unità
B2
Statica
L
a presenza di forze non sempre è causa
di movimento o deformazione dei corpi.
prerequisiti





vettori, somma e prodotto vettoriale
sistemi di coordinate cartesiane e
diagramma delle forze
componente vettoriale e scalare del
vettore
forza di attrito, elastica, vincolare,
peso
momento di una forza
2.1 Equilibrio
Un corpo rimane fermo e/o non si deforma anche se agiscono forze.
2.2 Statica del punto materiale
Riduciamo un qualsiasi corpo a dimensioni nulle e studiamo il suo equilibrio.
2.3 Statica del corpo rigido
Estendiamo il concetto di statica del punto materiale ai corpi con le loro reali
dimensioni.
2.4 Forza equilibrante per il corpo rigido
L’equilibrio del corpo rigido è ottenuto collocando in modo opportuno una
forza o una coppia di forze.
2.5 Stabilità del corpo rigido
L’equilibrio del corpo rigido può essere una condizione definitiva o precaria.
2.6 Macchine semplici
Dispositivi che sfruttano le leggi fisiche della statica per vincere o controllare
le forze che agiscono su un corpo.
UNITÀ B2 - STATICA
2.1
Equilibrio
Nel paragrafo 1.1 dell’unità B1 è stata introdotta la forza, grandezza fisica vettoriale che si manifesta con effetti quali deformazione o/e movimento del corpo su
cui agisce. Questi effetti però non appaiono quando le forze che sollecitano un
corpo si annullano reciprocamente portandolo a una condizione di equilibrio.
Un corpo soggetto a forze è in condizione di equilibrio, o semplicemente in
equilibrio, quando è immobile e non si deforma.
Sono innumerevoli e comuni gli esempi di corpi in equilibrio. Per esempio tutti
gli oggetti immobili appoggiati su una superficie rigida: la forza peso che attrae
l’oggetto verso il suolo è bilanciata dall’opposta reazione vincolare della superficie. Altri esempi sono le costruzioni edili, come case, strade sospese e ponti,
progettate per garantire la loro immobilità e quindi il loro equilibrio contro ogni
tipo di forza sollecitante. In figura 2.1a un ponte sostenuto da cavi d’acciaio che
lo mantengono immobile e, quindi, in equilibrio. In figura 2.1b il diagramma
delle forze nel punto A di un generico cavo del ponte: i moduli, le direzioni e
i versi delle due forze di tiraggio T bilanciano (o contrastano) la forza peso P
applicata al punto A stabilendo l’equilibrio del punto. Questo avviene per tutti
gli altri punti di tutti i cavi garantendo l’equilibrio del ponte. A riguardo
la statica è la parte della fisica dedicata all’analisi dell’equilibrio dei corpi
soggetti a forze.
In questa unità considereremo solo corpi rigidi, cioè corpi solidi che non si
deformano.
Figura 2.1
(a) Ponte sostenuto da cavi d’acciaio (Golden Gate Bridge, San
Francisco); (b) diagramma delle
forze applicato a una piccola porzione A del cavo: le forze di tiraggio T e la forza peso P applicate
nel punto A contribuiscono all’equilibrio del ponte.
y
T
P
O
a
T
A
x
b
 Effetto di non equilibrio
Osserviamo con un esempio il comportamento di un corpo rigido inizialmente in
equilibrio quando una delle forze cessa di agire, o quando appare una nuova forza.
In figura 2.2 una tavola di legno è in equilibrio grazie a due cavalletti che la
sostengono: la forza peso P agente sulla tavola è bilanciata dalle forze vincolari N1 e N2 prodotte dai due cavalletti che impediscono la caduta al suolo.
Portiamo la tavola in condizione di non equilibrio nei seguenti tre modi e
osserviamo quale tipo di effetto o, meglio, di movimento compare.
Se togliamo entrambi i cavalletti, la tavola cade al suolo per la forza peso, compiendo una traslazione verticale verso il basso.
183
184
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
N2
N1
Pg
P
Figura 2.2
La scomparsa o la comparsa di
forze comporta una condizione
di non equilibrio per la tavola di
legno. Le forze peso agiscono sui
baricentri della tavola e dell’oggetto. (paragrafo 1.2, unità B1).
Se togliamo uno dei due cavalletti,
scompare la rispettiva forza vincolare, e la forza peso provoca un
rotazione dell’estremo libero della
tavola verso il suolo, con il cavalletto
rimasto che fa da perno.
Inoltre se collochiamo un oggetto
pesante su un’estremità della tavola,
la sua forza peso Pg si aggiunge alle
forze già presenti, provocando una
rotazione della tavola, con il cavalletto in mezzo che fa da perno.
In generale
un corpo rigido si porta in condizione di non equilibrio quando il preesistente
equilibrio è alterato dalla scomparsa o dall’aggiunta di una o più forze.
Inoltre
la condizione di non equilibrio del corpo rigido ha come effetto il suo moto
(traslazionale, rotazionale, o una combinazione dei due moti, cioè rototraslazionale).
 Approssimazione del corpo rigido a punto materiale
Nel paragrafo 1.1 dell’unità B1 è descritta la costruzione del diagramma delle
forze, dove si approssima il corpo a un punto, chiamato punto materiale.
Diamo la seguente definizione:
Figura 2.3
Il corpo-libro approssimato a punto
materiale su cui agiscono la forza
peso P e la reazione normale N
della mano: l’approssimazione è
valida se le dimensioni del libro
sono trascurabili rispetto a quelle
dell’ambiente circostante e se una
eventuale perdita dell’equilibrio
(per esempio lasciando cadere il
libro in verticale) non comporta un
effetto di rotazione.
un punto materiale è un modello geometrico del corpo rigido di massa m,
dove le dimensioni sono ridotte a un punto in cui viene concentrata la massa.
Questo modello, utilizzato nella statica e nella parte della fisica chiamata dinamica (modulo D), si applica solo quando sono presenti contemporaneamente
le seguenti due condizioni:
1) le dimensioni del corpo sono trascurabili rispetto a quelle dei corpi e
dell’ambiente circostante;
2) la riduzione a punto non altera lo studio del suo equilibrio.
N
P
Ovviamente, se il corpo è approssimato a punto materiale, le forze
che contribuiscono all’equilibrio eviteranno solo che il corpo si muova in
modo traslazionale: infatti un punto
non può ruotare su se stesso. In figura 2.3 un esempio di approssimazione a punto materiale applicato a un
libro sostenuto da una mano.
UNITÀ B2 - STATICA
Quando invece le dimensioni del corpo non sono trascurabili, o la riduzione a
punto nasconde parti del corpo soggette a forze che potrebbero farlo ruotare,
si considera il corpo nelle sue dimensioni reali. Per esempio, se riducessimo a
punto materiale l’asse di figura 2.2, non apparirebbero le rotazioni che avvengono quando manca la forza vincolare di uno dei due cavalletti o quando compare la forza peso del bidone di vernice.
Appreso il concetto di corpo in equilibrio, iniziamo lo studio della statica
considerando il caso, semplice, di corpo approssimato a punto materiale.
2.2
Statica del punto materiale
L’equilibrio per un punto materiale è stabilito dalla seguente definizione
un punto materiale sottoposto a n forze Fi (con i = 1, …, n) è in equilibrio
quando è nulla la loro somma vettoriale R, cioè
n
R   Fi  0
(2.1)
i 1
Tra le n forze della (2.1) si contemplano anche le reazioni di eventuali vincoli.
Per verificare la condizione di equilibrio con la (2.1) occorre costruire il diagramma delle forze introdotto nel paragrafo 1.1 dell’unità B1: si colloca il
punto materiale nell’origine di un piano cartesiano bidimensione e si ruotano
gli assi in modo che il maggiore numero di forze sia coincidente all’asse x e/o
all’asse y. Impostato il diagramma delle forze, per valutare se la risultante R
delle forze è un vettore nullo, si esegue la somma vettoriale delle forze.
Applichiamo la (2.1) usando due metodi di somma vettoriale: quello geometrico del punto-coda e quello analitico che prevede i vettori in forma cartesiana.
Metodo punto-coda
Applichiamo il metodo geometrico punto-coda (par. 3.2, unità A3) al punto
materiale A nel diagramma delle forze di figura 2.4a. Il risultato è in figura
2.4b: la spezzata dei vettori inizia e termina in A e, dunque, essendo la risultante delle forze nulla, la (2.1) è verificata e il punto materiale è in equilibrio.
F4
F1
F1
A
A
F4
F2
F3
F3
a
F2
b
Figura 2.4
(a) Diagramma delle forze del
punto materiale A. (b) Somma
vettoriale con il metodo punto-coda
che dimostra l’equilibrio di A.
185
186
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
Un esempio di non equilibrio è descritto dal diagramma delle forze di figura
2.5a: la spezzata dei vettori in figura 2.5b si chiude sul punto materiale con un
vettore risultante R diverso da zero. Quindi la (2.1) non è verificata e il punto
materiale non si trova in equilibrio, muovendosi in direzione e verso della forza
risultante R.
Figura 2.5
(a) Diagramma delle forze del
punto materiale A. (b) Somma
vettoriale con il metodo puntocoda che dimostra il non equilibrio
di A a causa di R.
F1
F1
F2
A
F4
A
F2
R
F3
F3
F4
a
b
Metodo rappresentazione cartesiana
Se le forze sul punto materiale sono rappresentate in forma cartesiana (par.
3.2, unità A3 e approfondimento) la condizione di equilibrio (2.1) assume la
seguente forma
 n
  n

