Analisi Matematica Programma Dettagliato

Università degli Studi di Udine
Anno Accademico 2003/2004
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Triennale in Informatica
Analisi Matematica
Programma Dettagliato
Prof. Gianluca Gorni, Dott. Carlo Magagna
Testo di riferimento: Giulio Cesare Barozzi, Primo Corso di Analisi Matematica, Zanichelli. Materiale didattico attinente al corso è disponibile presso
http://www.dimi.uniud.it/gorni/Analisi1
Regolamento d’esame: Durante il corso si svolgono 3 “compitini”, ognuno con votazione
data in trentesimi. Chi supera tutti i compitini con voto di almeno 12 è esonerato da
altre prove scritte; per chi fra questi ha un voto medio ≥ 18 l’orale è facoltativo (si faccia
vivo/a a un appello orale per firmare il registro) e vale la media dei voti dei tre compitini,
arrotondata per eccesso; la lode si può avere solo con l’orale; per chi ha una media ≥ 12
e < 18 l’orale è obbligatorio, e va dato in un qualsiasi appello, pena l’annullamento dei
compitini.
Gli studenti che non hanno fatto o superato i compitini devono sostenere scritto e orale.
Per essere ammessi all’orale occorre un voto di almeno 12 trentesimi allo scritto. Chi
supera uno scritto può scegliere se dare l’orale nello stesso appello o nel successivo. In
quest’ultimo caso si può anche ritentare lo scritto, ma, qualora si decida di consegnare,
viene annullato lo scritto precedente, e si ritorna a poter scegliere se dare l’orale subito
o all’appello successivo. Durante uno scritto ci si può ritirare in qualsiasi momento. Gli
studenti del vecchio ordinamento possono iscriversi a questo esame su sindy premendo
sul bottone “Esami di altre iniziative didattiche”.
Nel seguito si indicano in corsivo i teoremi di cui è richiesta la dimostrazione all’orale, e
di essi è riportato un elenco nell’ultima pagina.
1. Numeri
Barozzi: Capitolo 1, Sezioni dalla 1.3 alla 1.6. Dispensa in rete.
Numeri, disuguaglianze e induzione. Numeri reali: rappresentazioni decimali infinite, numeri interi e frazioni, numeri simbolici esatti, numeri decimali approssimati.
Proprietà di base dei numeri reali: proprietà algebriche. Proprietà algebriche dell’ordinamento di R. Regole di trasformazione per le disuguaglianze. Esercizi sulle disuguaglianze e disequazioni. Studio del segno di un’espressione. Definizione del valore assoluto
e della funzione segno. Alcune proprietà del valore assoluto. Il valore assoluto della
differenza di due numeri è la loro distanza. Disuguaglianza triangolare. Disequazioni
contenenti valori assoluti. Esercizi sulle disequazioni.
Induzione. Il principio dell’induzione. Dimostrazioni per induzione. La formula
per la somma 1 + 2 + 3 + · · · + n. La disuguaglianza di Bernoulli. Dimostrazione della
formula di scomposizione di x n − 1 e di an − bn in fattori. Applicazione: se a, b ≥ 0
allora a < b equivale a an < bn . Dimostrazione che se x1 , . . . , xn > 0 e x1 + · · · + xn = n
allora x1 · x2 · · · xn ≤ 1. Media geometrica di numeri positivi e suo confronto con la
media aritmetica. Osservazioni varie sull’induzione.
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Massimi, minimi, estremi superiori e inferiori. Definizione di massimo di un insieme di numeri reali. Definizione di insiemi limitati superiormente. L’insieme dei numeri
minori di 1 è limitato superiormente ma non ha massimo. Maggioranti e minoranti di un
insieme di numeri reali. Estremo superiore e inferiore. Il principio fondamentale dei numeri reali: un insieme non vuoto e limitato superiormente ha sempre estremo superiore.
Giustificazione non rigorosa in termini di allineamenti decimali infiniti. Esempi di calcolo di estremi superiori e inferiori. Dimostrazione dell’esistenza della radice quadrata
di 2 usando il principio fondamentale. Esercizi su massimi, minimi, estremi superiori e
inferiori.
Funzioni elementari. Manipolazione di formule e disequazioni con massimi e minimi. Radici quadrate, cubiche, ennesime e loro proprietà. Esercizi sulle disequazioni
irrazionali. Disequazioni irrazionali. La funzione esponenziale: con esponente intero
positivo, esponente nullo o negativo, esponente razionale, esponente reale (senza dimostrazioni). Il logaritmo. Principali proprietà algebriche e di ordinamento dell’esponenziale e del logaritmo. Definizione e principali proprietà delle funzioni trigonometriche:
seno, coseno, tangente e loro inverse.
