Università degli Studi di Bologna
Scuola di Ingegneria e Architettura – Sede di Forlì
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica
Dispense del Corso di
DINAMICA DELLE MACCHINE E DEI SISTEMI MECCANICI LM
Anno Accademico 2013-2014
prof. Alessandro RIVOLA
Tel. 0543 374441
e-mail: [email protected]
INDICE
1. Introduzione.
2. Dinamica delle macchine e degli impianti.
3. Fondamenti di meccanica delle vibrazioni.
4. Sistemi ad un grado di libertà.
5. Sistemi a due gradi di libertà.
6. Sistemi a molti gradi di libertà.
7. Sistemi continui.
8. Misure di vibrazione e analisi modale.
9. Modellazione a parametri concentrati.
10. Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink.
11. Introduzione al metodo degli elementi finiti.
Esercitazioni.
Parte 1 – Introduzione
PARTE 1 – Introduzione
MACCHINA
Una macchina è un sistema di organi disposti in modo tale da compiere, muovendosi sotto l'azione di
forze opportunamente applicate, lavoro di interesse industriale.
In sostanza una macchina ha il compito di trasformare una energia, in essa entrante, di un certo tipo, in
energia da essa uscente, in generale di tipo diverso: ad esempio di trasformare energia meccanica in altre
forme di energia (come avviene nelle macchine operatrici, nelle macchine generatrici elettriche), oppure
di trasformare in energia meccanica energia di tipo generalmente diverso (come nelle macchine motrici),
oppure anche di trasformare energia meccanica in energia meccanica, variandone i fattori (come avviene
ad esempio nei riduttori di velocità). Possiamo dunque dire che una macchina ha la duplice funzione di
trasmettere movimento e di trasmettere forze.
DINAMICA DELLE MACCHINE
In conseguenza del movimento impresso agli organi delle macchine, nascono in questi delle azioni
d’inerzia, alle quali sono connessi molti importanti problemi. Quelli che possono venire studiati
prescindendo, almeno in linea di principio, dalla deformabilità dei corpi, vengono studiati nella Dinamica
delle macchine: si tratta dei problemi relativi al calcolo e al bilanciamento delle azioni di inerzia,
all'accoppiamento fra motore e macchina utilizzatrice, al funzionamento delle macchine e degli impianti a
regime periodico, ai transitori meccanici. I problemi strettamente connessi con la deformabilità elastica
dei corpi vengono invece trattati nella Meccanica delle vibrazioni, che affronta problemi di grande
rilevanza tecnica come, fra gli altri, l'isolamento delle vibrazioni, l'analisi modale, la diagnostica
industriale. Una grande rilevanza tecnica hanno infine, come è evidente, i problemi relativi alla Dinamica
dei rotori, quali il bilanciamento statico e dinamico, le velocità critiche flessionali, le oscillazioni
torsionali, i problemi di instabilità.
SISTEMA
Un sistema è un insieme di oggetti materiali che interagiscono a ben determinati fini. Gli oggetti materiali
costituenti il sistema sono connessi fisicamente fra loro.
È facile vedere come dalla definizione precedente possano essere esclusi molti sistemi, anche di grande
interesse per l'ingegneria meccanica. Così, per esempio, mentre il sistema costituito da un motore a
combustione interna rientra nella definizione data, quello di un'officina per il collaudo del motore non vi
ricade: in questo caso infatti fanno parte del sistema anche le procedure di collaudo che si intendono
adottate e queste non sono individuabili come oggetti materiali, anche se il sistema, nel suo complesso, è
fisicamente realizzabile.
Nel corso ci si occuperà in larga parte di sistemi meccanici. In altre parole, in conformità alla definizione
di sistema fisico, di quei sistemi in cui le connessioni fisiche fra gli oggetti costituenti diano luogo a
considerevoli scambi energetici in forma di energia meccanica – quindi esprimibili attraverso le variabili
forza e velocità , momento e velocità angolare – e nei quali si possano verificare variazioni dell'energia
potenziale e cinetica del sistema.
Dato che nella definizione sopra riportata un sistema è inteso come costituito da oggetti materiali, è
possibile definire tutto ciò che non fa parte di tali oggetti come esterno (o ambiente) del sistema,
riconoscendo una superficie fisica (o concettuale) di separazione fra sistema e ambiente esterno. Gli
oggetti costituenti un sistema possono essere indicati come sottosistemi, ossia come parti di un sistema a
loro volta rispondenti alla definizione già data, o come componenti, ossia come enti primitivi
caratterizzati da opportuni parametri che, per un dato fine, non è necessario ritenere ulteriormente
suddivisibili. Si noti che la definizione di componente dipende dal fine che ci si propone nell'effettuare la
oggetto, l'interazione dinamica fra stantuffo e fasce elastiche; altrimenti il pattino è un sottosistema,
mentre stantuffo e fasce ne sono i componenti. Allo stesso modo il meccanismo articolato biellamanovella può costituire un sistema qualora se ne voglia studiare la dinamica; diventa un sotto sistema se
si vuol compiere l'analisi dell'intero motore; questo è a sua volta un sottosistema se, per esempio, si sta
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
1–1
Parte 1 – Introduzione
analizzando la macchina su cui tale motore è operante, e così via. Il fatto che uno stesso ente possa essere
considerato sotto differenti aspetti è un punto fondamentale della dinamica e deve fin d'ora essere tenuto
presente.
LA MODELLAZIONE – IL MODELLO FISICO
Vedere un sistema come un insieme di elementi interconnessi tra loro, ci porta a dover stabilire come il
comportamento dei singoli elementi e quello delle connessioni tra essi influenza il comportamento
dell'intero sistema. Dal punto di vista metodologico l'elemento caratterizzante è la modellazione dei
sistemi meccanici, che fornisce il mezzo fondamentale per affrontare in modo corretto ed efficiente
l'ampia gamma dei problemi di dinamica delle macchine.
Modeling of a forging hammer ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 19)
Per affrontare lo studio di un qualsiasi sistema meccanico è necessario infatti formularne dapprima un
adeguato modello fisico e successivamente dedurre da questo il relativo modello matematico. Per modello
fisico si intende qui un sistema fisico immaginario che sia equivalente al sistema reale nell'ambito di una
prefissata approssimazione e rispetto alle caratteristiche che riguardano lo studio a cui si è interessati.
Prerogativa essenziale del modello fisico, ai fini della sua effettiva utilità, deve essere la possibilità di
studiarlo con gli strumenti a disposizione, di regola di tipo matematico. Il passaggio dal sistema reale al
suo modello fisico comporta un certo numero di approssimazioni consapevolmente accettate, la più
importante delle quali consiste nel trascurare tutto quanto provoca effetti piccoli, o comunque ritenuti
trascurabili, sul comportamento del sistema.
Il modello fisico deve includere un numero sufficiente di effetti e dettagli in modo da poter descrivere il
meglio possibile il sistema in termini di equazioni, senza divenire allo stesso tempo troppo complesso.
Il modello fisico può essere lineare o non lineare, in funzione del comportamento dei componenti del
sistema. Modelli lineari permettono una soluzione rapida e sono semplici da trattare. Modelli non lineari a
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
1–2
Parte 1 – Introduzione
volte rivelano certe caratteristiche del sistema che non possono essere correttamente predette impiegando
modelli lineari.
A volte il modello viene gradualmente migliorato in modo da ottenere risultati più accurati. Inizialmente
viene usato un modello elementare per investigare rapidamente il comportamento globale del sistema.
Successivamente il modello viene raffinato includendo altri componenti ed effetti in modo che il
comportamento del sistema possa essere osservato più nel dettaglio.
Modellazione di un motociclo con pilota ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 21)
IL MODELLO MATEMATICO
Una volta individuato il modello fisico del sistema, si può procedere a determinarne il modello
matematico, cioè un insieme di relazioni matematiche che descrivono il comportamento del modello
fisico stesso.
La scrittura di tali equazioni avviene impiegando i principi della dinamica: si possono seguire approcci
differenti tra i quali il principio di d'Alembert, il principio dei lavori virtuali, il principio di conservazione
dell'energia, le equazioni di Lagrange.
Le equazioni del moto sono solitamente equazioni differenziali ordinarie, per un sistema discreto, ed
equazioni differenziali alle derivate parziali, per un sistema continuo. Le equazioni possono essere lineari
o non lineari a seconda della tipologia dei componenti il sistema.
Si passerà infine alla realizzazione di un algoritmo di risoluzione delle equazioni del modello
matematico. Solo in casi semplici la soluzione può venire ottenuta in forma chiusa: di solito si ottiene la
soluzione per via numerica, mediante l'uso di un calcolatore.
In funzione della natura del problema si può usare una delle seguenti tecniche per trovare la soluzione:
metodi standard per la soluzione di equazioni differenziali, metodi basati sulla trasformata di Laplace,
metodi matriciali, metodi numerici.
Se le equazioni sono non lineari difficilmente possono essere risolte in forma chiusa.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
1–3
Parte 1 – Introduzione
INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI ED ANALISI
La soluzione delle equazioni del moto fornisce il comportamento del modello del sistema. Il modello
deve ora essere verificato, in altre parole vanno verificate le ipotesi fatte nel modellare il sistema reale.
Tale verifica può essere condotta tramite prove sperimentali; tale procedura è fondamentale per una
corretta progettazione, ma può non essere necessaria se si stanno considerando componenti il cui
comportamento è noto essere ben descritto da modelli specifici sulla base dell'esperienza acquisita.
Per esempio si è sicuri di poter usare il modello di resistenza v = i R senza bisogno di alcuna verifica,
almeno fino a quando le condizioni operative (tensione, temperatura, …) si mantengono entro certi limiti.
Una volta che il modello è validato, esso può essere usato per prevedere il comportamento del sistema in
questione.
CONTROLLO
Spesso un sistema che opera sotto azioni esterne e in condizioni mutevoli nel tempo, richiede un sistema
di controllo, in modo da produrre i risultati desiderati. Il ruolo del sistema di controllo è duplice: deve
portare le condizioni operative del sistema ai valori desiderati e deve mantenerle anche in presenza di
disturbi e/o variazioni delle condizioni esterne.
Il progetto di un sistema dinamico spesso implica anche lo studio del sistema di controllo più appropriato.
D'altra parte i progettisti del sistema di controllo richiedono modelli che descrivano le proprietà
dinamiche dominanti del sistema da controllare. Pertanto, modellazione e controllo dei sistemi dinamici
costituiscono una unica area di studio.
Sistema di controllo computerizzato per impianto
con turbina a vapore per generazione di energia elettrica
("Modeling, analysis, and Control of Dynamic Systems", W. J. Palm, p. 5).
BIBLIOGRAFIA
* E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. I e II,
ed. Pàtron, Bologna.
* W. J. Palm, Modeling, analysis, and Control of Dynamic Systems, John Wiley & Sons, 1999.
* S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
* R. Ghigliazza, U. Galletti, Meccanica applicata alle macchine, Utet, 1986.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
1–4
Parte 2 – Dinamica delle Macchine
PARTE 2 – Dinamica delle Macchine
ANALISI DINAMICA
INVERSA (ANALISI CINETOSTATICA)
Date le forze attive sulla macchina e la legge di moto, determinare quale forza ulteriore deve essere
applicata per realizzare la legge di moto desiderata. Questo problema è detto analisi cinetostatica.
Rientrano tra gli argomenti che riguardano il problema inverso la determinazione delle azioni di
inerzia, il bilanciamento di tali azioni e l’analisi cinetostatica dei meccanismi.
DIRETTA
Date tutte le forze attive agenti sulla macchina (sia le azioni resistenti, sia quelle motrici), determinare
la legge di moto dei membri in funzione del tempo. In questo caso si parla di analisi dinamica in senso
stretto. Questo tipo di problema si presenta ad esempio quando si vogliano studiare i transitori di
avviamento o di arresto.
Per entrambi i problemi, diretto ed inverso, possono poi essere determinate le forze reattive (le reazioni
vincolari).
AZIONI DI INERZIA
Vedi Appendice A1
ENERGIA CINETICA (Vedi Appendice A2)
L’energia cinetica di un corpo rigido può essere posta nella forma:
T=
[
1
2
mvo + J x ω2x + J y ω2y + J z ω2z − 2 J xy ωx ω y − 2 J xz ωx ωz − 2 J yz ω y ωz
2
]
essendo (O, x, y, z) una terna di assi con origine baricentrica.
PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
Il principio dei lavori virtuali (PLV) può enunciarsi asserendo che:
condizione necessaria a sufficiente per l’equilibrio di un sistema meccanico, è che sia nullo il lavoro delle
forze attive su di esso agenti a seguito di spostamenti virtuali, invertibili, dei loro punti di applicazione.
Per spostamenti virtuali si intende spostamenti infinitesimi e compatibili con i vincoli cui il sistema è
soggetto.
In termini matematici, indicando con Fj (j=1,2,…N) tutte le forze esterne e con δrj (j=1,2,…, N) i relativi
spostamenti virtuali invertibili, si ha:
N
∑ F ⋅ δr
j
j
=0
(2.1)
j =1
PRINCIPIO DI D'ALEMBERT
Per illustrare il principio di d'Alembert (Parigi 16 Novembre 1717 - Ottobre 1783) iniziamo osservando
che la celebre equazione di Newton (seconda legge)
ma = F
(2.2)
può riscriversi nella forma
Se si definisce il vettore Fi delle forze di inerzia
ma − F = 0
(2.3)
−ma = Fi
(2.4)
F + Fi = 0
(2.5)
la (2.3) si trasforma nella
Apparentemente nulla si è guadagnato da tale semplice operazione algebrica, tuttavia ciò che rende
geniale il principio di d'Alembert è l'interpretazione della relazione (2.2) quale condizione di equilibrio.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
2–1
Parte 2 – Dinamica delle Macchine
In altri termini, da quest'ultima relazione si deduce che la somma delle forze d'inerzia a tutte le altre forze
agenti sul sistema produce equilibrio.
In definitiva il principio di d'Alembert afferma che è in equilibrio un sistema di forze ottenuto
aggiungendo alle forze F agenti su un sistema le forze di inerzia Fi.
Ciò introduce la possibilità di trattare problemi di dinamica avvalendosi delle metodologie proprie della
Statica e, in particolare, del PLV.
PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI IN DINAMICA
In Dinamica, il PLV può essere matematicamente formulato come segue:
∑ (F − m a )⋅δr
N
j
j
j
j
=0
(2.6)
j =1
essendo δrj (j=1,2,…N) spostamenti virtuali reversibili (invertibili).
L'osservazione del perché una massa in movimento possa essere trattata come una in equilibrio viene
superata considerando il significato di spostamenti virtuali. Come è noto, il criterio di equilibrio di un
arbitrario sistema di forze richiede che sia nullo il lavoro virtuale di tutte le forze agenti. Pertanto, essendo
gli spostamenti virtuali e non effettivi il principio è applicabile tanto alle masse in movimento quanto a
quelle a riposo.
In definitiva il PLV in dinamica può essere enunciato come segue:
condizione necessaria a sufficiente per l’equilibrio di un sistema, è che sia nullo il lavoro delle forze su di
esso agenti, comprese quelle di inerzia, a seguito di spostamenti virtuali (infinitesimi e compatibili con i
vincoli), invertibili, dei loro punti di applicazione.
Nello studio della dinamica delle macchine il PLV viene, di regola, utilizzato per la determinazione delle
forze incognite: si sceglie arbitrariamente un insieme di spostamenti virtuali e si uguaglia a zero la somma
dei lavori virtuali delle forze applicate al sistema, imponendo così che le forze stesse siano in equilibrio.
Volendo calcolare il valore della reazione incognita, si può sostituire il vincolo con la reazione stessa,
dando al sistema spostamenti virtuali per i quali la razione incognita compia lavoro non nullo.
Nell’applicazione allo studio dinamico delle macchine ad un grado di libertà, si prendono comunemente
come spostamenti virtuali gli spostamenti che il sistema effettivamente subisce durante il movimento.
Allora l’equazione dei lavori virtuali si riconduce a quella dell’energia.
EQUAZIONE DELL'ENERGIA
L’equazione energetica è una formulazione particolare del PLV, a cui ci si riconduce allorquando si
scelgono come spostamenti virtuali gli spostamenti che il sistema effettivamente subisce durante il
movimento.
Se si suppone che l’energia interna (elastica, termica, ecc.) del sistema in studio non subisca modifiche (e
quindi in particolare, che i membri che costituiscono il sistema siano rigidi) e che il sistema stesso non
scambi energia con l’esterno se non sotto forma di energia meccanica, l’equazione dell’energia si scrive:
dW + dLi = dV
(2.7)
dove dW e dLi sono i lavori elementari compiuti rispettivamente dalle forze attive esterne non
conservative (che non ammettono potenziale) e da quelle d’inerzia, mentre dV è la variazione d’energia
potenziale del sistema.
La (2.7) si può scrivere anche nella forma:
(2.8)
dLm + dLr + dL p + dLi = dV
dove dLm, dLr, dLp sono i lavori elementari compiuti rispettivamente dalle forze motrici e da quelle
resistenti utili e passive.
D’altro canto, il lavoro elementare compiuto dalle forze d’inerzia è uguale all’opposto della variazione
d’energia cinetica del sistema:
dP
⎛1
⎞
−dLi = ∑ j m j Pj dPj = ∑ j m j j dPj = ∑ j m j Pj dPj = d ⎜ ∑ j m j Pj2 ⎟ = dT
dt
⎝2
⎠
(2.9)
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
2–2
Parte 2 – Dinamica delle Macchine
per cui l’eq. (2.8) può essere scritta nella forma:
dLm − dLr − dLp = dV + dT
(2.10)
dove si è evidenziato il fatto che il lavoro compiuto dalle forze motrici è positivo, mentre quello compiuto
dalle forze resistenti utili e passive è negativo.
Se poi si suppone che sul sistema non agiscano forze conservative (che ammettono potenziale), la (2.10)
diventa:
dLm − dLr − dLp = dT
(2.11)
TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA
Quando in un sistema vincolato le forze attive siano conservative, ovvero ammettano potenziale U, allora
si ha:
dU = dT
(2.12)
da cui la quantità (T – U) si mantiene costante nel tempo. Considerando l’energia potenziale V = –U il
teorema di conservazione dell’energia meccanica assume la forma:
T(t)+V(t)=E
(2.13)
dove E è una costante che rappresenta l’energia totale del sistema e che possiamo calcolare mediante le
condizioni iniziali.
GRADI DI LIBERTÀ
Il minimo numero di coordinate indipendenti richiesto per determinare univocamente la posizione di tutti
gli elementi di un sistema ad ogni istante di tempo, definisce il numero di gradi di libertà del sistema. Nel
seguito si parlerà indifferentemente di gradi di libertà (gdl) o, nell'accezione anglosassone, di degrees of
freedom (dof).
Indicato con n il numero di gdl di un generico sistema è sempre possibile definire un set di cosiddette
coordinate generalizzate, usualmente indicate con qk (k=1,2,…,n), ossia di coordinate indipendenti in
numero uguale a quello dei gdl del sistema.
EQUAZIONI DI LAGRANGE
Oltre ai citati mezzi di indagine, nello studio dinamico delle macchine altri mezzi trovano conveniente
impiego allorché si debbano studiare sistemi complessi a molti gdl. Per lo studio di questi problemi è, ad
esempio particolarmente utile l’uso delle equazioni di Lagrange.
Se n è il numero di gdl del sistema considerato, n sono le equazioni di Lagrange che ne individuano il
moto. La generica di queste equazioni può essere scritta nella forma:
d ⎛ ∂T
⎜
dt ⎝ ∂qk
⎞ ∂T ∂V
+
= Qk ,
⎟−
⎠ ∂qk ∂qk
k = 1,… , n
(2.14)
dove: qk è la generica coordinata generalizzata, T e V sono rispettivamente l’energia cinetica e l’energia
potenziale e la quantità:
∂r
Qk = ∑ j Fj ⋅ j
(2.15)
∂qk
è la generica forza generalizzata di tipo non conservativo.
L’impiego delle equazioni di Lagrange nello studio dei sistemi complessi è vantaggioso rispetto a quello
delle equazioni di d’Alembert perché presenta minori difficoltà concettuali; come contropartita
l’interpretazione fisica delle equazioni di Lagrange non è sempre immediata.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
2–3
Parte 2 – Dinamica delle Macchine
RIDUZIONE DI MASSE (MOMENTI DI INERZIA) E FORZE (COPPIE)
Nello studio dinamico di un sistema può essere conveniente ricondursi allo studio dell’equilibrio di un
particolare membro, la cui posizione caratterizzi facilmente la configurazione del sistema stesso.
La sostituzione del sistema reale con uno più semplice è lecita purché i due sistemi siano equivalenti
dinamicamente. Tale equivalenza si ottiene imponendo che i due sistemi diano origine, per spostamenti
corrispondenti, ad uguali valori dei lavori elementari delle forze applicate e ad uguali valori dell’energia
cinetica. A questo scopo viene effettuata la riduzione delle forze (o dei momenti) e delle masse (o dei
momenti di inerzia) ad un punto (o ad un asse) del sistema semplificato.
La riduzione di una o più forze si ottiene sostituendo le forze stesse con un’unica forza applicata nel
punto di riduzione, in modo che il lavoro della forza ridotta per uno spostamento elementare del sistema
uguagli quello delle forze prese in esame.
La riduzione di una o più masse ad un punto di riduzione si ottiene sostituendo le masse stesse con
un’unica massa, tale che non venga alterata l’energia cinetica del sistema nell’intorno della
configurazione desiderata.
Effettuata la riduzione delle forze e delle masse, lo studio dinamico del sistema può essere effettuato
applicando l’equazione dell’energia, ovvero il principio dei lavori virtuali, allo schema meccanico
semplificato.
DINAMICA DELLE MACCHINE E DEGLI IMPIANTI MECCANICI
IL PROBLEMA DINAMICO INVERSO
Assegnato il moto ed alcune azioni attive sulla macchina, si devono determinare le azioni ulteriori da
applicare per realizzare il moto desiderato. Spesso si ipotizza che il membro movente si muova con
velocità angolare costante. In questi problemi, il momento resistente utile è di solito un dato, mentre il
momento motore figura fra le quantità da determinare. In altri casi, può succedere che la legge di moto
nota sia quella di un transitorio di avviamento o di arresto: in tal caso, fra le azioni note sono da mettere
in conto anche quelle di inerzia, mentre fra quelle incognite vi può essere il momento frenante.
IL PROBLEMA DINAMICO DIRETTO
Assegnate sia le azioni resistenti, sia quelle motrici, si deve determinare la legge di moto della macchina
in funzione del tempo. Questo tipo di problema si presenta ad esempio quando si vogliano studiare i
transitori di avviamento o di arresto. Un particolare problema di tipo diretto è quello dello studio del
moto delle macchine funzionanti a regime periodico.
TRANSITORI DI AVVIAMENTO
Il problema dei transitori di avviamento è quello dello studio del moto di una macchina che venga
avviata applicando ad essa il momento erogato da un motore. Questo momento motore è, di solito,
funzione della velocità angolare, e talvolta anche di altre quantità; esso deve vincere le varie
resistenze utili e passive e deve inoltre accelerare le masse mobili della macchina, portandole da
velocità nulla alla velocità di regime.
TRANSITORI DI ARRESTO
I transitori di arresto si presentano quando la macchina, partendo da condizioni di moto, viene portata
a fermarsi: di solito ciò avviene annullando il momento motore, ed eventualmente applicando un
momento frenante noto, che si aggiunge alle altre azioni presenti nella macchina.
REGIME PERIODICO
Tale regime di moto è tipico delle macchine in cui sono presenti masse (traslanti od oscillanti) dotate
di moto alterno.
BIBLIOGRAFIA
* E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.
Pàtron, Bologna.
* M. Fabrizio, La Meccanica Razionale e i suoi metodi matematici, ed. Zanichelli, Bologna.
* E. Pennestrì, Dinamica Tecnica e computazionale (in corso di pubblicazione).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
2–4
Parte 2 – Dinamica delle Macchine
APPENDICE A1 – Azioni di inerzia
Dato un sistema di punti materiali Pj di massa mj, il baricentro G del sistema è definito dalla:
∑ j m j Pj
=
G
∑ j m j (Pj − G ) = 0
m
ovvero:
Proprietà del baricentro sono:
- G non dipende dalla posizione del punto assunto come origine dello spazio euclideo;
- se il corpo è omogeneo, G non dipende dalla densità;
- se le masse sono distribuite lungo una retta o su una superficie piana, G appartiene a quella retta o a
quella superficie;
- se il sistema è dotato di un piano di simmetria, G giace su di esso;
- comunque si scomponga il sistema in sottosistemi, G coincide con il baricentro dei punti materiali che
costituiscono i baricentri dei singoli sottosistemi.
La quantità di moto del sistema è definita come:
Q=
∑m
j
dPj
j
dt
Dalla definizione di baricentro si ricava:
Q=
∑mP
j
j
= mG = mv G
j
Il momento della quantità di moto rispetto ad un generico punto O risulta:
KO =
∑ (P − O ) ∧ m P
j
j
j
j
La risultante delle forze d’inerzia è:
Fi = −
∑mP
j
j
j
(A1.1)
Dalle definizioni di baricentro e quantità di moto si ricava:
Fi = −mG = −ma G = −
dQ
dt
(A1.2)
Il momento risultante delle forze d’inerzia rispetto a O è:
M i ,O = −∑ (Pj − O ) ∧ m j Pj
(A1.3)
j
Derivando rispetto al tempo l’espressione del momento della quantità di moto si ottiene:
∑ (P − O ) ∧ m P + ∑ (P − O ) ∧ m P =
= ∑ m P ∧ P − O ∧ ∑ m P + ∑ (P − O ) ∧ m P
dK O
=
dt
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
(A1.4)
j
Osservando che il primo addendo a secondo membro della (A1.4) è nullo e tenendo presente la
definizione di baricentro e la (A1.3), si ricava:
dK O
= −O ∧ mG − M i ,O
dt
ossia:
M i ,O = −
dK O
− vO ∧ Q
dt
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
(A1.5)
2–5
Parte 2 – Dinamica delle Macchine
Se O è un punto fisso ( O = 0 ) oppure la velocità di O è parallela a quella di G (ovvero quando O coincide
con G), l’eq. (A1.5) diventa:
M i ,O = −
dK O
dt
(A1.6)
Risulta dunque sempre conveniente assumere O coincidente con un punto fisso o con il baricentro.
CASO DEL CORPO RIGIDO CONTINUO
Sia ω la velocità angolare del corpo rispetto ad un riferimento inerziale e sia O un punto appartenente al
corpo. La velocità di un qualunque altro punto è data da:
P = O + ω ∧ (P − O )
Assumendo come polo dei momenti lo stesso punto O, si ha:
∫ (P − O ) ∧ P dm = ∫ ( P − O ) ∧ O dm + ∫ ( P − O) ∧ [ω ∧ ( P − O )] dm =
= ∫ ( P − O ) dm ∧ O − ∫ ( P − O ) ∧ [( P − O ) ∧ ω] dm
KO = −
m
m
m
m
(A1.7)
m
Assumiamo che O coincida con un punto fisso (qualora esista) ovvero con il baricentro.
Nel primo caso si ha: O = 0 ; nel secondo: ∫ (P − O )dm = ∫ (P − G )dm = 0 .
m
m
Comunque, il primo addendo che compare a secondo membro dell’eq. (A1.7) diventa nullo, per cui
risulta:
KO = −
∫ (P − O ) ∧ [(P − O ) ∧ ω] dm
(A1.8)
m
Si ha:
K O = JOω
dove la matrice simmetrica
⎡ Jx
⎢
J O = ⎢ − J xy
⎢ − J xz
⎣
− J xy
Jy
− J yz
− J xz ⎤
⎥
− J yz ⎥
J z ⎥⎦
è detta tensore di inerzia
Si dimostra che è:
dK O
=−
dt
∫ (P − O ) ∧ [(P − O ) ∧ ω]dm + ω ∧ K
m
O
(A1.9)
La (A1.9) si può anche scrivere nella seguente forma:
dK O
~J ω
= JOω + ω
O
dt
(A1.10)
~ è la matrice antisimmetrica:
dove ω
⎡ 0
⎢
~
ω = ⎢ ωz
⎢− ω y
⎣
− ωz
0
ωx
ωy ⎤
⎥
− ωx ⎥
0 ⎥⎦
Per la (A1.6) risulta infine:
~J ω
M i ,O = − J O ω − ω
O
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
(A1.11)
2–6
Parte 2 – Dinamica delle Macchine
APPENDICE A2 – Energia cinetica
L’energia cinetica di un sistema di punti materiali è per definizione:
T=
1
2
∑mP
j
j
2
j
(A2.1)
Nel caso particolare del corpo rigido continuo, l’eq. (A2.1) diventa:
T=
1
2
∫ [O + ω ∧ (P − O )] dm
2
(A2.2)
m
Se si assume che O sia fisso ( O = 0 ) o coincidente con G ( ∫ (P − G )dm = 0 ) e si espande l’eq. (A2.2):
m
1
T = mO 2 + O ⋅ ω ∧
2
(P − O )dm + 1
m
2
∫
∫ [ω ∧ (P − O )]⋅ [ω ∧ (P − O )]dm
m
Nelle ipotesi assunte, il secondo addendo a secondo membro è nullo, per cui:
1
1
mO 2 + ω ⋅
2
2
1
1
= mO 2 − ω ⋅
2
2
T=
∫ (P − O ) ∧ [ω ∧ (P − O )] dm =
∫ (P − O ) ∧ [(P − O ) ∧ ω] dm
m
(A2.3)
m
Proiettando l’eq. (A2.3) nel sistema di riferimento assunto, si ottiene:
1
1
mO 2 + ωT J O ω =
2
2
1
= mO 2 + J x ω2x + J y ω2y + J z ω2z − 2 J xy ω x ω y − 2 J xz ω x ω z − 2 J yz ω y ω z
2
T=
[
ovvero
e
T=
T=
1 T
ω JOω
2
1
1
2
mv G + ωT J G ω
2
2
]
(A2.4)
se O è un punto fisso;
se O ≡ G.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
2–7
Parte 3 – Fondamenti di MdV
PARTE 3 – Fondamenti di MdV
GRADI DI LIBERTÀ
Il minimo numero di coordinate indipendenti richiesto per determinare univocamente la posizione di tutti
gli elementi di un sistema ad ogni istante di tempo, definisce il numero di gradi di libertà del sistema.
Indicato con n il numero di gdl di un generico sistema è sempre possibile definire un set di cosiddette
coordinate generalizzate, usualmente indicate con qk (k=1,2,…,n), ossia di coordinate indipendenti in
numero uguale a quello dei gdl del sistema.
SISTEMI CONTINUI E DISCRETI
Un gran numero di sistemi meccanici può essere descritto impiegando un numero finito di gdl; ciò accade
quando sono presenti elementi dotati di elevata elasticità e scarsa massa e, al contempo, elementi di
notevole massa ed elevata rigidezza. Quando, al contrario, il sistema ha un numero infinito di "punti di
massa" e presenta membri deformabili, è necessario un numero infinito di coordinate per specificare la
sua configurazione deformata.
Sistemi aventi un numero di gdl finito sono detti discreti o a parametri concentrati, mentre quelli con un
numero infinito di gradi di libertà sono detti continui.
Spesso, i sistemi continui sono approssimati come discreti; in tal modo è più semplice ottenere la
soluzione del problema dinamico. Sebbene trattare un sistema come continuo dia risultati esatti, i metodi
di analisi per i sistemi continui sono limitati ad una tipologia di sistemi molto ridotta, come ad esempio
travi a sezione uniforme, piastre sottili, membrane, etc. Di conseguenza, la maggior parte dei sistemi
viene studiata impiegando modelli discreti. In generale, risultati più accurati sono ottenibili aumentando il
numero di gdl.
Fig. 3.1 – Single-degree of freedom (SDOF) systems ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 14)
Fig. 3.2 – Two degree of freedom systems ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 14)
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3–1
Parte 3 – Fondamenti di MdV
Fig. 3.3 – Three degree of freedom systems ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 15)
Fig. 3.4 – An infinite number of dof system: a cantilever beam ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 16)
ELEMENTI ELASTICI
Diversi sono i modelli impiegati per i membri dotati di elevata elasticità rispetto agli altri elementi del
sistema meccanico. Tali membri non si considerano dissipare energia e solitamente sono considerati privi
di massa.
Molle lineari
Se la molla funziona nel campo elastico entro il limite di proporzionalità, la forza che si sviluppa quando
la molla si deforma è proporzionale alla deformazione stessa. La costante di proporzionalità è detta
rigidezza ed il suo inverso è chiamato cedevolezza.
Forza (F)
x1
x2
F=kx
x = x2 – x1
Il lavoro compiuto per deformare una molla di rigidezza k,
viene immagazzinato come energia potenziale V:
Deformazione (x)
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
1
V = k x2
2
3–2
Parte 3 – Fondamenti di MdV
Anche altri elementi elastici, quali ad esempio travi, si comportano come molle.
Per esempio si consideri la trave incastrata di figura, avente all’estremo libero una massa concentrata m e
si assuma per semplicità che la massa della trave sia trascurabile nei confronti della massa m.
δ st =
La freccia statica all’estremo libero vale:
W l3
3EI
dove W=mg è il peso della massa m, E è il modulo di Young del materiale, I è il momento di inerzia di
sezione e l è la lunghezza della trave.
W 3EI
k=
= 3
Di conseguenza la costante elastica (la rigidezza) della trave vale:
δ st
l
Fig. 3.5 – Cantilever with end mass ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 23)
Molle non lineari
Gli elementi elastici seguono un comportamento lineare solo entro certi limiti della deformazione. Oltre
certi valori di deformazione, la tensione eccede il limite di proporzionalità del materiale e la relazione tra
fora e deformazione diviene non lineare.
In molte applicazioni pratiche si assume che le deformazioni siano piccole e pertanto si considerano le
molle come aventi comportamento lineare.
In altri casi, anche se la molla è non lineare, si approssima ad una molla lineare mediante un processo di
linearizzazione:
Sia F un carico statico agente su una molla non lineare causandone una deformazione x*. Se la forza F
viene incrementata di una quantità ∆F, la molla si deforma ulteriormente di una quantità ∆x. La nuova
forza F+∆F può essere espressa in serie di Taylor (vedi Appendice 1) attorno alla posizione di equilibrio
statico:
dF
1 d 2F
1 d nF
2
F + ∆F = F ( x * + ∆x ) = F ( x*) +
(∆x) +
(
)
...
(∆x) n
x
∆
+
+
n
2
dx x*
2! dx x*
n! dx x*
Forza (F)
Forza (F)
F+∆ F
k
F(x*)
Deformazione (x)
Deformazione (x)
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
x* x*+∆ x
3–3
Parte 3 – Fondamenti di MdV
Per piccoli valori di ∆x, i termini contenenti derivate di ordine elevato possono essere trascurati
ottenendo:
dF
F + ∆F = F ( x * + ∆x ) = F ( x*) +
(∆x)
dx x*
e poiché F = F(x*), si può esprimere ∆F come:
∆F = k ∆x
dF
k=
dove k è la rigidezza linearizzata della molla in corrispondenza della deformazione x*:
dx x*
Molle in serie
1
1 1
1
= + + ... +
k eq k1 k 2
kn
Molle in parallelo
keq = k1 + k2 + … + kn
ELEMENTI SMORZANTI
In molti sistemi meccanici, l’energia di vibrazione è gradualmente convertita in energia termica o energia
acustica. A causa della riduzione di energia, la risposta vibratoria del sistema subisce un graduale
decremento. Tale meccanismo prende il nome di smorzamento delle vibrazioni.
Sebbene la quantità di energia convertita in calore o suono sia relativamente piccola, considerare lo
smorzamento è di fondamentale importanza per una adeguata previsione del comportamento vibratorio
del sistema.
Solitamente si assume che un elemento smorzante sia privo di massa ed elasticità.
La forza che esercita uno smorzatore esiste solo in presenza di velocità relativa tra i due estremi dello
smorzatore stesso.
E’ piuttosto difficile determinare le cause di smorzamento nei sistemi meccanici; solitamente lo
smorzamento viene modellato come una combinazione dei seguenti:
Smorzamento viscoso
E’ quello usato più frequentemente nello studio delle vibrazioni.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3–4
Parte 3 – Fondamenti di MdV
Quando un sistema meccanico si muove in un fluido, la resistenza che il fluido offre al movimento dei
corpi causa dissipazione di energia. L’ammontare di questa energia dipende da molti fattori quali ad
esempio le dimensioni e la forma dei corpi, la viscosità del fluido, la velocità dei corpi.
Nello smorzamento di tipo viscoso, la forza è proporzionale alla velocità relativa dei corpi e la costante di
proporzionalità dipende dalla viscosità del fluido e dalla geometria dei corpi.
F = τA = µ
du
v
A=µ A=cv
dy
h
 3πD 3l  2d 
c = µ
1+

3 
D 
4
d


Attrito Coulombiano (attrito secco)
La forza è costante in ampiezza ma ha verso opposto a quello della velocità relativa tra i corpi.
V
T
|T| = f N
F = – sign (V) |T|
N
Smorzamento isteretico (smorzamento strutturale)
Quando un corpo si deforma, l’energia di deformazione è assorbita e dissipata dal materiale. Tale effetto è
dovuto all’attrito nello scorrimento tra le fibre interne del materiale all’atto della deformazione.
Quando un corpo soggetto a questo tipo di fenomeno è sottoposto alternativamente a trazione e
compressione o, nello specifico, vibra, la relazione tra tensione e deformazione è del tipo rappresentato in
figura. L’energia dissipata ad ogni ciclo vale:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3–5
Parte 3 – Fondamenti di MdV
D = ∫ σ dε − ∫ σ dε
L
U
MOTO ARMONICO
Fig. 3.6 – Meccanismo per moto armonico ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 46)
In fig. 3.6 è rappresentato un meccanismo mediante il quale alla massa m è impartito un moto armonico
semplice (l’accelerazione è proporzionale allo spostamento) quando alla manovella OP si impone un
moto rotatorio continuo uniforme. Se ω è la velocità angolare della manovella e A è la sua lunghezza, la
massa si muove con legge di moto x(t):
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3–6
Parte 3 – Fondamenti di MdV
x = A sin ω t
Si ha inoltre :
dx
= x! = ωA cos ωt
dt
con ω pulsazione del moto armonico.
d 2x
= !x! = −ω 2 A sin ωt = −ω 2 x
2
dt
Rappresentazione vettoriale
Un moto armonico può anche essere rappresentato mediante un vettore OP, di ampiezza A, rotante con
velocità angolare ω. Con riferimento alla fig. 3.7, le proiezioni di questo vettore lungo le due direzioni x e
y forniscono:
y = A sin ω t ;
x = A cos ω t
Fig. 3.7 – Proiezioni di un vettore rotante ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 47)
Rappresentazione con numeri complessi
Si può ricorrere anche alla rappresentazione mediante numeri complessi. Infatti, ogni vettore X nel piano
xy può essere rappresentato con il numero complesso:
X=a+ib
dove a e b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3–7
Parte 3 – Fondamenti di MdV
Se si indica con A l’ampiezza del vettore X e con θ il suo argomento (l’angolo compreso tra il vettore e
l’asse x), X può essere espresso come:
b
X = A cos θ + i A sin θ
con:
A = a 2 + b2 ;
θ = tan −1
a
Introducendo le relazioni di Eulero,
si ha anche:
X = A cos θ + i A sin θ = A eiθ
Usando la rappresentazione con
numeri complessi, il vettore rotante di
fig. 3.7 può essere scritto come:
X = A e iωt
dove ω è anche detta frequenza
circolare di rotazione ed è espressa in
rad/s.
Derivando rispetto al tempo si ha:
dX d
=
Ae iωt = iωAe iωt = iωX
dt dt
d 2X d 2
d
= 2 Aeiωt =
iωAeiωt = −ω 2 Aeiωt = −ω 2 X
2
dt
dt
dt
(
)
(
)
(
)
Fig. 3.8 – Spostamento, velocità e accelerazione come vettori rotanti
("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 50)
da cui si vede che l’operazione di derivazione si traduce nel moltiplicare il vettore per iω, od anche nel
moltiplicare l’ampiezza del vettore per ω e ruotarlo in avanti di 90 gradi (vedi fig. 3.8).
Lavoro compiuto in moti armonici
Un importante concetto in molte applicazioni è quello del lavoro compiuto da una forza, che varia
armonicamente con una certa pulsazione, per uno moto armonico avente la stessa pulsazione.
Sia data la forza P = P0 sin (ωt + ϕ) agente su un corpo dotato di legge di moto x = x0 sin ωt.
Il lavoro compiuto dalla forza in un periodo 2π/ω vale:
2π / ω
2π / ω
dx
1
W = ∫ Pdx = ∫ P dt =
dt
ω
0
0
2π
∫
0
2π
dx
P d (ωt ) = P0 x0 ∫ sin(ωt + ϕ ) cosωt d (ωt ) =
dt
0
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3–8
Parte 3 – Fondamenti di MdV
2π
= P0 x0 ∫ cosωt[sin ωt cosϕ + cosωt sin ϕ ] d (ωt ) =
0
2π
2π
0
0
= P0 x0 cosϕ ∫ sin ωt cosωt d (ωt ) + P0 x0 sin ϕ ∫ cos2 ωt d (ωt )
Il primo integrale è nullo mentre il secondo vale π per cui in definitiva si ha:
W = πP0 x0 sin ϕ
OTTAVA
Quando il massimo valore di una banda di frequenza è il doppio del minimo, tale banda è detta banda
d’ottava. Ad esempio, ciascuna banda 75 – 150 Hz, 150 – 300 Hz, e 300 – 600 Hz, è una banda d’ottava.
In ciascun caso, il massimo ed il minimo valore della frequenza, che hanno un rapporto pari a 2:1, si dice
che differiscono di un’ottava.
DECIBEL
Le varie quantità che si incontrano nel campo delle vibrazioni e del rumore, come ad esempio,
spostamento, velocità, accelerazione, pressione, potenza, sono spesso rappresentate usando la notazione
dB (decibel). In origine il decibel è stato definito con riferimento a potenze elettriche come:
P
dB = 10 log
 P0



dove P0 è un valore di riferimento.
Poiché la potenza elettrica è proporzionale al quadrato della tensione (X), il decibel può anche essere
espresso come:
2
 X 
 X 
 = 20 log

dB = 10 log
X
X
 0
 0
dove X0 è un valore di riferimento.
Naturalmente il dB è usato anche per esprimere il rapporto tra altre quantità (spostamenti, velocità,
accelerazioni, pressioni, …).
BIBLIOGRAFIA
* E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.
Pàtron, Bologna.
* S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
* W.J. Palm. Modeling, Analysis, and Control of Dynamic Systems, 2nd ed., John Wiley & Sons.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3–9
Parte 3 – Fondamenti di MdV
APPENDICE A1 – Serie di Taylor
Il teorema di Taylor afferma che una funzione può essere rappresentata in prossimità di un punto x = x0,
dall’espansione:
1 d2 f
 df 
f ( x ) = f ( x0 ) +  
( x − x 0 ) +  2
2!  dx
 dx  x= x0
dove il termine Rn è dato da:
Rn =

1 dk f
2


−
+
+
(
)
...
x
x
0

 dx k
k
!
 x = x0

1 dn f

n!  dx n

 (x −x0 )n

 x =b


( x − x 0 ) k + ... + Rn

 x = x0
con b compreso tra x0 e x.
Il risultato è valido se la funzione ammette derivate continue fino all’ordine n. Se Rn tende a zero,
l’espansione è detta serie di Taylor della funzione f(x) attorno a x = x0. Se x0 = 0, la serie è anche detta
serie di McLaurin.
Esempio
x3 x5 x 7
+
−
+ ...
3! 5! 7!
x 2 x 4 x6
cos x = 1 −
+
−
+ ...
2! 4! 6!
x 2 x3 x 4
ex = 1+ x +
+ +
+ ...
2! 3! 4!
sin x = x −
dove x0 = 0.
Si noti che se x è piccolo le prime due danno luogo a due approssimazioni largamente usate delle funzioni
seno e coseno:
sin x ≈ x
e
cos x ≈ 1.
e iθ = 1 + iθ −
Inoltre se nella terza si considera x = i θ, si ottiene:
separando la parte reale da quella immaginaria:
e iθ
θ2
θ3 θ4
+
+i
θ5
+ ... ;
3! 4!
5!

 

θ2 θ4
θ3 θ5



= 1 + −
+
+ ... + iθ − − +
+ ...
2! 4!
3! 5!