F

F

i
  ix  i    Fiy  j  0
i 1
 i 1
  i 1 
n
(2.2)
dove i e j sono i versori degli assi cartesiani x e y nel diagramma delle forze e i
termini tra parentesi sono le componenti scalari della forza risultante. Affinché
il punto sia in equilibrio, occorre che la risultante sia nulla e dunque siano
nulle le componenti scalari: questo succede se contemporaneamente
n
F
i 1
ix
n
F
i 1
iy
0
(2.3a)
0
(2.3b)
Ricordiamo che le componenti scalari hanno segno positivo (negativo) se la
relativa componente vettoriale ha verso concorde (discorde) al versore del
proprio asse cartesiano. Per maggiore chiarezza, consideriamo di nuovo gli
esempi di figura 2.4 e 2.5, e verifichiamo l’equilibrio del punto materiale A
applicando le condizioni (2.3).
In figura 2.6 la rappresentazione cartesiana di ogni singola forza del diagramma vettoriale di figura 2.4a; gli assi cartesiani hanno l’origine sovrapposta al
punto materiale A.
Determiniamo le componenti scalari rispetto l’asse x misurando con un righello la lunghezza delle componenti vettoriali posizionate sul medesimo asse:
otteniamo
F1x  F2x  F3x  F4x  0
e dunque la (2.3a) è verificata. Attenzione: le componenti scalari F3x ed F4x
hanno segno meno perché le relative componenti vettoriali sono discordi al
versore i.
UNITÀ B2 - STATICA
Procediamo nello stesso modo per le componenti scalari dell’asse y: otteniamo
F1y  F2y  F3y  F4y  0
e dunque la (2.3b) è verificata. In questo caso le componenti scalari F2y ed F3y hanno
segno meno perché le relative componenti vettoriali sono discordi al versore j.
Le (2.3) sono dunque entrambe verificate e il punto materiale di figura 2.6 è
in equilibrio.
y
y
F1
F1y
j
j
0
i
F1x
x
F2x
F2y
x
F2
y
j
0 i
F3
i
0
y
F3x
Figura 2.6
Verifica dell’equilibrio di un punto
materiale con i vettori in rappresentazione cartesiana.
x
F4y
F4
F3y
j
F4x 0
i
x
Invitiamo a verificare il non equilibrio del punto materiale di figura 2.5a tramite la rappresentazione cartesiana delle forze. Attenzione a rilevare in modo
corretto le lunghezze delle componenti vettoriali sugli assi cartesiani, e ad
associare correttamente i segni algebrici alle componenti scalari da inserire
nelle (2.3).
Problema svolto 2.1
Figura 2.7
In figura 2.7a un vaso di fiori è sostenuto da
due cavi: quello attaccato al soffitto forma
con quello orizzontale un angolo  = 40,0°.
Determinare i moduli delle forze agenti sul
vaso di massa m = 6,20 kg.
Consideriamo il vaso di fiori come punto materiale
e tracciamo il diagramma delle forze come in figura
2.7b dove sono evidenziate le componenti vettoriali.
Il vaso è fermo è dunque in equilibrio. Applichiamo
quindi la (2.1), trasformata nelle forme cartesiane
(2.3), per determinare i moduli della forza peso P e
delle tensioni lineari dei cavi T1 e T2.
y
q
T2y
T2
q
T2x
j
0 i
P
P
a
b
T1
x
187
188
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
Consideriamo le componenti scalari rispetto l’asse x: dalla (2.3a)
T1x  T2x  Px  T1  T2 cos   0  0
T1  T2 cos 
quindi
(1)
Consideriamo le componenti scalari rispetto l’asse y: dalla (2.3b)
T1y  T2y  Py  0  T2 sen   P  0
T2 sen   P
quindi
(2)
A questo punto siamo in grado di calcolare i moduli richiesti dal problema. La
forza peso P ha modulo
P  m g  (6, 20 kg)(9,81 m/s 2 )  60,8 N
Dalla (2) la tensione lineare T2 ha modulo
T2 
mg
60,8 N

 94, 6 N
sen  sen 40,0°
Dalla (1) la tensione lineare T1 ha modulo
T1  T2 cos   (94, 6 N) cos 40, 0  72,5 N
 Statica del punto materiale su piano inclinato
senza attrito
Studiamo la statica del punto materiale di massa m di figura 2.8 appoggiato su
un piano senza attrito inclinato di un angolo  (par. 1.5, unità B1).
L’unica forza che agisce sul punto è la forza peso P = m g. Rappresentiamola
in forma cartesiana secondo le componenti vettoriali Px e Py. La relazione
vettoriale
P  Px  Py
la esprimiamo utilizzando i versori, quindi
P  Px i  Py j
(2.4)
Le componenti scalari Px e Py si determinano con il primo teorema del triangolo rettangolo (par. 2.3 unità A2) applicato al diagramma delle forze; quindi
Py  m g cos 
(2.5a)
Px  m g sen 
(2.5b)
Il punto materiale è in equilibrio se le due componenti vettoriali della (2.4)
sono bilanciate da forze opposte. Valutiamole singolarmente.
La componente vettoriale rispetto l’asse y, Py, è bilanciata dalla reazione vincolare N = N j del piano (vedere anche fig. 1.21b): quindi
 Py j  N j  0
(2.6a)
UNITÀ B2 - STATICA
Sostituendo Py con la (2.5a), la relazione (2.6a) con sole le componenti scalari
m g cos   N  0
verifica la (2.3b).
La componente vettoriale rispetto l’asse x non è bilanciata da alcuna forza e la
(2.3a) non è verificata: dunque il punto materiale non è in equilibrio e manifesta tale condizione con lo scivolamento verso il basso in moto traslazionale.
Per l’equilibrio occorre una forza, che indichiamo con Fe, opposta a Px i, in
modo che
(2.6b)
Px i  Fe i  0
Sostituendo Px con la (2.5b), la relazione con le componenti scalari
m g sen  Fe  0
(2.7)
possiamo verificare la (2.3a) con un opportuno valore di Fe.
Per l’equilibrio del punto materiale la forza Fe potrebbe per esempio essere
quella elastica della molla in allungamento di figura 2.9. Naturalmente la
molla avrà una costante elastica k e subirà un allungamento x tali da garantire
la (2.7), cioè
Fe  k x  m g sen 
Infine, può essere molto utile sapere la seguente regola: se sono noti altezza h
e lunghezza l del piano inclinato, dal primo teorema del triangolo rettangolo si
ha sen  = h/l, da cui si ricava l’angolo di
inclinazione  tramite la funzione inversa del seno (l’arcoseno), cioè
h
l
  arcsen
l
a
y
N
h
j
i
Px
y
h
x
j
Px i
x
a
Py
Figura 2.8
La componente vettoriale della
forza peso parallela alla superficie,
Px, è la causa della condizione di
non equilibrio del punto materiale
che scivola verso il basso con
moto traslazionale. L’angolo che
P forma con Py è uguale a quello
di inclinazione del piano .
P
a
a
m
a
x
l
(2.8)
m
Fe
a
P
Figura 2.9
La forza elastica Fe della molla
allungata contrasta la componente
parallela alla superficie della forza
peso Px mantenendo il punto materiale in equilibrio.
189
190
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
 Statica del punto materiale su un piano inclinato
con attrito statico radente
Se la superficie del piano inclinato presenta attrito, l’equilibrio del punto materiale di figura 2.8 può essere raggiunto con la forza di attrito statico Fa che
contrasta la componente vettoriale rispetto l’asse x della forza peso, Px. Questa
condizione, già raffigurata in figura 1.16 dell’unità B1, è riproposta in figura
2.10. In altri termini, la forza di attrito sostituisce la forza elastica della molla
di figura 2.9, e in questo caso la (2.6b) diventa
Px i  Fa i  0
Il modulo della forza di attrito statico Fa è dato dalla (1.12) dell’unità B1: se
consideriamo la (2.5a), diventa
Fa  s Py  s m g cos 
(2.9)
dove Py è il modulo della componente vettoriale secondo l’asse y di P, Py.
L’equilibrio è garantito fino a quando la forza d’attrito impedisce lo scivolamento del punto materiale o, in modo equivalente, fino a quando il modulo di
Fa è maggiore o al limite uguale a quello di Px, cioè
Fa  Px
Questa disuguaglianza si verifica solo per certi valori dell’angolo . Infatti,
sostituendo i due termini rispettivamente con la (2.9) e la (2.5b) otteniamo
s m g cos   m g sen 
Semplifichiamo i termini m g e sfruttiamo la nota uguaglianza trigonometrica
sen / cos  = tg : otteniamo che la forza di attrito garantisce l’equilibrio se la
tangente dell’angolo  è uguale o minore del coefficiente di attrito statico, cioè
tan   s
(2.10)
Ovviamente anche per il piano inclinato con attrito è valida a relazione (2.8).
Figura 2.10
La forza d’attrito contrasta la componente della forza peso Px parallela al piano, portando il punto
materiale in equilibrio. La condizione si mantiene se l’inclinazione
del piano non comporta un modulo
del vettore Px maggiore di quello
del vettore Fa (provare a verificare misurando i due vettori con
inclinazioni del piano sempre più
accentuate).
y
Fa
j
Px
x
a
i
m
a
P
Py
UNITÀ B2 - STATICA
Problema svolto 2.2
Un’automobile di massa m = 1000 kg è ferma
su una strada innevata con angolo di pendenza
 = 6,84° (figura 2.11).
y
Determinare se l’auto rimane ferma o inizia a
scivolare nel caso in cui la neve si trasformi in
ghiaccio.
Osserviamo il diagramma vettoriale di figura 2.11.
La componente vettoriale orizzontale della forza
peso è
Px
i
x
a
j
a
Fa
Py
P
Px  Px i  ( P sen  ) i
e dalla (2.5b) il modulo è
Figura 2.11
Px  m g sen   (1000 kg) (9,81 m s 2 ) (sen 6,84°)  1,17 103 N
Affinché l’automobile resti in equilibrio, quindi ferma, occorre che la forza
d’attrito Fa abbia modulo Fa maggiore di Px. Determiniamo Fa in presenza di
ghiaccio (coefficiente di attrito statico s = 0,1). Dalla (2.9)
Fa  s Py  s m g cos   0,1 (1000 kg)(9,81 m s-2 )(cos 6,84°)  9,74 102 N
Il modulo Fa è minore di Px: quindi in caso di ghiaccio, l’automobile uscirebbe
dalla condizione di equilibrio e scivolerebbe verso il basso.
L’approssimazione a punto materiale ha introdotto con semplicità la condizione di
equilibrio. Estendiamo quanto appreso al corpo rigido, dove l’equilibrio comporta
l’assenza non solo del moto di traslazione ma anche di quello di rotazione.
2.3
Statica del corpo rigido
Studiamo la statica per il corpo rigido, quindi per un qualsiasi corpo considerato nella sua estensione reale. In questo caso sono importanti i punti di
applicazione delle forze. Infatti una medesima forza, applicata in punti diversi
del corpo, può comportare un diverso effetto, come mostrato in figura 1.4
dell’unità B1 e come evidenziamo con un ulteriore esempio in figura 2.12. Se
la forza F è applicata vicino alla faccia inferiore, il parallelepipedo si muove
con moto di traslazione, se invece è applicata vicino alla faccia superiore il
parallelepipedo cade ruotando rispetto allo spigolo inferiore che fa da perno.
Quindi affermiamo che
i punti di applicazione delle forze su un corpo rigido influiscono sugli effetti
che provocano.
191
192
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
Figura 2.12
Diversi effetti a seconda dei punti
di applicazione di una forza su un
parallelepipedo: (a) effetto di traslazione; (b) effetto di rotazione.
F
F
a
Figura 2.13
La coppia di forze F comporta
una rotazione, fenomeno sempre accompagnato da un vettore
momento M, che ha come retta
d’azione l’asse (z) perpendicolare
al piano delle due forze.
b
Soffermiamoci sull’effetto di rotazione che può subire un corpo rigido (fig.
2.12b). Dal paragrafo 1.6 dell’unità B1, sappiamo che quando una forza comporta la rotazione di un corpo appare il vettore momento M della forza stessa.
Questo vettore non è previsto dalla condizione (2.1) per il punto materiale, perché, ovviamente, non ha senso un punto che ruota su se stesso. Inoltre, la (2.1)
applicata a un corpo rigido non è sufficiente a verificare l’equilibrio, come
z
andiamo a dimostrare. Consideriamo
per esempio la sbarra di figura 2.13
sottoposta a una coppia di forze: la
M
F
risultante della somma vettoriale delle
due forze è un vettore nullo (come per
k
qualsiasi coppia di forze). La (2.1) è
dunque verificata e il corpo “sembrerebbe” in equilibrio. In realtà, la coppia di forze comporta una rotazione
della sbarra e di conseguenza una conF
dizione di non equilibrio. In generale
la condizione di equilibrio per un corpo rigido deve verificare che le forze non
comportino rotazioni, cioè l’assenza di vettori momento.
Riassumendo, per il corpo rigido occorre conoscere, oltre all’equilibrio rispetto
alla traslazione, anche quello rispetto alla rotazione, come andiamo a descrivere.
 Condizioni di equilibrio traslazionale e rotazionale
per un corpo rigido
Un corpo rigido sottoposto a n forze Fi (con i = 1, 2, …, n), è in equilibrio
traslazionale quando è nulla la loro somma vettoriale, cioè
n
F  0
i 1
i
(2.11a)
ed è in equilibrio rotazionale quando è nulla la somma vettoriale degli n
momenti Mi rispetto a un punto fissato O, dovuti alle n forze, cioè
n
M
i 1
i
0
Il punto fissato O può anche non appartenere al corpo rigido.
(2.11b)
UNITÀ B2 - STATICA
 Le reazioni vincolari nelle condizioni di equilibrio
per un corpo rigido
Consideriamo un corpo rigido soggetto a vincoli. Valutiamo come le reazioni
vincolari contribuiscono alle condizioni di equilibrio (2.11).
Come esempio, immaginiamo un quadro appeso a un chiodo e dunque in equilibrio. Se si applicasse la (2.11a) escludendo la reazione vincolare agente sul
chiodo, il quadro risulterebbe in caduta verticale a causa della forza peso P e
dunque erroneamente fuori equilibrio.
Per quanto riguarda la condizione (2.11b), è preferibile che il punto fisso
O per gli n momenti appartenga al vincolo (per esempio il chiodo del quadro). In questo modo si evita il calcolo dei momenti delle reazioni vincolari.
Ricordiamo infatti che il momento di una forza è sempre nullo quando il
relativo punto fisso O appartiene alla sua retta d’azione, ed il vincolo appartiene appunto alla retta d’azione della reazione normale.
 Baricentro del corpo rigido
Quando la forza peso agisce su un corpo rigido non approssimato a punto
materiale occorre conoscere il suo punto di applicazione: nel paragrafo 1.2
dell’unità B1 abbiamo individuato tale punto nel baricentro.
In figura 2.14 una rappresentazione
schematica della definizione di baricentro. Immaginiamo di suddividere
un corpo a forma di parallelepipedo
in porzioni molto piccole di uguale e
piccola massa: su ciascuna porzione
agisce la forza peso comportando
un insieme di vettori fra loro uguali.
L’effetto globale di questi vettori è la
forza peso P con punto di applicazione nel baricentro G.
Figura 2.14
La forza peso P con punto di applicazione nel baricentro G ingloba la
forza di attrazione gravitazionale
della Terra che si distribuisce, con
i suoi punti di applicazione, in ogni
porzione infinitesima del corpo.
G
P
Riassumendo:
il baricentro (o centro di gravità) di un corpo rigido di massa m è il punto di
applicazione della forza peso P = m g.
Figura 2.15
Posizione del baricentro di un cilindro.
Inoltre
se un corpo rigido ha massa distribuita in modo
omogeneo e forma geometrica regolare il baricentro coincide con il suo centro di simmetria.
Corpi con forme geometriche regolari sono per
esempio la sfera, il parallelepipedo, la piramide.
In figura 2.15, l’esempio di un corpo a forma cilindrica dove il baricentro G è sull’asse longitudinale
a metà altezza. Altri esempi sono in figura 1.8
dell’unità B1. Approfondiremo l’aspetto della distribuzione della massa nei corpi nelle unità D3 e D4.
h
G
h/2
r
193
194
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
Figura 2.16
Esempio di posizione esterna del
baricentro: struttura ad anello di un
pneumatico.
Attenzione: il baricentro non è sempre un punto
fisicamente appartenente al corpo rigido. Una sfera
cava all’interno, un pezzo di tubo cilindrico o un
anello sono esempi di corpi omogenei e regolari con
centro di simmetria, e dunque baricentro, esterno al
materiale che li compone. In figura 2.16 è indicata la
posizione esterna del baricentro G di un pneumatico
che ha appunto una struttura ad anello.
In figura 2.17 un semplice metodo per determinare
il baricentro di corpi piani irregolari: si appende il
corpo per un punto P qualsiasi e lo si lascia penzolare
fino quando non si ferma. Si traccia quindi sul corpo
la retta verticale r passante per P. Si ripete l’operazione appendendo il corpo in un altro punto (Q) e
definendo la retta s. Il punto d’incrocio tra la retta s e
la retta r è il baricentro G.
G
Figura 2.17
Determinazione del baricentro di
una figura piana con contorni irregolari.
P
Q
G
P
r
r
s
Come si comprende se un corpo è o non è in equilibrio? E se non è in equilibrio,
come lo si porta in equilibrio?
2.4
Forza equilibrante per il corpo rigido
Lo studio della statica del corpo rigido si prefigge i seguenti due obiettivi:
1) determinare se un corpo rigido è in equilibrio;
2) determinare la forza o le forze da applicare a un corpo rigido per portarlo
in equilibrio nel caso non lo fosse.
Le forze necessarie per imporre l’equilibrio di un corpo rigido sono chiamate
forze equilibranti. Valutiamo i seguenti tre possibili casi.
Corpo rigido in equilibrio
Gli equilibri traslazionale e rotazionale del corpo rigido sono confermati dalla
verifica delle (2.11), cioè
n
 Fi  0
i 1
n
e
M
i 1
i
0
UNITÀ B2 - STATICA
Problema svolto 2.3
In figura 2.18 un’asta lunga 1,25 m è sottoposta all’azione di tre forze
parallele con i seguenti moduli: FA = 1,0 N, FB = 5,0 N ed FC = 4,0 N.
I punti applicazione A e B di FA e di FB distano tra loro 1,0 m.
Determinare se l’asta è in equilibrio, e in caso contrario determinare la
forza equilibrante necessaria per portarla in equilibrio.
y
FA
A
j
FC
B
C
O
FB
Figura 2.18
La condizione di equilibrio traslazionale prevede la somma vettoriale dei tre
vettori: applichiamo la (2.11a) e sviluppiamola in forma cartesiana rispetto
l’asse y
FA  FB  FC   FA  FB  FC  j  1, 0  5, 0  4, 0  N  j  0 N j
Otteniamo come risultante un vettore nullo: quindi l’asta è in equilibrio traslazionale.
La condizione di equilibrio rotazionale, prevede la determinazione dei momenti
delle forze, che in questo caso sono complanari. Quindi tutti i vettori momento sono ortogonali al foglio e diretti lungo l’asse z con il versore k uscente
dal foglio. Possiamo quindi sommare direttamente le componenti scalari dei
momenti, facendo attenzione ai segni: sono positivi i momenti uscenti dal
foglio perché concordi con il versore k, negativi quelli entranti. Per il calcolo del
momento della singola forza scegliamo come punto fisso O uno dei tre punti di
applicazione: in questo modo la relativa forza con punto di applicazione in C ha
momento nullo e rimane il calcolo di soli due momenti.
Scegliamo come punto fisso O il punto A.
La forza FA ha momento nullo.
La forza FB con braccio AB ha momento MB discorde al versore k con modulo
M B  FB AB  (5, 0 N)(1, 0 m)  5, 0 N m
La forza FC con braccio AC ha momento MC concorde al versore k con modulo
M C  FC AC  (4, 0 N)(1, 25 m )  5, 0 N m
Se l’asta è in equilibrio, la (2.11b) deve essere verificata: siccome


