TECNICA DELLE COSTRUZIONI Effetti Strutturali di Viscosità e Ritiro Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 1 1. PRESA IN CONTO DEL FLUAGE E RELATIVI EFFETTI STRUTTURALI ci(t0) = Deformazione elastica istantanea al tempo t0 cs(t) = Deformazione di ritiro al tempo t cc(t) = Deformazione di fluage al tempo t c(t) = Deformazione elastica allo scarico al tempo t1 (c(t) < ci(t0)) per effetto dell’aumento del modulo elastico con l’età) d(t) = Elasticità differita f(t) = Plasticità differita per c  0.4 fckj Prof. G. Mancini ci , f , cc , c , d   Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 2 PRINCIPIO DI MAC-HENRY Una variazione di tensione  applicata al tempo t1 produce un effetto uguale, qualunque sia l’età alla messa in carico ed il segno di . Sul diagramma è anche riportato l’effetto dell’età alla messa in carico. VALIDITÀ DEL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE Le leggi di fluage adottate per la compressione si suppongono valide anche per la trazione e per gli stati di sollecitazione pluriassaiali. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 3 CALCESTRUZZO = materiale invecchiante a comportamento visco-elastico lineare  cc ( t ,t0 )   c ( t0 ) Eci  ( t ,t0 ) (t,t0) = coefficiente di fluage (adimensionale) c(t0)/Eci = deformazione elastica al tempo t0 (modulo Eci a 28 giorni) La deformazione totale al tempo t dovuta allo stato di tensione costante c, vale  1  (t , t0 )   c (t , t0 )   c (t0 )      c (t0 ) J (t , t0 ) Eci   Ec (t0 ) J = funzione fluage [F-1L2] → deformazione totale al tempo t dovuta ad una tensione unitaria Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 4 Omettendo l’influenza delle condizioni termoigrometriche e considerando solo l’effetto della storia delle sollecitazioni, in applicazione del principio di sovrapposizione e dell’ipotesi di linearità, si può rappresentare nella seguente forma la legge di evoluzione della deformazione totale (somma di quella dovuta alla tensione e ad una eventuale deformazione impressa cn(t))  c ( )  c (t )   cn (t )   J (t , )  0  t  = istante in cui si verifica la variazione di tensione / E ponendo per  = t0 (t) = (t0) e cn(t0)=0 risulta t  c (t , t0 )   c (t0 ) J (t , t0 )   J (t , ) t0  c ( )    cn (t )  (1) Se la variazione di tensione è applicata per intervalli discreti, risulta: n c (t, t0 )  c (t0 ) J (t, t0 )   J (t, ti )  (ti ) cn(t) i1 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 5 Se invece si opera sulle tensioni, per una storia di deformazioni assegnata, si perviene all’integrale di rilassamento  ( c ( )   cn ( ))  c (t )   R (t , )  0  t R = funzione rilassamento [FL-2] → sollecitazione al tempo t provocata da una deformazione impressa unitaria applicata nell’istante  (modulo elastico al tempo t) In analogia a quanto prima:  ( c ( )   cn ( ))  (t , t 0 )   c (t 0 )   cn (t 0 ) R (t , t 0 )   R (t , )  t0  t Prof. G. Mancini ( 2) Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 6 Nelle precedenti equazioni la soluzione diretta è semplice, quella inversa porta ad equazioni integrali di Volterra, di difficile soluzione. In ogni caso entrambe le famiglie di equazioni richiedono la conoscenza delle leggi di fluage (prove a tensione costante) e di rilassamento (prove a deformazione costante) T I P O D I P R O B L E M A FUZIONE FLUAGE J(t,) FUNZ. RILASSAMENTO R(t,) PROBLEMI CON STORIA DI TENSIONE ASSEGNATA c(t) = ? Semplice integrazione c(t) = ? Soluzione equazione integrale di Volterra PROBLEMI CON STORIA DI DEFORMAZIONE ASSEGNATA c(t) = ? Soluzione equazione integrale di Volterra c(t) = ? Semplice integrazione Prof. G. Mancini tipo di problema in cui è più frequente la soluzione dell’equazione integrale di Volterra Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 7 Il comportamento reologico del calcestruzzo è caratterizzato sia dalla conoscenza di J(t,) che da quella di R(t,). La conseguente relazione tra le due funzioni può essere ottenuta introducendo nella legge di tipo integrale per il fluage una storia di deformazioni composta di un solo gradino: per t < t0 per t ≥ t0 c(t) – cn(t) = 0 c(t) – cn(t) = 1 Dalla (2) risulta: (t,t0) = R(t,t0) e sostituendo nella (1), tenuto conto che R(t,t0) = Ec(t0), si ottiene: t 1  J (t , t0 ) Ec (t0 )   J (t , ) t0 R ( , t0 )   Tale equazione è stata risolta per via numerica, noti i valori di J(t,t0), e la funzione R(t,t0) è tabulata. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 8 Una valutazione approssimata della funzione rilassamento può essere ottenuta tramite l’espressione semiempirica (errore minore del 10%) 1  0 ,008 0 ,115  J ( t   ,t0 )  R( t ,t0 )    1  0  J ( t ,t0 ) J ( t ,t  1 )  J ( t ,t0   )  con  = (t-t0)/2 Per le applicazioni pratiche, nel campo del fluage lineare, bisogna distinguere tra: • strutture omogenee a vincoli rigidi (elastici) • strutture soggette a vincoli costanti • strutture eterogenee a vincoli rigidi (elastici) • strutture soggette a variazioni di schema statico I problemi relativi a strutture omogenee sono facilitati dalla disponibilità delle funzioni J ed R. I problemi relativi a strutture eterogenee sono governati da una o più equazioni integrali. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 9 TEOREMA DELL’ISOMORFISMO (2° principio del fluage lineare) Corpo elastico-viscoso omogeneo a vincoli rigidi soggetto a deformazioni impresse non congruenti e non compatibili  A Deformazione totale:  A   A → congruente e compatibile A:deformazione elastica complementare che produce un sistema A di tensioni autoequilibrate Si aggiunge un sistema di  B simili ad  A (  B  k A ) quindi non congruenti e non compatibili, di conseguenza nasce un ulteriore sistema di deformazioni elastiche complementari  B tali che  B   B sia congruente e compatibile. B comporta l’insorgere di B autoequilibrate. • Deformazione totale (congruente e compatibile):   A A B B • Tensione totale (autoequilibrata): Prof. G. Mancini    A  B Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 10 Per studiare l’effetto di  B supponiamo che risulti:  B   B Allora A A   A A B B  A A congruente e compatibile Inoltre  B  k A   B  k A Quindi    A  k A   A (1  k ) con  A (1  k ) equilibrato Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 11 Poiché la soluzione proposta risulta essere congruente, compatibile ed equilibrata, per il teorema di Kirchoff sull’unicità della soluzione dell’equilibrio elastico, essa risulta essere quella reale. Ad esempio, si può considerare una trave precompressa con martinetti e poi bloccata, nella quale interviene il fluage (proporzionale alla deformazione elastica): lo stato di deformazione non varia, lo stato di tensione varia mantenendosi simile a se stesso. Si può generalizzare come segue: ”L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in stato di coazione di una deformazione impressa simile alla deformazione elastica preesistente non modifica lo stato di deformazione, mentre lo stato di tensione varia in similitudine a se stesso.” Una deformazione impressa quale Prof. G. Mancini B si chiama ISOMORFA. Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 12 COROLLARIO DEL TEORERMA DELL’ISOMORFISMO (1°principio del fluage lineare) Corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze F. Ne conseguono tensioni A equilibrate e deformazioni A congruenti e compatibili. Si aggiunga un sistema di deformazioni impresse  B  k  A B è congruente e compatibile perché proporzionale ad  A . Quindi B = 0 e B = 0 • Deformazione totale:    A   B   A (1  k ) • Tensione totale:  A Ad esempio il fluage altera lo stato di deformazione in modo proporzionale, ma non quello di tensione. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 13 “L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione, mentre lo stato di deformazione cambia restando simile a se stesso”. Dal punto di vista quantitativo:  B  fluage lineare Uiel(t) = stato di deformazione elastica di una struttura omogenea a vincoli rigidi provocato da deformazioni impresse cn(t). A seguito dell’intervento di una deformazione isomorfa risulta: Ui(t) = Uiel(t) t  (t )   R(t , ) c 0  ( c ( )   cn ( )) 1    Eco  t 0 R (t , )  c   Se invece cel(t) è lo stato di tensione dovuto ad un sistema di forze equilibrato, risulta: c(t) = cel(t) t  ( ) U i (t )   J (t , )   Eco  J (t , )dU iel ( ) 0 0  t Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 14 PRINCIPIO DI ACQUISIZIONE DEI VINCOLI POSTICIPATI (3° principio del fluage lineare) Si consideri un corpo elastico ed omogeneo avente n vincoli rigidi dotati di reazioni Xi(t0) in presenza di forze costanti F applicate in t0. Subito dopo l’applicazione del carico si introduce un ulteriore vincolo nel quale inizialmente la reazione vale ovviamente Xn+1(t0) = 0. Si studia l’evoluzione delle reazioni dovuta allo sviluppo del fluage. Si immagini di introdurre il vincolo n+1mo prima dei carichi, in esso nascerà di conseguenza una reazione Xn+1(t0) e tutte le altre reazioni subiranno delle variazioni Xi(t0). Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 15 Per ritornare alle condizioni iniziali occorre far subire al vincolo n+1mo un cedimento  uguale all’abbassamento provocato in quel punto dal carico. Di conseguenza: in n+1: X n 1 (t0 )  X n 1 (t0 )  0       A in i: B X i (t0 )  X i (t0 )  X i (t0 )  X i (t0 )         C D in t0 E dove: A : effetto di forze, quindi invariabile nel tempo B : effetto di deformazioni impresse, quindi variabile nel tempo con legge di rilassamento C : forze D : forze E : deformazioni impresse Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 16 Tenuto conto della origine dei diversi contributi, al tempo t risulterà: X n1 ( t )  X n1 ( t0 )  X n1 ( t0 )  R( t ,t0 ) R( t ,t0 )  X n1 ( t0 )1  Ec Ec   X i ( t )  X i ( t0 )  X i ( t0 )  X i ( t0 )  R( t ,t0 ) R( t ,t0 )  X i ( t0 )  X i ( t0 )1  Ec Ec   Poiché per t0 = 28 giorni risulta R(t,t0)/Ec = 0,150,30 per t = ∞ risulta: X n 1 (t )  (0,70  0,85) X n 1 (t0 ) Il valore finale della reazione nel vincolo n+1mo risulta essere sensibilmente prossimo al valore che si sarebbe ottenuto nel caso di vincolo preesistente alla applicazione del carico. Molti procedimenti costruttivi implicano variazioni di schema statico, ma con tempi t1 di introduzione dei nuovi vincoli talora sensibilmente distinti da t0. Occorre pertanto generalizzare il precedente principio introducendo la variabile t1 > t0 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 17 4° PRINCIPIO DEL FLUAGE LINEARE Si consideri una modifica di condizioni di vincolo in una struttura omogenea a vincoli rigidi dallo schema 1 con k vincoli allo schema 2 con m > k vincoli, ottenuta con l’introduzione di m – k vincoli addizionali al tempo t1 > t0 (in t0 vengono applicati dei carichi permanenti). Siano: XR(t): reazioni al tempo t > t1 dei k vincoli esistenti (R = 1,…, k) XS(t): reazioni al tempo t > t1 degli m – k vincoli addizionali (S = k+1,…, m) XRel,1: reazioni elastiche nello schema statico 1 (con k vincoli) XRel, XSel: correzioni da applicare alla soluzione elastica nello schema 1 per rispettare le (m – k) condizioni geometriche addizionali imposte dai vincoli addizionali (m – k), supposti applicati prima dell’introduzione dei carichi (schema 2) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 18 Per il primo teorema della viscoelasticità lineare, per azioni permanenti i valori elastici delle reazioni XRel,1 restano costanti per condizioni di vincolo costanti (schema 1), mentre gli spostamenti elastici uel,1, valutati con un modulo Ec di riferimento, aumentano tramite il fattore adimensionale EcJ(t,t0). Al tempo t = t1 gli spostamenti dei punti di applicazione degli (m – k) vincoli addizionali (attivi per t > t1) valgono: uS ( t1 )  uSel ,1 Ec J ( t1 ,t0 ) L’introduzione degli (m – k) vincoli impedisce l’ulteriore deformabilità per creep nei punti corrispondenti, ovvero essi (vincoli) impongono per t > t1, (m – k) condizioni geometriche corrispondenti a: u S (t )  u Sel ,1 Ec J (t , t0 )  J (t1 , t0 ) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 19 Per il secondo teorema della viscoelasticità lineare, la risposta delle reazioni XR(t) e XS(t) al sistema di deformazioni imposte u S (t ) per t > t1 può essere ottenuta integrando nel tempo da t1 a t gli incrementi delle reazioni elastiche, moltiplicati per il fattore rilassamento R(t,)/Ec X R (t )  X el R X S (t )  X el S   t t1 t t1 R (t , )dJ ( , t0 ) R(t , )dJ ( , t0 ) in quanto gli incrementi delle reazioni valgono: dX Rel J (t , t0 )  J (t1 , t0 )Ec  X Rel dJ ( , t0 ) Ec dX Sel J (t , t0 )  J (t1 , t0 )Ec  X Sel dJ ( , t0 ) Ec Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 20 Si introduce la funzione t  (t , t1 , t0 )   R(t , )dJ ( , t0 ) t1 risulta: X R (t )  X Rel (t , t1 , t0 ) X S (t )  X Sel (t , t1 , t0 ) Le evoluzioni temporali delle reazioni per t > t1 nella struttura a vincoli modificati possono essere ottenute applicando il principio di sovrapposizione: X R (t )  X Rel ,1   (t , t1 , t0 )X Rel X S (t )   (t , t1 , t0 )X Sel Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 21 La funzione (t,t1,t0) misura la parte dovuta al fluage della differenza tra la distribuzione di reazioni corrispondenti all’applicazione del carico permanente nello schema 2 e quella corrispondente allo schema 1, per carichi applicati in t0 nello schema 1 e vincoli addizionali introdotti in t1. 0≤≤1  = 0 per t = t1  = 1 per t1= t0+ (al limite) per t1= t0+ t  (t , t , t0 )   R(t , )dJ ( , t0 )  1   0 t0 R(t , t0 ) Ec che corrisponde al caso precedente. Introducendo nella (1) di pag. 4-8: c = 0 per t < t0 e c = 1 per t > t0  c(t,t0) = J(t,t0) e dalla (2) t 1  J ( t0 ,t0 )R( t ,t0 )   t R( t , )dJ (  ,t0 ) 0 dove J(t0,t0) = 1/Ec Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 22 5° PRINCIPIO DEL FLUAGE LINEARE La funzione integrale (t,t1,t0) può anche essere adottata per il caso di strutture omogenee soggette a successive variazioni di schema statico. In questo caso la reazione nel vincolo posticipato kmo introdotto al tempo tk nello schema statico k -1mo vale: X k( k ) (t )  X kel ( k ) (t , t1 , t0 ) tk ≤ t ≤ tk+1 Questa relazione produce una variazione nelle reazioni dei vincoli introdotti in precedenza che può essere valutata “elasticamente” in accordo al teorema dell’isomorfismo (1° principio della viscoelasticità lineare) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 23 Allora le reazioni nei vincoli posticipati introdotti ai tempi tj  tk assumono le espressioni: X (m) j (t )  X  (t , t j , t0 )  el ( j ) j m ( k 1) k a X  jk k (t ) k  j 1 Dove ajk(k-1) sono le reazioni elastiche nel jmo vincolo posticipato dovuto all’applicazione di Xk = 1 nello schema k-1. In definitiva nel vincolo kmo insorge una reazione pari a quella che sarebbe presente se il vincolo fosse stato introdotto nella struttura con schema originale in k-1 vincoli. I vincoli preesistenti subiscono, per effetto dei vincoli posticipati successivi, variazioni di reazioni che dipendono esclusivamente dalle reazioni Xkk(t) che insorgono in tali vincoli nello schema statico in cui vengono introdotti. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 24 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 25 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 26 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 27 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 28 STRUTTURE COMPOSTE ACCIAIO CALCESTRUZZO (Effetti di ritiro e fluage sui livelli tensionali della sezione) Occorre risolvere un problema con doppia iperstaticità interna (parametri di deformazione/tensione) nel caso di una struttura non omogenea, nella quale non è valido il teorema dell’isomorfismo. È nota la difficoltà di risolvere la seguente equazione per storie di deformazione note in forma chiusa:  c  c t    cn t    J t ,    0 t Occorre usare metodi numerici di cui il più noto è il metodo A.A.E.M. (Age Adjusted Effective Modulus). In pratica l’integrale che rappresenta il principio di sovrapposizione viene calcolato per via numerica t  J  t,τ  t0 σ  τ   Prof. G. Mancini     σ  t   σ  t0   μ  t,t0  J  t,t0  Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 29 μ è un fattore correttivo applicato alla funzione di deformazione ∆σ(t)J(t,t0) che corrisponde alla variazione di tensione σ(t)-σ(t0) supposta agire totalmente al tempo t = t0, per tener conto del fatto che la risposta elementare ∂σ(t)J(t,) di ogni variazione elementare ∂σ() è progressivamente ridotta dall’invecchiamento del materiale [J(t,t) ≤ J(t,t0)] Impiegando la seguente espressione della funzione fluage J  t,τ   1 Ec  t   28  t,τ  Ec 28 si introduce la correzione come fattore (t,t0) (fattore di invecchiamento) applicato alla frazione differita della deformazione  1 28  t,t0     J  t,τ      σ  t   σ  t0    E  t   χ  t,t0  E  c 0 c 28  t0  t σ  τ  Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 30 Si può scrivere: t εtot t,t0   εcn t   σ t0 J t,t0    J t,τ σ c τ   t0  1  1  t,t   t,t  σ t0   χ t,t0  28 0   28 0   σ t   σ t0  Ec 28  Ec 28   Ec t0   Ec t0  σ t0  σ t  εtot t,t0   εn t    Eceff Ecadj Modulo effettivo  28 t,t0  1 1 Eceff  Ec t0   Ec 28 Modulo corretto 1 1  t,t    χ t,t0  28 0 Ec 28 Ecadj Ec t0  Il problema è semplice da risolvere se si conosce il valore di (t,t0) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 31 Il valore di  può essere determinato in modo esatto per un caso di puro rilassamento: data una deformazione costante εn applicata al tempo t0, risulta σ  t,t0   εn R  t,t0   σ  t0  Ec  t0  R  t,t0  Confrontando questa espressione con quella della deformazione totale εtot(t,t0) si ottiene χ t,t0   Ec t0  Ec 28  Ec t0   Rt,t0  Ec t0  28 t,t0  Tale espressione è esatta per problema di puro rilassamento e puro fluage; è approssimata in tutti gli altri casi. In tutti i casi in cui la variazione di tensione assume forma di esponenziale smorzato gli errori sono trascurabili. È il caso ad esempio del ritiro e dei cedimenti degli appoggi che hanno leggi di variazione simili a quelle del fluage. La funzione  è tabulata in funzione delle leggi di viscosità oggi proposte. In via approssimata si può assumere: t00 ,5 χ  0 ,8 oppure χ  1  t00 ,5  Prof. G. Mancini  t00 ,5 o anche χ  n  t00 ,5   n = parametri reologici Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 32 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 33 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 34 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 35 EFFETTI STRUTTURALI DEL RITIRO Valori forfettari per il coefficiente di ritiro (M.C. 90) Può in pratica essere assimilato ad una diminuzione di temperatura. Con: ecs  0,40/1000 a =10-5 °C-1 risulta: DT = 0,4/1000 · 105 = 40 °C !! RITIRO DIFFERENZIALE TRAVE – SOLETTA 100 20 20 80 A = 2’000 G y cm2 ATR = 2’000 cm2 ITOT = 5’300’000 cm4 Trave stagionata: ecs  0 Soletta gettata in opera: ecs ≠ 0 Ritiro  deformazione impressa ez = ecs ez NON CONGRUENTE Di conseguenza nasce un sistema di deformazioni elastiche complementari tali che la deformazione totale sia congruente: ε z  εz  λ  μy σ Z  E  ε z  E  (λ  μy - εz ) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 36 Poiché si tratta di stati di tensione autoequilibrati, deve risultare:  A  σ Z dA  0 A E   (λ  μy - εZ ) dA  0  A σ Z  y dA  0 cioè:  λ dA   μy dA -  A A A εZ dA  0 = 0 perché momento statico sezione rispetto ad asse baricentrico quindi: λ  A   εZ dA  λ A E   (λ  μy - εZ )  y dA  0  A  A 1 εZ dA A A λy dA   μy 2 dA -  εZ y dA  0 A A =0 quindi: Supposto εZ   0,3  103 λ 1 A TOT μ  I   εZ y dA  A μ 1 εZ y dA I A risulta:  0,3  