Μέρος 5ο

Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
Πεπιεσόμενα
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η ............................................................................................................................................................................ 5-2
5.
5.1.
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ – ΥΑΛΑΡΩ΢Η ............................................................................................................................................................................. 5-2
5.1.1.
Δηζαγσγή......................................................................................................................................................................................... 5-2
5.1.2.
Πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell ............................................................................................................................................................ 5-2
5.1.3.
Πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin Voigt...................................................................................................................................................... 5-6
5.1.4.
Πξνζνκνίσκα Σππηθνύ Γξακκηθνύ ΢ηεξενύ (Standard Linear Solid Model) .................................................................................. 5-7
5.1.5.
Μεηαζρεκαηηζκνί Laplace .............................................................................................................................................................. 5-9
Πίνακερ
ΠΙΝ. 5.1 ΜΔΣΑ΢ΥΗΜΑΣΙ΢ΜΟΙ ΣΔΛΔ΢ΣΩΝ ΚΑΣΑ LAPLACE ______________________________________________________________________ 5-9
ΠΙΝ. 5.2 ΜΔΣΑ΢ΥΗΜΑΣΙ΢ΜΟΙ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΔΩΝ ΚΑΣΑ LAPLACE __________________________________________________________________ 5-10
Σσήμαηα
΢Υ. 5.1: ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩΜΑ ΣΟΤ MAXWELL ....................................................................................................................................................................... 5-3
΢Υ. 5.2: ΑΠΟΣΔΛΔ΢ΜΑΣΑ ΣΟΤ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩΜΑΣΟ΢ ΣΟΤ MAXWELL Δ=100KPA, Η=100KPA/SEC, Δ0=100% ................................................................. 5-4
΢Υ. 5.3: ΑΠΟΣΔΛΔ΢ΜΑΣΑ ΣΟΤ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩΜΑΣΟ΢ ΣΟΤ MAXWELL Δ=100KPA, Η=50KPA/SEC, Δ0=100% ................................................................... 5-4
΢Υ. 5.4: ΑΠΟΣΔΛΔ΢ΜΑΣΑ ΣΟΤ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩΜΑΣΟ΢ ΣΟΤ MAXWELL Δ=50KPA, Η=100KPA/SEC, Δ0=100% ................................................................... 5-5
΢Υ. 5.5: ΑΠΟΣΔΛΔ΢ΜΑΣΑ ΣΟΤ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩΜΑΣΟ΢ ΣΟΤ MAXWELL Δ=100KPA, Η=100KPA/SEC, ΢0=100KPA .............................................................. 5-6
΢Υ. 5.6: ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩΜΑ ΣΟΤ KELVIN-VOIGT................................................................................................................................................................ 5-6
΢Υ. 5.7: ΑΠΟΣΔΛΔ΢ΜΑΣΑ ΣΟΤ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩΜΑΣΟ΢ ΣΟΤ KELVIN-VOIGT Δ=100KPA, Η=100KPA/SEC, ΢0=50KPA ......................................................... 5-7
΢Υ. 5.8: ΔΚΣΔΝΔ΢ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩΜΑ ΣΟΤ MAXWELL ....................................................................................................................................................... 5-8
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-1
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
5.
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
ΕΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5.1.
5.1.1.
Ερπσσμός – Χαλάρωση
Εισαγωγή
Σν θαηλόκελν ηεο ραιάξσζεο ζρεηίδεηαη κε ην πσο έλα πιηθό κεηώλεη ζπλ ησ ρξόλσ ηηο εζσηεξηθέο
εληάζεηο ηνπ ππό ζηαζεξή παξακόξθσζε. Σν θαηλόκελν ηνπ εξππζκνύ ζρεηίδεηαη κε ην πσο έλα
πιηθό ππό ζηαζεξή ηάζε απμάλεη ρξνληθά ηελ παξακόξθσζε ηνπ. Γηα ηελ πξνζνκνίσζε ηεο
ραιάξσζεο θαη ηνπ εξππζκνύ ην πιηθό πξνζνκνηώλεηαη σο ημώδεο-ειαζηηθό πιηθό (viscoelastic
material). Η ιξώδο-ελαζηικόηηηα είλαη κία ηδηόηεηα ησλ πιηθώλ λα ζπκπεξηθέξλνληαη σο
ελαζηικά θαη ιξώδη πιηθά όηαλ ζε απηά επηβάιιεηαη κία παξακόξθσζε. ΢ηα ιξώδη (viscous)
πιηθά ε ηάζε αλαπηύζζεηαη σο αληίδξαζε ζην ξπζκό αύμεζεο ηεο παξακόξθσζεο δειαδή:
 
