progamma di topografia

2014
Docente:
Bertolini geom. Simone
[TOPOGRAFIA]
Dispense e appunti
INDICE
1. NOZIONI INTRODUTTIVE
-
Pag. 2
SUPERFICIE DI RIFERIMENTO (DALLA GEODESIA AL PIANO TOPOGRAFICO)
2. RILIEVO TOPOGRAFICO
-
Pag. 5
ANGOLI VERTICALI
ANGOLI ORIZZONTALI
DISTANZE
DISLIVELLI ERRORI DI SFERICITA’
LIVELLAZIONI
3. IL RILIEVO INSERITO IN UN SISTEMA DI COORDINATE
Pag. 10
4. AGRIMENSURA
Pag. 12
-
MISURA DELLE SUPERFICI
PARTIZIONI DELLE SUPERFICI
RETTIFICA E SPOSTAMENTO CONFINI
5. CELERIMENSURA
Pag. 18
6. SPIANAMENTI
Pag. 22
-
QUOTE ROSSE
PUNTI DI PASSAGGIO
- VOLUMI
7. STRADE
-
Pag. 26
DETERMINAZIONE DEL TRACCIOLINO
LIVELLETTE
SEZIONI TRASVERSALI
CALCOLO DEI VOLUMI
Dispense e Appunti di Topografia
1
1. NOZIONI INTRODUTTIVE
Superficie di riferimento:
La Geodesia è la scienza che studia la conformazione, le dimensioni e la rappresentazione grafica del globo
terrestre. Dunque nasce subito il problema fondamentale di disporre di una superficie di riferimento sulla
quale riferire le cartografie mondiali. Pertanto si è preso in considerazione una superficie che
rappresentasse il livello medio del mare ovvero il Geoide (solido ideale, la cui superficie risulta in ogni
punto perpendicolare alla direzione della gravità; la sua forma corrisponde a quella che avrebbe la Terra se
fosse priva di rilievi montuosi). Dunque i punti di un rilievo vanno riferiti al geoide; la distanza tra due punti
del terreno è la lunghezza della curva più breve che collega le loro proiezioni, mentre la distanza tra la
proiezione (quota zero) e il punto sul terreno si chiama quota ortometrica.
A causa della sua irregolarità, il Geoide viene approssimato, SOLO per le misure planimetriche, da un’ altra
figura geometrica più elementare l’ Ellissoide. Tale figura è frutto di una rotazione dell’ ellisse attorno all’
asse minore, e riferito ad un sistema di assi cartesiani x,y,z.
Equazione dell’ Ellissoide
x²+y² + z²
a²
b²
dove a è il semiasse equatoriale (semiasse maggiore), b è il semiasse polare (semiasse minore), mente x,y,z
sono le coordinate dei punti rispetto a un piano X-Y in corrizpondenza dell’ equatore
Nella storia sono stati studiati diversi ellissoidi, partendo dal 1830 troviamo l’ ellissoide di Bessel (1841), di
Hayford (1924), Internazionale (1967) e il WGS84 (1980). Tale evoluzione ha comportato delle migliori
approssimazioni con il Geoide.
Spesso al posto dei parametri a e b riportati nella precedente formula, si utilizza i parametri a ed s
(schiacciamento) oppure da a, e (eccentricità).
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Conoscendo i parametri a ed b (semiassi) si possono trovare i parametri s ed e mediante le seguenti
formule:
𝑠=
𝑎−𝑏
𝑒=�
𝑎
𝑎2 −𝑏2
𝑎2
Che con gli ellissoidi precedentemente citati i parametri risultano i seguenti:
a (semiasse)
ELLISSOIDE
s (shiacciamento)
1
299
1
Hayford (1924)
6378388
297
1
Internazionale (1967)
6378160
298
1
WGS84 (1984)
6378137
298,2572
Poiché è complesso effettuare calcoli con riferimento all’ Ellissoide, è lecito approssimarlo ad una calotta
sferica, solo nel caso di rilievi con estensione limitata, operanti all’ interno di un raggio di 110 km. (campo di
Weingarten). La sfera presa in oggetto che localmente sostituisce l’ Ellissoide, è chiamata SFERA LOCALE ed
ha un raggio legato alla latitudine in cui si opera, in quanto:
Bessel (1841)
6377397,15
𝑅 = �𝜌 𝑁
Dove 𝜌 è il raggio di curvatura del meridiano (o raggio minimo) e N è la gran-normale (raggio di curvatura
massimo) dello stesso punto considerato. E si determinano tramite le seguenti formule:
𝜌=
𝑎(1−𝑒 2 )
2
�1−𝑒 2 𝑠𝑖𝑛 𝜑
𝑁=
𝑎
�1−𝑒 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑
In Italia il raggio della sfera locale R è pari a 6377 km.
