2ο ΓΕΛ ΡΕΘΥΜΝΟΥ Project Β’ τετραμήνου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Θέμα: ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ Υπόθεμα: Τα Μαθηματικά στην Τέχνη Ο Βιτρούβιος άνθρωπος του Λεονάρντο ντα Βίντσι. 1 Υπεύθυνη καθηγήτρια: Λούπη Μαρία (Μαθηματικός) Συντακτική Ομάδα: Μαλλιαρού Βάσια Γκιολίκου Τζόνι Βοσκάκη Χρυσούλα Λουκογεωργάκης Πολύδωρος Γαλανάκης Σπύρος 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη Εισαγωγή Η Χρυσή τομή Ορισμός Ιδιότητες Ιστορικά Χρυσό Ορθογώνιο Χρυσό τρίγωνο Χρυσές Σπείρες Πεντάλφα Εφαρμογές Ο χρυσός αριθμός φ Ορισμός Εφαρμογές Ιστορικά Fibonacci Ακολουθία & Σπείρες Αυτοoμοιότητες (Φράκταλ) Μερικοί καλλιτέχνες οι οποίοι έχουν κάνει τα μαθηματικά επίκεντρο της δουλειάς τους. M.C. Escher Η χρυσή τομή στις σονάτες του Μότσαρτ Λεονάρντο ντα Βίντσι Μάρκος Πολλίωνας Βιτρούβιος Άλμπρεχτ Ντύρερ Μαθηματικά στη Λογοτεχνία και στον Κινηματογράφο Διερευνητική Εργασία - Ερευνώ & Διαπιστώνω Συμπεράσματα Βιβλιογραφία 3 Περίληψη Κύριος στόχος μας ήταν να καταγράψουμε την επιρροή των Μαθηματικών στην Τέχνη. Πρώτα απ’ όλα ασχοληθήκαμε με την Χρυσή Τομή με τον ορισμό της και τις ιδιότητες της. Στη συνέχεια μας απασχόλησε το Χρυσό Ορθογώνιο, το Χρυσό Τρίγωνο, οι Χρυσές Σπείρες και η Πεντάλφα. Ακόμα ιδιαίτερη σημασία δώσαμε και στις Εφαρμογές της Χρυσής Τομής στην καθημερινή ζωή. Μετέπειτα πραγματευτήκαμε τον μαγικό αριθμό Φ. Καταρχάς επισημάναμε τον ορισμό του και στη συνέχεια αναλύσαμε τις Εφαρμογές του στην τέχνη και την χρησιμότητα του. Επίσης διερευνήσαμε την ιστορία του με το πέρασμα των χρόνων. Αργότερα βάση δίνουμε στον Fibonacci, στις Σπείρες του και στην ακολουθία του. Επιπλέον προβάλλουμε τις Αυτοομοιότητες (Φράκταλς) και μετά σειρά έχουν οι καλλιτέχνες που έχουν κάνει τα Μαθηματικά επίκεντρο της δουλειάς τους. Αρχικά πρώτος στη σειρά έχει ένας γνωστός καλλιτέχνης- επιστήμονας ο M.C. Escher. Ακολουθεί ο Μότσαρτ που στις απολαυστικές σονάτες του συναντάμε την χρυσή τομή. Έπειτα βλέπουμε τον Λεονάρντο ντα Βίντσι, ένας αγματικός γίγαντας της διανόησης και του πνεύματος, που στους περισσότερους πίνακές του χρησιμοποιεί τα Μαθηματικά και συνεχώς τον λόγο της χρυσής τομής στα έργα του. Σειρά έχει ο Μάρκος Πολλίωνας Βιτρούβιος ο οποίος μελέτησε πρώτος την ύπαρξης της «χρυσής αναλογίας» στο ανθρώπινο σώμα. Τέλος, ο διάσημος καλλιτέχνης της Αναγέννησης στη Γερμανία Άλμπρεχτ Ντύρερ, ο οποίος δημιούργησε ένα σπουδαίο μαγικό τετράγωνο. Επιπρόσθετα προβάλλουμε στην εργασία μας τα Μαθηματικά στη Λογοτεχνία, παρουσιάζοντας μερικά σημαντικά βιβλία και στον Κινηματογράφο καταγράφοντας μερικές ταινίες. Πριν κλείσουμε παραθέτουμε την ερευνά μας και ολοκληρώνουμε με τα συμπεράσματά μας. 4 Εισαγωγή Η μαθηματική σκέψη και η αποδεικτική διαδικασία κατέχουν σημαντική θέση στη Μαθηματική Επιστήμη. Παρά τα πολιτισμικά και εθνικά σύνορα, που χωρίζουν τους ανθρώπους, η μαθηματική σκέψη και η αποδεικτική διαδικασία στα πλαίσια των αξιωματικών συστημάτων των κλάδων των μαθηματικών αποτελούν κοινό αγαθό, που υπερέβη αυτά τα σύνορα και εγκαταστάθηκε στις πολιτισμικές δομές των λαών όλου του κόσμου. Την αποδεικτική διαδικασία την οφείλουμε στο Θαλή. Είναι ο πρώτος που εμφανίζεται στην Ιστορία των μαθηματικών να εισάγει την απόδειξη (Εξαρχάκος, 2005), να αντικαθιστά το αυθαίρετο και τη δεισιδαιμονία με το λογικό και το επιχείρημα, δηλ. μια επανάσταση στην ανθρώπινη σκέψη περίπου 2500 χρόνια πριν. Σε πολλούς, μη μαθηματικούς, γεννιέται το ερώτημα: Γιατί τόσο πολλή λεπτολογία; Γιατί πρέπει να επιμένουμε τόσο στην απόδειξη και της παραμικρής πρότασης; Όμως, σύμφωνα με τη Λογική είναι γνωστό, ότι αν δεχτούμε ένα λάθος θεώρημα ως σωστό, τότε μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε και να φτάσουμε σε λάθος συμπεράσματα π.χ. να αποδείξουμε ότι το 1 ισούται με το 2. Σύμφωνα με το θρύλο, κάποιος, που αντιμετώπιζε με πολύ σκεπτικισμό τη Λογική, προσπαθώντας να «στριμώξει» τον Russell τον ρώτησε σε έντονο ύφος: Αν δεχτώ ότι 1 ίσον 2, απόδειξέ μου ότι είσαι πάπας. Λέγεται, ότι ο Russell σκέφτηκε για μια στιγμή και μετά απάντησε: Ο πάπας κι εγώ είμαστε δύο, επομένως ο πάπας κι εγώ είμαστε ένα (Mlodinow, 2007). Τα μαθηματικά με την αυστηρότητά τους κατέστησαν η γενεσιουργός αιτία τεχνολογικών και επιστημονικών θαυμάτων και έδωσαν εφαρμογές των μαθηματικών στη μουσική, στη ζωγραφική, στη γλυπτική, τη Φιλοσοφία, την Ψυχολογία, την Ιατρική, την Αστρονομία, τη Βιολογία, την Αρχιτεκτονική αλλά και στα ίδια τα Μαθηματικά. Κατασκευές θαυμαστών οικοδομημάτων, πινάκων, γλυπτών, υπολογισμοί «θεόρατων» αποστάσεων, που ο άνθρωπος μάλλον δεν πρόκειται να διανύσει ποτέ, ρότες στο Διάστημα, ανάπτυξη νέων κλάδων των μαθηματικών, όπως τη στατιστική κ.λπ. Επίσης, ένα σωρό άλλες καταστάσεις περιέχουν μέσα τους μαθηματικά που επιδρούν με δυναμικό τρόπο, καθορίζοντας πολλές φορές, όχι μόνον τις ίδιες τις κατασκευές, αλλά τη συμπεριφορά των ατόμων και την έκβαση σημαντικών γεγονότων. <<Ο άνθρωπος μοιάζει με κλάσμα όπου ο αριθμητής είναι ο πραγματικός εαυτός του και ο παρονομαστής η ιδέα που έχει για τον εαυτό του. Όσο μεγαλύτερος ο παρονομαστής, τόσο μικρότερη η αξία του κλάσματος. Και όσο ο παρανομαστής διογκώνεται προς το άπειρο, τόσο το κλάσμα τείνει προς το μηδέν.>> είπε o γνωστός Ρώσος λογοτέχνης, Λέων Τολστόι. «Τα μαθηματικά είναι μόνο ένα μέσο για την έκφραση των νόμων που κυβερνούν τα φαινόμενα». Άλμπερτ Αϊνστάιν 5 " Η Τέχνη αναπαριστά με εικόνες και αντικείμενα τις σχέσεις και τις μορφές της φυσικής ή φανταστικής πραγματικότητας. Τα μαθηματικά μελετούν τις σχέσεις και τις μορφές της φυσικής ή φανταστικής πραγματικότητας. Η πρώτη δημιουργεί , οπτικοποιεί , η άλλη μελετά". Τα μαθηματικά και η τέχνη γενικότερα μολονότι, φαινομενικά τουλάχιστον, αποτελούν δυο ξεχωριστά – διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, εντούτοις είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς. Ο Πρόκλος υποστήριζε πως όπου υπάρχουν Μαθηματικά, εκεί υπάρχει ομορφιά. Σήμερα μπορούμε να λέμε ότι όπου υπάρχει ομορφιά, εκεί υπάρχουν τα Μαθηματικά. Φαίνεται πως τα μαθηματικά δημιουργούν την αίσθηση του ωραίου, γι’ αυτό και όχι μόνο η φύση αλλά και εμείς στην καθημερινή μας ζωή τα προτιμάμε.. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τα Μαθηματικά στην τέχνη. Δεν πρέπει να μας φανεί καθόλου περίεργο. Θα προσπαθήσουμε να καταγράψουμε την επιρροή των Μαθηματικών στις Τέχνες, τα Γράμματα και Γεγονότα μέσα από τις συνιστώσες της Έρευνας, των Εφαρμογών και της Ιστορίας.. 6 Χρυσή Τομή Ορισμός: Η χρυσή τομή ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών όταν ισχύει που ισούται περίπου με 1,618. Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Την χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, (585 - 500 π.X.) που γεννήθηκε στη Σάμο, και ίδρυσε σημαντικότατη φιλοσοφική σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το γράμμα προς τιμήν του Φειδία, του γνωστότερου ίσως γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και του σημαντικότερου της κλασικής περιόδου. Μαθηματικός τύπος: Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο. Από το (2)=(3) έχουμε και αντικαθιστώντας στο (1)=(3) προκύπτει Η εξίσωση αυτή έχει μόνο μία θετική ρίζα, την = 1.618033988 Ιδιότητες: Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει σύμφωνα με την οποία μπορούμε να εκφράσουμε το ως άπειρο διαδοχικό κλάσμα: 7 Έστω Γ είναι το σημείο που διαιρεί σε "χρυσή τομή" το ΑΒ . εάν ορίσουμε το ΑΒ = α και ΑΓ = χ τότε θα έχουμε : ==> AB / AΓ = ΑΓ / ΒΓ ή α / χ = χ / (α-χ) Από την σχέση αυτή προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση χ2 (χ στο τετράγωνο) + αχ - α2 (α στο τετράγωνο) = 0 . Από την οποία βρίσκουμε την τιμή της χ (=ΑΓ) , πραγματικά έχουμε ... χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) .... που σημαίνει ότι. ... Το άγνωστο τμήμα χ (ΑΓ) είναι η μικρότερη πλευρά ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου , το οποίο είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς α (ΑΒ) και του οποίου (ορθογωνίου) οι διαστάσεις (πλευρές) διαφέρουν κατά α . Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί, με τη γνωστή αδυναμία τους στην τελειότητα της αρμονίας, είχαν δώσει ξεχωριστή σημασία στη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε «μέσο και άκρο λόγο». H αρκετά σκοτεινή αυτή διατύπωση σημαίνει, με απλά λόγια, να χωρίσουμε μια γραμμή σε δύο άνισα τμήματα, έτσι ώστε ο αριθμός που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος του μεγάλου τμήματος με το μήκος του μικρού να ισούται με τον αριθμό που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος ολόκληρης της γραμμής με το μήκος του μεγάλου. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε από τους αρχαίους Χρυσή Τομή ή θεία αναλογία και ισούται, περίπου, με 1,62. Κατά τους αρχαίους Έλληνες η Χρυσή Τομή διαιρούσε μια γραμμή με τον τελειότερο αισθητικά τρόπο, και για τον λόγο αυτόν ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο. H φαινομενικά απλή αυτή κατασκευή απέκτησε μεγάλη σημασία με το πέρασμα των αιώνων. 8 Ιστορία Το σήμα των Πυθαγορείων μαζί με την επισήμανση του χρυσού λόγου Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού. Με βάση το χρυσό λόγο δημιουργήθηκαν πολλά έργα της κλασσικής εποχής, όπως ο Παρθενώνας, και της αναγεννησιακής εποχής, όπως είναι ζωγραφικά έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Ακόμη και σήμερα χρησιμοποιείται για την απόδοση της αρμονίας σε έργα, ή στην πλαστική χειρουργική για την ωραιοποίηση του ανθρώπινου προσώπου.[1] Ο χρυσός λόγος εντοπίζεται και στη φύση. Για παράδειγμα στον ναυτίλο, ο λόγος των ακτινών του κάθε θαλάμου με τον προηγούμενο ισούται με το χρυσό λόγο. Στο ανθρώπινο σώμα ο χρυσός λόγος εντοπίζεται σε πολλές ανατομικές αναλογίες, τις οποίες παρατήρησε και κατέγραψε ο Λεονάρντο ντα Βίντσι στον βιτρούβιο άντρα. 9 Η ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΤΟ ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΚΑΙ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Ζητάμε να κατασκευάσουμε ένα χρυσό ορθογώνιο, δηλαδή ένα ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης του πλευράς προς τη μικρή να είναι ίσος με τον λόγο της μικρής προς τη διαφορά των πλευρών. Αν υποθέσουμε ότι μας έχει δοθεί το μήκος της μικρής πλευράς του ορθογωνίου. Ξεκινάμε την κατασκευή με ένα τετράγωνο πλευράς ίσης με την δοθείσα μικρή πλευρά του ορθογωνίου, το οποίο το διαιρούμε φέρνοντας την διάμεσό του. Με κέντρο το μέσο της μιας πλευράς και ακτίνα την διαγώνιο του μισού τετραγώνου διαγράφουμε τόξο που τέμνει την προέκταση της πλευράς του τετραγώνου σε ένα σημείο. Αυτό το σημείο ορίζει το άλλο άκρο της μεγάλης πλευρά στου χρυσού ορθογωνίου. Επαλήθευση: Επειδή προφανώς τα χρυσά ορθογώνια είναι όμοια μεταξύ τους, πάντα ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά, θα είναι ο αριθμός (√5 + 1)/2 που διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα Φ, το αρχικό του ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του Παρθενώνα. Η πρόσοψη του Παρθενώνα μπορεί νοητά να εγγραφεί σε ένα χρυσό ορθογώνιο που σημαίνει ότι ο λόγος των διαστάσεων του είναι ο αριθμός Φ. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται λόγος χρυσής τομής. Χρυσό Τρίγωνο Εκτός από το Χρυσό Ορθογώνιο, υπάρχει και το Χρυσό Τρίγωνο. Έτσι λέγεται κάθε ισοσκελές τρίγωνο του οποίου ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή είναι ίσος με Φ. Έτσι, κάθε ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή 36ο και οι προσκείμενες στη βάση γωνίες 72ο & κάθε ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή 108ο και οι προσκείμενες στη βάση γωνίες 36ο είναι Χρυσά Τρίγωνα. 10 ΧΡΥΣΕΣ ΣΠΕΙΡΕΣ Πρώτη χρυσή σπείρα: Κατασκευή από χρυσό ορθογώνιο. Δεύτερη χρυσή σπείρα: Κατασκευή από ορθογώνιο οξυγώνιο τρίγωνο. Κατασκευή της πρώτης χρυσής σπείρας: Η σπείρα αυτή μας θυμίζει αρκετά την σπείρα του Fibonacci. Και πραγματικά, οι δυο σπείρες είναι περίπου ίδιες. Θα δούμε όμως, ότι υπάρχει μια ουσιαστική διαφορά στην κατασκευή της χρυσής σπείρας. Τώρα ξεκινάμε από ένα χρυσό ορθογώνιο και προχωράμε προς τα μέσα, «κόβοντας» τετράγωνα, πορεία δηλαδή ακριβώς αντίστροφη από αυτή που έχουμε στην κατασκευή της σπείρας του Fibonacci που θα δούμε παρακάτω. Βήμα 1°: Ξεκινάμε με ένα χρυσό ορθογώνιο. Φέρνουμε μια κάθετη γραμμή για να το χωρίσουμε σε τετράγωνο και ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο. Βήμα 2°: Το μικρότερο ορθογώνιο που σχηματίστηκε από το βήμα 1, το χωρίζουμε και αυτό με τον ίδιο τρόπο σε ένα τετράγωνο και ένα ακόμα πιο μικρό χρυσό ορθογώνιο. Βήμα 3°: Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα αρκετές φορές, ώστε να πάρουμε έναν σχηματισμό με πολλά διαδοχικά τετράγωνα που μικραίνουν συνεχώς στο εσωτερικό του χρυσού ορθογωνίου. Βήμα 4°: Τέλος διαγράφουμε τεταρτοκύκλια στα τετράγωνα που σχηματίστηκαν. Το αποτέλεσμα είναι μια χρυσή σπείρα που με μεγάλη ικανοποίηση διαπιστώνουμε ότι προσεγγίζει ακόμα καλύτερα την σπείρα στο κέλυφος του ναυτίλου, από ότι η σπείρα του Fibonacci. Κατασκευή της δεύτερης χρυσής σπείρας: Η διαδικασία είναι ανάλογη με την προηγούμενη κατασκευή. Σχεδόν η μόνη διαφορά είναι ότι ξεκινάμε με ένα χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο το οποίο το διαιρούμε συνεχώς σε άλλα μικρότερα χρυσά τρίγωνα (ένα οξυγώνιο και ένα αμβλυγώνιο). Ας παρατηρήσουμε ότι στο βήμα 1 η διαίρεση του χρυσού τριγώνου σε δυο μικρότερα χρυσά τρίγωνα γίνεται απλώς με το να πάρουμε τμήμα στην μια πλευρά του, αρχίζοντας από την κορυφή, που είναι ίσο με την βάση του τριγώνου. Στη γεωμετρία , η χρυσή σπείρα συνδέεται με το χρυσό αριθμό φ , τη χρυσή αναλογία ,τη χρυσή τομή. 11 12 Πεντάλφα Μια πεντάλφα. Η πεντάλφα είναι ένα σχήμα και σύμβολο το οποίο ορίζεται ως ένα αστέρι με πέντε γωνίες (όπως στην εικόνα). Ιστορική χρήση Η πεντάλφα πρωτοεμφανίστηκε στη Μεσοποταμία και στους Σουμέριους. Επίσης χρησιμοποιούσαν συμβολικά στην Αρχαία Ελλάδα και στη Βαβυλωνία. Στους Βαβυλώνιους οι άκρες της ήταν και μία κατεύθυνση, «πάνω, κάτω, αριστερά, δεξιά, μπροστά» και επίσης συνδέονταν αυτές οι κατευθύνσεις με τους πέντε πλανήτες: Δίας, Κρόνος, Αφροδίτη, Άρης, Ερμής. Στην Ελλάδα οι πρώτοι που ασχολήθηκαν ενδελεχώς με αυτό το σύμβολο ήταν ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι. Αυτοί το ονόμαζαν Υγιεία και έβλεπαν στο σύμβολο αυτό, λόγω των γεωμετρικών του ιδιοτήτων, μια μαθηματική τελειότητα. Οι νεοπυθαγόρειοι συμβόλιζαν τις άκρες του με τα τέσσερα στοιχεία της φύσης και την πέμπτη με το θείο: 1. 2. 3. 4. 5. Ύδωρ Γαία Ιδέα ή Ιερόν ΕΙλή (θερμότητα του ήλιου) Αήρ Τα αρχικά των λέξεων αυτών σχηματίζουν τη λέξη «Υ-Γ-Ι-ΕΙ-Α». 13 Η πεντάλφα κατασκευάζεται από ένα κανονικό πεντάγωνο φέρνοντας τις διαγώνιους στο πεντάγραμμο αυτό. Το σύμβολο συνδέεται με τη χρυσή τομή φ: ο λόγος κάθε ευθύγραμμου τμήματος που εμφανίζεται σε αυτή ως προς το αμέσως μικρότερό του ισούται με τη χρυσή τομή. Σύμφωνα με την εικόνα στα δεξιά είναι: 14 ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΓΛΥΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Κατά τον μεσαίωνα, ενώ το ενδιαφέρον για τη χρυσή τομή ήταν αμείωτο στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική κα τις άλλες τέχνες έμοιαζε πως χάθηκε. Τον 16° αιώνα ο Luca Pacioli (1445-1514) γεωμέτρης και φίλος ενός μεγάλου αναγεννησιακού ζωγράφου, «ξαναανακάλυψε» τη χρυσή τομή. Το βιβλίο του, όπου μελετούσε τον αριθμό Φ, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη Leonardo da Vinci. Ο Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα μαθηματικά στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηματικές μελέτες. Μελέτησε τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο. Την αναγέννηση οι καλλιτέχνες άρχισαν να επιστρέφουν στα κλασικά θέματα της αρχαιότητας για τις εμπνεύσεις τους και τις τεχνικές τους. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να αναφέρουμε τους Michelangelo (14751564) και Raphael (1483-1530) οι οποίοι επανέφεραν στις συνθέσεις τους την χρυσή τομή. Ο ομφαλός διαιρεί το σώμα του Δαβίδ του Michelangelo σε λόγο χρυσής τομής. Η πιο πρόσφατη αναζήτηση για μια «γραμματική» στην τέχνη οδήγησε μοιραία τους σύγχρονους καλλιτέχνες στην χρήση της χρυσής τομής. Η παρέλαση του Γάλλου νέο-ιμπρεσιονιστή καλλιτέχνη Seurat (1859-1891), που χαρακτηρίζεται από το γνωστό του στυλ με τις άπειρες κουκκίδες, περιέχει πλήθος παραδειγμάτων χρυσών αναλογιών. Σύμφωνα με ένα εμπειρογνώμονα τέχνης, ο Seurat «επιτέθηκε σε κάθε καμβά του με τη χρυσή αναλογία». Τα χρυσά ορθογώνια είναι πολύ εμφανή στους Λουόμενούς του. Ο Μυστικός Δείπνος του Salvador Dali (1904-1989) πλαισιώνεται από ένα χρυσό ορθογώνιο. Χρυσοί λόγοι χρησιμοποιήθηκαν για να καθορίσουν τη θέση κάθε φιγούρας, ενώ ο θόλος του δωματίου σχηματίζεται από τις έδρες κανονικού δωδεκάεδρου που είναι ένα από τα στερεά που συνδέεται άμεσα με τη χρυσή τομή. Δαβίδ & Θεός 15 Μόνα Λίζα Μυστικός Δείπνος 16 Η χρυσή τομή στην τέχνη της φωτογραφίας. Ο κανόνας λέει ότι: ab/ac=ac/cb= 1,618. Δηλαδή εάν έχεις ένα τετράγωνο 1×1 το καλύτερο παραλληλόγραμμο που μπορείς να βγάλεις από αυτό και έτσι να έχεις το συναίσθημα της χρυσής τομής θα είναι το 1x (1×1.618) = 1×1.618. Από εκεί και πέρα πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με τον ίδιο αριθμό, θα έχεις το καλύτερο feeling than ever στην εικόνα. Αλλιώς, παρομοίως δηλαδή παίζεις με τα 2/3 ή το 1/3. Φυσικά κάποια τετράγωνα από όλες τις συνθέσεις πάντα μπορούν να είναι άδεια και αυτό είναι που μας δίνει τον απαραίτητο αέρα στη σύνθεση. Π.χ. στην κάτω εικόνα η πολυθρόνα είναι το πρώτο βασικό σχήμα, το φωτιστικό έπρεπε να μην υπερβαίνει σε ύψος το τετράγωνο επί 1,618 αλλά και σε πλάτος βλέπεις ότι γεμίζει τα 2/3 της εικόνας σου και αφήνει 1/3 κενό. Οι ίδιες συνθήκες αφορούν και στη λήψη φωτογραφίας. Από κάτω έχουμε μια φωτογραφία που βλέπεις ότι στην έχω χωρίσει σε έναν κάναβο με 1/3 και 2/3. Η κουρτίνα γεμίζει το 1/3 της εικόνας σε πλάτος. Στο ύψος έχουμε διαιρέσει δια τρία και έχουμε ένα αντικείμενο σε κάθε κουτάκι. Όλα τα κουτάκια φυσικά ακολουθώντας τον κανόνα μπορούν να υποδιαιρεθούν αναλόγως και έτσι βρίσκουμε τη σωστή θέση του σκαμπό για μια άρτια οπτικά εικόνα. 17 Χρυσός αριθμός Τι το ιδιαίτερο έχει, λοιπόν, αυτός ο αριθμός; Σε τι διαφέρει από τους άλλους; Όπως ο π (3,141592...) εκφράζει το πιο τέλειο γεωμετρικό σχήμα, τη σφαίρα, έτσι και ο φ (1,618033...) είναι ο αριθμός της ομορφιάς. Ο μοναχός του 15ου αιώνα Λούκα Πατσιόλι, επηρεασμένος από την αντίληψη της εποχής ότι οι νέες γνώσεις της επιστήμης έπρεπε να ενταχθούν στο εκκλησιαστικό δόγμα, τον ονόμασε Η θεία αναλογία. Πού αναφέρεται αυτή η φράση, που θα ταίριαζε μάλλον σε αλχημιστή ή αποκρυφιστή παρά σε μαθηματικό; Στο «χρυσό αριθμό», ονομασία που αποδίδεται στον Λεονάρντο Ντα Βίντσι. Αιώνες αργότερα, ο Αμερικανός μαθηματικός Μαρκ Μπαρ θα τον προσδιόριζε με το ελληνικό γράμμα φι, προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, ο οποίος με βάση αυτόν τον αριθμό δημιουργούσε τα έργα του. Ορισμός: Ο φ ανήκει στους άρρητους αριθμούς, δηλαδή εκείνους που δεν μπορούμε να εκφράσουμε ως κλάσμα δύο ακέραιων. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητος αριθμός: αυτή η ανακάλυψη προκάλεσε τέτοια αμηχανία στους πυθαγόρειους, που την απέκρυψαν από τον υπόλοιπο κόσμο. Σήμερα, για να υπολογίσουμε το χρυσό αριθμό, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ένα κομπιουτεράκι και να ακολουθήσουμε τις εξής απλές οδηγίες: πρώτα υπολογίζουμε την τετραγωνική ρίζα του 5. Μετά προσθέτουμε 1 στο αποτέλεσμα και τέλος το διαιρούμε διά 2. Σε μαθηματικούς όρους, χρυσός αριθμός είναι εκείνος που αν του προσθέσουμε το 1 θα μας δώσει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο θα έχουμε και αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο. Δηλαδή, αν ο χρυσός αριθμός ήταν το 4, θα έπρεπε να είχαμε το ίδιο αποτέλεσμα είτε κάναμε τον πολλαπλασιασμό 4 επί 4 είτε κάναμε την πρόσθεση 4 συν 1, που όμως δεν ισχύει. Στην πραγματικότητα, πάντως, υπάρχουν δύο χρυσοί αριθμοί, ένας θετικός (1,618033...) και ένας αρνητικός (-1,618033...), αλλά ο πρώτος έχει κλέψει όλη τη δόξα. Ο αριθμός 1,618 ως τώρα περνούσε απαρατήρητος χωρίς να γνωρίζουμε την πολυσχιδή εφαρμογή του. Ωστόσο διαπιστώνουμε ότι η εφαρμογή του ξεκινά από την αναλογία της φύσης, του προσώπου μας, του σώματός μας...περνά στην τέχνη, στους ζωντανούς οργανισμούς και πολλά άλλα που πιθανόν να μην έχουν παρατηρηθεί. 18 Εφαρμογές του χρυσού αριθμού φ: Οι Πυραμίδες, όπως και η Mόνα Λίζα, βασίζονται στον αριθμό 1,618033 που ορίζει την αρμονία και την ομορφιά και απεικονίζεται παγκοσμίως με το γράμμα φ Ο Παρθενώνας είναι ένα δείγμα αρχιτεκτονικής που επίσης είναι φτιαγμένος με ένα χρυσό αριθμό. Οι Πυραμίδες της Αιγύπτου, ο Παρθενώνας, η Mόνα Λίζα, ο Τζορτζ Kλούνεϊ και το κορμί της Mόνικα Mπελούτσι έχουν κάτι κοινό! H θελκτικότητά τους λέγεται πως βασίζεται στη «Xρυσή Τομή», τον μαγικό αριθμό 1,618033... που ορίζει την αρμονία και την ομορφιά! Σε τι συνίσταται όμως η ιδιαιτερότητα και παράλληλα η μαγεία αυτού του αριθμού που απεικονίζεται παγκοσμίως και με το γράμμα φ (προς τιμήν του αρχαίου γλύπτη Φειδία) και έχει απασχολήσει την επιστημονική κοινότητα όσο κανένας άλλος αριθμός στην ιστορία των Μαθηματικών; Το συναρπαστικό μάλιστα στην όλη υπόθεση είναι ότι τον συγκεκριμένο αριθμό δεν μελετούν μόνο μαθηματικοί, αλλά βιολόγοι, καλλιτέχνες, μουσικοί, ιστορικοί, αρχιτέκτονες, ψυχολόγοι ακόμα και μυστικιστές! 19 O Λεονάρντο ντα Bίντσι ζωγράφισε τη Mόνα Λίζα ώστε να χωράει σε ένα τέλειο ορθογώνιο « Yπάρχουν πολλά σχήματα, τα οποία έχουν την ιδιότητα φ όπως ο Παρθενώνας, το αρχαίο θέατρο της Eπιδαύρου, το πορτρέτο της Mόνα Λίζα», εξηγεί ο καθηγητής μέσης εκπαίδευσης και γ.γ. της Ελληνικής Mαθηματικής Εταιρείας, Ιωάννης Tυρλής. «Έχουν γίνει έρευνες για να εξηγήσουν γιατί η εμφάνιση του αριθμού φ στο σχήμα της τηλεόρασης μάς ικανοποιεί αισθητικά. Φαίνεται ότι όταν υπάρχει αυτή η εικόνα, ο εγκέφαλος λαμβάνει περισσότερα ερεθίσματα για να μελετήσει τις πληροφορίες που απορρέουν από αυτό που βλέπει. Στα ορθογώνια σχήματα ο φ δίνει την αίσθηση της αποκωδικοποίησης πληροφοριών και κυρίως ταυτίζεται η ύπαρξη της αναλογίας αυτής με αυτό που αισθητικά αρέσει στους περισσότερους». Πράγματι, η πρόσοψη του Παρθενώνα αποτελεί κορυφαίο παράδειγμα εφαρμογής του φ, όπως και οι πυραμίδες της Αιγύπτου που ακολουθούν τη δομή ενός ισοσκελούς τριγώνου. Αιώνες αργότερα, ο Λεονάρντο ντα Bίντσι θα ζωγράφιζε το περίφημο πρόσωπο της Mόνα Λίζα με τέτοιον τρόπο ώστε αυτό να χωράει σε ένα τέλειο ορθογώνιο. Ακόμα και ο Μότσαρτ συνέθεσε μερικά από τα έργα του, με τρόπο ώστε η χρονική αναλογία να αντιστοιχεί στη χρυσή τομή. Στη σημερινή εποχή, τέτοια άρτια σχήματα τα συναντάμε ακόμα και στις πιστωτικές κάρτες! 20 Το θέατρο της Επιδαύρου και ο χρυσός αριθμός Φ Κάποια θέατρα ήταν ασυνήθιστα μελετημένα κατασκευαστικά. Σαν παράδειγμα το μεγάλο θέατρο της Επιδαύρου κατασκευάστηκε στο τέλος του 4ου αιώνα π.χ. και το πάνω διάζωμα προστέθηκε στα τέλη του 3ου π.χ. αιώνα. Η ορχήστρα του είναι ένας τέλειος κύκλος, ενώ το κοίλον του αποτελεί τμήμα σφαίρας! 34 σειρές καθισμάτων στο κάτω διάζωμα και 21 στο πάνω δίνουν 55 σειρές συνολικά. Το άθροισμα των πρώτων 10 αριθμών (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) δίνει 55. Το άθροισμα των πρώτων 6 (1+2+3+4+5+6) δίνει 21, και το άθροισμα των 4 τελευταίων (7+8+9+10) δίνει 34. Ο χρυσός αριθμός Φ παρουσιάζεται και πάλι μιας και η αναλογία σειρών των δύο διαζωμάτων 21 / 34 = 0,618 = Φ, αλλά και η αναλογία του κάτω διαζώματος προς το σύνολο των σειρών 34 / 55 = 0,618 = Φ. Απ' ότι φαίνεται λοιπόν υπήρχε γνώσεις, μελέτη και διαχρονική συνέχεια σε τέτοιες κατασκευές. 