d
dt
(5.1)
Όπνπ  ην ημώδεο ηνπ πιηθνύ. Γηα ηα ειαζηηθά πιηθά ηζρύεη ε ζρέζε ηνπ Hooke δειαδή ε ηάζε
δίδεηαη σο ζπλάξηεζε ηεο παξακόξθσζεο:
  E
(5.2)
΢ύκθσλα κε ηνπο Meyers θαη Chawla1 ε ειαζηηθή ζπκπεξηθνξά ελόο πιηθνύ νθείιεηαη ζηελ
ηάλπζε ησλ δεζκώλ ησλ θξπζηαιινγξαθηθώλ επηπέδσλ ζε έλα θξπζηαιιηθήο κνξθήο ζηεξεό, ελώ
ε ημώδεο ζπκπεξηθνξά νθείιεηαη ζηε διάδοζη- «ποή» ησλ αηόκσλ ή ησλ κνξίσλ ζε άκνξθα
πιηθά2. (Ωο άκνξθα πιηθά ραξαθηεξίδνληαη ηα ζηεξεά πνπ δελ παξνπζηάδνπλ θάπνηα ζπγθεθξηκέλε
δνκή ησλ αηόκσλ ή ησλ κνξίσλ ηνπο).
Γηα ηε κειέηε ηεο ημώδν-ειαζηηθήο ζπκπεξηθνξάο ησλ πιηθώλ ρξεζηκνπνηνύληαη δηάθνξα
πξνζνκνηώκαηα όπσο ην πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell, ην πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin-Voigt θαη ην
πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin (γλσζηό θαη σο Standard Linear Solid Model).
5.1.2.
Προσομοίωμα τοσ Maxwell
Σν πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell ρξεζηκνπνηείηαη θπξίσο γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ θαηλόκελνπ ηεο
σαλάπωζηρ. ΢ην πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell ην πιηθό πξνζνκνηώλεηαη κε ηε βνήζεηα ελόο
απνζβεζηήξα θαη ελόο ειαηήξηνπ ζε ζεηξηαθή ζύλδεζε (ελ ζεηξά) (΢ρ. 5.1). Η ζπλνιηθή ηάζε θαη
παξακόξθσζε δίδνληαη σο:
 total   elastic   viscous
1
Meyers Μ.Α., Chawla Κ.Κ., (2008) Mechanical Behaviour of Materials, 2nd Edition, Cambridge Univ Press
2
http://en.wikipedia.org/wiki/Amorphous
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
(5.3)
5-2
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
 total   elastic   viscous
η
(5.4)
Ε
΢ρ. 5.1: Πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell
Η ζρέζε (5.4) βάζεη ηεο ζρέζεο (5.2) πνπ δίδεη ηε ζπλνιηθή παξακόξθσζε γξάθεηαη σο:
 total 

E
  viscous
(5.5)
Η κεηαβνιή ηεο παξακόξθσζεο ε πξνθύπηεη από ηελ παξαγώγηζε σο πξνο ην ρξόλν ηεο ζρέζεο
(5.5) θαη δίδεηαη σο:
d  total
E d  dE d  viscous 1 d  dE d  viscous
 2





dt
E dt E 2 dt
dt
E dt E 2 dt
dt
(5.6)
΢ηελ πεξίπησζε πνπ ην Ε παξακέλεη ακεηάβιεην κε ην ρξόλν ε ζρέζε (5.6) γξάθεηαη σο:
d  total 1 d d  viscous 1 d 




dt
E dt
dt
E dt 
(5.7)
Καζώο ε ρξνληθή κεηαβνιή ηεο ημώδνπο παξακόξθσζεο δίδεηαη από ηε ζρέζε (5.1) ε κεξηθή
δηαθνξηθή ζρέζε (5.7) γξάθεηαη σο:
d  1 d 