La sfera locale, sempre per motivi di semplificazione nei calcoli, viene a sua volta sostituita da una
superficie piana che prende il nome di CAMPO TOPOGRAFICO.
Considerando un arco posto sulla sfera locale, lungo 10000 mt., si noterà che diventa un segmento lungo
10000.008mt. (una differenza in eccesso di 8 mm) e siccome tale differenza è molto inferiore alla precisione
degli attuali strumenti topografici, si può considerare il PIANO TOPOGRAFICO per rilievi circoscritti all’
ordine di 10-15km.
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Tali semplificazioni possono essere applicate SOLO per le operazioni PLANIMETRICHE, in quanto le
operazioni ALTIMETRICHE si discosterebbero troppo dalla superficie di riferimento che sarebbe il GEOIDE.
Pertanto dato che per una distanza di 10000 mt. abbiamo un errore di sfericità x (𝐵0 𝐵1 ) pari a 7.84 mt.
(inaccettabile), occorre ridurre l’ ampiezza del rilievo in modo tale da limitare l’ imprecisione. Considerando
accettabile x = 1cm ottiene dalla seguente formula l’ ampiezza massima del rilievo ALTIMETRICO:
𝐷 = √2𝑅𝑥 ≅ 350 𝑚𝑡.
Riepilogando, si può affermare che riferendo un rilievo in un CAMPO TOPOGRAFICO, si possono eseguire
rilievi PLANIMETRICI aventi estensione di 10-15km, mentre per le operazioni ALTIMENTRICHE, l’
estensione si riduce a massimo 350mt.
Puntualizzato che in topografia si fa riferimento a distanze piane e non a distanze reali (in quanto si utilizza
il campo topografico) e precisato che gli strumenti topografici sono in grado di fornire la distanza reale,
occorre trovare la relazione tra la distanza orizzontale (distanza topografica) e la distanza reale (distanza
inclinata).
Considerando due punti A e B, conoscendo la distanza reale dr (AB) e l’ angolo verticale 𝜑 si può calcolare
la distanza orizzontale dr (𝐴𝐵0 ) mediante la seguente formula (figura seguente):
𝑑𝑜𝑟 = 𝑑𝑟 sin 𝜑
Mettendo in relazione i triangoli simili OAB0 e OATBT si ricava:
𝐴 𝑇 𝐵𝑇
𝐴𝐵0
=
𝐴𝑂
𝐴𝑇 𝑂
→
𝑑
𝑑𝑇
=
𝑅
𝑅+𝑄
Dalla quale si ottiene la distanza topografica dt (ATBT):
𝑑𝑇 = 𝑑𝑜𝑟
𝑅
𝑅+𝑄
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2. RILIEVO TOPOGRAFICO
I rilievi topografici vengono eseguiti mediante stazioni totali (teodoliti o tacheometri) o con l’ utilizzo del
GPS. I primi, forniscono angoli verticali angoli orizzontali e distanze, mentre il secondo, fornisce coordinate.
Inoltre con le stazioni totali si possono ricavare i dislivelli tra i vari punti, e con successivi calcoli le quote,
mentre con il GPS si misurano direttamente le quote.
ANGOLI VERTICALI:
sono quegli angoli che si misurano mediante il cerchio verticale dello strumento essi possono essere:
- Angoli zenitali φ,sono la porzione di piano verticale compresa tra l’ asse rivolto verso lo zenit e l’
asse del punto collimato;
- Angolo Nadirale φ′ è l’ angolo supplementari all’ angolo zenitale (la loro somma è 180°)
- Angolo di altezza o di inclinazione, è l’ angolo compreso tra l’ asse orizzontale e l’ asse del punto
collimato, tale angolo è complementare (la loro somma è 90°) all’ angolo zenitale.