103  2000   0,15  103 1 μ    0,3  103   30  2000  3,39  106 I Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 37 Il diagramma tensionale si ottiene per sovrapposizione di quelli elementari: G Nella trave σ Z tr  E  (λ  μy) Nella soletta σ Z sol  E  (λ  μy - εz ) La presenza del fluage smorza gli effetti elastici così calcolati; il valore finale è dell’ordine del 40% di quello elastico. COAZIONE ARMATURE - CALCESTRUZZO NEI PILASTRI Per il ritiro il pilastro si accorcerebbe di ls Congruenza deformazione (aderenza) ls lc Δlc,s  Δls  Δlc εs  ε c,s  ε c  o anche: σs σ  ε c,s  c Es Ec N N  ε c,s  Es As Ec Ac Prof. G. Mancini l lcs AS AC Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 38 Quindi: da cui: Con Risulta:  1 1    ε c,s N    E A E A c c   s s ε c,s SFORZO NORMALE INTERNO SCAMBIATO N 1 1 TRA ACCIAIO E CALCESTRUZZO  Es As E c A c ε c,s  0,3  10-3 , N As  2 cm 2 (1 Φ 16) , A c  900 cm 2 (30 x 30 cm) 0,3  10-3  1179 Kg 1 1  2  106  2 250000  900 N 1179 σs    589,5 Kg / cm 2 ( COMPRESSIONE ) As 2 N 1179   1,31 Kg / cm 2 ( TRAZIONE ) A c 900 Raddoppiando l’armatura risulta: N  2317 Kg σs  σ s  579 Kg / cm 2 σ s  2,57 Kg / cm 2 Nei pilastri molto armati si può raggiungere la resistenza a trazione del calcestruzzo, con conseguente fessurazione. In realtà, anche in questo caso, l’intervento del fluage in trazione riduce a circa il 40% del valore elastico lo stato di sollecitazione reale. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 39 EFFETTI STRUTTURALI DI RITIRO E FLUAGE NELLE SEZIONI COMPOSTE Si applica il metodo della deformazione per analizzare la risposta della sezione t=0 t 0 G La condizione di compatibilità della deformazione porta a z (t)- (t0) y εtot t   εtot t0   λ  μy arctg Supponendo che non intervengano variazioni delle azioni permanenti dopo t0, con il metodo A.A.E.M. la deformazione totale può essere espressa come: εtot t   εtot t0   εn  σ t0   28 t,t0  Ec 28  1  t,t   σ t   σ t0   χ t,t0  28 0  Ec 28   Ec t0  εn  εn  t   εn  t0  Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 40 Introducendo l’equazione di congruenza, si determinano le variazioni di tensione nel calcestruzzo σ t   σ t0      28 t,t0      λ  μy  εn  σ t0 t,t0   28 t,t0   1 Ec 28   χ t,t0  Ec t0  Ec 28 1 1. Esprimendo lo stato di tensione al tempo t0 come σ t0   β  γy 2. Ponendo αc  Es σ t   σ t0   αc Es E  s χ t,t0  28 t,t0  Ec t0  Ec 28    28 t,t0   β  γy   λ  μy  εn  Ec 28   La variazione di tensione nell’acciaio è data da σ s t   σ s t0   Es  λ  μy  Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 41 Poiché non ci sono variazioni delle azioni esterne, la variazione dello stato di tensione deve risultare autoequilibrata   t    t dA  0 0 A   t    t ydA  0 A = area totale della sezione 0 A Area calcestruzzo Sostituendo in queste equazioni le ultime due precedenti, si ottiene: Momento statico delle aree di calcestruzzo rispetto al baricentro G della sezione composta Area acciaio Es c   28  t , t0   A   S   A   A   S  c c    Es  As  Ss   0  c c n c Ec 28   Es c   28  t , t0  Sc  I c    Es  Ss  I s   0 Sc  I c   n Sc  Ec 28   Momento di inerzia delle aree di calcestruzzo rispetto al baricentro G della sezione composta Prof. G. Mancini Momento statico delle aree di acciaio rispetto al baricentro G della sezione composta Momento di inerzia delle aree di acciaio rispetto al baricentro G della sezione composta Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 42 Raccogliendo:  Ac   c As    S c   c S s    n Ac   S c   c S s    I c   c I s    n S c   28 t , t0  Ec 28  28 t , t0  Ec 28 Ac  Sc  Sc  I c  Se si assume l’origine dell’asse y nel baricentro della sezione ideale con riferimento al fattore c la quantità Sc + cSs assume valore nullo, quindi   n Ac  Ac  S c    28 t , t0  Ec 28 Ai  n S c  S c  I c  Prof. G. Mancini Ii con Ai  Ac   c As  28 t , t0  Ec 28 con I i  I c   c I s Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 