 0
dt E dt 
(5.8)
΢ηελ πεξίπησζε όπνπ ζε πιηθό πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ ζρέζε (5.8) ππνβιεζεί κία ζπλνιηθή κε
ρξνληθά κεηαβαιιόκελε παξακόξθσζε ε0 ε παξακόξθσζε ηνπ ειαηεξίνπ ζα αξρίζεη λα κεηώλεηαη
σο ηε ζηηγκή πνπ ζα κεδεληζηεί πξαθηηθά κεηά από επαξθέο ρξνληθό δηάζηεκα (ε ηάζε ηνπ
ειαηεξίνπ αζπκπησηηθά ζα ηείλεη ζην κεδέλ). Η παξακόξθσζε ηνπ απνζβεζηήξα ζα απμάλεηαη
ρξνληθά σο ηε ζηηγκή πνπ ζα ιάβεη ηε ηηκή ε0 κεηά από επαξθέο ρξνληθό δηάζηεκα (ε
παξακόξθσζε ηνπ απνζβεζηήξα αζπκπησηηθά ζα ηείλεη ζηε ηηκή ε0). Η ρξνληθή εμέιημε ησλ
δεδνκέλσλ ηεο ηάζεο, ηεο παξακόξθσζεο θαη ηεο ηαρύηεηαο κεηαβνιήο ηεο παξακόξθσζεο
παξνπζηάδνληαη γηα δηαθνξεηηθέο ηηκέο ησλ η θαη Ε ζην ΢ρ. 5.2, ΢ρ. 5.3, ΢ρ. 5.4. Η κείσζε ηνπ
ιόγνπ η/Ε έρεη σο απνηέιεζκα ηελ ηαρεία κεηαβνιή ηεο ηάζεο ηνπ ειαηεξίνπ θαη ηεο
παξακόξθσζεο απηνύ. Η αύμεζε ηνπ ιόγνπ η/Ε έρεη σο απνηέιεζκα ηε βξαδεία αύμεζε ηεο ηάζεο
ηνπ ειαηεξίνπ θαη ηεο παξακόξθσζεο απηνύ. Η ηαρύηεηα κεηαβνιήο ηεο παξακόξθσζεο ηείλεη
πξνο ην κεδέλ ηόζν γηα ην ειαηήξην όζν θαη γηα ηνλ απνζβεζηήξα. Σν πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell
είλαη επαξθέο γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ πξνβιήκαηνο ηεο ραιάξσζεο. Γηα πιηθά όπσο ην λεξό ν
ζπληειεζηήο η είλαη ηεο ηάμεο ηνπ 10-3 Pa*sec.
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-3
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
Προσομοίωμα Maxwell - Σάση Ελατηρίοσ
Προσομοίωμα Maxwell - Παραμορυώσεις
100.0
1.0
η = 100 kPa*sec, E = 100 kPa, εο = 100%
0.8
ε,spring
ε,damper
σ,spring
0.6
50.0
η = 100 kPa*sec, E = 100 kPa, εο = 100%
ε
σ(kPa)
75.0
0.4
25.0
0.2
0.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0
0.5
1.0
Υρόνος (sec)
1.5
2.0
2.5
3.0
Υρόνος (sec)
Προσομοίωμα Maxwell - Σατύτητες
Παραμορυώσεων
1.0
dε/dt,spring
dε/dt,damper
0.5
dε/dt
΢ρ. 5.2: Απνηειέζκαηα ηνπ Πξνζνκνηώκαηνο ηνπ
Maxwell Δ=100kPa, ε=100kPa/sec, ε0=100%
0.0
-0.5
η = 100 kPa*sec, E = 100 kPa, εο = 100%
-1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Υρόνος (sec)
Προσομοίωμα Maxwell - Σάση Ελατηρίοσ
Προσομοίωμα Maxwell - Παραμορυώσεις
100.0
1.0
η = 50 kPa*sec, E = 100 kPa, εο = 100%
0.8
ε,spring
ε,damper
σ,spring
0.6
50.0
η = 50 kPa/sec, E = 100 kPa, εο = 100%
ε
σ(kPa)
75.0
0.4
25.0
0.2
0.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0
0.5
Υρόνος (sec)
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Υρόνος (sec)
Προσομοίωμα Maxwell - Σατύτητες
Παραμορυώσεων
2.0
dε/dt,spring
dε/dt,damper
1.0
dε/dt
΢ρ. 5.3: Απνηειέζκαηα ηνπ Πξνζνκνηώκαηνο ηνπ
Maxwell Δ=100kPa, ε=50kPa/sec, ε0=100%
0.0
-1.0
η = 50 kPa*sec, E = 100 kPa, εο = 100%
-2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Υρόνος (sec)
Τιηθά κε κεγαιύηεξν ημώδεο (κηθξόηεξε επθνιία ξνήο) όπσο ηα έιαηα παξνπζηάδνπλ ημώδεο ηεο
ηάμεο ηνπ 10-1 Pa*sec, ην πγξό γπαιί παξνπζηάδεη ημώδεο ηεο ηάμεο 101 σο 103 Pa*sec.
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-4
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
Προσομοίωμα Maxwell - Σάση Ελατηρίοσ
Προσομοίωμα Maxwell - Παραμορυώσεις
100.0
1.0
ε,spring
η = 100 kPa*sec, E = 50 kPa, εο = 100%
ε,damper
0.8
σ,spring
0.6
50.0
ε
σ(kPa)
75.0
0.4
25.0
0.2
η = 100 kPa*sec, E = 50 kPa, εο = 100%
0.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0
0.5
1.0
Υρόνος (sec)
1.5
2.0
2.5
3.0
Υρόνος (sec)
Προσομοίωμα Maxwell - Σατύτητες
Παραμορυώσεων
1.0
dε/dt,spring
dε/dt,damper
0.5
dε/dt
΢ρ. 5.4: Απνηειέζκαηα ηνπ Πξνζνκνηώκαηνο ηνπ
Maxwell Δ=50kPa, ε=100kPa/sec, ε0=100%
0.0
-0.5
η = 100 kPa*sec, E = 50 kPa, εο = 100%
-1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Υρόνος (sec)
Σν δεύηεξν πξόβιεκα πνπ εμεηάδεηαη είλαη ε πεξίπησζε όπνπ ζην ζηνηρείν επηβάιιεηαη κία
ζηαζεξή ηάζε ίζε κε ζ0 θαη ε ζπλνιηθή παξακόξθσζε ηνπ πιηθνύ απμάλεηαη κε ην ρξόλν
(εξππζκόο). ΢ηελ πεξίπησζε απηή νη θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο δίδνληαη σο:
 total   elastic   viscous  elastic   viscous   0
(5.9)
d  total 1 d d  viscous




