Capitolo 10

I modelli VaR per i rischi di
mercato: riepilogo,
applicazioni, limiti
Slides tratte da:
Andrea Resti
Andrea Sironi
Rischio e valore
nelle banche
Misura, regolamentazione, gestione
Egea, 2008
Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
AGENDA
• Un quadro di sintesi dei diversi modelli
• Le applicazioni dei modelli VaR
• Veri e falsi difetti dei VaR
• L’expected shortfall
• Esercizi
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
I modelli VaR
• I modelli per la misurazione dei rischi di mercato vengono utilizzati dalle
istituzioni finanziarie per diverse finalità, tra cui:
 confronto e integrazione di rischi diversi
 fissazione di limiti all’autonomia operativa dei vari desk
 costruzione di misure di performance aggiustate per il rischio
• Tali modelli sono stati oggetto di numerose critiche da parte di accademici,
operatori ed esponenti degli organi di vigilanza
• Molte di queste critiche, formalmente corrette, derivano da una cattiva
comprensione delle finalità dei modelli
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Un quadro di sintesi dei diversi modelli
Varianze-covarianze
Simulazioni
storiche
Ibrido
Monte Carlo
Normale
multivariata, corretta
per volatilità recente
Stazionaria
(storica)
Storica, corretta per la
volatilità recente
Completamente
flessibile
Livello di
confidenza
Come multiplo della
deviazione standard
Percentile della
distribuzione
delle variazioni
di valore
Variazione
valore di
mercato
Approssimata con
funzioni lineari (ad
Calcolata a partire dalle nuove condizioni di mercato (“full
es. le “greche”) o valuation”), anche se niente impedisce di usare approssimazioni
quadratiche (delta
lineari
gamma)
Distribuzione
dei rendimenti
Interazione tra
di più fattori
Attraverso una
matrice di
correlazioni
© Resti e Sironi, 2008
Implicita nella
distribuzione
storica
Come percentile
Come percentile della
della distribuzione
distribuzione ponderata
simulata delle
delle variazioni di
variazioni di
valore
valore
Implicito nella
distribuzione storica
Matrice di
correlazioni e sua
fattorizzata
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Un quadro di sintesi dei diversi modelli / 2
Varianze-covarianze
Principali
pregi
Rapidità di calcolo
Non richiede un
modello di pricing
per ogni posizione
Simulazioni
storiche
Ibrido
Non richiede ipotesi esplicite sulla
distribuzione dei fattori di rischio
Non richiede una stima esplicita di
volatilità e correlazioni (preserva
quelle passate)
Monte Carlo
Utilizzabile per
portafogli
complessi
Distribuzione
dei fattori di
mercato
totalmente
flessibile
Ipotizza distribuzioni
Onerosità di
normali
Richiede un campione storico ampio
calcolo
Principali Richiede una stima
Richiede un modello di pricing per
Richiede un
limiti
esplicita di volatilità
ogni posizione
modello di
e correlazioni
pricing per ogni
Hp. linearità payoff
posizione
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
I modelli VaR
• Nessuno dei modelli descritti nella tabella rappresenta una soluzione in assoluto
"migliore" delle altre:
 Per misurare la redditività corretta per il rischio delle unità di
trading, ad esempio, il modello varianze-covarianze rappresenta
l'alternativa più adeguata (veloce da calcolare e su un orizzonte
giornaliero i limiti di questo approccio non sono del tutto
rilevanti)
 Nel caso di posizioni caratterizzate da payoff non lineari i
modelli di full valuation (simulazione storica o Monte Carlo)
rappresentano la scelta migliore
 Per verificare se il patrimonio disponibile è sufficiente, la
costruzione di scenari di stress risulta maggiormente adeguata
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Le applicazioni dei modelli VaR
- Confronto tra rischi diversi -
• Il VaR rende confrontabili rischi diversi
Creazione di un
“linguaggio” comune tra
le diverse unità operative delle banche
• Il rischio delle diverse posizioni è rappresentato da indicatori diversi: duration e
convessità per le obbligazioni, beta e volatilità per i titoli azionari, delta, gamma,
vega, theta e rho per le opzioni etc.