21 Ιστορικά: Ο Πυθαγόρας πρώτος παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία, αλλά σύμφωνα με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες. Δεν είναι τυχαία δηλαδή τα όμορφα σχέδια των λουλουδιών. Οι αρχαίοι Έλληνες βρήκαν ότι τα σχέδια των λουλουδιών βασίζονται σε γεωμετρική αναλογία. Επίσης η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται ακόμα και στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδεντρα στους δακτυλίους των κορμών τους. Με τις πράξεις που έκανε ο Ιταλός μαθηματικός Fibonacci, ο οποίος ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται και σήμερα, βρήκε ότι το κλειδί της ομορφιάς είναι η αναλογία 1 προς 1,618, ο αριθμός Φ. Για παράδειγμα, η σχέση από το πάτωμα ως τον ομφαλό και από εκεί στο κεφάλι θα είναι 1 προς Φ, αν οι αναλογίες είναι ιδανικές. Επίσης, το πλάτος του στόματος είναι Φ φορές το πλάτος της μύτης. Ο Χρυσός αριθμός θεωρούταν από τους αρχαίους Έλληνες ως η θεϊκή αναλογία όπου η εφαρμογή του σε καλλιτεχνικά δημιουργήματα και κατασκευές οδηγούσε σε «άριστα» και «ωραία» αποτελέσματα. 22 FIBONACCI: Ο Fibonacci ή αλλιώς Leonard της Πίζας. Πιστεύεται ότι ο Leonardo Pisano Fibonacci γεννήθηκε τον 13ο αιώνα, το 1170 (περίπου) και ότι πέθανε το 1250.Ο Fibonacci γεννήθηκε στην Ιταλία, αλλά έλαβε την εκπαίδευσή του στη Βόρεια Αφρική. Πολύ λίγα είναι γνωστά γι 'αυτόν ή την οικογένειά του και δεν υπάρχουν φωτογραφίες ή σχέδια γι' αυτόν. Πολλές από τις πληροφορίες σχετικά με Fibonacci έχουν συγκεντρωθεί από αυτοβιογραφικά σημειώματα του που περιλαμβάνονται στα βιβλία του. Ωστόσο, ο Fibonacci θεωρείται ένας από τους πιο ταλαντούχους μαθηματικούς για τον Μεσαίωνα. Λίγοι άνθρωποι συνειδητοποιούν ότι ήταν ο Fibonacci που μας έδωσε δεκαδικό αριθμητικό σύστημα μας (ινδουιστικό-αραβικό σύστημα αρίθμησης), το οποίο αντικατέστησε το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης. Η ακολουθία του είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... Αυτή η ακολουθία, δείχνει ότι κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών. Είναι μια σειρά που έχει χρησιμοποιηθεί σε πολλούς διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών και της επιστήμης. Η ακολουθία Fibonacci καθορίζει την καμπυλότητα των φυσικών σπειρών, όπως κελύφη σαλιγκαριών, ακόμη και του τρόπου διεξαγωγής των σπόρων σε ανθοφόρα φυτά. Άρα η σειρά Fibonacci είναι η ακόλουθη 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610 κ.ά. Αν φτιάξουμε μια νέα ακολουθία με όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci έχουμε 3/2,5/3,8/5,13/8,21/13,34/2..όπου με προσέγγιση θα είναι 1.5 , 1.667 , 1.6 , 1.625 , 1.615 , 1.619…και θα διαπιστώσουμε ότι συγκλίνει στο χρυσό αριθμό φ=1.618 περίπου. 23 Ακολουθία FIBONACCI Ορισμός: Ορισμός της ακολουθίας Fibonacci : α1=α2=1 και αν+1= αν + αν-1 για κάθε 2 Οι αριθμοί 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .. Αν από το τετράγωνο του καθενός αφαιρέσουμε το γινόμενο των δυο πιο κοντινών γειτονικών αριθμών, παίρνουμε αποτέλεσμα 1 ή -1. 22 1 3 4 3 1 32 2 5 9 10 1 52 3 8 25 24 1 82 5 13 64 65 1 132 8 21 169 168 1 . . . 2 1 1 ( 1) 1 Για κάθε 3 ισχύει: 24 Σπείρα του Fibonacci Η σπείρα Fibonacci είναι μία γεωμετρική σπείρα της οποίας η ανάπτυξη ρυθμίζεται από τη σειρά Fibonacci. Κατασκευάζουμε εφαπτόμενα τετράγωνα ξεκινώντας από δύο με πλευρά 1,συνεχίζοντας με ένα που έχει πλευρά 1+1=2, μετά με ένα με πλευρά 2+1=3 δηλαδή με πλευρά το άθροισμα των πλευρών των προηγούμενων δύο τετραγώνων . Τα τετράγωνα αυτά λέγονται τετράγωνα Fibonacci.Αν τώρα κατασκευάσουμε τεταρτοκύκλιο στο εσωτερικό κάθε τετραγώνου με ακτίνα την πλευρά του ,δημιουργείται μια σπείρα, η λεγόμενη σπείρα του Fibonacci. 25 Αυτοομοιότητα (FRACTAL) Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτοομοιότητα σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης. Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει αριθμητική, μαθηματική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασμό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους, δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά σχήματα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτομέρειες, οι οποίες όμως γίνονται ορατές μόνο μετά από μεγέθυνσή τους σε κάποια κλίμακα. Το σύνορο του συνόλου Μάντελμπροτ έχει κι αυτό φράκταλ δομή.Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισμός των φράκταλ σε σχέση με την ευκλείδεια γεωμετρία, αναφέρουμε ότι, αν μεγεθύνουμε κάποιο αντικείμενο το οποίο μπορεί να οριστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία, παραδείγματος χάριν την περιφέρεια μιας έλλειψης, αυτή μετά από αλλεπάλληλες μεγεθύνσεις θα εμφανίζεται απλά ως ευθύγραμμο τμήμα. Αντίθετα, σε ένα φράκταλ, θα εμφανίζονται κατόπιν μεγεθύνσεων λεπτομέρειες που δεν ήταν ορατές σε μικρότερη κλίμακα μεγέθυνσης. Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών(η φτέρη,κουνουπίδι)ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων. Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σημαίνει "σπασμένος", "κατακερματισμένος". Για να κατανοήσουμε καλύτερα την αναγκαιότητα εισαγωγής των φράκταλ αναφέρουμε το εξής παράδειγμα: Η περίμετρος ενός νησιού εννοείται ότι είναι ορισμένη. Ωστόσο, αν χρησιμοποιήσουμε ακρίβεια ενός μέτρου για να την μετρήσουμε, θα την βρούμε μικρότερη από ότι πραγματικά είναι γιατί δεν θα μπορέσουμε να μετρήσουμε τις κοιλότητες που είναι μικρότερες του ενός μέτρου. Αν μετρήσουμε με ακρίβεια ενός εκατοστού, πάλι θα χάσουμε ορισμένες κοιλότητες. Έτσι καταλήγουμε σε απειροστά μικρή μονάδα μέτρησης και η περίμετρος του νησιού θα γίνει άπειρη. Η επιφάνεια 26 όμως του νησιού, η έκτασή του δηλαδή, είναι ορισμένη. Το παράδοξο αυτό, το οποίο η Ευκλείδεια Γεωμετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιμετωπίζεται με τα φράκταλ. 27 28 29 30 31 32 33 Μολονότι τα μαθηματικά και η τέχνη είναι δυο διακριτά πεδία, σύμφωνα με τις σύγχρονες αντιλήψεις, υπάρχει ένας αριθμός καλλιτεχνών οι οποίοι κάνουν τα μαθηματικά επίκεντρο της δουλειάς τους όπως υπάρχουν επίσης και πολλά θέματα τα οποία έχουν χρησιμοποιηθεί ευρέως από την μαθηματική τέχνη. M.C. Escher O M.C. Escher, που ήταν ένα κράμα καλλιτέχνη και επιστήμονα, έγινε παγκοσμίως γνωστός για τις ασυνήθιστες λιθογραφίες και ξυλογραφίες του. Τα μοναδικά και συναρπαστικά έργα τέχνης του είναι ένα ταξίδι μεταξύ της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής. Ο ίδιος είχε πει: “Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε ν’ ανέβουμε στο βουνό, όχι πατώντας σ’ αυτό που βρίσκεται από κάτω μ ας, αλλά ελκόμενοι από αυτό που είναι από πάνω μας: για μένα αυτό είναι τ’ αστέρια” . Είχε δηλώσει επίσης : “Διασχίζω συνεχώς το σύνορο μεταξύ μαθηματικών και τέχνης”. Προσθέτοντα ς άλλοτε, “ Να είστε βέβαιοι ότι αυτό που νομίζετε πως βλέπετε είναι πραγματικά αυτό που βλέπετε. Προσπαθήστε να πιστέψετε στα μάτια σας…. ” Ο θεατής βλέποντας τα έργα του δεν μπορεί να μην παραξενεύεται από τις εικόνες του, αφού βρίσκεται αντιμέτωπος με ένα σχεδόν απτό, παιχνιδιάρικο κόσμο ονείρων. Είναι από τους καλλιτέχνες του 20ου αιώνα με τη μεγαλύτερη διάδοση του έργου του και ταυτόχρονα από τους πιο άγνωστους με την έννοια του λιγότερου κατανοημένου. 