 0    total  t   t    t  0 
dt
E dt
dt


(5.10)
Καζώο ε παξακόξθσζε γηα t=0 ηζνύληαη κε ηελ παξακόξθσζε ηνπ ειαηεξίνπ ε ζρέζε (5.10)
δίδεηαη σο:
 total  t  
0 0
t

E
(5.11)
Η νπνία είλαη γξακκηθή ζπλάξηεζε σο πξνο ην ρξόλν. Η εμέιημε σο πξνο ην ρξόλν ηεο
παξακόξθσζεο παξνπζηάδεηαη ζην ΢ρ. 5.5. Δίλαη πξνθαλέο όηη ην πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell δελ
κπνξεί κε επάξθεηα λα πεξηγξάςεη ην πξόβιεκα ηνπ εξππζκνύ θαζώο ε παξακόξθσζε
κεηαβάιιεηαη θαηά ζηαζεξό ξπζκό ρξνληθά κε απνηέιεζκα λα κελ είλαη πεπεξαζκέλε πνζόηεηα.
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-5
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
Προσομοίωμα Maxwell - Παραμορυώσεις
5.0
ε,spring
ε,damper
εο,total
4.0
η = 100 kPa/sec, E = 100 kPa, σ = 100 kPa
3.0
ε
΢ταθερή τάση
2.0
1.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Υρόνος (sec)
΢ρ. 5.5: Απνηειέζκαηα ηνπ Πξνζνκνηώκαηνο ηνπ Maxwell Δ=100kPa, ε=100kPa/sec, ζ0=100kPa
5.1.3.
Προσομοίωμα τοσ Kelvin Voigt
Σν πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin-Voigt ρξεζηκνπνηείηαη θπξίσο γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ θαηλόκελνπ ηνπ
εππςζμού. ΢ην πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin-Voigt ην πιηθό πξνζνκνηώλεηαη κε ηε βνήζεηα ελόο
απνζβεζηήξα θαη ελόο ειαηήξηνπ ζε παξάιιειε ζύλδεζε (΢ρ. 5.6).
Ε
η
΢ρ. 5.6: Πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin-Voigt
Η ζπλνιηθή ηάζε θαη παξακόξθσζε δίδνληαη σο:
 total   elastic   viscous
(5.12)
 total   elastic   viscous
(5.13)
Η ζπλνιηθή ηάζε δίδεηαη σο:
 total      t   
d  t 
dt
(5.14)
Αλ επηβιεζεί ζηηγκηαία κία ηάζε ζ0, ηελ ρξνληθή ζηηγκή ηεο επηβνιήο ηεο ηάζεο ε παξακόξθσζε
ηνπ πιηθνύ είλαη ίζε κε ην κεδέλ. ΢ηε ζπλέρεηα ε παξακόξθσζε ζα αξρίζεη λα απμάλεηαη σο ηε
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-6
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
ηηκή    0 E όπνπ θαη ην ειαηήξην ζα έρεη αλαιάβεη πιήξσο ηελ επηβαιιόκελε ηάζε. Η ρξνληθή
ζρέζε ηεο κεηαβνιήο ηεο ηάζεο δίδεηαη σο:
 t  
E
0
1  exp  t  