 

2!
−i
si ottengono le identità di Eulero:
e iθ = cosθ + i sin θ
e −iθ = cosθ − i sin θ
(avendo sostituito θ con – θ).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3 – 10
Parte 3 – Fondamenti di MdV
APPENDICE A2 – Espressioni trigonometriche utili
cos(mωt + ϕ ) = cos mωt cosϕ − sin mωt sin ϕ
sin( mωt + ϕ ) = sin mωt cosϕ + cos mωt sin ϕ
sin nωt sin mωt = 1 2 cos(n − m)ωt − 1 2 cos(n + m)ωt
sin nωt cos mωt = 1 2 sin( n + m)ωt + 1 2 sin( n − m)ωt
cos 2 ωt = 1 2 (1 + cos 2ωt )
sin 2 ωt = 1 (1 − cos 2ωt )
2
e iθ = cosθ + i sin θ
e −iθ = cosθ − i sin θ
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3 – 11
Parte 3 – Fondamenti di MdV
APPENDICE A3 – Rigidezze e equivalenti
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3 – 12
Parte 3 – Fondamenti di MdV
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3 – 13
Parte 3 – Fondamenti di MdV
APPENDICE A4 – Momenti di inerzia di massa
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3 – 14
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
PARTE 4 – Sistemi ad 1 gdl
VIBRAZIONI LIBERE DEL SISTEMA MOLLA – SMORZATORE
cx + kx = 0
Equazione del moto:
Si tratta di un sistema del primo ordine, la cui equazione
caratteristica è:
cz + k = 0
La radice dell’equazione caratteristica:
è reale.
z1 = − k
c
−
k
La soluzione dell’equazione del moto è:
x (t ) = A1e c
la costante A1 si determina in funzione della condizione iniziale:
da cui si ha: A1=x0
x(0)=x0
x ( t ) = x0 e
L’integrale generale è pertanto:
−
t
k
t
c
VIBRAZIONI LIBERE SISTEMA MASSA – SMORZATORE
mx + cx = 0
Equazione del moto:
Si tratta di un sistema del primo ordine, infatti si può scrivere:
⎧my + cy = 0
⎨
⎩ y = x
L’equazione caratteristica della my + cy = 0 è:
(reale)
la cui radice è:
z1 = − c
m
mz + c = 0
x(t)
m
c
La soluzione dell’equazione del moto in y(t) è:
y (t ) = B1e
−
c
t
m
La costante B1 si determina in funzione della condizione iniziale:
da cui si ha:
B1=v0
y(0)=v0
E’ pertanto:
y (t ) = v0 e
−
c
t
m
c
− t
m
x(t ) = B2 − v0 e m
da cui:
c
La costante B2 si determina in funzione della condizione iniziale:
x(0)=x0
m
da cui si ha: B2 = x0 + v0
c
c
− t⎞
m ⎛⎜
m
⎟
x(t ) = x0 + v0 1 − e
L’integrale generale è pertanto:
⎟
c ⎜⎝
⎠
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4–1
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
VIBRAZIONI LIBERE DEL SISTEMA MASSA – MOLLA
mx + kx = 0
Equazione del moto:
Si tratta di un sistema del secondo ordine, la cui equazione caratteristica è:
mz 2 + k = 0
z1, 2 = ± − k = ± i ω n
Le radici dell’equazione caratteristica:
m
sono immaginarie.
Il rapporto ω n = k viene detto pulsazione naturale del sistema.
m
x(t)
k
m
La soluzione dell’equazione del moto è:
x(t ) = C1e iω n t + C 2 e −iω n t
Introducendo le relazioni di Eulero: e ± i ω nt = cos ω n t ± i sin ω n t
si ottiene:
x(t ) = (C1 + C2 ) cosω n t + i (C1 − C 2 ) sin ω n t
da cui:
x(t ) = D cos ω n t + E sin ω n t
Imponendo le condizioni iniziali:
x(0) = x0
si ottiene:
x (0) = v0
Si noti che, posto:
oppure ponendo:
D = G sin ψ
D = F cosϕ
x(t ) = x0 cosω n t +
e
e
v0
ωn
E = G cosψ ,
E = F sin ϕ ,
sin ω n t
si ha:
si ha:
x(t ) = G sin(ω nt + ψ )
x(t ) = F cos(ω n t − ϕ )
Osservazione
La risposta di un sistema ad un gdl può essere rappresentata nel piano spostamento–velocità, noto anche
come spazio degli stati o piano delle fasi.
x(t ) = A cos(ωnt − ϕ )
Consideriamo la risposta nella forma:
x (t ) = −ωn A sin(ωn t − ϕ )
e la corrispondente velocità:
da queste possiamo ricavare:
x (t )
x (t )
= cos(ωn t − ϕ )
−
= sin(ωnt − ϕ )
e
ωn A
A
che quadrando e sommando
membro a membro danno
luogo alla:
x2
x 2
+
=1
A2 ωn 2 A2
ossia all’equazione di una
ellisse i cui semiassi sono
funzioni della costante A da
determinarsi in funzione delle
condizioni iniziali.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4–2
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
VIBRAZIONI LIBERE DEL SISTEMA MASSA – MOLLA – SMORZATORE
x(t)
Equazione del moto: mx + cx + kx = 0 .
Si tratta di un sistema del secondo ordine, la cui equazione caratteristica è:
mz 2 + cz + k = 0
k
m
2
c
k
⎛ c ⎞
± ⎜
⎟ −
2m
⎝ 2m ⎠ m
Le radici dell’equazione caratteristica sono: z1, 2 = −
La soluzione dell’equazione del moto è:
c
x(t ) = C1e z1 t + C 2 e z2 t
Si definisce smorzamento critico ccr il valore della costante di smorzamento per il quale si ha:
2
k
k
⎛ c ⎞
ccr = 2m
= 2 km = 2mω n
da cui:
⎜
⎟ − =0
m
⎝ 2m ⎠ m
Per un sistema smorzato si definisce fattore di smorzamento ζ il rapporto tra la costante i smorzamento c
e lo smorzamento critico ccr:
c
ζ=
ζ = c / ccr
da cui:
2mω n
Utilizzando il fattore di smorzamento,
le due radici dell’equazione caratteristica diventano:
e la soluzione dell’equazione del moto diventa:
(
z1, 2 = ω n − ζ ± ζ 2 − 1
x(t ) = C1eω n (−ζ +
)
ζ −1 t
2
)
+ C 2 eω n (−ζ −
)
ζ 2 −1 t
La natura delle due radici, e di conseguenza il comportamento del sistema, dipende dall’ammontare dello
smorzamento. Occorre distinguere tre casi:
Caso 1 (sistemi “poco smorzati”: ζ < 1, o c < ccr)
La quantità (ζ 2 – 1) è negativa e le due radici sono complesse e coniugate e si possono esprimere come:
(
z1, 2 = ω n − ζ ± i 1 − ζ 2
)
Introducendo la nuova costante ωs, detta pulsazione naturale del sistema smorzato:
z1, 2 = −ζω n ± iω s
si ha:
e l’integrale dell’equazione del moto diventa:
{
x(t ) = e −ζω n t C1eiω s t + C2 e −iω s t
ωs = ωn 1−ζ 2
}
Introducendo le relazioni di Eulero: e ± i ω s t = cos ω s t ± i sin ω s t
si ottiene:
da cui:
x(t ) = e −ζω n t {(C1 + C2 ) cos ω s t + i (C1 − C2 ) sin ω s t}
x(t ) = e −ζω n t {D cos ω s t + E sin ω s t}
L’ultima espressione può anche assumere la forma:
x(t ) = X e −ζω nt sin(ω s t + ϕ )
x(t ) = X 0 e −ζω nt cos(ω s t − ϕ 0 )
oppure la:
Le costanti (D, E), (X, ϕ) oppure (X0, ϕ0) si trovano imponendo le condizioni iniziali:
D = x0
x(0) = x0
si ottiene:
v + ζω n x0
E= 0
x (0) = v0
ωs
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4–3
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Il moto risulta oscillatorio, pseudoperiodico,
smorzato:
⎧
⎫
v + ζω n x0
x(t ) = e −ζω nt ⎨ x0 cos ω s t + 0
sin ω s t ⎬
ωs
⎩
⎭
Caso 2 (sistemi con smorzamento critico: ζ = 1, o c = ccr)
Le due radici dell’equazione caratteristica sono reali, coincidenti, negative e pari a:
L’integrale dell’equazione del moto diventa:
z1 = z 2 = −ω n
x(t ) = C1e z1 t + C 2 te z1 t
ovvero:
x(t ) = (C1 + C 2 t )e z1 t = (C1 + C 2 t )e −ω n t
Si ha inoltre:
x (t ) = z1C1e z1 t + C 2 e z1 t + z1C 2 te z1 t
Le costanti C1 e C2 si trovano imponendo le condizioni
iniziali:
x(0) = x0
C1 = x0
si ottiene:
x (0) = v0
C 2 = v0 + ω n x0
Il moto risulta aperiodico smorzato:
x(t ) = [ x0 + (v0 + ω n x0 )t ]e −ω n t
Caso 3 (sistemi “molto smorzati”: ζ > 1, o c > ccr)
Le due radici dell’equazione caratteristica sono reali, distinte ed entrambe negative:
)
(
)
(
z1 = ω n − ζ + ζ 2 − 1 < 0 ,
z2 = ω n − ζ − ζ 2 − 1 < 0
L’integrale dell’equazione del moto è:
x(t ) = C1e z1 t + C 2 e z2 t
e la sua derivata:
x (t ) = z1C1e z1 t + z 2 C 2 e z2 t
Le costanti C1 e C2 si trovano imponendo le condizioni
iniziali:
x(0) = x0
C1 + C 2 = x0
da cui:
x (0) = v0
z1C1 + z 2 C 2 = v0
C1 =
ed infine:
C2 =
)
(
x0ω n ζ + ζ 2 − 1 + v0
2ω n ζ 2 − 1
(
)
− x0ω n ζ − ζ 2 − 1 − v0
2ω n ζ 2 − 1
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4–4
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Il moto risulta aperiodico smorzato:
x(t ) =
(
)
x0ω n ζ + ζ 2 − 1 + v0
2ω n ζ 2 − 1
eω n (−ζ +
)
ζ 2 −1 t
+
(
)
− x0ω n ζ − ζ 2 − 1 − v0
2ω n ζ 2 − 1
e −ω n (ζ +
)
ζ 2 −1 t
La seguente figura confronta il moto del sistema massa – molla – smorzatore nei tre differenti casi (caso
1: sistema “poco smorzato”; caso 2: sistema con smorzamento critico; caso 3: sistema “molto smorzato”).
Osservazione
La natura delle due radici
dell’equazione caratteristica, z1 e
z2, e i corrispondenti valori del
fattore di smorzamento ζ, possono
essere rappresentati in un piano
complesso.
La semicirconferenza di raggio ωn
rappresenta il luogo delle radici per
valori di ζ compresi tra 0 ed 1.
Questo tipo di rappresentazione
permette di vedere l’effetto del
fattore di smorzamento ζ sul
comportamento del sistema. Infatti
per ζ = 0, si hanno le due radici
immaginarie z1 = iωn e z2 = −iωn ;
per 0 < ζ < 1, le radici sono
complesse e coniugate e collocate
simmetricamente rispetto all’asse
reale; quando ζ = 1, le due radici
sono coincidenti e pari a −ωn;
infine per ζ > 1, entrambe
giacciono sull’asse reale (per ζ →
∞, una tende a 0 mentre l’altra
tende a −∞).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Luogo delle radici dell’equazione caratteristica
del sistema massa – molla – smorzatore.
4–5
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Osservazione
La risposta libera del sistema
massa – molla smorzato può
essere rappresentata nel piano
delle fasi, come indicato in
figura.
DETERMINAZIONE DEL FATTORE DI SMORZAMENTO: METODO DEL DECREMENTO LOGARITMICO
A differenza dei componenti massa e rigidezza, lo smorzamento non può essere determinato mediante
prove statiche. Il valore del fattore di smorzamento può essere ricavato sperimentalmente misurando
l’ampiezza decrescente di oscillazioni successive.
Si consideri infatti l’oscillazione libera di un sistema con smorzamento inferiore a quello critico (ζ < 1).
Presi due istanti di tempo corrispondenti a due massimi consecutivi, il rapporto tra le ampiezze
dell’oscillazione risulta:
x(t1 ) x1 X 0 e −ζω nt1 cos(ω s t1 − ϕ 0 )
=
=
x(t 2 ) x2 X 0 e −ζω nt2 cos(ω s t 2 − ϕ 0 )
Ma t2 = t1 + T, dove T è il periodo dell’oscillazione (T = 2π/ωs) di conseguenza si ha:
x1
e −ζω nt1
= −ζω (t +T ) = eζω nT
x2 e n 1
Si definisce decremento logaritmico il logaritmo naturale del rapporto x1/x2:
⎛x ⎞
δ = ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ζω nT
⎝ x2 ⎠
Dalla definizione di pulsazione naturale del sistema smorzato si ha poi:
δ=
2πζω n
ωs
=
2πζ
1−ζ 2
Per valori del fattore di smorzamento sufficientemente piccoli (ζ < 0.4), si può porre con buona
approssimazione:
δ ≈ 2πζ
Se si considerano, anziché due oscillazioni successive, n oscillazioni successive, si ottiene:
x
x1
x x x
= 1 2 3 ... n = e nζω nT
xn+1 x2 x3 x4 xn+1
il cui logaritmo naturale vale:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
⎛ x ⎞
ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = nζω nT = nδ
⎝ xn+1 ⎠
4–6
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
1 ⎛ x ⎞
In definitiva risulta: δ = ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
n ⎝ xn+1 ⎠
In conclusione, se si riesce a misurare in via sperimentale il rapporto x1/xn+1 è poi possibile risalire al
valore del fattore di smorzamento ζ.
VIBRAZIONI LIBERE CON ATTRITO COULOMBIANO (SMORZAMENTO COULOMBIANO)
Una comune causa di smorzamento nei sistemi meccanici è l’attrito secco, denominato anche attrito
coulombiano. L’attrito Coulombiano è caratterizzato dalla relazione:
⎧ µN
⎪
F = ⎨0
⎪ − µN
⎩
x > 0
x = 0
x < 0
dove F è la forza d’attrito, N la forza normale e µ il coefficiente di attrito cinetico. La forza di attrito F si
oppone sempre alla velocità relativa tra i corpi a contatto. Facendo riferimento alla fig. 4.1, l’equazione
del moto si modifica a seconda del verso della velocità della massa m:
mx + kx = − µmg
mx + kx = µmg
x > 0
x < 0
Fig. 4.1 – Sistema massa – molla con attrito coulombiano.
mx + µmg sgn( x ) + kx = 0
τ >0
⎧1
⎪
dove sgn(τ), detta funzione segno, è definita come segue: sgn(τ ) = ⎨0
τ =0
⎪ −1 τ < 0
⎩
L’equazione del moto si può scrivere nella forma:
L’equazione del moto è pertanto una equazione differenziale non lineare e, in quanto tale, non può essere
risolta con i metodi tradizionali. Si può procedere suddividendo il dominio dei tempi in intervalli
corrispondenti ai cambiamenti di verso della velocità (vedi pagine 8 – 10 ).
In alternativa, si può procedere con metodi numerici di integrazione.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4–7
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4–8
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Fig. 4.2 – Risposta libera del sistema massa–molla con attrito coulombiano.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4–9
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Infine, si notino le seguenti caratteristiche di un sistema con attrito coulombiano:
* L’equazione del moto è non lineare (è lineare se il sistema ha smorzamento viscoso).
* Il sistema conserva la frequenza naturale del sistema non smorzato (la frequenza naturale del sistema
con smorzamento viscoso è inferiore a quella del sistema non smorzato).
* Il moto è periodico (in un sistema con smorzamento viscoso può essere aperiodico).
* Il sistema giunge all’arresto in maniera lineare (se lo smorzamento è viscoso il sistema si avvicina
asintoticamente alla quiete, senza raggiungerla mai).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 10
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
VIBRAZIONI LIBERE CON SMORZAMENTO STRUTTURALE (ISTERETICO)
Si prendano in esame la molla e lo smorzatore viscoso disposti in parallelo come in figura 4.3(a). Se si
considera un moto armonico x (t ) = X sin ωt , la forza esercitata vale:
F (t ) = kx + cx = xX sin ωt + cXω cos ωt = kx ± cω X 2 − ( X sin ωt ) 2 = kx ± cω X 2 − x 2
Fig. 4.3 – Molla – smorzatore viscoso.
L’andamento della forza F(t) in funzione della deformazione x è una curva chiusa come illustrato in
figura 4.3(b). L’area interna a tale curva corrisponde all’energia dissipata dallo smorzatore in un ciclo del
moto armonico ed è data da:
∆W = ∫ Fdx =
2π / ω
∫ Fdx = πωcX
2
0
Fig. 4.4 – Molla – smorzatore isteretico.
Come accennato in precedenza, quando un corpo è sottoposto alternativamente a trazione e compressione,
lo smorzamento causato dall’attrito nello scorrimento tra le fibre interne del materiale all’atto della
deformazione è chiamato smorzamento isteretico o strutturale. Il fenomeno da luogo ad un loop nella
curva tensione – deformazione (o forza e spostamento), come rappresentato in figura 4.4(b). L’energia
dissipata ad ogni ciclo di carico e scarico del materiale è uguale all’area racchiusa dal loop di isteresi.
L’analogia tra le figure 4.3(b) e 4.4(b) può essere impiegata per definire una costante di smorzamento
strutturale. Infatti si è trovato sperimentalmente che l’energia perduta per ciclo a causa dello smorzamento
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 11
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
strutturale è indipendente dalla frequenza del carico, ma approssimativamente proporzionale al quadrato
della sua ampiezza. Pertanto si può porre:
∆W = aX 2 = πωceq X 2
da cui:
ceq =
a
ωπ
=
h
ω
Introducendo ora la rappresentazione del moto armonico mediante numeri complessi, x (t ) = X eiωt , la
forza nel sistema di figura 4.3(a) vale:
F (t ) = kx + cx = X eiωt + icω X eiωt = ( k + icω ) x .
Analogamente, la forza nel sistema molla – smorzatore isteretico di figura 4.4(a), può essere espressa
come:
~
h
F (t ) = ( k + ih ) x = k (1 + i ) x = k (1 + iη ) x = k x
k
~
dove k è nota come rigidezza complessa del sistema e η è una costante adimensionale detta fattore di
smorzamento strutturale.
METODI ENERGETICI (INTRODUZIONE AL METODO DI RAYLEIGH)
Si osservi che in sistemi non smorzati, come il sistema massa – molla, l’equazione del moto può essere
scritta sfruttando il principio di conservazione dell’energia. Infatti, in assenza di forze non conservative,
l’energia totale del sistema si mantiene costante, ovvero:
d
(T + V ) = 0
dt
1
1
Nel caso specifico si ha:
T = m x 2
V = k x2
2
2
da cui si ottiene:
d ⎛1
1
2
2⎞
⎜ m x + k x ⎟ = m x x + k x x = x ( m x + k x ) = 0
dt ⎝ 2
2
⎠
mx + kx = 0
ed infine:
Il principio di conservazione dell’energia può essere impiegato anche per determinare direttamente la
pulsazione naturale del sistema. Indicate con 1 e 2 le configurazioni del sistema corrispondenti a due
istanti generici, si ha:
T1 + V1 = T2 + V2
Se si considera come istante 1 quello in cui il sistema passa per la posizione di equilibrio statico (scelta
come riferimento per l’energia potenziale) e, di conseguenza, l’energia cinetica è massima, si avrà:
U1 = 0
T1= TMAX
Se come istante 2 si prende quello in cui è massimo lo spostamento del sistema dalla sua posizione di
equilibrio statico (e quindi è nulla la velocità), l’energia potenziale è massima e si annulla l’energia
cinetica:
T2 = 0
U2= UMAX
Per il principio di conservazione dell’energia segue che:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
TMAX = V
MAX
4 – 12
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
L’applicazione di questa equazione, permette di determinare direttamente la frequenza naturale del
sistema. Ci si proponga infatti di trovare la pulsazione naturale del sistema conservativo massa – molla.
Se si assume il moto armonico nella forma:
x(t ) = A cos(ω n t − ϕ ) ,
allora risulta:
TMAX =
che eguagliate forniscono:
1
1
2
2
m x MAX = mω n A2
2
2
2
mω n = k
da cui:
1
1
2
k x MAX = k A2
2
2
ωn = k m
VMAX =
Il metodo energetico per il calcolo della frequenza naturale è di fondamentale importanza. Infatti, per
sistemi più complessi, la determinazione delle frequenze naturali spesso è così complicata da divenire
praticamente impossibile. In tali casi si vedrà come una generalizzazione del metodo energetico, nota
come metodo di Rayleigh conduce, anche se con una certa approssimazione, al risultato.
Vengono ora presentati alcuni esempi di applicazione del metodo.
Effetto di una molla con massa non trascurabile
Si consideri il sistema massa–molla di figura 4.5 in cui la molla ha massa non trascurabile. Indicata con l
la lunghezza della molla, se x è lo spostamento del suo estremo inferiore, lo spostamento alla generica
distanza y dall’estremo fisso è pari a y(x/l). Indicata con M la massa della molla e con dm la massa di un
tratto di molla di lunghezza infinitesima dy (dm = dy M/l), l’energia cinetica e l’energia potenziale del
sistema si esprimono come segue:
l
2
1
1
1
1 M ⎛ y⎞ 2
1⎛
M⎞ 2
T = m x 2 + ∫ dm y 2 = m x 2 +
⎜ ⎟ x dy = ⎜ m + ⎟ x ;
∫
2
2
2
2 l 0⎝ l ⎠
2⎝
3 ⎠
V=
1
k x2
2
Fig. 4.5 – Sistema massa – molla.
Fig. 4.6 – Manometro a tubo.
Se si assume il moto armonico della massa m nella forma x(t ) = A cos(ω n t − ϕ ) , si ha:
TMAX =
1⎛
M⎞ 2 2
1
2
⎜ m + ⎟ A ω n = VMAX = k A
2⎝
3 ⎠
2
da cui si ricava la pulsazione naturale del sistema:
ωn =
k
M
3
In conclusione l’effetto della massa della molla può essere messo in conto aggiungendo un terzo della sua
massa alla massa principale del sistema.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
m+
4 – 13
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Manometro
I sistemi fluidi, come quelli solidi, sono soggetti a moti vibratori.
Con riferimento al manometro a tubo illustrato in figura 4.6, impiegando il metodo energetico, si può
calcolare la frequenza naturale di oscillazione del fluido nel tubo. Detta S la sezione del tubo, ρ la densità
del fluido e g l’accelerazione di gravità, se x è lo spostamento del liquido dalla posizione di equilibrio,
l’energia potenziale e cinetica del fluido sono date da:
x
x
1
V = ρgSx + ρgSx = ρgSx 2 ;
T = ρSl x 2
2
2
2
Assunto un moto armonico del liquido nella forma x(t ) = A cosω n t , si ha:
TMAX =
1
ρSl A2ω n 2 = VMAX = ρgSA2
2
2g
l
Si osserva che la pulsazione naturale è indipendente dalla natura del fluido, ma dipende solo dalla
lunghezza del tubo. Ad esempio per un tubo avente lunghezza pari a l = 0.5 m, la pulsazione naturale è
circa uguale a 1 Hz.
ωn =
da cui si ricava la pulsazione naturale del fluido:
Pulsazione naturale di una trave appoggiata (metodo di Rayleigh)
Si consideri la trave appoggiata di figura 4.7, avente massa m, con una massa concentrata M in mezzeria.
Si tratta ora di assumere una “ragionevole
deformata” per la trave vibrante.
A questo scopo si consideri la deformata
statica corrispondente ad un carico in
mezzeria (vedi Appendice A3):
3
⎡ 3x
⎛ x⎞ ⎤
y ( x ) = ⎢ − 4⎜ ⎟ ⎥ y max
⎝ l ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ l
0≤ x≤
l
2
Fig. 4.7 – Trave appoggiata con massa in mezzeria.
Assunta quest’ultima come “ragionevole deformata” per la trave vibrante [v(x,t) = y(x) cosωnt ], l’energia
cinetica massima si può scrivere come:
l
TMAX
l
2
2
3
3
2⎡
1
1 2 2 ⎡ 3x
1
1m 2 2
3x
⎛ x⎞ ⎤
⎛ x⎞ ⎤ 2
2 2
2 2
ω n ymax 2 ∫ ⎢ − 4⎜ ⎟ ⎥ dx
= M ω n y max + 2 ∫ ω n ⎢ − 4⎜ ⎟ ⎥ y max dm = M ω n y max +
2
2 0
2
2 l
⎝ l ⎠ ⎥⎦
⎝ l ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ l
0⎢
⎣ l
che diviene:
1
17 ⎞
2 ⎛
TMAX = ω n 2 y max
⎜ M + m⎟
2
35 ⎠
⎝
Mentre per l’energia potenziale si ha:
trave pari a:
k=
VMAX =
48EI
. In conclusione risulta:
l3
1
2
k y max
2
ωn =
dove k è la rigidezza flessionale della
48EI
17 ⎞
⎛
l3⎜ M + m ⎟
35 ⎠
⎝
Il metodo di Rayleigh è una generalizzazione del metodo dell’energia: viene assunta una “ragionevole
deformata” per il sistema vibrante e in base a questa vengono determinati ed eguagliati i valori massimi di
energia cinetica e potenziale. Ovviamente, il risultato sarà tanto più accurato quanto più la deformata
assunta si avvicina a quella reale.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 14
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
VIBRAZIONI FORZATE
Scrittura delle equazioni del moto
Si consideri il semplice sistema di fig. 4.8 costituito da un disco omogeneo di raggio R, massa m e
momento di inerzia baricentrico JG. Si analizzi per semplicità il solo moto piano e si supponga che il disco
rotoli senza strisciare su una guida rettilinea richiamato da una molla di costante elastica k e da uno
smorzatore viscoso di caratteristica c. Nel baricentro del disco è applicata una forza esterna f(t). Il moto
del sistema è descritto da due variabili fisiche, ad esempio, la traslazione x del baricentro del disco e la
rotazione θ subita dallo stesso, ma poiché il disco rotola senza strisciare, il sistema è dotato di un solo gdl,
essendo la coordinate x e θ correlate dalla relazione:
x(t) = R θ(t)
Assunta ora, come variabile indipendente per descrivere il moto del sistema vibrante, la traslazione x del
baricentro, si procede alla scrittura dell'equazione del moto impiegando diversi metodi.
θ
m, JG
k
F(t)
R
G
c
x
Fig. 4.8 – Sistema ad 1 gdl.
Principio di d'Alembert
La risultante delle forze applicate ad un sistema meccanico, comprese quelle di inerzia, è nulla; pertanto,
scrivendo le equazioni di equilibrio dinamico nelle direzioni orizzontale e verticale e il momento alla
rotazione rispetto al baricentro G del disco, si ottengono le seguenti tre equazioni:
−m x − cx − kx + f (t ) + T = 0
− J θ − TR = 0
G
mg − N = 0
−m x − cx − kx + f (t ) + T = 0
x
− J G − TR = 0
R
mg − N = 0
dove g è l’accelerazione di gravità, mentre N e T sono
rispettivamente la componente normale e tangenziale della
reazione esercitata dal vincolo sul disco.
Tenendo conto del legame tra x e θ, si ha:
ossia tre equazioni, di cui due differenziale a coefficienti costanti,
nelle tre incognite x, T e N; la terza equazione è disaccoppiata
dalle prime due.
L’applicazione del principio di d’Alembert presenta perciò uno
svantaggio e un vantaggio: si ha un numero di equazioni
superiore al numero di gdl, ma insieme alla legge di moto si
riescono a determinare anche le reazioni vincolari T e N.
Dalle prime due equazioni si riesce ad eliminare l’incognita T giungendo alla:
J ⎞
⎛
⎜ m + G2 ⎟ x + cx + kx = f (t )
R ⎠
⎝
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 15
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Essendo il sistema particolarmente semplice, era possibile giungere direttamente all’equazione del moto
scrivendo l’equilibrio dinamico alla rotazione rispetto al centro di istantanea rotazione tra disco e guida.
Principio dei lavori virtuali
Condizione necessaria a sufficiente per l’equilibrio di un sistema, è che sia nullo il lavoro delle forze
attive esterne e interne su di esso agenti, comprese quelle di inerzia, a seguito di spostamenti virtuali
(infinitesimi e compatibili con i vincoli), invertibili, dei loro punti di applicazione.
Considerato uno spostamento infinitesimo e compatibile con i vincoli δx, si ha:
δWi = −m x δx − J Gθ δθ
lavoro virtuale compiuto dalle forze inerziali:
lavoro virtuale compiuto dalle forze elastiche e viscose:
lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne:
Applicando il PLV, si ha:
δWkc = −k x δx − c x δx
δWe = f (t ) δx
δWi + δWkc + δWe = −m x δx − J Gθ δθ − k x δx − c x δx + f (t ) δx = 0
Che, tenuto conto del legame tra x e θ e della seguente:
diventa:
δθ =
∂θ
1
δx = δx
R
∂x
x
⎛
⎞
⎜ − m x − J G 2 − k x − c x + f (t ) ⎟ δx = 0
R
⎝
⎠
In altre parole l’equazione del moto è:
J ⎞
⎛
⎜ m + G2 ⎟ x + cx + kx = f (t )
R ⎠
⎝
Equazioni di Lagrange
Per un sistema ad un gdl l’equazione di Lagrange può essere scritta come segue (vedi anche App. A2):
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂V
⎜
⎟−
+
=Q
dt ⎜⎝ ∂q ⎟⎠ ∂q ∂q
in cui q è la generica coordinata indipendente scelta per descrivere il moto del sistema. Risulta
conveniente scrivere le varie forme di energia esprimendole dapprima in funzione di coordinate fisiche:
tali coordinate possono essere per esempio spostamenti dei baricentri (o rotazioni) dei diversi corpi che
compongono il sistema, allungamenti relativi delle estremità di elementi elastici, spostamenti dei punti di
applicazione delle forze, ecc… In seguito si introducono i legami tra le variabili fisiche e la coordinata
generalizzata prescelta.
Se si considera, come unica variabile indipendente, lo spostamento x del baricentro del disco: q = x, e
come variabili fisiche la rotazione θ e l’allungamento ∆l della molla, le espressioni delle varie forme di
energia risultano le seguenti:
1
1
1
T = m x 2 + J Gθ 2
energia potenziale: V = k ∆l 2
energia cinetica:
2
2
2
lavoro virtuale compiuto dalla forza dissipativa viscosa: δWd = −c ∆l δx
δWe = f (t ) δx
lavoro virtuale compiuto dalla forza esterna:
Introducendo i legami tra le variabili fisiche e la coordinata generalizzata q=x, i vari termini
dell’equazione di Lagrange risultano:
J
J ⎤
1
d ⎛ ∂T ⎞ d ⎡ ∂ ⎛ 1
x 2 ⎞⎤ d ⎡
2
⎟ = ⎢ ⎜⎜ m x + J G 2 ⎟⎟⎥ = ⎢m x + G2 x ⎥ = m x + G2 x
⎜
2
dt ⎝ ∂x ⎠ dt ⎢⎣ ∂x ⎝ 2
R
R ⎠⎥⎦ dt ⎣
R ⎦
1
d ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ 1
x 2 ⎞
2
⎟ = ⎜⎜ m x + J G 2 ⎟⎟ = 0
⎜
2
dt ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎝ 2
R ⎠
∂V ∂ ⎛ 1
⎞
= ⎜ k x2 ⎟ = k x
∂x ∂x ⎝ 2
⎠
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 16
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Q=
δW
= −cx + f (t )
δx
J ⎞
⎛
⎜ m + G2 ⎟ x + cx + kx = f (t )
R ⎠
⎝
In definitiva:
ECCITAZIONE ARMONICA
Si consideri il sistema ad un gdl di figura 4.9, dove la massa m è soggetta ad una forza armonica F(t) = F0
cosωt. L’equazione del moto è:
F(t)
mx + cx + kx = F0 cos ωt
m
L’integrale è somma dell’integrale dell’omogenea associata
e di un integrale particolare che, visto che l’eccitazione è
armonica, sarà anch’esso di tipo armonico e avrà la stessa
frequenza:
x(t)
c
x(t ) = x go (t ) + x p (t ) = x go (t ) + X 0 cos(ωt −ψ )
In particolare, l’integrale della omogenea (che caratterizza la
fase di transitorio), per valori di smorzamento inferiori a
quello critico, si può esprimere nella forma:
k
Fig. 4.9 – Sistema ad un gdl smorzato.
x go (t ) = e −ζω n t {A1 cos ω s t + A2 sin ω s t}
dove A1 e A2 sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali e ωs è la pulsazione naturale del
sistema smorzato ( ω s = ω n 1 − ζ 2 ). Si tratta di un moto periodico smorzato che, dopo un certo tempo, si
annulla.
Trascorso il transitorio, resta l’integrale particolare le cui costanti X0 e ψ dipendono dalle caratteristiche
del sistema e dell’eccitazione. Si trova facilmente, ad esempio impiegando la rappresentazione di figura
4.10, che:
F0
X0 =
F0
(k − mω 2 ) 2 + c 2ω 2
=
mω n 2
2
⎛ ω2 ⎞ ⎛
⎞
⎜1 −
⎟ + ⎜ 2ζ ω ⎟
⎜ ω 2⎟ ⎜ ω ⎟
n ⎠
⎝
n ⎠
⎝
;
2
cω
tgψ =
=
k − mω 2
2ζ ω
ωn
⎛ω ⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ωn ⎠
2
Fig. 4.10 – Rappresentazione dell’equazione del moto nel piano complesso.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 17
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Gli andamenti, corrispondenti a diversi valori del fattore di smorzamento ζ, di ampiezza X0 e fase ψ della
risposta forzata a regime, sono riportati in figura 4.11, in funzione del rapporto (ω/ωn)2. In figura 4.11(a),
l’ampiezza è stata divisa per la freccia statica, ossia per la deformazione della molla sotto l’azione della
forza statica F0.
(a)
(b)
Fig. 4.11 – Ampiezza (a) e fase (b) della risposta forzata a regime, in funzione del rapporto ( ω/ωn)2.
Si parla di risonanza di ampiezza quando l’ampiezza dell’oscillazione a regime
X0 raggiunge il valore massimo. Tale condizione si ha per ω
2
ω n = 1 − 2ζ e il
X RA =
F0
k
2ζ 1 − ζ 2
valore dell’ampiezza vale:
Si parla, invece, di risonanza di fase quando ω ω n = 1 , ovvero quando la fase
ψ è pari a π/2. In tale condizione il valore dell’ampiezza a regime vale:
X RF =
F0
k
2ζ
In figura 4.12 è riportato l’andamento del rapporto tra XRF e XRA in funzione del fattore di smorzamento ζ.
Si nota come le due risonanze tendono a coincidere al diminuire di ζ.
Fig. 4.12 – Rapporto tra XRF e XRA in funzione del fattore di smorzamento ζ.
FUNZIONE RISPOSTA IN FREQUENZA (FRF)
Si consideri l’eccitazione armonica rappresentata in forma complessa F (t ) = F0 eiωt .
L’equazione del moto per un sistema ad un grado di libertà con smorzamento viscoso risulta nella forma:
mɺzɺ + czɺ + k z = F0 eiωt
Poiché l’effettiva eccitazione è costituita dalla sola parte reale di F(t), la risposta del sistema sarà
anch’essa costituita dalla sola parte reale di z(t), x(t)=Re[z(t)], dove z(t) è una quantità complessa che
soddisfa l’equazione differenziale del moto.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 18
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
z = Z 0ei (ωt −ψ ) = Z 0e −iψ eiωt = Zeiωt ,
Ipotizzata una soluzione particolare del tipo:
− mω 2 Z + icωZ + kZ = F0
se si sostituisce nella equazione differenziale, si ha:
F0
e si ottiene: Z =
.
k − mω 2 + icω
1
Z
=
=
F0 k − mω 2 + icω
Quest’ultima può essere scritta come:
1
k
ω
ω
1 − 2 + i 2ζ
ωn
ωn
2
= H (iω )
che è nota come funzione risposta in frequenza del sistema.
Si tratta naturalmente di una quantità complessa:
1
H (iω ) =
H (iω ) = H (iω ) e −iψ , in cui:
ω
ωn
tgψ =
ω2
1− 2
ωn
2ζ
k
2
⎛
ω2 ⎞ ⎛
ω ⎞
⎜1 − 2 ⎟ + ⎜ 2ζ
⎟
⎜ ω ⎟ ⎜ ω ⎟
n ⎠
⎝
n ⎠
⎝
e
2
Infine, ricordando che Z = Z 0e −iψ , risulta:
Z0 =
F0
(k − mω )
2 2
+ (cω )
2
F0
=
k
2
⎛
ω ⎞ ⎛ ω ⎞
⎜1 − 2 ⎟ + ⎜⎜ 2ζ
⎟⎟
⎜ ω ⎟
ω
n ⎠
⎝
n ⎠
⎝
2
ω
cω
ωn
tgψ =
=
2
k − mω
ω2
1− 2
ωn
2ζ
2
;
La risposta del sistema è, come detto, costituita dalla sola parte reale di z(t), ovvero:
[
]
x (t ) = Re[ z (t )] = Re Z 0 ei (ωt −ψ ) = Z 0 cos(ωt −ψ ) .
In definitiva, come ovvio, si ritrova il risultato del paragrafo precedente.
DETERMINAZIONE DELLO SMORZAMENTO: METODO DELLA BANDA DI MEZZA POTENZA
Si considerino i valori del rapporto r = ω ω n per i quali l’ampiezza della risposta a regime vale 1
l’ampiezza in condizioni di risonanza di fase. In altre parole:
F0
(1 − r )
2 2
k
+ (2ζr )2
2
F0
X RF
k
=
=
2
2ζ 2
Si ottiene l’equazione:
le cui radici sono:
(1 − r ) + (2ζr )
2 2
2
= 8ζ 2
cioè:
(
)
r 4 + 2 2ζ 2 − 1 r 2 + 1 − 8ζ 2 = 0
r1, 2 2 = 1 − 2ζ 2 ± 1 + 4ζ 4 − 4ζ 2 − 1 + 8ζ 2 = 1 − 2ζ 2 ± 2ζ 1 + ζ 2
Per valori piccoli dello smorzamento si ha ζ2<<1 per cui si può approssimare:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
r1,2 2 ≈ 1 ± 2ζ
4 – 19
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
da cui si ricava il valore del fattore di smorzamento:
ζ =
In definitiva, se si approssima ω n ≈ (ω 2 + ω1 ) 2 , si ha:
r2 2 − r12
.
4
ω 2 2 − ω12 (ω 2 − ω1 )(ω 2 + ω1 ) 1 ω 2 − ω1
ζ=
≈
≈
2
2 ωn
(ω 2 + ω1 ) 2
4ω n
L’intervallo di pulsazioni comprese tra ω1 e ω2 viene chiamato banda di mezza potenza. Tale
denominazione deriva dal fatto che la potenza media dissipata ad ogni ciclo per effetto dell’attrito
viscoso, in corrispondenza di ω1 e ω2, è approssimativamente la metà di quella dissipata in condizioni di
risonanza di fase.
Infatti, in generale, l’espressione della potenza media dissipata in un ciclo dallo smorzatore viscoso, per
un moto armonico x (t ) = X cos(ωt −ψ ) è:
T
1
1
Pm = ∫ c x x dt = c X 2ω 2
T0
2
Si ha quindi:
Pm1, 2
Pm RF
=
c X 1,2 2ω1,2 2
c X RF 2ω n 2
r1,2 2 1 ± 2ζ 1
=
≈
≈
2
2
2
Quanto detto fornisce la base per un metodo di rilevazione sperimentale dello smorzamento. Infatti,
trovato sperimentalmente l’andamento dell’ampiezza della risposta a regime in funzione del rapporto r, si
possono determinare ω1, ω2 e ωn, e quindi si può calcolare ζ.
Fig. 4.13 – Banda di mezza potenza.
ECCITAZIONE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA FREQUENZA
Un caso particolare si ha quando la forza eccitatrice ha ampiezza proporzionale al quadrato della
pulsazione ω. Tale situazione si verifica, ad esempio, nelle macchine con rotori squilibrati. L’equazione
del moto è:
mx + cx + kx = Aω 2 cos ωt
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 20