ANGOLI ORIZZONTALI:
Vengono anche chiamati angoli Azimutali 𝜃, sono porzioni del piano orizzontale compresi tra due assi
collimanti due punti. Si misurano mediante letture al cerchio orizzontale (cgo) degli strumenti topografici
(tale cerchio, è graduato con valori crescenti in senso orario). Per la loro determinazione si effettua la
differenza tra l’ asse collimante il punto più a destra rispetto allo strumentista con quello più a sinistra; se la
differenza riporta un valore negativo, vuol dire che l’ azzeramento del cgo, si trova all’ interno di tale
angolo, pertanto si deve effettuare prima la differenza tra l’ angolo giro e l’ angolo maggiore dei due
collimati, li cui risultato va’ sommato all’ angolo più piccolo.
0 : azzeramento strumentale
A,B,C : Punti collimati
S : Punto di Stazione
𝜃A, 𝜃B, 𝜃C : Angoli azimutali
� , 𝐶𝑆𝐴
� : Angoli orizzontali
𝐵𝑆𝐶
� = 𝜃c – 𝜃B
𝐵𝑆𝐶
�
𝐶𝑆𝐴=(360°- 𝜃c) + 𝜃A
DISTANZE:
Ormai quasi tutti gli odierni strumenti topografici, come detto in precedenza, possono fornire distanze
mediante distanziatore laser (fornendo distanza inclinata). Essi sfruttano lo sfasamento dell’ onda
elettromagnetica che si forma tra l’ onda emessa dal distanziatore e quella riflessa dal prisma (o dall’
oggetto riflettente). Strumenti più antiquati, invece, non possiedono tale tecnologia, pertanto occorre
calcolare tutte le distanze mediante formule, c’è da dire che tra questi strumenti, si devono distinguere
quelli aventi il cannocchiale con reticolo distanziometrico (con tre fili di collimazione) e quelli senza il
reticolo distanziometrico ( aventi il reticolo senza il filo superiore ne quello inferiore). Pertanto, tenendo
conto di tali distinzioni, si applicano le seguenti formule:
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-
Strumentazione avente cannocchiale CON reticolo distanziometrico
sapendo che K è una costante ed è pari a 100, e S è la differenza tra la lettura al filo superiore e
quello inferiore, e che p è la pendenza, si possono applicare le seguenti formule:
𝒅𝟎 = 𝑲 𝑺 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝝋
𝒅𝟎 = 𝑲 𝑺 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶
𝒅𝟎 =
-
Strumentazione avente cannocchiale SENZA reticolo distanziometrico
Per tale operazione, occorre collimare lo stesso punto due volte, variando l’ angolo zenitale tra una
battuta e l’ altra, pertanto, con le due letture si possono applicare:
𝒅𝟎 =
𝒅𝟎 =
𝒅𝟎 =
-
𝑲𝑺
(𝟏 + 𝒑𝟐 )
(𝒍𝟏 − 𝒍𝟐 )
𝐜𝐨𝐭 𝝋𝟏 − 𝐜𝐨𝐭 𝝋𝟐
(𝒍𝟏 − 𝒍𝟐 )
𝐭𝐠 𝜶𝟏 − 𝐭𝐠 𝜶𝟐
(𝒍𝟏 − 𝒍𝟐 )
𝒑𝟏 − 𝒑𝟐
Strumentazione avente distanziatore laser
Tali strumentazioni, forniscono la distanza inclinata, pertanto, occorre semplicemente trasformarla
in quella orizzontale, a mediante la seguente formula che utilizza l’ angolo zenitale:
𝒅𝟎 = 𝒅𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋
𝒅𝟎 = 𝒅𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜶
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DISLIVELLI:
anche per tale misura, occorre distinguere come per la determinazione delle distanze, la tipologia di