• Il VaR, partendo da sensibilità e volatilità delle singole posizioni, costruisce
misure di rischio omogenee
• Ipotizziamo di confrontare il rischio connesso a una posizione lunga in titoli
del Tesoro decennali (quotati alla pari) con quello connessa alla vendita di
un’opzione call at the money sul dollaro, con scadenza a un anno
• Quale delle due posizioni è più rischiosa?
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Le applicazioni dei modelli VaR
- Confronto tra rischi diversi -
• VOLATILITÀ giornaliera dei fattori di mercato
• Yield to maturity decennale = 25 bp
• Variazioni % del cambio EUR/USD = 1,5%
• Variazioni % della volatilità implicita
nel prezzo delle opzioni sul dollaro = 0,2%
• Il cambio sul dollaro e la sua volatilità sono perfettamente correlati
• Ora è possibile calcolare il VaR (livello di confidenza 99%)
Titoli del Tesoro: approccio varianze-covarianze e approssimazione
delta/gamma
Posizione in opzioni: full valuation
© Resti e Sironi, 2008
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Le applicazioni dei modelli VaR
- Confronto tra rischi diversi -
• TITOLI DEL TESORO:
Le variazioni nel valore di mercato della posizione possono essere calcolate come:
VM    y 

2
 (y) 2
Il coefficiente δ è dato dalla duration modificata (7,36 anni) moltiplicata per il
valore dell’esposizione (100.000 euro)
Il coefficiente γ è dato dalla convexity modificata (69,74), cambiata di segno e
moltiplicata per il valore dell’esposizione
Il VaR della posizione (livello di confidenza al 99%)
VaR1  7,36 100.000  2,33  0, 25% 
© Resti e Sironi, 2008
69,74
2
100.000   2,33  0, 25%  4.150
2
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Le applicazioni dei modelli VaR
- Confronto tra rischi diversi -
• OPZIONE CALL:
Approccio di full valuation
Adottiamo come funzione di pricing la formula di Black e Scholes e ricalcoliamo il
valore della call in corrispondenza di un valore, per i due fattori di rischio
corrispondente al “peggior” valore della call (al netto del 1% di scenari peggiori)
Simuliamo gli effetti di un aumento del prezzo del sottostante (cambio
EUR/USD) e di un aumento della volatilità (trattandoli separatamente, poiché
sono perfettamente correlati)
Ipotizzando che le variazioni percentuali dei due fattori di rischio siano normali, i
percentili sono 2,33 volte la deviazione standard:
Cambio
3,5% (2,331,5%)
Nuovo livello: 1,035 euro per dollaro
© Resti e Sironi, 2008
Volatilità
0,47% (2,330,2%)
Passa dal 10% al dal 10% al 10,047%
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Rischio e valore nelle banche
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Le applicazioni dei modelli VaR
- Confronto tra rischi diversi -
• Il VaR della call si ottiene quindi per differenza tra il valore della call in presenza
di queste condizioni di mercato “estreme” ed il valore date le condizioni di
mercato correnti:
VaR2  c1,035;10,047%  c1;10%  9.484  6.805  2.679
Tasso di cambio a pronti
Tasso di cambio strike
Tasso d’interesse
Volatilità
Scadenza
Componenti
della formula
di Black e Scholes
Valore della call, con la formula di Black
e Scholes, per un nozionale di…
Differenza tra i due valori (VaR)
© Resti e Sironi, 2008
S
X
i
s
T
d1
d2
N(d1)
N(d2)
$1
$100.000
Nuove condizioni di mercato Condizioni di mercato correnti
1,034895
1
1
1
5%
5%
10,047%
10%
1
1
0,89
0,55
0,79
0,45
0,813087
0,70884
0,784905
0,673645
0,094836
0,06805
9483,6
6805,0
2678,6
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Le applicazioni dei modelli VaR
- Confronto tra rischi diversi -
• La posizione in titoli del Tesoro sta creando più rischio rispetto alla call: la
massima perdita giornaliera cui la banca potrebbe andare incontro nel 99% dei
casi è infatti quasi doppia (4.150 euro contro 2.679 euro) nel caso dei titoli di
Stato
• L’esempio mostra due vantaggi del VaR:
 Il VaR agevola la comunicazione “orizzontale”, cioè fra operatori
che lavorano su desk diversi
 Il VaR agevola la comunicazione “verticale” nei confronti dell’alta
direzione: non ci si scontra con terminologie diverse (modified
duration, convexity, beta, delta, gamma, ecc.) per ogni singolo
desk
• Il VaR inoltre consente l’aggregazione dei rischi connessi a posizioni diverse,