M B  M C   FB AB  FC AC k   5, 0  5, 0  N m  k  0 N m k
l’asta si trova dunque in condizione di equilibrio rotazionale.
L’asta è quindi in equilibrio e non necessita di una forza equilibrante.
195
196
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
Corpo rigido non in equilibrio rotazionale
L’equilibrio solo traslazionale e non rotazionale del corpo rigido si manifesta
dalle (2.11) con una risultante non nulla della sommatoria dei momenti, cioè
n
n
 Fi  0
e
M
i 1
i 1
i
 M tot
Per imporre l’equilibrio totale occorre aggiungere un opportuna coppia di
forze equilibranti che creano un vettore momento opposto a Mtot. Si noti che la
coppia di forze aggiunta non rompe l’equilibrio traslazionale, perché la somma
vettoriale delle due forze di una qualsiasi coppia è per definizione nulla.
Problema svolto 2.4
In figura 2.19 una coppia di forze di modulo F1 = F2 = 20 N è applicata agli
estremi di un’asta di lunghezza l = 40 cm che ruota rispetto al centro O.
L’inclinazione delle rette d’azione delle forze rispetto l’asta è di 60°.
Determinare se l’asta è in equilibrio, e in caso contrario determinare la
forza equilibrante necessaria per portarla in equilibrio.
F1
y
j
i
60°
x
60°
F2
Figura 2.19
La condizione di equilibrio traslazionale prevede la somma vettoriale dei
due vettori forza: applichiamo la (2.11a) e sviluppiamola in forma cartesiana
rispetto gli assi x e y
F1  F2  ( F1x  F2x ) i  ( F1y  F2y ) j
Applicando il teorema del triangolo rettangolo le componenti scalari diventano
F1  F2  ( F1 cos 60  F2 cos 60) i  ( F1 sen 60  F2 sen 60) j  0 j
Otteniamo come risultante un vettore nullo: quindi l’asta è in equilibrio traslazionale.
La condizione di equilibrio rotazionale prevede la determinazione dei momenti. Imponendo l’asse z uscente dal foglio, l’unico momento è quello della coppia
di forze Mtot, con direzione perpendicolare al foglio e con verso concorde a k;
il modulo Mtot è il prodotto tra quello del modulo delle forze F e il braccio b
della coppia che è
 3
b  l sen 60  (0, 40 m) 
  0,35 m
2