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
x (t ) = X 0 cos(ωt − ψ )
La risposta a regime risulta del tipo:
con:
X0 =
A⎛ ω ⎞
⎜ ⎟
m ⎜⎝ ω n ⎟⎠
2
2
⎛ ω2 ⎞ ⎛
⎞
⎜1 − 2 ⎟ + ⎜ 2ζ ω ⎟
⎜ ω ⎟ ⎜ ω ⎟
n ⎠
⎝
n ⎠
⎝
2
;
tgψ =
2ζ ω
ωn
⎛ω ⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ωn ⎠
2
Fig. 4.14 – Ampiezza del rapporto X0 m/A in funzione del rapporto (ω/ωn)2 nel caso di
oscillazioni forzate con eccitazione sinusoidale di ampiezza proporzionale a ω.
ECCITAZIONE ARMONICA IN RISONANZA (DI FASE)
Si consideri il caso particolare in cui la forza eccitatrice ha pulsazione ω coincidente con la pulsazione
naturale ωn del sistema. In altre parole siamo in condizione di risonanza di fase.
Per il sistema non smorzato, l’equazione del moto è:
x + ω n 2 x = F0
mx + kx = F0 cos ω n t
ovvero:
L’integrale particolare è:
x p (t ) = X t ω n sin ω n t
L’integrale generale dell’omogenea associata è del tipo:
m
cos ω n t
1 F0
2 k
x go (t ) = A1 cos ω n t + A2 sin ω n t
con:
X =
Fig. 4.15 – Risposta del sistema non smorzato all’eccitazione armonica in risonanza.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 21
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
Pertanto, l’integrale generale dell’equazione completa è:
x (t ) = A1 cos ω n t + A2 sin ω n t +
1 F0
t ω n sin ω n t
2 k
Introducendo le condizioni iniziali si ha:
x (t ) = xo cos ω n t +
xo
ωn
sin ω n t +
1 F0
t ω n sin ω n t
2 k
Si può osservare che l’integrale particolare dell’equazione completa è una oscillazione di ampiezza che
cresce linearmente nel tempo. Il suo andamento è rappresentato in figura 4.15.
Per il sistema smorzato, l’equazione del moto è:
mx + cx + kx = F0 cos ω n t
L’integrale particolare è:
ovvero:
x + 2ζω n x + ω n 2 x = F0
x p (t ) = X sin ω n t
L’integrale generale dell’omogenea associata è del tipo:
x go (t ) = e
−ζω n t
{A1 cosω st + A2 sin ω st}
con:
m
cos ω n t
X =
F0
k
2ζ
A1 = 0
F0
k
2ζ 1 − ζ 2
in cui, se le condizioni iniziali sono nulle, risulta:
Pertanto, l’integrale generale dell’equazione completa, il cui andamento è riportato in figura 4.16, è:
A2 = −
x (t ) =
F0
−ζω n t
⎤
⎡
k ⎢− e
sin ω s t + sin ω n t ⎥
2ζ ⎢ 1 − ζ 2
⎥⎦
⎣
Fig. 4.16 – Risposta del sistema smorzato all’eccitazione armonica in risonanza.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 22
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
FENOMENO DEL BATTIMENTO
Si consideri il caso dell’eccitazione armonica in cui il sistema sia privo di smorzamento. L’equazione del
moto si riduce alla seguente:
x + ω n 2 x = F0 cos ωt
ovvero:
mx + kx = F0 cos ωt
m
x (t ) = x go (t ) + x p (t ) = x go (t ) + X 0 cos ωt
E l’integrale generale dell’equazione completa è:
dove: x go (t ) = A1 cos ω n t + A2 sin ω n t
con
X0 =
F0
F0
k − mω
e
2
m =
=
2
ωn − ω 2
F0
1−
Introdotte le condizioni iniziali, risulta:
x p (t ) = X 0 cos ωt
k
ω2
ωn2
x (t ) = ( xo − X 0 )cos ω n t +
xo
ωn
sin ω n t + X 0 cos ωt
Fig. 4.17 – Risposta del sistema non smorzato all’eccitazione armonica (ω < ωn).
Fig. 4.18 – Risposta del sistema non smorzato all’eccitazione armonica (ω > ωn).
Il moto risulta la sovrapposizione di due moti: uno ha pulsazione pari a quella della forzante, l’altro ha
pulsazione pari a quella naturale del sistema. La figura 4.17 rappresenta il caso in cui la pulsazione della
forzante è inferiore a ωn (ω < ωn), mentre la situazione opposta è rappresentata in figura 4.18 (ω > ωn).
Ora, se la pulsazione ω della forzante è molto vicina alla pulsazione naturale del sistema, pur
mantenendosi distinta da quest’ultima, nasce un fenomeno noto come battimento. In questo tipo di
vibrazione l’ampiezza aumenta e diminuisce con andamento regolare. Il fenomeno può essere spiegato
considerando il caso in cui entrambe le condizioni iniziali siano nulle; allora si ha:
x (t ) = X 0 (cos ωt − cos ω n t ) =
F0
ωn
2
m (cos ωt − cos ω t )
n
−ω2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 23
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
che si può scrivere anche come:
x (t ) =
F0
ωn
2
m ⎛⎜ 2 sin ω n + ω t ⋅ sin ω n − ω t ⎞⎟
2
2
⎠
−ω2 ⎝
Ipotizzando che ω sia poco più piccola di ωn e ponendo:
dove ε è una piccola quantità positiva, risulta ω n ≈ ω e:
Pertanto:
ω n − ω = 2ε ,
ω n + ω ≈ 2ω .
ω n 2 − ω 2 = 4εω
⎛ F0
⎞
⎜ m
⎟
x (t ) = ⎜
sin εt ⎟ sin ωt
In conclusione la legge di moto assume la forma:
⎜ 2εω
⎟
⎝
⎠
Il moto può essere inteso come un moto avente pulsazione ω la cui ampiezza varia lentamente (ε è
piccolo) con periodo 2π/ε (vedi figura 4.19).
La frequenza di battimento ωb è definita come:
ω b = 2ε = ω n − ω
Fig. 4.19 – Fenomeno del battimento.
VIBRAZIONI FORZATE CON SMORZAMENTO STRUTTURALE (ISTERETICO)
L’equazione del moto per un sistema ad un grado di libertà con smorzamento strutturale è:
mx +
h
ω
x + kx = F0 cos ωt
Se si introduce la variabile complessa z, con x = Re(z), si ha:
Ipotizzata una soluzione particolare del tipo:
z = Z 0e
se si sostituisce nella equazione differenziale, si ottiene:
i (ωt −ψ )
mz +
= Z 0e
h
ω
z + k z = F0 eiωt
− iψ iωt
e
= Zeiωt ,
− mω 2 Z + ihZ + kZ = F0
che, introducendo il fattore di smorzamento strutturale η, si può scrivere: − mω 2 Z + k (1 + iη ) Z = F0
F0
e si ottiene:
Z=
k − mω 2 + iη k
Ricordando che Z = Z 0e −iψ , risulta:
F0
F0
k
Z0 =
;
=
2
2
2
2
2
⎛
⎞
k − mω + (η k )
⎜1 − ω 2 ⎟ + η 2
⎜ ω ⎟
n ⎠
⎝
(
)
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
tgψ =
ηk
k − mω
2
=
η
⎛ω ⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ωn ⎠
2
4 – 24
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
La risposta del sistema, x(t), è costituita dalla sola parte reale di z(t), ovvero:
[
]
x (t ) = Re[ z (t )] = Re Z 0 ei (ωt −ψ ) = Z 0 cos(ωt −ψ ) .
Si può notare che, nel caso di smorzamento strutturale, la risposta x(t) raggiunge il suo valore massimo,
F0/(kη), in corrispondenza della risonanza ω = ωn, al contrario di quanto avviene nel caso di smorzamento
viscoso in cui il massimo è raggiunto per ω < ωn. Inoltre, per valori non nulli di η, l’angolo ψ non si
annulla mai (nemmeno per ω = 0); ciò significa che nel caso di smorzamento struturale l’eccitazione e la
risposta non possono mai essere in fase.
(a)
(b)
Fig. 4.20 – Smorzamento strutturale: ampiezza (a) e fase (b) della risposta
forzata a regime, in funzione del rapporto (ω/ωn)2.
RISPOSTA ALL’IMPULSO
Si consideri una forza F nulla ovunque tranne che per l’intervallo di tempo ∆t in cui ha un’ampiezza
costante F0.
+∞
La quantità:
I=
∫ F (t )dt = F0 ∆t
si dice impulso della forza F.
−∞
+∞
Si faccia ora tendere a zero l’intervallo ∆t, imponendo che sia:
lim
∆t → 0
∫ F (t )dt = I .
−∞
La forza F(t) che soddisfa questa condizione si dice impulsiva.
Ricordando che l’impulso di una forza è uguale alla variazione della quantità di moto, se una forza
trasmette un impulso I ad un corpo di massa m inizialmente in quiete, il corpo stesso acquista una quantità
di moto Q = I, e quindi una velocità data da v0 = I / m.
Ne segue che la risposta forzata ad un’eccitazione impulsiva di impulso I di un corpo di massa m,
inizialmente fermo, coincide con il moto libero relativo alle condizioni iniziali:
I
x ( 0) = 0
e
x (0) =
m
Infatti, a causa della durata molto breve (teoricamente nulla) della forza impulsiva, durante la sua
applicazione il corpo rimane nella posizione iniziale.
Pertanto si avrà:
x (t ) =
I
mωn
sin ω n t
per il sistema non smorzato
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 25
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
x (t ) =
I
mωs
Ovvero:
e −ζω n t sin ω s t
per il sistema smorzato (con ζ<1)
x (t ) = I h(t )
avendo indicato con:
h(t ) =
1 −ζω n t
e
sin ω s t
mωs
la risposta del sistema ad un impulso unitario.
RISPOSTA ALL’ECCITAZIONE GENERICA
Si consideri una forza eccitatrice F(t) di forma arbitraria. Essa può essere immaginata come una
successione di forze impulsive, ciascuna agente per un intervallo di tempo elementare dτ, alle quali
corrispondono gli impulsi elementari F(τ)dτ.
La risposta del sistema, all’istante t, per effetto dell’impulso elementare dI = F(τ)dτ agente al tempo τ,
sarà:
dI −ζω n (t −τ )
dx(t ) =
e
sin ω s (t − τ ) = dI h(t − τ )
mω s
essendo h(t) la risposta del sistema al generico impulso unitario (I = 1).
Se il sistema è lineare, la risposta sarà la somma delle risposte ai singoli impulsi elementari, ovvero:
t
t
0
0
x(t ) = ∫ dx (t ) = ∫ F (τ ) h(t − τ ) dτ
L’integrale a secondo membro viene
convoluzione o integrale di Duhamel.
detto
integrale
di
Fig. 4.21 – Forza eccitatrice di forma arbitraria e risposta del sistema all’impulso F(τ)dτ.
BIBLIOGRAFIA
* E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.
Pàtron, Bologna.
* W. J. Palm, Modeling, analysis, and Control of Dynamic Systems, John Wiley & Sons, 1999.
* S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
* G. Diana, F. Cheli, Dinamica e Vibrazione dei Sistemi, vol. I, ed. Utet, Torino, 1993.
* E. Pennestrì, Dinamica Tecnica e computazionale, vol. I, ed. Ambrosiana, 2001.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 26
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
APPENDICE A1 – Equazioni differenziali ordinarie (EDO)
an
d n x (t )
d n−1 x(t )
dx(t )
+
a
+ ... + a1
+ a0 x (t ) = F (t )
n −1
n
n −1
dt
dt
dt
L’integrale generale è:
(A1.1)
x(t) = xO(t) + xp(t)
(A1.2)
dove xo(t) è l’integrale dell’equazione omogenea associata (A) e xp(t) è un’integrale particolare della
EDO (B).
A)
Integrale generale dell’omogenea associata è:
xo (t ) = C1e z1t + C2 e z 2 t + ... + Cn e z n t
(A1.3)
dove z1, z2, …, zn sono radici distinte dell’equazione caratteristica:
an z n + an −1z n −1 + ... + a1 z + a0 = 0
e C1, C2, …, Cn sono in generale numeri complessi.
Se l’equazione caratteristica ha m radici coincidenti, allora:
xo (t ) = C1e z1t + C2te z1t + ... + Cmt m −1e z1t + Cm +1e z m+1t + ... + Cn e z n t
Le eventuali radici complesse vanno a coppie:
z1 = a + ib;
(A1.4)
z2 = a – ib
Le costanti di integrazione si determinano in funzione delle condizioni iniziali che possono riguardare la
posizione e/o la velocità:
x(0) = x0
x (0) = v0
B)
Integrale particolare dell’equazione completa (A1.1), xp(t), dipende dal termine F(t).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 27
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
APPENDICE A2 – Equazioni di Lagrange
EQUAZIONI DI LAGRANGE
Se n è il numero di gdl del sistema considerato, n sono le equazioni di Lagrange che ne individuano il
moto. Per un sistema ad un gdl l’equazione può essere scritta nella forma:
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂V
⎜
⎟−
+
=Q
dt ⎜⎝ ∂q ⎟⎠ ∂q ∂q
dove: q è la coordinata generalizzata, T e V sono rispettivamente l’energia cinetica e l’energia potenziale
e la quantità:
Q = ∑ j Fj ⋅
∂r j
∂q
=
δW
δq
è la forza generalizzata di tipo non conservativo.
In altri termini Q è la componente lagrangiana di tutte le forze agenti sul sistema, non comprese quelle
inerziali (il cui effetto è considerato in T) e quelle che ammettono potenziale, tipicamente le forze peso e
le forze elastiche (queste ultime sono considerate in V).
Q viene calcolata come rapporto tra il lavoro virtuale δW delle forze non conservative (per uno
spostamento virtuale δq della coordinata generalizzata q) e lo spostamento virtuale stesso.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 28
Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl
APPENDICE A3 – Deformata trave appoggiata
Tratto AC
Tratto CB
Punto C
2
2
Pl 3 l2 ⎡ ⎛ l2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎤⎛ x ⎞
y( x) =
⎢1 − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟
6 EI l ⎣⎢ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ ⎦⎥⎝ l ⎠
(A3.1)
2
2
Pl 3 l2 ⎡ ⎛ l2 ⎞ ⎛ l − x ⎞ ⎤⎛ l − x ⎞
y( x) =
⎢1 − ⎜ ⎟ − ⎜
⎟ ⎥⎜
⎟
6 EI l ⎢⎣ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ ⎥⎦⎝ l ⎠
1 Pl12l2 2
y ( x = l1 ) =
3 EI l
(A3.2)
(A3.3)
Se l1 = l2 = l/2, la (A3.1) diventa:
Pl 3
y( x) =
12 EI
⎡ 3x ⎛ x ⎞3 ⎤
⎢ −⎜ ⎟ ⎥
⎣⎢ 4l ⎝ l ⎠ ⎦⎥
(A3.4)
l⎞
Pl
⎛
y ⎜ x = ⎟ = y max =
2⎠
48EI
⎝
3
e in mezzeria, si ha:
(A3.5)
Pertanto la freccia in una sezione a distanza x è:
Pl 3
y( x) =
48EI
3
3
⎡ 3x
⎡ 3x
⎛x⎞ ⎤
⎛ x⎞ ⎤
⎢ − 4⎜ ⎟ ⎥ = y max ⎢ − 4⎜ ⎟ ⎥
⎝ l ⎠ ⎦⎥
⎝ l ⎠ ⎦⎥
⎣⎢ l
⎣⎢ l
(A3.6)
Infine, essendo la rigidezza pari all’inverso della freccia corrispondente ad un carico unitario, la rigidezza
flessionale della trave con carico in mezzeria è (vedi (A3.5)):
k=
48EI
l3
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4 – 29
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
PARTE 5 – Sistemi a 2 gdl
EQUAZIONI DEL MOTO
Si consideri il sistema a due gdl rappresentato in figura, costituito da masse molle e smorzatori viscosi. Il
moto del sistema è completamente descritto dalle coordinate x1(t) e x2(t), che definiscono la posizione
delle masse m1 e m2 a partire dalle rispettive posizioni di equilibrio.
Fig. 5.3 – Sistema vibrante a due gradi di libertà.
L’applicazione del principio di d’Alembert fornisce le equazioni del moto:
m1x1 + ( c1 + c2 ) x1 − c2 x 2 + ( k1 + k 2 ) x1 − k 2 x2 = F1 (t )
m2 x2 + ( c2 + c3 ) x 2 − c2 x1 + ( k 2 + k3 ) x2 − k 2 x1 = F2 (t )
che possono essere scritte in forma matriciale:
[ M ]{x(t )} + [C ]{x (t )} + [ K ]{x (t )} = {F (t )}
dove:
0⎤
⎡m
[M ] = ⎢ 1
⎥
⎣ 0 m2 ⎦
⎡k1 + k2
[K ] = ⎢
⎣ − k2
− k2 ⎤
k 2 + k3 ⎥⎦
⎡c1 + c2
[C ] = ⎢
⎣ − c2
− c2 ⎤
c2 + c3 ⎥⎦
sono dette rispettivamente matrice massa, rigidezza e smorzamento, e:
⎧ x (t ) ⎫
{x (t )} = ⎨ 1 ⎬
⎩ x2 ( t ) ⎭
⎧ F (t ) ⎫
{F (t )} = ⎨ 1 ⎬
⎩ F2 (t ) ⎭
sono chiamati rispettivamente vettore spostamento e forza.
Le matrici possono risultare, a seconda delle coordinate scelte:
* complete e non simmetriche
* simmetriche
* diagonali.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5–1
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
Esempio
Si consideri il sistema di figura e si assumano le nuove coordinate z1 e z2 definite dalle relazioni:
x1 = ( z1 − z2 )
x2 = ( z1 + z2 )
sostituendo nelle equazioni del moto:
m1 ( z1 − z2 ) + ( k1 + k 2 )( z1 − z 2 ) − k 2 ( z1 + z 2 ) = 0
m2 ( z1 + z2 ) + ( k 2 + k 3 )( z1 + z 2 ) − k 2 ( z1 − z 2 ) = 0
cioè:
m1z1 − m1z2 + k1 z1 − (k1 + 2k2 ) z2 = 0
m2 z1 + m2 z2 + k3 z1 + (k3 + 2k2 ) z2 = 0
Risulta pertanto:
⎡m
[M ] = ⎢ 1
⎣m2
− m1 ⎤
m2 ⎥⎦
⎡ k1
[K ] = ⎢
⎣k 3
− (k1 + 2k 2 )⎤
k 3 + 2k 2 ⎥⎦
cioè le due matrici sono complete e non simmetriche.
Se, in particolare, m1 = m2 = m e k1 = k2 = k3 = k, le due equazioni diventano:
mz1 − mz2 + k z1 − 3k z2 = 0
mz1 + mz2 + k z1 + 3k z2 = 0
e le matrici:
⎡m − m ⎤
[M ] = ⎢
⎥
⎣m m ⎦
⎡k
[K ] = ⎢
⎣k
− 3k ⎤
3k ⎥⎦
Sommando e sottraendo membro a membro le equazioni del moto, si ottiene:
mz1 + k z1 = 0
mz2 + 3k z 2 = 0
con
⎡m 0 ⎤
[M ] = ⎢
⎥
⎣ 0 m⎦
⎡k 0 ⎤
[K ] = ⎢
⎥
⎣ 0 3k ⎦
Le matrici massa e rigidezza sono ora diagonali e le due equazioni sono disaccoppiate.
Inoltre si vede subito che le due pulsazioni naturali sono:
ω12 =
k
;
m
ω22 =
3k
.
m
Le coordinate z1 e z2 si dicono coordinate principali.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5–2
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
VIBRAZIONI LIBERE
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5–3
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5–4
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5–5
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5–6
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
VIBRAZIONI FORZATE
Le equazioni del moto per un generico sistema a due gdl soggetto a forzanti esterne possono essere scritte
come:
⎧ m11 m12 ⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎧ c11 c12 ⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎧ k11 k12 ⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎧ F1 ⎫
⎨
⎬⎨ ⎬ + ⎨
⎬⎨ ⎬ + ⎨
⎬⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎩m21 m22 ⎭ ⎩ x2 ⎭ ⎩c21 c22 ⎭ ⎩ x 2 ⎭ ⎩k 21 k 22 ⎭ ⎩ x2 ⎭ ⎩ F2 ⎭
(5.19)
Se si considerano forzanti esterne armoniche di pulsazione ω:
F j (t ) = F j 0 e
iωt
j = 1, 2
(5.20)
x j (t ) = X j e
le soluzioni a regime sono del tipo:
iωt
(5.21)
dove X1 e X2 sono, in generale, quantità complesse che dipendono da ω e dai parametri del sistema.
Sostituendo le (5.20) e (5.21) nelle (5.19) si ha:
⎧ ( −ω 2 m11 + iωc11 + k11 ) ( −ω 2 m12 + iωc12 + k12 ) ⎫ ⎧ X 1 ⎫ ⎧ F10 ⎫
⎬⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎨
2
2
X
−
+
+
−
+
+
(
ω
m
i
ω
c
k
)
(
ω
m
i
ω
c
k
)
⎩ F20 ⎭
⎩
21
21
21
22
22
22 ⎭ ⎩ 2 ⎭
(5.22)
Se si definisce la quantità:
Z rs (iω ) = −ω 2 mrs + iωcrs + k rs
le (5.22) possono scriversi:
dove:
(5.23)
[Z (iω )]{X } = {F0 }
Z11 (iω ) Z12 (iω ) ⎫
⎬;
⎩ Z 21 (iω ) Z 22 (iω ) ⎭
[Z (iω )] = ⎧⎨
⎧X ⎫
{X } = ⎨ 1 ⎬ ;
⎩X2 ⎭
(5.24)
⎧F ⎫
{F0 } = ⎨ 10 ⎬ .
⎩ F20 ⎭
La matrice [Z(iω)] è detta matrice impedenza.
La (5.24) può essere risolta ottenendo:
{X } = [Z (iω )]−1{F0 }
(5.25)
dove l’inversa della matrice impedenza è data da:
[Z (iω )]−1 =
⎧ Z 22 (iω ) − Z12 (iω ) ⎫
1
⎨
⎬
Z11 (iω ) Z 22 (iω ) − Z12 (iω ) Z 21 (iω ) ⎩− Z 21 (iω ) Z11 (iω ) ⎭
(5.26).
Le equazioni (5.25) e (5.26) conducono alla soluzione:
Z 22 (iω ) F10 − Z12 (iω ) F20
Z11 (iω ) Z 22 (iω ) − Z12 (iω ) Z 21 (iω )
− Z 21 (iω ) F10 + Z11 (iω ) F20
X 2 (iω ) =
Z11 (iω ) Z 22 (iω ) − Z12 (iω ) Z 21 (iω )
X 1 (iω ) =
(5.27)
che, sostituita nella (5.21), fornisce x1(t) e x2(t).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5–7
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
Esempio
Trovare la risposta a regime del sistema di figura quando la massa m1 è eccitata dalla forzante armonica
F1(t) = F cosωt.
Le equazioni del moto sono:
− k ⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎧ F cos ωt ⎫
⎬⎨ ⎬ = ⎨
⎬
2 k ⎭ ⎩ x2 ⎭ ⎩ 0 ⎭
⎧m 0 ⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎧0 0⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎧ 2k
⎨
⎬⎨ ⎬ + ⎨
⎬⎨ ⎬ + ⎨
⎩ 0 m ⎭ ⎩ x2 ⎭ ⎩0 c ⎭ ⎩ x 2 ⎭ ⎩− k
Assunte come soluzioni le:
y j (t ) = Y j eiωt
la (5.23) fornisce:
Z11 (iω ) = −mω 2 + 2k ;
Z 22 (iω ) = − mω 2 + icω + 2k
j = 1, 2
con
[
x j (t ) = ℜ[ y (t )] = ℜ Y j eiωt
]
Z12 (ω ) = Z 21 (ω ) = −k
di conseguenza si ha:
(− mω
)
+ icω + 2k F
− mω + icω + 2k − mω 2 + 2k − k 2
kF
Y2 (iω ) =
2
− mω + icω + 2k − mω 2 + 2k − k 2
Y1 (iω ) =
(
2
2
)(
(
Ponendo:
)
)(
ω02 =
k
;
m
)
a=
c
c
=
2mω 0 2 km
e sostituendole nelle relazioni che forniscono Y1 e Y2, si ha:
⎞F
⎛ ω2
ω
⎟
⎜ − 2 + i 2a
2
+
⎟k
⎜ ω
ω
0
0
⎠
⎝
Y1 (iω ) =
⎛
⎞
⎛ ω2
ω
ω 2 ⎞⎟
⎜
⎟
⎜ − 2 + i 2a
2
2
+ ⎟⎜ − 2 ⎟ − 1
⎜ ω
ω
ω0 ⎠
0
0
⎠⎝
⎝
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
e
Y2 (iω ) =
F
k
⎛ ω2
⎞⎛
ω
ω2 ⎞
⎜ − 2 + i 2a
⎟⎜ 2 − 2 ⎟ − 1
+
2
⎜ ω
⎟⎜
ω0
ω0 ⎟⎠
0
⎝
⎠⎝
.
5–8
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
Graficando la prima in funzione del rapporto adimensionale ω/ω0. e per diversi valori del parametro a si
vede che quando a >> 1 il sistema si comporta come un sistema ad un gdl con un’unica risonanza che
vale:
ω n = 2k m
e risulta quindi:
ωn ω0 = 2 .
In altre parole è come se la massa inferiore fosse solidale al telaio.
0.16
0.14
a=10
abs(Y1)*k/F
0.12
0.1
0.08
0.06
a=0.2
0.04
a=1
0.02
0
0
0.5
1
1.5
om/om0
2
2.5
3
SMORZATORE DINAMICO
Si consideri il caso di un macchinario sottoposto ad una eccitazione con pulsazione molto prossima ad
una pulsazione naturale del macchinario stesso. In tale caso, le vibrazioni eccessive del sistema possono
essere ridotte impiegando un cosiddetto smorzatore dinamico di vibrazioni (o assorbitore dinamico),
costituito da una massa collegata al macchinario da una molla. Lo smorzatore dinamico deve essere
progettato in modo che le frequenze naturali del sistema siano il più possibile lontane dalla frequenza
dell’eccitazione.
Per studiare il problema si schematizzi la macchina come un sistema ad un grado di libertà (v. figura)
sottoposto ad una forzante armonica F(t) = F cosωt , in cui ω = k1 m1 , ossia il sistema è in risonanza.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5–9
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
A questo punto si supponga di collegare al macchinario una seconda massa m2 mediante una molla di
costante elastica k2.
m1x1 + ( k1 + k2 ) x1 − k 2 x2 = F cos ωt
m2 x2 + k2 x2 − k2 x1 = 0
Le equazioni del moto sono:
⎧m1 0 ⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎧k1 + k 2
⎬⎨ ⎬ + ⎨
⎨
⎩ 0 m2 ⎭ ⎩ x2 ⎭ ⎩ − k 2
o anche:
− k 2 ⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎧ F cos ωt ⎫
⎬
⎬⎨ ⎬ = ⎨
k 2 ⎭ ⎩ x2 ⎭ ⎩ 0 ⎭
x j (t ) = X j cosωt
Assunte come soluzioni le:
la (5.23) fornisce:
Z11 (ω ) = −m1ω 2 + ( k1 + k2 )
j = 1, 2
Z 22 (ω ) = −m2ω 2 + k2
Z12 (ω ) = Z 21 (ω ) = −k 2
di conseguenza si ha:
X 1 (ω ) =
2
(− m ω
2
2
1
X 2 (ω ) =
(− m ω + k )F
+ k + k )(− m ω + k ) − k
2
2
2
1
2
2
2
2
k2 F
− m1ω + k1 + k 2 − m2ω 2 + k 2 − k 2 2
(
)(
2
)
Se è soddisfatta la condizione:
ω=
k1
=
m1
k2
m2
si ha per x1(t) una antirisonanza, ossia la massa m1 non vibra.
Posto:
ω10 =
k1
m1
ω 20 =
k2
m2
le espressioni di X1(ω) e X2(ω) risultano:
⎛
ω 2 ⎞⎟ F
⎜1 −
⎜ ω 2 ⎟k
20 ⎠ 1
⎝
X 1 (ω ) =
2
⎛ k 2 ω ⎞⎛
ω 2 ⎞⎟ k2
⎜1 + −
⎟
⎜
1
−
−
⎜
k1 ω10 2 ⎟⎠⎜⎝ ω10 2 ⎟⎠ k1
⎝
e
F
k1
X 2 (ω ) =
2
⎛ k 2 ω ⎞⎛
ω 2 ⎞⎟ k2
⎜1 + −
⎟
⎜
1
−
−
⎜
k1 ω10 2 ⎟⎠⎜⎝ ω10 2 ⎟⎠ k1
⎝
che possono essere diagrammate in funzione del rapporto adimensionale ω/ω10.
F
.
k2
In altre parole, la massa m1 non oscilla poiché la massa m2 trasmette alla massa m1 una forza uguale ed
opposta all’eccitazione; infatti:
Si nota che quando ω10 = ω20 = ω, risulta:
X 1 (ω ) = 0
X 2 (ω ) = −
m2
ω2
2
k 2 ( x2 − x1 ) = − m2 x2 = m2ω X 2 cos ωt = −
Fω cos ωt = −
F cos ωt = − F cos ωt
k2
ω 20 2
2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5 – 10
8
8
6
6
4
4
2
2
X2*k1/F0
X1*k1/F0
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
0
-2
0
-2
-4
-4
-6
-6
-8
0
0.5
1
om/om10
1.5
-8
0
2
0.5
1
om/om10
2
1.5
L’aggiunta di una massa introduce però nel sistema una seconda risonanza. Il sistema ha quindi due
risonanze che si possono trovare ponendo a zero il denominatore di X1(ω) (o di X2(ω)):
⎛ k 2 ω 2 ⎞⎛
ω 2 ⎞⎟ k2
⎜1 + −
⎟
⎜
−
1
−
=0
⎜
k1 ω10 2 ⎟⎠⎜⎝ ω10 2 ⎟⎠ k1
⎝
ω4
ω2 ⎛
k ⎞
⎜ 2 + 2 ⎟⎟ + 1 = 0
−
4
2 ⎜
k1 ⎠
ω10 ω10 ⎝
ossia:
Osservando che quando ω10 = ω20 = ω, si ha:
k 2 m2
=
k1 m1
le due pulsazioni sono tanto più lontane da ω10 = k1 m1 quanto più grande è il rapporto m2 m1 :
2
⎛
m ⎞
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ − 4
m1 ⎠
⎝
2
2
1.5
om/om10
⎛ ω2 ⎞
⎜
⎟ =
⎜ω 2 ⎟
⎝ 10 ⎠1, 2
⎛
m ⎞
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ ±
m1 ⎠
⎝
1
0.5
0
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
0.2
0.4
m2/m1
0.6
0.8
1
5 – 11
Parte 5 – Sistemi ad 2 gdl
MOTI RIGIDI
Si consideri il sistema a due 2gdl rappresentato in figura (potrebbe essere, ad esempio, il modello di due
vagoni ferroviari). Le equazioni del moto libero sono le seguenti:
m1x1 + k ( x1 − x2 ) = 0
m2 x2 + k ( x2 − x1 ) = 0
Assunto il moto nella forma:
x j (t ) = X j cos(ωt + φ j )
j = 1, 2
risulta:
( −m1ω 2 + k ) X 1 − kX 2 = 0
− kX 1 + ( −m2ω 2 + k ) X 2 = 0
e l’equazione caratteristica diviene:
ω 2 [m1m2ω 2 − k (m1 + m2 )] = 0
k ( m1 + m2 )
m1m2
Una delle due pulsazioni è nulla: il sistema non vibra a tale pulsazione. In altre parole il sistema si muove
come un unico corpo rigido senza moto relativo tra le due masse; si dice pertanto che il sistema ha un
moto rigido.
da cui si ottengono le pulsazioni naturali:
ω1 = 0
Come ovvio, alla pulsazione ω1 corrisponde il modo di vibrare:
mentre alla pulsazione ω2 corrisponde il modo di vibrare:
ω2 =
⎧X ⎫
r1 = ⎨ 2 ⎬
=1
⎩ X 1 ⎭ω =ω1
⎧X ⎫
m
r2 = ⎨ 2 ⎬
=− 1
m2
⎩ X 1 ⎭ω =ω2
che è una quantità negativa; pertanto il secondo modo ha un nodo.
BIBLIOGRAFIA
* E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.
Pàtron, Bologna.
* S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5 – 12
Parte 6 – Sistemi a N gdl
PARTE 6 – Sistemi a N gdl
SISTEMI NON SMORZATI
Le equazioni del moto si scrivono applicando il principio di D’Alembert, il principio dei lavori virtuali o
le equazioni di Lagrange.
Per le vibrazioni libere di un sistema non smorzato le equazioni del moto sono del tipo:
[ M ]{x(t )} + [ K ]{x (t )} = {0}
(6.1)
dove [M] è la matrice massa e [K] è la matrice rigidezza:
⎡ m11 m12
⎢m
m22
21
[M ] = ⎢
...
⎢ ...
⎢
⎣mn1 mn 2
... m1n ⎤
... m2 n ⎥
⎥
... ... ⎥
⎥
... mnn ⎦
⎡ k11 k12
⎢k
k22
21
[K ] = ⎢
⎢ ... ...
⎢
⎣kn1 kn 2
... k1n ⎤
... k2 n ⎥
⎥
... ... ⎥
⎥
... k nn ⎦
e {x} è il vettore delle coordinate.
La matrice massa [M] e la matrice rigidezza [K] possono essere, in generale, complete e non simmetriche.
Se però ad ogni massa (generalizzata) è associata una coordinata (generalizzata), allora la matrice massa
risulta diagonale. Analogamente, se ogni molla (generalizzata) ha ogni estremo mobile collegato ad una
massa (cioè posto in corrispondenza dell'origine di una coordinata), allora la matrice rigidezza risulta
simmetrica.
Nel seguito, supporremo sempre che la matrice massa e la matrice rigidezza siano simmetriche. Ciò è
lecito, in quanto scegliendo opportunamente le coordinate è sempre possibile ricondursi a tale situazione.
Gli elementi mij e kij che compongono le matrici massa e rigidezza hanno il significato che ora chiariamo.
Scriviamo per esteso l’equazione del moto della massa i-esima. Si ha:
n
n
j =1
j =1
∑ mij x j + ∑ kij x j = 0
(i = 1, 2, …, n)
(6.2)
Come si può vedere dalla (6.2), gli elementi mij della matrice massa rappresentano l’azione inerziale
agente sulla massa i-esima in corrispondenza di una accelerazione unitaria del punto in cui è concentrata
la massa j-esima (essendo nulle le accelerazioni dei restanti n-l punti). Gli elementi mij sono detti
coefficienti di influenza inerziali. Gli elementi kij della matrice rigidezza rappresentano l’azione elastica
agente sulla massa i-esima in corrispondenza di uno spostamento unitario del punto in cui è concentrata la
massa j-esima (essendo nulli gli spostamenti dei restanti n-1 punti). Essi sono noti anche come coefficienti
di influenza per la rigidezza.
Al fine di determinare i modi propri di vibrare del sistema imponiamo che sia:
x j (t ) = X j eiωt
j = 1, 2 , …, n
Si ottiene:
− ω 2 [ M ]{ X } + [ K ]{ X } = {0}
dove
{X } = [ X1
X 2 ...
(6.3)
X n ]T è il vettore delle ampiezze di spostamento delle masse.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6–1
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Si perviene ad un sistema di equazioni analogo a quello già visto nel caso dei si-stemi a due gradi di
libertà:
[ A − µI ]{ X } = {0}
(6.4)
det[ A − µI ] = 0
per il quale deve essere:
(6.5)
avendo posto [A] = [M]-l [K] (matrice dinamica).
Le radici µi dell’equazione caratteristica (6.5) sono gli autovalori e le pulsazioni naturali del sistema sono
definite dalla relazione:
ω i2 = µi
Sostituendo µi nelle equazioni (6.4) si ottengono gli autovettori, che forniscono i modi di vibrare
corrispondenti alle pulsazioni trovate ωni.
⎧ X 11 ⎫
⎪X ⎪
⎪
⎪
{ X }1 = ⎨ 21 ⎬;
⎪ ... ⎪
⎪⎩ X n1 ⎪⎭
⎧ X 12 ⎫
⎪X ⎪
⎪
⎪
{ X }2 = ⎨ 22 ⎬; ...
⎪ ... ⎪
⎪⎩ X n 2 ⎪⎭
⎧ X 1n ⎫
⎪X ⎪
⎪
⎪
{ X }n = ⎨ 2 n ⎬;
⎪ ... ⎪
⎪⎩ X nn ⎪⎭
Si ricordi che, essendo la (6.4) un sistema di n equazioni omogenee, gli elementi degli autovettori
risultano definiti a meno di una costante arbitraria.
Talvolta può essere utile formulare le equazioni del moto delle masse del sistema in modo diverso dalle
(6.1). A ciò si perviene utilizzando i coefficienti di influenza per la cedevolezza (flessibilità) δij. Essi
vengono definiti come lo spostamento del punto i-esimo provocato da una forza unitaria applicata nel
punto j-esimo. Nel caso delle oscillazioni libere di un sistema ad n gradi di libertà devono considerarsi
come forza applicata solo quelle inerziali e, pertanto, lo spostamento della massa i-esima vale:
n
n
j =1
j =1
xi = − ∑ δ ij ∑ mij x j
(i = 1, 2, …, n)
(6.6)
La (6.6) può essere scritta nella forma matriciale:
{x} = −[ D ][ M ]{x}
La matrice:
⎡δ 11 δ 12
⎢δ
21 δ 22
[D] = ⎢
⎢ ... ...
⎢
⎣δ n1 δ n 2
... δ 1n ⎤
... δ 2 n ⎥
⎥
... ... ⎥
⎥
... δ nn ⎦
(6.7)
è detta matrice cedevolezza (flessibilità).
Confrontando la (6.7) con la (6.1) scritta nel modo seguente:
si riconosce che:
{x} = −[ K ]−1[ M ]{x}
[ D ] = [ K ]−1
ossia la matrice flessibilità è l’inversa della matrice rigidezza.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6–2
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Se si sostituiscono le x j (t ) = X j eiωt nelle (6.7), si ottiene:
{ X } = ω 2 [ D ][ M ]{ X }
(6.8)
dalla quale si perviene al sistema di equazioni:
[ A − µ I ]{ X } = {0}
con
[ A ] = [ D ][ M ]
e
(6.9)
µi = 1 2 .
ωi
Come si vede, la (6.9) è analoga alla (6.4).
Inoltre, essendo:
[ A][ A ] = [ M ]−1[ K ][ K ]−1[ M ] = [ I ]
si ricava:
[ A ] = [ A]−1
In conclusione, sia partendo dalle (6.1), sia impiegando le (6.7), il problema della determinazione delle
frequenza proprie e dei modi di vibrare viene ricondotto a quello della ricerca degli autovalori di una
matrice, per il quale sono disponibili algoritmi assai efficienti.
Proprietà di ortogonalità
Gli autovettori godono di una proprietà, che prende il nome di ortogonalità, rispetto alle matrici massa e
rigidezza. Consideriamo le equazioni del moto scritte per il modo i-esimo:
[ K ]{ X }i = µi [ M ]{ X }i
(6.10)
Premoltiplicando per il trasposto dell’autovettore j-esimo, si ottiene:
{ X } j T [ K ]{ X }i = µi { X } j T [ M ]{ X }i .
(6.11)
Ripetiamo ora l’operazione scambiando i modi i-esimo e j-esimo:
{ X }i T [ K ]{ X } j = µ j { X }i T [ M ]{ X } j .
(6.12)
Poiché le matrici [K] e [M] sono simmetriche, valgono le:
{ X } j T [ K ]{ X }i = { X }i T [ K ]{ X } j
{ X } j T [ M ]{ X }i = { X }i T [ M ]{ X } j
tenendo conto delle quali, se sottraiamo le (6.12) dalla (6.11) otteniamo:
0 = ( µi − µ j ){ X } j T [ M ]{ X }i
(6.13)
ed essendo µi ≠ µj, risulta:
0 = { X } j T [ M ]{ X }i
(6.14)
ed anche:
0 = { X } j T [ K ]{ X }i
(6.15)
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6–3
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Le (6.14) e (6.15) definiscono il carattere di ortogonalità dei modi propri di vibrare. Tale proprietà è di
fondamentale importanza per procedere al disaccoppiamento delle equazioni del moto del sistema.
Se poniamo i = j, la (6.13) risulta soddisfatta per ogni valore finito del termine
{ X }i T [ M ]{ X }i
Chiamiamo massa modale e rigidezza modale rispettivamente i prodotti:
M i = { X }i T [ M ]{ X }i
K i = { X }i T [ K ]{ X }i
Le relazioni sopra scritte consentono di adottare come criterio di normalizzazione degli autovettori la
condizione:
M i = { X }i T [ M ]{ X }i = 1
Dalla (6.10) risulta:
K i = { X } j T [ K ]{ X }i = µi { X } j T [ M ]{ X }i = µi = ωi 2
La matrice modale
Se raccogliamo gli n autovettori in una matrice, otteniamo la cosiddetta matrice modale:
⎡ X 11
⎢X
21
[Φ ] = ⎢
⎢ ...
⎢
⎣ X n1
X 12
...
X 22
...
...
...
X 1n ⎤
X 2n ⎥
⎥
... ⎥
⎥
X nn ⎦
X n 2 ...
Per l’ortogonalità dei modi propri, il seguente prodotto è una matrice diagonale:
⎡ M1
⎢ 0
T
[Φ ] [ M ][Φ ] = ⎢
⎢ ...
⎢
⎣ 0
0 ⎤
... 0 ⎥
⎥ = [ M ]P
... ... ⎥
⎥
... M n ⎦
0
...
M2
...
0
(6.16)
Gli elementi della diagonale principale della (6.16) sono le masse modali. La matrice (6.16) prende il
nome di matrice massa principale. Analogamente si ha:
⎡ K1
⎢0
T
[Φ ] [ K ][Φ ] = ⎢
⎢ ...
⎢
⎣0
0
K2
...
0
0⎤
... 0 ⎥
⎥ = [ K ]P
... ... ⎥
⎥
... K n ⎦
...
(6.17)
In questo caso gli elementi della diagonale principale sono le rigidezze modali e la matrice prende il nome
di matrice rigidezza principale.
Se si adotta la normalizzazione rispetto alla matrice massa, le matrici massa principale e rigidezza
principale diventano, rispettivamente:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6–4
Parte 6 – Sistemi a N gdl
⎡1
⎢0
[ M ]P = ⎢
⎢...
⎢
⎣0
0
1
...
0
...
...
...
...
⎡ω12
0
⎢
0 ω22
[ K ]P = ⎢
⎢ ...
...
⎢
0
⎢⎣ 0
0⎤
0⎥
⎥
...⎥
⎥
1⎦
0 ⎤
⎥
... 0 ⎥
... ... ⎥
⎥
... ω n 2 ⎥⎦
...
La matrice massa principale e la matrice rigidezza principale permettono di disaccoppiare le equazioni del
moto.
Disaccoppiamento delle equazioni del moto
Scriviamo le equazioni del moto (6.1) premoltiplicando i termini per [Φ]T e postmoltiplicandoli per
[Φ][Φ]-1 = [I]
Si ottiene:
[Φ ]T [ M ][Φ ][Φ ]−1{x} + [Φ ]T [ K ][Φ ][Φ ]−1{x} = {0}
(6.18)
ossia:
[ M ]P {q} + [ K ]P {q} = {0}
(6.19)
avendo posto:
{q} = [Φ ]−1{x}
(6.20)
Le (6.20) definiscono le coordinate principali. Poiché [M]P e [K]P sono matrici diagonali, le equazioni del
moto (6.19), scritte in termini di coordinate principali, risultano disaccoppiate.
Risolto il sistema (6.19) in termini di coordinate principali, si passa da queste a quelle di origine con la
trasformazione:
{x} = [Φ ]{q}
Partendo dagli autovettori precedentemente calcolati, si ottengono gli autovettori normalizzati rispetto
alle masse moltiplicando gli elementi di ogni autovettore per uno scalare pi dato da:
pi =
1
(i = 1, 2, …, n)
T
{ X }i [ M ]{ X }i
Moti di corpo rigido
Consideriamo un sistema a n g.d.l. che ammetta più moti rigidi, siano per esempio i primi due:
ω1 = ω2 = 0.
Risulterà:
[ K ]{ X }1 = 0 [ K ]{ X }2 = 0
[ K ]{ X }i = ω i 2 [ M ]{ X }i
Dalle prime due si ricava:
(i = 3., 4, …, n)
{ X }i T [ K ]{ X }1 = { X }i T [ K ]{ X }2 = 0 che è la relazione di ortogonalità.
T
T
{ X }1 [ K ]{ X }2 = 0 ma
{ X }1 [ M ]{ X }2 ≠ 0
Risulta altresì:
perché non vale la relazione da cui si ricava l’ortogonalità.