agevolando così il calcolo del rischio di portafogli composti da numerose esposizioni
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Le applicazioni dei modelli VaR
- L’imposizione di limiti all’assunzione di rischio-
• Tramite il VaR è possibile fissare dei limiti all'operatività dei singoli desk
• Consideriamo un desk che negozia titoli del Tesoro a lungo termine (Treasury
bonds) per una banca
Il limite di valore a rischio allocato a tale unità risk-taking è 160.000 Euro
Partendo da questo valore, sulla base del grado di sensibilità della posizione ai fattori
di mercato rilevanti (in questo caso, il tasso di interesse) e del loro livello di volatilità,
il desk sarà in grado di determinare l’esposizione massima compatibile con il suo VaR
Se il VaR è stato calcolato con il metodo parametrico:
Il massimo valore di mercato della posizione
compatibile con un certo livello di VaR è:
© Resti e Sironi, 2008
VaR  VM  DM  z  s y
VaR
VM 
DM  z  s y
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Le applicazioni dei modelli VaR
- L’imposizione di limiti all’assunzione di rischio-
• In presenza di:
 volatilità delle variazioni decadali dei tassi a lungo termine (sy) pari a 4 bp
 livello di confidenza del 97,5 % (|za| pari a circa 1,96)
 duration modificata pari a 6,25 anni
Un VaR di 160.000 euro corrisponde
a un valore di mercato pari a circa
32,7 milioni di Euro:
160.000
VM 
 32.653.661
6,25 1,96  0,04%
• Eventuali cambiamenti delle condizioni di mercato (volatilità di y) o della
composizione del portafoglio (variazioni
aggiustamento del valore della posizione
di
DM)
producono
un
In caso di aumento della volatilità, VM diminuisce
• Se tutti i desk della banca hanno un limite VaR, in caso di variazioni delle
condizioni di mercato il portafoglio verrà automaticamente allocato verso i
mercati caratterizzati da minor tensione
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Le applicazioni dei modelli VaR
- L’imposizione di limiti all’assunzione di rischio-
• Un limite di VaR può essere convertito anche in altre misure di rischio, come ad
esempio il basis point value, o DV01
variazione generata nel valore di un portafoglio obbligazionario
da una variazione del tasso d’interesse pari a un punto base
• Partendo dall’equazione del VaR, anziché considerare una variazione dei tassi
pari ad |z|sy, ipotizziamo che essa sia pari a un punto base:
0,01%
DV 01  VM  DM  0,01%  VaR
z  s y
• Il VaR al 97,5% (|za| pari a circa 1,96) corrisponde, in presenza di una volatilità
sy dello 0,04%, a un basis point value di 20.409 euro
• Il VaR può quindi essere espresso in misure diverse, a seconda della finalità
perseguita e dalle modalità di utilizzo (per un operatore sarà ad esempio comodo
avere a disposizione una traduzione immediata in valore di mercato o DV01)
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Le applicazioni dei modelli VaR
- La costruzione di misure di risk-adjusted performance-
• Si tratta del calcolo della redditività corretta per il rischio delle singole posizioni o
dei singoli desk  le misure di redditività corretta per il rischio sono riconducibili
a un semplice rapporto fra utile e rischio
• La misura di rischio può essere stimata ex-ante, come rapporto fra utile atteso e
VaR corrente, e verificato ex-post, come quoziente fra utile effettivamente
conseguito e valore del VaR effettivamente registrato
• In queste misure, il VaR è spesso chiamato anche CaR, cioè capitale a rischio
Un certo ammontare di rischi deve essere fronteggiato
dalla banca attraverso un uguale ammontare di
capitale proprio, per assorbire le eventuali perdite
senza recare pregiudizio alle ragioni dei creditori
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Le applicazioni dei modelli VaR
- La costruzione di misure di risk-adjusted performance
• In un ottica ex-post:
Raroc p 
u  i  VaR p
VaR p
Raroc p  i 
u

i
VaR p
u
VaR p
Espresso come premio al rischio
• Per indicare misure di performance come quelle appena descritte, vengono
utilizzati numerose sigle come Roc (return on capital), Raroc (risk-adjusted
return on capital), Rorac (return on risk-adjusted capital), Rocar (return on
capital at risk), Rarorac (risk-adjusted return on risk-adjusted capital).