34 Τα έργα του αντανακλούν ένα πλήθος μαθηματικών ιδεών και ειδικά έννοιες και τεχνικές της σύγχρονης γεωμετρίας. Είναι διαχρονικά και ασκούν πραγματική έλξη εξαιτίας της…. Στερεότητας και της Παραίσθησης… δηλαδή το παιχνίδι του δημιουργού με τα οπτικά και μαθηματικά παράδοξα. Ο M.C Escher γεννήθηκε το 1898 και πέθανε το 1972 στην Ολλανδία. Κατά τη διάρκεια των σχολικών του χρόνων αντί να ασχολείται με τα μαθήματα προτιμούσε να παρατηρεί τα σύννεφα προσπαθώντας να διακρίνει συγκεκριμένα σχήματα μέσα σε αυτά ενώ παράλληλα περίμενε με ενδιαφέρον τα εβδομαδιαία 2ωρα μαθήματα σχεδίου και χαρακτικής. Ξεκίνησε σπουδές στην Αρχιτεκτονική αλλά πολύ σύντομα, με τη συμβουλή του δασκάλου του, ασχολήθηκε σχεδόν αποκλειστικά με τις Γραφικές Τέχνες. Τελείωσε τη σχολή του το 1922. Ο δάσκαλός του, ο οποίος πρόσεξε τις ικανότητές του στο σχέδιο, του δίδαξε πολλές πτυχές της τέχνης της ξυλογραφίας και τον ενθάρρυνε να πειραματιστεί. Έτσι το ενδιαφέρον του Escher στράφηκε προς τη χαρακτική και διακοσμητική τέχνη και ιδιαίτερα στην ξυλογραφία και ξυλοτυπία. Στη διάρκεια της ζωής του ο Escher ήταν αληθινός Ευρωπαίος καλλιτέχνης, κατοίκησε και εργάστηκε σε πολλές Ευρωπαϊκές χώρες. Τα θέματα που διάλεξε για τα έργα του προέρχονται από τον οπτικό πλούτο αυτών των χωρών. Όταν ολοκλήρωσε τις σπουδές του, άρχισε να ταξιδεύει συχνά. Πήγε στη Γαλλία κι από κει στην Ισπανία όπου επισκέφτηκε την Αλάμπρα, ένα παλάτι των Μαυριτανών του 13ου αιώνα, στη Γρανάδα και το μουσουλμανικό τέμενος της Κόρδοβα. Εκεί έρχεται σε επαφή με τη διακοσμητική δεξιοτεχνία των καλλιτεχνών του Ισλάμ, εντυπωσιάζεται και εμπνέεται από τα μαυριτανικά μωσαϊκά και τα γεωμετρικά μοτίβα που διακοσμούσαν τους τοίχους των κτιρίων του παλατιού . Εγκαθίσταται στην Ιταλία όπου ζει και εργάζεται ως το 1935. Αυτή την περίοδο στο έργο του κυριαρχεί η ορατή πραγματικότητα δηλαδή αυτά που παρατηρεί στον κόσμο γύρω του. Το 1936 έκανε το τελευταίο του ταξίδι μελέτης : επιστρέφει στην Αλάμπρα. Η δεύτερη αυτή επίσκεψή του σήμανε την αρχή της πλήρους αλλαγής στο στυλ και στα θέματά του. Τα γεωμετρικά σχέδια των Μαυριτανών που για θρησκευτικούς λόγους είχαν παντελή απουσία κάθε έμψυχης μορφής, τον ενθουσιάζουν και τον προσελκύουν αφάνταστα. Θεωρητικά αυτά τα σχέδια θα μπορούσαν να συνεχίζονται ως το άπειρο. Ο Escher ήθελε να δώσει ζωή σε αυτά τα αφηρημένα σχέδια χρησιμοποιώντας ζώα κυρίως πουλιά και ψάρια, φυτά και ανθρώπους γιατί η επίδραση από κάτι γνώριμο του φαινόταν πιο δυνατή. Παρόλο που στα προηγούμενα χρόνια είχε κινηθεί κατά διαστήματα προς αυτή την κατεύθυνση από το 1937 συγκεντρώνεται στις επινοήσεις της δικής του φαντασίας και ερευνά εντατικά τεκμηριωμένο, εικονογραφικό υλικό από διάφορες έρευνες για τα μαθηματικά και την κρυσταλλογραφία. Τα συμπεράσματα των γεωμετρών και των κρυσταλλογράφων θα τα χαρακτηρίσει “ανοικτή πόρτα των μαθηματικών” και θα αναγνωρίσει την εξαιρετική επίδρασή τους στο έργο του. 35 Από αυτή την περίοδο έχει σαν βάση ένα γεωμετρικό σχέδιο (ένα τρίγωνο, ένα κύκλο, μία σπείρα ή μία σφαίρα, ένα πολύγωνο ή ένα πολύεδρο), χρησιμοποιεί οπτικές αντιφάσεις και τα χαρακτικά του έχουν να κάνουν με τον άπειρο χρόνο και χώρο, τις συμμετρίες, τους δακτυλίους και τις σπείρες στο χώρο, τις αντανακλώμενες εικόνες , τις αντιστροφές, τις περιστροφές, τις σχετικότητες, τη σύγκρουση μεταξύ του επιπέδου και του χώρου. Το έργο όμως που τον έκανε πασίγνωστο ήταν η συστηματική διαίρεση του επιπέδου και οι περίφημες πλακοστρώσεις του. Ένα έργο στο οποίο υπερέχει η καθαρή γεωμετρία. Ο ίδιος είπε : “Πρόκειται για την πλουσιότερη πηγή έμπνευσης που είχα ποτέ: Ο τρόπος με τον οποίο μια επιφάνεια μπορεί να διαιρεθεί, ή να γεμίσει με ομοιόμορφα σχήματα που εφάπτονται χωρίς να αφήνουν καθόλου κενά.” Η κανονική διαίρεση της επιφάνειας είναι η κάλυψη μιας επιφάνειας με το ίδιο μοτίβο, που επαναλαμβάνεται με συστηματικό τρόπο δίχως να αφήνει κενά διαστήματα. Παρόλο που ο Escher δεν είχε καμία επίσημη κατάρτιση μαθηματικών, και δεν τα είχε κατανοήσει βαθιά, δημιουργεί ένα έργο τέχνης που στηρίζεται σε πολλές μαθηματικές αρχές. Αναπτύσσει τη δική του θεωρία για τις πλακοστρώσεις στο επίπεδο , την οποία ο ίδιος χαρακτηρίζει ερασιτεχνική, μιας και διαφέρει από τις αυστηρές θεωρήσεις των γεωμετρών και τα γεωμετρικά σχέδια που χρησιμοποιεί, τα οποία δείχνουν να μην έχουν αρχή ή τέλος, σταδιακά εξελίσσονται σε μορφές ή το αντίστροφο. Στις πλακοστρώσεις του τα ”πλακίδια ” μπορεί να είναι πολυγωνικά, κυρτά ή μη ή να έχουν οποιοδήποτε περίγραμμα. Χρησιμοποιεί διάφορους μετασχηματισμούς συμμετρίας, περιστροφές και μεταθέσεις επαναλαμβάνοντας τις μορφές του και μάλιστα σε κάποια έργα του όλο και σε μικρότερες κλίμακες, για να μεταβιβάσει την αίσθηση του απείρου. Η έννοια του δυισμού, που είναι θεμελιώδης στη γεωμετρία και βασίζεται στη διαπίστωση της συμμετρικής συμπεριφοράς θεμελιωδών γεωμετρικών αντικειμένων, είναι διάχυτη στο έργο του κυρτός – κοίλος, σκοτάδι – φως, πάνω – κάτω, και συχνά καλός – κακός τη μεταφυσική πτυχή της δυαδικότητας. Λίγοι ήξεραν ότι ο Escher θα γινόταν ένας διάσημος καλλιτέχνης και θα δημιουργούσε ένα εμπνευσμένο έργο που πάντρευε τον κόσμο της τέχνης και των μαθηματικών. Στην εποχή του το έργο του εκτιμήθηκε από μαθηματικούς παρά από ομότεχνούς του. Μόνο σήμερα εμφανίζονται σημαντικά βήματα προς την κατεύθυνση που έδειξε ο Escher δηλαδή στη γεφύρωση του χάσματος ανάμεσα στις επιστήμες και τις τέχνες. Από την πλούσια κληρονομιά του Escher, θα σας παρουσιάσουμε κάποια έργα από τις κανονικές διαιρέσεις της επιφάνειας και τις περίφημες πλακοστρώσεις του, στα οποία θα δείτε αυτή τη λεπτή γραμμή μεταξύ του κόσμου της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής, αλλά κυρίως θα παρατηρήσετε την υπεροχή των μαθηματικών! 36 Το “Ημέρα και Νύχτα” μία ξυλογραφία που χρησιμοποιεί τη συμμετρία σε άξονα, στη συστηματική διαίρεση του επιπέδου. Σταδιακά η αυστηρή γεωμετρία υποχωρεί σε ένα ακανόνιστο μωσαϊκό και το τοπίο χάνεται στο βάθος του ορίζοντα… Τα “Ερπετά” Μία πολύ όμορφη και χιουμοριστική λιθογραφία με κανονική εξαγωνική πλακόστρωση, μας δείχνει μια παιχνιδιάρικη μετάβαση ενός 37 πράγματος από μία διάσταση σε άλλη. Από το μονοδιάστατο επίπεδο στο τρισδιάστατο πραγματικό αντικείμενο. Το έργο “Μεταμόρφωση II” είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιεί στενόμακρες λωρίδες αλλά λόγω της συμμετρίας των δύο άκρων του μας δίνει την αίσθηση ενός κύκλου. Ένα σταυρόλεξο που μετατρέπεται σε σκακιέρα, σε ερπετό, σε κυψέλη, σε μελίσσι, σε πουλιά, σε ψάρια, σε πόλη, σε σκακιέρα και καταλήγει πάλι σε σταυρόλεξο, με κύρια τεχνική τη συστηματική διαίρεση του επιπέδου. Ένα πλακόστρωτο που αποτελείται ουσιαστικά από εξαγωνικά “πλακίδια” στα οποία κυριαρχεί η περιστροφή και η συμμετρία. 38 Μετάθεση αξόνων, συμμετρία και αντανακλαστική ολίσθηση….. στο έργο του Escher “Κανονική Διαίρεση του Επιπέδου III” “Angels & Devils” Μεταφυσική διάσταση της δυικότητας στο έργο του Escher. 39 Η χρυσή τομή στις σονάτες του Μότσαρτ. Στο περιοδικό Mathematics Magazine του Οκτωβρίου 1995, ο Putz περιέγραψε την έρευνά του για το αν η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις σονάτες για πιάνο του Μότσαρτ. Σύμφωνα με τον Putz: "Στον καιρό του Μότσαρτ, η μουσική φόρμα της σονάτας εξελίχθηκε σε δύο μέρη: στην Έκθεση που το μουσικό θέμα εισάγεται, και στην Ανάπτυξη και Επανέκθεση που το θέμα αναπτύσσεται και επανεπισκέπτεται. Είναι αυτός ο χωρισμός σε δύο ευδιάκριτα τμήματα... [ που ] δίνει την αιτία για να αναρωτηθεί κανείς πώς ο Μότσαρτ διένειμε αυτές τις εργασίες." Δηλαδή ο Μότσαρτ διαίρεσε τις σονάτες του σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία, με την Έκθεση ως πιο το σύντομο τμήμα (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση ως το πιο μεγάλο (1-x); Ο Putz αντιστοίχισε τα δύο τμήματα - την Έκθεση (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση (1-x) -από τον αριθμό των μέτρων στο κάθε ένα. Στο πρώτο μέρος της σονάτας αριθ.1 σε Ντο Ματζόρε, παραδείγματος χάριν, η Έκθεση αποτελείται από 38 μέτρα και η Ανάπτυξη και Επανέκθεση από 62 μέτρα. Η διαίρεση του 38:62 δίνει πηλίκο περίπου 0,613, προσεγγίζοντας το χρυσό αριθμόo. 