UNITÀ B2 - STATICA
Quindi
M tot  F b  (20 N)(0,35 m)  7, 0 N m
Esiste dunque un momento totale
M tot  (7, 0 N m) k
che comporta il non equilibrio dell’asta.
Per portare l’asta in equilibrio rotazionale è necessario applicare una coppia
di forze equilibrante che produca un vettore momento ME opposto a Mtot, cioè
M E  M tot  (7, 0 N m) k
Il vettore momento ME si ottiene con una coppia di forze di modulo 20 N, complanari al piano cartesiano xy e determinanti una rotazione in verso orario, in
modo che Me abbia verso opposto al versore k.
Corpo rigido non in equilibrio
Il non equilibrio del corpo rigido è manifestato dalle (2.11) con le risultanti
delle forze e dei momenti entrambi diversi da zero, cioè
n
n
 Fi  Ftot
e
i 1
M
i 1
i
 M tot
Per imporre l’equilibrio traslazionale occorre una forza equilibrante FE opposta a Ftot cioè
FE  Ftot
2.12a
Per imporre l’equilibrio rotazionale occorre collocare la forza equilibrante
FE in un opportuno punto di applicazione P in modo da generare un vettore
momento opposto a Mtot, cioè

OP  FE  M tot
2.12b

dove il vettore posizione OP unisce il punto fisso O, utilizzato per determinare
i momenti, al punto di applicazione ricercato P. (Nella definizione (1.6)

dell’unità B1 il vettore posizione OP è indicato con il vettore r)
Problema svolto 2.5
In figura 2.20 l’asta di lunghezza l = 1,0 m è
sottoposta all’azione di tre forze parallele con
moduli: FA = 3,0 N, FB = 2,0 N ed FC = 4,0 N. La
distanza tra i punti di applicazione di FA ed FB è
d = 0,60 m.
Determinare se l’asta è in equilibrio e, in caso
contrario, determinare la forza equilibrante
necessaria.
y
FB
Oº A
j
x
FA
d
FC
Figura 2.20
197
198
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
La condizione di equilibrio traslazionale prevede la somma vettoriale dei tre
vettori: applichiamo la (2.11a) e sviluppiamola in forma cartesiana rispetto gli
assi x e y
FA  FB  FC  ( FA  FB  FC ) j
da cui la forza risultante Ftot
Ftot  ( FA  FB  FC ) j   (3, 0  2, 0  4, 0) N  j  (5, 0 N) j
(1)
La condizione di equilibrio rotazionale prevede la determinazione dei momenti. Le forze sono complanari al piano cartesiano xy e quindi i momenti delle
singole forze sono ortogonali al foglio e dirette lungo l’asse z (che ricordiamo
è uscente dal foglio).
Scegliamo il punto A come riferimento per la determinazione dei momenti:
quindi il punto fisso O ≡ A. Il momento di FA è nullo. Il momento di FB è
M B  ( FB d ) k  (1, 2 N m) k
e il momento di FC è
M C  ( FC l ) k  (4, 0 N m) k
Esiste dunque un momento totale
M tot  M B  M C  (2,8 N m) k
(2)
L’asta per la (1) non è in equilibrio traslazionale e per la (2) non è in equilibrio
rotazionale.
Per l’equilibrio traslazionale occorre una forza equilibrante FE che sia opposta
a Ftot, cioè applicando la (2.12a)
FE  Ftot  (5, 0 N) j
Per l’equilibrio rotazionale occorre collocare la forza equilibrante FE in un
opportuno punto di applicazione P in modo da avere un momento opposto a
Mtot, cioè applicando la (2.12b)

OP  FE  M tot  (2,8 N m) k
Dalla figura

OP  FE  (b FE ) k
dove b è il braccio di FE cioè la distanza dal punto O ≡ A al punto P. Quindi
(b FE ) k  M tot  (2,8 N m) k
(3)
e per soddisfarla occorre che sia FE b  (5, 0 N) b  2,8 N m cioè
b
2,8 N m
 0,56 m
5,0 N
Concludendo, la forza equilibrante (cioè la forza richiesta per produrre equilibrio) è di 5,0 N verso l’alto e applicata a una distanza di 56 cm da A.
UNITÀ B2 - STATICA
 Semplificazione e annullamento dei momenti
Nei precedenti problemi svolti abbiamo adottato i due seguenti accorgimenti
per semplificare la determinazione dei momenti.
Semplificazione del momento totale con forze complanari
Ipotizziamo un corpo rigido su cui agiscono p forze complanari, cioè con le rette d’azione che giacciono in un
medesimo piano. Stabiliamo che questo piano sia quello
cartesiano xy del diagramma delle forze. Dalla definizione di momento di una forza, i vettori momenti delle
forze complanari coincideranno con l’asse cartesiano z
perpendicolare agli assi xy. In figura 2.21 è mostrato il
caso di due forze complanari su una lamina. Nei casi di
forze complanari, il momento totale è determinato dalla
relazione
z
M1
F1
F2
k
 p

  M zi  k  M
 i 1

M2
Di conseguenza la (2.11b) per l’equilibrio rotazionale
(quindi con M = 0) diventa
 p

  M zi  k  0
 i 1

che equivale all’espressione più semplice con solo le componenti scalari lungo l’asse z, cioè
p
M
i 1
zi
0
Figura 2.21
Le forze F1 ed F2 sono entrambe complanari al piano della lamina e i rispettivi vettori momento hanno direzione coincidente con
l’asse z. Il momento totale ha quindi direzione fissata dall’asse
z, modulo fornito dalla somma delle componenti scalari rispetto
all’asse e verso stabilito dal segno algebrico della somma
ottenuta. Verificare con righello che la lamina non è in equilibrio
rotazionale e ha vettore momento totale con verso coincidente
al versore k e modulo M = M1 – M2 .
L’esempio in figura ha p = 2.
Annullamento dei momenti
È possibile ridurre il numero dei vettori momento da inserire nella sommatoria (2.11b) considerando la seguente nota regola:
il momento di una forza è sempre nullo quando il relativo punto fisso O
appartiene alla sua retta d’azione.
Di conseguenza, quando si applica la (2.11b), si cerca di scegliere un punto
fisso che sia attraversato dal maggiore numero di rette d’azione delle forze presenti, in modo da annullare il più
alto numero di momenti possibile.
F2
In figura 2.22 l’esempio di due
momenti annullati dei tre generati
O
r3
da altrettante forze. Ricordiamo
che il punto fisso O può essere
esterno al corpo rigido e dunque
può essere valido anche un evenF1
F3
tuale punto d’incrocio tra rette
d’applicazione esterno al corpo.
Figura 2.22
Esempio di scelta appropriata del
punto fisso O per la determinazione
dei momenti. Scegliendo per O il
punto d’incrocio delle rette d’azione di
F1 ed F2, i rispettivi momenti si annullano e rimane solo da considerare il
momento di F3, e cioè: M3 = r3 х F3.
199
200
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
 Forza equivalente di due forze complanari
Se tra le forze che agiscono su un corpo rigido vi sono due forze complanari, cioè con le rette d’azione appartenenti al medesimo piano, è possibile
sostituirle con una sola forza equivalente semplificando l’analisi dell’equilibrio del corpo. Naturalmente la forza equivalente deve mantenere inalterati
l’effetto globale delle due forze che sostituisce. Questa condizione è garantita
da regole geometriche applicate nei seguenti tre casi.
Due forze concorrenti
Figura 2.23
Costruzione della forza equivalente di due forze concorrenti.
O
Due forze si dicono concorrenti
quando le rispettive rette d’azione si
incontrano in un punto.
F2
F1
F
P
In figura 2.23 la costruzione geometrica della forza equivalente di due
forze concorrenti, F1 ed F2, agenti su
un corpo rigido con le rette d’azione
che s’incrociano nel punto O.
F2
F
F1
La forza equivalente F ha:


modulo, direzione e verso stabiliti dalla somma vettoriale tra F1 ed F2;
punto di applicazione, un punto P qualsiasi del corpo che appartiene anche
alla sua retta d’azione obbligatoriamente passante per O.
La regola geometrica è valida anche per un numero di forze concorrenti maggiore di due.
Due forze concordi
Dalla figura 3.6 dell’unità A3, due forze sono concordi se hanno direzioni fra
loro parallele e medesimo verso.
In figura 2.24 la costruzione geometrica della forza equivalente di due forze
concordi, F1 ed F2, agenti su un corpo rigido.
Figura 2.24
Costruzione della forza equivalente di due forze concordi.
La forza equivalente F ha:

d2
d1
F2


F1
F
modulo uguale alla somma dei moduli
F1 ed F2;
verso e direzione uguali a quelli di F1
ed F2;
punto di applicazione interno alle due
forze a una distanza d1 dalla forza F1
e d2 da F2 tali da verificare la seguente
uguaglianza
F1 d 2

F2 d1
(2.13)
UNITÀ B2 - STATICA
Due forze discordi
Dalla figura 3.6d dell’unità A3, due forze sono discordi se hanno direzioni fra
loro parallele e verso opposto.
In figura 2.25 la costruzione geometrica della forza equivalente di due forze
discordi, F1 ed F2, agenti su un corpo rigido.
La forza equivalente F ha:




Figura 2.25
Costruzione della forza equivalente
di due forze discordi.
F2
modulo uguale alla differenza tra i
moduli F1 ed F2;
d1
verso uguale a quello della forza con
modulo maggiore;
d2
direzione uguale a quella delle due
forze;
punto di applicazione esterno alle due
forze a una distanza d1 dalla forza F1 e
d2 da F2 tali da verificare la (2.13).
F
F1
Nel caso di un corpo rigido sottoposto a più di due forze si individuano coppie di
forze fra loro complanari e si applicano a secondo dei casi le regole sopra esposte.
Problema svolto 2.6
In figura 2.26 una sbarra è sottoposta alle forze complanari, F1, F2 ed F3.
Determinare graficamente la forza equivalente F individuando le forze che sono concorrenti, concordi o
discordi.
A
Le regole per la determinazione della forza equivalente
possono essere applicate scegliendo coppie diverse tra le
forze presenti. Una combinazione di coppie potrebbe essere la seguente.
1) La coppia F1 ed F3 è concorde: applicando la regola di
forze concordi otteniamo la forza equivalente F13, che è
concorrente a F2.
Le distanze d1 e d2 sono determinate applicando la
(2.13).
d1
d2
O
F1
F2
F3
F13
2) La coppia F13 ed F2 è concorrente: applicando la regola di
F
forze concorrenti otteniamo la forza equivalente finale F.
a
Le rette a tratto a e b sono quelle d’azione di F13 ed F2,
c
con A punto del loro incrocio. Per la costruzione di F
scorriamo F13 ed F2 fino a fare coincidere i loro punti di
applicazione con A e applichiamo il metodo del parallelogramma. Facciamo Figura 2.26
quindi scorrere F sulla sua retta d’azione c fino a dove il punto di applicazione coincide con un punto della sbarra (punto O).
b
201
202
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
Il raggiungimento dell’equilibrio per un corpo rigido non è sempre una condizione
definitiva: può anche essere precaria.
2.5
Stabilità del corpo rigido
Importante informazione per un corpo rigido è la sua stabilità, cioè la sua
predisposizione a mantenere la condizione di equilibrio.
Per valutare la stabilità si applica una piccola forza di disturbo al corpo in
equilibrio in modo da provocare un piccolo spostamento del corpo e si osserva
cosa succede.
Prendiamo come esempio di equilibrio la pallina di figura 2.27 che scorre in
una guida concava, convessa e piana. La pallina è inizialmente in equilibrio,
cioè ferma, nel punto O di ciascuna guida. Viene quindi sollecitata da una
piccola e istantanea forza sufficiente per spostarla di poco dal punto O. Quello
che succede al corpo (in questo caso la pallina) al termine della sollecitazione,
classifica i seguenti tre casi di equilibrio.