Le misure di risk-adjusted performance possono essere utilizzate per:
 compiere scelte più efficienti confrontando, ex ante, il profilo di redditività
corretta per il rischio di posizioni diverse
 costruire un sistema di incentivi basato sul rischio connesso ad un determinato
utile
 confrontare, ex post, la performance delle unità organizzative per determinare
quale di esse stia utilizzando meglio il capitale
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Sei falsi difetti del VaR
• I modelli VaR sono strumenti che non vanno considerati una panacea, capace di
risolvere in modo semplice e meccanicistico il problema
• Prima di acquistare un software per la misurazione del VaR, è necessario
costruire un’adeguata base di dati (data warehouse)
Senza una base di dati, si può andare incontro ad errori che non sono
imputabili alla metodologia VaR, ma al modo in cui è stata implementata
trascurano gli eventi eccezionali
• 6 falsi difetti:
trascurano le relazioni di clientela
si basano su ipotesi irrealistiche
producono risultati fortemente divergenti
amplificano l’instabilità dei mercati
“arrivano troppo tardi, quando il danno è fatto”
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Sei falsi difetti del VaR
- I modelli VaR trascurono gli eventi eccezionali -
• I modelli VaR non sono in grado di coprire l'intera gamma dei
possibili eventi che un'istituzione finanziaria deve essere in grado di
fronteggiare
Si trascura, ad esempio, un 1% degli scenari futuri
In realtà:
 I modelli VaR non hanno come finalità quella di rendere una banca “non
fallibile”, ma di indicare la quantità di capitale necessaria per limitare il rischio di
fallimento ad una percentuale accettabile.
 Il livello di confidenza usato nel calcolo del VaR può essere aumentato a piacere,
così da catturare la percentuale di eventi desiderata.