43 Determinati  e  si conoscono (t)-(t0) e s(t)-s(t0) La deformazione imposta corrispondente al ritiro è contenuta nel termine ∆n Gli effetti strutturali di ritiro e fluage possono essere calcolati anche con una procedura differente approssimata Il ritiro della parte di calcestruzzo è impedito dalla connessione all’acciaio, nasce quindi una forza di trazione nel calcestruzzo pari a: N c  c, s  Ac  Ec  c, s  Ac Si simula l’effetto applicando: A) al calcestruzzo una forza di trazione Nc B) alla sezione composta una forza di compressione -Nc Lo stato tensionale totale si ottiene dalla somma dei due precedenti (A+B) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 44 c,s (a) Nc + Nc N c   c , s Ec Ac A c,s (b) Nc Nc - B + a,s (b) + c,s (a+b) Stato tensionale totale - A+B + a,s (b) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 45 Per tener conto dell’effetto smorzante benefico del fluage si può valutare Nc con un modulo ridotto E*  Ec 1   , t0  Ci si può quindi limitare ad effettuare due valutazioni elastiche al tempo t0 (modulo Ec) ed al tempo t (modulo E*) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 46 EFFETTI IPERSTATICI DI RITIRO E FLUAGE NELLE STRUTTURE COMPOSTE Occorre effettuare una analisi step-by-step della struttura  si applicano le azioni permanenti al tempo t0 e si divide l’intervallo temporale t-t0 in n intervalli parziali ∆tk=tk-tk-1  tramite una analisi elastica si determinano le tensioni e deformazioni iniziali (t0,s) in ogni concio di ascissa s  si valutano quindi le variazioni delle configurazioni deformate dei conci ∆(t1,t0,s) ∆(t1,t0,s) intervenute nell’intervallo t1,t0, che in genere risultano non congruenti con i vincoli  si valutano le variazioni da applicare alle reazioni vincolari Xi(t1,t0), per effetto di ∆ e ∆, da attribuire all’intervallo di tempo t1-t0  si itera la procedura per tutti i successivi intervalli Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 47 STRUTTURE OMOGENEE CON VINCOLI ELASTICI 1° e 2° principio della viscoelasticità lineare NON possono essere applicati Variazioni contemporanee dello stato di tensione e di deformazione Soluzione col metodo delle forze  Assumere una configurazione equilibrata (con forze incognite)  Imporre la compatibilità tra spostamenti nella struttura e nei vincoli elastici Le incognite sono le reazioni nei vincoli elastici Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 48 Ipotesi  Azioni permanenti costanti applicate in t0  Vincoli elastici applicati in t0+  Equazione di compatibilità tra t0+ e t  Incognite le variazioni delle reazioni nei vincoli rispetto alla soluzione elastica a t0 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 49 Nei vincoli elastici Deformabilità vincoli elastici (lii/EAi) Equazione di compatibilità nella struttura Spostamento in “i” in direzione “i” effetto di deformazioni impresse Spostamento elastico in “i” in direzione “i” effetto delle azioni permanenti valutato con Ec(t0) Spostamenti elastici in “i” in direzione “i” effetti di forze unitarie dirette come le incognite iperstatiche Xj, valutati con Ec(t0) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 50 Imponendo l’uguaglianza delle due precedenti espressioni si ottiene Equazioni costituenti un sistema di equazioni di compatibilità nelle incognite Xj Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 51 a) Tutti i vincoli elastici sono applicati in t0Si introducono solo i valori Xj(t0) ottenuti da una analisi elastica a t0 b) Uno o più vincoli elastici sono introdotti a t0+ Xj(t0) vanno calcolati per i vincoli elastici presenti in t0- , per gli altri Xj(t0) = 0 In ogni caso si ottiene un sistema di equazioni integrali nelle incognite Xj , da risolvere numericamente Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 52 Applicando il Metodo AAEM l’equazione ricorrente del sistema diventa Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 53