stazione totale con cui si sta rilevando, e in base a questo, si utilizzano le seguenti formule:
-
Strumentazione avente cannocchiale CON reticolo distanziometrico
∆𝑨𝑩 = 𝒅𝟎 𝐜𝐨𝐭 𝝋 + 𝒉𝒔 − 𝒍𝒎
∆𝐴𝐵 = 𝑑0 tg 𝜑 + ℎ𝑠 − 𝑙𝑚
∆𝐴𝐵 = 𝑑0 𝑝 + ℎ𝑠 − 𝑙𝑚
da cui inserendo la formula della distanza, nelle formule sovrastanti, si ottiene:
∆𝑨𝑩 = (𝑲 𝑺 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝝋) 𝐜𝐨𝐭 𝝋 + 𝒉𝒔 − 𝒍𝒎
∆𝐴𝐵 = (𝐾 𝑆 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼) tg 𝜑 + ℎ𝑠 − 𝑙𝑚
𝐾𝑆
� 𝑝 + ℎ𝑠 − 𝑙𝑚
(1 + 𝑝2 )
∆𝐴𝐵 = �
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-
Strumentazione avente cannocchiale SENZA reticolo distanziometrico
∆𝑨𝑩 = 𝒅𝟎 𝐜𝐨𝐭 𝝋 + 𝒉𝒔 − 𝒍𝒎
∆𝑨𝑩 = 𝒅𝟎 𝐭𝐠 𝝋 + 𝒉𝒔 − 𝒍𝒎
∆𝑨𝑩 = 𝒅𝟎 𝒑 + 𝒉𝒔 − 𝒍𝒎
da cui, come prima, sostituendo la distanza con la formula della distanza si ottiene:
∆𝑨𝑩 = �
(𝒍𝟏 − 𝒍𝟐 )
� 𝐜𝐨𝐭 𝝋𝟏 + 𝒉𝒔 − 𝒍𝟏
𝐜𝐨𝐭 𝝋𝟏 − 𝐜𝐨𝐭 𝝋𝟐
∆𝑨𝑩 = �
-
(𝒍𝟏 − 𝒍𝟐 )
𝐭𝐠 𝜶𝟏 − 𝐭𝐠 𝜶𝟐
∆𝑨𝑩 = �
� 𝐭𝐠 𝝋𝟏 + 𝒉𝒔 − 𝒍𝟏
(𝒍𝟏 − 𝒍𝟐 )
� 𝒑𝟏 + 𝒉𝒔 − 𝒍𝟏
𝒑𝟏 − 𝒑𝟐
Strumentazione avente distanziatore laser
∆𝑨𝑩 = 𝒅𝒐 𝐜𝐨𝐭 𝝋 + 𝒉𝒔 − 𝒉𝒑
∆𝑨𝑩 = 𝒅𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝋 + 𝒉𝒔 − 𝒉𝒑
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ERRORI DI SFERICITA’ E DI RIFRAZIONE
Nelle misurazioni dei dislivelli (come affrontato in precedenza), qual’ ora si effetti un rilievo con estensione
maggiore ai 300-350 mt. o quando è richiesta un elevata precisione altimetrica, occorre tenere in
considerazione anche dell’ errore di sfericità oltre che al fenomeno della rifrazione.
Il primo, se non considerato, comporterebbe una riduzione del dislivello misurato rispetto a quello reale,
pertanto, alle formule soprastanti, occorrerebbe aggiungere la seguente formula:
𝐷2
2𝑅
Dove R è il raggio della sfera locale che abbiamo detto assumiamo un valore di 6377000 m.
Il fenomeno della rifrazione invece, è quel fenomeno per il quale i raggi di luce sono leggermente deviati
dagli strati più densi dell'atmosfera terrestre e per il quale, il raggio visivo tende a incurvarsi verso il basso.
Tale manifestazione comporta una riduzione dell’ errore di sfericità di circa del 15% (0.14), pertanto
Inserendo nella precedente formula, tale riduzione, si ottiene:
𝑫𝟐 (𝟏 − 𝑲)
𝟐𝑹
Dove il coefficiente K è pari a 0.14 e tale formula comprende entrambi gli errori.
LIVELLAZIONI
Oltre ai tacheometri, i teodoliti e i GPS, per la determinazione dei dislivelli, si usano i livelli.
Esistono livelli di diversa fattezza, in generale si studiano i classici livelli che si presentano come le stazioni
totali, solamente che hanno la caratteristica di non avere il cerchio verticale, in quanto il cannocchiale non
è inclinabile, in modo tale da ottenere una linea di mira sempre orizzontale. Tali livellazioni prendono il
nome di livellazioni geometriche, possono essere effettuate mediante varie metodologie, la più
consigliabile è la livellazione dal mezzo, in quanto non è soggetta ad eventuali errori di non perfetta
orizzontalità, di sfericità, di rifrazione e non occorre la misurazione dell’ altezza strumentale.