 Un VaR al 100%, non sarebbe perö né teoricamente auspicabile, né praticamente
conseguibile
© Resti e Sironi, 2008
La banca dovrebbe finanziarsi interamente con
capitale e verrebbe meno la sua funzione primaria
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Sei falsi difetti del VaR
- I modelli VaR trascurono le relazioni di clientela -
• “La sua meccanica applicazione potrebbe indurre la banca a porre
bruscamente termine a tutte le posizioni la cui redditività corretta
per il rischio risultasse inadeguata”
Si cadrebbe in una visione troppo di breve termine
del processo di creazione del valore in banca
• In realtà i modelli VaR rappresentano uno strumento a cui è naturale e necessario
affiancare le valutazioni soggettive della direzione della banca
• Una determinata operazione, con redditività insufficiente a remunerare il
capitale, potrebbe comunque essere conservata in portafoglio sulla base di una
valutazione soggettiva di lungo periodo
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Sei falsi difetti del VaR
- I modelli VaR si basano su ipotesi irrealistiche-
• Se le ipotesi che sono alla base dei diversi criteri per il calcolo del VaR non sono
condivisibili, esse condurranno a quantificare il rischio e ad allocare il capitale
fra le diverse unità operative in modo inaffidabile
• In realtà ogni istituzione finanziaria sceglie di detenere un certo livello di capitale
e di allocarlo alle diverse attività svolte
• Chi adotta un modello VaR conosce le ipotesi (talvolta discutibili) su cui esse
sono basate, ma chi non dispone di un modello, procede in modo
considerevolmente più opaco
• In ogni caso le ipotesi di un modello possono essere opportunamente modificate
in presenza di condizioni particolari di mercato, o di specifiche valutazioni
soggettive del management
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Sei falsi difetti del VaR
- I modelli VaR producono risultati fortemente divergenti -
• I modelli VaR sono stati criticati da alcuni ricercatori che, confrontando
empiricamente i risultati prodotti dai diversi approcci, hanno riscontrato forti
divergenze
• In realtà i risultati dei modelli VaR dipendono fortemente
dall’approccio utilizzato e dalle ipotesi adottate (ampiezza del campione
storico, orizzonte temporale, numero di fattori di rischio etc. ), non possono
essere considerati una misura univoca
• Se i risultati sono utilizzati per introdurre in tutte le business unit di
un’istituzione finanziaria limiti all’operatività e misure di performance corrette
per il rischio, l’importante è che si utilizzino criteri omogenei per tutte le unità
della banca
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Sei falsi difetti del VaR
- I modelli VaR amplificano l’instabilità dei mercati-
• Se tutte le istituzioni finanziarie utilizzano il VaR, in corrispondenza di eventuali
cadute dei mercati, i loro trader riceveranno probabilmente il medesimo segnale
operativo
Ad esempio quando la volatilità aumenta, la massima
esposizione compatibile con il limite prefissato si riduce,
richiedendo di vendere un certo ammontare di titoli
Le vendite generalizzate potrebbero accentuare la tendenza al ribasso
• In realtà:
 i modelli VaR adottati dalle istituzioni finanziarie non sono tutti uguali e
producono misure di rischio diverse
 in presenza di crisi di mercato è gli operatori delle diverse istituzioni finanziarie
tendono ad adottare comportamenti uniformi
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Sei falsi difetti del VaR
- Le misure VaR “arrivano troppo tardi, quando ormai il danno è fatto” -
• Un’ultima critica alle misure di VaR riguarda il ritardo con il quale esse riflettono
eventuali shock di mercato e la conseguente inefficacia nel prevenire le perdite
• Il “ritardo” deriva principalmente dal fatto che i modelli VaR si fondano sulla
stima della volatilità storica per la previsione della volatilità futura
se un modello VaR venisse alimentato con previsioni
più sofisticate si potrebbero ottenere misure capaci
di anticipare eventuali crisi dei mercati
• Esistono anche tecniche di stima basate su dati storici e tuttavia sufficientemente
reattive alle condizioni di mercato più recenti
• In ogni caso:
L’incapacità di anticipare le variazioni estreme
è un limite di qualunque tecnica previsionale
La finalità di un modello VaR non è anticipare i possibili crolli
ma generare misure di rischio fondate su condizioni “normali”
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Due veri difetti del VaR
- La dimensione delle perdite-
• Il VaR consente di rispondere al seguente quesito:
Qual è la perdita massima che potrebbe essere subita entro un
determinato orizzonte temporale, se si eccettua una piccola
percentuale, pari ad esempio all’1%, di casi più sfavorevoli?
pr L  VaR   1  c
• Ciò che conta, dunque, è la probabilità che la perdita effettiva ecceda il VaR e il
modello non fornisce alcuna informazione circa la dimensione di tale eccedenza.