40 Λεονάρντο ντα Βίντσι Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι (15 Απριλίου 1452 — 2 Μαΐου 1519) ήταν Ιταλός αρχιτέκτονας, ζωγράφος, γλύπτης, μουσικός, εφευρέτης, μηχανικός, ανατόμος, γεωμέτρης και επιστήμονας που έζησε την περίοδο της Αναγέννησης. Θεωρείται αρχετυπική μορφή του Αναγεννησιακού καλλιτέχνη, Homo Universalis και μια ιδιοφυής προσωπικότητα. Μεταξύ των πιο διάσημων έργων του βρίσκονται η Μόνα Λίζα και ο Μυστικός Δείπνος. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι, υπήρξε ακόμα σημαντικός εφευρέτης και επιστήμονας, με σημαντική συνεισφορά στην ανατομία, και την αστρονομία. Ο Μυστικός Δείπνος (1495-1498). Τοιχογραφία που σήμερα είναι αρκετά κατεστραμμένη 41 Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου (1490) Ο «Άνθρωπος του Βιτρούβιου» του Λεονάρντο Ντα Βίντσι αντανακλά την επίδραση που άσκησαν οι συγγραφείς της κλασικής αρχαιότητας στους ουμανιστές της Αναγέννησης. Παίρνοντας ως βάση τις προδιαγραφές που θέτει ο Βιτρούβιος στο έργο του «De architectura», κάπου 1.500 χρόνια πριν, ο Ντα Βίντσι προσπάθησε να σχεδιάσει έναν άνθρωπο με τέλειες αναλογίες. Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι ένα διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του Λεονάρντο ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά του. Απεικονίζει μία γυμνή αντρική φιγούρα σε δύο αλληλεπικαλυπτόμενες θέσεις με τα μέλη του ανεπτυγμένα και συγχρόνως εγγεγραμμένη σε ένα κύκλο και ένα τετράγωνο. Το σχέδιο και το κείμενο συχνά ονομάζονται Κανόνας των Αναλογιών. 42 Σύμφωνα με τις σημειώσεις του ντα Βίντσι στο συνοδευτικό κείμενο, οι οποίες είναι γραμμένες με καθρεπτιζόμενη γραφή, το σχέδιο έγινε ως μελέτη των αναλογιών του (ανδρικού) ανθρώπινου σώματος όπως περιγράφεται σε μια πραγματεία του Ρωμαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου, που είχε γράψει για το ανθρώπινο σώμα: μια παλάμη έχει πλάτος τεσσάρων δακτύλων ένα πόδι έχει πλάτος τέσσερις παλάμες ένας πήχης έχει πλάτος έξι παλάμες το ύψος ενός ανθρώπου είναι τέσσερις πήχεις (και άρα 24 παλάμες) μια δρασκελιά είναι τέσσερις πήχεις Το μήκος των χεριών ενός άντρα σε διάταση είναι ίσο με το ύψος του η απόσταση από την γραμμή των μαλλιών ως την κορυφή του στήθους είναι το ένα-έβδομο του ύψους του άνδρα η απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού ως τις θηλές είναι το ένα-τέταρτο του ύψους του άνδρα το μέγιστο πλάτος των ώμων είναι το ένα-τέταρτο του ύψους του άνδρα η απόσταση από το αγκώνα ως την άκρη του χεριού είναι το ένα-πέμπτο του ύψους του άνδρα η απόσταση από τον αγκώνα ως την μασχάλη είναι το ένα-όγδοο του ύψους του άνδρα το μήκος του χεριού είναι ένα-δέκατο του ύψους ενός άνδρα η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού ως την μύτη είναι το ένα-τρίτο του μήκους του προσώπου η απόσταση της γραμμής των μαλλιών ως τα φρύδια είναι το ένα-τρίτο του μήκους του προσώπου το μήκος του αυτιού είναι το ένα-τρίτο του μήκους του προσώπου Φαίνεται ότι ο ντα Βίντσι δημιούργησε το σχέδιο βασιζόμενος στο De Architectura 3.1.3 του Βιτρούβιου που γράφει: Ο ομφαλός είναι φυσικά τοποθετημένος στο κέντρου του ανθρώπινου σώματος, και, αν σε ένα άνδρα ξαπλωμένο με το πρόσωπο στραμμένο επάνω και τα χέρια και τα πόδια του ανεπτυγμένα, με τον ομφαλό του ως κέντρο εγγράψουμε ένα κύκλο, θα ακουμπήσει τα δάκτυλα των χεριών και τα δάκτυλα των ποδιών του. Δεν γίνεται μόνο μέσω ενός κύκλου, η περιγραφή ενός ανθρώπινου σώματος, όπως φαίνεται τοποθετώντας τον σε ένα τετράγωνο. Μετρώντας από τα πόδια ως στην κορυφή του κεφαλιού, και έπειτα κατά μήκος των χεριών σε πλήρη έκταση, βρίσκουμε την τελευταία μέτρηση ίση με την πρώτη· έτσι γραμμές σε ορθή γωνία μεταξύ τους, περικλείοντας τη φιγούρα, σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Η επαναφορά των ανακαλύψεων των μαθηματικών αναλογιών του ανθρώπινου σώματος τον 15ο αιώνα από τον ντα Βίντσι και άλλους θεωρείται ένα από τα μεγάλα επιτεύγματα που οδήγησαν στην Ιταλική Αναγέννηση. Ας σημειωθεί ότι το σχέδιο του ντα Βίντσι συνδυάζει μια προσεκτική ανάγνωση του αρχαίου κειμένου με τις δικές του παρατηρήσεις σε αληθινά ανθρώπινα σώματα. Κατά το σχεδιασμό του κύκλου και του τετραγώνου πολύ σωστά παρατήρησε ότι το τετράγωνο δεν μπορεί να έχει το ίδιο κέντρο με τον κύκλο, στον ομφαλό, αλλά κάπου χαμηλότερα στην ανατομία. Αυτή η ρύθμιση είναι μια καινοτομία στο σχέδιο του ντα Βίντσι και το ξεχωρίζει από προγενέστερες απεικονίσεις. 43 Το ίδιο το σχέδιο συχνά χρησιμοποιείται ως ένα υπονοούμενο σύμβολο της ουσιώδους συμμετρίας του ανθρώπινου σώματος, και κατά προέκταση του σύμπαντος ως σύνολο. Μπορεί να παρατηρηθεί από την εξέταση του σχεδίου ότι ο συνδυασμός των θέσεων των χεριών και των ποδιών μπορεί να δημιουργήσει δεκαέξι διαφορετικές στάσεις. Η στάση με τα χέρια εκτεταμένα μακριά και τα πόδια ενωμένα είναι εγγεγραμμένη στο τετράγωνο. Η στάση με τα χέρια ελαφρώς υψωμένα και τα πόδια ανοικτά εγγράφεται στον κύκλο. Αυτό εικονογραφεί το θεώρημα ότι κατά την εναλλαγή μεταξύ των δύο στάσεων, το φαινόμενο κέντρο της φιγούρας φαίνεται να κινείται, αλλά στην πραγματικότητα ο ομφαλός της φιγούρας που είναι το πραγματικό κέντρο της βαρύτητας παραμένει ακίνητος. Μάρκος Πολλίωνας Βιτρούβιος Ο Μάρκος Πολλίωνας Βιτρούβιος έζησε τον 1ο αι. π.χ. Η κύρια ενασχόλησή του ήταν η ευθύνη της κατασκευής βαλλιστικών μηχανών ή σκορπιώνων και άλλων πολεμικών μηχανών. Επιστάτησε όμως στα έργα ύδρευσης και αποχέτευσης της Ρώμης. Αναφέρει δε ότι έκτισε μια Βασιλική στο Fanum. Έχοντας διατριβήσει στα έργα του Έλληνος Ερμογένη (3ος αι. π.χ.), ήταν ένας μορφωμένος μηχανικός με ελληνική παιδεία και το βιβλίο του με αρχικό τίτλο «De Architectura» το χαρακτήριζε ως "επιστήμη της συλλογιστικής" (disciplinae rationes). Το βιβλίο του το έγραψε περί το 25 π.χ., αν και από άλλες αναφορές συνάγεται ως πιθανότερη ημερομηνία το 14 π.χ. Είναι μια καταγραφή της ιστορικής παράδοσης στα θέματα με τα οποία καταπιάνεται. Σ' αυτό παραθέτει εγκυκλοπαιδικές και τεχνικές γνώσεις της εποχής του. Πρόκειται δε για το μοναδικό τεχνικό έργο που διασώθηκε αυτούσιο μέχρι τις ημέρες μας, μεταφέροντάς μας την επίδραση της ελληνικής κλασικής αρχιτεκτονικής. Ως οδηγό του έχει την συσσωρευμένη σοφία της ελληνικής κατασκευής σε μια προσπάθεια να αντιπαραβληθεί με την ελληνική πολυμάθεια - παιδεία, συμπληρώνοντας το κενό που υπήρχε στην ρωμαϊκή κουλτούρα. Το σύγγραμμά του χωρίζεται σε δέκα Βιβλία (ενότητες). Εκτός από τους Βυζαντινούς λογίους και τα αρχαία κείμενα που διεσώθησαν τον Μεσαίωνα, η ανακάλυψη του βιβλίου του Βιτρούβιου το 1414 μΧ. αποτέλεσε ένα σημαντικότατο ερέθισμα για τους αρχιτέκτονες που επιχείρησαν την Αναγεννησιακή αφύπνιση. Με την μελέτη και την κατανόηση του έργου του Βιτρούβιου αποδεικνύεται η πολιτισμική συνέχεια και μετάβαση από την ελληνική επιστήμη και κατασκευαστική στην σύγχρονη, μέσω της Αναγεννησιακής κατασκευαστικής των Da Vinci και Ramelli, οι οποίοι θα ανακατασκευάσουν και θα εξελίξουν τα έργα και τις κατασκευές του Βιτρούβιου, δεκαέξι περίπου αιώνες αργότερα. Όπως γράφει ο Βιτρούβιος : «... και με την προϋπόθεση ότι υπάρχει συμμετρική αντιστοιχία μεταξύ των μελών χωριστά και ολόκληρης της μορφής του σώματος, σύμφωνα με κάποιο τμήμα που έχει επιλεγεί ως σημείο αναφοράς, δεν έχουμε παρά να σεβαστούμε εκείνους οι οποίοι κατά την κατασκευή των ναών για τους αθάνατους θεούς, διαμόρφωσαν τα μέλη των έργων τους, έτσι ώστε και τα επί μέρους τμήματα και ολόκληρο το σχέδιο να βρίσκεται σε αρμονία τόσο με την αναλογία όσο και με την συμμετρία τους.» (ΒΙΒΛΙΟ ΙΙΙ 44 Κεφ. Ι παρ. 9). Οι αρχαίοι Έλληνες κατάλαβαν πρώτοι ότι η ομορφιά είναι η σωστή δόση και αναλογία των αντιθέτων και ότι αρμονική διαίρεση δεν σημαίνει αναγκαστικά την ισότητα και την συμμετρία, όπως μία στείρα, στατική διχοτόμηση, αλλά την επίτευξη μίας δυναμικής ισορροπίας μεταξύ δύο αρμονικών - αν και άνισων - μερών. Η Χρυσή Τομή οφείλει το όνομά της στον Λεονάρντο Ντα Βίντσι, ο οποίος την ονόμασε Sectio Aurea. Ο Βιτρουβιανός άνθρωπος του Λεονάρντο Ντα Βίντσι εκφράζει μια τριπλή αρμονία : 1. ταιριάζει στον κοσμικό κύκλο, 2. διαιρείται ακριβώς στην μέση στην περιοχή του ανδρικού του μορίου και 3. η Χρυσή Τομή βρίσκεται στην περιοχή του αφαλού. Επίσης ο κοσμικός κύκλος : 1. διαιρείται ακριβώς στην μέση στην περιοχή του αφαλού του βιτρουβιανού ανθρώπου και 2. η Χρυσή Τομή του βρίσκεται στο άκρο του ανδρικού μορίου (αλλά και στο κέντρο της μεσαίας μοίρας του στέρνου) του βιτρουβιανού ανθρώπου. 