Il dislivello con la livellazione dal mezzo è dato dalle semplice formula:
∆𝑨𝑩 = 𝒍𝒂 − 𝒍𝒃
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3. IL RILIEVO INSERITO IN UN SISTEMA DI COORDINATE
Un rilievo topografico può esser inserito in un sistema di coordinate, pertanto per ogni punto del rilievo, si
potranno calcolare le coordinate in base al sistema di riferimento scelto.
C’è da precisare che principalmente esistono 2 sistemi di coordinate che in topografia trovano riscontro
pratico, il sistema cartesiano e il sistema polare.
Le coordinate cartesiane sono definite dall’ ascissa, pari alla distanza del punto considerato dall’ asse Y, e
dall’ ordinata pari alla distanza del punto dall’ asse X
Le coordinate polari, sono date dalla distanza tra il punto considerato e l’ origine degli assi, e l’ azimut
angolo compreso tra il semiasse positivo delle Y e il semiasse collimante il punto considerato (la
graduazione è crescente in senso orario).
Pertanto occorre trovare una relazione per poter passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari e
viceversa.
-
Le formule che consentono il primo cambio di coordinate (da cartesiane a polari), considerando
una coppia di punti A,B, sono le seguenti:
(𝑨𝑩) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈
𝑨𝑩 =
𝑿𝑩 − 𝑿𝑨
𝒀𝑩 − 𝒀𝑨
𝑿𝑩 − 𝑿𝑨
𝒔𝒆𝒏 (𝑨𝑩)
Occorre ricordare che usando la prima formula (quella per determinare l’ angolo di direzione), bisogna
valutare i segni delle coordinate cartesiane con le quali si desidera operare. Esse possono risultare entrambi
positive (+/+) con segni opposti (+/- e -/+) o entrambe negative (-/-) , in base al caso in cui ci troviamo,
(quindi in base a quale quadrante è presente il punto), una volta trovato l’ angolo ausiliario (AB)’ con la
formula (𝐴𝐵)′ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
|𝑋𝐵 −𝑋𝐴 |
|𝑌𝐵 −𝑌𝐴 |
si devono applicare le seguenti formule:
(𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)′
quando operiamo nel 1°quadrante
con i segni delle coordinate entrambi positivi(+/+)
(𝐴𝐵) = 200 𝑔 − (𝐴𝐵)′
quando operiamo nel 2°quadrante
con i segni delle coordinate opposti fra loro (+/-)
(𝐴𝐵) = 200 𝑔 + (𝐴𝐵)′
quando operiamo nel 3°quadrante
con i segni delle coordinate entrambe negative (-/-)
(𝐴𝐵) = 400 𝑔 − (𝐴𝐵)′
quando operiamo nel 4°quadrante
con i segni delle coordinate opposti fra loro (-/+)
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Si ricorda inoltre che una volta calcolato un angolo di direzione (per esempio (AB)) è facilmente
determinabile l’ angolo di direzione (BA) in quanto sono reciproci, pertanto noto uno, si determina l’ altro
mediante le seguenti formule:
-
(𝐵𝐴) = (𝐴𝐵) − 200 𝑔
qual’ ora (𝐴𝐵) > 200 𝑔
(𝐵𝐴) = (𝐴𝐵) + 200 𝑔
qual’ ora (𝐴𝐵) < 200 𝑔
Invece le formule che consentono il secondo cambio di coordinate (da polari a cartesiane),
considerando una coppia di punti A,B, sono le seguenti:
�� 𝐬𝐢𝐧(𝑨𝑩)
𝑿𝑨 = 𝑨𝑩
�� 𝐜𝐨𝐬(𝑨𝑩)
𝒀𝑨 = 𝑨𝑩
Si ricorda infine che se occorre determinare un angolo mediante la differenza tra due angoli di direzione,
bisogna aggiungere 400 𝑔 qual’ ora tale differenza risultasse negativa. Pertando
𝐷𝐴̂𝐵 = (𝐴𝐵) − (𝐴𝐷)
qual’ ora la differenza è positiva
𝐷𝐴̂𝐵 = (𝐴𝐵) − (𝐴𝐷) + 400 𝑔
qual’ ora la differenza è negativa
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4. AGRIMENSURA
MISURA DELLE SUPERFICI
E’ quella branca della topografia che si occupa della misurazione e della rappresentazione cartografica delle
superfici agrarie.
