,>)
1) (Υ, + , ∙ ; ℂ) Μιγαδικος Διανυσματικος Χωρος (V1-V8)
2) <,> : YxY→ℂ: (x,y) � <x , y> το Βαθμωτο Γινομενο των x και y (Scalar Product):
SP1. <,> Αριστερα Συζυγης Γραμμικη Μορφη (Conjugate Linear Form):
<α1x1+ α2x2 , y> = 𝛼1∗ <x1 , y> + 𝛼2∗ <x2 , y> , ∀ x1, x2 , y ∈ Y , ∀α1,α2∈ℂ
<x ,α1y1+ α2y2 > = α1<x , y1> + α2<x , y2> , ∀ x, y1 , y2 ∈ Y , ∀α1,α2∈ℂ
SP2. <,> Συμμετρικη Μορφη (Symmetric Form): <x , y> = <y , x>∗ , ∀ x, y ∈ Y
SP3. <,> Θετικως Ορισμενη Μορφη (Positive Definite Form):
<x , x> ≥ 0 , ∀ x ∈ Y
<x , x> = 0 ⟺ x = o , ∀ x ∈ Y
Ο.
Ημιομας (Semigroup) ⟺V1, V2
Ομας (Group) ⟺V1, V2, V3
Αβελιανη η Μεταθετικη Ομας (Abelian or Commutative Group) ⟺V1, V2, V3, V4
Eρμιτιανη Μορφη (Hermitian Form) ⟺ SP1, SP2
Βαθμωτο Γινομενο (Scalar Product) ⟺ SP1, SP2, SP3
O. Μιγαδικος Διανυσματικος Χωρος με Norm (Complex Normed Vector Space) (Υ, + ,  ; ℂ , || ||)
1) (Υ, + ,  ; ℂ) Μιγαδικος Διανυσματικος Χωρος {V1-V8}
2) || || : Y →[0 ,+) : y ⟼ || y || το Μηκος τoυ Διανυσματος x:
Ν1. Tριγωνικη Ανισοτης (Τriangular Inequality):
|| x || + || y || ≥ || x + y || , ∀ x , y  Y
Ν2. Ομογενεια κατ Απολυτο Τιμη (Absolute Homogeneity): || αx || = |α| || x || , ∀ x  Y , ∀α  ℂ
Ν3. || || Θετικως Ορισμενο Συναρτησιακο (Positive Definite Functional):
||x|| = 0 ⟺ x = o , ∀ x  Y
Νorm ⟺ Ν1, Ν2, Ν3
Μιγαδικος Διανυσματικος Χωρος με Norm ⟺ V1-V8, Ν1, Ν2, Ν3
ΠΡΟΤΑΣΗ
Καθε ΔΧ με SP ειναι Χωρος με Norm: ||x||2 = <x,x>
Αλλα υπαρχουν Norms που δεν προερχονται απο SP
Ο
Χωρος Hilbert ℋ
⟺ Πληρης Μιγαδικος Διανυσματικος Χωρος με Bαθμωτο Γινομενο
Δηλ. 1) V1-V8, SP1, SP2, SP3 και
2) Πληροτης:
Κάθε Ακολουθια Cauchy (ψν) Διανυσματων του ℋ, συγκλινει εν ℋ
Χωρος Banach ⟺ Πληρης Μιγαδικος ΔΧ με Νorm
YΠΟΜΝΗΣΗ
Η Ακολουθια (ψν) Διανυσματων του ℋ, καλειται Ακολουθια Cauchy
⟺ || ψν –ψμ ||→ 0, αν ν,μ → + ∞
ΠΡΟΤΑΣΗ
1) Οι πεπερασμενοι ΔΧ με SP ειναι Πληρεις, δηλαδη είναι Χωροι Hilbert
2) Οι πεπερασμενοι ΔΧ με Norm ειναι Πληρεις, δηλαδη είναι Χωροι Banach
ΣΧΟΛΙΑ
1) Oι Χωροι Hilbert μελετηθηκαν κατα τις 3 πρωτες δεκαετιες του 20ου αιωνα
ως ενοποιητικο πλαισιο των Μαθηματικων του 19ου αιωνα
Σειρες Fourier
Γραμμικες Διαφορικες Εξισωσεις Συνηθεις και με Μερικες Παραγωγους
Γραμμικες Ολοκληρωτικες Εξισωσεις
Oι Αφηρημενοι Χωροι Hilbert εισαγονται το 1929 απο τον Von Neumann J.
