La tela del doge

Moto vario di un punto materiale. Consideriamo per ora un moto su un piano. Nel caso del moto circolare con centro nell'origine la distanza dal punto O rimane invariata mentre l'angolo θ(t) varia nel tempo. !
In questo caso varia sia l'angolo θ(t) che la distanza r(t) . !
Possiamo quindi affermare che varia il vettore r(t + Δt) = , varia sia la direzione-‐verso che il modulo. !
Al tempo t la posizione del punto materiale è descritta da r (t) , al tempo t+Δt è descritta !
!
!
!
!
!
da r (t + Δt) = r (t) + Δr dove, come si vede dal disegno Δr = Δr// + Δr⊥ . !
!
!
Il termine Δr// descrive la variazione del modulo di r (t) , il termine Δr⊥ descrive di !
quanto "è ruotato il vettore r (t) nel tempo Δt". Abbiamo definito velocità media di un punto materiale che si muove sull'asse x come x(t + Δt) − x(t) Δx
d
e velocità istantanea v x (t) = x(t). v x (t) =
=
Δt
Δt
dt
!
d
Generalizzando potremmo definire v y (t) = y(t) e quindi rappresentare il vettore v(t) dt
!
mediante le sue componenti v ≡ (v x , v y , 0) . "d
%
!
d !
d
d
ˆ ] = $ r(t)' ⋅ r(t)
ˆ + r(t)⋅ r(t)
ˆ . Analogamente potremmo scrivere v(t) = r (t) = [ r(t)⋅ r(t)
# dt
&
dt
dt
dt
!d
$
!
ˆ , è un vettore diretto ed orientato come r (t) il cui modulo rappresenta la variazione con cui varia nel tempo la Il prime termine, # r(t)& ⋅ r(t)
" dt
%
d
ˆ deve essere ancora un vettore: la derivate di un versore è un vettore. distanza dal punto O. Il secondo termine r(t)⋅ r(t)
dt
1 Moto vario di un punto materiale. La derivate di un versore si definisce come ˆ
ˆ + Δt) − r(t)
ˆ
dr(t)
r(t
. = lim
Δt→0
dt
Δt
Come già detto il risultato è un vettore che ha la stessa direzione e verso del ˆ + Δt) − r(t)
ˆ quando Δt diventa infinitesimo. vettore Δrˆ = r(t
ˆ ed il suo verso sarà definito dal verso del Tale vettore sarà ortogonale ad r(t)
moto (da P1 a P2). Chiamiamo ηˆ (t) il versore che rappresenta tale direzione-‐
verso. E' chiaro che il versore mantiene il modulo =1 e può cambiare nel tempo solo la direzione, può ruotare. Supponiamo che nell'intervallo di tempo Dt ruoti di un angolo ˆ
ˆ + Δt) − r(t)
ˆ Δθ
dr(t)
r(t
Dq. In tal caso possiamo scrivere . Dal disegno possiamo = lim
Δt→0
dt
Δθ
Δt
ˆ + Δt) − r(t)
ˆ è osservare che il numeratore del rapporto incrementale Δrˆ = r(t
Δθ
rappresentato dal segmento P1P2 = 2 ⋅ AP2 = 2 ⋅ rˆ sin
per cui sostituendo abbiamo 2
Δθ (t)
Δθ (t)
2 ⋅ rˆ sin
sin
ˆ
dr(t)
Δ
θ
(t)
2
2 Δθ (t) = rˆ ⋅ Δθ (t) = ω (t)
= lim
= rˆ ⋅ lim
Δt→0
Δθ (t)
dt
Δθ (t)
Δt
Δt
Δt
Δt→0
2
. ˆ + Δt)
r(t
O
θ
Δ
ˆ
r(t)
P2
ˆ + Δt) − r(t)
ˆ
Δrˆ = r(t
A
P1
sin x
Δθ (t)
ˆ = 1 e definendo la velocità angolare ω (t) =
. = 1 , che r(t)
x→0
x
Δt
Abbiamo ottenuto tale risultato ricordando che lim
Ma come abbiamo già detto la derivate di un versore è un vettore; ne abbiamo calcolato il modulo e sappiamo che direzione e verso sono date ˆ
dr(t)
dal versore ηˆ (t) . Possiamo in definitiva scrivere = ω (t)ηˆ (t) (formula di Poisson). Nel caso più generale della derivata di un vettore, che dt
!
!
!
da(t) d a(t)
ˆ + a(t) ω (t)ηˆ (t) . =
a(t)
ruoti con velocità angolare ω (t) , scriveremo
dt
dt
2

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