Equilibrio stabile (figura 2.27a): il corpo ritorna nella posizione iniziale e
dunque all’equilibrio iniziale.
Equilibrio instabile (figura 2.27b): il corpo si allontana dalla posizione
iniziale e dunque dall’equilibrio iniziale.
Equilibrio indifferente (figura 2.27c): il corpo si sposta vicino alla posizione iniziale e assume un equilibrio diverso da quello iniziale.
Figura 2.27
Modello per classificare l’equilibrio
di un corpo rigido. L’equilibrio della
pallina ferma (a) in fondo alla
guida concava è stabile, (b) alla
sommità della guida convessa è
instabile, (c) sulla guida orizzontale è indifferente.
O
O
O
a
b
c
Indaghiamo la stabilità considerando il baricentro di un corpo rigido in due
condizioni particolari: quando il corpo è appeso e quando è appoggiato su una
superficie (situazione già anticipata dal modello con pallina).
 Stabilità del corpo rigido appeso
Un corpo rigido appeso per un suo punto O è in equilibrio quando il suo baricentro G è sulla retta verticale passante per O. Il tipo di equilibrio dipende dalla
posizione occupata dal punto G rispetto al punto O che potrebbe comportare
un momento della forza peso P, come andiamo a dimostrare.
UNITÀ B2 - STATICA
Prendiamo come riferimento l’asse appeso di figura 2.28. Abbiamo la seguente
classificazione:



equilibrio stabile, quando O si trova sopra a G lungo la verticale (figura
2.28a);
equilibrio instabile, quando O si trova sotto a G lungo la verticale (figura
2.28b);
equilibrio indifferente, quando O coincide con G (figura 2.28c).
Commentiamo brevemente quanto definito. Negli equilibri stabile e instabile
un piccolo spostamento dell’asse fa uscire il baricentro G dalla retta verticale.

Questo comporta un momento della forza peso P, M  OG  P o, in modo equivalente, la rotazione del corpo, che porta il punto G a posizionarsi sotto il punto O.
Nell’equilibrio indifferente, siccome i punti G e O coincidono, la forza peso non
ha momento, cioè il corpo non ruota.
O
G
G
G
Gº O
G
P
P
O
a
b
Figura 2.28
Classificazione dell’equilibrio per
un corpo rigido appeso: esempio
con asse (osservare la comparsa

del braccio OG per la forza peso
P quando G esce dalla verticale a
causa della rotazione). Equilibrio:
(a) stabile; (b) instabile; (c) indifferente.
c
 Stabilità del corpo rigido appoggiato
Un corpo rigido appoggiato su un piano è in equilibrio se la retta verticale passante per il suo baricentro interseca la superficie di appoggio. In figura 2.29a,
il parallelepipedo non è in equilibrio perché la verticale passante per il baricentro G non interseca la superficie di appoggio. La torre di Pisa (fig. 2.29b) non
cade perché la proiezione verticale del suo baricentro interseca la superficie
occupata dalle fondamenta.
Attenzione al significato di superficie di appoggio: non è necessariamente la
superficie di contatto tra la base del corpo e il piano. Pensiamo alla superficie di appoggio di una sedia che è delimitata
dall’area interna alle quattro gambe, mentre il
contatto con il pavimento è solo in corrispondenza delle gambe.
G
superficie
di appoggio
a
b
Figura 2.29
(a) Esempio di non equilibrio.
(b) Esempio di equilibrio (torre
di Pisa).
203
204
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
In figura 2.30 i classici esempi di solidi utilizzati per mostrare i tre tipi di
equilibrio nel caso di corpi rigidi appoggiati. Se applichiamo una piccola
forza istantanea su ciascuno di questi corpi si ha una variazione della distanza
verticale tra il baricentro G e il piano. Il tipo di variazione di questa distanza
classifica i seguenti tre tipi di equilibrio:



Figura 2.30
Classificazione dell’equilibrio per
un corpo rigido appoggiato su una
superficie (la linea tratteggiata
rossa indica i punti che il baricentro G percorre durante la sollecitazione del corpo). (a) Equilibrio stabile per la semisfera. (b) Equilibrio
instabile per il cono rovesciato. (c)
Equilibrio indifferente per la sfera.
equilibrio stabile, se la distanza verticale da G al piano aumenta (figura
2.30a);
equilibrio instabile, se la distanza verticale da G al piano diminuisce (figura
2.30b);
equilibrio indifferente, se la distanza verticale da G al piano rimane costante (figura 2.30c).
G
G
G
a
b
c
Vediamo come sfruttare l’equilibrio dei corpi per spendere meno energia (muscolare
e non) nel sollevare oggetti pesanti o per evitare di rompere quelli fragili.
2.6
Macchine semplici
Le leve, le carrucole, le viti sono oggetti molto comuni, ma non è comune conoscere come la fisica descrive il loro funzionamento, che consiste nel trasformare l’intensità di una forza in una forza con diversa intensità. Pensiamo per
esempio a cosa succede quando azioniamo un crick: il nostro piccolo sforzo
nel girare la manovella viene trasformato in qualcosa che è addirittura in grado
di sollevare parzialmente un auto. La fisica classifica gli oggetti sopra citati e
quelli simili, come macchine semplici. In generale
una macchina semplice è un dispositivo in grado di aumentare o ridurre
l’effetto della forza applicata dall’operatore sulla macchina e trasmetterla su
un corpo rigido.
Il funzionamento corretto di una macchina semplice comporta che il corpo
rigido su cui la macchina agisce sia istante per istante sempre in equilibrio.
Per questo motivo le macchine semplici sono introdotte nell’unità dedicata
all’equilibrio dei corpi. Con il termine “operatore” intendiamo un uomo (anche
se potrebbe anche essere una macchina).
Introduciamo lo studio delle macchine semplici con la macchina più comune
e nota: la leva.
UNITÀ B2 - STATICA
 Leva
Esistono tre tipologie di leve. Iniziamo
da quella di figura 2.31 impiegata per
il più classico degli scopi: sollevare
un corpo di massa m vincendo con
un piccolo sforzo muscolare l’attrazione di gravità terrestre. Definiamo
le grandezze fisiche indicate in figura, comuni per qualsiasi leva.





Figura 2.31
Schema di una leva.
bR
m
FM
F
bM
FR
Forza resistente FR: forza a cui l’operatore si oppone tramite l’impiego
della macchina (in questo caso coincide con la forza peso del corpo).
Forza motrice FM: forza applicata dall’operatore sulla macchina (in questo
caso coincide con la forza impressa verso il basso dall’uomo su un estremità
della leva).
Fulcro F: punto rispetto al quale si determinano i momenti della forze resistente e motrice.
Braccio resistente bR: distanza perpendicolare tra la direzione della forza
resistente e il fulcro.
Braccio motore bM: distanza perpendicolare tra la direzione della forza
motrice e il fulcro.
Il funzionamento si basa sull’equilibrio rotazionale della leva e, dunque, occorre determinare i momenti della forza resistente e motrice per verificare la
(2.11b). Se si considera l’asse z con l’origine coincidente al punto F e verso in
uscita al foglio, la forza motrice FM ha momento in forma cartesiana
M M  FM bM z
e la forza resistente FR ha momento
M R   FR bR z
Siccome, per ipotesi di funzionamento, la leva è sempre in equilibrio rotazionale, l’applicazione della (2.11b) comporta
M M  M R   FM bM  FR bR  z  0
verificata se FM bM  FR bR  0 cioè se
FM bM = FR bR
(2.14)
Grazie a questa uguaglianza possiamo equilibrare la forza resistente (e quindi
sollevare il corpo) con una forza motrice di intensità minore: infatti, se isoliamo il modulo FM abbiamo
FM  FR
bR
bM
e se il braccio della forza motrice è più lungo di quello della forza resistente,
cioè
bM  bR
(2.15)
durante il sollevamento del corpo rigido, l’intensità della forza motrice è sempre inferiore di quella resistente. Rispettando quindi la (2.15) si “vince” la forza
resistente con un forza motrice di modulo inferiore. In termini pratici, si solleva
il corpo con uno sforzo minore di quello necessario senza leva.
205
206
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
 Vantaggio della leva
In generale, a seconda di come si relazionano reciprocamente le lunghezze dei
due bracci, la leva è:



vantaggiosa se bM > bR; vantaggiosa perché FM < FR, e dunque si vince la
forza resistente con una forza motrice di modulo minore;
svantaggiosa se bM < bR; svantaggiosa perché FR < FM, e dunque per vincere
la forza resistente occorre addirittura una forza motrice di modulo maggiore;
indifferente se bM = bR; indifferente perché FR = FM, e l’effetto della forza
motrice rimane inalterato.
Attenzione a non farsi ingannare dal termine “svantaggiosa”: come vedremo a
breve, questo tipo di leva ha un suo specifico impiego.
Problema svolto 2.7
Una sbarra di ferro lunga 2,10 m è utilizzata per sollevare un masso di
70,0 kg posto a 30,0 cm dal fulcro.
Determinare la forza necessaria all’altro estremo della leva per avere
equilibrio e dunque sollevamento.
Il problema richiede il modulo della forza motrice necessaria per vincere la
forza resistente, in questo caso, la forza peso agente sul masso.
Per sollevare il masso occorre che la sbarra sia in equilibrio rotazionale, cioè
sia verificata la (2.14)
(1)
FM bM = FR bR
Il braccio della forza motrice è
bM = (2,10  30, 0 102 ) m  1,80 m
e il braccio della forza resistente è
bR  30, 0 102 m
Il modulo della forza resistente è quello della forza peso che agisce sul masso
FR  m g  (70, 0 kg) (9,81 m s-2 )  687 N
Dalla (1) il modulo della forza motrice richiesta è quindi
FM  FR
bR
(30, 0 102 m)
 (687 N)
 115 N
bM
(1,80 m)
notevolmente inferiore al modulo della forza resistente (si riduce dell’83%).
 Classificazione delle leve
Non esiste solo la leva che abbiamo descritto. Le leve sono classificate in tre
generi: leve di primo, secondo e terzo genere. Ogni genere si distingue dagli
altri due per le reciproche posizioni che assumono fulcro, forza motrice e forza
UNITÀ B2 - STATICA
resistente come elencato in tabella 2.1. La leva in figura 2.31 è di primo genere
avendo il fulcro in mezzo alle due forze. Ogni genere aumenta o riduce l’effetto
della forza motrice sul corpo rigido.
genere leva
primo genere
secondo genere
terzo genere
FR – F – FM
F – FR – FM
F – FM – FR
aumenta se bM > bR
aumenta
riduce
posizione
effetto di FM
vantaggio
sì, se bM > bR
sì
no
Figura 2.32
Figura 2.33
Figura 2.34
schema/esempio
Tabella 2.1
Classificazione delle leve.
Esempi di leva del primo genere sono la pinza e il remo della barca; di secondo
genere lo schiaccianoci e la carriola. Le leve di terzo genere, nonostante siano
svantaggiose, sono impiegate per controllare che la forza motrice non danneggi il corpo rigido a cui è soggetto l’effetto. Un esempio è la pinzetta per francobolli, dove occorre dosare la forza motrice impressa dalle dita che risulterebbe
eccessiva per la delicatezza del francobollo.
Figura 2.32
Leva di primo genere: (a) schema;
(b) esempio, la pinza.
FR
FR
F
FM
F
FR
FM
a
FM
b
Figura 2.33
Leva di secondo genere: (a) schema; (b) esempio, lo schiaccianoci.
F
FM
F
FR
FR
FR
FM
a
FM
b
FM
F
FM
F
FR
FM
FR
FR
a
b
Figura 2.34
Leva di terzo genere: (a) schema;
(b) esempio, la pinzetta.
207
208
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
 Carrucole
Figura 2.35
Impiego della carrucola: si vince la
forza peso tirando la cassa dall’alto verso il basso, piuttosto che
sollevarla dal basso verso l’alto se
presa direttamente con le mani.
La carrucola o puleggia è una macchina
semplice utilizzata per sollevare corpi di
una certa massa. La figura 2.35 mostra le
sue parti: una ruota con scanalatura lungo
la circonferenza in cui scorre un mezzo di
trasmissione flessibile come fune, cinghia o
catena; l’asse della ruota è fissato a un sostegno (per questo definita anche carrucola
fissa). Con la carrucola possiamo sollevare
masse applicando uno sforzo muscolare
dall’alto verso il basso, gesto che è più comodo e meno dispendioso rispetto a quello che
occorrerebbe se sollevassimo la massa direttamente, cioè dal basso verso l’alto.
Figura 2.36
Schema della carrucola fissa: la
disposizione del fulcro e delle due
forze la classificano come leva di
primo genere; l’uguaglianza tra i
due bracci la classifica, inoltre,
come leva indifferente.
Descriviamo il funzionamento della carrucola fissa (fig. 2.36). Se consideriamo l’asse fisso della carrucola come fulcro, abbiamo una macchina semplice che si comporta
come leva del primo genere: infatti il fulcro
F è posto tra la forza resistente FR, dovuta
FM
alla forza peso che agisce sulla massa da
sollevare, e la forza motrice FM che l’operatore aziona tirando il mezzo di trasmissione
dall’alto verso il basso; le due forze sono
distanziate dal fulcro dai relativi bracci bR
FR
e bM. Siccome i due bracci sono entrambi
uguali al raggio della carrucola, abbiamo una leva di vantaggio indifferente Quindi la carrucola non interviene ad
aumentare l’effetto della forza motrice, ma si limita a cambiare la direzione e
il verso della forza resistente, in modo da facilitare l’operatore ad applicare la
forza motrice.
bR
F
bM
È possibile migliorare le prestazioni di una carrucola fissa con la versione
a carrucola mobile di figura 2.37. In questo caso la macchina semplice si
comporta da leva di secondo genere. Il corpo di massa m è appeso all’asse di
una carrucola che si muove lungo una direzione verticale, a sua volta collegata
tramite il mezzo di trasmissione a una carrucola fissa. Dalla figura osserviamo
che la forza resistente FR dovuta alla forza peso si trova tra il fulcro F e la forza
motrice FM. Determiniamo i bracci rispetto a F. La FR ha braccio bR; siccome
il mezzo di trasmissione trasmette inalterata la forza motrice, spostiamo la FM
dal punto A al punto B e dunque il relativo braccio è bM = 2bR. Essendo bM > bR,
si verifica che la carrucola mobile è una macchina vantaggiosa, e ciò si accorda
con il fatto che essa è in effetti una leva di secondo genere.
Dalla condizione di equilibrio che una macchina semplice deve sempre
rispettare, uguagliamo i moduli dei due momenti come nella (2.14): essendo
bM = 2bR, abbiamo
FR bR  FM 2bR
da cui
FM 
FR
2
(2.16)
(2.17)
UNITÀ B2 - STATICA
Con la carrucola mobile è quindi possibile
raggiungere l’equilibrio o, in termini equivalenti, sollevare un corpo azionando una
forza motrice che è la metà dell’intensità
richiesta dalla carrucola fissa.
Figura 2.37
Schema della carrucola mobile: la
disposizione del fulcro e delle due
forze la classificano come leva di
secondo genere, e dunque vantaggiosa (infatti il braccio motore è
doppio di quello resistente).
F
bM = 2bR
FM
B
bR
A
FM =
FR
2
FR
Problema svolto 2.8
Un muratore solleva sacchi di cemento, ognuno di massa m = 50 kg, con
una carrucola mobile.
Determinare la forza necessaria per sollevare un sacco e il numero di
sacchi che può sollevare contemporaneamente se la forza massima
esercitata può arrivare a 1,0 · 103 N.
Dalla (2.17) determiniamo il modulo della forza motrice necessaria per sollevare un sacco. Il modulo della forza resistente è quello della forza peso che agisce
sul singolo sacco, quindi
FM 
FR m g (50 kg) (9,81 m s 2 )


 2,5 102 N
2
2
2
La massima forza motrice che può essere azionata dal muratore ha modulo
FM max = 1000 N, e può contrastare una forza resistente con modulo
FR max  FM max 2  (1,0 103 N) 2  2, 0 10 3 N
Quindi il numero n di sacchi, ciascuno di 50 kg, che può contemporaneamente
sollevare nel caso di massima forza motrice, si ricava dalla relazione
FR max  n (m g )
da cui il numero di sacchi
n
FR max 2, 0 103 N

4
4,9 102 N
mg
209
210
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
APPROFONDIMENTO
Il piano inclinato come macchina semplice
Abbiamo definito il parametro vantaggio di
una macchina semplice in base al confronto
tra i bracci della forza resistente e motrice. Una
diversa definizione è la seguente.
riale della forza peso, FRx, parallela al piano.
Affinché il punto materiale sia spinto in alto, il
modulo di FM deve essere maggiore del modulo
di FRx che è
Si definisce vantaggio V il rapporto tra le intensità dei moduli della forza resistente FR e quella
motrice FM
cioè
FRx  FR sen 
V
FR
FM
(2.16)
Rispetto al rapporto (2.16), la macchina semplice è considerata



vantaggiosa se V > 1 (infatti significa che
FM > FR)
svantaggiosa se V < 1 (infatti significa che
FR > FM)
indifferente se V = 1 (infatti significa che
FR = FM)
 Piano inclinato
La definizione di vantaggio espressa dalla (2.16)
consente di vedere il piano inclinato come esempio di macchina semplice vantaggiosa. Con una
superficie inclinata rigida, è possibile trasportare a una certa altezza oggetti di massa elevata,
con una forza di intensità relativamente piccola
rispetto a quella della forza peso dell’oggetto da
sollevare.
Consideriamo il diagramma delle forze sul piano
inclinato di figura 2.38. Il peso del corpo P è la
forza resistente FR che dobbiamo vincere per
spingere verso la sommità del piano un corpo di
massa m rappresentato dal punto materiale A. La
forza motrice FM è quella di spinta con direzione
uguale e verso opposto alla componente vetto-
Quindi deve essere
FM  FR sen 
Applicando la (2.16), il vantaggio V del piano
inclinato è dunque maggiore di 1, cioè
V
FR
1