Pertanto, la presenza di moti di corpo rigido può dare luogo alla presenza nella matrice massa principale
di termini al di fuori della diagonale.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6–5
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Vibrazioni libere
Il più generale moto libero è la sovrapposizione di tutti i modi propri. Ogni modo vi partecipa in una certa
porzione, dipendente dalle condizioni iniziali. Se le condizioni iniziali eccitano un solo modo, alle
vibrazioni libere partecipa solo quel modo.
SISTEMI CON SMORZAMENTO
Se nel sistema c’è smorzamento, le equazioni del moto diventano:
[ M ]{x} + [C ]{x} + [ K ]{x} = {0}
La matrice [C] è di regola simmetrica. Introducendo le coordinate principali, {q} = [Φ ]−1{x} si ottiene:
[ M ]P {q} + [Φ ]T [C ][Φ ]{q} + [ K ]P {q} = {0}
In generale, la matrice [Φ ]T [C ][Φ ] è simmetrica ma non diagonale, per cui le equazioni del moto non
sono più disaccoppiate.
Se però lo smorzamento è proporzionale, cioè si può scrivere:
[C] = α[M] + β[K]
con costanti (scalari), allora valgono le seguenti:
[Φ ]T [C ][Φ ] = α [Φ ]T [ M ][Φ ] + β [Φ ]T [ K ][Φ ] = α [ M ]P + β [ K ]P = [C ]P
dove la matrice [C]P è una matrice diagonale detta matrice smorzamento principale:
⎡C1 0
⎢0 C
2
[C ]P = ⎢
⎢ ... ...
⎢
⎣0 0
e
0⎤
... 0 ⎥
⎥
... ... ⎥
⎥
... Cn ⎦
...
Ci = { X }i T [C ]{ X }i
sono gli smorzamenti modali.
Le equazioni del moto risultano così disaccoppiate.
Si può definire inoltre lo smorzamento (modale) critico:
CCRi = 2M iω i = 2 K i M i
ζi =
Ci
Ci
α
βω i
=
=
+
CCRi 2M iω i 2ω i
2
e, quindi, il fattore di smorzamento modale:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6–6
Parte 6 – Sistemi a N gdl
VIBRAZIONI FORZATE
Le equazioni del moto di un sistema ad n g.d.l., con smorzamento viscoso, si possono scrivere nel modo
seguente:
(6.21)
[ M ]{x} + [C ]{x} + [ K ]{x} = { f (t )}
dove [M] e [K] sono le matrici massa e rigidezza, [C] è la matrice smorzamento, {x} è il vettore degli
spostamenti ed {f(t)} è il vettore delle forze applicate:
⎧ f1 (t ) ⎫
⎪ f (t ) ⎪
⎪ 2 ⎪
{f}= ⎨
⎬
⎪ ... ⎪
⎪⎩ f n (t )⎪⎭
(6.22)
Introducendo nelle (6.21) le coordinate principali, definite dalle (6.20), si ottiene:
[ M ][Φ ]{q} + [C ][Φ ]{q} + [ K ][Φ ]{q} = { f (t )}
(6.23)
Premoltiplicando ambo i membri della (6.23) per [Φ]T, si ha:
[Φ ]T [ M ][Φ ]{q} + [Φ ]T [C ][Φ ]{q} + [Φ ]T [ K ][Φ ]{q} = [Φ ]T { f (t )}
(6.24)
Facendo l’ipotesi di smorzamento proporzionale, le (6.24) divengono:
[ M ] P {q} + [C ] P {q} + [ K ] P {q} = [Φ ]T { f (t )}
(6.25)
Le (6.25) costituiscono un sistema di equazioni disaccoppiate.
Le componenti del vettore [Φ]T{f(t)} sono dette forze generalizzate:
⎡ X 11 f1 (t ) + X 21 f 2 (t ) + ... + X n1 f n (t ) ⎤
[Φ ]T { f (t )} = ⎢ X 12 f1 (t ) + X 22 f 2 (t ) + ... + X n 2 f n (t ) ⎥
⎥
⎢
⎢⎣ X 1n f1 (t ) + X 2 n f 2 (t ) + ... + X nn f n (t )⎥⎦
Risulta:
M 1q1 + C1q1 + K1q1 = X 11 f1 (t ) + X 21 f 2 (t ) + ... + X n1 f n (t )
M 2 q2 + C2 q 2 + K 2 q2 = X 12 f1 (t ) + X 22 f 2 (t ) + ... + X n 2 f n (t )
.....................
M n qn + Cn q n + K n qn = X 1n f1 (t ) + X 2 n f 2 (t ) + ... + X nn f n (t )
(6.26)
(6.27)
Le equazioni differenziali del sistema (6.27) vengono risolte singolarmente con i procedimenti visti nel
caso dei sistemi ad un singolo grado di libertà. In tal modo si ottengono le componenti del vettore delle
coordinate principali e, tramite le (6.20), quelle del vettore delle coordinate effettive.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6–7
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Metodo modale
Il sistema sia non smorzato o con smorzamento proporzionale ed abbia N g.d.l.
Troviamo i primi n autovalori ed autovettori (con n<<N).
Introduciamo le coordinate principali q1, q2, …, qn, con:
⎧ x1 ⎫ ⎡ X 11
⎪x ⎪ ⎢X
⎪ 2 ⎪ ⎢ 21
⎨ ⎬=
⎪ ... ⎪ ⎢ ...
⎪⎩ x N ⎪⎭ ⎢⎣ X N 1
X 12
...
X 22
...
...
...
X N 2 ...
X 1n ⎤ ⎧ q1 ⎫
X 2 n ⎥ ⎪⎪ q2 ⎪⎪
⎥ ⎨ ⎬ = [ Φ ]{q}
... ⎥ ⎪ ... ⎪
⎥
X Nn ⎦ ⎪⎩qn ⎪⎭
Ad esempio, se N=10 e n=3, sarà:
⎧ x1 ⎫ ⎡ X 1,1
⎪x ⎪ ⎢X
⎪ 2 ⎪ ⎢ 2,1
⎨ ⎬=
⎪ ... ⎪ ⎢ ...
⎪⎩ x10 ⎪⎭ ⎢⎣ X 10,1
X 1,2
X 2, 2
...
X 10,2
X 1,3 ⎤
⎧q ⎫
X 2,3 ⎥ ⎪ 1 ⎪
⎥ ⎨q ⎬
... ⎥ ⎪ 2 ⎪
⎥ q
X 10,3 ⎦ ⎩ 3 ⎭
Introduciamo nelle equazioni del moto [ M ]{x} + [C ]{x} + [ K ]{x} = { f (t )} premoltiplicando per [Φ ]T :
[ Φ ]T [ M ][ Φ ]{q} + [ Φ ]T [C ][ Φ ]{q} + [ Φ ]T [ K ][ Φ ]{q} = [ Φ ]T { f (t )}
Si ottengono così n (n<<N) equazioni disaccoppiate e quindi semplici da integrare. Una volta trovate le
coordinate generalizzate q, le coordinate effettive si trovano con la {x} = [ Φ ]{q} .
Il metodo è valido se la pulsazione Ω della forzante è inferiore alla pulsazione ωn del modo n-esimo.
Metodo pseudo–modale
Se lo smorzamento è piccolo ma non proporzionale (come capita abbastanza spesso), si può usare un
metodo “pseudo modale”. Si trovano prima gli N autovalori ed autovettori trascurando lo smorzamento, e
se ne utilizzano – come prima – i primi n, con n<<N:
⎧ x1 ⎫ ⎡ X 11
⎪x ⎪ ⎢X
⎪ 2 ⎪ ⎢ 21
⎨ ⎬=
⎪ ... ⎪ ⎢ ...
⎪⎩ x N ⎪⎭ ⎢⎣ X N 1
X 12
...
X 22
...
...
...
X N 2 ...
X 1n ⎤ ⎧ q1 ⎫
X 2 n ⎥ ⎪⎪ q2 ⎪⎪
⎥ ⎨ ⎬ = [ Φ ]{q}
... ⎥ ⎪ ... ⎪
⎥
X Nn ⎦ ⎪⎩qn ⎪⎭
Questa volta si ottiene un sistema di n equazioni accoppiate per i termini in q , ma integrabili abbastanza
facilmente perché n<<N:
[ Φ ]T [ M ][ Φ ]{q} + [ Φ ]T [C ][ Φ ]{q} + [ Φ ]T [ K ][ Φ ]{q} = [ Φ ]T { f (t )}
La soluzione è valida solo se la pulsazione Ω della forzante è inferiore alla pulsazione ωn del modo nesimo.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6–8
Parte 6 – Sistemi a N gdl
METODO DI RAYLEIGH-RITZ
Si tratta di una generalizzazione, dovuta a Ritz, del metodo di Rayleigh. Il metodo viene impiegato per
valutare le prime (le più basse) frequenze proprie di un sistema.
Il procedimento si basa sulla scelta di una “ragionevole deformata” per i primi n modi del sistema a N
g.d.l. (n << N). E’ evidente che, nel caso in cui n=1, il metodo di Ritz coincide con quello di Rayleigh.
Sia [γ] la matrice contenente le stime dei primi n modi. Si può scrivere:
{x} = [γ ]{ p}
dove {x} è il vettore di dimensione N delle coordinate “fisiche”, [γ] è una matrice di dimensioni N×n le
cui colonne sono le “ragionevoli forme modali”, e {p} è un vettore di dimensione n<<N. Naturalmente, la
deformata prescelta deve soddisfare le condizioni al contorno.
Le espressioni dell’energia cinetica T e dell’energia potenziale V assumono la forma:
1 T
1 T
1 T
1 T
T = {x} [ M ]{x} = {p } [γ ]T [ M ][γ ]{p } V = {x} [ K ]{x} = {p} [γ ]T [ K ][γ ]{p}
2
2
2
2
e pertanto le equazioni di Lagrange assumono la forma: [γ ]T [ M ][γ ]{p}+ [γ ]T [ K ][γ ]{p} = {0}
Il sistema così ottenuto è costituito da n equazioni, mentre quello di partenza ne conteneva N >> n.
La soluzione del sistema fornirà una stima delle prime n pulsazioni proprie del sistema.
Come esempio di applicazione del metodo si consideri il sistema a N = 3 g.d.l. rappresentato in figura, le
cui soluzioni esatte sono:
ω1 = 0.4450 k m
{ X }1 = {1 2.8020 3.4940}T
ω 2 = 1.2470 k m
{ X }2 = {1 1.4451 − 2.6040}T
ω 3 = 1.8019 k m
{ X }3 = {1 − 0.1470 0.1099}T
Caso n=1 (metodo di Rayleigh).
Si assuma come ragionevole deformata, la deformata statica sotto l’azione del peso. Risulta:
{γ } = {2 5 6}T che, normalizzato, diventa: {γ } = {1 2.5 3}T e si ottiene:
⎡m 0 0 ⎤ ⎧ 1 ⎫
⎪ ⎪
{γ } [ M ]{γ } = {1 2.5 3}⎢⎢ 0 2m 0 ⎥⎥ ⎨2.5⎬ = 22.5 m
⎢⎣ 0 0 m⎥⎦ ⎪⎩ 3 ⎪⎭
⎡ 3k − k 0 ⎤ ⎧ 1 ⎫
⎪ ⎪
T
{γ } [ K ]{γ } = {1 2.5 3}⎢⎢− k 2k − k ⎥⎥ ⎨2.5⎬ = 4.5 k
⎢⎣ 0 − k k ⎥⎦ ⎪⎩ 3 ⎪⎭
T
da cui l’equazione del moto diventa:
22.5 m p + 4.5 k p = 0
La stima della prima pulsazione del sistema è pertanto:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
ω~1 =
4.5 k
k
= 0.4472
22.5 m
m
6–9
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Caso n=2 (metodo di Ritz).
Considerando lo stesso sistema dell’esempio precedente, si vogliano ora stimare le prime due frequenze
proprie. Si assumano come prime due ragionevoli forme modali lo stesso {γ }1 = {1 2.5 3}T impiegato
in precedenza e, arbitrariamente, {γ }2 = {1 2 − 1}T , cioè in definitiva:
1⎤
1⎤
⎡1
⎧ x1 ⎫ ⎡ 1
⎪ ⎪ ⎢
⎢
⎥
⎥ ⎧ p1 ⎫
ovvero:
[γ ] = ⎢2.5 2 ⎥
⎨ x2 ⎬ = ⎢2.5 2 ⎥ ⎨ ⎬
⎪ x ⎪ ⎢ 3 − 1⎥ ⎩ p2 ⎭
⎢⎣ 3 − 1⎥⎦
⎦
⎩ 3⎭ ⎣
Si ottiene allora:
1⎤
⎡m 0 0 ⎤ ⎡ 1
⎡1 2.5 3 ⎤ ⎢
⎥
⎢
⎥ = ⎡22.5 8 ⎤ m
m
[γ ] [ M ][γ ] = ⎢
0
2
0
2
.
5
2
⎥
⎥
⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎣1 2 − 1⎦ ⎢ 0 0 m⎥ ⎢ 3 − 1⎥ ⎣ 8 10⎦
⎣
⎦⎣
⎦
1⎤
⎡ 3k − k 0 ⎤ ⎡ 1
⎡1 2.5 3 ⎤ ⎢
⎥
⎢
⎥ = ⎡4.5 2 ⎤ k
T
k
k
k
−
−
[γ ] [ K ][γ ] = ⎢
2
2
.
5
2
⎥
⎥
⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎣1 2 − 1⎦ ⎢ 0 − k k ⎥ ⎢ 3 − 1⎥ ⎣ 2 12⎦
⎣
⎦⎣
⎦
T
Le equazioni del moto sono pertanto:
4.5 2 ⎤
⎡22.5 8 ⎤
{p}+ k ⎡⎢
m⎢
⎥
⎥{p} = {0}
⎣ 8 10⎦
⎣ 2 12⎦
L’equazione caratteristica è: 161 m 2 ω 4 − 283 k mω 2 + 50 k 2 = 0
Si ottengono dunque le seguenti stime delle prime due pulsazioni naturali:
k
k
ω~1 = 0.4464
ω~2 = 1.2484
m
m
⎧ P1 ⎫ ⎧ 1
⎧ P1 ⎫ ⎧ 1
⎫
⎫
i cui corrispondenti modi sono:
⎨ ⎬ =⎨
⎨ ⎬ =⎨
⎬
⎬
⎩ P2 ⎭1 ⎩− 0.0405⎭
⎩ P2 ⎭ 2 ⎩− 2.9199⎭
da cui si ricavano:
⎧ 1 ⎫
~
⎪
⎪
{ X }1 = [γ ]{P}1 = ⎨ 2.521⎬
⎪3.169⎪
⎩
⎭
⎧ 1 ⎫
~
⎪
⎪
{ X }2 = [γ ]{P}2 = ⎨ 1.739 ⎬
⎪− 3.084⎪
⎩
⎭
⎡ 1 1⎤
Si osservi che se si fosse assunto: [γ ] = ⎢⎢2.5 2⎥⎥ ,
⎢⎣ 3 1 ⎥⎦
⎡22.5 14⎤
si sarebbe ottenuto: [γ ]T [ M ][γ ] = ⎢
⎥m ;
⎣ 14 10⎦
da cui:
ω~1 = 0.4461
k
m
ω~2 = 1.2488
⎧ P1 ⎫ ⎧
⎫
⎨ ⎬ =⎨
⎬
⎩ P2 ⎭1 ⎩− 0.1066⎭
⎧ 1 ⎫
~
⎪
⎪
{ X }1 = [γ ]{P}1 = ⎨2.5596⎬
⎪3.2386 ⎪
⎩
⎭
i cui corrispondenti modi sono:
da cui si ricavano:
k
m
1
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
⎡4.5 3⎤
[γ ]T [ K ][γ ] = ⎢
⎥k
⎣ 3 4⎦
⎧ P1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
⎨ ⎬ =⎨
⎬
⎩ P2 ⎭ 2 ⎩− 1.6242⎭
⎧ 1 ⎫
~
⎪
⎪
{ X }2 = [γ ]{P}2 = ⎨ 1.199 ⎬
⎪− 2.204⎪
⎩
⎭
6 – 10
Parte 6 – Sistemi a N gdl
QUOZIENTE DI RAYLEIGH
1 T
{x} [ M ]{x}
2
1
V = {x}T [ K ]{x}
2
T=
Energia cinetica
Energia potenziale
Assunta una soluzione del tipo:
{x(t )} = {X } eiωt
1
T = − ω 2 {X }T [ M ]{X }ei 2ωt
2
V =
si ha:
1
{X }T [ M ]{X }ei 2ωt
2
Se il sistema è conservativo vale il principio di conservazione dell’energia meccanica (TMAX = VMAX), per
cui si ottiene:
1
1
TMAX = ω 2 {X }T [ M ]{X } = VMAX = {X }T [ K ]{X }
2
2
da cui si può ricavare il seguente rapporto:
ω2 =
{X }T [ K ]{X } = R({X })
{X }T [ M ]{X }
noto come quoziente di Rayleigh.
Proprietà del quoziente di Rayleigh
Si può dimostrare che il quoziente di Rayleigh R({X}) ha un valore stazionario per {X} arbitrario
appartenente ad un intorno di {X}j.
2
In altre parole, se:
R {X }j = ω j ,
allora risulta: R ({X }) = ω j 2 1 + O (ε 2 )
(
)
[
]
con {X} arbitrario in un intorno di {X}j.
Questa proprietà è molto utile in quanto permette di usare il quoziente di Rayleigh per determinare un
valore approssimato della prima frequenza naturale di un sistema. Infatti, è sufficiente assumere un
ragionevole primo modo di vibrare (l’autovettore {X}1) ed il quoziente di Rayleigh fornirà una buona
approssimazione del quadrato della pulsazione naturale ω1.
Ovviamente la stima di ω1 sarà tanto migliore quanto più il primo modo ipotizzato è vicino a quello vero.
Osservazione
Si noti che il quoziente di Rayleigh si ottiene anche dall’equazione del moto del sistema libero non
smorzato:
[ M ]{x} + [ K ]{x} = {0}
si sostituisce la soluzione ottenendo:
− ω 2 [ M ]{X }+ [ M ]{X } = {0}.
Ora è sufficiente pre-moltiplicare per {X}T per ottenere il quoziente di Rayleigh:
{
X }T [ K ]{X }
T
T
2
2
− ω {X } [ M ]{X } + {X } [ M ]{X } = {0}
ω =
{X }T [ M ]{X }
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6 – 11
Parte 6 – Sistemi a N gdl
MODIFICHE STRUTTURALI
Il quoziente di Rayleigh può venire impiegato per valutare l’effetto di piccole modifiche strutturali.
Si consideri il quoziente di Rayleigh per il modo j-esimo:
ω j2 =
{X }j T [ K ]{X }j
{X }j T [ M ]{X }j
(
= R {X }j
)
esso non è altro che il rapporto tra la rigidezza modale kj e la massa modale mj.
Supponiamo ora che alcune masse e/o rigidezze del sistema subiscano una modifica.
Siano [ M + ∆M ] e [ K + ∆K ] le nuove matrici massa e rigidezza.
Ovviamente anche le frequenze e i modi cambiano. Avremo rispettivamente:
ω j * = ω j + ∆ω j e { X }*j = { X } j + ∆{ X } j .
{X }*j [ K + ∆K ]{X }*j
=
T
{X }*j [ M + ∆M ]{X }*j
T
La nuova pulsazione j-esima è dunque:
2
ω *j
( )
= R {X }*j
Ora se si assume che { X } j * = { X } j , ossia che la forma modale conseguente alle modifiche coincida con
quella relativa al sistema senza modifiche, si può scrivere:
2
ω *j
{X }j T [ K + ∆K ]{X }j {X }jT [ K ]{X }j + {X }jT [∆K ]{X }j
≅
=
{X }jT [ M + ∆M ]{X }j {X }j T [ M ]{X }j + {X }jT [∆M ]{X }j
{X }j T [∆K ]{X }j
{X }jT [ K ]{X }j
2
*2
ωj ≅ωj
{X }j T [∆M ]{X }j
1+
{X }j T [ M ]{X }j
1+
ovvero:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6 – 12
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Modifiche strutturali: Esempio No. 1
Come esempio di applicazione del metodo si consideri il sistema a N = 3 g.d.l. rappresentato in figura, le
cui matrici massa e rigidezza sono riportate a lato:
⎡ 2m 0 0 ⎤
[ M ] = ⎢⎢ 0 m 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0 0 3m⎥⎦
Le soluzioni esatte sono le seguenti:
⎡ 3k
[ K ] = ⎢⎢− 2k
⎢⎣ 0
− 2k
3k
−k
0⎤
− k ⎥⎥
k ⎥⎦
ω1 = 0.3243 k m
{ X }1 = {1 1.3948 2.0378}T
ω 2 = 0.8992 k m
{ X }2 = {1 0.6914 − 0.4849}T
ω 3 = 1.9798 k m
{ X }3 = {1 − 2.4195 0.2249}T
Impieghiamo il metodo di Rayleigh per trovare il nuovo valore ω 3 della terza pulsazione naturale se la
rigidezza della seconda molla viene portata da 2k a 2.5k.
*
L’energia potenziale e cinetica massime del terzo modo sono rispettivamente:
V3MAX =
1
{X }3T [ K ]{X }3 = 1 K 3
2
2
;
1 2
1 2
T
T3MAX = ω 3 {X }3 [ M ]{X }3 = ω 3 M 3
2
2
dove K3 e M3 sono rispettivamente la terza rigidezza modale e la terza massa modale.
A seguito della modifica di rigidezza, si ha:
V3MAX * =
1
{X }3T [ K + ∆K ]{X }3
2
;
Applicando il metodo di Rayleigh, risulta:
1
1
T
T3MAX * = ω 3 *2 {X }3 [ M ]{X }3 = ω 3 *2 M 3
2
2
V3MAX = T3MAX e
V3MAX * = T3MAX *
Dividendo membro a membro si ha poi:
ω 3 *2 T3 * V3 * {X }3T [ K + ∆K ]{X }3
=
=
=
T3
V3
{X }3T [ K ]{X }3
ω32
MAX
MAX
o, anche:
MAX
MAX
{X }3T [∆K ]{X }3
ω 3 *2 {X }3T [ K + ∆K ]{X }3
=
=
1
+
K3
K3
ω32
Ora, sostituendo i valori, la
matrice rigidezza vale:
⎡ 3k
[ K ] = ⎢⎢− 2k
⎢⎣ 0
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
− 2k
3k
−k
0⎤
− k ⎥⎥
k ⎥⎦
⎡ 3.5k
[ K + ∆K ] = ⎢⎢− 2.5k
⎢⎣ 0
− 2.5k
3.5k
−k
0 ⎤
− k ⎥⎥
k ⎥⎦
6 – 13
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Ossia, la variazione di matrice rigidezza vale:
⎡ 0.5k
[∆K ] = ⎢⎢− 0.5k
⎢⎣ 0
− 0.5k
0.5k
0
0⎤ ⎡ δ k
0⎥⎥ = ⎢⎢− δ k
0⎥⎦ ⎢⎣ 0
−δk
δk
0
0⎤
0⎥⎥
0⎥⎦
K 3 = {X }3 [ K ]{X }3 = 31.38 k
T
La terza rigidezza modale K3 è:
Inoltre è:
{X }3T [∆K ]{X }3 = δ k ( X 13 − X 23 ) 2 = 0.5 k (1 + 2.4195) 2
Infine:
ω3* = ω3 1 +
{X }3T [∆K ]{X }3
K3
= 1.9798 k
m
1+
0.5 k (1 + 2.4195) 2
= 2.1563 k
m
31.38 k
Il valore esatto della terza pulsazione a seguito della variazione della rigidezza della seconda molla è:
ω 3 *ESATTO = 2.1549 k m , ovvero si è compiuto un errore pari a 0.1%.
Modifiche strutturali: Esempio No. 2
Consideriamo ora lo stesso sistema ma supponiamo di dover calcolare la terza frequenza naturale qualora
la seconda massa passi al valore 1.3m. Questa volta risulta:
ω 3 *2
1
=
=
T
2
{X }3 [ M + ∆M ]{X }3
ω3
M3
0
0 ⎤ ⎡0 0
⎡0
⎢
[∆M ] = ⎢0 0.3m 0⎥⎥ = ⎢⎢0 δ m
⎢⎣0
0
0⎥⎦ ⎢⎣0 0
1+
{X }3
T
1
[∆M ]{X }3
M3
0⎤
0⎥⎥
0⎥⎦
La terza massa modale M3 è: M 3 = {X }3 [ M ]{X }3 = 8.006 m
T
{X }3T [∆M ]{X }3 = δ m ( X 23 ) 2 = 0.3 m (−2.4195) 2
Inoltre è:
ω3* = ω3
1+
{X }3
T
1
1
= 1.9798 k
= 1.793 k
m
m
0.3 m (−2.4195) 2
[∆M ]{X }3
1+
8.006 m
M3
Il valore esatto della terza pulsazione a seguito della variazione della seconda massa è:
ω 3 *ESATTO = 1.807 k m , ovvero si è compiuto un errore pari a −0.77%.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6 – 14
Parte 6 – Sistemi a N gdl
ESEMPIO – Sistema a 3 gradi di libertà: vibrazioni libere e forzate
Si consideri il sistema a N = 3 g.d.l. rappresentato in figura, le cui matrici massa e rigidezza sono riportate
a lato:
⎡ 2m 0 0 ⎤
[ M ] = ⎢⎢ 0 m 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0 0 3m⎥⎦
Le pulsazioni e i modi propri
(normalizzati) sono i seguenti:
La matrice modale è pertanto:
⎡ 3k
[ K ] = ⎢⎢− 2k
⎢⎣ 0
− 2k
3k
−k
0⎤
− k ⎥⎥
k ⎥⎦
ω1 = 0.3243 k m
{ X }1 = {1 1.3948 2.0378}T
ω 2 = 0.8992 k m
{ X }2 = {1 0.6914 − 0.4849}T
ω 3 = 1.9798 k m
{ X }3 = {1 − 2.4195 0.2249}T
1
1
⎤
⎡ 1
⎢
[Φ ] = ⎢1.3948 0.6914 − 2.4195⎥⎥
⎢⎣2.0378 − 0.4849 0.2249 ⎥⎦
Si possono ricavare le masse e le rigidezze modali:
⎧ M 1 ⎫ ⎧16.403⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
diag ([Φ ]T [ M ][Φ ]) = ⎨M 2 ⎬ = ⎨ 3.183 ⎬m
⎪ M ⎪ ⎪ 8.006 ⎪
⎩ 3⎭ ⎩
⎭
⎧ K1 ⎫ ⎧1.725 ⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
diag ([Φ ]T [ K ][Φ ]) = ⎨ K 2 ⎬ = ⎨2.574⎬k
⎪ K ⎪ ⎪31.38⎪
⎩ 3⎭ ⎩
⎭
x1 (t ) = X 11 cos(ω1 t + ϕ1 ) + X 12 cos(ω2 t + ϕ 2 ) + X 13 cos(ω3 t + ϕ3 )
Il moto libero generale è:
x2 (t ) = X 21 cos(ω1 t + ϕ1 ) + X 22 cos(ω2 t + ϕ 2 ) + X 23 cos(ω3 t + ϕ3 )
x3 (t ) = X 31 cos(ω1 t + ϕ1 ) + X 32 cos(ω2 t + ϕ 2 ) + X 33 cos(ω3 t + ϕ3 )
x1 (t ) = X 11 cos(ω1 t + ϕ1 ) + X 12 cos(ω2 t + ϕ 2 ) + X 13 cos(ω3 t + ϕ3 )
cioè:
x2 (t ) = 1.3948 X 11 cos(ω1 t + ϕ1 ) + 0.6914 X 12 cos(ω2 t + ϕ 2 ) − 2.4195 X 13 cos(ω3 t + ϕ3 )
x3 (t ) = 2.0378 X 11 cos(ω1 t + ϕ1 ) − 0.4849 X 12 cos(ω2 t + ϕ 2 ) + 0.2249 X 13 cos(ω3 t + ϕ3 )
dove X 11 , ϕ1 , X 12 , ϕ 2 , X 13 , ϕ3 sono costanti che soddisfano le condizioni iniziali.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6 – 15
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Per lo studio delle vibrazioni forzate, si consideri una forzante armonica applicata alla massa centrale:
⎧ F1 ⎫
⎧0⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
{F (t )} = ⎨ F2 ⎬ sin Ωt = ⎨ F2 ⎬ sin Ωt
⎪F ⎪
⎪0⎪
⎩ 3⎭
⎩ ⎭
Il vettore delle forzanti è
dunque:
Ricordando che la matrice modale è:
1
1
⎤
⎡ 1
⎢
[Φ ] = ⎢1.3948 0.6914 − 2.4195⎥⎥
⎢⎣2.0378 − 0.4849 0.2249 ⎥⎦
il vettore delle forzanti modali risulta:
⎧ 1.3948 ⎫
[Φ ] {F (t )} = ⎪⎨ 0.6914 ⎪⎬F2 sin Ωt
⎪− 2.4195⎪
⎩
⎭
T
Introducendo le coordinate modali: {q(t )} = [Φ ] {x(t )}
−1
M 1 q1 + K1 q1 = 1.3948 F2 sin Ω t
M 2 q1 + K 3 q1 = 0.6914 F2 sin Ω t
il sistema di equazioni di equilibrio si disaccoppia:
M 3 q1 + K 3 q1 = −2.4195 F2 sin Ω t
1.3948 F2
=
Q1 =
K1 − M 1 Ω 2
q1 (t ) = Q1 sin Ω t
le cui soluzioni sono: q2 (t ) = Q2 sin Ω t
q3 (t ) = Q3 sin Ω t
con:
0.6914 F2
=
Q2 =
K2 − M 2 Ω2
− 2.4195 F2
=
Q3 =
K3 − M 3 Ω2
Tornando alla coordinate fisiche:
essendo anche:
x2 (t ) = X 2 sin Ω t
1−
F2
K1
Ω2
=
0.8085
1−
ω12
0.6914
1−
F2
K2
Ω2
=
1−
Ω2
Ω2
ω12
0.2686
1−
ω2 2
− 2.4195
F2
K3
ω3 2
F2
k
=
F2
k
Ω2
ω2 2
− 0.0711
1−
Ω2
F2
k
ω3 2
{x(t )} = [Φ ] {q (t )}
{ X } = [Φ ] {Q}
x1 (t ) = X 1 sin Ω t
risulta:
1.3948
con:
x3 (t ) = X 3 sin Ω t
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
⎛
⎞
⎜
⎟
F2 ⎜ 0.8085 0.2686 0.0711 ⎟
+
−
X 1 = Q1 + Q2 + Q3 = ⎜
Ω2
Ω2
Ω2 ⎟
k
⎜⎜ 1 − 2 1 − 2 1 − 2 ⎟⎟
ω2
ω3 ⎠
⎝ ω1
X 2 = 1.3948Q1 + 0.6914Q2 − 2.4195Q3
X 3 = 2.0378Q1 − 0.4849Q2 + 0.2249Q3
6 – 16
Parte 6 – Sistemi a N gdl
Posto m = 1, k = 1, F2 = 2,
le seguenti figure riportano l’andamento delle oscillazioni delle tre masse per due valori della pulsazione
della forzante: Ω = 1.1 e Ω = 2.5
La seguente figura riporta (in valore assoluto) l’ampiezza delle oscillazioni delle tre masse al variare della
pulsazione della forzante. In altre parole si tratta delle tre FRF tra un generico grado di libertà ed il grado
di libertà in cui è applicata la forzante.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6 – 17
Parte 6 – Sistemi a N gdl
BIBLIOGRAFIA
* E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.
Pàtron, Bologna.
* S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
* D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994.
* M. Lalanne, P. Berthier, J. Der Hagopian, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and Sons,
1983.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6 – 18
Parte 6 – Sistemi a N gdl
APPENDICE A1 – Problema agli autovalori simmetrico.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6 – 19
Parte 6 – Sistemi a N gdl
APPENDICE A2 – Eccitazione in un nodo
Supponiamo che il secondo modo di vibrare di un sistema a 4 gdl abbia un nodo in corrispondenza della
coordinata 3 ed andiamo ad eccitare il sistema in tale nodo. E’ facile verificare che la risposta del sistema
non contiene la componente relativa al secondo modo di vibrare.
⎡
⎢
[Φ ] = ⎢
⎢
⎢
⎣
X
X
11
21
X
31
X
41
X
X
X
X
12
22
0
X
42
23
X
X
X
33
X
34
X
43
X
44
13
14
24
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧ 0 ⎫
⎪ 0 ⎪
⎪
⎪
{f}= ⎨
⎬
(
)
f
t
⎪ 3 ⎪
⎪⎩ 0 ⎪⎭
⎡ 0 + 0 + X 31 f 3 (t ) + 0⎤ ⎡ X 31 f 3 (t ) ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
0
0
0
0
0
+
+
+
⎥=⎢
⎥
[Φ ]T { f (t )} = ⎢
⎢0 + 0 + X 33 f 3 (t ) + 0⎥ ⎢ X 33 f 3 (t ) ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣0 + 0 + X 34 f 3 (t ) + 0⎦ ⎣ X 34 f 3 (t )⎦
⎧ Q1eiω1t ⎫
⎧ q1 ⎫
⎪
⎪
⎪0⎪
0
⎪ ⎪
⎪
⎪
{q} = ⎨ ⎬ = {Qeiωt } = ⎨ iω t ⎬
3
⎪q3 ⎪
⎪Q3e ⎪
⎪⎩q4 ⎪⎭
⎪⎩Q4 eiω 4t ⎪⎭
⎡ X11 X12
⎢X
X 22
{x} = [Φ]{q} = ⎢ 21
⎢ X 31 0
⎢
⎣ X 41 X 42
X13 X14 ⎤⎧q1(t) ⎫
X 23 X 24 ⎥⎪⎪ 0 ⎪⎪
⎥⎨
⎬
X 33 X 34 ⎥⎪q3 (t)⎪
⎥
X 43 X 44 ⎦⎪⎩q4 (t)⎪⎭
⎡ X11Q1eiω1t + 0 + X13Q3eiω3t + X14Q4eiω4t ⎤
⎢
iω3t
iω1t
iω4t ⎥
X
Q
e
0
X
Q
e
X
Q
e
+
+
+
23 3
24 4
⎥
{x} = [Φ]{q} = ⎢ 21 1 iω t
⎢ X Q e 1 + 0 + X Q eiω3t + X Q eiω4t ⎥
33 3
34 4
⎢ 31 1 iω t
⎥
iω3t
iω4t
1
⎢⎣ X41Q1e + 0 + X43Q3e + X44Q4e ⎥⎦
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6 – 20
Parte 7 – Sistemi continui
PARTE 7 – Sistemi continui
INTRODUZIONE
L’analisi di un sistema continuo (ossia a infiniti gradi di libertà) può essere vista come estrapolazione, per
N tendente a infinito, dell’analisi di sistemi discreti a N gdl: il problema è quello di realizzare
analiticamente questo passo formale in quanto, nel continuo, le equazioni saranno, a differenza del caso
dei discreti, alle derivate parziali, poiché le grandezze che definiscono il moto del sistema in questo caso
dipendono sia dal tempo t, sia dallo spazio.
Tutti i sistemi reali dovrebbero, in realtà, essere studiati come continui: la soluzione rigorosa si ha però
soltanto in casi particolarmente semplici: in strutture complesse la soluzione analitica, utilizzando le
equazioni proprie del continuo, non è ottenibile. In tali situazioni diventa perciò indispensabile ricondursi
a schemi discreti, mediante opportune metodologie: a parametri concentrati o a elementi finiti. Lo studio
che verrà condotto sul continuo assume perciò un aspetto principalmente didattico, propedeutico anche
alla descrizione dei metodi di discretizzazione; ci limiteremo inoltre a casi particolarmente semplici, per i
quali sia possibile una trattazione analitica in forma chiusa.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7–1
Parte 7 – Sistemi continui
VIBRAZIONI TRASVERSALI NELLE FUNI
Detta x l’ascissa corrente lungo la fune, si introducono alcune ipotesi semplificative:
* Si assume costante lungo la fune la tensione T, ottenuta precaricando assialmente la fune.
* Il moto della fune avviene in un piano qualunque contenente l’asse della fune: a tale scopo si deve
ritenere la fune dotata di simmetria rispetto al suo asse baricentrico
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7–2
Parte 7 – Sistemi continui
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7–3
Parte 7 – Sistemi continui
Osservazione
Dalla relazione
ωi =
iπ
l
T
ρ
si ricavano infiniti valori ωi, ognuno associato a un preciso valore assegnato al parametro intero i.
È interessante notare come, in questo caso, le ωi risultino tutte multiple di una frequenza fondamentale:
ω1 =
π
T
l
ρ
Sostanzialmente risultano definite per il sistema vibrante, schematizzato come continuo, infinite
pulsazioni proprie ωi, come estrapolazione delle N frequenze proprie dei sistemi discreti a N gdl, poiché il
sistema vibrante ha infiniti gd1. A ogni pulsazione propria ωi, corrisponde un modo proprio di vibrare
(ϕ ( x) )i definito dalla deformata spaziale assunta dal sistema in corrispondenza della generica ωi a esso
associata:
(ϕ ( x ) )i = (ϕ ( x ))ω =ω i
= sin γ i x = sin ω i
ρ
T
x = sin
iπ
l
T
ρ
ρ T
x = sin
2π
iπ
x = sin
x
λi
l
avendo definito con λi la lunghezza d’onda corrispondente al generico i-esimo modo di vibrare, intesa
come distanza fra punti omologhi in periodi spaziali successivi della deformata:
λi =
2l
i
La deformata del generico modo di vibrare è ora descritta da una funzione, nel caso analizzato di tipo
sinusoidale, e non da un numero finito di termini contenuti nell’autovettore come avevamo visto nei
discreti, in quanto stiamo trattando un sistema continuo ossia a infiniti gdl.
Consideriamo, a esempio, la deformata del primo modo:
(ϕ ( x ) )1 = sin π
l
x = sin
2π
λ1
x
Si osserva che essa ha un solo massimo (ventre o antinodo) in centro campata essendo la lunghezza
d’onda λ1 del primo modo: λ1 = 2l .
(ϕ ( x ) )i = sin iπ x = sin 2π x
Essendo per il generico modo i-esimo di vibrare:
λi
l
appare evidente come la deformata dell’i-esimo modo presenti “i” ventri o antinodi e “i + 1” nodi ossia
punti con spostamento nullo.
La precedente definizione di lunghezza d’onda λi può entrare nella scrittura della pulsazione propria del
sistema:
T iπ T 2π T
ωi = γ i
=
=
ρ
λi ρ
l ρ
Osserviamo che il valore della generica pulsazione, oltre a crescere con la tensione T e a decrescere con la
massa per unità di lunghezza della fune, risulta anche inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda
del modo associato.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7–4
Parte 7 – Sistemi continui
Studiando un sistema continuo qualunque si avranno, dunque, sempre infinite pulsazioni proprie e,
corrispondentemente, infiniti modi di vibrare. Nel sistema continuo è inoltre possibile descrivere la
generica deformata del moto a regime come combinazione lineare dei modi propri di vibrare.
Nella figura seguente si riportano, a titolo di esempio, le prime cinque frequenze proprie e relative
deformate di una fune tesata con i seguenti dati:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7–5
Parte 7 – Sistemi continui
VIBRAZIONI LONGITUDINALI NELLE TRAVI
Analizziamo le vibrazioni longitudinali nell’intorno della condizione di equilibrio statico in travi aventi
una dimensione, quella longitudinale, preponderante rispetto alle altre.
Ipotizzeremo che si tratti di travi omogenee, ossia a sezione trasversale S, rigidezza assiale ES e densità ρ
costanti.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7–6
Parte 7 – Sistemi continui
Esempio
La seguente tabella riporta le espressioni delle pulsazioni naturali e delle forme modali per alcune
condizioni di vincolo.
c=
E
ρ
U n ( x ) = (ϕ ( x ) )n
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7–7
Parte 7 – Sistemi continui
Condizione di ortogonalità delle forme modali
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7–8
Parte 7 – Sistemi continui
VIBRAZIONI TORSIONALI NELLE TRAVI
Analizziamo le vibrazioni torsionali in travi aventi una dimensione, quella longitudinale, preponderante
rispetto alle altre.
Ipotizzeremo che si tratti di travi omogenee, ossia a sezione trasversale, rigidezza torsionale G Ip e densità
ρ costanti. Si suppone inoltre che il centro di torsione coincida con il baricentro della trave in modo tale
che la torsione si possa considerare disaccoppiata dalla flessione.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7–9
Parte 7 – Sistemi continui
VIBRAZIONI FLESSIONALI NELLE TRAVI
Analizziamo le piccole oscillazioni trasversali nell’intorno della condizione di equilibrio statico in una
trave ipotizzando che si tratti di una trave omogenea, ossia a sezione trasversale S, rigidezza flessionale
EI e densità r costanti. Si supporrà inoltre l’assenza di carichi assiali e si analizzerà il moto solo in
direzione trasversale, coincidente con una direzione principale di inerzia della trave.
Indichiamo con v(x, t) lo spostamento trasversale, con
J(x, t) la rotazione, con M(x, t) il momento flettente,
con T(x, t) il taglio, con S(x) l’area della sezione
trasversale, con I(x) il momento di inerzia della sezione
resistente, con γ il fattore di taglio, con E il modulo di
Young, con G il modulo di elasticità tangenziale, con ρ
la densità del materiale.
T
M
M+
T+
L’equilibrio alla traslazione porta a:
¶T ( x, t ) ö
¶ 2v( x, t )
æ
dx ÷ - T ( x, t ) = rS ( x)dx
ç T ( x, t ) +
¶x
¶t 2
è
ø
Mentre l’equilibrio alla rotazione fornisce:
v( x, t )
¶M
dx
¶x
¶T
dx
¶x
dx
¶M ( x, t ) ö
¶T ( x, t ) ù
¶ 2J ( x, t )
æ
é
dx ÷ - M ( x, t ) + êT ( x, t ) +
dx ú dx = r I ( x)
dx
ç M ( x, t ) +
¶x
¶x
¶t 2
è
ø
ë
û
¶T ( x , t )
¶ 2v( x, t )
¶M ( x, t )
¶ 2J ( x, t )
(
,
)
(
)
= rS ( x )
;
+
T
x
t
=
r
I
x
¶x
¶t 2
¶x
¶t 2
T ( x, t )
¶ v ( x, t )
¶J ( x, t )
= J ( x, t ) dove: M ( x, t ) = EI ( x)
e
¶x
g SG
¶x
Semplificando:
Questa è la teoria di Timoshenko. Secondo, invece, la teoria di Eulero, si possono trascurare alcuni effetti;
in particolare:
T ( x, t )
¶ 2J ( x, t )
¶ v ( x, t )
=0
rI ( x )
=0
à
J ( x, t ) =
2
¶t
g SG
¶x
Le equazioni di equilibrio diventano allora:
¶T ( x , t )
¶ 2v( x, t )
¶M ( x, t )
= rS ( x )
;
+ T ( x, t ) = 0
2
¶x
¶t
¶x
¶ 2 v( x, t )
¶ 2 M ( x, t )
¶2 æ
¶ 2 v( x, t ) ö
ç
÷;
Sostituendo la seconda nella prima si ha quindi: rS ( x )
=
=
EI
(
x
)
¶t 2
¶x 2
¶x 2 çè
¶x 2 ÷ø
é
¶ 2 v( x, t ) ù
(
)
EI
x
ê
ú=0
¶x 2 û
ë
¶ 2 v( x, t )
¶ 4 v ( x, t )
+
=0
rS ( x )
EI
¶t 2
¶x 4
cioè: rS ( x )
¶ 2 v ( x, t ) ¶ 2
+ 2
¶t 2
¶x
che, nel caso in cui E I(x) = cost, diventa:
Poniamo ora: v( x, t ) = j ( x ) f (t ) ,
sostituendo:
rS ( x)j ( x)
d 2 f (t )
d 4j ( x )
+
EI
f
(
t
)
=0
dt 2
dx 4
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 10
Parte 7 – Sistemi continui
1 d 2 f (t )
EI 1 d 4j ( x )
=
= cost
rS j ( x ) dx 4
f (t ) dt 2
Ponendo: cost = w 2 , si ottengono le due equazioni ordinarie:
-
da cui:
d 4j ( x) rS 2
w j ( x) = 0
dx 4
EI
d 2 f (t )
+ w 2 f (t ) = 0
2
dt
i cui integrali sono:
f (t ) = A sin wt + B cos wt
j ( x) = C sin bx + D cos bx + E sinh bx + F cosh bx
con: b = 4
rS 2
w
EI
Le pulsazioni si determinano imponendo le condizioni al contorno.
Ad esempio, per la trave a mensola, incastrata in x=0 e libera all’estremo x=l, si ha:
j (0) = 0
dj
(l ) = 0
dx
d 2v
(l ) = 0
dx 2
d 3v
(l ) = 0
dx 3
v(0, t ) = 0
J (0, t ) = 0
M (l , t ) = 0
T (l , t ) = 0
à
ovvero:
D = -F
C = -E
E sin b l + F cos b l + E sinh b l + F cosh bl = 0
E cos b l - F sin b l + E cosh b l + F sinh bl = 0
à
D+F =0
C+E =0
- C sin b l - D cos bl + E sinh b l + F cosh b l = 0
- C cos b l + D sin b l + E cosh bl + F sinh bl = 0
Si hanno soluzioni non tutte nulle per C, D, E, F se il determinante dei coefficienti è nullo, cioè se
(ricordando che sinh 2 - cosh 2 = -1 ):
sin b l + sinh b l
cos b l + cosh b l
à
cos b l + cosh b l
= -2 - 2(cos b l × cosh b l ) = 0
- sin b l + sinh b l
cos b l × cosh b l = -1
Questa, una volta risolta, fornisce una infinità discreta di prodotti b l da cui si ricavano le infinite
pulsazioni w.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 11
Parte 7 – Sistemi continui
Esempio: Trave semplicemente appoggiata
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 12
Parte 7 – Sistemi continui
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 13
Parte 7 – Sistemi continui
La seguente tabella riporta i valori del prodotto βiL per le condizioni di vincolo più comuni.
Wn ( x ) = (ϕ ( x ) )n
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 14
Parte 7 – Sistemi continui
RIEPILOGO
Si riepilogano nel seguito le espressioni dell’energia cinetica T e potenziale V per i sistemi continui
studiati in precedenza.
Vibrazioni longitudinali
∂ 2u
∂ 2u
ρS 2 = ES 2
∂t
∂x
2
Rigidezza
L
 dϕ 
modale,
ES  i  dx
∫
0
K
Massa modale e
 dx 
ωi 2 =
= i
L
pulsazione
2
Mi
ρSϕ dx
Equazione del
moto
∫
i-esima
0
Vibrazioni flessionali
∂ 2v
∂ 4v
ρS 2 + EI 4 = 0
∂t
∂x
2
ωi =
2
0
∫
L
0
 d 2ϕ 
EI  2 i  dx
K
 dx 
= i
L
2
Mi
∫ ρSϕi dx
0
2
1 L  ∂ϑ 
T = ∫ Jo
 dx
2 0  ∂t 
1 L  ∂v 
T = ∫ ρS   dx
2 0
 ∂t 
2
1 L
 ∂ϑ 
V = ∫ GI p 
 dx
2 0
 ∂x 
1 L  ∂ 2v 
V = ∫ EI  2  dx
2 0  ∂x 
1 L  ∂u 
T = ∫ ρS   dx
2 0
 ∂t 
Energia cinetica
Energia
potenziale
i
Vibrazioni torsionali
∂ 2ϑ
∂ 2ϑ
J o 2 = GI p 2
∂t
∂x
2
L
 dϕ 
GI p  i  dx
∫
0
K
 dx 
ωi 2 =
= i
L
2
Mi
∫ J oϕ i dx
1 L  ∂u 
V = ∫ ES   dx
2 0
 ∂x 
2
2
2
2
METODI APPROSSIMATI
Metodo di Rayleigh
Procedimento:
- si formula una “ragionevole ipotesi” sulla deformata;
- si esprimono, sulla base di tale ipotesi, l’energia cinetica e quella potenziale (di deformazione);
- si scrivono le equazioni del moto (equazioni di Lagrange);
- si ricavano frequenza proprie e modi di vibrare.
N.B. La deformata assunta per ipotesi deve soddisfare le condizioni al contorno.
Esempio di applicazione del Metodo di Rayleigh: vibrazioni flessionali trave a mensola
  x  2  x 3 
Assumiamo come deformata ϕ ( x) = 3  −    ,
  l   l  
  x  2  x 3 
per cui risulta v( x, t ) = 3  −    p (t ) = ϕ ( x) p (t )
  l   l  
Sono soddisfatte le condizioni geometriche al contorno:
v(0, t ) = 0 ;
2
3
 dϕ ( x)    x   x  
 ∂v( x, t ) 
=
p
(
t
)
=
3
−
 ∂x 
 dt    l   l   p (t ) = 0
 0