Von Neumann J. 1929 Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren, Math. Ann. 102, 49-131
Και εφαρμοστηκαν στην
Μαθηματικη θεμελιωση της Κβαντικης Μηχανικης και της Στατιστικης Μηχανικης:
Jauch J.M. 1973, Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Reading,Massatussetts
Mackey G.W. 1957, Quantum Mechanics and Hilbert Space, Αmerican Mathematical Monthly 64, 45-57.
Mackey G.W. 1963, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Benjamin, New York.
Prugovecki E. 1981, Quantum Mechanics in Hilbert Space, Academic Press, New York.
Varadarajan V.S. 1985, Geometry of Quantum Theory, Springer, Βerlin.
Von Neumann J. 1932, Mathematical Foundation of Quantum Mechanics, Princeton Univ. Press, New Jersey
2) Oι Χωροι Banach γενικευουν το Μηκος Διανυσματος και την Απολυτο τιμη Πραγματικου Αριθμου,
σε περιπτωσεις που δεν οριζεται Βαθμωτο Γινομενο
Εισαγονται από τον Banach, ως αφαιρεση απαραιτητη για την μελετη Διανυσματικων Χωρων συναρτησεων
συνεχων, διαφορισιμων, αναλυτικων, μη τετραγωνικα ολοκληρωσιμων
Banach S. 1932, Théorie des Opérations Lineaires, Monografje Matematyczne, Warszawa.
Ορθοκανονικες Βασεις σε Διαχωρισιμους Χωρους Hilbert
Οι καταστασεις ψ του Συστηματος περιγραφονται αριθμητικα
ως προς καποια ορθοκανονικη βαση uν , ν=1,2,…, του Χωρου καταστασεων ℋ
όπως μετραμε τις συντεταγμενες διανυσματων του 3-διαστατου Χωρου
Κάθε ορθοκανονικη βαση προκυπτει ως βαση κοινων ιδιοδιανυσματων
ενος Συστηματος Πινακων (Τελεστων) που μετατιθενται.
Τα ιδιοδιανυσματα ονομαζονται και ιδιοκαταστασεις του Πινακα (Τελεστη).
Το Μαθηματικο πλαισιο περιγραφης των Κβαντικων Παρατηρησεων είναι
οι Διαχωρισιμοι Χωροι Hilbert
Θ Ο Χωρος Hilbert ℋ είναι Διαχωρισιμος (Separable) ⟺
ℋ εχει ορθοκανονικη βαση uν , ν=1,2,… (uν ), ν=1,2,…
< uν, uμ > = δνμ
Θ H σειρα Fourier του διανυσματος ψ ως προς την ορθοκανονικη βαση uν , ν=1,2,… :
ψ = ∑ν < u ν , ψ > u ν = ∑ ν ψ ν uν
ψν = < uν , ψ > = η συντεταγμενη του ψ ως προς τον αξονα uν
ψν uν = < uν , ψ > uν = ℙνψ = η συνιστωσα του ψ ως προς τον αξονα uν
= η προβολη του ψ στον αξονα uν
ℙν : ℋ→ ℋν : ψ ⟼ ℙνψ = < uν , ψ > uν
ο Τελεστης Προβολης (Projection Operator) στον αξονα uν
Θ Tυπος Parseval για την Norm. Γενικευση του Θ. Πυθαγορα:
||ψ||2 = ∑ν |ψν |2 για καθε διανυσμα ψ του ℋ
Συμβολισμος Dirac
𝝋𝟏
<ψ|φ> = <ψ,φ> = (𝝍∗𝟏 ,…, 𝝍∗𝜨 ) � ⋮ �
𝝋𝜨
ℙν = |uν><uν| = |ν><ν|:
|ℙν ψ> = <uν|ψ> |uν> , για καθε διανυσμα 𝛙 του ℋ
𝒎
ℙ = ℙ𝔇 = ∑𝒎
𝜿=𝟏 |𝐮𝛋 >< 𝐮𝛋 | = ∑𝜿=𝟏 |𝛋 >< 𝛋 |:
|ℙ𝛙 > = ∑𝑚
𝜅=1 < uκ |𝛙 > |uκ >, για καθε διανυσμα 𝛙 του ℋ
∑𝜨
𝝂=𝟏 |𝒖𝝂 >< 𝒖𝝂 | = 𝜤 :
𝛮
� < 𝑢𝜈 , 𝛙 > 𝑢𝜈 = 𝛙 , για καθε διανυσμα 𝛙 του ℋ
𝜈=1
Αλλαγη συντεταγμενων Διανυσματων όταν αλλαζει η ορθοκανονικη βαση
How the coordinates of a state ψ in 𝓗 in the basis (uk), k=1,2,...,Ν change
when we select another basis (𝑢�𝑗 ), j=1,2,...,Ν ?