E
(5.15)

Αλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t1 ε ηάζε ζ0 πάςεη λα πθίζηαηαη ζην πξνζνκνίσκα ε ειαζηηθή ζπληζηώζα
απηνύ ζα επαλαθέξεη ην πιηθό ζηελ απσική ηος καηάζηαζη (ε=0) αλ θαη απηό ζα ζεκεησζεί κεηά
ηελ πάξνδν ρξόλνπ. ΢ηελ πεξίπησζε απηή ε ζρέζε ηεο παξακόξθσζεο δίδεηαη σο:
  t     t1  exp    t  t1  
(5.16)
Καζώο ην ζύλνιν ηεο παξακόξθσζεο είλαη αλαζηξέςηκν (ην πιηθό επηζηξέθεη ζηελ αξρηθή ηνπ
θαηάζηαζε) ην πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin – Voigt είλαη θαηάιιειν γηα ηελ πεξηγξαθή ελαζηικών
ςλικών. ΢ην ΢ρ. 5.7, παξνπζηάδεηαη ε ρξνληθή εμέιημε ηεο παξακόξθσζεο γηα E=100 kPa, η=100
kPa*sec, ζ0=50 kPa κε ρξόλν αθαίξεζε ηνπ θνξηίνπ t1=3*ι. Σν πιηθό επηζηξέθεη ζηελ αξρηθή ηνπ
θαηάζηαζε νπόηε θαη απνηειεί έλα ειαζηηθό πιηθό.
Παραμόρυωση - Προσομοίωμα Kelvin-Voigt
0.50
0.45
lim ε = 0.5
σ=50 kPa, E=100kPa, η=100kPa*sec,
λ=1 (1/sec)
0.40
0.35
ε(t)
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
2
4
6
8
10
t (Time Periods)
΢ρ. 5.7: Απνηειέζκαηα ηνπ Πξνζνκνηώκαηνο ηνπ Kelvin-Voigt Δ=100kPa, ε=100kPa/sec, ζ0=50kPa
5.1.4.
Προσομοίωμα Σσπικού Γραμμικού ΢τερεού (Standard Linear
Solid Model)
Σν ζπγθεθξηκέλν πξνζνκνίσκα απνηειεί επέθηαζε ηνπ πξνζνκνηώκαηνο ηνπ Maxwell κε ηελ
πξνζζήθε ελόο ειαηεξίνπ ελ παξαιιήισ ζην ελ ιόγσ πξνζνκνίσκα. ΢ην εκηενέρ πποζομοίωμα
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-7
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
ηος Maxwell3 ην πιηθό πξνζνκνηώλεηαη κε ηε βνήζεηα ελόο απνζβεζηήξα θαη ελόο ειαηήξηνπ ζε
ζεηξηαθή ζύλδεζε (΢ρ. 5.1) θαη ελόο ειαηεξίνπ παξάιιεια ζην πξναλαθεξζέλ ζεηξηαθό ζύζηεκα.
η
Ε
Εe
΢ρ. 5.8: Δθηελέο Πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell
Η ζπλνιηθή ηάζε θαη παξακόξθσζε δίδνληαη σο:
 total   elastic   Maxwell
(5.17)
 total   elastic   Maxwell
(5.18)
Η κεηαβνιή ηεο παξακόξθσζεο ηνπ ηκήκαηνο Maxwell ηνπ πξνζνκνηώκαηνο σο πξνο ην ρξόλν
δίδεηαη όπσο ζηε ζρέζε (5.7):
E
d  viscous d E