45 Άλμπρεχτ Ντύρερ & το Μαγικό τετράγωνο Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ ήταν Γερμανός ζωγράφος ,χαράκτης και μαθηματικός. θεωρείται σημαντικός καλλιτέχνης της εποχής του, συμβάλλοντας καθοριστικά στη διάδοση των ιδεών της Ιταλικής Αναγέννησης. Ήταν νεότερος του Leonardo da Vinci και ενδιαφέρθηκε για τη σχέση μεταξύ μαθηματικών και τέχνης. Έζησε το μεγαλύτερο διάστημα της ζωής του στη Νυρεμβέργη που αποτελούσε ένα από τα μεγαλύτερα πολιτιστικά κέντρα της Γερμανίας, αλλά ταξίδεψε αρκετά και επισκέφτηκε την Ιταλία γεγονός που επηρέασε το έργο του από το οποίο ξεχωρίζουν οι ξυλογραφίες και τα χαρακτικά. Από τα χαρακτικά του πάνω σε ξύλο ή χαλκό ξεχωρίζουν «Ο Ιππότης ο Θάνατος και ο Διάβολος», «Ο Άγιος Ιερώνυμος στο Σπουδαστήρι του» και η « Μελαγχολία » που δημιούργησε το 1514. Σ’ αυτό το έργο περιέχεται το μαγικό τετράγωνο(πάνω δεξιά) - το πρώτο μαγικό τετράγωνο που δημοσιεύθηκε στην Ευρώπη-το οποίο δημιούργησε ο ίδιος. Η ημερομηνία δημιουργίας της εικόνας, 1514, περιλαμβάνεται στην κάτω γραμμή του τετραγώνου. Υπάρχουν 86 διαφορετικοί συνδυασμοί των τεσσάρων αριθμών από το τετράγωνο το άθροισμα των οποίων είναι 34 όπως παρατηρούμε παρακάτω και αυτό είναι μαγεία. Οι αριθμοί 1 και 4 που εμφανίζονται αριστερά και δεξιά της χρονολογίας 1514 αντιστοιχούν, στα αγγλικά, «Α» και τα γράμματα «D» που είναι τα αρχικά του καλλιτέχνη. 46 47 48 49 50 Τα Μαθηματικά στη Λογοτεχνία & στον Κινηματογράφο Γενικά οι επιστήμες, ιδιαιτέρως σήμερα, έχουν μια εξειδικευμένη γλώσσα αντίθετα προς την τέχνη, που έχει μια κατανοητή γλώσσα. Στη λογοτεχνία λ.χ. η αφήγηση γίνεται κατανοητή από τον καθένα και τα κείμενά της αποτελούν κάτι που μπορεί να το διαβάσει ο καθένας. Έτσι, τα μαθηματικά έδωσαν την ευκαιρία να γραφούν ένα σωρό λογοτεχνήματα, δηλ. μυθιστορήματα, ιστορικές αφηγήσεις, έρευνες, βιογραφίες, διάλογοι κ.λπ. και που κάποια από αυτά παρουσιάζουν με εκλαϊκευμένο τρόπο και σε γλώσσα απλή ποικίλα θέματα ή αναδεικνύουν αμφισβητούμενα θέματα που έχουν τη βάση τους στην επιστήμη των μαθηματικών. Ενδεικτικά αναφέρουμε τα ακόλουθα πέντε: 1. Το θεώρημα του παπαγάλου, του Denis Guedj, όπου μια ετερόκλιτη παρέα αποτελούμενη από έναν ηλικιωμένο βιβλιοπώλη, την υπάλληλό του, τρία παιδιά κι ένα παπαγάλο εξερευνά τον κόσμο των μαθηματικών με στόχο να λύσει το μυστήριο που κρύβεται πίσω από τον βίαιο θάνατο του μαθηματικού Ελγκάρ Γκροσρούβρ. 2. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα Μαθηματικά των αρχαίων πολιτισμών, του Θεόδωρου Εξαρχάκου, που μέσα από έρευνα ο συγγραφέας αποδεικνύει την απόλυτη ελληνικότητα του Πυθαγορείου Θεωρήματος. 3. Η ράβδος του Ευκλείδη του Jean Pierre Luminet, όπου ένας Άραβας στρατηγός έχει εντολή να κάψει τη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας. Τρία πρόσωπα, ο φιλόσοφος Ιωάννης ο Φιλόπονος, η μαθηματικός Υπατία και ο Εβραίος γιατρός Ραζής προσπαθούν να τον μεταπείσουν, παρουσιάζοντάς του τη ζωή και το έργο των μαθηματικών που έζησαν και εργάστηκαν εκεί. 4. Η ποίηση του σύμπαντος του Robert Osserman, όπου οι προσπάθειες του ανθρώπου να γνωρίσει καλύτερα το φυσικό κόσμο τον οδήγησαν στην ανακάλυψη και την ανάπτυξη διαφόρων κλάδων των μαθηματικών. 5. Η αφύπνιση της επιστήμης του L. van der Waerden αποτελεί ένα κλασσικό έργο που συνοψίζει τις γνώσεις για τα μαθηματικά Αιγυπτίων, Βαβυλωνίων, Ελλήνων, όπως αυτές διαμορφώθηκαν στο πρώτο μισό του εικοστού αιώνα. Η λογοτεχνία, όπως και η Ιστορία των μαθηματικών μπορεί να χρησιμοποιηθούν από το διδάσκοντα και από τους μαθητές για πλουτίσουν το μάθημα και να το κάνουν πιο ευχάριστο. 51 10 ΤΑΙΝΙΕΣ ΠΟΥ ΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Π" Ο ήρωας του «Π», του Ντάρεν Αρονόφσκι, ζει σε ένα διαμέρισμα της Νέας Υόρκης μέσα σε μια «ζούγκλα» καλωδίων, που τροφοδοτούν τον «Ευκλείδη», τον υπερυπολογιστή του, και μελετά μαθηματικά. Σκοπός του είναι να αποδείξει πως υπάρχει μια μαθηματική λογική πίσω από κάθε πολύπλοκο σύστημα και προσπαθεί να αναπτύξει μια τέλεια μέθοδο πρόβλεψης της συμπεριφοράς του Χρηματιστηρίου. Αυτό τον κάνει στόχο των ανθρώπων της Γουόλ Στριτ, καθώς και ραβίνων που, μέσα από τα μαθηματικά, ελπίζουν να επικοινωνήσουν με τον Θεό. "Agora" Η ταινία πραγματεύεται τη ζωή της Υπατίας, της Ελληνίδας φιλοσόφουμαθηματικού-αστρονόμου που βρήκε φρικτό θάνατο από τον χριστιανικό όχλο. Η ταινία θα προσπαθεί να μεταφέρει το κλίμα της εποχής, τις σχέσεις μεταξύ παγανιστών και χριστιανών με κεντρικό θέμα την σχέση μεταξύ της Υπατίας και ενός σκλάβου μαθητή της ο οποίος στρέφεται προς το χριστιανισμό ελπίζοντας να κερδίσει την ελευθερία του ενώ παράλληλα έχει ερωτικά αισθήματα για τη δασκάλα του. "Ο Κύβος 1-2-3" Έξι άνθρωποι, άγνωστοι μεταξύ τους, ξυπνούν ξαφνικά στον ίδιο χώρο, ανακαλύπτοντας πως βρίσκονται παγιδευμένοι σε μια εξωπραγματική φυλακή -μια ατελείωτη μάζα από διαπλεκόμενα δωμάτια, ασφαλισμένα με θανατηφόρες παγίδες. Ανάμεσα στα σκοτεινά ερωτήματα που τους τριβελίζουν το μυαλό, ένα πράγμα γίνεται ξεκάθαρο: αν δεν αρχίσουν γρήγορα να συνεργάζονται, για να βρουν τα μυστικά αυτής της θανάσιμης παγίδας, οι μέρες τους είναι μετρημένες. "Eνα υπέροχο μυαλό" Η συνύπαρξη ευφυΐας και τρέλας στο μυαλό του Τζον Νας, τιμημένου με Νόμπελ οικονομικών για τη δουλειά του στη θεωρία των παιγνίων. Στον ρόλο του Νας, ο Ράσελ Κρόου. 52 "Proof"' Βασισμένο στο τιμημένο με Πούλιτζερ ομώνυμο θεατρικό έργο του Ντέιβιντ Ομπερν, το φιλμ εστιάζει στην αγωνία μιας νεαρής κοπέλας, που φροντίζει τον ιδιοφυή μαθηματικό πατέρα της, ο οποίος ζει τα τελευταία χρόνια της ζωής του στην τρέλα. Η βεβαιότητα της επιστήμης συγκρούεται με την αβεβαιότητα της ζωής. "O ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ" Ένας νεαρός από υποβαθμισμένη περιοχή των ΗΠΑ διαθέτει τρομερό ταλέντο στα μαθηματικά, αλλά δυσκολεύεται να προσαρμοστεί στη ζωή τού Πανεπιστημίου. Αγαπημένος του δάσκαλος ο Ρόμπιν Ουίλιαμς, μαθητής ο Ματ Ντέιμον, που μαζί με τον Μπεν Αφλεκ κέρδισαν εκείνη τη χρονιά (1997) το Όσκαρ σεναρίου. "21" Ο Ben (Jim Sturgess) μόλις έγινε 21, διαθέτει κοφτερό μυαλό, οι σπουδές του στο MIT πηγαίνουν περίφημα και ονειρεύεται την ιατρική σχολή του Harvard. Το πρόβλημα είναι πως χωρίς την πολυπόθητη υποτροφία η απόσταση από το όνειρο απέχει ακριβώς 300 χιλιάδες δολάρια. Τα περιορισμένα οικονομικά του δεν αφήνουν πολλά περιθώρια. Όταν όμως οι δυνατότητές του υποπέσουν στην αντίληψη του καθηγητή Micky Rosa (Kevin Spacey), θα δεχθεί μία ανέλπιστη πρόταση για συμμετοχή σε μυστική ομάδα νεαρών φοιτητών που προεξάρχοντος του Rosa, θα επιχειρήσουν να στήσουν μία καλοστημένη, ημι-παράνομη 'επιχείρηση' χαρτοπαιξίας. Το κόλπο είναι απλό: αφού το blackjack είναι μαθηματικά, μαθαίνουμε τα μυστικά του και ανοίγουμε πανιά για τα καζίνο του Vegas. " Το δωμάτιο του Fermat" Τέσσερις μαθηματικοί καταφέρνουν να λύσουν έναν γρίφο γεγονός που τους επιτρέπει να λάβουν μέρος σε μία μυστική συνάντηση ώστε να λύσουν ένα μεγάλο μαθηματικό πρόβλημα. Οι μαθηματικοί είναι πολύ ενθουσιασμένοι καθώς αυτές οι συναντήσεις είναι πολύ σημαντικές, πολύ σπάνιες και αν έχουν αποτέλεσμα τότε θα είναι πραγματικός θρίαμβος. Έτσι, μαζεύονται όλοι σε ένα δωμάτιο αλλά αντί για την επίλυση ενός μεγάλου μαθηματικού προβλήματος επιδίδονται στην λύση γρίφων προκειμένου να κρατηθούν εν ζωή! Ωραίοι και εύκολοι γρίφοι.. Αρκεί βέβαια να μην συρρικνώνεται το δωμάτιο στο οποίο βρίσκεσαι.. 