The Change Basis Matrix (𝑆𝑗𝑘 ) is a Unitary Matrix defined by the property:
𝑆11
𝜓1
𝜓�1
� ⋮ �⟼� ⋮ �=� ⋮
𝑆𝑁1
𝜓𝑁
𝜓�𝑁
…
⋱
…
𝑆1𝑁
𝜓1
⋮ � � ⋮ � ⟺ 𝜓�𝑗 = ∑𝑁
𝑘=1 𝑆𝑗𝑘 𝜓𝑘 , j=1,2,…,N
𝑆𝑁𝑁 𝜓𝑁
𝑁
� �𝑗
Where: y= ∑𝑁
𝑘=1 𝜓𝑘 𝑢𝑘 = ∑𝑗=1 𝜓𝑗 𝑢
uk =∑𝑁
�𝑗
𝑗=1 𝑆𝑗𝑘 𝑢
𝑆11
𝜓1
� ⋮ �=� ⋮
𝑆𝑁1
𝜓𝑁
…
⋱
…
𝑆𝑗𝑘 = < 𝑢�𝑗 , 𝑢𝑘 >
𝑆1𝑁 −1 𝜓�1
⋮ � � ⋮ �
𝑆𝑁𝑁
𝜓�𝑁
, if (𝑆𝑗𝑘 ) invertible
Συνθεση Κβαντικων Συστηματων, Eμπλοκη, Qubits
ℋ= ℋ1 ⨂…⨂ℋN
ℋ=ℋ1 ⨂ℋ2
SP: < v1 ⊗ v2 , w1 ⊗ w2> = < v1, w1 >1 < v2 , w2>2
Οrthonormal Basis in ℋ1 ⨂ℋ2
𝑢𝜅1 ⊗𝑢𝜆2 =|𝑢𝜅1 >|𝑢𝜆2 > = |κ>|λ>=|κ,λ>, κ=1,2,… n1 , λ=1,2,…, n2
Where:
𝑢𝜅1 , κ=1,2,…n1 on basis of ℋ1
𝑢𝜆1 , κ=1,2,…n2 on basis of ℋ2
Separable and Entangled States
Definition
Separable States = Διαχωρισιμες Καταστασεις στον ℋ1 ⨂ℋ2
ψ= ψ1⊗ ψ2 , ψ1∈ ℋ1 , ψ2∈ℋ2
Entangled States = Eμπλεκομενες Καταστασεις στον ℋ1 ⨂ℋ2
Νοn Separable States = Mη Διαχωρισιμες Καταστασεις
ψ≠ ψ1⊗ ψ2 , ψ1∈ ℋ1 , ψ2∈ℋ2
Qubit (= Quantum Bit) Implementation by 2-Level Quantum Systems
𝓗1= ( |0> , |1> ) ⟷ ℂ2
A 1 qubit state is a linear superposition (combination) of 2 orthonormal states |0> , |1> :
ψ0
|ψ> = ψ0 |0> + ψ1|1> ⟷ � �
ψ1
ψ0 = <ψ|0>
ψ1 = <ψ|1>
𝟏, 𝒚 ∈ 𝜟
�
𝟎𝒚∉𝜟
Bit Value: 1Δ (y)=�
Qubit Value:
|<𝝍|𝟏>|𝟐
<𝝍|𝝍>
the probability to be in the state |1>
< 𝝍|𝟏 > = 𝟏 ⟺ ψ parallel to |1>
< 𝝍|𝟏 > = 𝟎 ⟺ ψ orthogonal to |1> ⟺ ψ parallel to |0>
< 𝝍|𝟏 > ∈ (𝟎, 𝟏) ⟺ ψ neither orthogonal, nor parallel to |1>
N Qubits are implemented by N 2-Level Quantum Systems
ℋ= ℋ1 ⨂…⨂ℋ1 ⟷ ℂ2 ⊗…⊗ ℂ2 ⟷ ℂ𝟐
𝒏
N-Qubit states
𝑁
2 −1
∑𝜈=0
𝜓𝜈 |ν>
|ν> =|0100…> =|0>|1>|0>|0>… vector in the tensor product space ℋ1 ⨂…⨂ℋ1
For N > 332, 2N is larger than estimates on the number of elementary particles in the
Universe.