2. Limiti e continuità
Barozzi: Capitolo 3 dall’Esempio 2.2-2.
Limiti e continuità. Introduzione al concetto di limite. Studio della successione
n/(n + 1), della successione di Fibonacci Fn e (non rigorosamente) della successione dei
rapporti Fn+1 /Fn . Il coefficiente angolare della retta passante per i punti della parabola
y = x 2 di ascissa 1 e x: tende a 2 quando x tende a 1. Definizione rigorosa di limite L
di f (x) per x che tende a x0 (eventualmente a destra o a sinistra) in alcuni dei casi
possibili (x0 e L finiti o infiniti). Unicità del limite. La successione (−1)n non ha limite
per n the tende a infinito.
Teoremi sui limiti. Limite della somma e del prodotto di due funzioni aventi limiti
finiti, con dimostrazione. Teorema del limite del prodotto e del rapporto (senza dimostrazione). Casi indeterminati. Esercizi. Limite della funzione composta. Limiti della
radice. Teorema del confronto, o dei due carabinieri (con dimostrazione). Esercizi.
Limiti fondamentali. Funzioni debolmente o strettamente crescenti o decrescenti,
funzioni monotone. Le funzioni monotone hanno sempre i limiti unilaterali. La successione fondamentale (1 + 1/n)n : dimostrazione della crescenza. La successione ausiliaria
(1 + 1/n)n+1 : dimostrazione della decrescenza. Dimostrazione che le due successioni
(1 + 1/n)n e (1 + 1/n)n+1 tendono allo stesso limite finito. Definizione del numero di
Nepero. Logaritmi ed esponenziali in base e. Un problema finanziario in cui compare la
successione fondamentale. Il limite di (1+1/x)x per x → ±∞. Limiti notevoli conseguenti: (1 + t)1/t , (log(1 + t))/t, (ex − 1)/x per t → 0. Il fattoriale e il suo limite all’infinito. Il
limite di an /n! per n → +∞. Il limite della radice ennesima di a, e della radice ennesima
di n. Il limite della radice ennesima di n fattoriale. Esercizi sui limiti che derivano da
(1 + 1/n)n .
Teoremi sulle funzioni continue su tutto un intervallo. Proprietà puntuali, locali e
globali delle funzioni. Le funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato sono limitate (dimostrazione per assurdo e tramite bisezione). Teorema di Weierstrass sui massimi
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e minimi globali delle funzioni continue su intervalli chiusi e limitati (dimostrazione per
assurdo rifacendosi al teorema di limitatezza). Dimostrazione del teorema di Weierstraß. Teorema dell’esistenza degli zeri (dimostrazione diretta per bisezione). Corollario:
teorema dei valori intermedi. Proprietà delle funzioni inverse delle funzioni continue e
strettamente monotone.
3. Derivate
Barozzi: Cap. 4; Sez. 7.2 e 7.3 (in parte).
La derivata. Introduzione al concetto di derivata: rapporto incrementale e suo significato geometrico (pendenza della retta secante) e fisico (velocità media). Derivata
come limite del rapporto incrementale e suo significato geometrico (pendenza della retta tangente) e fisico (velocità istantanea). Formula alternativa del rapporto incrementale
in termini dell’incremento h. Definizione di derivabilità. Equazione della retta tangente
al grafico di una funzione derivabile. Derivata del polinomio di primo grado mx + q. Derivata della potenza x n . Derivata dell’esponenziale ex (e di 2x ). Derivata del logaritmo
ln x. Derivata di seno e coseno. La derivabilità implica la continuità, ma non viceversa.
Esempi di una funzioni continua non derivabili. Derivate destre e sinistre, derivate seconde e successive. Derivata di somma e prodotto di funzioni derivabili. Derivata del
reciproco e del quoziente di funzioni derivabili. Derivata della composizione di funzioni
derivabili. Esempi di calcolo di derivate. Derivata della funzione inversa. Derivata delle funzioni inverse notevoli: derivata della radice ennesima, dell’arcoseno, arcocoseno,
arcotangente. Esercizi di calcolo di derivate.
Massimi e minimi. Punti di massimo e di minimo locale. Punti estremanti. La
derivata (se esiste) si annulla nei punti estremanti interni. Casistica di punti di massimo
e minimo locale, in particolare il valore assoluto e x 7→ x 3 .