Per ottenere l’ area di una superficie si possono applicare, metodi grafici ( impiegando disegni in scala) o
metodi analitici (mediante l’ uso di formule).
Quest’ ultimi sono i più utilizzati e a seguito si riportano le principali formule ce permettono il calcolo delle
aree:
- Area dei triangoli
�� ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝑨𝑩
�𝑪
�� ∗ 𝑩𝑪
𝟐𝑺 = 𝑨𝑩
formula applicabile quando sono noti 2 lati e l’ angolo
tra loro compreso
2𝑆 =
formula applicabile quando sono noti gli angoli e un
lato tra (al denominatore si applica l’ angolo opposto al
lato preso in considerazione, al numeratore invece i
restanti
Formula di ERONE, è applicabile SOLO AI TRIANGOLI, ed
𝑃
utilizzabile essendo noti il semiperimetro (𝑝 = ) e
2
tutti i lati del triangolo
��
𝐴𝐵 2 ∗sin 𝐴𝐵�𝐶∗sin 𝐶𝐴�𝐵
sin 𝐵𝐶̂ 𝐴
��) ∗ (𝑝 − 𝐵𝐶
�� ) ∗ (𝑝 − 𝐶𝐴
��)
2𝑆 = �𝑝 ∗ (𝑝 − 𝐴𝐵
-
Area dei quadrilateri
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Per la determinazione della superficie di un quadrilatero può essere effettuata mediante la somma delle
aree dei triangoli con cui lo si scompone (tracciando le diagonali si ottengono i triangoli), oppure,
prolungando due lati opposti di esso si ottengono due triangoli (uno contenuto dentro l’altro) ed
effettuando la differenza tra le aree di quest'ultimi otterremo la superficie del quadrilatero.
In alternativa, si possono applicare le seguenti formule:
2𝑆 = ��
𝑑1 ∗ ��
𝑑2 ∗ sin 𝜀
tale formula è applicabile avendo noto le diagonali e
uno dei 4 angoli formati mediante la loro intersezione
(indifferente se si decide di prendere uno rispetto ad
un altro, tanto il valore del sin è uguale in quanto
angoli supplementari)
�𝐸 …
2𝑆 = ��
𝐴𝐵 ∗ ��
𝐵𝐶 ∗ sin 𝐴𝐵�𝐶 + ��
𝐵𝐶 ∗ ��
𝐶𝐷 ∗ sin 𝐵𝐶̂ 𝐷 + ��
𝐶𝐷 ∗ ��
𝐷𝐸 ∗ sin 𝐶𝐷
�� ∗ 𝐶𝐷
�� ∗ sin�𝐴𝐵�𝐶 + 𝐵𝐶̂ 𝐷� − 𝐵𝐶
�� ∗ 𝐷𝐸
� 𝐸� …
�� ∗ sin�𝐵𝐶̂ 𝐷 + 𝐶𝐷
−𝐴𝐵
̂
��
� 𝐸� …
�� ∗ sin�𝐴𝐵�𝐶 + 𝐵𝐶 𝐷 + 𝐶𝐷
+𝐴𝐵 ∗ 𝐷𝐸
-
Formula del camminamento
Determinazione di una superficie mediante coordinate polari
Tale operazione in genere si applica quando si lavora con un rilievo eseguito con coordinate polari.
Immaginando che il punto di stazione sia l’ origine del nostro sistema di coordinate, e gli angoli
azimutali siano i nostri angoli di direzione e che i punti collimati siano i vertici di una figura, allora si
potrà applicare la seguente formula considerando di “percorrere” la figura in senso orario:
2𝑆 = ∑𝑛1 𝑑𝑖 ∗ 𝑑𝑖+1 ∗ sin(𝜃𝑖+1 − 𝜃𝑖 )
𝑑 sono le distanze dei punti battuti
𝜃 sono gli angoli azimutali
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-
Determinazione di una superficie mediante coordinate cartesiane
Con la formula di Gauss è possibile determinare le superfici operando direttamente con le
coordinate cartesiane dei suoi vertici; occorre inoltre ricordare che per questa formula bisogna
considerare i vertici in senso orario affinché la superficie venga positiva.