2n=10100
⟺ log 2 (2n ) = log 2 (10100 )
⟺ n = 100log 2 (10) ≅ 332
log 2 10 =
log10 10
log10 2
=
1
𝑙𝑔2
=
1
0.30102995
= 3.3219286
Separable 2 Qubit States
|ψ> = |0 >1 |1 >2 = |01 >
|ψ> = |1 >1 |0 >2 = |10 >
Entangled 2 Qubit States
|ψ> =
|ψ> =
1
|00 > +
1
|10 > ±
√2
√2
1
√2
1
|11 > The Bell state (maximally entangled)
√2
|01 >
Entanglement Origins
Einstein-Podolsky-Rosen Paradox-Effect
A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen 1935, Can quantum-mechanical description of physical reality be
considered complete? Phys. Rev. 47 777-780
http://en.wikipedia.org/wiki/EPR_paradox
Schrödinger's Cat Paradox-Effect
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger%27s_cat
Schrödinger E. 1935, The Present Situation in Quantum Mechanics, Naturwissenschaften 23,807-812 ; 823828; 844-849. Translated in: Proceedings of the American Philosophical Society, 124, 323-338 (1980).
O Schrödinger εισηγαγε τον ορο Entanglement (Verschränkung)
Entanglement Applications
Quantum Information Processing
Quantum Computing
Quantum Communication
Quantum Cryptography
Quantum Ζeno Paradox-Effect
Sudarshan, E.C.G., Misra, B. 1977, The Zeno’s paradox in quantum theory",
Journal of Mathematical Physics 18, 756–763
Misra B., Antoniou I. 2003, "Quantum Zeno Effect", The Physics of Communication.
Proceedings of the XXII Solvay Conference on Physics, World Scientific, 233-250
Quantum Natural Selection
Lloyd S. 2009, A quantum of natural selection, Nature Physics, 5(3):164–166, 03 2009.
Blume-Kohout R. , Zurek W. 2006, Quantum Darwinism: Entanglement, branches, and
the emergent classicality, of redundantly stored quantum information,
Phys. Rev. A 73, 062310
Photosynthesis
G. S. Engel et al. 2007, Nature, 446(7137):782–786, 04
M. Mohseni et al. 2008, J. Chem. Phys., 129(17):174106.
M. B. Plenio and S. F. Huelga 2008, NJP 10(11):113019.
Moyer M. 2009, Quantum Entanglement, Photosynthesis and Better Solar Cells,
Scientific American September 1,
M. Sarovar et al. 2010, Nature Physics, 6, 462
Biological Molecules
Cai J., Popescu S., Briegel H. 2010
Dynamic entanglement in oscillating molecules and potential biological implications
Phys. Rev. E 82, 021921 (2010) [10 pages]
Bird Compass
Gauger E., Rieper E., Morton J., Benjamin S., Vedral V. 2011
Sustained Quantum Coherence and Entanglement in the avian compass
Phys. Rev. Lett. 106, 040503
Quantum Cognition Knowledge Processing
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_cognition
http://www.quantum-cognition.de/

Download Report