• Consideriamo ad esempio due portafogli azionari, contraddistinti dai vettori h e k
Medesimo valore di mercato = 1 mln di euro
Medesimo VaR giornaliero (livello di confidenza 99%) = 40.000 euro
Simulazione (storica o Montecarlo) con 500 osservazioni
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Due veri difetti del VaR
- La dimensione delle perditePeggiori 10 perdite su 500
(ordinate partendo dalla peggiore)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
VaR al 99% (VaR99%)
Maximum Loss (Lmax)
Maximum Excess Loss (Lmax – VaR99%)
Maximum Excess Loss in percentuale del VaR
(Lmax/VaR99% - 1)
Expected Excess Loss (E(L-VaR99% | L > VaR99%))
Expected Excess Loss in percentuale del VaR
© Resti e Sironi, 2008
Portafoglio h
Portafoglio k
150.000
120.000
100.000
70.000
60.000
50.000
48.000
45.000
42.000
40.000
50.000
150.000
100.000
200%
60.000
56.000
55.000
53.000
51.000
50.000
45.000
40.000
35.000
30.000
50.000
60.000
10.000
20%
50.000
5.000
100%
10%
Come si vede
dalla tabella la
perdita più
consistente per
il portafoglio h
è 150.000 euro;
(supera il VaR
del 200%)
La perdita
massima per il
portafoglio k è
60.000 euro
(supera il VaR
solo del 20%)
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Due veri difetti del VaR
- La dimensione delle perdite-
• Per h il valore atteso delle perdite superiori al VaR è 100.000
euro.
La perdita attesa eccedente il
VaR (“expected excess loss”) è
pari a 50.000, 100% del VaR
• Per il portafoglio k la perdita attesa eccedente il VaR è 5.000
euro , il 10% del VaR
• A parità di VaR, i due portafogli presentano in realtà
differenze significative in termini di rischio
© Resti e Sironi, 2008
27
Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Due veri difetti del VaR
- La mancata subadditività-
• Il VaR non rispetta la subadditività
il rischio di un portafoglio composto da più posizioni deve risultare
non superiore alla somma dei rischi delle singole posizioni
• Per qualsiasi misura di rischio r subadditiva vale che:
r ( x  y)  r (x)  r (y)
• Solo in alcuni casi l’applicazione del VaR rispetta questa proprietà.
• Può quindi accadere che:
VaR(x  y)  VaR(x)  VaR(y)
Ciò accade tipicamente quando la distribuzione
congiunta dei fattori di mercato è caratterizzata da
code spesse ed è diversa dalla normale multivariata
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Due veri difetti del VaR
- La mancata subadditività-
• Consideriamo due titoli a e b:
Titolo a
Titolo b
VMT
70
90
100
99,3
VMT
70
90
100
99,3
VM0
99,3
VM0
99,3
Distribuzione dei valori futuri
Probabilità
1%
4%
95%
E(VMT)
II. Valore corrente
Valore
III. Variazioni di valore future
Probabilità
1%
4%
95%
IV. Misure sintetiche
E(VM)
VaR al 99%
© Resti e Sironi, 2008
VM
VM
-29,3
-9,3
0,7
-29,3
-9,3
0,7
0,0
9,3
0,0
9,3
Immaginiamo
che il valore
corrente dei
titoli sia pari,
oggi, proprio
a 99,3 euro
(cioè il loro
valore
atteso).