1
FR sen  sen 
Infatti l’angolo di inclinazione  del piano è
compreso tra 0 e 90° e dunque il suo sen  è
sicuramente minore di 1. Abbiamo quindi dimostrato la vantaggiosità del piano inclinato.
Minore è l’angolo di inclinazione, minore sarà
l’intensità motrice da applicare per spingere il
corpo verso l’alto: ovviamente l’angolo  non
può essere piccolo a piacere perché comporterebbe uno spazio eccessivamente lungo occupato dal piano.
y
FRx
FM
x
m
A
a
a
FR º P
Figura 2.38
Piano inclinato come macchina semplice: sono evidenziati la forza
resistente e la forza motrice che agiscono sul punto materiale A.
unità
2.1 Equilibrio
B2 Riepilogo
2.3 Statica del corpo rigido
condizione di equilibrio: quando un corpo,
soggetto a forze, rimane immobile e non si
deforma.
statica: parte della fisica che analizza e ricerca
la condizione di equilibrio dei corpi.
condizione di non equilibrio: condizione in
cui, a causa di una o più forze, sul corpo si manifestano effetti di movimento o di deformazione.
condizione di equilibrio per il punto materiale:
n
F  0
i 1
i
n
M
i 1
i
0
punto materiale: il corpo di massa m è approssimato a un punto in cui si concentra tutta la
massa.
dove Fi è la generica forza delle n forze che agiscono sul punto materiale ed Mi è l’eventuale
momento generato dalla forza Fi.
condizioni per punto materiale: il corpo deve
avere dimensioni trascurabili rispetto all’ambiente e ai corpi che lo circondano e la riduzione
a punto non deve occultare eventuali effetti di
moto di rotazione.
baricentro: punto del corpo rigido su cui agisce
la forza peso; in corpi solidi a forma regolare e
omogenei coincide con il centro di simmetria.
Può anche essere esterno al corpo.
2.4 Forza equilibrante per il corpo rigido
2.2 Statica del punto materiale
condizione di equilibrio per il punto materiale:
n
R   Fi  0
i 1
dove Fi è la generica forza delle n forze che agiscono sul punto materiale.
forza equilibrante: forza che ripristina l’equilibrio di un corpo.
obiettivo della statica per il corpo rigido:
determinare se un corpo è in equilibrio e, in caso
contrario, determinare la forza equilibrante.
corpo rigido in equilibrio: le forze e i momenti hanno entrambi risultante nulla.
punto materiale su piano inclinato: per
l’equilibrio occorre una forza che contrasti la
componente vettoriale della forza peso parallela
al piano.
corpo rigido non in equilibrio rotazionale:
i momenti hanno risultante non nulla; necessita una coppia di forze equilibranti per creare un momento che annulli la risultante dei
momenti.
punto materiale su piano inclinato con attrito: la forza di attrito statica contrasta la componente vettoriale della forza peso parallela al
piano; l’equilibrio è mantenuto sino a quando
l’angolo di inclinazione del piano non raggiunge
un certo valore che è funzione del coefficiente di
attrito statico.
corpo rigido non in equilibrio: le forze e i
momenti hanno entrambi risultante non nulle;
necessita una forza equilibrante che annulla
la risultante delle forze, e occorre scegliere
come suo punto di applicazione quello che
crea un momento che annulli la risultante dei
momenti.
212
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
semplificazione dei momenti: la semplificazione è possibile quando le forze sono complanari e quando il punto fisso O per i momenti
coincide con il punto di incrocio in cui passano
più rette d’applicazione possibili.
forze equivalenti: forze che con particolari
regole geometriche sostituiscono due forze che
possono essere concorrenti, o parallele concordi, o parallele discordi.
2.5 Stabilità del corpo rigido
stabilità: predisposizione del corpo a mantenere la condizione di equilibrio.
equilibrio stabile: anche se sollecitato, il corpo
mantiene il suo equilibrio iniziale.
leva vantaggiosa: il braccio della forza motrice
è maggiore di quello della forza resistente; l’effetto della forza motrice è amplificato.
leva svantaggiosa: il braccio della forza motrice è minore di quello della forza resistente; l’effetto della forza motrice è ridotto.
leva indifferente: il braccio della forza motrice
è uguale a quello della forza resistente; l’effetto
della forza motrice è inalterato.
classificazione delle leve:
leva di primo genere
posizione
effetto di FM
equilibrio del corpo appeso: si verifica se il
baricentro si trova sulla verticale che passa per
il punto in cui è appeso e sotto di esso.
equilibrio del corpo appoggiato: si verifica se
la proiezione del baricentro sul piano di appoggio è interna alla superficie di appoggio del
corpo.
2.6 Macchine semplici
macchina semplice: dispositivo che amplifica
o attenua l’effetto di una forza applicata a un
corpo rigido.
unità
B2
Riepilogo
leva: macchina semplice, in cui è presente un
punto chiamato un fulcro rispetto al quale si
collocano i punti di applicazione delle forze
motrice e resistente, determinando i bracci
motore e resistente.
aumenta se bM > bR
vantaggio
sì, se bM > bR
schema/esempio
equilibrio instabile: sollecitato, il corpo tende
ad allontanarsi dal suo equilibrio iniziale.
equilibrio indifferente: sollecitato, il corpo
assume equilibri vicini a quello iniziale.
FR - F - FM
Figura 2.32
leva di secondo genere
posizione
effetto di FM
F - FR - FM
aumenta
vantaggio
schema/esempio
sì
Figura 2.33
leva di terzo genere
posizione
effetto di FM
vantaggio
schema/esempio
F - FM - FR
riduce
no
Figura 2.34
carrucola fissa: leva di primo genere indifferente; la direzione e il verso della forza motrice
sono posizionate in modo da sollevare le masse
più facilmente.
carrucola mobile: sistema a doppia carrucola
di cui una è mobile; è una leva di secondo genere, e dunque vantaggiosa. La direzione e il verso
della forza motrice sono posizionate in modo
meno dispendioso e la sua intensità è ridotta a
metà rispetto al sistema con carrucola fissa.
unità
TEST
1
2
3
5
Su un punto materiale fermo
a) non agiscono forze
b) agisce una sola forza
c) agisce una forza elastica
d) agiscono forze la cui risultante è nulla
Si ottiene l’equilibrio di un punto materiale
applicando tre forze uguali?
a) no, mai
b) sì, sempre
c) sì, se le tre forze formano tra loro angoli di
120°
d) sì, se due delle tre forze hanno la stessa direzione, ma verso opposto
In figura, una persona è appesa a un cavo
attaccato a due palazzi. Se la persona pesa
550,0 N, la tensione del cavo è
a) 275,7 N
b) 1971 N
c) 3942 N
d) 7885 N
4°
a)   s
b) sen   s
c) tan   s
d) tan   s
6
Un corpo è omogeneo e ha forma geometrica
regolare. Il baricentro del corpo
a) dipende dalla massa del corpo
b) dipende dal volume del corpo
c) è un punto esterno al corpo
d) è il centro di simmetria del corpo
7
A body is in equilibrium when
a) the sum of the forces is zero
b) the sum of the torques is zero
c) the sum of the torques and the sum of the
forces are zero
d) the sum of the torques or the sum of the
forces are zero
8
In figura, la sbarra è sottoposta all’azione di
due forze uguali in modulo e opposte in verso;
in quale caso la sbarra è in equilibrio?
4°
Un corpo di massa m è in equilibrio su un
piano inclinato senza attrito di altezza h e lunghezza l. La forza che mantiene in equilibrio il
corpo ha modulo
a) m g
h
l
b) m g
l
h
c)
1 h
mg l
d)
h
l
Verifiche
Un corpo si trova su un piano inclinato con
coefficiente di attrito statico s e angolo di
inclinazione . Il corpo è in equilibrio sul
piano se
a)
4
B2
c)
9
b)
d)
Alle estremità di un’asta rigida sono applicate
due forze che sono parallele, concordi e con
modulo di una forza doppio dell’altra; la risultante delle forze è applicata in un punto posto
a) a metà dell’asta
b) su un estremo dell’asta
214
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
c) a un terzo della lunghezza dell’asta, dalla
parte della forza minore
d) a un terzo della lunghezza dell’asta, dalla
parte della forza maggiore
10 Nei punti A e B della sbarra in figura sono
applicate due forze parallele con verso uguale.
Sapendo che queste forze possono essere bilanciate con una forza applicata nel punto O, quanto vale l’intensità della forza applicata in B?
d) modulo 12 N, è parallela alle due forze
applicate e ha verso come FB
A
FA
B
FB
A
3 cm
O
2 cm
B
13 Facendo riferimento al test precedente e
sapendo che il segmento AB misura 2,0 m,
qual è il punto di applicazione della forza
equilibrante?
a) 80 cm a destra di B
b) 80 cm a sinistra di A
c) 60 cm a destra di B
d) 60 cm a sinistra di A
4N
a) 3 N
b) 4 N
c) 5 N
d) 6 N
11 Nei punti A e B della sbarra in figura sono
applicate due forze parallele di verso opposto. Sapendo che queste forze possono essere
bilanciate con una forza applicata nel punto
O, quanto vale la distanza OB?
3N
A
3 cm
B
O
2N
unità
B2
Verifiche
a) 4 cm
b) 5 cm
c) 6 cm
d) 7 cm
12 Nei punti A e B della sbarra in figura sono
applicate due forze FA e FB che sono parallele,
di verso opposto, e con modulo rispettivamente di 2 N e di 7 N; la forza equilibrante ha
a) modulo 5 N, è parallela alle due forze applicate e ha verso come FA
b) modulo 5 N, è parallela alle due forze applicate e ha verso come FB
c) modulo 12 N, è parallela alle due forze
applicate e ha verso come FA
14 Si ha equilibrio in una leva se
a) il momento della forza motrice è maggiore
di quello della forza resistente
b) il momento della forza motrice è minore di
quello della forza resistente
c) il momento della forza motrice è uguale a
quello della forza resistente
d) il braccio motore è uguale a quello resistente
15 In una leva di secondo genere, il braccio motore
a) è sempre maggiore di quello resistente
b) è sempre minore di quello resistente
c) è sempre uguale a quello resistente
d) può essere maggiore o minore di quello
resistente
QUESITI
16 Cosa studia la statica?
17 Dare la definizione di corpo rigido e di punto
materiale.
18 Quando un punto materiale è in equilibrio?
19 Quando un corpo rigido è in equilibrio?
20 Se la risultante di un sistema di forze applicate
a un corpo rigido è nullo, possiamo affermare
che il corpo è in equilibrio?
UNITÀ B2 - STATICA
21 Una slitta è sul punto di scivolare lungo un
pendio innevato. Se si aumenta il carico della
slitta, aumenta anche la forza necessaria per
tenere in equilibrio la slitta sul pendio?
215
una forza peso di 100 N. Determinare i moduli
dalle forze vincolari prodotte dai due fili.
45°
22 Definire il baricentro di un corpo.
45°
23 Il baricentro di un corpo è sempre un punto
appartenente al corpo? Fornire un esempio.
24 Due forze parallele concordi sono applicate in
due punti diversi di un corpo rigido. Dov’è il
punto in cui è applicata la risultante delle due
forze?
25 Due forze parallele discordi sono applicate in
due punti diversi di un corpo rigido. Dov’è il
punto in cui è applicata la risultante delle due
forze?
33 In figura il corpo è soggetto a una forza peso
di 400 N. Rappresentare graficamente le forze
agenti sul corpo e determinare le tensioni in
ciascuna delle due corde oblique.
30°
60°
26 Perché quando si vuole aprire un cancello
pesante conviene spingere il più lontano possibile dai cardini?
1
30°
29 Quando una leva di primo genere è vantaggiosa?
31 Disegnare un paio di forbici, indicando la
posizione del fulcro e i vettori della forza
motrice e della forza resistente. Di che genere
di leva si tratta?
PROBLEMI
Nei seguenti problemi indicheremo direttamente
con il termine peso o con il verbo pesare il modulo
della forza peso che agisce su un corpo.
Statica del punto materiale (2.2)
32 In figura un quadro è appeso con due fili che
formano un angolo di 45° con il sostegno orizzontale a cui sono fissati. Sul quadro agisce
m
35 Un blocco di massa m = 3,0 kg è appeso come
in figura. Determinare la tensione nel filo 1.
30°
2
1
m
36 Per mantenere in equilibrio una scatola su
un piano inclinato liscio lungo 60,0 cm e
alto 15,0 cm occorre una forza di 3,15 N.
Determinare la massa della scatola.
Verifiche
30 Dare un esempio di leva di primo genere, di
secondo genere e di terzo genere.
2
60°
B2
28 Quando un corpo rigido appoggiato su un
piano è in equilibrio?
34 The tension in string 1 is 30 N. Determine the
mass m of the object.
unità
27 Si considerino le tre situazioni: una pallina
posata nel punto più basso di una conca, o
sulla cima di una salita, o sopra un piano orizzontale. A quale tipo di equilibrio corrispondono le tre situazioni?
216
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
37 In figura la forza F equilibra, tramite una
puleggia senza attrito, il peso P del corpo su
un piano inclinato. Sapendo che il modulo di
P è 10 N e il modulo di F è 6,0 N, determinare
il valore dell’angolo di pendenza  del piano
inclinato.
Statica del corpo rigido (2.3)
Forza equilibrante per il corpo rigido (2.4)
41 Alle estremità A e B della sbarra in equilibrio
in figura sono applicate due forze parallele e
concordi. Determinare il modulo della forza
applicata in B.
A
F
4 cm
O
2 cm
B
3N
42 Nei punti A e B della sbarra in figura sono
applicate due forze parallele e discordi, bilanciate da una forza applicata in O. Determinare
la distanza OB.
P
8N
38 Un facchino tiene fermo un armadio di 25,5 kg,
appoggiato su una passerella inclinata liscia
alta 1,50 m e lunga 4,50 m. Determinare il
modulo della forza esercitata dal facchino per
tenere l’armadio in equilibrio sulla passerella.
39 La passerella dell’esercizio precedente è scabra
e il coefficiente di attrito statico tra passerella
e armadio è 0,150. Determinare i moduli della
forza di attrito statico e della forza esercitata
dal facchino per tenere l’armadio in equilibrio
sulla passerella.
unità
B2
Verifiche
40 In figura il piano inclinato ha coefficiente di
attrito statico s = 0,30 e angolo di inclinazione  = 20°; la costante elastica della molla è
200 N/m, e la forza peso che agisce sul blocco
ha modulo 61 N. Determinare l’allungamento
che deve subire la molla per portare il blocco
in equilibrio.
a
A
2 cm
B
O
3N
43 In figura, una sbarra omogenea di lunghezza
1 m è in equilibrio su un perno. A una distanza di 20 cm dal perno è appesa una massa
m = 2 kg. Determinare la massa della sbarra.
60 cm
m
44 Un bilanciere da palestra è composto da
un’asta omogenea di massa m = 10 kg e
lunghezza l = 1,5 m alle cui estremità sono
applicate due masse di 10 kg ciascuna. Qual è
l’intensità della forza che si deve esercitare per
bilanciare la forza peso che agisce sul bilanciere? Dove deve essere impugnato il bilanciere?
45 Con riferimento al problema precedente, viene
aggiunta una terza massa da 10 kg ad un’estremità. Calcolare il valore della forza che deve
essere esercitata perché il bilanciere risulti in
equilibrio quando è sollevato da terra e dove
deve essere impugnato il bilanciere.
UNITÀ B2 - STATICA
46 La sbarra orizzontale AC in figura è lunga
1,5 m ed è sottoposta all’azione di tre forze.
Determinare modulo, direzione, verso e punto
di applicazione della forza equilibrante del
sistema di forze assegnato.
51 La sbarra in figura è lunga 90 cm ed è vincolata in O. Sapendo che AO è 30 cm e che il
modulo di FA è 50 N, ricavare il modulo di FB
quando la sbarra è in equilibrio.
A
O
B
3,0 N
A
70 cm
217
45°
FB
C
FA
4,5 N
49 Una lampada del peso di modulo 400 N è
sospesa all’estremità di un’asta fissata al muro
come in figura. L’asta ha un peso di intensità
100 N. Ricavare la tensione nel filo AB.
A
30,0°
B
50 La piastra rigida in figura è vincolata in O e
sono applicate tre forze di intensità F1 = 20 N,
F2 = 40 N e F3 = 40 N. Determinare se la piastra
è in equilibrio.
53 A quale genere di leva appartengono
a) una molletta da bucato;
b) una pinzetta per sopracciglia;
c) una carrucola;
d) uno schiaccianoci;
e) un remo;
f) una carriola;
g) una bilancia a bracci uguali;
h) un apri bottiglie
54 In una leva di terzo genere, i due bracci misurano 60 mm e 38 mm. La leva è in equilibrio sotto
l’azione di una forza resistente di modulo 3,6 N.
Determinare il modulo della forza motrice.
55 La leva in figura è sottoposta all’azione di una
forza resistente di intensità 15 N. Quanto vale
l’intensità della forza motrice in grado di equilibrare la forza resistente? Di che genere è la
leva? È vantaggiosa o svantaggiosa?
FM
20 cm
5 cm
Verifiche
48 Un’asta omogenea, imperniata nell’estremo A, è
lunga AC = 2,0 m e pesa 10 N . Nel punto B (che
distante 0,60 m da A) è applicata una forza FB con
intensità di 30 N rivolta verso il basso. Calcolare
il modulo della forza equilibrante applicata in C.
52 Due bambini si recano con il padre ad un parco
giochi, dove c’è un’altalena. I due bambini si
siedono a sinistra del fulcro. Se il primo bambino, di massa 20 kg, si siede a 2 m dal fulcro, e il
secondo, di massa 40 kg, si siede a 1 m dal fulcro, dove dovrà sedersi il padre, di massa 80 kg,
per poter sollevare i due bambini? L’altalena è
un tipo di leva. Di che genere di leva si tratta?
0,80 m
1,4 m 1,2 m
F2
O
F3
F1
FR
B2
47 Un uomo che pesa 700,0 N cammina su un
ponte orizzontale e si ferma in un punto che
dista dall’estremità opposta 3/4 della lunghezza dell’intero ponte. Il ponte è uniforme e pesa
2000 N. Quali sono i moduli delle reazioni vincolari che i supporti esercitano sulle estremità
del ponte?
Macchine semplici (2.6)
unità
6,2 N
218
MODULO B - FORZE ED EQUILIBRIO
56 Il fulcro di una leva di primo genere lunga
1,5 m si trova a 25 cm dall’estremo al quale è
applicata una forza resistente di 250 N. Qual è
l’intensità della forza motrice che si deve applicare all’altro estremo perché la leva sia in equilibrio? La leva è vantaggiosa o svantaggiosa?
57 La figura mostra la tavola anatomica di un
braccio piegato. Il punto O è il punto di rotazione dell’avambraccio (il fulcro), A è il punto
di applicazione dei muscoli flettenti (cioè della
forza motrice), B è il punto di applicazione
della forza peso (cioè della forza resistente).
Determinare il genere di leva. Sapendo che la
distanza BO è otto volte la distanza AO, calcolare con quale forza i muscoli flettenti devono
agire sull’avambraccio se si vuole alzare un
peso di 50 N.
150 N, determinare il modulo della forza peso
che agisce su corpo.
Fe
60 La figura mostra un sistema in equilibrio formato da una leva e una carrucola fissa che sostiene
un peso di modulo P = 100 N. La leva è lunga
l = 1,5 m, ha il fulcro in O, e la distanza OA misura 1,0 m. Determinare il modulo della forza da
applicare in A, per tenere in equilibrio il sistema.
O
B
A
A
B
O
58 Per sollevare una cassa di 50 kg un facchino utilizza un’asta di massa trascurabile e applica una
forza di 350 N. Che genere di leva sta utilizzando? È vantaggiosa o svantaggiosa? Se il fulcro si
trova a 50 cm dal punto in cui il facchino applica
la forza, quanto vale il braccio resistente?
unità
B2
Verifiche
59 La figura mostra un paranco, cioè un sistema
formato da due carrucole, di cui una mobile
(1) e una fissa (2). Le carrucole sostengono un
corpo. Sapendo che la carrucola mobile pesa
12,0 N e la forza equilibrante Fe ha modulo
61 In figura, un’asta rigida di massa trascurabile è imperniata nel punto O. La distanza
OB misura 1,2 m, la distanza OA, 30 cm, la
massa m2 vale 5,0 kg. Sapendo che il sistema
asta+carrucola fissa è in equilibrio, calcolare
la massa m1.
O
A
B
m2
m1
UNITÀ B2 - STATICA
219
LABORATORIO
Indipendenza della forza d’attrito
dall’estensione della superficie di contatto
Nel paragrafo 1.4 nell’unità B1 abbiamo trattato il caso di attrito su piano
inclinato (fig. 1.16): l’intensità della forza di attrito statico della superficie scabra mantiene il blocco fermo fino a quando l’angolo di inclinazione del piano
non comporta una componente della forza peso parallela al piano di intensità
superiore.
 Obiettivo
Verificare che la forza di attrito non dipende dall’estensione della superficie di
appoggio di un corpo posto su un piano inclinato con superficie scabra.
 Materiali