0
0
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 15
Parte 7 – Sistemi continui
Essendo:
2
3
∂v( x, t )
dp(t )   x   x   dp(t )
= ϕ ( x)
= 3  −   
∂t
dt
  l   l   dt
∂ 2v( x, t ) d 2ϕ ( x)
 6 6x 
p(t ) =  2 − 3  p(t )
=
2
2
dx
l 
∂x
l
risulta:
2
1 l  ∂v 
1  dp (t ) 
T = ∫ ρS   dx = ρS 

0
2
2  dt 
 ∂t 
2
2
1  dp (t )  33
∫0 ϕ ( x) dx = 2 ρS  dt  35 l
l
2
2
2
2
l
12
1
1 l  ∂ 2v 
1
2  d ϕ ( x) 
 dx = EI p (t ) 2 3



V = ∫ EI  2  dx = EI p (t ) ∫ 
2
0
0
2
2
2
l
 dx 
 ∂x 
Se si scrive l’equazione del moto secondo Lagrange, si ha:
∂T
d  ∂T  ∂V
d  ∂T 
33
33
  +

 = ρSl &p&
= 0 dove:
= ρSl
p&
dt  ∂p&  ∂p
∂p&
dt  ∂p& 
35
35
33
420 EI
&p& +
p=0
35
33 ρSl 4
33
12
&p& + EI 3 p = 0
35
l
da cui:
ρSl
ed infine:
ω~ 2 =
420 EI
33 ρSl 4
Ricordando che il valore esatto è:
∂V
12
= EI 3 p
∂p
l
ω~ =
3.5675 EI
l2
ρS
ω=
3.5160
l2
EI
ρS
si ha un errore del 2%
In alternativa, la prima pulsazione naturale si può ricavare anche dal principio di conservazione
dell’energia meccanica:
TMAX = VMAX
dove :
2
TMAX =
1  dp (t ) 
33
1
33
ρS 
l = ρS l ω~ 2

2  dt  MAX 35
2
35
da cui si ha ancora:
ω~ 2 =
VMAX =
12 1
12
1
2
EI p (t ) MAX
= EI 3
3
2
l
l
2
420 EI
3.5675 EI
.
=
4
33 ρSl
l2
ρS
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 16
Parte 7 – Sistemi continui
Metodo di Rayleigh – Ritz
Se la ragionevole deformata che si assume è funzione di più di un parametro, il procedimento prende il
nome di metodo di Rayleigh-Ritz.
Esempio di applicazione del metodo di Rayleigh – Ritz: vibrazioni flessionali trave a mensola
2
v( x, t ) = ϕ1 (t ) p1 (t ) + ϕ 2 (t ) p2 (t )
Si assuma questa volta:
con:
3
 x
 x
v( x, t ) =   p1 (t ) +   p2 (t )
l
l
Essendo:
2
∂ 2 v ( x, t ) 2
6x
= 2 p1 (t ) + 3 p2 (t )
2
∂x
l
l
3
∂v( x, t )  x 
 x
=   p&1 (t ) +   p& 2 (t )
∂t
l
l
risulta:
2
1 l  ∂v 
1
1 2 1 2 1

T = ∫ ρS   dx = ρSl  p&1 + p& 2 + p&1 p& 2 
2 0  ∂t 
2
7
3
5

(
2
1 l  ∂ 2v 
1 EI
2
2
4 p1 + 12 p2 + 12 p1 p2
V = ∫ EI  2  dx =
3
2 0  ∂x 
2 l
)
Se si scrive l’equazione del moto secondo Lagrange, si ha:
d  ∂T  ∂V

+
=0
dt  ∂p& i  ∂pi
∂T
1 
1
= ρSl  p&1 + p& 2 
∂p& 1
6 
5
d  ∂T 
1
1

 = ρSl  &p&1 + &p&2 
dt  ∂p&1 
6 
5
∂V EI
(4 p1 + 6 p2 )
=
∂p1 l 3
∂T
1 
1
= ρSl  p& 2 + p& 1 
∂p& 2
6 
7
d  ∂T 
1
1

 = ρSl  &p&2 + &p&1 
dt  ∂p& 2 
6 
7
∂V EI
(12 p2 + 6 p1 )
=
∂p2 l 3
da cui:
1

ρSl  5
1

6
ω~1 =


ρSl  &p&1 + &p&2  +
1
5
1
6

EI
(4 p1 + 6 p2 ) = 0
l3
1
6 {&p&}+ EI 4 6 {p} = {0}
1
l 3 6 12

7
3.533 EI
l2
ρS
ω~2 =

ρSl  &p&1 +
1
6
1  EI
&p&2  +
(6 p1 + 12 p2 ) = 0
7  l3
ed infine:
34.81 EI
l2
ρS
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 17
Parte 7 – Sistemi continui
Ricordando che i valori esatti sono:
ω1 =
3.5160
l2
EI
ρS
ω2 =
22.0345 EI
l2
ρS
risultano rispettivamente degli errori pari a: 0.5% e 58%.
Volendo ora determinare i modi di vibrare approssimati, si devono prima determinare gli autovettori {P}
e poi sostituirli nell’espressione generale dei modi approssimati:
P1 

 P2 1
P1 

 P2 2
{ϕ1 ( x) ϕ 2 ( x)}
{ϕ1 ( x) ϕ 2 ( x)}
Gli autovettori {P} risultano:
 P1  − 0.8221

  =
 P2 2  1 

 P1   1

  =
 P2 1 − 0.3837
e l’espressione dei modi approssimati è:
2
3
2
3
 P1   x   x   P1   x 
 x
{ϕ1 ( x) ϕ 2 ( x)}  =       =   − 0.3837 
l
 P2 1  l   l   P2 1  l 
2
3
2
3
 P 