Funzioni derivabili in tutto un intervallo e studio di funzione. Proprietà globali
delle funzioni derivabili. Il teorema di Rolle, con significato geometrico. Teorema del valor
medio di Lagrange, con significato geometrico. Conseguenze: il teorema della derivata
nulla, e la caratterizzazione delle funzioni monotone in termini del segno della derivata. Studio della crescenza/decrescenza delle funzioni usando il segno della derivata. Il
teorema del valor medio di Cauchy. La regola de l’Hôpital: versione semplice e versione
estesa (con dimostrazione in un caso). Esercizi sulla regola de l’Hôpital. Funzioni convesse, funzioni concave e punti di flesso. Caratterizzazione della convessità/concavità
in termini di segno della derivata seconda. Punti di flesso e cambi di segno della derivata
seconda. Esempi di studio di funzioni.
Formula di Taylor. I polinomi di Taylor associati a una funzione. Formula di Taylor
col resto di Lagrange (dimostrazione solo per n = 0 e n = 1). Resto di Peano (enunciato). La notazione di Landau o(g(x)) per indicare g(x) moltiplicata per un infinitesimo.
La notazione O(g(x)). I polinomi di Taylor dell’esponenziale, del seno e del coseno,
con illustrazione grafica del loro comportamento. Esempi di calcolo di limiti usando la
formula di Taylor col resto di Peano. Applicazione della formula di Taylor col resto di
Lagrange: dimostrazione che il numero di nepero è irrazionale. Il resto secondo Peano
dedotto dal resto secondo Lagrange. Unicità del polinomio che compare nella formula di
Taylor col resto di Peano, e calcolo di polinomi di Taylor senza passare per le derivate:
esempio di 1/(1 − x) e 1/(1 − x 2 ).
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4. Integrali
Appunti del corso (dispensa in rete).
Integrale. Introduzione al problema dell’area di una figura piana. Trapezoidi. Suddivisioni marcate di un intervallo e somme di Riemann. Ampiezza di una suddivisione.
Comportamento delle somme di Riemann al tendere a zero della suddivisione: esperimenti numerici. Definizione di integrale secondo Riemann. Inadeguatezza dell’integrale
secondo Riemann. Breve storia delle teorie dell’integrazione. Definizione di calibro e di
suddivisione adattata a un calibro. Definizione di integrale secondo Henstock-Kurzweil.
Calibri non continui. Esistenza di suddivisioni adattate a un dato calibro. Suddivisioni
adattate a due calibri contemporaneamente.
Il teorema fondamentale del calcolo. Il teorema fondamentale del calcolo: enunciato e alcuni semplici esempi di applicazione. Un lemma sulle funzioni derivabili. Formula
delle somme telescopiche. Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo. Teorema fondamentale del calcolo in versione generalizzata, nel caso di F continua e tale
F 0 (x) = f (x) in tutti i punti eccetto in un numero finito (senza dimostrazione). Appli√
cazione all’integrale di 1/ x su [0, 1].
Calcolo di primitive. Definizione di primitiva. Se una funzione ha una primitiva,
ne ha infinite. Su un intervallo due primitive differiscono per
Tecniche di
R una costante.
0
calcolo di primitive: integrazione per parti e integrazione
di f (G(x))G (x)dx usando la
R
sostituzione y = G(x). Esempi. Integrazione di f (x)dx con
√ la sostituzione x = H(y).
x
−x
Esempi: primitiva di 1/(e + e ) ponendo x = log y, di 1 − x 2 ponendo x = cos t,
calcolo dell’area del cerchio.
5. Serie
Barozzi: Sez. 6.1 esclusi l’esempio 6.1-6, Sez. 6.2 escluso l’esempio 6.2-3, Sez. 6.3
fino alla definizione 6.3-1, escluso l’approfondimento dell’esempio 6.3-1.
Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Introduzione al concetto di serie: la
somma infinita nel paradosso di Zenone. Definizione formale di serie convergente in
termini di convergenza della successione delle somme parziali. La serie 1/2 + 1/4 +
1/8 + 1/32 + . . ., calcolo delle sue somme parziali e sua convergenza. La serie associata
al numero decimale periodico 0,333333 . . .. La serie 1 + 1 + 1 + 1 + . . . e sua divergenza.