asse con superficie scabra

parallelepipedo
l
l
Hmax
h
In figura 2.39 la rappresentazione
schematica dell’esperimento con le
dimensioni del parallelepipedo che
consentono di poggiarlo su facce con
estensione diversa.
l
p
p
h
b
Hmax
a
 Sequenza esperimento
Figura 2.39
(a) Piano con diverse inclinazioni.
(b) Parallelepipedo con dimensioni disuguali (l > p > h) in modo che
le facce abbiano superfici diverse.
1. Posizioniamo il parallelepipedo sull’asse.
2. Incliniamo l’asse alzando un’estremità.
3. Misuriamo l’altezza massima dell’estremo alzato che mantiene il parallelepipedo fermo.
4. Ripetiamo i punti 1, 2 e 3 cambiando faccia di appoggio del parallelepipedo.
B2
unità
Osserviamo che l’altezza massima Hmax è la medesima indipendentemente
dall’estensione delle facce del parallelepipedo poggiato sull’asse. Questo significa che la forza di attrito dipende solo dalla tipologia del materiale tramite
il coefficiente d’attrito e dalla forza peso che agisce sul parallelepipedo che si
ripercuote sulla forza premente tramite la relazione (1.12) dell’unità B1.
Fare attenzione quando il parallelepipedo poggia sulla faccia a estensione
minore: in questo caso l’esperimento potrebbe non essere svolto se la verticale
passante per il baricentro del blocco di legno uscisse dalla superficie d’appoggio, comportando la caduta del parallelepipedo.
Verifiche
 Commenti
modulo
B
Verifica
di competenze
Ingegneri e architetti dell’antichità
Nell’ambito di questo modulo ci siamo occupati dell’equilibrio delle forze, dei
requisiti necessari perché esso si mantenga stabilmente e di come sia possibile
vincere delle forze con altre meno intense, mediante l’uso delle “macchine”. La
teoria che abbiamo presentato si basa sul metodo scientifico che, come ormai
sappiamo, è nato nel XVII secolo. Ma l’uomo, molto prima di quell’epoca, era
già in grado di costruire opere architettoniche meravigliose, in grado di sfidare
i secoli e, almeno in parte, di giungere fino ai nostri giorni. Gli architetti egiziani, greci, romani e, più in generale tutti coloro che hanno operato nelle grandi
civiltà protostoriche, avevano appreso i fondamenti dell’architettura e dell’ingegneria non frequentando università o politecnici, ma imparando da persone del
mestiere più esperte e facendo tesoro della propria esperienza diretta.
Ma quali calcoli facevano prima di iniziare i lavori, come facevano a dimensionare i fabbisogni per le loro opere in termini di materiali, mano d’opera e
tempistica, di quali macchine si servivano per l’esecuzione dei lavori?
 Proposta di ricerca
Scegliere una grande opera realizzata nell’antichità: può essere una delle sette
meraviglie del mondo o un ponte, un anfiteatro, un acquedotto; c’è solo l’imbarazzo della scelta! Illustrarne le finalità, inserendola nel contesto storico in cui è stata
realizzata. Descrivere dove l’opera si trova, mettendo in relazione la sua ubicazione con le caratteristiche del terreno e la possibilità di approvvigionamento delle
materie prime da utilizzare. Ricercare le informazioni disponibili sulle tecniche
costruttive utilizzate, sulla mano d’opera impiegata e sui tempi di esecuzione.
Ricostruzione di una fase di realizzazione di un acquedotto durante
l’Impero Romano.

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