P 
{ϕ1 ( x) ϕ 2 ( x)} 1  =  x   x   1  =  x  (−0.8221) +  x 
l
 P2 21  l   l   P2 2  l 
La loro forma è riportata nelle seguenti figure:
1
1
Approx
Esatta
0.9
Approx
Esatta
0.8
0.8
0.6
0.7
0.4
0.6
0.2
0.5
0
0.4
-0.2
0.3
-0.4
0.2
-0.6
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-0.8
1
0
0.1
0.2
I modo approssimato
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1
0.9
II modo approssimato
Infine, l’equazione del moto approssimato è:
v ( x, t ) =
∑ϕ ( x) p (t ) = ϕ ( x) p (t ) + ϕ ( x) p (t ) = v ( x, t ) + v ( x, t )
i =1, 2
con:
i
i
1
1
2
2
v1 ( x, t ) = ϕ1 ( x) P11 sin ω1t + ϕ 2 ( x) P21 sin ω1t
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
1
2
v2 ( x, t ) = ϕ1 ( x) P12 sin ω 2t + ϕ 2 ( x) P22 sin ω 2t
7 – 18
Parte 7 – Sistemi continui
VIBRAZIONI FORZATE
Asta soggetta a vibrazioni longitudinali forzate
Equazione del moto:
∂ 2u ( x, t ) E ∂ 2u ( x, t )
=
∂t 2
ρ ∂x 2
L’integrale è: u ( x, t ) = ϕ ( x) f (t )
con:
⎛
ϕ ( x) = C sin ⎜⎜ Ω
⎝
ρ ⎞⎟
⎛
ρ ⎞⎟
x ⎟ + D cos⎜⎜ Ω
x⎟
E ⎠
E
⎝
⎠
Le condizioni al contorno:
f (t ) = A sin Ωt + B cos Ωt
u (0, t ) = ϕ (0) f (t ) = 0 ;
da cui risulta: ϕ (0) = D = 0 e
⎛ ∂u ⎞
⎛ dϕ ⎞
N (l , t ) = ES ⎜ ⎟ = ES f (t )⎜
⎟ = F sin Ωt
⎝ ∂x ⎠ x=l
⎝ dx ⎠ x=l
⎛
ρ
ρ ⎞⎟
⎛ dϕ ⎞
ES f (t )⎜
cos⎜⎜ Ω
l =
⎟ = ES ( A sin Ωt + B cos Ωt ) C Ω
E
E ⎟⎠
⎝ dx ⎠ x=l
⎝
⎛
ρ ⎞⎟
cos⎜⎜ Ω
l ⎟ = F sin Ωt
E
E
⎝
⎠
ρ
= ES (H sin Ωt + K cos Ωt ) Ω
⎛
cos⎜⎜ Ω
E
⎝
⎛
ρ
cos⎜⎜ Ω
ES H Ω
E
⎝
ES K Ω
Deve quindi essere:
Si vede che H → ∞ per
Ω
ρ
ρ
E
ρ ⎞⎟
→ K =0
ρ ⎞⎟
→ H=
l =0
E ⎟⎠
l =F
E ⎟⎠
l = (2i − 1)
π
2
i = 1,2,...
forzante coincide con una delle pulsazioni naturali del sistema:
H = A⋅C
con
K = B ⋅C
F
ES Ω
⎛
ρ ⎞⎟
cos⎜⎜ Ω
l
E
E ⎟⎠
⎝
ρ
cioè quando la pulsazione della
Ω = ωi = (2i − 1)
π
E
2l
ρ
⎛
ρ ⎞⎟
L’oscillazione alla generica ascissa x vale: u ( x, t ) = ϕ ( x) f (t ) = H sin ⎜⎜ Ω
x sin Ωt = U ( x) sin Ωt
E ⎟⎠
⎝
⎛
ρ ⎞⎟
F sin ⎜⎜ Ω
x
E ⎟⎠
⎝
con U (x) ampiezza dell’oscillazione: U ( x) =
⎛
ρ
ρ ⎞⎟
cos⎜⎜ Ω
ES Ω
l
E
E ⎟⎠
⎝
La seguente figura riporta l’andamento di
π⎞
⎛
sin ⎜ Ω * ⎟
| U (l ) | ES
2⎠
⎝
=
π
π⎞
Fl
⎛
Ω * cos⎜ Ω * ⎟
2
2⎠
⎝
Ω(2i − 1)
ρ 2
in funzione del rapporto Ω* =
=Ω
l
ωi
E π
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 19
Parte 7 – Sistemi continui
Vibrazioni flessionali forzate di una trave semplicemente appoggiata
(iπ ) 2
l2
i-esima pulsazione
ωi =
i-esimo modo
ϕi ( x) = sin
EI
ρS
iπ
x
l
v( x, t ) = ∑ vi ( x, t ) = ∑ ϕi ( x) f i (t )
Il moto vibratorio
i
i
Energia cinetica
L
1
⎛ ∂v ⎞
T = ∑ Ti = ∑ ∫ ρS ⎜ i ⎟ dx
0
2 i
⎝ ∂t ⎠
i
Energia potenziale
L
⎛ ∂ 2v ⎞
1
V = ∑ Vi = ∑ ∫ EI ⎜⎜ 2i ⎟⎟ dx
2 i 0 ⎝ ∂x ⎠
i
2
T=
1
ρ S l ∑ fi 2 (t )
4
i
V=
1
i 4π 4
EI 3
4
l
2
L
M i = ∫ ρS ϕ i ( x) 2 dx =
Massa Modale i-esima
0
∑f
2
i
(t )
i
1
ρSl
2
2
Ki = ∫
Rigidezza Modale i-esima
L
0
⎛ ∂ 2ϕi ( x) ⎞
i 4π 4 EI
⎟
=
dx
EI ⎜⎜
2
⎟
2l 3
⎝ ∂x ⎠
La k-esima equazione di Lagrange (ce ne sono infinite) è
Con
Qk = F sin Ωt ⋅
∂ v(l / 2, t )
=
∂ fk
Quindi
∂ v(l / 2, t )
∂f k
∂ ∑ vi (l / 2, t )
i
∂ fk
=
∂ ∑ ϕi (l / 2) f i (t )
i
Qk = F sin Ωt ⋅ sin
∂ fk
d ⎛ ∂T
⎜
dt ⎝ ∂fk
= ϕ k (l / 2) = sin
kπ ⎧⎪ 0
=⎨
k −1
2 ⎪ F sin Ωt ⋅ (−1) 2
⎩
⎞ ∂T ∂V
+
= Qk
⎟−
f
f
∂
∂
k
k
⎠
kπ
2
k pari
k dispari
Si ottengono infinite equazioni disaccoppiate.
L’equazione generica è
1
k 4π 4
1
⎪⎧0
k −1
ρ S l fk (t ) + EI 3 f k (t ) = ⎨
2
l
2
⎪⎩ F sin Ωt ⋅ (−1) 2
k = 2,4,6,...
k = 1,3,5,...
Introducendo le masse e le rigidezze modali risulta
⎧⎪0
k −1
M k fk (t ) + K k f k (t ) = ⎨
⎪⎩ F sin Ωt ⋅ (−1) 2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
k = 2,4,6,...
k = 1,3,5,...
7 – 20
Parte 7 – Sistemi continui
I modi pari non risultano eccitati. Al contrario, per quelli dispari, l’integrale particolare è:
F
k −1
k −1
3
2
−
2
(
1
)
l
Kk
2
−
Ω
=
(
1
)
sin
F sin Ωt
f k (t ) =
t
2
π 4 k 4 EI ⎛ Ω ⎞ 2
⎛Ω⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ωk ⎠
⎝ ωk ⎠
In conclusione, la risposta è:
k −1
3
(−1) 2
⎛ kπx ⎞
⎛ kπx ⎞ 2l
v( x, t ) = ∑ ϕ k ( x) f k (t ) = ∑ sin ⎜
F sin Ωt
⎟ f k (t ) = ∑ sin ⎜
⎟ 4 4
2
⎝ l ⎠
⎝ l ⎠ π k EI
k =1, 3, 5,...
k =1, 3, 5 ,...
k =1, 3, 5 ,...
⎛Ω⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ωk ⎠
Che si può scrivere anche come:
v( x, t ) = V ( x) sin Ωt
k −1
Con
2l 3
V ( x) = F 4
π EI
⎛ kπx ⎞ 1 (−1) 2
sin
∑ ⎜⎝ l ⎟⎠ k 4 ⎛ 2
k =1, 3, 5,...
Ω⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ωk ⎠
La seguente figura riporta, in scala logaritmica, l’andamento di
in funzione del rapporto Ω* =
ωk
Ω
=
(kπ ) 2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Ω
1 EI
l 2 ρS
V (l / 2) EI
Fl 3
7 – 21
Parte 7 – Sistemi continui
BIBLIOGRAFIA
* S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
* M. Lalanne, P. Berthier, J. Der Hagopian, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and Sons,
1983.
* W.T. Thomson, Vibration Theory and Applications, Prentice Hall, 1965.
* G. Diana, F. Cheli, Dinamica e Vibrazione dei Sistemi, vol. I, ed. Utet, Torino, 1993.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 22
Parte 7 – Sistemi continui
APPENDICE A1 – Condizioni al contorno ed iniziali per la corda tesa
Equazione del moto e sua soluzione
∂ 2 y ( x, t ) T ∂ 2 y ( x, t )
=
∂t 2
ρ ∂x 2
y ( x, t ) = ϕ ( x) f (t )
f (t ) = A sin ωt + B cos ωt
γ2 =
ϕ ( x) = C sin γx + D cos γx
Soluzione generale:
ρ
T
ω2 =
∞
∞
i =1
i =1
d 2 f (t )
+ ω 2 f (t ) = 0
dt 2
d 2ϕ ( x) ρ 2
+ ω ϕ ( x) = 0
dx 2
T
ω2
c2
y ( x, t ) = ∑ ϕi ( x) f i (t ) = ∑ (Ci sin γ i x + Di cos γ i x )( Ai sin ωi t + Bi cos ωi t )
(A1)
(A2)
(A3)
Condizioni al contorno
Caso 1: Estremi fissi
y (0, t ) = ϕ (0) f (t ) = 0
y (l , t ) = ϕ (l ) f (t ) = 0
Æ
Æ
ϕ (0) = 0
ϕ (l ) = 0
Caso 2: Estremo scorrevole ed estremo fisso
∂y (0, t )
=0
∂x
y (l , t ) = ϕ (l ) f (t ) = 0
T
Æ
Æ
dϕ (0)
=0
dx
ϕ (l ) = 0
Caso 3: Estremo fisso ed estremo collegato ad una molla
y (0, t ) = ϕ (0) f (t ) = 0
∂y (l , t )
T
− k y (l , t ) = 0
∂x
Æ
Æ
ϕ (0) = 0
dϕ (l )
T
∂x
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
− k ϕ (l ) = 0
7 – 23
Parte 7 – Sistemi continui
Condizioni iniziali con condizioni al contorno del Caso 1 (estremi fissi):
Imponendo le condizioni al contorno nella (A3) si ha:
∞
y (0, t ) = ∑ (Di )( Ai sin ωi t + Bi cos ωi t ) = 0
i =1
∞
Æ
iπ
l
∞
∞
iπ
⎛
y ( x, t ) = ∑ ϕi ( x) f i (t ) = ∑ ⎜ Ci sin
l
i =1
i =1 ⎝
y (l , t ) = ∑ (Ci sin γ i l )( Ai sin ωi t + Bi cos ωi t ) = 0
i =1
Quindi la (A3) diventa:
Di = 0
Æ
γi =
ωi = c
;
iπ
l
⎞
x ⎟( Ai sin ωi t + Bi cos ωi t )
⎠
∞
⎛ iπ ⎞ ⎡
⎛ iπ ⎞
⎛ iπ ⎞ ⎤
y ( x, t ) = ∑ sin ⎜ x ⎟ ⎢ Ei sin ⎜ ct ⎟ + Fi cos⎜ ct ⎟⎥
⎝ l ⎠⎣
⎝ l ⎠
⎝ l ⎠⎦
i =1
Fi = Ci Bi
dove: Ei = Ci Ai
ovvero:
(A4)
iπ
∂y ( x, t ) ∞
iπ
⎛ iπ ⎞ ⎡
⎛ iπ ⎞
⎛ iπ ⎞ ⎤
= ∑ sin ⎜ x ⎟ ⎢ Ei c cos⎜ ct ⎟ − Fi c sin ⎜ ct ⎟⎥
l
∂t
l
⎝ l ⎠⎣
⎝ l ⎠
⎝ l ⎠⎦
i =1
Inoltre si ha:
(i=1,2,...)
Imponiamo ora le condizioni iniziali:
∞
⎛ iπ ⎞
y ( x,0) = ∑ Fi sin ⎜ x ⎟
⎝ l ⎠
i =1
∞
iπ
⎛ ∂y ( x, t ) ⎞
⎛ iπ ⎞
⎜
⎟ = ∑ Ei c sin ⎜ x ⎟
l
⎝ ∂t ⎠t =0 i=1
⎝ l ⎠
(A5)
(A6)
(A7)
Ricordando ora che una arbitraria funzione g(x) della variabile indipendente x compresa nell’intervallo
[0, l] può essere sviluppata in serie di Fourier nel seno secondo la:
∞
g ( x) = ∑ Gi sin
i =1
iπ x
l
con
Gi =
2 l
iπ x
g ( x) sin
dx
∫
0
l
l
i coefficienti Fi e Ei che compaiono nelle (A6) e (A7) possono essere scritti come:
Fi =
2 l
⎛ iπ
y ( x,0) sin⎜
∫
l 0
⎝ l
⎞
x ⎟dx
⎠
Ei =
2
⎛ ∂y ( x, t ) ⎞
⎛ iπ
sin ⎜
⎟
0
∂t ⎠t =0 ⎝ l
l
⎜
iπ c ∫ ⎝
⎞
x ⎟dx
⎠
(A8)
Assumiamo ora che all’istante iniziale la velocità sia nulla.
Dalla (A7) risulta Ei = 0 e la (A4) diventa:
∞
⎛ iπ ⎞ ⎤
⎛ iπ ⎞ ⎡
y ( x, t ) = ∑ sin ⎜ x ⎟ ⎢ Fi cos⎜ ct ⎟⎥
⎝ l ⎠⎣
⎝ l ⎠⎦
i =1
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 24
Parte 7 – Sistemi continui
Esempio 1
Supponiamo di afferrare la fune in mezzeria (vedi deformata di figura) e di rilasciarla.
La deformata iniziale è esprimibile attraverso le:
⎧ 2hx
⎪
l
y ( x,0) = ⎨
2hx
⎪2 h −
l
⎩
Sostituendo la (A9) nella prima delle (A8) si ottiene:
2 l / 2 2h
2 l ⎛
2h ⎞ ⎛ iπ
⎛ iπ ⎞
Fi = ∫
x sin ⎜ x ⎟dx + ∫ ⎜ 2h −
x ⎟ sin ⎜
l 0 l
l l/2 ⎝
l ⎠ ⎝ l
⎝ l ⎠
⎧ ⎡ 2h l 2
⎪⎢ ⎛⎜ ⎞⎟ sin ⎛⎜ iπ x ⎞⎟ − 2h l x cos⎛⎜ iπ
⎝ l ⎠ l iπ
⎝ l
2 ⎪⎪⎣⎢ l ⎝ iπ ⎠
= ⎨
2
l⎪ ⎡
2hl
⎛ iπ ⎞ 2h ⎛ l ⎞
⎛ iπ
cos⎜ x ⎟ − ⎜ ⎟ sin ⎜
⎪+ ⎢ −
⎝ l ⎠ l ⎝ iπ ⎠
⎝ l
⎪⎩ ⎢⎣ iπ
2
2 ⎡ 4h ⎛ l ⎞
⎛ iπ ⎞⎤ ⎡ 8h
⎛ iπ
= ⎢ ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟⎥ = ⎢ 2 2 sin ⎜
l ⎢⎣ l ⎝ iπ ⎠
⎝ 2 ⎠⎥⎦ ⎣ i π
⎝ 2
(A9)
⎫
⎪
⎪⎪
=
l ⎬
⎞ 2h
⎛ iπ ⎞ ⎤ ⎪
x⎟ +
x cos⎜ x ⎟⎥ ⎪
⎠ iπ
⎝ l ⎠⎥⎦ l / 2 ⎪⎭
l/2
⎞⎤
x ⎟⎥ +
⎠⎦⎥ 0
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
8h
iπ
iπ ⎧⎪ 2 2 sin
Fi = 2 2 sin
= ⎨i π
2
2 ⎪
iπ
0
⎩
Per i dispari si può scrivere anche:
l/2 ≤ x ≤ l
⎞
x ⎟dx =
⎠
i = dispari
8h
In definitiva:
0 ≤ x ≤ l/2
Fi =
8h
iπ
2
2
(−1) ( i−1) / 2
i = pari
i = 1, 3, 5, ...
In conclusione, vengono eccitate solo le armoniche dispari.
⎛ iπ ⎞ ⎡
⎛ iπ ⎞ ⎤
y ( x, t ) = ∑ sin⎜ x ⎟ ⎢ Fi cos⎜ ct ⎟⎥ =
⎝ l ⎠⎣
⎝ l ⎠⎦
i =1
⎤
8h ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 1 ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ 1
⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞
x ⎟ cos⎜
ct ⎟ + sin⎜
x ⎟ cos⎜
ct ⎟ − ...⎥
= 2 ⎢sin⎜ x ⎟ cos⎜ ct ⎟ − sin ⎜
π ⎣ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ 9 ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ 25 ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ ⎦
∞
Per le prime armoniche (i = 1, 3, 5, ...) risulta:
La seguente figura rappresenta la deformata della fune ad un istante generico (linea grossa) ottenuta
considerando solo la prima (°), la terza (*) e la quinta (+) armonica.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
7 – 25
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
PARTE 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
LA CATENA DI MISURA
Le misure di vibrazioni possono essere effettuate con mezzi e fini diversi. Ad esempio:
• per vedere se un sistema meccanico rispetta le norme di sicurezza o di igiene del lavoro, se ne
rileva il livello di vibrazione;
• per dimensionare le sospensioni di una macchina, si esegue la misura delle azioni eccitatrici che
nascono nella macchina stessa;
• se si vuole trovare un adeguato modello matematico del sistema meccanico vibrante, si effettua la
misura della sua risposta ad una eccitazione nota.
La strumentazione per rilevare le vibrazioni comprende almeno un trasduttore, un amplificatore ed un
indicatore. La catena di misura più completa è costituita da:
• trasduttore
• pre-amplificatore
• condizionatore di segnale
• convertitore analogico - digitale
• analizzatore di segnale
• altri dispositivi (visualizzatore, stampante, plotter, …)
In pratica è spesso presente anche un registratore magnetico (ora sostituito spesso dalla memoria del
calcolatore), che può essere situato prima o dopo il condizionatore di segnale ed è sempre presente un
convertitore analogico–digitale.
Il trasduttore ha in uscita un segnale elettrico (in pratica una tensione) proporzionale alla grandezza
meccanica da rilevare. Spesso il trasduttore è un accelerometro, per cui in uscita si ha una tensione
proporzionale all’accelerazione.
L’amplificatore amplifica l’ampiezza del segnale proveniente dall’accelerometro, che è debolissimo.
Il segnale viene poi trattato dal condizionatore di segnale che compie alcune eventuali operazioni, come il
filtraggio, una ulteriore amplificazione, l’integrazione nel tempo, e così via. Il filtraggio si intende in
frequenza: il segnale in entrata ha un certo spettro di frequenza, il filtro permette il passaggio solo di certe
componenti. Un filtro passa–basso, ad esempio, permette il passaggio delle sole componenti a frequenza
più bassa: il risultato del filtraggio è allora il segnale iniziale, in cui sono state eliminate le componenti
alle frequenze più alte. L’integrazione permette il passaggio dall’accelerazione alla velocità e/o dalla
velocità allo spostamento.
Registratore
Trasduttore
Amplificatore
Plotter
Stampante
Condizionatore
di segnale
Convertitore
A/D
Analizzatore
...
Fig. 8.1 – Catena di misura
Il convertitore analogico digitale (A/D) è uno strumento a rigore non indispensabile, ma usualmente
presente perché permette di trattare il segnale con un calcolatore: il segnale proveniente dal trasduttore è
un segnale "analogico" continuo, il cui andamento è analogo a quello della grandezza misurata; il
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8–1
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
convertitore A/D rileva il valore istantaneo del segnale a intervalli regolari di tempo, trasformandolo in un
insieme discreto di numeri (segnale “digitale”). In questo modo in uscita si hanno dei numeri che possono
essere gestiti ed elaborati da un calcolatore.
L’analizzatore di segnale è infatti un computer, dotato di software adatto per elaborare il segnale.
Un altro strumento non indispensabile ma molto utile è il registratore magnetico, che permette di
conservare i dati sperimentali.
ANALISI IN FREQUENZA
Serie di Fourier
Come è noto, una funzione x(t) periodica di periodo T si può rappresentare mediante la serie di Fourier:
x(t ) = X 0 + X 1 cos(2π f1t + ϕ1 ) + X 2 cos(2π 2 f1t + ϕ 2 ) + ... + X 1 cos(2π nf1t + ϕ n ) ,
ovvero:
∞
x(t ) = X 0 + ∑ X n cos(2π nf1t + ϕ n )
n =1
dove:
f1
X0
Xn
ϕn
è la frequenza fondamentale (frequenza dell’armonica fondamentale, che ha ampiezza X1)
è il valore medio di x(t)
è l’ampiezza della n–esima armonica, di frequenza nf1
è la fase della n–esima armonica
Abbiamo riportato la notazione più usata, cioè quella solo in coseno ma, naturalmente, si può trovarla
anche solo in seno o in seno e coseno.
Se si ha una funzione periodica, effettuarne l’analisi di Fourier significa ricavare le ampiezze Xn e le fasi
ϕn. Si può pensare di compiere l’analisi di Fourier con un filtro che abbia la caratteristica di lasciar
passare solo le componenti comprese tra una certa frequenza f* e la f* più un certo incremento.
Ricordiamo che il filtro è un circuito elettronico (dato che il segnale è elettrico). In figura è rappresentato
un filtro ideale; in realtà è presente una certa dispersione.
Rapporto uscita/ingresso
f*
Frequenza
Fig. 8.2 – Filtro ideale
Trasformata di Fourier
Per una funzione x(t) non periodica, con la condizione che l’integrale da –∞ a +∞ del valore assoluto di
x(t) sia una quantità finita, al posto della serie si definisce la Trasformata di Fourier:
∞
X ( f ) = F{x (t )} = ∫ x (t ) e − i 2π f t dt
0
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8–2
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
La trasformata di Fourier è una funzione complessa, per cui si rappresenta con la parte reale e la parte
immaginaria:
X ( f ) = ℜ[ X ( f )] + i ℑ[ X ( f )]
X ( f ) = X ( f ) e iΦ ( f )
oppure mediante modulo e fase:
in cui:
X ( f ) = ℜ[ X ( f )]2 + ℑ[ X ( f )]2
tg[Φ ( f )] =
ℑ[ X ( f )]
ℜ[ X ( f )]
La X(f) si rappresenta graficamente mediante gli andamenti della parte reale e di quella immaginaria, o di
ampiezza e fase in funzione della frequenza.
In realtà, però, il segnale che si ha a disposizione non permette, a rigore, di calcolare la trasformata di
Fourier. Infatti ciò che si possiede è un segnale rilevato da un certo istante iniziale fino ad un tempo T*
finito.
Le conseguenze sono che:
T
•
•
X ( f ) = F{x (t )} = lim ∫ x (t ) e −i 2π f t dt
T →∞
può non esistere
0
se si elabora questo segnale calcolandone la trasformata di Fourier, è come se si considerasse il
segnale “prolungato” da –∞ a +∞ prima e dopo l’intervallo di acquisizione T*. Cioè, è come se il
segnale si ripetesse periodicamente, con periodo T*, per t da –∞ a +∞.
Si deve perciò calcolare in realtà:
X ( f , T *) = F{x (t )} =
T*
∫ x(t ) e
− i 2π f t
dt
0
chiamata Trasformata Finita di Fourier.
In questo modo la funzione che si considera non è più non periodica, ma “periodica” di periodo T*,
definita da –∞ a +∞.
Se si riportano le ampiezze in funzione delle frequenze, si ottiene uno spettro discontinuo, appunto per il
fatto che la funzione viene trattata come periodica di periodo T*.
Lo spettro ha una risoluzione (distanza tra due linee contigue):
∆f=1/T*
È importante sottolineare che la frequenza ∆f non è (in generale) una frequenza del segnale, ma dipende
solo dal tempo di acquisizione T*. Non è detto che tale frequenza, o qualcuno dei suoi multipli, siano
effettivamente presenti nel segnale.
Supponiamo, ad esempio, di avere una struttura che vibra: essa avrà una certa frequenza fI del primo
modo, fII del secondo modo e così via. Se si rileva il segnale mettendo il trasduttore sulla struttura, tali
frequenze saranno presenti nel segnale. Se si rileva il segnale per un tempo T*, nello spettro compaiono
componenti alle frequenze pari ad un multiplo intero della frequenza fondamentale ∆f=1/T*. Di regola
succederà che fI e fII non siano dei multipli di ∆f: nello spettro si trova allora solo un “addensamento”
attorno a tali valori.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8–3
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
In corrispondenza delle componenti fI e fII, che non si ritrovano perché hanno una frequenza che non
esiste sullo spettro discreto, compaiono allora delle componenti a frequenze vicine (vedi figura 8.3), la cui
energia totale coincide con quella delle componenti fI e fII.
Questo fenomeno è detto leakage (dispersione): poiché si rileva la funzione in un tempo T* finito, cioè
guardando il segnale attraverso una finestra rettangolare, le frequenze effettivamente presenti si
“disperdono” nelle frequenze prossime ad esse, ma sempre multiple di ∆f=1/T*.
600
500
X (f)
400
300
200
100
0
0
0 .5
1
1.5
F reque nza
2
2.5
3
Fig. 8.3 – Dispersione
Per diminuire la dispersione si utilizzano finestre di forma diversa; uno dei tipi più usati è la finestra
Hanning, che ha la proprietà di annullare il segnale all’inizio e alla fine dell’acquisizione, per cui si
elimina la discontinuità che altrimenti si avrebbe all’inizio del periodo. Utilizzando le finestre si
ottengono degli spettri più vicini alla realtà rispetto alla finestra rettangolare, che dà spettri più dispersi.
CAMPIONAMENTO
È possibile analizzare il segnale con un computer se è presente nella catena di misura un convertitore A/D
che lo trasformi in una serie di numeri. L’operazione viene chiamata campionamento: ad intervalli
regolari di tempo il convertitore legge il valore istantaneo del segnale.
2
1.5
1
x(t)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
2
4
6
8
10
Tem po
Fig. 8.4 – Campionamento
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8–4
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
All’uscita dal convertitore A/D non si ha più un segnale continuo ma un segnale discreto.
L’intervallo di tempo ∆tc tra due acquisizioni successive è detto intervallo di campionamento; il suo
inverso fc = 1/ ∆tc è detto frequenza di campionamento.
Il campionamento permette un’analisi del segnale veloce e sofisticata, ma occorre che la fc sia adeguata
per non alterare il segnale.
ALIASING
Supponiamo che il segnale sia sinusoidale: effettuandone il campionamento con una fc troppo bassa, il
segnale viene interpretato come un segnale a frequenza più bassa. Qualsiasi analisi successiva dà allora
risultati errati, perché è fatta su un segnale diverso da quello effettivo.
Questo fenomeno è detto aliasing (alterazione). Per evitare l’aliasing deve essere soddisfatto il Teorema
di Shannon o del campionamento, secondo il quale deve essere:
f c ≥ 2 f max
essendo fmax la più alta frequenza contenuta nel segnale.
Dato che non si conosce a priori il contenuto in frequenza del segnale da analizzare, affinché sia
soddisfatta tale condizione bisogna usare un filtro antialiasing (AA), che è un filtro passa-basso che lascia
passare solo le componenti con frequenza inferiore alla frequenza massima di interesse fmax. La frequenza
di campionamento dovrà essere non inferiore a 2 fmax. Solitamente si assume fc = 2.5 fmax.
T * = N ⋅ ∆t c = N
Valgono le seguenti relazioni:
1
1
=
f c ∆f
in cui:
∆f
fc
T*
∆tc
N
è la risoluzione dello spettro
è la frequenza di campionamento, che in pratica vale 2.5 volte la massima frequenza di interesse
è il tempo di acquisizione
è l’intervallo di campionamento
è il numero di campioni
In Appendice A1 è riportato un esempio di scelta dei parametri di acquisizione.
TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER
Ritornando all’analisi di Fourier, nel caso di un segnale campionato si parla di trasformata discreta di
Fourier (DFT), perché l’analisi viene effettuata su una funzione discreta (segnale campionato):
N −1
X ( k ∆f ) = ∆t c ∑ x n e
−i 2π k
n
N
n =0
dove:
xn
X(k ∆f)
N
k
è il generico valore n–esimo di x(t), cioè x(t) = x(n ∆tc)
rappresenta il termine k-esimo dello spettro di x(t)
è il numero di campioni, cioè il numero di valori di x(t) rilevati a intervalli regolari ∆tc
è l’ordine dell’armonica, che va da 0 a (N-1)/2.
Se il numero di campioni elaborati è una potenza di 2, il calcolo viene effettuato con algoritmi chiamati
FFT (Fast Fourier Transform), che velocizzano l’operazione (sono da 100 a 200 più veloci della
procedura normale) e consentono di avere la trasformata di Fourier in tempo reale.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8–5
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
INTRODUZIONE ALL’ANALISI MODALE SPERIMENTALE
L’analisi modale è un procedimento sperimentale per l’identificazione dei sistemi mediante la
determinazione di:
• FREQUENZE PROPRIE
• SMORZAMENTI
• MODI DI VIBRARE
L’analisi modale viene usualmente eseguita per mezzo della FUNZIONE RISPOSTA IN FREQUENZA.
L’analisi modale è impiegata soprattutto per
• VALIDARE MODELLI A PARAMETRI CONCENTRATI O AD ELEMENTI FINITI
• EFFETTUARE MODIFICHE STRUTTURALI
• ……………
Le ipotesi fondamentali alla base dell’analisi modale sono:
• SISTEMA LINEARE
• SISTEMA TEMPOINVARIANTE
• SISTEMA OSSERVABILE
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO E FUNZIONE RISPOSTA IN FREQUENZA
Consideriamo un sistema ideale ossia quel sistema che ha parametri costanti ed è lineare tra due punti di
interesse chiaramente definiti, detti ingresso o punto di eccitazione e uscita o punto di risposta.
Un sistema ha parametri costanti se tutte le proprietà fondamentali del sistema sono invarianti rispetto al
tempo. Un sistema si dice lineare se le caratteristiche della risposta sono additive ed omogenee. Il
termine additivo significa che l’uscita corrispondente alla somma di più ingressi è uguale alla somma
delle uscite prodotte da ciascun ingresso individualmente. Il termine omogeneo significa che l’uscita
prodotta da un ingresso moltiplicato per una costante è uguale alla costante per l’uscita prodotta dal solo
ingresso.
L’ipotesi relativa alla costanza dei parametri è ragionevolmente valida per molti sistemi fisici. L’ipotesi di
linearità per i sistemi reali è, in qualche modo, più critica. Tutti i sistemi fisici manifestano caratteristiche
di risposta non lineari in condizioni di eccitazione estreme. Ciononostante, per molti sistemi fisici è lecito
assumere l’ipotesi di linearità, almeno per campi di valori limitati dell’ingresso, senza commettere errori
significativi.
Un sistema può essere identificato con l’uscita che corrisponde ad una determinata entrata. Nel caso di
sistemi meccanici è più comune parlare di eccitazione e di risposta:
Ingresso
Sistema
Uscita
Eccitazione
f(t)
Risposta
Sistema
x(t)
Le caratteristiche di un sistema lineare a parametri costanti possono essere descritte dalla funzione
risposta all’impulso unitario h(τ), che viene definita come la risposta del sistema in dato istante t ad un
impulso unitario applicato all’istante t –τ . L’utilità della funzione risposta all’impulso unitario deriva dal
fatto che la risposta x(t) di un sistema ad un ingresso arbitrario f(t) è data dall’integrale di convoluzione:
x (t ) =
∞
∫ f (τ ) h(t − τ ) dτ
−∞
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8–6
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
Un sistema lineare a parametri costanti può anche essere caratterizzato dalla funzione di trasferimento
H(s) , che è definita come la trasformata di Laplace della h(τ ) :
∞
H ( s ) = ∫ h (τ )e − sτ dτ
s = σ + jω .
0
Le caratteristiche dinamiche del sistema possono essere descritte anche dalla funzione risposta in
frequenza H(ω) (FRF), che è definita come la trasformata di Fourier della h (τ ) :
∞
H (ω ) = ∫ h (τ )e − jωτ dτ
0
La funzione risposta in frequenza è semplicemente un caso particolare della funzione di trasferimento
dove, nell’esponente s = σ + jω si ha σ = 0.
Per sistemi fisici la funzione risposta in frequenza può sostituire la funzione di trasferimento senza alcuna
perdita di informazione.
Una importante proprietà della funzione risposta in frequenza dei sistemi lineari a parametri costanti può
essere evidenziata operando la trasformata di Fourier su entrambi i membri dell’integrale di
convoluzione:
X (ω ) = ∫
+∞
−∞
=∫
+∞
=∫
+∞
=∫
+∞
=∫
+∞
−∞
−∞
−∞
−∞
+∞
∞
−∞
−∞
x(t )e − jωt dt = ∫ ( ∫
f (τ ) h(t − τ )dτ )e− jωt dt =
+∞
f (τ ) ( ∫ h(t − τ )e − jωt dt ) dτ =
−∞
+∞
f (τ ) ( ∫ h(η )e − jω (τ +η ) dη ) dτ =
−∞
+∞
f (τ ) ( ∫ h(η )e − jωη dη ) e − jωτ dτ =
−∞
f (τ ) ( H (ω )) e − jωτ dτ =
= H (ω ) ∫
+∞
−∞
f (τ )e
− jωτ
dτ = H (ω ) F (ω )
dove X(ω) e F(ω) sono, rispettivamente, le trasformate di Fourier dell’uscita e dell’ingresso. Come si
vede, nel dominio delle frequenze l’integrale di convoluzione si riduce ad una semplice espressione
algebrica.
f(t)
x(t)
h(t)
F(ω)
H(ω)
X(ω)
La FRF di un sistema è dunque il rapporto fra le trasformate di Fourier (FT) della risposta e
dell’eccitazione:
H (ω ) =
X (ω )
F (ω )
In appendice A2 è riportato un esempio di funzione di trasferimento e di FRF per un sistema ad un gdl.
Nella pratica, per diminuire gli errori di misura, si impiegano degli stimatori della FRF effettuando la
media di più misure (vedi Appendice A3).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8–7
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
RILIEVO SPERIMENTALE DELLA FRF
Teoricamente, per rilevare la FRF Hlm di una struttura, occorre:
* eccitare la struttura nel punto l con una forza sinusoidale di ampiezza e frequenza nota;
* rilevare la vibrazione della struttura nel punto m;
* valutare il modulo Hlm della FRF come rapporto del modulo della risposta diviso quello della
forzante, e la fase ϕlm come differenza fra la fase della risposta e quella della forzante;
* ripetere l’operazione facendo variare ogni volta il valore della frequenza della forzante.
La risposta può essere costituita dallo spostamento, dalla velocità o dall’accelerazione rilevati nel punto
m.
In realtà, non occorre eseguire l’operazione per ogni singola frequenza. Basta eccitare nel punto l con una
eccitazione che abbia adeguato contenuto in frequenza in tutto il campo che interessa: rilevate
sperimentalmente l’eccitazione e la risposta, se ne calcolano le trasformate di Fourier e si calcola poi il
rapporto di tali trasformate, che è la FRF cercata.
INGRESSO
Forza
USCITA
Accelerazione
Velocità
Spostamento
Definizioni
FRF
Inertanza
Mobilità
Ricettanza
1/FRF
Massa apparente
Impedenza
Rigidezza dinamica
SISTEMI A N GRADI DI LIBERTÀ E SISTEMI CONTINUI
Sistemi a N gdl
Un sistema con N gradi di libertà si può studiare come se fosse costituito da N sistemi con un singolo gdl.
Ad ogni modo corrispondono:
* una pulsazione propria
* uno smorzamento modale
* una forma modale
Se in un punto del sistema con N gdl si applica una forzante sinusoidale f (t ) = F0 cos ωt , tutto il sistema
vibra con pulsazione ω; le ampiezze (e le fasi) delle risposte dipendono da ω; si hanno N condizioni di
risonanza.
La risposta del sistema viene descritta mediante funzioni risposta in frequenza (FRF):
H ij =
risposta in " i"
eccitazione in " j"
La FRF presenta N picchi di risonanza. La FRF del sistema è la “somma” delle FRF dei singoli modi
propri.
Sistemi continui
Un sistema continuo ha infiniti gradi di libertà e infiniti modi propri, cioè infinite pulsazioni proprie e
infinite forme modali.
Però, le pulsazioni proprie sono distinte e costituiscono pertanto una infinità discreta; inoltre al di sopra di
una certa frequenza, i modi di vibrare non hanno più senso fisico e, comunque, non vengono mai eccitati.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8–8
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
Quando ad un sistema continuo si applica una forzante armonica:
* il sistema vibra con la stessa pulsazione della forzante,
* tutti i punti si muovono in fase fra loro ma con un certo sfasamento rispetto alla forzante.
Se siamo interessati al comportamento del sistema fino ad una certa pulsazione ωm, è sufficiente che
teniamo conto solo dei modi propri - siano N - con pulsazione non superiore ad ωm.
Il moto libero generale è dato dalla somma dei primi N modi propri.
Anche la risposta del sistema ad una forzante di pulsazione inferiore ad ωm è dato dalla somma delle
risposte degli N sistemi ad un solo gdl, corrispondenti ai primi N modi propri.
Un sistema continuo può essere modellato con un sistema discreto, con un numero finito di gdl, ad
esempio:
* con un modello modale (MM),
* con un modello a parametri concentrati (PC),
* con un modello a elementi finiti (EF).
Il modello modale è costituito da tanti sistemi ad un solo gdl quanti sono i modi che si vogliono mettere in
conto. Il modello modale rappresenta bene il sistema per frequenze inferiori alla massima presente nel
modello, cioè a quella del modo più alto.
FONDAMENTI ANALITICI DELL’ANALISI MODALE
Per effettuare l’analisi modale, si sceglie sulla struttura in esame un certo numero di punti, tali da definire
adeguatamente la geometria della struttura e le sue forme modali.
Si eccita in un punto e si rilevano le risposte negli altri punti; oppure si rileva la risposta in un punto e si
eccita in corrispondenza degli altri punti.
L’eccitazione ed il rilievo vengono effettuati in un intervallo ωmin ÷ ωmax (di solito è ωmin ≈ 0): gli N modi
rilevati sono tutti e solo quelli interni a tale intervallo.
Siano nm i punti scelti sulla struttura e a questi si facciano corrispondere altrettanti gradi di libertà.
Scriviamo l’equazione del moto di un sistema a nm gdl:
[M]{x} + [K]{x} = { f (t )}
Eccitando nel punto corrispondente al grado di libertà k:
{ f (t )} = {0, 0, ..., Fk , 0...,0}T ⋅ e iωt
{x} = [Φ ]⋅ {q}
e introducendo le coordinate modali:
dove la matrice modale è in generale rettangolare, (nm ×N), si ottiene:
[M]⋅ [Φ ]⋅ {q}+ [K]⋅ [Φ ]⋅ {q} = { f (t )}
e premoltiplicando per [Φ]T:
[M]p {q}+ [K]p ⋅ {q} = [Φ]T ⋅ { f (t )}
Se si normalizzano gli autovettori rispetto alla matrice massa, la generica r-esima equazione è:
qr + ω r 2 ⋅ qr = X kr ⋅ Fk ⋅ e iωt
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8–9
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
qr = Qr × e iwt
Scritta la soluzione nella forma:
- w 2Qr e iwt + w r 2Qr e iwt = X kr × Fk × e iwt
si ha:
X kr × Fk iwt
×e .
w r2 - w 2
ed infine:
qr =
Si ottiene pertanto:
xl (t ) = å X lr qr = å
N
N
r =1
a lk (w ) =
Si può scrivere:
Qr =
da cui:
r =1
X lr × X kr × Fk iwt
×e
w r2 - w 2
od anche:
X kr × Fk
wr 2 -w 2
xl (t ) = X l (w ) e iwt
X l (w ) N X lr × X kr
=å 2
2
Fk
r =1 w r - w
che rappresenta il rapporto tra la vibrazione della coordinata l e la forza impressa alla coordinata k in
funzione della pulsazione.
Se il sistema è smorzato, l’equazione del moto assume la forma:
[M]{&x&} + [C]{x&} + [K]{x} = { f (t )}
Se lo smorzamento è proporzionale, tutto il procedimento svolto per il sistema non smorzato può venire
ripetuto; si perviene così alla seguente espressione:
N
xl (t ) = å
(
X lr × X kr × Fk
2
r =1 w r
)
- w + i × (2z r ww r )
2
E si può scrivere:
a lk (w ) =
xl (t ) = X l (w ) e iwt
.e iwt
X lr × X kr
X l (w ) N
=å 2
2
Fk
+ i × (2z rww r )
r =1 w r - w
(
)
ESTRAZIONE DELLE FORME MODALI: METODO DEL SISTEMA AD UN SOLO GDL (METODO SDOF)
L’espressione del generico alk(w) mostra che esso è funzione di w, e che per ogni valore di w è somma di
termini relativi a tutti gli N modi di vibrare del sistema. Mettendo in evidenza il contributo di un
particolare modo s-esimo, scriviamo l’espressione di alk nella forma:
a lk (w ) =
(
w s2
X ls × X ks
-w
2
N
X ×X
lr
kr
)+ i × (2z sww s ) r=1å(r ¹s ) (w r2 - w 2 )+ i × (2z rww r )
+
Nell’ipotesi (non sempre accettabile) che quando w = ws i contributi degli altri modi siano trascurabili
rispetto a quelli del modo s-esimo, possiamo scrivere:
a lk (w ) =
X ls × X ks
2iz sw s2
e successivamente X :
ks
Ponendo k = l, si ricava X :
ls
X ks =
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2z sw s2 × a lk (w )
X ls
X ls = w s 2z s × a ll (w s )
cioè le forme modali.
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Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
SCHEMA DEL PROCEDIMENTO
1. Si scelgono i vincoli della struttura: se possibile, si preferiscono di solito vincoli molto cedevoli, a cui
corrispondono moti di corpo rigido a frequenze molto basse, che non interferiscono con i modi di
vibrare della struttura.
2. Si scelgono i punti (e quindi i corrispondenti nm gradi di libertà) sulla struttura.
3. Si eccita in un punto (ad es. con uno shaker elettrodinamico) e si rilevano (ad es. con accelerometri)
le risposte negli altri punti; oppure si rileva la risposta in un punto (ad es. con un accelerometro) e si
eccita (ad es. con un martello strumentato) in corrispondenza di tutti gli altri punti.
4. L’eccitazione ed il rilievo vengono effettuati in un intervallo ωmin ÷ ωmax (di solito è ωmin ≈ 0): i modi
rilevati sono tutti e solo quelli interni a tale intervallo.
5. Si trovano così nm FRF.
6. Su ciascuna delle FRF così ottenute sono presenti N picchi, corrispondenti alle N pulsazioni proprie
comprese nell’intervallo ωmin ÷ ωmax considerato, salvo l’eventuale presenza di nodi: se un gdl l cade
in corrispondenza di un nodo del modo s, nella relativa FRF il picco in corrispondenza di ωs non
compare.
7. Si possono così ricavare, con la semplice osservazione dei picchi di risonanza (“peak picking”), le N
pulsazioni proprie del sistema nell’intervallo di interesse.
8. Nell’intorno di ogni pulsazione naturale ωs, trattando il sistema come se fosse ad un solo gdl, si ricava
il coefficiente di smorzamento ζs (per esempio con il metodo della banda di mezza potenza).
9. Con il metodo del sistema ad un solo grado di libertà (SDOF), si ricavano infine X
X ls = ω s 2ζ s ⋅ α ll (ω s )
X ks =
2ζ sω s2 ⋅ α lk (ω )
ls
eX :
ks
X ls
È opportuno mettere bene in evidenza che:
* il numero di modi che si prendono in considerazione dipende solo dal campo di frequenza;
* il numero e la posizione dei punti di rilievo vanno scelti in modo da rappresentare in modo accurato e
corretto le forme modali della struttura.
Esempio
La figura illustra sommariamente l’attrezzatura ed il procedimento: la mensola viene eccitata nel punto 1,
gli accelerometri A1, A2, A3 rilevano le risposte nei punti 1 , 2, 3 e l’analizzatore di segnale calcola le tre
FRF H11, H21, H31.
I picchi delle FRF individuano le frequenze proprie.
L’acutezza delle FRF in corrispondenza di ciascuna frequenza propria permette di valutare il corrispondente
smorzamento.
Le ampiezze e le fasi delle tre FRF in corrispondenza di ciascuna frequenza propria permettono di
determinare la corrispondente forma modale.
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Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
BIBLIOGRAFIA
* S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
* D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994.
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Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
APPENDICE A1 – Scelta dei Parametri di acquisizione
Individuata la frequenza di interesse (futile) si sceglie la FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO.
Per evitare il fenomeno dell’aliasing deve essere:
fcamp ≥ 2 futile
(teorema di Shannon)
Nella pratica: fcamp ≥ 2.5 futile
(per tener conto dell’imperfezione del filtro anti-aliasing)
∆f = 1/T*
T* = PERIODO DI ACQUISIZIONE
La RISOLUZIONE dello spettro è pari a:
∆f = distanza tra due linee spettrali
Se ∆f risulta “piccolo” si parla di elevata RISOLUZIONE dello spettro.
Scelte la frequenza di campionamento e la risoluzione, il NUMERO DI CAMPIONI risulta:
N = T* / ∆t
∆t = 1 / fcamp
∆t = TEMPO DI CAMPIONAMENTO
N = T* fcamp
Generalmente il numero N di campioni deve essere potenza di 2
(per poter usare l’algoritmo veloce FFT).
Esempio
Si vogliano rilevare le frequenze proprie di un sistema libero-libero nel range 0-3000 Hz.
Da uno studio preliminare (eseguito utilizzando, per esempio, il metodo degli elementi finiti) tali
frequenze risultano essere le seguenti:
f1 = 800 Hz
f2 = 1300 Hz f3 = 1500 Hz f4 = 2300 Hz f5 = 2315 Hz f6 = 2800 Hz
Fissiamo innanzitutto la frequenza di campionamento. Per evitare il fenomeno dell’aliasing deve essere:
fcamp ≥ 2.5 futile
futile = 3000 Hz
==>
fcamp ≥ 2.5 * 3000 = 7500 Hz
La distanza tra due linee spettrali adiacenti della Trasformata Finita di Fourier è pari a:
∆f = 1/T*
T* = periodo di acquisizione
Dal momento che la quarta e la quinta frequenza differiscono tra loro di 15 Hz, è necessario che la
risoluzione dello spettro sia piuttosto alta (∆f sufficientemente piccolo).
Imponiamo che sia:
∆f = 2 Hz
==>
T* = 1/∆f = 0.5 s
A questo punto calcoliamo il numero di campioni che sono contenuti in 0.5 secondi:
N = T* / ∆t
∆t = 1/fcamp
N = T* fcamp = 3750
Perché possa essere eseguita la FFT (Fast Fourier Transform) il numero N di campioni deve
necessariamente essere potenza di 2.
Scegliamo quindi il primo numero potenza di 2 superiore a 3750: N = 4096
A questo punto abbiamo due possibilità:
Manteniamo la risoluzione
Numero di campioni
Durata dell’acquisizione
Frequenza di campionamento
fcamp = N / T = 8192 Hz
Frequenza utile
futile = fcamp / 2.5 = 3276.8 Hz
∆f = 2 Hz
N = 4096
T* = 0.5 s
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Manteniamo la frequenza di campionamento
fcamp = 7500 Hz
Numero di campioni
N = 4096
Durata dell’acquisizione
T* = N / fcamp = 0.546 s
Risoluzione dello spettro
∆f = 1 / T* = 1.831 Hz
Frequenza utile
futile = fcamp / 2.5 = 3000 Hz
8 – 13
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
APPENDICE A2 – Funzione Risposta in Frequenza e Funzione di Trasferimento
Equazione del moto
mx + cx + kx = f (t )
Modello del sistema:
F(t)
Forzante armonica
mx + cx + kx = F0 cos ωt
m
x(t)
c
Risposta a regime
x = X 0 cos(ωt −ψ )
k
Introducendo la Trasformata di Laplace, l’equazione del moto delle vibrazioni forzate si scrive:
L{mx + cx + kx} = L{ f (t )}
(ms
2
o anche, posto:
X ( s ) = L{x(t )} e F ( s ) = L{ f (t )}
)
+ cs + k X ( s ) = F ( s ) + [ms x(0) + mx (0) + cx(0)]
ovvero, se le condizioni iniziali sono tutte nulle:
X ( s) = H ( s) F ( s)
1
H ( s) = 2
ms + cs + k
(ms
2
)
+ cs + k X ( s ) = F ( s )
Si scrive anche:
dove:
è la funzione di trasferimento del sistema.
Nella pratica, si impiega la Trasformata di Fourier, il che significa che in luogo della variabile s = σ + iω
si usa la variabile iω.
Pertanto in luogo della funzione di trasferimento si introduce la funzione risposta in frequenza (FRF):
1
H (iω ) =
=
2
− mω + icω + k
1
1−
k
ω
ω
+ i 2ζ
2
ωn
ωn
2
dove:
ωn =
k
m
ζ=
c
c
=
2 km 2mω n
La funzione risposta in frequenza può venire misurata sperimentalmente.
Trattandosi di una funzione complessa, si rappresenta con parte reale e parte immaginaria oppure con
modulo e fase.
⎛
ω ⎞
⎜ 2ζ
⎟
1
cω ⎞
ωn ⎟
⎛
⎜
k
H (iω ) =
= arctan⎜ −
H (iω ) = arctan⎜ −
2 ⎟
2
2
ω2 ⎟
−
k
m
ω
⎝
⎠
2
⎛
⎞
⎞
⎛
−
1
⎜⎜
⎟
⎜1 − ω 2 ⎟ + ⎜ 2ζ ω ⎟
ωn 2 ⎟⎠
⎝
⎜ ω ⎟ ⎜ ω ⎟
n ⎠
⎝
n ⎠
⎝
Valgono infine le seguenti:
X0
1
=
2
2
F0 k
⎛ ω2 ⎞ ⎛
⎞
ω
⎜1 −
⎟ + ⎜ 2ζ
⎟
⎜ ω 2⎟ ⎜ ω ⎟
n
⎝
⎠
n ⎠
⎝
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
ω
ωn
tgψ =
ω2
1− 2
ωn
2ζ
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Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
APPENDICE A3 – Stima sperimentale della FRF
AUTOCORRELAZIONE (AUTOCORRELATION)
L’autocorrelazione Rxx (τ) di una funzione x(t) indica quanto la funzione stessa è correlata con sé stessa.
La definizione è:
T /2
1
Rxx (τ ) = lim
x (t ) x(t + τ )dt
T →∞ T ∫
−T / 2
L’autocorrelazione di una funzione periodica è periodica. L’autocorrelazione di una funzione casuale
tende a zero per τ ≠ 0.
La trasformata di Fourier di Rxx(τ) è detta densità di potenza spettrale (PSD) o densità di autospettro
(ASD) e si indica di solito con Sxx(ω):
S xx (ω ) = F{Rxx (τ )}
La funzione Sxx(ω) è legata alla trasformata di Fourier di x(t) dalla relazione:
S xx (ω ) = X * (ω ) X (ω ) = X (ω )
dove il simbolo * indica il complesso coniugato.
2
La funzione Sxx(ω) è reale e contiene le informazioni sulle frequenze presenti in x(t), ma non quelle sulle
fasi.
1 N
Per diminuire gli errori di misura, si effettua la media di più misure:
S xx (ω ) = ∑ X k * (ω ) X k (ω )
N k =1
CORRELAZIONE INCROCIATA (CROSS-CORRELATION)
La correlazione incrociata Rxy (τ) di due funzioni x(t), y(t) indica quanto le due funzioni sono correlate fra
loro. La definizione è:
T /2
1
x(t ) y (t + τ )dt
T →∞ T ∫
−T / 2
Rxy (τ ) = lim
La trasformata di Fourier di Rxy(τ) è detta densità di spettro incrociato (CSD) e si indica di solito con
Sxy(ω):
S xy (ω ) = F{Rxy (τ )}
La funzione Sxx(ω) è legata alle trasformate di Fourier di x(t) e di y(t) dalla relazione:
S xy (ω ) = X * (ω )Y (ω )
La funzione Sxx(ω) è una funzione complessa e contiene informazioni sulle frequenze e sulle fasi; inoltre
risulta:
S xy (ω ) = S xy * (ω )
Per diminuire gli errori di misura, si effettua la media di più misure:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
S xy (ω ) =
1 N
∑ X k * (ω )Yk (ω )
N k =1
8 – 15
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
STIMA DELLA FRF
Se f(t) è l’eccitazione e x(t) è la risposta del sistema, la FRF si definisce come rapporto delle loro
trasformate di Fourier:
H (ω ) =
X (ω )
F (ω )
Per diminuire gli errori di misura, si impiegano degli stimatori della FRF effettuando la media di più
misure.
Stimatore H1:
H (ω ) =
F * (ω ) X (ω ) S fx (ω )
=
= H 1 (ω )
F * (ω ) F (ω ) S ff (ω )
Lo stimatore H1 riduce gli effetti dei disturbi all’uscita.
Stimatore H2:
H (ω ) =
X * (ω ) X (ω ) S xx (ω )
=
= H 2 (ω )
X * (ω ) F (ω ) S xf (ω )
Lo stimatore H2 riduce gli effetti dei disturbi all’ingresso.
In assenza di errori di misura, sarebbe H1(ω) = H2(ω) = H(ω).
Per giudicare l’attendibilità della misura si può usare la funzione coerenza γ2 che indica quanto la risposta
è coerente con l’eccitazione:
2
S fx (ω )
H (ω )
γ (ω ) = 1
=
;
H 2 (ω ) S ff (ω )S xx (ω )
2
risulta: 0 ≤ γ 2 ≤ 1 .
Se γ2 < 0.75, i risultati sono poco attendibili, cioè il rapporto segnale/rumore è basso.
Altre cause che danno luogo a bassi valori della coerenza sono le seguenti:
* sono presenti altre eccitazioni che però non vengono misurate
* il sistema presenta delle non linearità
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8 – 16
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
APPENDICE A4 – Prova sperimentale no.1
Si vogliono misurare le frequenze naturali di un tratto di tubo a sezione circolare.
Una prima indagine con il metodo degli elementi finiti ha portato al risultato sintetizzato nella tabella
seguente.
Modo
Modo
Frequenza
naturale [Hz]
1454
1813
4085
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8 – 17
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
Modo
Modo
Frequenza
naturale [Hz]
4630
7770
8370
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8 – 18
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
Autospettro della risposta ad una eccitazione impulsiva
Fcamp = 25600 Hz
N = 1024
70
60
50
40
dB
30
20
10
0
-10
-20
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Frequency [Hz]
7000
8000
9000
10000
2000
3000
4000
5000
6000
Frequency [Hz]
7000
8000
9000
10000
Fcamp = 25600 Hz
N = 8192
60
40
20
dB
0
-20
-40
-60
-80
0
1000
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8 – 19
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
Autospettro della risposta ad una eccitazione impulsiva
Fcamp = 5120 Hz
N = 1024
40
20
dB
0
-20
-40
-60
-80
1000
1100
1200
1300
1500 1600
1400
Frequency [Hz]
1700
1800
1900
2000
1100
1200
1300
1500 1600
1400
Frequency [Hz]
1700
1800
1900
2000
Fcamp = 5120 Hz
N = 8192
40
20
0
dB
-20
-40
-60
-80
-100
-120
1000
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8 – 20
Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
APPENDICE A5 – Prova sperimentale no.2
Misura delle frequenze naturali di una struttura “ad elle” in acciaio.
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600
Hz
1465
Hz
755
Hz
2070
Hz
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Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale
APPENDICE A6 – Prova sperimentale no.3
Prove con shaker elettrodinamico su lamina in alluminio.
I
V
IV
III
II
Dimensioni: Larghezza = 34 mm
Spessore = 1 mm
Lunghezza = 245 mm
Materiale: Alluminio Æ
E = 7.1e10 N/m2
ρ = 2770 kg/m3
Preventivamente, le frequenze possono essere calcolate con la teoria delle vibrazioni dei sistemi continui.
Dalla teoria delle vibrazioni flessionali di una trave, nel caso di condizioni al contorno “incastro-libero”,
risulta l’equazione:
cos β l + cosh β l + 1 = 0
dove: β i =
4
ρSωi 2
EI
(i=1,2,...)
Risolvendo l’equazione nel termine βl si determinano le pulsazioni naturali:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
βi l
ωi [rad/s]
1.875104069
4.694091133
7.854757438
10.99554073
14.13716839
17.27875953
20.42035225
23.56194490
85.61
536.50
1502.21
2943.74
4866.22
7269.28
10152.97
13517.26
fi [Hz]
13.63
85.39
239.08
468.51
774.48
1156.94
1615.89
2151.34
ωi =
EI ( β i l ) 2
ρS l 2
IV modo della trave a mensola
In alternativa, le si possono valutare tramite una semplice analisi FEM.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
8 – 22
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
PARTE 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
ASTA SOGGETTA A VIBRAZIONI ASSIALI
Primo modello
m/3
m/3
0
0 
m / 3
[M ] =  0
m/3
0 


 0
0
m / 6
m/6
 2k
[ K ] = − k

 0
−k
2k
−k
0
− k

k 
 6 −3 0 
k
[ A] = [ M ]−1[ K ] = − 3 6 − 3

m
 0 − 6 6 
Autovalori
Pulsazioni calcolate
Pulsazioni esatte
Errore %
k
m
1.553 E
L
ρ
k
m
4.243 E
L
ρ
k
m
5.796 E
L
ρ
1.571 E
L
ρ
4.712 E
L
ρ
7.854
L
−1.14
−9.97
0.80385
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6
11.196
E
ρ
−26.21
9–1
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Secondo modello
m/3
0
0 
m / 3
[M ] =  0
m/3
0 


 0
0
m / 3
m/3
m/3
 3k
[ K ] = − k

 0
−k
2k
−k
0
− k

k 
 9 −3 0 
k
[ A] = [ M ]−1[ K ] = − 3 6 − 3

m
 0 − 3 3 
Autovalori
Pulsazioni calcolate
Pulsazioni esatte
Errore %
k
m
1.553 E
L
ρ
k
m
4.243 E
L
ρ
k
m
5.796 E
L
ρ
1.571 E
L
ρ
4.712 E
L
ρ
7.854
L
−1.14
−9.97
0.80385
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6
11.196
E
ρ
−26.21
9–2
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Terzo modello
m/3
m/3
0
0 
m / 3
[M ] =  0
m/3
0 


 0
0
m / 3
m/3
 2k
[ K ] = − k

 0
−k
2k
−k
0
− k

k 
 6 −3 0 
k
[ A] = [ M ]−1[ K ] = − 3 6 − 3

m
 0 − 3 3 
Autovalori
Pulsazioni calcolate
Pulsazioni esatte
Errore %
k
m
1.335 E
L
ρ
k
m
3.741 E
L
ρ
k
m
5.406 E
L
ρ
1.571 E
L
ρ
4.712 E
L
ρ
7.854
L
−15.00
−20.61
0.5942
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4.665
9.741
E
ρ
−31.17
9–3
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Primo modello con N gdl
m/N
m/N
m/N
m/2N
k=
m
 N
 0
[ M ] =  ...