La serie indeterminata 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − . . .. La serie geometrica: formula delle somme
parziali e studio della convergenza. La serie telescopica di Mengoli. Criterio necessario di
convergenza: il termine generale deve essere infinitesimo. La serie armonica: dimostrazione della divergenza associando opportunamente sequenze di termini. Dimostrazione
alternativa della divergenza
della
√
√ serie√armonica, usando le proprietà della successione
(1 + 1/n)n . La serie 1/ 1 + 1/ 2 + 1/ 3 + . . . diverge. Linearità delle serie convergenti.
Serie a termini positivi. Le serie a termini positive o convergono o divergono, non
sono mai indeterminate. Criterio del confronto per le serie positive. Esempio: la serie
armonica generalizzata 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + . . .: dimostrazione della convergenza
usando il confronto colla serie di Mengoli. Cenni storici sulla serie armonica generalizzata. Criterio del rapporto: se an > 0 per ogni n e se esiste λ < 1 tale che an+1 /an ≤ λ per
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P
ogni n, allora la serie an converge (con dimostrazione). Variante del
P criterio del rapporto: se an > 0 per ogni n e se limn→+∞ an+1 /an < 1 allora la serie an converge,
P se
invece il limite è > 1 la serie diverge (senza dimostrazione). La serie esponenziale 1/n!
converge (usando il criterio del rapporto) e la somma è il numero di Nepero (usando la
formula di Taylor col resto di Lagrange). Criterio del rapporto:
P se an ≥ 0 per ogni n
√
n
criterio
ed esiste λ < 1 tale che an ≤ λ per ogni n, allora la serie an converge. IlP
dell’integrale per le serie positive. Applicazione: la serie armonica generalizzata 1/nα .
Il criterio del confronto asintotico per le serie a termini positivi.
Serie a termini di segno qualunque. Serie a segno qualsiasi: criterio della convergenza assoluta. Uso del criterio della convergenza assoluta per la serie esponenziale
quando x < 0. Criteri del rapporto e della radice combinati con la convergenza assoluta.Il criterio della convergenza assoluta per le serie a termini di segno qualsiasi. Il
criterio di Leibniz per le serie a segno alterno. Esempio: la serie armonica a segni alterni
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − · · ·.
6. Funzioni di due variabili
Dispensa disponibile in rete:
http://www.dimi.uniud.it/gorni/Dispense/funzioni2var.pdf.
Funzioni di due variabili e loro visualizzazione: grafici di superficie, grafici di densità, curve di livello. Cenno alla definizione di distanza fra punti, di limite e di continuità
in due variabili. Esempi di discontinuità in due variabili. Derivate parziali, loro significato geometrico, e piano tangente. Esempi di funzioni senza piano tangente. Definizione
di gradiente e suo significato geometrico. Derivate parziali seconde e matrice hessiana.
Punti stazionari di una funzione di due variabili e tipi principali: massimi locali, minimi
locali, selle. Regola per decidere il tipo di punto stazionario usando la matrice hessiana
(senza dimostrazione). Esempi. Alcuni punti stazionari che non sono decisi dalla regola:
massimi e minimi deboli, flessi, selle di ordine superiore, selle di scimmia.
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I teoremi di cui si chiede la dimostrazione all’orale
Oltre alla dimostrazione dei teoremi seguenti, lo studente dovrà mostrare di conoscere le definizioni di tutti i concetti che sono stati introdotti nel corso, e di saper
illustrare definizioni e teoremi con esempi, qualora ce ne siano di semplici.
1. Limite della somma e del prodotto di due funzioni aventi limiti finiti.
2. Teorema del confronto, o dei due carabinieri.
3. Studio della successione fondamentale (1 + 1/n)n e della sua associata (1 + 1/n)n+1 .
4. Le funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato sono limitate.
5. Teorema di Weierstrass sui massimi e minimi globali delle funzioni continue su intervalli chiusi e limitati.
6. Teorema dell’esistenza degli zeri.
7. La derivabilità implica la continuità, ma non viceversa.
8. Derivata della composizione di funzioni derivabili.
9. Teorema di Rolle, con significato geometrico.
10. Teorema del valor medio di Lagrange, con significato geometrico.
11. Regola de l’Hôpital: enunciato generale, dimostrazione nel caso 0/0 in un punto
finito con limite finito.
12. Il teorema fondamentale del calcolo.
13. La serie armonica diverge: dimostrazione fatta raggruppando i termini con indici
fra potenze successive di 2 e minorando; altra dimostrazione usando una stima
logaritmica delle somme parziali.
14. Criterio di Leibniz per la convergenza delle serie a segni alterni.
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