53 "H Επαφή" Εξωγήινοι χρησιμοποιούν τους πρώτους αριθμούς (αυτούς που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα) για να προσελκύσουν την προσοχή της ερευνήτριας Τζόντι Φόστερ. "Κωδικός Αίνιγμα" Ένας νεαρός, μαθηματική ιδιοφυΐα, προσπαθεί να σπάσει τον κώδικα του εχθρού και να σώσει τη γυναίκα που αγαπάει. "Κώδικας Ντα Βίντσι" Πίσω από την στυγνή δολοφονία του εφόρου του μουσείου του Λούβρου, Ζακ Σονιέρ, κρύβεται μια καλοστημένη συνομωσία που σκοπεύει να αλλάξει ολόκληρη την σκεπτική της σύγχρονης ανθρωπότητας. Μια παράξενα μπλεγμένη υπόθεση την οποία καλούνται να λύσουν με τις γνώσεις τους ο καθηγητής του Χάρβαρντ, Ρόμπερτ Λάνγκντον και η κρυπτογράφος της Παρισινής αστυνομίας Σοφί Νεβό. 54 Διερευνητική Εργασία-Ερευνώ & Διαπιστώνω Μελέτη ύπαρξης της «χρυσής αναλογίας» στο ανθρώπινο σώμα. Σύμφωνα με τον Πολλίωνα, στο ανθρώπινο σώμα , το κέντρο είναι ο ομφαλός. Επομένως, αν ένας άντρας ξαπλώσει με το πρόσωπο προς τα πάνω, τα χέρια και τα πόδια του αναπτυγμένα, και σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο τον ομφαλό, τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών θα αγγίξουν την περιφέρεια του κύκλου. Μπορούμε επίσης να περικλείσουμε το σώμα με ένα ορθογώνιο σχήμα. Αν διαιρέσουμε τη μια πλευρά του ορθογωνίου (το ύψος του ανθρώπου) με την ακτίνα του κύκλου (την απόσταση από τον ομφαλό μέχρι την άκρη των δαχτύλων), θα έχουμε το χρυσό αριθμό. Έτσι, για να ανακαλύψει κάποιος κατά πόσο ανταποκρίνεται στο πρότυπο της αισθητικής τελειότητας, δεν έχει παρά να πάρει μια μεζούρα. 55 Έτσι και εμείς πήραμε μια μεζούρα και ακολουθήσαμε τα βήματα του Πολλίωνα και διαπιστώσαμε πως δεν μας διάψευσε. Στο σώμα μας έχουμε πολλές αναλογίες και εάν τις μετρήσουμε θα βρούμε τον μαγικό αριθμό φ που είναι περίπου 1:1,618 και θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες. 56 Για έναν «μέσο» άνθρωπο με ύψος 1,80 μέτρα, ο ομφαλός βρίσκεται σε απόσταση 1,10 από το έδαφος. 57 ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Μετά την καταγραφή των μετρήσεων δημιουργούμε τον λόγο h/d, όπου h το ύψος των ερωτηθέντων και d η απόσταση του ομφαλού από το έδαφος. Παρακάτω παραθέτουμε τους συγκεντρωτικούς πίνακες των μετρήσεων μας ανά φύλο και ηλικία. Πίνακας 1: Μετρήσεις ύψους και ύψους ομφαλού στους άνδρες της ομάδας και σε επιλεγμένα συγγενικά πρόσωπα ή φίλους. Ηλικία (έτη) Ύψος Ομφαλού d(cm) Ύψος h (cm) h/d 4 110 61 1,803 6 10 115 153 68 93 1,691 1,645 12 160 94 1,667 15 176 108 1,630 15 183 110 1,664 16 174 110 1,582 16 170 102 1,667 24 175 107 1,636 35 181 107 1,692 54 180 109 1,651 80 164 96 1,708 81 169 104 1,625 Πίνακας 2: Μετρήσεις ύψους και ύψους ομφαλού στις γυναίκες της ομάδας και σε επιλεγμένα συγγενικά πρόσωπα ή φίλους. Ηλικία (έτη) 6 7 8 12 13 15 Ύψος h (cm) 119 115 135 160 158 172 Ύψος Ομφαλού d (cm) 73 h/d 1,630 68 1,691 81 1,667 96 1,667 99 1,596 103 1,670 16 170 109 1,560 16 167 105 1,590 17 178 106 1,679 18 168 98 1,714 173 103 1,680 157 90 1,744 22 76 58 Αν κάποιος μετρήσει το μήκος που έχει το πάνω άκρο του κεφαλιού του από τη μύτη του και το κάτω άκρο (σαγόνι) και θέσει ως α την μεγάλη και ως b τη μικρή απόσταση όπως δείξαμε παραπάνω, θα διαπιστώσει ότι ο λόγος τείνει στο 1.618 αρκετά. Ανάλογα με τον αν είναι μεγαλύτερος ο λόγος ή μικρότερος τότε στο άτομο ταιριάζουν ή όχι τα φουντωτά μαλλιά ή τα κοντοκουρεμένα, για παράδειγμα. Αν δηλαδή η απόσταση της μύτης του από το πάνω άκρο του κεφαλιού του είναι μικρότερη από όση χρειάζονταν για να ικανοποιηθεί η αναλογία, τότε στο άτομο ταιριάζουν τα πιο φουντωτά μαλλιά. Αντίστοιχα αν ισχύει ότι η απόσταση από το κάτω άκρο είναι μικρότερο, τότε στο πρόσωπο ταιριάζουν τα γένια. Και η αναλογίες συνεχίζουν και συνεχίζουν. Βάση αυτών των αναλογιών κάποιοι επιστήμονες κατάφεραν να δημιουργήσουν μία μάσκα. Τη μάσκα της χρυσής τομής. Μία μάσκα που αποδεικνύει ότι η ομορφιά είναι ξεκάθαρα μία μαθηματική υπόθεση! Αν μετρήσεις την απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες των δακτύλων και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός... ...ο αριθμός αυτός είναι ο 1,618 ή ο γνωστός αριθμός φ!!! Και τέλος με τον ίδιο τρόπο υπολογίζεται το ύψος στο οποίο τοποθετούνται τα πόμολα στις πόρτες – τουλάχιστον έτσι βρίσκεται η ιδανική θέση για αυτά, άσχετα αν αυτή επιλέγεται ή όχι πλέον για λόγους μοντέρνου στυλ και διακόσμησης. Η λίστα μπορεί να μεγαλώσει αρκετά, μιας και αν κάποιος το αναζητήσει μπορεί να βρει πολλά ακόμα παραδείγματα που ισχύει η αναλογία της χρυσής τομής, τόσο στην φύση όσο και στον άνθρωπο και τα δημιουργήματά του. 59 Συμπεράσματα Στην εργασία αυτή συζητήσαμε πρώτα ορισμένες πλευρές της μαθηματικής τέχνης. Δεν γνωρίζουμε, αν τα Μαθηματικά υπήρξαν τα εργαλεία στην ανάπτυξη της Τέχνης ή η Τέχνη είναι φυσική προέκταση των Μαθηματικών. Οπωσδήποτε όμως η φιλοσοφία των Μαθηματικών οδηγεί στην Τέχνη είτε αυτή είναι η Αρχιτεκτονική, είτε η Ζωγραφική, είτε η Μουσική. Ζούμε σε μια εποχή που οι άνθρωποι είναι σε θέση να αντιληφθούν, όχι μόνον μέσα από τα ίδια τα μαθηματικά, αλλά και μέσω των άλλων Επιστημών και ειδικά μέσω της σύγχρονης τεχνολογίας την αξία των μαθηματικών. Διακρίνουν ότι τα μαθηματικά μπορούν να ερμηνεύουν τον κόσμο με έγκυρο τρόπο και επομένως είναι φυσικό να επηρεάζουν την εξέλιξή του. Θα πρέπει να αναζητήσουμε ως συνέπεια της επιρροής των μαθηματικών στις Τέχνες, τα Γράμματα και τις Επιστήμες και την αντίστροφη πορεία των πραγμάτων, δηλ. την προσφορά των Τεχνών, των Γραμμάτων και των Επιστημών στη διαδικασία της διδασκαλίας – μάθησης των μαθηματικών και να αντλήσουμε από εκεί χρήσιμα διδακτικά συμπεράσματα. 60 Βιβλιογραφία Cemen P.( 1989 ) Το άγχος για τα μαθηματικά. Εκδόσεις Παρουσία. Αθήνα Davis, P., Hersh R. (1980) Η μαθηματική εμπειρία Εκδόσεις Τροχαλία Αθήνα Heath, T. (1921) A history of Greek mathematics, Vol II, Oxford, 1921. Henry, M. (1999) Διδακτική Μαθηματικών Έκδοση και Επιμέλεια Σπύρου Παναγιώτης. Αθήνα Lakatos, I. (1976): Proofs and Refutations, Warral & Zahar (eds), Cambridge University Press. Κλαουδάτος, Ν. (1992). Η μοντελοποίηση στη διδακτική πράξη- Διδακτορική Διατριβή Αθήνα Κλαουδάτος Ν. (2000) Ενεργητική Μάθηση και Επίλυση προβλήματος: Μία πειραματική Εφαρμογή. Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών - IV Αξιολόγηση και Διδασκαλία των Μαθηματικών. Επιμέλεια Καλαβάσης Φρ. - Μεϊμάρης Μ. σελ. 327-344 Πανεπιστήμιο Αιγαίου Εκδόσεις Gutenberg Αθήνα Ματσαγγούρας Γ. Η. (2000) Στρατηγικές Διδασκαλίας. Εκδόσεις Gutenberg Αθήνα Νικολουδάκης Εμμ., Χουστουλάκης Εμμ., (2005) Μοντέλα και Μαθηματικά: Δύο Όψεις του Ίδιου Νομίσματος. Πρακτικά του 22ου Συνεδρίου της Ε.Μ.Ε Cemen P.( 1989 ) Το άγχος για τα μαθηματικά. Εκδόσεις Παρουσία. Αθήνα Davis, P., Hersh R. (1980) Η μαθηματική εμπειρία Εκδόσεις Τροχαλία Αθήνα Heath, T. (1921) A history of Greek mathematics, Vol II, Oxford, 1921. Henry, M. (1999) Διδακτική Μαθηματικών Έκδοση και Επιμέλεια Σπύρου Παναγιώτης. Αθήνα Lakatos, I. (1976): Proofs and Refutations, Warral & Zahar (eds), Cambridge University Press. Loria, G. (1971) Ιστορία των Μαθηματικών σ.106 Εκδόσεις Ε.Μ.Ε Mandelbrot, B., Hudson R. (2006) Ο Πίνακας του Χάους. Γιατί καταρρέουν οι αγορές; Εκδόσεις Τραυλός Αθήνα Mlodinow, L. (2007) Το παράθυρο του Ευκλείδη Εκδόσεις Κάτοπτρο, Αθήνα 61 Αρτεμιάδης,Ν.(2000) Ιστορία των Μαθηματικών Αθήνα Δαφέρμος, Μ. (2002) Η Πολιτισμική – Ιστορική Θεωρία Του Vygotsky Φιλοσοφικές – Ψυχολογικές -Παιδαγωγικές Διαστάσεις. Εκδόσεις Ατραπός Αθήνα Εξαρχάκος, Θ.(2005) Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα Μαθηματικά των αρχαίων πολιτισμών Αθήνα. Χρυσοχοΐδου, A., Η Μαθηματική Αναλογία της Χρυσής Τομής, Διπλωματική εργασία, Παν. Αιγαίου, 2010. Σκαρδανάς, Η., Η χρυσή τομή ο αριθμός του Φειδία [Φ] και η ακολουθία Fibonacci http://math.rice.edu/~lanius/ http://goldennumber.net/ http://www.claymath.org/library/historical/euclid/index.html 62
© Copyright 2024 Paperzz