 ...

 0
0 
 2k

− k
... 


...  [ K ] =  0

0 ...
0 
 ...

 0
... 0 m
2 N 
0 ... ...
m
0 ...
N
0 ... 0
...
...
NES
L
−k
0
...
2k
−k
0
−k
...
−k
0
−k
2k
...
0
−k
0 
... 
0 

− k
k 
 2 − 1 0 ... 0 
− 1 2 − 1 0 ... 

Nk 
−1
 0 − 1 ... − 1 0 
[ A] = [ M ] [ K ] =
m 

...
0
1
2
1
−
−


 0 ... 0 − 2 1 
Pulsazioni
esatte
( 2i − 1)π
ωi =
2L
E
ρ
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
i
(2i − 1)π
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.5708
4.7124
7.8540
10.9956
14.1372
17.2788
20.4204
23.5619
26.7035
29.8451
Pulsazioni
modello
con N=10
*L
1.5692
4.6689
7.6537
10.4500
12.9890
15.2081
17.0528
18.4776
19.4474
19.9383
ρ
E
Errore
%
−0.10
−0.92
−2.55
−4.96
−8.12
−11.98
−16.49
−21.58
−27.17
−33.19
9–4
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
TRAVE SU DUE APPOGGI SOGGETTA A VIBRAZIONI TRASVERSALI
P
y(x)
x
b
a=L-b
L/4
L/4
L/4
m/4
L/4
m/4
m/4
E = 2.1 × 1011 N/m2
L = 12 m
Dati:
m = 226.4 kg
I = 7.2 × 10 -7 m4
per x ≤ a
l’equazione della linea elastica è:
y ( x) =
il generico termine della matrice cedevolezza [D] vale:
(
P bx 2
l − b2 − x2
6 EI l
δ ij = [ y ( x)]P =1 =
)
(
1 b j xi 2
l − b j 2 − xi 2
6 EI l
)
Risultati modello con 3 masse
D=
0.134 × 10–3
0.164 × 10–3
0.104 × 10–3
K = D–1 =
0.164 × 10–3
0.238 × 10–3
0.164 × 10–3
55200
–52800
21600
Pulsazioni calcolate [rad/s]
Pulsazioni esatte [rad/s]
Errore %
–52800
76800
–52800
6.134
6.136
−0.031
0.104 × 10–3
0.164 × 10–3
0.134 × 10–3
21600
–52800
55200
[m/N]
[N/m]
24.365
24.543
−0.726
51.732
55.221
−6.320
Risultati modello con 4 masse
Pulsazioni calcolate [rad/s]
Pulsazioni esatte [rad/s]
Errore %
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6.135
6.136
−0.012
24.482
24.543
−0.248
54.197
55.221
−1.856
89.246
98.172
−9.092
9–5
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
ESEMPIO DI MODELLAZIONE A PARAMETRI CONCENTRATI: AEREO
Per studiare le vibrazioni verticali di un aereo e delle sue ali si può utilizzare il modella a tre gdl di figura.
Le masse sono quelle della fusoliera e delle ali più i motori, le rigidezze sono quelle delle ali.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
9–6
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
MODELLO A DUE GDL DI UN AUTOVEICOLO
Per studiare i moti di saltellamento e di beccheggio di un autoveicolo si può utilizzare il modello a due
gdl di figura.
Dati:
Massa
Momento di inerzia
Distanza delle sospensioni dal baricentro
Costanti elastiche delle molle
Costanti degli ammortizzatori
m = 4000 kg
I = 2560 kg m2
l2 = 1.4 m
l1 = 0.9 m
k1 = k2 = 20000 N/m
c1 = c2 = 2000 Ns/m
c) Introduzione dei dati numerici
 0.9698 0.2439
[Φ ] = 

 − 0.2439 0.9698
e) Matrici principali (diagonali):
[M ] P = [Φ ]T [ I ][Φ ] = [ I ]
0 
9.2141
~
[ K ] P = [Φ ]T [ K ][Φ ] = 
22.4265
 0
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
0 
0.9214
~
[C ]P = [Φ]T [C ][Φ ] = 
2.2426
 0
9–7
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
f) Fattori di smorzamento modali e pulsazioni smorzate:
Risulta:
z1 = 0.152
z2 = 0.237
w s1 = 3.00 rad /s
Risposta ad un momento impulsivo
Si consideri come eccitazione un momento impulsivo:
q1 (t ) =
- 0.0048 M 0 -z 1w1t
e
sin(w s1 t )
m p1w s1
j) Coordinate fisiche:
zi =
c pi
2 m pi w i
w si = wi 1 - z i 2
w s2 = 4.60 rad/s
M (t ) = M 0 d ( t )
q2 (t ) =
0.0192 M 0 -z 2w 2t
e
sin(w s 2 t )
m p2 w s 2
ì x(t ) ü
ì q1 (t ) ü
-1
í
ý = M 2 [Φ]í
ý
îJ (t ) þ
îq 2 (t ) þ
Le due figure seguenti mostrano la risposta del sistema per M0=1.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
9–8
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Caso disaccoppiato
Si osservi ora la struttura delle matrici C e K:
é m 0ù
[M ] = ê
ú
ë0 Iû
é k +k
[K ] = ê 1 2
ë- k1l1 + k 2 l2
- k1l1 + k 2l 2 ù
k1l1 2 + k 2l 2 2 úû
é c +c
[C ] = ê 1 2
ë- c1l1 + c2l 2
- c1l1 + c2l2 ù
c1l1 2 + c2l2 2 úû
Si ha che se – k1 l1+ k2 l2=0, e, analogamente, – c1 l1+ c2 l2=0, le matrici K e C risultano diagonali.
In tal caso le equazioni del moto sono disaccoppiate nelle coordinate fisiche.
In pratica significa che se si applica, ad esempio, una coppia, non si ha traslazione lungo l’asse x e,
viceversa, se si applica una forza lungo x non si hanno rotazioni.
Poiché nei dati è k1=k2, e c1=c2, si ha che tale condizione è soddisfatta quando l1=l2:
l1=l2 = l
à
ék + k
[K ] = ê 1 2
ë 0
éc + c
[C ] = ê 1 2
ë 0
0
ù
2ú
k1l + k 2 l û
2
0
ù
2ú
c1l + c 2 l û
2
Se, ad esempio, si assume l1=l2 = 1.15 m, risulta (le seguenti matrici sono normalizzate dividendo i
termini sulla diagonale per gli elementi della diagonale di [M]):
é1 0ù
[M ]P = ê
ú
ë0 1 û
{ f (t )}P
0 ù
é10.000
[K ]P = ê
20.664úû
ë 0
0 ù
é1.000
[C ]P = ê
2.066úû
ë 0
0
ì 0 ü
ì
ü
=í
ý / diag [M ] = í
ý
îM 0d (t ) þ
îM 0 d (t ) / 2560þ
Pulsazioni naturali:
Fattori di smorzamento modali:
Pulsazioni del sistema smorzato:
w n1 = 3.1623 rad /s
z1 = 0.1581
w s1 = 3.1225 rad /s
w n2 = 4.5458 rad/s
z2 = 0.2273
w s2 = 4.4268 rad/s
Le due figure seguenti mostrano la risposta del sistema per M0=1.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
9–9
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
MODELLO A TRE GDL DI UNA PRESSA
Per studiare le vibrazioni di una pressa si considera il modello a tre gdl di figura.
Dati:
Masse
Rigidezze
m1 = 400 kg
k1 = 3 × 106 N/m
m2 = 2000 kg
k2 = 8 × 105 N/m
m3 = 8000 kg
k3 = 8 × 106 N/m
Costanti degli ammortizzatori: si adotta l’ipotesi di smorzamento proporzionale.
[C] = α [M] + β [K]
con α = 1, β = 0.004.
Matrici massa e rigidezza:
m1 0
[M ] =  0 m2
 0
0
0
0 
m3 
 k1
[ K ] = − k1
 0
Autovalori ed autovettori con il metodo della matrice simmetrica:
~
Dagli autovalori di K si ricavano le
pulsazioni naturali
17.036 rad/s
~
Autovettori di K (modi propri)
Matrici principali (diagonali):
Φ=
33.759 rad/s
− k1
k1 + k 2
− k2

− k 2 
k 2 + k 3 
0
−1
−1
~
K = M 2 *K *M 2
95.237 rad/s
0.4116
– 0.1021
0.9056
0.8848
– 0.1935
– 0.4239
0.2185
0.9758
0.0106
[M ] P = [Φ ]T [ I ][Φ ] = [ I ]
0
0 
290.2
~
[ K ] P = [Φ ]T [ K ][Φ ] =  0
1139.7
0 
 0
0
9070.1
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
0
0 
 2.161
~
[C ] P = [Φ ]T [C ][Φ ] =  0
5.559
0 
 0
0
37.280
9 – 10
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
I fattori di smorzamento modali e pulsazioni smorzate risultano:
ζ1 = 0.0634
ω s1 = 17.00 rad /s
ζ2 = 0.0823
ω s2 = 33.64 rad/s
ζ3 = 0.1957
ω s3 = 93.40 rad/s
Si consideri come eccitazione una forza impulsiva: F (t ) = 1000 δ (t )
La forzante modale vale:
[Φ ] [ M ]
T
−1
2
1000δ (t ) − 20.5805

 

0

 =  − 5.1026 δ (t )

  45.2814 
0

 

q!!1 + 2.161 q!1 + 290 .2 q1 = −20.5805 δ (t )
q!!2 + 5.559 q! 2 + 1139 .7 q 2 = −5.1026 δ (t )
q!!3 + 37.280 q! 3 + 9070.1 q3 = 45.2814 δ (t )
Le equazioni del moto sono:
q1 (t ) = −1.2105 e −1.0804 t sin(17.00 t )
Gli integrali:
q2 (t ) = −0.1517 e −2.7793 t sin(33.64 t )
q3 (t ) = +0.4848 e −18.6402 t sin(93.40 t )
 x1 (t ) 
 q1 (t ) 
−1




2
 x 2 (t ) = [ M ] [Φ ]q 2 (t )
 x (t ) 
q (t )
 3 
 3 
Le coordinate fisiche:
La figura mostra il grafico del moto della massa m1 ed del moto relativo tra le masse m1 ed m2,
rispettivamente.
Coordinata X1 [mm]
Coordinata X1-X2 [mm]
30
25
20
20
15
10
10
5
0
0
-10
-5
-20
0
1
2
3
4
Time [s]
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5
-10
0
1
2
3
4
5
Time [s]
9 – 11
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
MODELLAZIONE A PARAMETRI CONCENTRATI DI MECCANISMI
" Perché studiare il comportamento
dinamico di un meccanismo ?
# Un meccanismo, in linea teorica, deve seguire
una determinata legge di moto.
# Nella realtà esiste uno scostamento tra il moto
effettivo e la legge di moto teorica del cedente.
# Il meccanismo vibra con oscillazioni che si
sovrappongono al moto di corpo rigido.
# Possono aversi picchi di accelerazione
indesiderati ai quali sono associate elevate forze
di inerzia e fenomeni dinamici che:
$ producono elevate sollecitazioni e possibili
guasti
$ peggiorano la qualità del prodotto
$ producono vibrazioni e rumore
Modellazione a Parametri Concentrati
FLYWHEEL
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
2
3
" Esempio
CAM MECHANISM
CAMSHAFT
AXIS
3
Accelerazione teorica
CAM FOLLOWER
AXIS
The ore tica l
4
1
5
0
ROCKER
AXIS
0.05
0.1
Time [s ]
Ra
ROCKER
MOTOR
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
tangential
accelerometer
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4
9 – 12
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Experime nta l - 160 rpm
0
0.1
0.2
Time [s ]
Rilievi sperimentali a diverse
velocità di funzionamento
0.3
Accelerazione
teorica
Expe rime nta l - 240 rpm
The ore tical
Experime ntal - 320 rpm
0
0.05
0.1 0.15
Time [s ]
0.2
Expe rime nta l - 400 rpm
0
0.05
0.1
Time [s ]
0
0.05
0.1
Time [s ]
0.15
0
Modellazione a Parametri Concentrati
0.05
0.1
Time [s ]
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
5
" Osservazioni
# I fenomeni dinamici risultano più intensi con l’aumentare
della velocità della macchina e possono risultare inaccettabili
per macchine di elevate prestazioni (velocità, precisione).
# Occorre individuare le cause che danno origine agli effetti
dinamici indesiderati, al fine di ridurli entro limiti accettabili per
le specifiche funzionali della macchina.
# A questo scopo, è particolarmente utile l'impiego di modelli atti
a simulare adeguatamente l'effettivo comportamento dinamico
dei meccanismi; infatti risulta possibile:
$ individuare i parametri costruttivi critici per il
comportamento dinamico
$ verificare gli effetti della modifica di tali parametri a livello
di simulazione
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6
9 – 13
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Il 'dilemma' della modellazione
# Cosa includere nel modello fisico per renderlo sufficientemente
preciso ?
# Come mantenerlo semplice per rendere possibile e
ragionevolmente rapida la soluzione del corrispondente modello
matematico con gli strumenti di calcolo a disposizione ?
Quale è il “MIGLIOR MODELLO” ?
Il miglior modello è sempre il più semplice modello che
risponde agli scopi e ai criteri che lo studio si propone.
Il passaggio dal sistema reale al modello fisico comporta
necessariamente delle approssimazioni consapevolmente
accettate, che consistono principalmente nel trascurare tutto
quanto provoca effetti piccoli sul comportamento del sistema.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10
" Modellare i meccanismi
# Il modello fisico per lo studio del comportamento vibratorio di un
meccanismo è necessariamente più complesso di quello
impiegato per l'analisi cinematica o per l'analisi dinamica di
corpo rigido, nelle quali si fanno le seguenti approssimazioni:
$ membri perfettamente rigidi
$ assenza di gioco nelle coppie cinematiche
# I meccanismi sono
composti da
membri elastici
che si deformano
sotto l'azione delle
forze trasmesse e
delle forze di
inerzia.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11
9 – 14
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Modellare i meccanismi
# Trascurare tale deformabilità
(cedevolezza) elastica è possibile
solo se
$ le forze trasmesse sono piccole
$ velocità ed accelerazioni sono
ridotte.
# Un meccanismo progettato
“cinematicamente” può non essere in
grado di svolgere correttamente la
propria funzione se fatto operare ad
alte velocità.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
12
" Modellare i meccanismi
# Per macchine automatiche di elevate prestazioni, l'attenzione va
rivolta all'analisi CINETO-ELASTO-DINAMICA dei meccanismi,
che permette di simulare adeguatamente l'effettivo
comportamento dinamico e vibratorio.
# In tale analisi si tiene sempre conto di:
$ cedevolezza elastica dei membri
$ proprietà inerziali dei membri
# Diverse indagini hanno inoltre mostrato che il comportamento
vibratorio è influenzato in modo determinante da:
$ giochi nelle coppie cinematiche
$ attriti
$ variabilità dei parametri con la configurazione del
meccanismo
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
14
9 – 15
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Cedevolezza elastica e
proprietà inerziali
# Sono messe in conto correttamente se il
modello è in grado di riprodurre i primi modi
di vibrare di ciascuno membro (spesso è
sufficiente tenere conto del primo modo), le cui
frequenze proprie cadono nel campo di
frequenza di effettivo interesse.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
15
" Giochi
# Durante il moto possono aversi perdite di contatto tra due
membri:
$ il sistema si modifica (non linearità !)
$ si hanno urti che eccitano vibrazioni
# I giochi sono destinati ad aumentare per usura:
$ occorre tenerne conto per prevedere l'evoluzione
temporale del comportamento del meccanismo in
conseguenza dell'usura.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
16
9 – 16
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Attriti
# Non possono essere trascurati (determinano lo smorzamento
delle vibrazioni libere e influenzano l'ampiezza delle vibrazioni
forzate).
# Le resistenze passive :
$ smorzamento strutturale
$ resistenza di fluidi
$ attriti nelle coppie cinematiche
$ ....................
possono essere spesso modellate in maniera 'globale' con
resistenze viscose equivalenti.
# A volte è necessario modellare alcune azioni dissipative in
maniera specifica, in particolare nel caso di attrito secco (di
tipo Coulombiano): ciò introduce non linearità.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
17
" Variabilità dei parametri
# Spesso è necessario considerare i valori numerici di alcuni
parametri del modello come variabili (non linearità).
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
18
9 – 17
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Metodologie di modellazione
Realtà fisica
Modello a
Parametri
Concentrati
Modello a Elementi Finiti
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
19
" Il Modello a Parametri Concentrati
# E’ caratterizzato dai soli g.d.l. essenziali (generalmente non più di
3 g.d.l. per membro)
# Ha un significato fisico chiaro ed intuitivo dei g.d.l.
# E’ facile modellare le non linearità
# E’ facile includere nel modello le caratteristiche di componenti
elettromeccanici e gli algoritmi di controllo, ottenendo un modello
dinamico omogeneo
# E’ una metodologia 'classica' e molto impiegata per l'analisi
cinetoelastodinamica di meccanismi a camma e di meccanismi
per macchine automatiche
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
21
9 – 18
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Gradi di libertà ed elementi inerziali
# Ad ogni elemento inerziale (massa o momento di inerzia) è
associata un coordinata (spostamento lineare od angolare),
che corrisponde ad uno dei g.d.l. del modello.
# Il numero di elementi inerziali necessari per modellare un
membro cresce con il numero di modi di vibrare del
membro stesso che si vogliono mettere in conto.
3 Ma s s e ; Modo # 1
2 Ma ss e; Modo # 1
3 Mass e; Mod o # 2
1 Ma sse ; Modo # 1
2 Ma ss e; Modo # 2
3 Mas se; Modo # 3
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
22
" Gradi di libertà ed elementi inerziali
# Di solito si considera il primo modo di
vibrare di ciascun membro, al più anche il
secondo.
# Teoricamente i risultati possono essere
migliorati aggiungendo ulteriori gradi di
libertà.
# Per i campi di frequenze solitamente
considerati, si ottiene generalmente una
adeguata modellazione di un meccanismo
con l'impiego di un numero relativamente
basso di g.d.l.
# Tra due masse sono
sempre interposti:
$ Rigidezze
$ Elementi
dissipativi
(smorzamenti)
$ Giochi
(eventualmente)
# Gli elementi inerziali devono possedere la
stessa energia cinetica del sistema reale,
sia per il moto rigido, che per i moti vibratori
ad esso sovrapposti.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
23
9 – 19
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Esempio
# Modello a 2 g.d.l.: coordinate θ1, Y2
J1
Y2
θ1
M2
• 2
1 •2 1
J 1 Θ1 = M 1 X1
2
2
•
•
X1
Θ1 =
R
# Modello a 2 g.d.l.: coordinate X1, Y2
M1
Y2
M1 =
X1
M2
Modellazione a Parametri Concentrati
J1
R2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
" Esempio
24
z
l
•
•
•
•
z
θ ( z ) = θ 1 + (θ 2 − θ 1 )
l
θ ( z ) = θ1 + (θ2 − θ1 )
# Le inerzie distribuite sono
concentrate negli elementi
inerziali
l
J
Ja
θ1
θ2
∫
1 Ja • 2 • • • 2
1 Ja • 2
=
(θ 1 + θ 1 θ 2 + θ 2 ) =
θ2
2 3
2 3
q
K
θ1
1 Ja • 2
E=
θ ( z ) dz =
20 l
1
θ2
Ja
q
2
z
J+Ja/3
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
25
9 – 20
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Come valutare i parametri inerziali
# Elementi associati a coordinate lineari
---> masse
# Elementi associati a coordinate angolari ---> momenti di inerzia
$ forma semplice
$ forma complessa (modellatore solido)
h
D
z
Jz =
ρπD 4 h
32
MD 2
=
8
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
26
" Rigidezze
# Le rigidezze modellano la deformabilità elastica dei membri,
che fa sì che lo spostamento relativo tra le coordinate sia
diverso da quello cinematico.
# Una rigidezza interposta tra due masse (momenti di inerzia) si
valuta come la forza (coppia) necessaria a produrre lo
spostamento (rotazione) relativo unitario tra le coordinate delle
due masse (momenti di inerzia).
# La cedevolezza è l'inverso della rigidezza (1/K).
# Un membro può considerarsi perfettamente rigido, se si può
ritenere che la sua deformazione influenzi poco i modi di vibrare
del meccanismo assemblato: in tal caso se ne ripartisce la
massa fra i membri adiacenti.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
27
9 – 21
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Rigidezze
# Forma semplice
# Forma complessa (FEM)
l
1
1
1
1
K
K
1
l
=
K GI p
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
28
" Rigidezze
# Si tenga presente che:
# Le rigidezze ottenute dal calcolo sono spesso superiori alle
rigidezze effettive. In letteratura si afferma che può esistere un
rapporto 2-4 tra le rigidezze stimate e quello effettive.
# Ciò è dovuto alla presenza di:
$ coppie cinematiche
$ cedevolezze locali (cedevolezze di contatto)
$ distribuzione delle tensioni in prossimità dei carichi di cui è
difficile tenere conto con accuratezza.
# Le rigidezze del sistema si possono valutare in maniera
accurata solo mediante prove sperimentali (su prototipi o
meccanismi già esistenti).
# E' necessario operare una validazione sperimentale del
modello.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
29
9 – 22
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Attriti e fenomeni dissipativi
# Le resistenze passive possono essere modellate in vari modi:
$ smorzatori viscosi
$ smorzatori non-lineari
$ attrito coulombiano
# Generalmente il primo e l’ultimo utilizzati in combinazione danno
buoni risultati.
# Il punto chiave è la stima dell’entità dello smorzamento:
# In letteratura si afferma che non esistono regole chiare per
quantificarne il valore.
# Anche su questo punto è necessario operare una validazione
sperimentale del modello.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
34
C
" Smorzatore Viscoso
# La forza è proporzionale alla velocità.
FV = − C( X! 2 − X! 1 )
X1
X2
# Per un modello a più gradi di libertà è comune adottare l’ipotesi di
smorzamento proporzionale: si considera la costante dello
smorzamento proporzionale alla rigidezza corrispondente.
Ci
Ki
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
C
i
= q K
i
# Il coefficiente qi può essere
determinato mediante il confronto
con i dati sperimentali nel corso
della validazione.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
35
9 – 23
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Attrito Coulombiano
T
V
T
V
N
-T
T = f N
F = − sign(V ) T
# Esempi:
$ Attrito tra slitte e guide
$ Attrito tra organi in moto e tenute
# A volte si dispone di dati di catalogo
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
" Giochi
X0
36
X1
K
FEL
M
C
-g/2
g/2
X1-X0
g
FEL = − K ( X1 − X0 − g / 2)
X1 − X0 > g / 2
FEL = − K ( X1 − X0 + g / 2 )
X1 − X0 < − g / 2
FEL = 0
X1 − X0 ≤ g / 2
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
37
9 – 24
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Contatto Hertziano
FE L
D1
~
= − K ( X1 − X 0 ∓ g / 2 )
Fc
X0
1
b ⋅ E'
⋅
2 2 ⋅ ln D − ν '
a
b
a
1
1
1
=
+
~
KH
K
K
KH =
a
Fc
D2
X1
K
M
KH
C
g
a=
4 ⋅ Fc ⋅ D
b ⋅ E'
;
1
1
1
=
+
D D1 D2
Modellazione a Parametri Concentrati
; E' =
π ⋅E
1−ν2
; ν' =
ν
1-ν
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
38
" Schiacciamento del Lubrificante
FV = − C ( X! 1 − X! 0 )
X1 − X 0 > g / 2
FV = − Csq ( X! 1 − X! 0 )
X1 − X0 ≤ g / 2
Csq = 12 ⋅ π ⋅ µ ⋅ b ⋅ [ D / ( 4 ⋅ h )]
3/ 2
X0
X1
K
M
KH
1
1
1
=
+
D D1 D 2
C
µ = viscosità dinamica
del lubrificante
h = altezza del meato
g
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
39
9 – 25
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Integrazione delle equazioni:
impiego di SIMULINK
X0
X1
K
M
C
g
M X!! 1 = − K ( X 1 − X 0 ) − C ( X! 1 − X! 0 )
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
40
" SIMULINK: esempio modello 1 gdl
X0
X1
K
0 Constant
M
X0
k_c_1
C
m_1
Legge di moto
Scope
g
M X!! 1 = − K ( X 1 − X 0 ) − C ( X! 1 − X! 0 )
Clock
f(u)
Fcn
6*rpm
Mux
Look-Up
Table
Mux
1
out_1
Gain
du/dt
Derivative
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
41
9 – 26
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" SIMULINK: esempio modello 2 gdl
X0
X1
K1
M1
C1
X2
K2
M2
C2
g
X0
k_c_1
k_c_2
m_1
Legge di moto
0
Constant
Scope
m_2
M1 X!!1 = − K1 ( X1 − X 0 ) − C1 ( X! 1 − X! 0 ) + K 2 ( X 2 − X1 ) + C2 ( X! 2 − X! 1 )
M 2 X!!2 = − K 2 ( X 2 − X1 ) − C2 ( X! 2 − X!1 )
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
42
" Blocco “massa”
1
Fev_2
+
2
Fev_1
-
*
1/s
1/s
Prod
Integ
Integ_1
Sum
1/2 1/M1
Mux
1
Mux
X1
M1 X!!1 = − K1 ( X1 − X 0 ) − C1 ( X!1 − X! 0 ) + K 2 ( X2 − X1 ) + C2 ( X! 2 − X! 1 )
M 2 X!!2 = − K 2 ( X2 − X1 ) − C2 ( X! 2 − X! 1 )
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
43
9 – 27
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Blocco “visco-elastico”
1
Demux
X0
Demux1
+
*
Sum1
Product
1.e-5
2
X1
q
+
Demux
Sum2
+
+
1
Sum3
Fev_1
*
G1
Demux
Product1
1000 K1
!! = − K ( X − X ) − C ( X! − X! ) + K ( X − X ) + C ( X! − X! )
M1 X
1
1 1
0
1
1
0
2
2
1
2
2
1
!!2 = − K 2 ( X 2 − X1 ) − C2 ( X! 2 − X! 1 )
M2 X
Modellazione a Parametri Concentrati
MECCANISMO
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
" La validazione
RILIEVI
SPERIMENTALI
MODELLO
CONFRONTO
AGGIORNAMENTO
DEL MODELLO
44
# Si tratta di
"aggiustare" i
valori dei
parametri del
modello in base al
confronto del
risultato numerico
con il rilievo
sperimentale
della legge di
moto.
# La validazione del modello è una fase essenziale, a causa
delle incertezze presenti nel calcolo dei parametri,
soprattutto rigidezze e smorzamenti.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
45
9 – 28
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Esempio di
validazione
a cc [m/s^2]
rile va me nto s pe rime nta le
0
0.005
0.01
0.015
te mpo [s]
mode llo va lida to
a cc [m/s ^2]
mode llo non va lida to
a cc [m/s^2]
0
0.015
0.005
0.01
0.015
te mpo [s ]
0.02
0.025
0.03
te mpo [s]
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
46
" Impiego del modello
# Dopo la validazione il modello è utilizzabile per:
$
prevedere il comportamento del meccanismo:
• a seguito di modifiche di alcuni suoi
componenti
• in altre condizioni operative
$
come base di partenza per la modellazione di
meccanismi simili (in cui la struttura generale
resta invariata), senza la necessità di ulteriore
validazione.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
47
9 – 29
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Impiego del modello
# I risultati della simulazione forniscono informazioni su:
$ effettiva legge di moto del cedente
$ effettivo moto degli organi del meccanismo, in
corrispondenza delle coordinate del modello
$ forze (coppie) scambiate tra gli organi del
meccanismo
# Questi risultati possono risultare molto utili per la
risoluzione di problemi funzionali, riscontrati sia su
macchine in esercizio sia su prototipo, e permettono
di individuare i possibili problemi dinamici e la loro
soluzione anche nella fase di progetto.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
48
" Impiego del modello: sul prototipo
MECCANISMO
PRESTAZIONI
FUNZIONALI
MODELLO
MODIFICHE
SUL MODELLO
OK ?
SI'
NO
MODIFICHE SUL
MECCANISMO
SIMULAZIONE
PRESTAZIONI
SI'
OK ?
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
NO
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
49
9 – 30
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Impiego del modello: in fase di progetto
DISEGNO
MODELLO
MODIFICHE SUL
DISEGNO
(EVENTUALI)
MODIFICHE
SUL MODELLO
SIMULAZIONE
SI'
NO
OK ?
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
50
" 1° Esempio
# Impiego di un modello matematico a parametri concentrati per
simulare il comportamento dinamico di un meccanismo.
g1
g2
k1
k2
m2
m1
c1
x0
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
c2
x1
x2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
51
9 – 31
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Le gge di Moto X0 [mm]
" Parametri
120
100
m1 = 1.5 kg
k1 = 1.5 106 N/m
m2 = 1 kg
k2 = 1.8 106 N/m
q = c/k = 10-4 s
80
60
40
20
f1 = 114 Hz
f2 = 297 Hz
Legge di moto cicloidale
Corsa 120 mm
0
0
0.05
g1
0.25
k2
m2
m1
c2
c1
x0
Modellazione a Parametri Concentrati
0.2
g2
k1
Due condizioni:
g1 = g2 = 0
g1 = g2 = 0.02 mm
0.1
0.15
Tempo [s ]
x2
x1
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
52
" Legge di moto
Le gge di Moto X0 [mm]
Acce le ra zione Teorica [m/s ^2]
150
120
100
100
50
80
0
60
40
-50
20
-100
0
0
0.05
0.1
0.15
Te mpo [s ]
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
0.2
0.25
-150
0
0.05
0.1
0.15
Te mpo [s ]
0.2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
0.25
53
9 – 32
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Simulazione: Accelerazione massa m2
g1 = g2 = 0
g1 = g2 = 0.02 mm
Acce le ra zione Ma s s a M2 [m/s ^2]
Acce lera zione Mas s a M2 [m/s ^2]
150
150
100
100
50
50
0
0
-50
-50
-100
-100
-150
0
0.05
0.1
0.15
Te mpo [s ]
0.2
0.25
-150
Modellazione a Parametri Concentrati
0
0.05
0.1
0.15
Te mpo [s ]
0.2
0.25
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
54
" Analisi in frequenza
Spe ttro Acc. Te orica
50
Accelerazione
teorica
40
30
20
10
0
0
100
200
Fre que nza [Hz]
g1 = g2 = 0
Spe ttro Acc. Ma ssa M2
Spe ttro Acc. Ma ss a M2
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
100
200
Fre que nza [Hz]
400
g1 = g2 = 0.02 mm
50
0
300
300
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
400
0
0
100
200
Fre que nza [Hz]
300
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
400
55
9 – 33
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Analisi
effetti
dinamici
A c c e le r a z io n e
M a s s a
M 2 [m /s ^2 ]
1 5 0
1 0 0
5 0
0
-5 0
Accelerazione
massa m2
-1 0 0
-1 5 0
0
0 .1
T e m p o
0 .0 5
S p o s t . R e la t iv o X 2 - X 1
0 .2 5
0 .2
0 .1 5
[s ]
[m m ]
0 .1
Spostamento
relativo X2 - X1
0 .0 5
0
-0 .0 5
-0 .1
0
Modellazione a Parametri Concentrati
" Analisi effetti
dinamici
0 .2 5
0 .2
0 .1 5
0 .1
T e m p o [s ]
0 .0 5
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
A c c e le r a z io n e
M a s s a
M 2
56
[m / s ^2 ]
1 5 0
1 0 0
5 0
0
-5 0
-1 0 0
-1 5 0
0
0 .0 5
0 .1 5
0 .1
T e m p o [s ]
S p o s t . R e la t iv o X 2 - X 1
0 .2
0 .2 5
[m m ]
0 .1
0 .0 5
0
-0 .0 5
-0 .1
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
0
0 .0 5
0 .1
T e m p o
0 .1 5
[s ]
0 .2
0 .2 5
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
57
9 – 34
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" 2° Esempio
Meccanismo per moto
rettilineo alterno
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
58
" Condizioni di prova
# Con riferimento alla coppia cinematica camma-rulli, sono state
esaminate due condizioni:
$ Condizioni Normali
$ Gioco Incrementato
• è stato introdotto artificialmente un gioco quattro volte
superiore a quello in condizioni normali;
la condizione è ancora accettabile per il funzionamento in
produzione ma richiede ispezioni più frequenti;
la condizione simula il malfunzionamento dovuto a usura.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
61
9 – 35
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Analisi Sperimentale
Legge di moto
Teorica
Legge di moto
Sperimentale del cedente
80
60
Time [ms]
40
20
100
120
a cc. Y3
a cc. Y3
0
0
20
40
60
80
Time [ms]
100
0
120
Modellazione a Parametri Concentrati
20
40
80
60
Time [ms]
100
120
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
62
" Analisi Sperimentale in frequenza
Legge di moto
Teorica
150
100
50
Legge di moto
Sperimentale del cedente
0
0
FFT a cc. Y3
FFT a cc. Y3
300
200
Frequency [Hz]
400
500
150
150
100
100
50
0
0
100
100
300
200
Frequency [Hz]
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
400
500
50
0
0
100
200
300
Frequency [Hz]
400
500
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
63
9 – 36
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Modello a Parametri Concentrati
Y2
Y3
X2
Z0, Z1
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
55
Riduzione delle coordinate
Y3
M3
Y2
K3
K1
M1
K2
M2
X0
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
X1
X2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
56
9 – 37
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Rapporto di Riduzione
Y2
dY2
Y2
=
i=
dX 2 X 2
X2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0
100
Modellazione a Parametri Concentrati
Y3
α
X2
300
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
La rigidezza K3
tg α
200
[de g]
1
1
12
x 10
6
66
La cedevolezza 1/K3 si
valuta come lo
spostamento Y3
prodotto da una forza
unitaria agente sulla
coordinata Y3
(mantenendo fissa la
coordinata X2).
11
K3 [N/m]
10
9
8
7
6
5
0
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
100
200
[deg]
300
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
67
9 – 38
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
La forza di attrito Fa3
•
Fa 3 = − sign( y 3 ) ( FT + f N )
F T resistenza tenute
f
coefficiente di attrito
N
componente normale forza
di contatto perno-boccola
a cc. Y3
m3 y3 = Fe3 + Fv 3 + Fa 3
m3 y3 = Fa 3
0
20
40
60
80
Time [ms ]
100
120
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
68
Integrazione equazioni del moto:
SIMULINK
m1 x1 = Fe1 + Fv1 − ( Fe 2 + Fv 2 )
m2 x2 = Fe 2 + Fv 2 − i ⋅ ( Fe 3 + Fv 3 )
m3 y3 = Fe 3 + Fv 3 + Fa 3
kc_21
kc_10
Legge
di moto
X0
MASSA 1
X1
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
kc_32
MASSA 2
X2
MASSA 3
Y3
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
60
9 – 39
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Validazione
0
20
40
60
80
Time [ms ]
100
a cc. Y3
a cc. Y3
Velocità rotazione
camma: 500 rpm
120
a cc. Y3
0
0
20
40
60
80
Time [ms ]
100
20
40
60
80
Time [ms ]
100
120
120
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
70
a cc. Y3
a cc. Y3
Risultati: tempo
20
40
60
80
Time [ms ]
100
120
0
20
40
60
80
Time [ms ]
100
120
0
20
40
60
80
Time [ms ]
100
120
a cc. Y3
a cc. Y3
0
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
0
20
40
60
80
Time [ms ]
100
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
120
71
9 – 40
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Risultati: frequenza
150
FFT a cc. Y3
FFT a cc. Y3
150
100
50
0
0
100
200
300
Fre que ncy [Hz]
400
100
0
500
0
100
200
300
Fre que ncy [Hz]
400
500
100
200
300
Fre quency [Hz]
400
500
150
FFT a cc. Y3
FFT a cc. Y3
150
100
50
0
50
0
100
200
300
Fre que ncy [Hz]
400
Modellazione a Parametri Concentrati
500
100
50
0
0
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
72
" 3° Esempio - Modellazione di una
distribuzione desmodromica
Conjugate cam
θ1 ,θ2
x8
Positive rocker
x7
x4
Adjuster
θ6
k6
θ3
Negative rocker
Rocker spring
x5
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Valve-head
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
73
9 – 41
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
kc_7
" Implementazione
in SIMULINK
zeros(2,1)
Constant2
m_7
kc_8
zeros(2,1)
Constant3
m_8
kc_01
kc_34
x0
m_1
m_3
kc_13
kc_45
kc_12
kc_46
m_4
m_5
m_2
m_6
kc_26
kc_6
kc_5
zeros(2,1)
zeros(2,1)
Constant4
Constant5
Modellazione a Parametri Concentrati
77
rile va me nto s pe rime nta le
a cc [m/s ^2]
" Risultati:
accelerazione
valvola
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
# Rilievo
sperimentale
0
0.005
0.01
0.015
0.025
0.03
te mpo [s ]
mode llo va lida to
a cc [m/s ^2]
# Risultato
numerico
0.015
0.02
te mpo [s ]
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
78
9 – 42
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" 4° Esempio Modellazione
di una
macchina
di prova
ingranaggi
Modellazione a Parametri Concentrati
" Risultati:
accelerazione
tangenziale
ruota n. 9
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
81
# Nel tempo
# In frequenza
c) sperimentale
d) simulato
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
85
9 – 43
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
2
FLYWHEEL
" 5° Esempio
CAM MECHANISM
CAMSHAFT
AXIS
3
CAM FOLLOWER
AXIS
4
1
5
Modellazione
di un
meccanismo
per moto
rotatorio
alterno
ROCKER
AXIS
Ra
ROCKER
tangential
accelerometer
MOTOR
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
86
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
89
" Modello a parametri
concentrati
FLYWHEEL
2
CAM MECHANISM
CAMSHAFT
AXIS
3
CAM FOLLOWER
AXIS
4
1
5
ROCKER
AXIS
Ra
ROCKER
MOTOR
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
tangential
accelerometer
9 – 44
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Accelerazione angolare [rad/s2]
" Analisi
preliminare
Experimental
Theoretical
# Indagine sulle cause
dello scostamento
della legge di moto
effettiva da quella
teorica.
a
160 rpm
Experimental
Theoretical
400 rpma
1 ciclo camma
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
90
" Banda di risonanza tra 100 e 200 Hz
40
Angular acceleration [dB]
# L’interazione
tra le
frequenze
della legge di
moto teorica e
le risonanze
del
meccanismo
nel campo di
frequenze
100- 200 Hz
produce
oscillazioni
nella
accelerazione
del levetto.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Experimental
160 rpm
20
0
Theoretical
Experimental
60
400 rpm
40
Theoretical
20
0
50
100
150
Frequency [Hz]
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
200
91
9 – 45
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Altre risonanze: 6 e 14 Hz
1
3
2
4
5
6
7
160 rpm
20
0
40
1
2
3
400 rpm
Angular acceleration [dB]
# Le oscillazioni ad
alta frequenza non
sono esattamente
sovrapposte al
valore teorico. Cio è
dovuto per lo più ad
oscillazioni a bassa
frequenza della
velocità angolare
dell’albero a
camme. Tali
oscillazioni sono
legate alle proprietà
dinamiche della
trasmissione
meccanica a monte
dell’oscillatore.
20
0
0
5
Modellazione a Parametri Concentrati
10
Frequency [Hz]
15
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
20
92
" Validazione: modifica dei parametri
# Si sono ridotte le rigidezze
K3, K4, K5 del 40% in
modo da far cadere la terza
frequenza naturale nel
range 100-200 Hz.
# Si sono modificati opportunamente i
parametri J1, J2, K1, K2 in modo da
far coincidere le prime due
frequenze del modello con le due
basse risonanze del meccanismo.
J1 =
0.12060 kg m2
J2 =
0.09220 kg m2
J3 =
0.01304 kg m2
J4 =
0.00049 kg m2
fn1 =
5.6 ÷ 6.0
J5 =
0.00131 kg m2
fn2 =
13.8 ÷ 14.2 Hz
k1 =
391.00 Nm/rad
fn3 =
131.7÷163.7 Hz
k2 =
319.00 Nm/rad
fn4 =
367.5÷422.5 Hz
k3 =
22346÷51498 Nm/rad
fn5 =
938.6÷939.4 Hz
k4 =
4378.0 Nm/rad
k5 =
9745.0 Nm/rad
q =
1.2 10-4 s
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Hz
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
93
9 – 46
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
Experimental
Theoretical
# Velocità albero a
camme 400 rpm
Angular acceleration [rad/s2]
" Risultati
a
Numerical
Theoretical
b
0.00
Modellazione a Parametri Concentrati
0.15
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
94
Experimental
Theoretical
Angular acceleration [rad/s2]
" Risultati
# Velocità albero a
camme 160 rpm
0.05
0.10
Time [s]
a
Numerical
Theoretical
b
0.0
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
0.1
0.2
Time [s]
0.3
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
95
9 – 47
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Impiego del
modello:
inerzia del volano
Angular acceleration [rad/s2]
# Velocità albero a camme
160 rpm
# Inerzia del volano
aumentata di un fattore 3
Camshaft speed [rpm]
200
180
160
140
120
100
0.0
Nominal speed
0.1
0.2
Time [s]
0.3
0.0
Modellazione a Parametri Concentrati
0.2
Time [s]
Angular acceleration [rad/s2]
Numerical
Theoretical
a
Numerical
Theoretical
Gioco = 0.1 mm
b
0.00
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
96
Gioco = 0 mm
# Velocità albero a
camme 400 rpm
# Gioco = 0.1 mm
Modellazione a Parametri Concentrati
0.3
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
" Impiego del
modello:
usura e giochi
# Previsione del
comportamento in vista
dell’usura nelle coppie
cinematiche camma-rullo
dell’intermittore.
0.1
0.05
0.10
Time [s]
0.15
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
97
9 – 48
Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati
" Indicazioni Bibliografiche
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
M. P. Koster, 1974, Vibrations in Cam Mechanisms. London: McMillan Press.
S. Levy and J. P. Wilkinson, 1976, The Component Element Method in Dynamics. New York: McGraw-Hill.
K.L. Johnson, 1985, Contact Mechanics. Cambridge University Press.
A. O. Andrisano and G. Dalpiaz, 1990, Atti X Congresso Nazionale AIMETA, Pisa, Italy, 633-638. Un
modello a più gradi di libertà per l'analisi dinamica di trasmissioni con croce di Malta.
G. Dalpiaz and A. Maggiore, 1992, Mechanical Systems and Signal Processing, 6, 517-534. Monitoring
Automatic Machines.
T. L. Dresner and R. L. Norton, 1993, Modern Kinematics: Developments in the Last Forty Years, edited by
A. Erdman. New York: John Wiley.
A. Rivola and G. Dalpiaz, 1993, Pubbl. DIEM, University of Bologna, No. 76. Analisi Dinamica di un
Meccanismo per Macchina Automatica.
G. Dalpiaz and A. Rivola, 1995, Proceedings of the Ninth World Congress on the Theory of Machines and
Mechanisms, Milano, Italy. Milano: Edizioni Unicopli SpA, Vol. 1, pp. 327-332. A Kineto-Elastodynamic
Model of a Mechanism for Automatic Machine.
G. Dalpiaz, A. Rivola and R. Rubini, 1996, Proceedings of the Congress of Technical Diagnostics, KDT ‘96,
Gdansk, Poland, 2, 185-192. Dynamic Modelling of Gear System for Condition Monitoring and Diagnostics.
G. Dalpiaz, A. Rivola and R. Rubini, 1997, Proceedings of International Conference on Mechanical
Transmissions and Mechanisms, MTM'97, Tianjin, China, 549-553. A Kineto-Elastodynamic Model of a
Gear Testing Machine.
G. Dalpiaz, A. Rivola, 1999, Proceedings of the 10th World Congress on the Theory of Machines and
Mechanisms, Oulu, Finland, 20-24/6/1999. A Model for the Elastodynamic Analysis of a Desmodromic
Valve Train.
G. Dalpiaz and A. Rivola, 2000, Mechanism and Machine Theory, 35(11), 1551-1562. A Non-Linear
Elastodynamic Model of a Desmodromic Valve Train.
Modellazione a Parametri Concentrati
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
98
BIBLIOGRAFIA
* S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
* D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
9 – 49
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
PARTE 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
INTRODUZIONE A SIMULINK
Simulink,prodotto dalla Mathworks Inc. è un programma per la simulazione di sistemi dinamici. Estende
le potenzialità di Matlab,aggiungendo molte funzioni specifiche e mantenendo le caratteristiche generali.
Simulink viene utilizzato attraverso due fasi: quella di definizione del modello da simulare e quella di
analisi del sistema stesso. Spesso questi due passi vengono eseguiti sequenzialmente modificando i
parametri del sistema al fine di ottenere il comportamento desiderato.
Affinché la definizione del modello possa essere immediata, Simulink utilizza un ambiente a
finestre,chiamate Block diagram windows attraverso cui creare i modelli semplicemente impiegando il
mouse.
L’analisi del modello avviene sia scegliendo le opzioni dai menu di Simulink che riutilizzando i comandi
Matlab attraverso la Matlab Command Windows. I risultati della simulazione sono disponibili durante la
fase di simulazione stessa e l’esito finale disponibile nello spazio di lavoro di Matlab.
Istruzioni di base di Simulink
Per aprire Simulink si deve digitare all’interno della Matlab Command Window il comando:
>> simulink
che provoca la visualizzazione della finestra (Simulink Library Browser) contenente le icone delle
librerie standard di Simulink (vedi Fig. 1).
L’istruzione New della tendina File apre un nuovo file Simulink, mentre Open carica un file Simulink
salvato precedentemente. Creando un nuovo file si apre una seconda finestra in cui costruire il modello
del sistema da simulare. I blocchi possono essere copiati dalla prima finestra alla seconda trascinandoli
col mouse nella posizione desiderata. Tali blocchi possono essere connessi da linee disegnate sempre col
mouse: tenendo premuto il tasto sinistro, partendo dall’uscita di un blocco, col puntatore si crea una
nuova connessione all’ingresso ad un altro blocco, mentre premendo il tasto destro posizionati su una
connessione preesistente, si genera una diramazione per collegare un altro blocco.
Lo schema viene salvato utilizzando le istruzioni Save e Save as della tendina File.
Ciascuna icona della Fig. 1 contiene i blocchi relativi alla libreria a cui si riferisce.
Per aprire una libreria basta cliccare due volte sulla relativa icona oppure premere il tasto destro del
mouse per aprire la libreria in una nuova finestra.
In seguito verranno descritti brevemente i blocchi contenuti in ciascuna libreria.
Fig. 1 – Simulink Library Browser
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 1
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
SOURCES
contiene alcuni generatori di segnale come si vede nella Figura 2.
Fig. 2 – Signal Source Library
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Constant: genera un valore costante programmabile.
Signal Generator: generatore di segnali sinusoidali, onde quadre, denti di sega e segnali casuali. Si
possono impostare ampiezza e frequenza.
Step: genera un gradino di ampiezza prefissata, specificando il valore iniziale e quello finale.
Sine Wave: genera un’onda sinusoidale di ampiezza, frequenza e fase determinate.
Repeating Sequence: ripete una sequenza di valori e ad istanti predeterminati.
Discrete Pulse Generator: genera impulsi ad intervalli regolari, specificando l’ampiezza, il periodo e
ritardo di fase come interi multipli del tempo di campionamento.
Pulse Generator: genera impulsi, specificando il periodo in secondi, il duty cicle (percentuale del
periodo), l’ampiezza e l’istante di partenza.
Chirp Signal: genera un segnale sinusoidale con frequenza crescente. Si devono specificare la
frequenza iniziale e dopo quanti secondi deve essere raggiunta una certa frequenza predeterminata.
Clock: generatore della base dei tempi.
Digital Clock: genera il tempo di simulazione secondo il tempo di campionamento impostato. Durante
il periodo di campionamento vengono mantenuti i valori della simulazione fino al successivo istante
di campionamento.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 2
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
•
•
•
•
•
From File: legge il contenuto di una matrice specificata dal <file>.mat. La prima riga della matrice
deve contenere i valori degli istanti di campionamento e in quelle successive sono memorizzati i
corrispondenti valori delle uscite.
From Workspace :legge i valori specificati in una matrice presente nel WorkSpace di Matlab. La
matrice deve contenere nella prima colonna i valori corrispondenti agli istanti di campionamento. Le
successive colonne rappresentano i valori delle uscite.
Random Number: genera valori con distribuzione normale gaussiana, dati il valore medio, la varianza
e un valore iniziale per il seme.
Uniform Random Number: genera numeri aventi distribuzione uniforme tra due valori prefissati. Si
deve specificare anche il seme.
Band-Limited White Noise: genera rumore bianco per sistemi continui. Si specifica la potenza del
rumore, istante di campionamento e il seme.
SINKS
contiene alcuni rivelatori di segnale, come si vede nella Figura 3.
•
•
•
•
•
•
Scope: visualizza in funzione del tempo il segnale di ingresso applicato.
XY Graph: visualizza un grafico (x,y ) utilizzando la finestra grafica di Matlab. Il primo ingresso
corrisponde all’ascissa del grafico e generalmente coincide con la base dei tempi. Si possono
introdurre i valori del range del grafico.
Display: display numerico dei valori dell’ingresso. Si specifica il formato del parametro da
visualizzare.
To File: salva gli ingressi applicati all’interno di una matrice in un file <untitled>.mat. Si specifica il
nome del file e il nome della variabile. I valori vengono salvati per righe. La prima riga della matrice
contiene la base dei tempi.
To Workspace: vengono scritti gli ingressi applicato nel WorkSpace di Matlab. La matrice ha una
colonna per ciascun ingresso ed una riga per ogni istante della simulazione. Il dato si perde se la
simulazione viene interrotta o messa in pausa. Si specifica il nome della variabile di ingresso e il
massimo numero di righe.
Stop: arresta la simulazione quando l’ingresso applicato è diverso da zero.
Fig. 3 – Signal Sinks Library
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 3
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
DISCRETE
contiene i blocchi necessari all’analisi dei sistemi lineari tempo-discreti (vedi Figura 4).
Fig. 4 – Discrete-Time Library
CONTINUOUS
contiene i blocchi necessari all’analisi dei sistemi lineari tempo-continui evidenziati nella Figura 5.
Fig. 5 – Continuous Library
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 4
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
•
•
•
•
•
•
•
•
Integrator: calcola l’integrazione tempo continua del segnale di ingresso, stabilite le condizioni iniziali
ed eventuali limiti superiore ed inferiore di saturazione.
Transfer Fnc: espressione per la funzione di trasferimento, in cui il numeratore viene rappresentato da
una matrice e il denominatore da un vettore. Il numero delle uscite eguaglia il numero delle righe
della matrice al numeratore, i cui elementi sono i coefficienti del polinomio secondo potenze
decrescenti di s. Anche il vettore al denominatore rappresenta i coefficienti del polinomio secondo
potenze decrescenti di s.
State-Space: modello nello spazio degli stati. Occorre inserire le matrici del modello (A,B,C,D) e le
relative condizioni iniziali.
Zero-Pole: funzione Guadagno, Zeri e Poli. Gli zeri vengono rappresentati da una matrice, mentre i
poli da un vettore. Il numero delle uscite coincide con il numero delle colonne della matrice degli zeri.
Derivative: effettua la derivata numerica dell’ingresso.
Memory: rappresenta un ritardo di durata unitaria. L’uscita coincide con il valore assunto
precedentemente dall’ingresso. Occorre specificare le condizioni iniziali.
Transport Delay: ritarda di una quantità specificata il segnale di ingresso. Il ritardo deve essere più
grande del passo utilizzato nella simulazione.
Variable Transport Delay: ritarda il primo segnale di ingresso di una quantità specificata dal secondo
ingresso. Il ritardo deve essere più grande del passo utilizzato nella simulazione.
NONLINEAR
contiene i blocchi che svolgono funzioni non lineari (vedi Figura 6).
Fig. 6 – Nonlinear Library
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 5
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Rate limiter: limita lo slew-rate (velocità di variazione) del segnale di ingresso. Si imposta lo slewrate positivo e negativo.
Saturation: limita superiormente ed inferiormente il segnale di ingresso secondo due limiti prefissati.
Quantizer: quantizza l’ingresso all’interno di un intervallo prefissato.
Backlash: simula una zona d’isteresi o un certo “gioco” di ampiezza prefissata.
Dead Zone: l’uscita rimane a zero per valori interni alla “deadzone”. Si specifica l’inizio e la fine
dell’intervallo.
Relay: l’uscita assume due valori impostati se l’ingresso è maggiore dell’estremo superiore o minore
dell’estremo inferiore di un certo intervallo specificato attraverso due parametri. Lo stato del Relay
non dipende dall’ingresso quando questo assume un valore interno dell’intervallo.
Switch: l’uscita coincide con il primo ingresso quando il secondo ingresso è maggiore od uguale ad
una certa soglia, altrimenti assume i valori del terzo ingresso.
Manual Switch: commutatore regolabile col mouse senza parametri.
Multiport Switch: coincide con gli ingressi secondo i valori arrotondati assunti dal primo di questi.
Coulomb & Viscous Friction: funzione di attrito viscoso e forza di Coulomb. La forza coulombiana è
modellata da una discontinuità nello zero (y=sign(x)) mentre l’attrito viscoso è rappresentato da una
relazione
lineare
(Gain*abs(x)+Offset).
Complessivamente
l’uscita
risulta
y=sign(x)*(Gain*abs(x)+Offset). Gain e Offset sono parametri del blocco.
MATH
contiene blocchi per le funzioni matematiche e relazioni logiche (vedi Figura 7).
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sum: effettua la somma o la differenza degli ingressi. Si deve inserire la lista dei segni con cui ogni
ingresso entra nel blocco.
Product: Moltiplica o divide gli ingressi. Occorre specificare il numero degli ingressi.
Dot Product: effettua il prodotto (prodotto scalare) elemento per elemento degli ingressi u1 e u2
secondo l’espressione y =sum (u1 .* u2).
Gain: guadagno scalare o vettoriale. Si imposta il guadagno k e il blocco calcola l’uscita y dato
l’ingresso u secondo l’espressione y = k * u.
Slider Gain: guadagno regolabile tra un valore superiore ed uno inferiore.
Matrix Gain: restituisce in uscita l’ingresso moltiplicato per una matrice predefinita.
Math Function: implementa funzioni matematiche come quelle logaritmiche, esponenziali, potenze e
modulo.
Trigonometric Function: implementa diverse funzioni trigonometriche ed iperboliche: sin, cos, tan,
asin, acos, atan, atan2, sinh, cosh e tanh.
MinMax: restituisce il minimo od il massimo dell’ingresso. Prevede la scelta del numero degli
ingressi e quale operazione deve essere svolta su ogni ingresso.
Abs: dato l’ingresso u, calcola l’uscita y = |u |.
Sign: signum. Restituisce il valore 1 se l’ingresso è positivo, -1 per ingresso negativo e 0 per ingresso
nullo.
Rounding Function: contiene le operazioni di arrotondamento: floor, ceil, round e fix.
Combinatorial Logic: ricerca gli elementi specificati nel vettore d’ingresso (trattati come valori
booleani) nella tabella della verità impostata e restituisce le righe della tabella della verità stessa.
Logical Operator: effettua una operazione logica per un prefissato numero di ingressi: AND, OR,
NAND, NOR, XOR, NOT. Per un singolo ingresso, l’operazione iene effettuata tra tutti i valori
dell’ingresso memorizzati in un vettore. Per ingressi multipli, l’operazione logica viene eseguita sugli
elementi dei diversi vettori di ingresso che occupano la stessa posizione.
Relational Operator: effettua confronti tra gli ingressi: ==, =, >, >=, < e <=.
Algebraic Constrain: vincola il segnale d’ingresso f(z) a zero e restituisce il corrispondente valore
algebrico z .Quindi il blocco fornisce il valore z tale per cui f(z)=0. L’uscita deve influenzare
l’ingresso attraverso una certa retroazione. Occorre fornire un valore di tentativo per z.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 6
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Fig. 7 – Math Library
FUNCTIONS & TABLES
(Figura 8)
Fig. 8 – Functions & Tables Library
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 7
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
•
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•
•
Look-Up Table: effettua una interpolazione mono-dimensionale dei valori dell’ingresso usando quelli
nella tabella specificata. I valori esterni a quelli della tabella vengono estrapolati.
Look-Up Table (2D): effettua una interpolazione bidimensionale dei valori dell’ingresso usando quelli
nella tabella specificata. I valori esterni a quelli della tabella vengono estrapolati.
Fnc: permette di specificare una funzione arbitraria dell’ingresso u, y =f(u).
MATLAB function: passa i valori dell’ingresso ad una funzione Matlab affinché possa essere
valutata. La funzione Matlab deve restituire un vettore la cui lunghezza deve essere definita.
S-Function: blocco che può essere progettato dall’utente in Matlab, C, Fortran o usando le funzioni di
Simulink standard. I parametri t, x, u e flag sono passati automaticamente alla funzione di Simulink.
Possono essere specificati anche altri parametri.
SIGNAL & SYSTEMS
(Figura 9)
Fig. 9 – Signals & Systems Library
•
•
•
•
•
•
•
In: fornisce una porta d’ingresso per un modello. Occorre specificare il tempo di campionamento.
Out: fornisce una porta d’uscita per un modello. Quando il modello non è disabilitato, occorre fornire
il corrispondente valore dell’uscita.
Enable: il blocco viene posto all’interno di un modello affinché sia abilitato.
Trigger: il blocco fornisce una porta di trigger predefinito.
Mux: raggruppa scalari o vettori in un vettore di dimensioni maggiori.
Demux: disaggrega i vettori d’ingresso in scalari o vettori di dimensioni inferiori.
Selector: seleziona e riordina gli elementi specificati del vettore d’ingresso.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 8
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
•
•
•
•
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•
•
•
•
•
•
•
From: riceve i segnali dal blocco Goto secondo l’etichetta (tag) specificata.
Goto Tag Visibility: viene usato con i blocchi From e Goto e permette di specificare la visibilità di
una etichetta.
Goto: invia i segnali al blocco From avente l’etichetta specificata. Permette di definire la visibilità
dell’etichetta.
Data Store Read: legge i dati memorizzati in una certa regione definita dal blocco Data Store Memory
secondo un nome prefissato. Occorre definire il nome della zona di memoria e il tempo di
campionamento.
Data Store Memory: permette di definire nome e valore iniziale di una regione di memoria utilizzata
dai blocchi Data Store Read e Data Store Write.
Data Store Write: scrive la zona di memoria specificata dal nome. Viene definito anche il tempo di
campionamento.
Ground: viene utilizzato per mettere a zero i segnali di ingresso. Si evitano i problemi dovuti agli
ingressi non collegati. Fornisce una uscita nulla.
Terminator: usato per isolare un segnale di uscita e per prevenire così i problemi provocati dalle uscite
non connesse.
Subsystem: fornisce una finestra in cui costruire un modello di subsystem.
Hit Crossing: segnala quando il segnale di ingresso attraversa lo zero secondo un certo margine
prefissato. Si può specificare la direzione di attraversamento dello zero.
IC: permette di specificare le condizioni iniziali per un segnale.
Width: fornisce in uscita l’ampiezza del segnale d’ingresso.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 9
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Esempio 1
x& (t ) = u (t )
Esempio 2
x& (t ) = −2 x (t ) + u(t )
Esempio 3
x(t)
m &x&(t ) + c x& (t ) + k x (t ) = F (t )
m &x&(t ) = − c x& (t ) − k x (t ) + F (t )
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k
F
m
c
10 – 10
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Esempio 4
Sistema ad un gdl con gioco: moto imposto della base.
X0
X1
K
C
M
g
M X&& 1 = − K ( X 1 − X 0 ) − C ( X& 1 − X& 0 )
FEL = − K ( X1 − X0 − g / 2)
X1 − X0 > g / 2
FEL = − K ( X1 − X0 + g / 2)
X1 − X0 < − g / 2
FEL = 0
X1 − X0 ≤ g / 2
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10 – 11
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Esempio 5
Impiego della Look-up Table
Occorre definire nel workspace una matrice di due colonne (nell’esempio seguente è la matrice A)
dt = 1/100;
time = [0:dt:1];
x = sin(2*pi*time);
A = [time; x].';
Con un doppio click sul blocco Look-Up Table si apre la seguente finestra di dialogo in cui
andare ad inserire i valori di input (ascissa) e output (ordinata) della table.
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10 – 12
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Esempio 6
Sistema ad un gdl con gioco: moto della base (legge arbitraria).
E’ come l’esempio 4, ma in questo caso non si utilizza il blocco signal generator per generare la legge di
moto. Quest’ultima viene caricata in workspace e poi opportunamente interpolata (con la look-up table).
X0
X1
K
C
M
g
M X&& 1 = − K ( X 1 − X 0 ) − C ( X& 1 − X& 0 )
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10 – 13
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Esempio 7
Sistema ad un gdl con gioco: moto della base (legge arbitraria).
Accorpamento di blocchi.
E’ come l’esempio 6, ma in questo caso i blocchi necessari per definire la legge di moto sono accorpati in
un unico blocco denominato “legge di moto”. Il contenuto di quest’ultimo è mostrato nella figura in
basso.
Blocco “legge di moto”
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10 – 14
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Esempio 8
Sistema ad un gdl con gioco: moto della base (legge arbitraria).
Accorpamento di blocchi.
E’ come l’esempio 7, ma in questo caso i blocchi necessari per calcolare la forza elasto-viscosa e quelli
per integrare sono accorpati in due soli blocchi.
Blocco “Forza elasto-viscoa”
Blocco “integrazione”
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10 – 15
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Esempio 9
Sistema ad due gdl con gioco: moto della base.
X0
X1
K1
C1
M1
X2
K2
C2
M2
g
M1 X&&1 = − K1 ( X1 − X 0 ) − C1 ( X& 1 − X& 0 ) + K 2 ( X 2 − X1 ) + C2 ( X& 2 − X& 1 )
M 2 X&&2 = − K 2 ( X 2 − X1 ) − C2 ( X& 2 − X& 1 )
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10 – 16
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Esempio 10
Impiego di S-function
E’ possibile inserire delle funzioni utilizzando il blocco S-function la cui struttura è mostrata nel seguito.
Occorre scrivere uno script (file *.m).
function[out,aux1,aux2,aux3] = sfunction_es10(t,x,u,flag,gain);
if flag = = 0
out = [0,0,2,1,0,1,0];
aux1 = [];
aux2 = [];
aux3 = [];
elseif flag = = 3,
out(1) = u;
out(2) = gain*u;
end
Spiegazione:
u
è la variabile in ingresso
out
è la variabile di uscita
flag = = 0 il terzo e quarto campo della variabile di uscita devono essere rispettivamente la dimensione
dell’output e dell’input. Devono inoltre essere definite come vettore vuoto ( [ ] ) tre variabili
di uscita ausiliarie (aux1, aux2, aux3).
flag = = 3 cuore dell’algoritmo
Con un doppio click sul blocco S-function si apre la seguente finestra di dialogo in cui andare ad inserire
il nome della function ed, eventualmente, i parametri aggiuntivi (gain nell’esempio).
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10 – 17
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Esempio 11
Modello di un azionamento con controllo di posizione e velocità
Nel seguito viene mostrato un esempio di modello di una trasmissione meccanica e del relativo
azionamento. L’azionamento, mostrato in Fig. E.1, è costituito da un motore elettrico a corrente continua
con controllo in loop di corrente (vedi Fig. E.4) che applica una coppia motrice ad un mandrino che, a sua
volta, trasmette il moto ad una pinza terminale attraverso un albero intermedio. Il moto viene controllato
in posizione ed in velocità confrontando le letture di posizione e velocità fornite da due encoder montati
in prossimità del mandrino. In Fig. E.4 è mostrato uno schema del sistema di controllo.
MOTORE
θ
MANDRINO
PINZA
θ
2
1
ENCODER
θ
3
Fig. E.1 – Schema della trasmissione.
Fig. E.2 – Schema dell’intero azionamento.
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10 – 18
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Fig. E.3 – Legge di moto, regolatore di posizione e di velocità.
Fig. E.4 – Modello Motore Elettrico con controllo in loop di corrente
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 19
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Modello Motore Elettrico a Corrente Continua
R
L
eq(t)
Campo
fisso
vq(t)
Cm(t )
iq
θm(t )
Fig. E.5 – Schema del motore elettrico
Equazione del circuito d’armatura (iq corrente di armatura, vq forza contro-elettromotrice, eq tensione ai
capi del circuito di armatura, R resistenza di armatura, L induttanza di armatura):
R ⋅ iq (t ) + L ⋅
diq (t )
dt
+ v q (t ) = eq (t )
R ⋅ I q (s ) + L ⋅ s ⋅ I q (s ) + Vq (s ) = E q (s )
La forza contro-elettromotrice si può esprimere in funzione della velocità del rotore (Kb costante di forza
contro-elettromotrice):
v q (t ) = K b ⋅ϑ&m (t )
Vq (s ) = K b ⋅ s ⋅ Θ m (s )
La coppia motrice Cm è proporzionale alla corrente (Kc costante di coppia):
C m (t ) = K c ⋅ iq (t )
C m (s ) = K c ⋅ I q (s )
Le due precedenti, sostituite nell’equazione del circuito di armatura, forniscono:
(R + L ⋅ s ) C m ( s ) = E q (s ) − K b ⋅ s ⋅ Θ m (s )
Kc
Infine, ricordiamo che è:
Cm ( s ) = K c
E q (s ) − K b ⋅ s ⋅ Θ m (s )
R + L⋅s
Kc = Kb.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 20
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Modello Meccanico
Il modello meccanico ha tre gradi di libertà.
La prima coordinata è associata all’inerzia del motore elettrico. La seconda e la terza sono associate a due
inerzie della trasmissione meccanica a valle del motore elettrico.
Le equazioni del moto sono le seguenti:
(
J mϑm = C m + k1 (ϑ 2 − ϑm ) + c1 ϑ2 − ϑm
(
)
(
)
)
(
J 2ϑ2 = − k1 (ϑ 2 − ϑm ) − c1 ϑ2 − ϑm + k 2 (ϑ3 − ϑ 2 ) + c2 ϑ3 − ϑ2
J 3ϑ3 = − k 2 (ϑ3 − ϑ2 ) − c2 ϑ3 − ϑ2
)
I trasduttori di posizione e velocità sono montati in corrispondenza dell’inerzia J2 per cui si ha:
ϑE = ϑ2
e
ϑE = ϑ2
Fig. E.6 – Schema del modello meccanico
Dati numerici
Dati del motore elettrico:
L = 0.003
[Vs/A]
[Nm/A]
Kc = 5
R = 0.4
Kb = 5
[Ohm]
[Vs/rad]
Parametri dei controllori ad azione Proporzionale – Integrale
Anello di corrente
Kpc = 8
[V/A]
Tic = 0.002 [s]
Anello di velocità
Kpv = 95
[Nm/(rad/s)]
Tiv = 0.1
[s]
Jm = 0.6 kgm2