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Due veri difetti del VaR
- La mancata subadditività-
• Ipotizziamo che i due titoli siano detenuti da un unico investitore
• Supponiamo inoltre che essi siano indipendenti
• Dall’assenza di correlazione ci si attende un effetto di diversificazione del rischio:
il VaR del portafoglio comprendente a e b
dovrebbe essere inferiore a 18,6 (9,3 + 9,3) euro
© Resti e Sironi, 2008
30
Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Due veri difetti del VaR
- La mancata subadditività-29,3
Titolo b
-9,3
0,7
1%
4%
95%
-29,3
-58,6
-38,6
-28,6
1%
0,01%
0,04%
0,95%
-38,6
-18,6
-8,6
4%
0,04%
0,16%
3,80%
0,7
-28,6
-8,6
1,4
Titolo a -9,3
95%
Distribuzione dei valori
futuri del portafoglio
comprendente i due titoli:
tabella a doppia entrata
0,95%
3,80%
90,25%
Nota: i valori in corsivo indicano le probabilità
Distribuzione dei valori
futuri del portafoglio
comprendente i due titoli:
tabella riordinata
© Resti e Sironi, 2008
Probabilità
0,01%
0,08%
1,90%
0,16%
7,60%
90,25%
VaR al 99%
Probabilità cumulata
0,01%
0,09%
1,99%
2,15%
9,75%
100,00%
Valore
-58,6
-38,6
-28,6
-18,6
-8,6
1,4
28,6
31
Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Due veri difetti del VaR
- La mancata subadditività-
• Riferendoci all’ultima tabella della slide precedente, la riga in grigio evidenzia il
primo percentile, cioè il valore che lascia alle proprie spalle l’1% (almeno) di casi
peggiori
Tale valore rappresenta il VaR al 99%, e risulta pari
a una perdita di 28,6 euro, sensibilmente superiore
alla somma dei VaR
• Si è quindi verificato che:
VaR(a  b)  VaR(a)  VaR(b)
• Questo problema, però, non si verifica se il VaR viene calcolato secondo
l’approccio parametrico (distribuzione normale)
• In questo caso, infatti, il VaR è semplicemente un multiplo |z| della deviazione
standard
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Due veri difetti del VaR
- La mancata subadditività-
• Dalla formula della varianza di portafoglio e assumendo r1 :
s a2b  s a2  2rs as b  s b2
s a b  s a  s b
z s ab  z s a  z s b
VaRab  VaRa  VaRb
• Viene escluso così ogni possibile rischio di subadditività
• Quando la distribuzione empirica delle variazioni di valore assume una forma
chiaramente non normale non è certo possibile adottare l’approccio
parametrico solo perché esso garantisce risultati subadditivi.
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33
Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Una misura di rischio alternativa: l’expected shortfall
• I problemi relativi ai modelli VaR possono essere superati ricorrendo
ES  EL L  VaR 
all’expected shortfall (ES)
Valore atteso di tutte le perdite superiori al VaR
• Se si preferisce fare riferimento alla variazione del valore di mercato DVM:

ES  E  VM  VM  VaR

• Se il VaR è calcolato con riferimento alla sola componente di perdita inattesa:
(E(L) = perdita attesa)


ES  E L  E( L) L  E( L)  VaR
o
ES  E  VM  E(VM )  VM  E(VM )  VaR

• Facendo riferimento ai valori di mercato futuri (VM) anziché loro delle variazioni
DVM:

ES  E  VM  E(VM )  VM  E(VM )  VaR
© Resti e Sironi, 2008

34
Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Una misura di rischio alternativa: l’expected shortfall
• L’ES dipende dal VaR prescelto come soglia
anche questa misura si caratterizza per
un determinato livello di confidenza e
per un dato orizzonte temporale
• Riferendoci alla tabella della slide 25 (le prime cinque righe indicano gli scenari
in cui la perdita è superiore al VaR):
L’expected shortfall non è che la media
di queste cinque perdite: 100.000 euro
per il portafoglio h, e 55.000 euro per il
portafoglio k
ES a un anno, con livello di confidenza del 99%
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Una misura di rischio alternativa: l’expected shortfall
• Considerando i due titoli a e b della slide 28:
per ognuno di essi l’ES a un anno, con un livello
di confidenza del 99%, è pari a 29,3 euro
C’è infatti un unico valore di perdita superiore
al VaR, che coincide con la media condizionata
• L’ES per il portafoglio-somma a+b è 40,8 euro:
Cioè la media (ponderata per le probabilità)