   E viscous    
dt
dt 
(5.19)
Βάζεη ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ Laplace4 όπνπ L    s θαη L    s ε ζρέζε (5.19) κπνξεί λα
γξαθεί σο:
Es  s     
Es

s
(5.20)
Όπνπ ε ηάζε  θαζνξίδεη ηε ηάζε ηνπ θιαζζηθνύ πξνζνκνηώκαηνο ηνπ Maxwell. Η ζπλνιηθή
ηάζε δίδεηαη σο:
 total   elastic   Maxwell   total  Ee 
 total
Es

s
Es 

  Ee 
    total  E 
s 

(5.21)
Η ζρέζε (5.21) νξίδεηαη σο ε ιξωδό-ελαζηική καηαζηαηική εξίζωζη, ηνπ πιηθνύ. Η δηαδηθαζία
επίιπζεο ηεο ζρέζεο (5.21) έρεη σο εμήο:
1. Οξηζκόο ηεο ζρέζεο κεηαβνιήο ηεο παξακόξθσζεο   t 
2. Καζνξηζκόο ηεο ζρέζεο  κέζσ ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Laplace ηεο ζρέζεο   t 
3. Τπνινγηζκόο ηεο ζρέζεο  total  E
3
http://web.mit.edu/course/3/3.11/www/modules/visco.pdf
4
Γηα πεξηζζόηεξεο πιεξνθνξίεο  http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-8
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
4. Τπνινγηζκόο ηνπ αλάζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ηνπ πξνεγνύκελνπ βήκαηνο γηα ηνλ
ππνινγηζκό ηεο ζρέζε ηεο κεηαβνιήο ηεο ηάζεο σο πξνο ην ρξόλν.
5.1.5.
Μεταστηματισμοί Laplace
΢ηνλ Πίλ. 5.1, παξνπζηάδνληαη νη θπξηόηεξνη κεηαζρεκαηηζκνί ησλ ηειεζηώλ θαηά Laplace. Οη
θπξηόηεξνη κεηαζρεκαηηζκνί θαηά Laplace ησλ ζπλαξηήζεσλ παξνπζηάδνληαη ζηνλ Πίλ. 5.2. Ο
κεηαζρεκαηηζκόο Laplace νξίδεηαη σο:
F  s   L  f  t     e st f  t  dt

(5.22)
0
Πίλ. 5.1 Μεηαζρεκαηηζκνί ηειεζηώλ θαηά Laplace5
Α/Α
F(s)
Οξηζκόο Μεηαζρεκαηηζκνύ Laplace y(t)
1.1
1.2
F(t),t>0
Y(s)
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
F(s)G(s)
1.8
1.9
f(t+T)=f(t)
1.10
5
http://www.vibrationdata.com/Laplace.htm
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-9
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Α/Α
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
F(s)
F(t),t>0
g(t+T)=-g(t)
1.11
Πίλ. 5.2 Μεηαζρεκαηηζκνί ζπλαξηήζεσλ θαηά Laplace6
Α/Α
F(s)
2.1
1
2.2
s
f(t),t>0
Μνλόο παικόο γηα t=0
Γηπιόο παικόο γηα t=0
2.3
Μνλαδηαίν βήκα
2.4a
u(t),
2.4b
2.5
T
2.6
2.7a
2.7b
2.8
6
,n=1,2,3,….
,k πξαγκαηηθόο >0
http://www.vibrationdata.com/Laplace.htm
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-10
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Α/Α
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
F(s)
f(t),t>0
2.9
2.10
2.11
,n=1,2,3,….
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16a
2.16b
2.17
2.18
2.19
2.20
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-11
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Α/Α
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
F(s)
f(t),t>0
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
2.30
2.31
2.32
2.33
2.34
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-12
Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΙΙ)
Α/Α
2.35
Σ.Δ.Ι. Πεηξαηά – ΢.Σ.ΔΦ. – Π.Γ.Δ.Γηδάζθσλ: Υξήζηνο Κ. Γήκνπ
F(s)
f(t),t>0
΢πλάξηεζε Bessel
2.36
2.37
Σξνπνπνηεκέλε ΢πλάξηεζε Bessel
2.38
2.39
Κεθάιαην 5ν
ΔΡΠΤ΢ΜΟ΢ - ΥΑΛΑΡΩ΢Η
5-13

Download Report