1 

G ( s ) = K p 1 +
 Ti s 
Anello di posizione
Kpp = 72
[1/s]
Tip = 1000
[s]
(di fatto è un controllo ad azione Proporzionale)
Parametri del modello meccanico
J2 = 0.085 kgm2
J3 = 0.085 kgm2
k1 = 1.15 106 Nm/rad
k2 = 1.15 105 Nm/rad
c1 = q k1
c2 = q k2
q = 10–5 s
Velocità di rotazione = 20 rpm
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 21
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Fig. E.7 – Schema dell’intero modello
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 22
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
Risultati
Legge teorica - spostamento [deg]
50
40
30
20
10
0
0
100
200
[deg]
300
Fig. E.8 – Legge teorica (spostamento).
Legge teorica - velocita' [deg/s]
50
0
-50
0
4
x 10
100
-5
200
[deg]
300
Fig. E.9 – Legge teorica (velocità).
300
Fig. E.10 – Errore meccanico (differenza
tra la coordinata 2 e la posizione del
motore).
Errore meccanico X2-X1 [deg]
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
100
200
[deg]
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
10 – 23
Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink
2
x 10
-4
Errore meccanico X3-X2 [deg]
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
Fig. E.11 – Errore meccanico (differenza
tra la coordinata 3 e la coordinata 2).
-1.5
-2
0
100
200
[deg]
300
Osservazione
Il regolatore di posizione è ad azione proporzionale. Ne consegue un moto effettivo ritardato rispetto a
quello imposto. Sarebbe improprio considerare come errore la semplice differenza tra la coordinata 2 e il
moto imposto (vedi Fig. E.12). E’ più opportuno considerare l’errore a meno del ritardo (Fig. E.13).
Errore del controllo X2-Xrif [deg]
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
100
200
[deg]
300
Fig. E.12 – Errore del controllo (differenza tra
la coordinata 2 e il moto di riferimento).
Errore del controllo X2-Xrif senza ritardo [deg]
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
0
100
200
[deg]
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
300
Fig. E.13 – Errore del controllo (differenza tra
la coordinata 2 e il moto di riferimento) a meno
del ritardo.
10 – 24
Parte 11 – Introduzione al FEM
PARTE 11 – Introduzione al metodo degli elementi finiti (FEM)
INTRODUZIONE
Quando si devono studiare sistemi continui - come sono le strutture e gli organi delle macchine - nella
maggior parte dei casi di interesse pratico la forma geometrica e le condizioni al contorno sono troppo
complesse per poter applicare procedimenti analitici: per analisi sia statiche sia dinamiche si deve allora
fare ricorso ad altri metodi, per lo più basati sull’uso del calcolatore. Tra tali metodi, ampiamente
impiegato è quello degli elementi finiti, che considera il sistema continuo costituito da elementi “finiti”,
cioè di dimensioni finite, anziché di dimensioni infinitesime, come nel caso dei metodi analitici.
Il metodo degli elementi finiti (“MEF”, o “FEM”) è strettamente collegato con il metodo di RayleighRitz, del quale anzi si può considerare, in senso lato, una versione “a tratti”. Infatti, mentre nel metodo di
Rayleigh-Ritz la deformata dell’intera struttura è approssimata mediante una somma di funzioni, il
metodo degli elementi finiti impiega molte di tali funzioni, ciascuna relativa ad una parte della struttura
stessa. In altre parole il metodo degli elementi finiti suddivide la struttura in tante parti e applica a
ciascuna il metodo di Rayleigh-Ritz.
L’idea di definire non un’unica funzione per l’intera struttura, ma una funzione per ciascun tratto della
struttura stessa, permette di applicare il metodo a strutture anche molto complesse, adottando peraltro
funzioni di forma molto semplici. Il principio è che se le funzioni di forma assunte per i vari elementi
sono scelte opportunamente, la soluzione può convergere a quella esatta per l’intera struttura al diminuire
delle dimensioni degli elementi finiti. Durante il processo di risoluzione, vengono soddisfatti l’equilibrio
e la congruenza degli spostamenti ai nodi, così che l’intera struttura si comporta come un’unica entità.
Schema generale del metodo.
Il metodo degli elementi finiti può venire riassunto nel modo seguente:
1. la struttura da analizzare viene suddivisa in parti di dimensioni finite, ciascuna delle quali costituisce
appunto un elemento finito; i vari elementi sono collegati fra loro solo in alcuni punti dei rispettivi
contorni, detti punti nodali o nodi;
2. si formula quindi un’ipotesi ragionevole (funzione di spostamento o funzione di forma)
sull’andamento delle deformazioni all’interno di ciascun elemento e - tenendo presenti le
caratteristiche fisiche del materiale - si trovano, per il generico elemento i-esimo, le espressioni
dell’energia cinetica Ti e dell’energia di deformazione Ui in funzione degli spostamenti nei nodi;
3. se N è il numero degli elementi in cui è stata suddivisa la struttura, l’energia cinetica e l’energia di
deformazione dell’intera struttura saranno:
N
T = ∑ Ti
(1’)
U = ∑U i
(1’’)
i =1
N
i =1
Utilizzando le (1’) e (1’’) per scrivere le equazioni di Lagrange, si ottengono quindi le equazioni del
moto libero dell’intera struttura, che permettono di determinarne le frequenze ed i modi propri.
Eventuali azioni generalizzate esterne (forze o momenti) si potranno pure introdurre nelle equazioni di
Lagrange, esprimendole attraverso il loro lavoro virtuale.
Discretizzazione.
Per discretizzazione si intende la suddivisione in elementi finiti della struttura data. Per prima cosa
occorre scegliere il tipo e la distribuzione degli elementi. Queste scelte devono tenere conto sia della
geometria della struttura, sia del suo comportamento: una buona discretizzazione richiede perciò molta
attenzione ed una certa esperienza. In particolare, occorre che la discretizzazione sia fatta tenendo conto
delle discontinuità geometriche e di quelle del materiale, delle condizioni al contorno e delle forze agenti.
Per una valutazione ragionevolmente precisa delle frequenze e dei modi propri o per la determinazione
della risposta dinamica di una struttura, la distribuzione degli elementi finiti (reticolo o mesh) può anche
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 1
Parte 11 – Introduzione al FEM
essere a maglie relativamente grandi. In altri casi, ad esempio quando il FEM viene impiegato per il
calcolo delle tensioni, il reticolo deve invece essere più fine, con un infittimento ancora maggiore nelle
zone di concentrazione delle tensioni.
EQUAZIONI DEL MOTO DI UN ELEMENTO
A scopo illustrativo, la fig. 1 mostra come può essere modellata una macchina utensile. Le colonne ed il
montante superiore sono modellati con elementi triangolari piani, mentre la slitta trasversale ed il braccio
porta-utensile sono modellati con elementi trave (elementi beam).
Gli elementi sono connessi gli uni agli altri ai nodi. Ogni nodo di un elemento possiede uno o più gradi di
libertà, a ciascuno dei quali corrisponde uno spostamento o una sua derivata spaziale. Chiameremo
l’insieme di tali spostamenti e derivate vettore spostamenti nodali {δ} di quell’elemento. Esprimendo gli
spostamenti all’interno di un elemento in funzione degli spostamenti nodali dei suoi nodi, in ogni punto
dell’elemento resta definito un vettore degli spostamenti {d}, funzione delle coordinate del punto stesso.
Fig. 1.
La relazione fra lo spostamento {d} di un generico punto dell’elemento e il vettore {δ} degli spostamenti
nodali dell’elemento stesso sarà esprimibile mediante un’opportuna matrice [N]:
{d} = [N] {δ}
In altre parole, il vettore {d} che rappresenta lo spostamento
di un punto interno dell’elemento, è esprimibile, mediante
[N], in funzione del vettore {δ} che rappresenta gli
spostamenti dei nodi. La matrice [N] dipende dall’ipotesi che
si adotta riguardo l’andamento dello spostamento entro
l’elemento e prende il nome di funzione di forma.
A chiarimento, si faccia riferimento al generico elemento
triangolare di fig. 1(b). Con w(x, y, t) si indichi lo spostamento
di un punto interno in direzione normale. I valori di w e delle
sue derivate spaziali nei nodi sono trattati come incognite e si
possono indicare come:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
(2)
⎧ w( x1 , y1 , t ) ⎫ ⎧δ 1 (t ) ⎫
⎪ ∂w / ∂x ( x , y , t ) ⎪ ⎪δ (t ) ⎪
1 1
⎪ ⎪ 2 ⎪
⎪
⎪ ∂w / ∂y ( x1 , y1 , t ) ⎪ ⎪δ 3 (t ) ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪⎪ w( x2 , y2 , t ) ⎪⎪ ⎪⎪ ... ⎪⎪
⎨∂w / ∂x ( x2 , y2 , t ) ⎬ = ⎨ ... ⎬
⎪∂w / ∂y ( x , y , t ) ⎪ ⎪ ... ⎪
2
2
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ w( x3 , y3 , t ) ⎪ ⎪ ... ⎪
⎪ ∂w / ∂x ( x , y , t ) ⎪ ⎪ ... ⎪
3 3
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎩⎪ ∂w / ∂y ( x3 , y3 , t ) ⎭⎪ ⎪⎩δ 9 (t ) ⎪⎭
11 – 2
Parte 11 – Introduzione al FEM
Lo spostamento di un punto interno all’elemento, w(x, y, t), può essere espresso in termini degli
spostamenti incogniti δi(t) nella forma:
n
w( x , y , t ) = ∑ N i ( x , y ) δ i ( t )
i =1
Per determinare il vettore {δ} degli spostamenti nodali, occorre scrivere le equazioni del moto. L’energia
cinetica T e l’energia di deformazione U dell’elemento possono essere espresse rispettivamente come:
1
T = {δ}T [m]{δ}
2
1
U = {δ }T [k ] {δ }
2
dove [m] e [k] sono le matrici massa e rigidezza dell’elemento. Ora, applicando l’equazione di Lagrange,
l’equazione del moto risulta:
[m]{δ} + [k ]{δ } = { f (t )}
dove {f(t)} è il vettore delle forze nodali. A tale proposito occorre osservare che, se sull’elemento agisce
un carico distribuito f(x, y, t), questo può essere facilmente ricondotto a forze equivalenti agenti sui nodi.
Sebbene le equazioni del moto di un singolo elemento non siano direttamente utili, le matrici massa e
rigidezza ed il vettore delle forze nodali sono necessarie per pervenire alla soluzione dell’intera struttura.
Si noti infine che la forma dell’elemento finito ed il numero di incognite (componenti del vettore
spostamenti nodali) differisce a seconda dei casi.
MATRICE RIGIDEZZA
Ci proponiamo ora di esprimere l’energia potenziale elastica (energia di deformazione) di un elemento
generico. Per semplificare le notazioni, ometteremo il pedice i che dovrebbe contraddistinguere le
quantità relative all’elemento i-esimo.
Le tensioni sono legate alle deformazioni, e quindi agli spostamenti, da legami dipendenti dal
comportamento fisico dei materiali: in ogni punto di un elemento è pertanto definito un vettore
deformazione.
Differenziando la (2) rispetto alle coordinate si ottiene la relazione fra le deformazioni {ε} all’interno
dell’elemento e gli spostamenti nodali (nell’ipotesi di piccoli spostamenti e piccoli gradienti di
spostamento):
{ε} = [B] {δ}
(3)
Per un materiale elastico lineare isotropo, se non ci sono tensioni iniziali (cioè se nell’elemento non vi
sono tensioni fino a che alla struttura non vengono applicate delle sollecitazioni), fra tensioni e
deformazioni sussiste la relazione:
{σ} = [D] {ε}
(4)
dove [D] è una matrice quadrata simmetrica i cui elementi dipendono dalle caratteristiche del materiale,
cioè - di solito - dal modulo di Young E e dal coefficiente di Poisson v.
Come è noto, l’energia potenziale di deformazione elastica di un elemento si può esprimere nella forma:
U=
1
{ε }T {σ } dV
∫
2V
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
(5)
11 – 3
Parte 11 – Introduzione al FEM
dove {ε} è il vettore delle deformazioni, {σ} è il vettore delle tensioni e V è il volume dell’elemento.
Introducendo la (3) e la (4) nella (5) si ottiene:
U=
1
1
{[ B]δ }T [ D] [ B]{δ } dV = {δ }T ∫ [ B]T [ D] [ B] dV {δ }
∫
2V
2V
(6)
che si può scrivere:
1
U = {δ }T [k ] {δ }
2
(7)
[k ] = ∫ [ B ]T [ D ] [ B ] dV
(8)
dove
V
è la matrice rigidezza dell’elemento. La matrice [k] è simmetrica perché, essendo simmetrica [D], è
simmetrica anche la matrice prodotto [B]T [D] [B].
MATRICE MASSA
L’espressione generale dell’energia cinetica di un elemento di volume V e densità ρ è:
T=
1
ρ {d}T {d} dV
2 V∫
(9)
dove {d} è la derivata rispetto al tempo del vettore spostamento {d}. Utilizzando la (2), e tenendo conto
che la matrice [N] è costante, si ricava l’espressione:
{d} = [ N ]{δ}
(10)
Sostituendo nella (9) si ottiene:
T=
1
1
ρ {[ N ]δ}T [ N ]{δ} dV = {δ}T ∫ ρ [ N ]T [ N ] dV {δ}
∫
2
2V
V
(11)
che si può scrivere:
1
T = {δ}T [m]{δ}
2
(12)
[m] = ∫ ρ [ N ]T [ N ] dV
(13)
dove:
V
è una matrice simmetrica e costituisce la matrice massa dell’elemento. La matrice definita dalla (13) è
detta matrice massa coerente se viene ottenuta utilizzando la stessa funzione di forma impiegata per
ottenere la matrice rigidezza (le determinazioni di [k] ed [m] sono coerenti tra loro).
Spesso, al posto di una matrice massa coerente viene impiegata una matrice massa concentrata. Questa
matrice è ottenuta assumendo che la massa dell’elemento sia concentrata ai nodi dell’elemento stesso. Il
vantaggio di concentrare la massa è che la matrice che ne deriva è facile da costruire e, soprattutto, è
diagonale. Una matrice diagonale presenta diverse vantaggi quali ad esempio il minor costo
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 4
Parte 11 – Introduzione al FEM
computazionale e la semplificazione maggiore degli algoritmi per la soluzione dell’autoproblema. Per
alcuni elementi, come ad esempio le aste vibranti longitudinalmente, la matrice massa concentrata si
rivela essere efficiente quanto la matrice massa coerente.
VIBRAZIONI LONGITUDINALI DI UN’ASTA.
La fig. 2 mostra un elemento soggetto a vibrazioni assiali (asta con moto longitudinale). Esso ha due nodi,
1 e 2, ciascuno con un solo grado di libertà, cioè lo spostamento longitudinale u. Il vettore spostamento
nodale in questo caso è:
⎧u ⎫
(14)
{δ } = ⎨ 1 ⎬
⎩u2 ⎭
Fig. 2. Elemento asta con moto longitudinale.
Poiché vi sono due spostamenti nodali, la funzione spostamento va scelta con almeno due costanti:
u ( x ) = a1 + a2 x
(15)
Le costanti al, a2 si ottengono dai valori di u(x) in corrispondenza dei due nodi:
u(0) = u1
(16)
u ( l ) = u2
dove con l si è indicata la lunghezza dell’elemento; dalle (16) si ricava:
a1 = u1
(17)
a1 + a2l = u2
Le (17) permettono di esprimere al e a2 in funzione di ul, u2 :
a1 = u1
(18)
a2 = (u2 − u1 ) / l
Introducendo le espressioni (18) nella (15) si ottiene:
⎡ x
u ( x ) = ⎢1 −
⎣ l
x ⎤ ⎧ u1 ⎫
⎨ ⎬
l ⎥⎦ ⎩u2 ⎭
(19)
La (19) corrisponde, per il particolare elemento considerato, all’espressione generale (2). I polinomi che
compaiono nella matrice [N], in questo caso (1 - x/l) e (x/l), sono detti funzioni di forma. Può risultare
comodo scrivere:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 5
Parte 11 – Introduzione al FEM
⎧u ⎫
u ( x ) = [ N1 ( x ) N 2 ( x )]⎨ 1 ⎬
⎩u2 ⎭
(20)
con:
⎡ x
[ N ] = [ N1 ( x ) N 2 ( x )] = ⎢1 −
⎣ l
x⎤
l ⎥⎦
(21)
Vengono ora determinate l’energia di deformazione U, la matrice rigidezza [k], l’energia cinetica T e la
matrice massa [m].
Matrice Rigidezza
Poiché è:
σ ≡ σ x = Eε x ≡ Eε
con:
ε=
∂u
∂x
(22)
(23)
la matrice [D] si riduce in questo caso alla quantità scalare E. Per la (20), la (23) diventa:
⎡ 1 1⎤ ⎧ u1 ⎫
⎨ ⎬
l ⎥⎦ ⎩u2 ⎭
ε = ⎢−
⎣ l
(24)
che corrisponde alla espressione generale (3), per cui in questo caso la matrice [B] è:
⎡ dN
[B] = ⎢ 1
⎣ dx
dN 2 ⎤ ⎡ 1 1⎤
= −
dx ⎥⎦ ⎢⎣ l l ⎥⎦
(25)
Sostituendo la (25) nella (6) ed eseguendo il prodotto [B]T [D] [B] si ottiene:
⎡ dN1 ⎤
⎢
⎥ ⎡ dN dN 2 ⎤ ⎧u1 ⎫
1
U = {u1 u 2 } ∫ EA ⎢ dx ⎥ ⎢ 1
⎥ dx ⎨u ⎬ =
dN
2
dx
dx
2
⎣
⎦ ⎩ 2⎭
0
⎢
⎥
dx
⎣
⎦
1⎤
⎡ 1
l
− 2 ⎥ ⎧u ⎫
⎢ l2
1
l dx 1 =
= {u1 u 2 } ∫ EA ⎢
⎥ ⎨ ⎬
1
1
2
0
⎥ ⎩u 2 ⎭
⎢− 2
2
l ⎦
⎣ l
⎡ 1 − 1⎤ ⎧ u1 ⎫
1 EA
{u1 u 2 } ⎢
=
⎥⎨ ⎬
2 l
⎣− 1 1 ⎦ ⎩u 2 ⎭
l
(26)
per cui, infine, la matrice rigidezza dell’elemento “asta con moto longitudinale” è:
[k ] =
EA ⎡ 1 − 1⎤
l ⎢⎣ − 1 1 ⎥⎦
(27)
Come si vede, questa matrice è singolare, cioè il suo determinante è nullo. Ciò è conseguenza del fatto
che la funzione di forma (21) permette anche un moto (traslatorio) di corpo rigido.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 6
Parte 11 – Introduzione al FEM
Matrice Massa
Impiegando le stesse funzioni di forma usate per la determinazione della matrice rigidezza, dalla (21)
abbiamo la matrice delle funzioni di forma:
⎡ x
[ N ] = ⎢1 −
⎣ l
x⎤
l ⎥⎦
Inserendo la (21) direttamente nell’espressione (13), si ottiene:
x ⎛ x ⎞⎤
⎜1 − ⎟⎥
l⎝
l ⎠⎥
dx
2
⎛ x⎞ ⎥
⎜ ⎟ ⎥
⎝l⎠ ⎦
⎡ ⎛ x ⎞2
l ⎢ ⎜1 − ⎟
l⎠
[m] = ρA ∫ ⎢ ⎝
⎢
x⎞
0 x⎛
⎢ ⎜1 − ⎟
l⎠
⎣l ⎝
(28)
cioè:
⎡1
⎢
[m] = ρAl ⎢ 3
1
⎢
⎣6
1⎤
6⎥
1⎥
⎥
3⎦
(29)
Pertanto la matrice massa è:
[m ] =
ρAl ⎡2 1⎤
6
⎢1 2⎥
⎣
⎦
(30)
La matrice definita dalla (30) è una matrice massa coerente poiché è stata ottenuta utilizzando la stessa
funzione di forma impiegata per ottenere la matrice rigidezza (27).
La matrice massa concentrata si può ottenere concentrando la massa dell’elemento ai nodi e scrivendo
l’energia cinetica in forma matriciale:
⎡1 0⎤ ⎧ u1 ⎫
1 ρAl 2
1 ρAl
2
T=
(u1 + u 2 ) =
{u1 u 2 } ⎢
⎥⎨ ⎬
2 2
2 2
⎣0 1⎦ ⎩u 2 ⎭
da cui risulta immediatamente:
ρAl ⎡1 0⎤
(31)
[ m] =
2 ⎢⎣0 1⎥⎦
Vettore delle forze nodali
Il vettore delle forze nodali può essere ricavato tramite l’espressione del lavoro virtuale. Se l’asta è
soggetta ad una forza distribuita f(x, t), il lavoro virtuale può essere scritto come:
l
δW (t ) = ∫ f ( x, t ) δu( x, t ) dx =
0
l
⎡⎛
= ∫ f ( x , t ) ⎢⎜ 1 −
⎣⎝
0
x⎞
⎤
⎛x⎞
⎟δu1 (t ) + ⎜ ⎟δu2 (t )⎥ dx =
l⎠
⎝l⎠
⎦
(32)
⎡l
⎡l
⎛ x⎞ ⎤
⎛ x⎞ ⎤
= ⎢ ∫ f ( x, t )⎜1 − ⎟ dx ⎥δu1 (t ) + ⎢ ∫ f ( x, t )⎜ ⎟ dx ⎥δu2 (t )
l ⎠ ⎦⎥
⎝
⎝ l ⎠ ⎦⎥
⎣⎢ 0
⎣⎢ 0
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 7
Parte 11 – Introduzione al FEM
Esprimendo la (32) in forma matriciale, si ha:
⎧ f1 (t ) ⎫
⎬
⎩ f 2 (t ) ⎭
δW (t ) = {δu1 (t ) δu2 (t )} ⎨
(33)
Pertanto il vettore delle forze nodali è:
⎧l
⎛ x⎞ ⎫
⎪ ∫ f ( x, t )⎜1 − ⎟ dx ⎪
l⎠ ⎪
⎧ f (t ) ⎫ ⎪
⎝
{ f (t )} = ⎨ 1 ⎬ = ⎨ 0 l
⎬
⎛ x⎞
⎩ f 2 (t ) ⎭ ⎪
f ( x, t )⎜ ⎟ dx ⎪
⎪ ∫
⎪
⎝l⎠
⎩ 0
⎭
(34)
VIBRAZIONI TORSIONALI DELLA TRAVE
Consideriamo un elemento di trave di sezione uniforme soggetto a vibrazioni torsionali e avente l’asse x
diretto come in figura 3. Sia G il modulo di elasticità tangenziale e con GJ si indichi la rigidezza
torsionale essendo J la costante di torsione della sezione (per sezioni circolari J si riduce al momento
d’inerzia polare della sezione).
Fig. 3. Elemento trave soggetto a vibrazioni torsionali.
L’elemento ha due nodi, l e 2, ciascuno con un solo grado di libertà, cioè la rotazione. Il vettore
spostamento (rotazione) nodale in questo caso è:
⎧θ (t ) ⎫
{δ } = ⎨ 1 ⎬
⎩θ 2 (t ) ⎭
La rotazione all’interno dell’elemento può essere assunta lineare in x, ovvero può essere espressa come
segue:
θ ( x, t ) = a (t ) + b(t ) x
o, in alternativa, anche come:
⎧θ (t ) ⎫
θ ( x, t ) = [ N1 ( x ) N 2 ( x )]⎨ 1 ⎬
⎩θ 2 (t ) ⎭
dove N1(x) e N2(x) si determinano in maniera analoga a quanto fatto per le vibrazioni longitudinali, ossia
imponendo le condizioni al contorno (vedi equazioni 15 – 21).
Risulta:
⎡ x x⎤
[ N ] = [ N1 ( x ) N 2 ( x )] = ⎢1 −
⎣ l l ⎥⎦
Scriviamo ora le espressioni dell’energia cinetica, dell’energia di deformazione e del lavoro virtuale; si ha
rispettivamente:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 8
Parte 11 – Introduzione al FEM
1
1
⎧ ∂θ ( x, t ) ⎫
T
T = ∫ J0 ⎨
⎬ dx = {δ} [m ]{δ}
2 0 ⎩ ∂t ⎭
2
1
1
⎧ ∂θ ( x, t ) ⎫
T
U = ∫ GJ ⎨
⎬ dx = {δ } [k ]{δ }
∂
20
x
2
⎩
⎭
2
l
l
2
l
δW = ∫ f ( x, t ) δθ ( x, t ) = δ {δ }T { f (t )}
0
dove f(x,t) è una coppia distribuita per unità di lunghezza. Sostituendo l’espressione di θ(x,t) ed
eseguendo le operazioni di integrazione, si ottengono le matrici massa e rigidezza ed il vettore delle forze
nodali:
⎧l
⎛ x⎞ ⎫
⎪∫ f ( x, t )⎜1 − ⎟ dx ⎪
l⎠ ⎪
⎧ f (t ) ⎫ ⎪
J l ⎡2 1⎤
⎝
GJ ⎡ 1 − 1⎤
{ f (t )} = ⎨ 1 ⎬ = ⎨ 0 l
[k ] =
[m ] = 0 ⎢
⎬
⎢
⎥
⎥
l ⎣− 1 1 ⎦
6 ⎣1 2⎦
⎛ x⎞
⎩ f 2 (t ) ⎭ ⎪
f ( x, t )⎜ ⎟ dx ⎪
⎪ ∫
⎪
⎝l⎠
⎩ 0
⎭
Nel caso di sezione circolare risulta essere:
J = Ip con Ip momento di inerzia polare della sezione,
J0 = ρIp, con ρ densità del materiale,
per cui le matrici rigidezza e massa diventano rispettivamente:
[k ] =
G I p ⎡ 1 − 1⎤
l ⎢⎣ − 1 1 ⎥⎦
[m] =
ρ I p l ⎡2 1⎤
6
⎢1 2⎥
⎣
⎦
Nel caso di sezione generica, la costante di torsione J si può ricavare in base alla seguente espressione
approssimata:
J ≈ 0.025 A4 I p
dove A è l’area della sezione
oppure impiegando apposite tabelle come, ad esempio, quella che segue:
Tabella – Valori della costante di torsione per sezioni diverse da quella circolare.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 9
Parte 11 – Introduzione al FEM
VIBRAZIONI FLESSIONALI DELLA TRAVE (ELEMENTO BEAM)
Consideriamo ora un elemento trave secondo la teoria di Eulero-Bernoulli (si trascurano l’effetto taglio e
l’inerzia rotazionale). La fig. 4 mostra un elemento trave soggetto ad una forza trasversale distribuita
f(x,t).
Fig. 4. Elemento beam.
I nodi possiedono due gradi di libertà ciascuno: la traslazione in direzione trasversale e la rotazione.
Pertanto, il vettore degli spostamenti nodali è il seguente:
⎧ w1 (t ) ⎫
⎪ w (t ) ⎪
⎪
⎪
{δ } = ⎨ 2 ⎬
⎪ w3 (t ) ⎪
⎪⎩ w4 (t ) ⎪⎭
Si avranno pertanto due forze nodali f1(t) e f3(t) corrispondenti ai due spostamenti
nodali w1(t) e w3(t) e due momenti flettenti f2(t) e f4(t) corrispondenti rispettivamente
alle rotazioni nodali w2(t) e w4(t).
Per lo spostamento trasversale di un generico punto dell’elemento trave può essere
assunto un polinomio di terzo grado in x, come nel caso della deformata statica:
w( x, t ) = a(t ) + b(t ) x + c(t ) x 2 + d (t ) x 3
Le quattro costanti a, b, c, d, si ricavano dai valori assunti da w(x,t) e dalla sua derivata spaziale in
corrispondenza dei due nodi:
∂w
w(0, t ) = w1 (t )
(0, t ) = w2 (t )
∂x
∂w
w(l , t ) = w3 (t )
(l , t ) = w4 (t )
∂x
Si ha dunque:
a (t ) = w1 (t )
b(t ) = w2 (t )
1
[ −3w1 (t ) − 2 w2 (t )l + 3w3 (t ) − w4 (t )l ]
l2
1
d (t ) = 3 [2 w1 (t ) + w2 (t )l − 2 w3 (t ) + w4 (t )l ]
l
c(t ) =
Che sostituite nell’espressione di w(x,t) forniscono:
2
3
⎡
⎛x⎞
⎛x⎞
w( x, t ) = ⎢1 − 3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟
⎝l⎠
⎝l⎠
⎢⎣
2
⎛x⎞
⎛x⎞
x − 2l ⎜ ⎟ + l ⎜ ⎟
⎝l⎠
⎝l⎠
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
3
2
⎛ x⎞
⎛ x⎞
3⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟
⎝l⎠
⎝l⎠
3
⎧ w1 ⎫
2
3 ⎪
⎪
⎛x⎞
⎛ x ⎞ ⎤ ⎪w ⎪
− l⎜ ⎟ + l⎜ ⎟ ⎥⎨ 2 ⎬
⎝l⎠
⎝ l ⎠ ⎥⎦ ⎪ w3 ⎪
⎪⎩ w4 ⎪⎭
11 – 10
Parte 11 – Introduzione al FEM
In altre parole, le funzioni di forma sono:
2
⎛ x⎞
⎛ x⎞
N1 ( x ) = 1 − 3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟
⎝l⎠
⎝l⎠
2
3
2
⎛x⎞
⎛x⎞
N 3 ( x ) = 3⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟
⎝l⎠
⎝l⎠
⎛x⎞
⎛x⎞
N 2 ( x ) = x − 2l ⎜ ⎟ + l ⎜ ⎟
⎝l⎠
⎝l⎠
3
2
3
⎛x⎞
⎛x⎞
N 4 ( x ) = −l ⎜ ⎟ + l ⎜ ⎟
⎝l⎠
⎝l⎠
3
L’energia cinetica, quella di deformazione ed il lavoro virtuale compiuto dalla forza distribuita f(x,t), si
possono esprimere rispettivamente come:
2
l
T=
1
1
⎧ ∂w( x, t ) ⎫
T
ρA ⎨
⎬ dx = {δ} [m]{δ}
∫
2 0 ⎩ ∂t ⎭
2
2
l
⎧ ∂ 2 w( x, t ) ⎫
1
1
T
U = ∫ EI ⎨
⎬ dx = {δ } [k ]{δ }
2
2 0 ⎩ ∂x
2
⎭
l
δW = ∫ f ( x, t ) δw( x, t ) = δ {δ }T { f (t )}
0
con ρ densità del materiale, E modulo di Young, I momento di inerzia della sezione trasversale, A area
della sezione trasversale della trave e dove:
⎧δw1 (t ) ⎫
⎪δw (t ) ⎪
⎪
⎪
δ {δ } = ⎨ 2 ⎬
⎪δw3 (t ) ⎪
⎪⎩δw4 (t ) ⎪⎭
⎧ f1 ( t ) ⎫
⎪ f (t ) ⎪
⎪
⎪
{ f (t )} = ⎨ 2 ⎬
⎪ f 3 (t ) ⎪
⎪⎩ f 4 (t ) ⎪⎭
Sostituendo l’espressione di w(x,t) ed eseguendo le operazioni di integrazione, si ottengono le matrici
massa e rigidezza ed il vettore delle forze nodali:
⎡ 156
⎢
ρAl ⎢ 22l
[m] =
420 ⎢ 54
⎢
⎣ − 13l
22l
4l 2
13l
− 3l 2
54
13l
156
− 22l
− 13l ⎤
− 3l 2 ⎥
⎥
− 22l ⎥
⎥
4l 2 ⎦
6l
⎡ 12
⎢ 6l
4l 2
EI ⎢
[k ] = 3
l ⎢− 12 − 6l
⎢
2l 2
⎣ 6l
− 12
− 6l
12
− 6l
6l ⎤
2l 2 ⎥
⎥
− 6l ⎥
⎥
4l 2 ⎦
l
f i (t ) = ∫ f ( x, t ) N i ( x ) dx
i = 1, 2, 3, 4
0
Si osservi che la matrice rigidezza [k] è singolare e ha rango 2; ciò significa che solo due dei vettori che
compongono [k] sono linearmente indipendenti. Il motivo è che la funzione spostamento w(x,t) assunta
permette due moti di corpo rigido, una traslazione ed una rotazione.
La matrice massa concentrata si può ottenere concentrando la massa dell’elemento ai nodi e scrivendo
l’energia cinetica in forma matriciale:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 11
Parte 11 – Introduzione al FEM
T=
1 ρAl
1 ρAl
2
2
{w 1
( w 1 + w 3 ) =
2 2
2 2
w 2
0 0 0⎤ ⎧ w 1 ⎫
0 0 0⎥⎥ ⎪⎪w 2 ⎪⎪
⎨ ⎬
0 1 0⎥ ⎪ w 3 ⎪
⎥
0 0 0⎦ ⎪⎩w 4 ⎪⎭
⎡1
⎢0
w 4 } ⎢
⎢0
⎢
⎣0
w 3
da cui risulta immediatamente:
⎡1
⎢
ρAl ⎢0
[ m] =
2 ⎢0
⎢
⎣0
0 0 0⎤
0 0 0⎥⎥
0 1 0⎥
⎥
0 0 0⎦
Al contrario di quanto avviene per le vibrazioni longitudinali, nel caso della flessione la matrice massa
coerente è molto più efficace di quella concentrata poiché quest’ultima non tiene conto dell’effetto di
rotazione dell’elemento.
ASSEMBLAGGIO
Per passare dai singoli elementi all’intera struttura, si scrivono le espressioni dell’energia cinetica e
dell’energia di deformazione della struttura secondo le relazioni (1’) e (1’’). In altre parole l’energia
cinetica e l’energia di deformazione della struttura sono la somma rispettivamente delle energie cinetiche
e di quelle di deformazione di ciascun elemento. Le equazioni di Lagrange, infine, permettono di scrivere
le equazioni differenziali del moto.
Esempio
Per illustrare il procedimento dell’assemblaggio, consideriamo l’asta di lunghezza L rappresentata in fig.
5. L’asta ha un estremo incastrato e l’altro libero ed è soggetta ad un moto longitudinale. L’asta viene
discretizzata con tre elementi finiti del tipo di fig. 2, ciascuno di lunghezza l = L/3.
Fig. 5. Asta con un estremo fisso modellata con tre elementi uguali.
L’energia di deformazione della struttura si ottiene sommando le energie di deformazione dei tre elementi
e tenendo conto della condizione al contorno (condizione di vincolo) u1 = 0. Impiegando le matrici
rigidezza (27) dei singoli elementi, si ha:
⎡ 1 − 1⎤ ⎧ 0 ⎫ 1 3EA
1 3EA
{0 u2 } ⎢
⎥ ⎨u ⎬ + 2 L {u2
1
1
−
2 L
⎣
⎦⎩ 2 ⎭
⎡ 1 − 1⎤ ⎧u3 ⎫
1 3EA
+
{u3 u4 } ⎢
⎥⎨ ⎬
2 L
⎣ − 1 1 ⎦ ⎩u4 ⎭
U=
Scrivendo l’equazione di Lagrange si ottiene:
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
⎡ 1 − 1⎤ ⎧u2 ⎫
u3 } ⎢
⎥ ⎨u ⎬ +
1
1
−
⎣
⎦⎩ 3 ⎭
⎫
⎧∂U
⎡ 2 − 1 0⎤ ⎧u2 ⎫
⎪ ∂u2 ⎪
⎪ 3EA ⎢
⎪∂U
⎪ ⎪
− 1 2 1 ⎥ ⎨ u3 ⎬
⎨ ∂u ⎬ =
⎥
3
L ⎢
⎪
⎪
⎢⎣ 0 − 1 1⎥⎦ ⎪⎩u4 ⎪⎭
U
∂
⎪ ∂u ⎪
⎩
4⎭
11 – 12
Parte 11 – Introduzione al FEM
La matrice di rigidezza [K] della struttura, ottenuta assemblando i tre elementi, è pertanto:
⎡ 2 −1 0 ⎤
3EA ⎢
[K ] =
− 1 2 − 1⎥⎥
⎢
L
⎢⎣ 0 − 1 1 ⎥⎦
E’ fondamentale osservare che la matrice della struttura si può ottenere senza scrivere esplicitamente né
l’espressione di U, né l’equazione di Lagrange, bensì sovrapponendo le tre matrici rigidezza (27) dei
singoli elementi ed eliminando la prima riga e la prima colonna, cioè le righe e le colonne corrispondenti
alla condizione u1 = 0:
0
0⎤
−1
⎡1
⎢− 1 1 + 1 − 1 0 ⎥
3EA ⎢
⎥
[K ] =
L ⎢ 0 − 1 1 + 1 − 1⎥
⎢
⎥
0
−1 1 ⎦
⎣0
Per quanto riguarda l’energia cinetica, impiegando le matrici massa (3) dei singoli elementi, risulta:
⎡2 1⎤ ⎧ 0 ⎫ 1 ρAl
1 ρAl
{0 u2 } ⎢
{u2
⎥⎨ ⎬ +
2 6
⎣1 2⎦ ⎩u2 ⎭ 2 6
⎡2 1⎤ ⎧u3 ⎫
1 ρAl
+
{u3 u4 } ⎢
⎥⎨ ⎬
2 6
⎣1 2⎦ ⎩u4 ⎭
T=
⎡2 1⎤ ⎧u 2 ⎫
u3} ⎢
⎥⎨ ⎬ +
⎣1 2⎦ ⎩u3 ⎭
e scrivendo l’equazione di Lagrange si ottiene:
⎧ d ⎛ ∂T
⎞⎫
⎪ dt ⎜⎝ ∂u2 ⎟⎠ ⎪
4 1 0⎤ ⎧u2 ⎫
⎪⎪ d
⎪⎪ ρAl ⎡
⎪ ⎪
⎢
⎛
⎞
1 4 1⎥ ⎨u3 ⎬
⎨ ⎜ ∂T ∂u ⎟ ⎬ =
⎢
⎥
3⎠
6
⎪ dt ⎝
⎪
⎢⎣0 1 2⎥⎦ ⎪⎩u4 ⎪⎭
d
⎪
⎪
∂T
∂u 4 ⎪⎭
⎪⎩ dt
(
)
La matrice massa dell’intera struttura è pertanto:
⎡ 4 1 0⎤
[M ] =
1 4 1⎥
⎥
6 ⎢
⎣⎢0 1 2⎦⎥
ρAl ⎢
Si vede immediatamente che anche la matrice massa della struttura si può ottenere sovrapponendo le
matrici massa dei singoli elementi ed eliminando le righe e le colonne corrispondenti alla condizione
u1=0.
E’ opportuno rilevare che, una volta effettuato l’assemblaggio, i vari elementi finiti risultano collegati fra
loro nei nodi, nel senso che essi si trasmettono forze attraverso i nodi e che nei nodi sono soddisfatte le
condizioni di congruenza (cioè tutti gli elementi che confluiscono in un nodo hanno ivi gli stessi
spostamenti).
Osserviamo anche che si possono assemblare tra loro anche elementi diversi, o addirittura parti di sistemi
modellati con tecniche diverse, per esempio ad elementi finiti ed a parametri concentrati.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 13
Parte 11 – Introduzione al FEM
FREQUENZE E MODI DI VIBRARE
Le frequenze naturali e i modi di vibrare si ottengono dall’equazione del moto omogenea:
[m]{δ} + [k ]{δ } = {0}
Ipotizzando una soluzione nella forma:
{δ } = {δ 0 } e jωt
l’equazione diviene:
(
)
− ω 2 [m]{δ 0 } + [k ]{δ 0 } = − ω 2 [m] + [k ] {δ 0 } = {0}
ossia il classico problema agli autovalori ed autovettori.
Anche per sistemi relativamente semplici e di piccole dimensioni, le matrici [k] e [m] possono avere
diverse centinaia di elementi. La soluzione dell’autoproblema risulta pertanto essere non banale e richiede
opportuni algoritmi atti a minimizzare il costo computazionale e la richiesta di memoria. La trattazione di
tali problematiche esula dagli scopi della presente dispensa e per essa si rimanda a testi specializzati.
BIBLIOGRAFIA
* S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
* D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994.
* M. Lalanne, P. Berthier, J.D. Hagopian, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and Sons,
1984.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
11 – 14
Esercitazioni
Università degli Studi di Bologna – Scuola di Ingegneria e Architettura – Sede di Forlì
ESERCITAZIONI del CORSO di
DINAMICA DELLE MACCHINE E DEI SISTEMI MECCANICI LM
(Componente del C.I. MECCANICA E DINAMICA DELLE MACCHINE LM)
per allievi del Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA
Anno Accademico 2013-2014
prof. Alessandro RIVOLA
Tel. 0543 374441 e-mail: [email protected]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Riduzione di forze e masse.
Impianto di frenatura.
Scelta di un innesto a frizione.
Analisi del transitorio di un ventilatore.
Calcolo del volano in un impianto funzionante in condizioni di regime periodico.
Calcolo di costanti elastiche.
Applicazione del metodo energetico.
Frequenza propria di una colonna con serbatoio elevato.
Applicazione del metodo energetico.
Risposta di un sistema ad un gdl ad una eccitazione a gradino con rampa iniziale.
Sistema a 2 gdl.
Vibrazioni torsionali di un motore marino.
Modifiche strutturali.
Applicazione del metodo di Rayleigh ad un continuo.
Definizione dei parametri di acquisizione.
Vibrazioni flessionali con FEM.
I1
I2
I3
I4
I5
I6
S1
MATALAB: zero di funzione.
MATLAB: integrazione di equazioni differenziali (ODE).
MATLAB: calcolo di autovalori e autovettori di una matrice.
SIMULINK: integrazione di equazioni differenziali.
SIMULINK: integrazione di equazioni differenziali non lineari: presenza del gioco.
SIMULINK: modelli elementari di meccanismi.
Esercitazione sperimentale.
Misura di frequenze naturali. Scelta dei parametri di acquisizione. Eccitazione di una struttura con
shaker elettrodinamico. Eccitazione di una struttura con martello strumentato. Rilievo sperimentale di
FRF. Osservazioni sulla funzione coerenza. Estrazione dei parametri modali. Animazione dei modi di
vibrare.
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
ESERCITAZIONI: MODALITÀ DI ESAME
Le esercitazioni riguardano complementi ed applicazioni degli argomenti del corso.
Tutte le esercitazioni svolte ed elencate costituiscono materia di esame.
Alcune esercitazioni sono contraddistinte da un asterisco (*).
Al momento di sostenere l’esame, l’allievo è tenuto a consegnare alla commissione esaminatrice
tali esercizi, svolti secondo le seguenti modalità:
1. Gli esercizi devono venire eseguiti su fogli formato A4 o su un quaderno dello stesso formato. Sul
quaderno - o su ciascuno dei fogli - devono essere chiaramente indicati cognome, nome e numero di
matricola dell’allievo.
2. Non è ammesso scrivere a matita.
3. Lo svolgimento deve contenere: il testo e i dati dell’esercizio; l’elenco dei simboli con il relativo
significato numerico; la traccia dello svolgimento; tutte le formule impiegate, scritte prima in forma
letterale e poi con i valori numerici delle varie quantità; i risultati, con l’indicazione delle unità di
misura; i grafici qualora richiesto.
4. Il sistema di unità di misura adottato è il Sistema Internazionale (SI).
I testi sono disponibili in segreteria e seguendo i link: diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola.html o
www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E–1
Esercitazioni
TABELLA di RIEPILOGO DEI RISULTATI
EX 2 - IMPIANTO DI FRENATURA
Somma ultime due cifre numero di
Coppia frenante
matricola
Lavoro dissipato
[Nm]
Tiro fune
[J]
[N]
EX 3 - TRANSITORIO DI AVVIAMENTO TRAMITE INNESTO A FRIZIONE
Resto divisione per 4 del n. di matricola
Vel. angolare a REGIME
Coppia a REGIME
Scelta innesto No.
Istante di sincronismo ts
Durata fase per il raggiungimento del regime Tr
Durata totale del transitorio: T = Tc+Ts+Tr
Lavoro dissipato in una operazione di innesto
Massima frequenza ammissibile
No. di inserzioni richiedenti la regolazione del tra ferro
No. totale di inserzioni
EX 4 - TRANSITORIO DI AVVIAMENTO DI UN VENTILATORE
ultima cifra del numero di matricola
Omega 1 segnato
Omega di regime
Istante t1
Istante TR (99% regime)
99% omega di regime
[rad/s]
[Nm]
[s]
[s]
[s]
[J]
[Hz]
[rad/s]
[rad/s]
[s]
[s]
[rad/s]
EX 5 - DIMENSIONAMENTO DEL VOLANO
ultime due cifre, u e v, del numero di matricola
Vel. angolare minima Omega1
Vel. angolare massima Omega0
Momento di inerzia del volano
Motore scelto No.
Potenza
[rad/s]
[rad/s]
[kgm2]
[W]
EX 8 - FREQUENZA PROPRIA FLESSIONALE DI UN SERBATOIO ELEVATO
ultime due cifre, u e v, del numero di matricola
u=
v=
Prima frequenza propria
[Hz]
EX 12 - VIBRAZIONI TORSIONALI DI UN MOTORE MARINO
ultima cifra del numero di matricola
v=
Prima frequenza propria
Seconda frequenza propria
Rapporto r1=[Φ2/Θ1]1
Rapporto r2=[Φ2/Θ1]2
EX 13 – MODIFICHE STRUTTURALI
ultime due cifre, u e v, del numero di matricola
Prima frequenza propria
Seconda frequenza propria
Terza frequenza propria
Seconda frequenza propria dopo le modifiche
[Hz]
[Hz]
u=
v=
[rad/s]
[rad/s]
[rad/s]
[rad/s]
EX 15 – DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI ACQUISIZIONE
ultime due cifre, u e v, del numero di matricola
Frequenza di taglio del filtro passa basso (anti-aliasing)
Frequenza di campionamento minima
Il numero di punti da elaborare tenendo conto che si desidera utilizzare l’algoritmo FFT
EX 16 – VIBRAZIONI FLESSIONALI CON FEM
ultima cifra del numero di matricola
Prima frequenza propria
Seconda frequenza propria
Primo Modo
w3=
w4=
Secondo Modo
w3=
w4=
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
u=
v=
[Hz]
[Hz]
v=
w5=
w5=
[Hz]
[Hz]
w6=
w6=
E–2
Esercitazioni
Esercitazione 1 – RIDUZIONE DI MASSE E MOMENTI DI INERZIA
Esercizio 1
Per l’ingranaggio pignone–dentiera
di figura, dati la massa m della
dentiera, il raggio primitivo R del
pignone ed il suo momento di inerzia
JO (rispetto al suo asse di rotazione
O), trovare:
(i) la massa equivalente del sistema
ridotta alla coordinata x
(ii) il momento di inerzia equivalente
ridotto all’asse O.
(“Mechanical vibrations”, S.S. Rao, p. 33)
T=
1 2 1 &2
mx& + J oθ
2
2
Esercizio 2
Due cilindri, aventi momenti di inerzia J1 e J2,
sono calettati su due alberi paralleli rigidi e di
massa trascurabile, collegati da un ingranaggio le
cui due ruote, indicate con 1 e 2 in figura, hanno
rispettivamente numero di denti pari a n1 e n2 e
massa trascurabile.
Trovare il momento di inerzia equivalente risotto
alla coordinata θ1.
(“Mechanical vibrations”, S.S. Rao, p. 82)
Esercizio 3
Per il meccanismo di
figura, dati la massa m
del carrello, la massa m2
del membro rigido 2, il
momento di inerzia J1 del
membro rigido 1 rispetto
al suo asse di rotazione
O, il momento di inerzia
baricentrico JpG della
puleggia, la massa mc del
cilindro ed il suo
momento di inerzia
baricentrico JcG, trovare
la massa equivalente del
sistema ridotta ad un
punto del carrello.
Si noti che il membro
rigido 1 ruota
solidalmente alla
puleggia.
(“Mechanical vibrations”, S.S. Rao, p. 35)
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
T = mx& 2 + J pGθ&p + J1θ&1 + m2 x& 2 + mc x&2 + J cGθ&c
2
2
2
2
2
2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E–3
Esercitazioni
Esercizio 4
Con riferimento alla seguente figura,
trovare la massa equivalente del sistema
ridotta alla coordinata x.
(“Mechanical vibrations”, S.S. Rao, p. 81)
Esercizio 5
Per il meccanismo di
distribuzione di figura sono note
le proprietà inerziali dei membri
dotati di moto alterno: la massa
mp dello spintore, la massa mr del
bilanciere, il suo momento di
inerzia baricentrico JrG, la massa
mv della valvola.
Ritenendo le masse di rotella e
molla trascurabili, trovare la
massa alterna equivalente del
meccanismo assumendo che tale
massa sia collocata:
(i) nel punto A
(ii) nel punto C
(“Mechanical vibrations”, S.S. Rao, p. 36)
T=
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
1
1
1
1
2
2
2
2
m p x& p + mv x& v + J rGθ&r + mr x& r
2
2
2
2
E–4
Esercitazioni
Esercitazione 2 – IMPIANTO DI FRENATURA (*)
Determinare la coppia frenante che deve essere applicata dal freno per arrestare l’impianto di
montacarichi schematizzato in figura nell’intervallo di tempo ∆t.
Si ipotizzi che durante la manovra di arresto la coppia frenante sia costante e la coppia fornita dal motore
sia nulla ed, inoltre, che all’inizio della manovra stessa il carico stia scendendo con velocità v costante.
Si calcoli inoltre:
- il lavoro dissipato dal freno durante la manovra di arresto;
- l’intensità della forza sollecitante la fune durante la frenatura.
Q = peso del carico
v = velocità di discesa del carico all’inizio della manovra
R = raggio del tamburo
∆t = tempo di frenatura
J1 = momento di inerzia complessivo dei componenti a monte del riduttore
J2 = momento di inerzia complessivo dei componenti a valle del riduttore
τ = rapporto di trasmissione del riduttore
η‘ = rendimento del riduttore nel moto retrogrado
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E–5
Esercitazioni
Esercitazione 3 – SCELTA DI UN INNESTO A FRIZIONE (*)
Si consideri un impianto (fig. 1) costituito da un motore elettrico asincrono trifase, un innesto a frizione
ad azionamento elettromagnetico, un riduttore ad ingranaggi ed una macchina operatrice.
Riguardo al motore elettrico, sono noti la potenza, Pn, e lo scorrimento, sn, in condizioni nominali, ed il
valore della velocità angolare a vuoto, n10; si determini la caratteristica meccanica, considerandola
lineare nel campo di funzionamento normale.
Sono noti anche la caratteristica meccanica della macchina operatrice, M3 = M30 + k3Ω3 (il momento
resistente M3 è somma di un termine costante M30 ed uno dipendente linearmente dalla velocità angolare
Ω3), il rapporto di trasmissione del riduttore, τr, il momento di inerzia delle parti a monte dell'innesto, J1,
e quello delle parti poste a valle dell'innesto stesso, J3, ridotto all'asse della macchina operatrice.
In tab. 1 sono riportate le caratteristiche tecniche di una serie di innesti a frizione dello stesso tipo (fig. 2),
in ordine crescente di dimensioni. Si scelga tra questi l'innesto che soddisfa le seguenti condizioni:
1) il momento applicato alla macchina operatrice non superi il valore M3max;
2) la durata globale T del transitorio di avviamento con macchina operatrice ferma e motore funzionante
a vuoto, non superi il valore Tmax; T è il tempo intercorrente tra l'istante in cui è azionato
l'elettromagnete e l'istante in cui l'impianto ha raggiunto il 99% della velocità di regime;
3) il lavoro dissipato in una singola operazione di innesto, Lp, non sia superiore al massimo valore
ammissibile per l'innesto scelto (v. tab. 1);
Per motivi di ingombro, inerzia e costo, la scelta deve cadere sull'innesto di dimensioni più piccole che
soddisfa le condizioni precedenti.
Si consideri costante il momento Mf trasmesso dall'innesto in condizioni di slittamento.
Si trascurino le perdite per attriti in organi diversi dall'innesto.
In base ai dati riportati in tab. 1, si calcoli per l'innesto scelto:
4) la massima frequenza di inserzione ammissibile, fimax;
5) il numero di inserzioni zr intercorrenti tra due operazioni successive di regolazione del traferro;
6) il numero totale di inserzioni zmax durante la vita utile del disco di frizione.
Infine si tracci l’andamento in funzione del tempo delle velocità angolari durante il transitorio.
DATI
Resto divisione per 4
del n. di matricola
Pn
[kW]
sn
0
1
2
4
4
4
Resto divisione per 4
del n. di matricola
3
7.5 k3
[Nm/(rad/s)]
0.05 0.04 0.05 0.03 J1
[kgm²]
n10 [rpm] 1500 3000 750 750 J3
[kgm²]
τr
1/15 1/21
M30 [Nm]
100
1/9
1/7 M3max [Nm]
70 120 180 Tmax
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
[ms]
0
1
2
3
18
9
25
30
0.005 0.005 0.005 0.013
1.8
0.9
2.7
3.2
1200 1000 1400 2200
75
75
85
85
E–6
Esercitazioni
TIPO
Tab. 1 - Caratteristiche tecniche degli innesti
3
4
5
6
7
8
9
Mf
[Nm]
12
23
43
75
145 280
570
Tc
[ms]
10
12
12
20
25
60
50
J1f
[10-3kgm2] 0.128 0.319 0.868 1.94 5.0 16.5 45.0
J2f
[10-3kgm2] 0.035 0.105 0.297 0.704 1.4
31.5
Lpmax
[kJ]
4.4
6.9
14.8
20
50
80
Ppmax
[W]
86
112
140
196 290 370
499
Lph
[MJ/mm]
143
251
343
509 789 1270 2240
hr
[mm]
0.1
0.15
0.2
0.3
0.4 0.45
0.5
hmax
[mm]
0.8
1.0
1.2
1.4
1.7
2.0
Mf - momento trasmesso in condizioni di slittamento
Tc - durata della fase di accostamento delle superfici
di frizione (recupero del traferro)
J1f - momento di inerzia delle parti dell'innesto
solidali con l'albero motore
J2f - momento di inerzia delle parti dell'innesto
solidali con l'albero condotto
Lpmax - lavoro dissipato massimo ammissibile per
ogni operazione di innesto
32
8.1
1.8
Ppmax - valore massimo ammissibile
della potenza media dissipata
Lph - lavoro dissipato per unità di
spessore usurato del disco di frizione
hr - spessore usurato richiedente la
regolazione del traferro
hmax - spessore massimo utile del disco
di frizione
Fig. 1 – Schema dell'impianto
Fig. 3 – Sistema ridotto
Fig. 2 – Innesto a frizione ad
azionamento elettromagnetico
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E–7
Esercitazioni
Esercitazione 4 – TRANSITORIO DI AVVIAMENTO (*)
L'impianto di fig.l è costituito da un motore elettrico asincrono trifase, da un riduttore ad ingranaggi e da
un ventilatore. Il riduttore è a sua volta costituito da due ruote dentate A e B.
Si richiede di:
Valutare il tempo TR necessario per portare il ventilatore alla velocità di regime ωR.
Tracciare l’andamento in funzione del tempo della velocità angolare durante il transitorio.
DATI
ξ
ultima cifra del numero di matricola
Motore:
ξ
I m = 0.05 +
Riduttore:
kg ⋅ m 2 (mom. inerzia)
200
Pn = 5 kW (potenza nominale)
z A = 20 + ξ
z B = 100 + ξ
ω10 = 1500 rpm (velocità a vuoto)
ω1n = 1420 rpm (velocità nominale)
ξ 

I A =  2.0 +  ⋅10− 4 kg ⋅ m 2 (mom. inerzia ruota A)
10 

ξ 

M m 0 =  2.0 +  ⋅ M m n
20 

ξ  −1

2
I B = 1.2 +
 ⋅10 kg ⋅ m (mom. inerzia ruota B)
100 

Ventilatore:
Pv n = 4 kW (potenza nominale)
nv n = 280 rpm (velocità nominale)
I v = 30.0 +
ξ
10
kg ⋅ m 2 (mom. inerzia ventilatore)
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E–8
Esercitazioni
fig. 2 – Caratteristica meccanica del motore
fig. 3 – Caratteristica meccanica del ventilatore
Esempio numerico:
I m = 0.05 kg ⋅ m 2
Pn = 5 kW
τ = 0.2
ω10 = 1500 rpm
ω1n = 1420 rpm
Pv n = 4 kW
I A = 2.0 ⋅ 10− 4 kg ⋅ m 2
nv n = 280 rpm
I B = 1.25 ⋅10 −1 kg ⋅ m 2
I v = 30.5 kg ⋅ m 2
M m 0 = 2.5 ⋅ M m n
Risultati:
Omega 1 segnato = 136.1357 [rad/s]
Omega di regime = 149.9668 [rad/s]
Istante t1 = 2.2985 [s]
Istante TR (99% regime) = 2.9459 [s]
99% omega di regime = 148.4671 [rad/s]
Transitorio di avviamento
250
Velocita' angolare [rad/s]
200
150
100
50
0
0
1
2
3
Tempo [s]
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
4
5
6
E–9
Esercitazioni
Esercitazione 5 – DIMENSIONAMENTO DEL VOLANO (*)
Si consideri un impianto funzionante in servizio continuo in condizioni di regime periodico.
L'impianto è costituito da un motore asincrono trifase a quattro poli, un riduttore ed una macchina
operatrice di tipo rotativo.
Il motore, alimentato in corrente alternata a 50 Hz, ha potenza nominale Pn, scorrimento nominale sn e
momento d'inerzia Jm. Al variare dell'angolo di rotazione dell'albero motore il momento resistente della
macchina operatrice ridotto all'asse del motore ha andamento costante a tratti: all'interno del periodo vale
Mrl per i primi gl giri dell'albero motore, ed è pari ad Mr2 per i successivi g2 giri. Sia inoltre J0 il momento
d'inerzia dell'intero impianto, ad esclusione del motore, ridotto all'albero motore.
Si richiede di:
-
scegliere il motore elettrico all'interno della gamma fornita;
calcolare il momento d 'inerzia del volano da calettare sull'albero motore per conseguire il grado di
irregolarità δ assegnato.
DATI
I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola (numero di matricola
= #####uv).
Mrl = 50 + 2 u2 + 3 uv + 10 v [N m]
Mr2 = 7 + v [N m]
J0 = 1 + v/4 [kg m2]
gl = 12 + u [giri]
g2 = 16 - v [giri]
δ = 0.014
Motori elettrici disponibili:
1
Pn
Sn
Jm
Pn
Sn
Jm
[kW]
[%]
[kgm2]
[kW]
[%]
[kgm2]
5.5
4.67
0.0165
2
7.5
4.67
0.0213
3
4
11.
4.00
0.049
15
3.67
0.063
5
18.5
3.33
0.103
22.
3.33
0.123
10
55.
2.00
0.570
11
75.
2.00
0.930
12
90.
2.00
1.168
7
8
9
30.
3.00
0.183
37.
2.67
0.318
45.
2.33
0.383
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
6
E – 10
Esercitazioni
Esercitazione 6 – CALCOLO DI COSTANTI ELASTICHE
Esercizio 1
Con riferimento al propulsore
ad elica di figura, determinare
la rigidezza torsionale
dell’albero, noto il modulo di
elasticità tangenziale del
materiale G = 8 × 1010 N/m2.
Esercizio 2
Con riferimento
all’impianto di
sollevamento di figura,
determinare la costante
elastica equivalente del
sistema quando
lunghezza libera della
fune è pari a l.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E – 11
Esercitazioni
Esercizio 3
Con riferimento al carrello
ferroviario mostrato in figura,
determinare la costante elastica
equivalente di ciascuna
sospensione realizzata con tre
molle ad elica in acciaio (modulo
di elasticità tangenziale
G = 8 × 1010 N/m2) aventi
diametro D = 20 cm e diametro
della spira d = 2 cm.
Esercizio 4
Con riferimento alla
macchina per sollevamento
carichi di figura,
determinare la costante
elastica equivalente del
sistema in direzione
verticale.
Il puntone è realizzato in
acciaio ed ha una sezione
costante pari a 2500 mm2, il
cavo è anch’esso in acciaio
con sezione pari a 100 mm2.
Si trascuri l’influenza del
tratto di cavo CDEB.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E – 12
Esercitazioni
Esercitazione 7 – APPLICAZIONE DEL METODO ENERGETICO
Determinare la pulsazione naturale di un cilindro di raggio r e massa m che rotola senza strisciare entro
un tubo di raggio R.
O
R
h0
h1
w
W
r
G1
G0
G0 Oˆ G1 = J
V = mg Dh = mg (h0 - h1 )
Energia potenziale
V = mg ( R - r )(1 - cosJ ) » mg ( R - r )
2
J
2
1
VMAX = mg ( R - r )Q 2
2
d (T +V ) = 0
Energia cinetica
1
2
2
T = mvG + I G w 2
2
mr 2
IG =
vG = ( R - r )J& = rw
2
2
1é
mr 2 æ R - r ö ù & 2 3
2 2
T = ê m( R - r ) 2 +
ç
÷ úJ = m( R - r ) J&
2 êë
2 è r ø úû
4
3
2
TMAX = m( R - r ) 2 w n Q 2
4
à
(
)
3
m( R - r )2J&J&& + mg ( R - r )JJ& = 0
2
J = Q cos wnt
VMAX = TMAX
J& = W
wn =
2g
J=0
3( R - r )
2g
3( R - r )
1
13
2
mg ( R - r )Q 2 =
m( R - r ) 2 wn Q 2
2
22
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
J&& +
à
wn =
2g
3( R - r )
E – 13
Esercitazioni
Esercitazione 8 – FREQUENZA PROPRIA DI UNA COLONNA CON SERBATOIO ELEVATO
(*)
Determinare la prima frequenza propria di vibrazione flessionale della colonna con serbatoio elevato
mostrata in figura, supponendo che la sezione tubolare della colonna sia costante.
Si esprima il risultato in Hz utilizzando almeno cinque cifre significative.
Dati:
D = diametro esterno della colonna
d = diametro interno della colonna
l = lunghezza della colonna
E = modulo di elasticità del materiale della colonna
Q = peso del serbatoio
ρ = massa volumica del materiale della colonna
I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola
(numero di matricola = #####uv).
D = 3. + u/10 [m]
d = 2.45 + v/30 [m]
l = 90 + u2 /5 – v [m]
ρ = 2400 + v2 + u [kg/m3]
E = 2.8 × 1010 [N/m2]
Q = (2.7 + u2 /100 + uv /50) × 106 [N]
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E – 14
Esercitazioni
Esercitazione 9 – APPLICAZIONE DEL METODO ENERGETICO
Trovare la frequenza naturale di oscillazione del sistema rappresentato in figura, costituito da un cilindro
omogeneo di raggio r, massa m e momento di inerzia baricentrico JG, vincolato a telaio da due molle di
rigidezza k, nell’ipotesi che il cilindro rotoli sul piano senza strisciare.
Dati:
m
r
k
a
massa del cilindro
raggio del cilindro
rigidezza delle molle
distanza tra il baricentro del disco e il punto di attacco delle molle
m, JG
k
a
r
Risultato:
ωn =
G
k
θ
4k ( r + a ) 2
3mr 2
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E – 15
Esercitazioni
Esercitazione 10 – RISPOSTA DI UN SISTEMA SDOF AD UNA ECCITAZIONE A GRADINO
CON RAMPA INIZIALE
Determinare la risposta del sistema ad un grado di libertà rappresentato in figura, per una eccitazione a
gradino di ampiezza F0 preceduta, per 0 < t < t1, da una rampa.
F(t)
F(t)
m
F0
x(t)
k
0
t1
t
Dati:
m
k
F0
t1
massa
costante elastica della molla
ampiezza del gradino
istante finale della rampa
t
x (t ) = ∫ F (τ ) h (t − τ ) dτ
h(t ) =
0
x1 (t ) =
F0  t sin ω n t 
 −

k  t1
ω n t1 
1
sin ω n t
m ωn
x1 (t − t1 ) =
F0  t − t1 sin ω n (t − t1 ) 


−
k  t1
ω n t1

4
1.2
1
x (t)
1
2
0.8
0
t
1
0.6
0.4
-x (t-t )
1
-2
1
0.2
-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
1
0
0
t
0.2
1
0.4
0.6
0.8
1
E – 16
Esercitazioni
Esercitazione 11 – SISTEMA A DUE GDL
Nel sistema vibrante di figura, in cui le
masse sono dotate del solo moto in
direzione verticale, si assuma n = 1.
•
Trovare le frequenze naturali e le
forme modali.
•
Trovare quali condizioni devono
soddisfare le condizioni iniziali
affinché il sistema vibri solo nel
primo o solo nel secondo modo.
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E – 17
Esercitazioni
Esercitazione 12 – VIBRAZIONI TORSIONALI DI UN MOTORE MARINO (*)
In figura è rappresentato lo schema di un motore marino connesso all’elica mediante un riduttore ad
ingranaggi ad uno stadio. Noti i momenti di inerzia del volano, del motore, delle ruote dentate, dell’elica e
le dimensioni degli alberi, trovare le frequenza naturali e i modi di vibrare torsionali del sistema.
In particolare:
* si trascuri l’inerzia degli alberi;
* si esprima il risultato utilizzando almeno cinque cifre significative;
* si esprimano le frequenze naturali in Hz;
* indicata con θ la rotazione dell’asse motore e con ϕ la rotazione dell’asse dell’elica, esprimere i
modi di vibrare nella seguente forma:
Φ 
Φ 
r1 =  2 
r2 =  2 
 Θ1 1
 Θ1 2
Dati:
Jv
Jm
J1
momento di inerzia del volano
momento di inerzia del motore
momento di inerzia ruota 1
J2
Je
G
momento di inerzia ruota 2
momento di inerzia dell’elica
modulo di elasticità tangenziale acciaio
I dati sono espressi in funzione dell’ultima cifra v del numero di matricola
(numero di matricola = #####v).
Jv = 35000 [kg m2]
Jm = 1000 – 5 v2 [kg m2]
J1 = 250 – v [kg m2]
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
J2 = 150 + 2v [kg m2]
Je = 2000 + 20 v2 [kg m2]
G = 8 × 1010 [N/m2]
E – 18
Esercitazioni
Esercitazione 13 – MODIFICHE STRUTTURALI (*)
In figura è rappresentato un sistema a 3 gdl.
Noti i valori delle masse e delle rigidezze, calcolare:
1)
2)
k1
le 3 pulsazioni naturali del sistema (in rad/s)
le 3 forme modali (eseguire la normalizzazione in
modo che la prima componente sia unitaria)
Inoltre, introdotte nel sistema le modifiche strutturali
indicate nel seguito, calcolare il nuovo valore della seconda
pulsazione propria del sistema impiegando il quoziente di
Rayleigh.
m1
k2
m2
k3
m3
Dati:
m = 1 + u / 10
k = 1 – v / 10
[kg]
[N/m]
m1 = 2 m
m2 = 3 m
m3 = 2 m
k1 = 4 k
k2 = 3 k
k3 = 5 k
Modifiche strutturali:
∆m3 = 0.4 m
∆k2 = 0.7 k
I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola
(numero di matricola = #####uv).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E – 19
Esercitazioni
Esercitazione 14 – APPLICAZIONE DEL METODO DI RAYLEIGH AD UN CONTINUO
Utilizzare il metodo di Rayleigh per calcolare la prima
frequenza propria del sistema rappresentato in figura.
La trave ha modulo elastico E, momento di inerzia di
sezione I, sezione S, densità ρ ed alla sua estremità si trova
una massa concentrata m. Nella sua mezzeria la trave è
collegata a telaio mediante una molla di rigidezza k.
L/2
Si suggerisce di impiegare la funzione di forma seguente:
L/2
m
k
  x  2  x 3 
  L   L  
ϕ ( x) = 3  −   
  x  2  x 3 
v( x, t ) = ϕ ( x) f (t ) = 3  −    f (t )
  L   L  
2
2
L
L

 ∂ 2v 
1
1
1
1
d 2ϕ 
V = ∫ EI  2  dx + k [v( x, t )]2x= L / 2 = ∫ EI  f (t ) 2  dx + k f 2 (t ) [ϕ ( x)]2x = L / 2 =
2 0  ∂x 
2
20 
2
dx 
2
1
36   x 
1
25 1
25 
 12
EI f 2 (t ) 4 ∫ 1 −   dx + k f 2 (t ) = f 2 (t )  EI 3 + k

2
2
64 2
64 
L 0   L 
L

L
=
2
2
[
]
2
1
1  ∂v 
1
1
 ∂v 
2
= ∫ ρS f& (t )ϕ ( x) dx + m f& 2 (t ) [ϕ ( x)]x = L =
T = ∫ ρS   dx + m  
2 0  ∂t 
2  ∂t  x = L 2 0
2
L
L
2
2
3
L
1
1
1
33
1
x  x 
2
&
= ρS f (t ) ∫ 3  −    dx + m f& 2 (t ) 4 = ρS f& 2 (t ) L + m f& 2 (t ) 4 =
2
2
2
35
2
0
  L   L  
=
1 & 2  33

f (t )  ρS L + 4m
2
 35

&f&(t )  ρS 33 L + 4m + f (t )  EI 12 + k 25  = 0
 35

64 
L3

Equazione del moto:
Risultato:
ω1 =
12
EI 25
+
k
L3 64
33
ρSL + 4 m
35
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E – 20
Esercitazioni
Esercitazione 15 – DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI ACQUISIZIONE (*)
Si vogliono effettuare rilievi sperimentali di vibrazione su una struttura. L’analisi va condotta all’interno
del campo di frequenze 0 ÷ f* e, ai fini dell’analisi, occorre ottenere una risoluzione spettrale massima
pari a ∆f.
Determinare:
1. La frequenza di taglio del filtro passa basso anti-aliasing
2. La frequenza di campionamento minima
3. Il numero di punti da elaborare tenendo conto che si desidera utilizzare l’algoritmo FFT (Fast
Fourier Transform)
Dati:
f* = 3000 + 10 u – 20 v
∆f = 10 + 0.1 uv + 0.5 v2
[Hz]
[Hz]
I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola
(numero di matricola = #####uv).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
E – 21
Esercitazioni
Esercitazione 16 – VIBRAZIONI FLESSIONALI CON FEM (*)
In figura è rappresentata una trave incastrata ad entrambi gli estremi avente sezione quadrata con
dimensioni variabili a tratti. Note le dimensioni della trave e le caratteristiche del materiale (modulo di
Young E e densità ρ), trovare le prime due frequenze naturali e i rispettivi modi di vibrare flessionali del
sistema impiegando il metodo degli elementi finiti.
In particolare:
* modellare la trave con tre elementi di tipo beam;
* esprimere le frequenze naturali in Hz;
* normalizzare le forma modali in modo da porre la massima componente al valore unitario.
I dati sono espressi in funzione dell’ultima cifra v del numero di matricola
(numero di matricola = #####v).
l1 = 0.4 – v/200 [m]
l2 = 0.32 +v/100 [m]
l3 = 0.24 + v/100 [m]
a = 0.02 [m]
b = 0.03 [m]
c = 0.01 [m]
axa
l1
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
ρ = 7800 [kg/m3]
E = 2.06 × 1011 [N/m2]
bxb
l2
cxc
l3
E – 22

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