dei valori di perdita (58,6 e 38,6)
delle prime due righe della seconda tabella di slide 30
ES 99%
© Resti e Sironi, 2008
0.01%
0.08%
 58.6 
 38.6 
 40.8
0.09%
0.09%
36
Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Una misura di rischio alternativa: l’expected shortfall
• Si può notare che l’ES del portafoglio rispetta la condizione di subadditività e
può essere dimostrate che questa proprietà è sempre valida per questa misura
• L’ES è anche omogeneo di grado uno
se le posizioni in portafoglio vengono scalate per una
costante positiva k, anche l’ES risulta moltiplicato per k
• L’ES è funzione globalmente convessa rispetto alla composizione del
portafoglio;
è più facile utilizzare questa misura di rischio per la
composizione di portafogli ottimi a rischio minimo
• Per questi motivi numerosi ricercatori e diverse istituzioni finanziarie hanno
prestato maggiore attenzione all’ES come indice di rischio
© Resti e Sironi, 2008
37
Rischio e valore nelle banche
I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti
Una misura di rischio alternativa: l’expected shortfall
• Il VaR è il capitale necessario per limitare a =1-c la probabilità di fallimento di
una banca
• La differenza tra ES e VaR può essere vista come:
il valore atteso del
costo che le autorità di
vigilanza dovrebbero
sostenere per salvare
la banca
© Resti e Sironi, 2008
il premio che un
assicuratore neutrale al
rischio richiederebbe alla
banca per un’assicurazione
contro il rischio di perdite
superiori al VaR
38
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/1
1. Una banca detiene due posizioni, rispettivamente in azioni e in titoli di
Stato a lungo termine. Il portafoglio azionario vale attualmente 80.000
euro ed ha un beta medio ponderato pari a 95%; i titoli di Stato hanno
un valore di mercato di 100.000 euro e duration modificata di 7 anni. La
volatilità delle variazioni percentuali nell’indice di borsa è stimata pari a
15%; la volatilità delle variazioni assolute dello yield to maturity dei titoli
di Stato a 7 anni è stimata pari a 2%. Sulla base del rispettivo VaR al
99%, quale dei due portafogli è attualmente più rischioso? Di quanto?
Come cambierebbe il risultato se la banca dovesse adottare un VaR al
95%? E cosa accadrebbe se, dato un VaR al 99%, la volatilità dell’indice
azionario dovesse aumentare dal 15% al 25%? [per risolvere questo
esercizio, ricordate che N-1(99%)2,33 e che N-1(95%)1,64, dove N-1(.)
indica l’inversa della funzione di ripartizione normale standard]
© Resti e Sironi, 2008
39
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/2
2. Il VaR di un portafoglio costituito da due posizioni è 50 milioni
di euro. In quale dei seguenti casi il VaR parametrico
aumenterebbe perché una delle due posizioni è stata chiusa?
I.
se le due posizioni hanno segni opposti (una lunga e una
corta) e sono esposte a fattori di mercato correlati
negativamente tra loro;
II. se i due fattori di mercato a cui sono esposte le due posizioni
sono indipendenti;
III.se le due posizioni hanno lo stesso segno (entrambe lunghe o
entrambe corte) e sono esposte a fattori di mercato correlati
negativamente tra loro;
IV. il VaR parametrico non aumenta mai, perché esso garantisce
la subadditività.
© Resti e Sironi, 2008
40
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/3
3. Sulla
base della seguente distribuzione di probabilità delle
perdite su un portafoglio e utilizzando un livello di confidenza
del 95%, calcolate il VaR (definito come la massima perdita
inattesa L tale che la probabilità di incorrere in perdite inattese
maggiori di L è il 5%) e il relativo expected shortfall.
Segue alla slide successiva
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/3
Probabilità
0.50%
0.30%
1%
1.60%
0.80%
0.80%
1%
1.30%
0.40%
92.30%
Perdite, cominciando dalla peggiore
1000
100
80
70
65
60
50
30
20
0
Mostrate inoltre come il VaR e l’ES (sempre ad un livello di
confidenza del 95%) cambierebbero se la massima perdita, anziché
un miliardo di euro (come indicato nella tabella) fosse pari a 500
milioni di euro.
© Resti e Sironi, 2008
42

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