Si possono utilizzare indistintamente entrambe le formule, una considera come moltiplicatore, le
coordinate X, mentre l’ altra, considera le coordinate Y.
𝟐𝑺 = ∑𝒏𝟏 𝒚𝒊 ∗ (𝒙𝒊−𝟏 − 𝒙𝒊+𝟏 )
oppure
𝟐𝑺 = ∑𝒏𝟏 𝒙𝒊 ∗ (𝒚𝒊−𝟏 − 𝒚𝒊+𝟏 )
PARTIZIONE DELLE SUPERFICI
Una volta determinata la superficie dell’ appezzamento di terreno, potrebbe esserne richiesta la divisione,
ma per poter effettuare tale operazione , occorre conoscere:
1) la condizione geometrica delle dividenti;
2) la geometria delle superfici da frazionare (un numero adeguato di lati ed angoli che consentono di
arrivare all'area originale);
3) una strategia che ci permetta di ottenere l'area delle superfici derivate e la sequenza con la quale
esse si succedono all'interno della figura originaria.
Ci possono essere le divisioni semplici, ove basta applicare la formula inversa dell’ area per ottenere il
posizionamento delle dividenti, come per le dividenti passanti per un vertice:
�� =
𝑨𝑷
��
𝑨𝑸 =
𝟐𝑺𝟏
��
𝑨𝑪 𝐬𝐢𝐧 ∝
𝟐(𝑺𝟏 + 𝑺𝟐 )
�� 𝐬𝐢𝐧 ∝
𝑨𝑪
Oppure per le rettifiche e negli spostamenti (argomento che tratteremo a seguito), va risolto il problema
del trapezio che consiste nella determinazione dell'altezza X di un trapezio, con un equazione di secondo
grado
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14
(𝐜𝐭𝐠 𝛂 + 𝐜𝐭𝐠 𝛃) 𝐗² – 𝟐 𝐛 𝐗 + 𝟐𝐒 = 𝟎
avendo note:
S= area;
��);
b= una base (𝐴𝐵
α e β= gli angoli adiacenti alla base.
Essendo un equazione di secondo grado, otterremo 2 soluzioni, la soluzione avente la radice negativa (se
presente) va scartata, mentre se sono entrambe positive si assume come altezza, quella più vicina al valore
del rapporto S/b.
Un ulteriore metodo per la divisione delle superfici è quello dei triangoli simili. Tale metodo è applicabile
qual’ ora si possono mettere in relazione dei triangoli rettangoli. Nell’ esempio seguente si vuole dividere l’
appezzamento ABCD in 3 aree uguali e le dividenti hanno la condizione di essere perpendicolari ad un lato
(in questo caso al lato AB).
Condizione: 𝑆1 = 𝑆2 = 𝑆3 =
𝑆𝑇𝑂𝑇
3
Pertanto mettendo in relazione i triangoli simili AK1H1 e
AED con le rispettive aree, abbiamo:
𝐴𝐸 2
𝑆𝐴𝐸𝐷 ��
=
��
𝑆1
𝐴𝐾12
Da cui di ricava:
𝑺𝟏
��𝟏 = ��
𝑨𝑲
𝑨𝑬�
𝑺𝑨𝑬𝑫
RETTIFICA E SPOSTAMENTI DEI CONFINI
Trattiamo questo argomento per analizzare e risolvere quei casi in cui dobbiamo tracciare un nuovo confine
modificando il precedente. Esso può presentarsi come retto o discontinuo e a seconda dei casi operiamo in
modo differente.
Parleremo di SPOSTAMENTO quando modificheremo essenzialmente la traiettoria di un confine rettilineo e
parleremo di RETTIFICA quando un confine poligonale viene reso rettilineo.
Questi temi sono ricorrenti nelle prove scritte;
di fatto la soluzione più corretta sta nell'individuare la condizione geometrica di uguaglianza delle aree del
vecchio e del nuovo confine, nella medesima proprietà.
Spostamenti e rettifiche vengono eseguiti mantenendo inalterate le proprietà confinanti.
Per intenderci, la condizione geometrica è di fatto una equazione avente come incognita la posizione del
nuovo confine.
Formule utili nell'esecuzione sono quelle del calcolo delle aree dei triangoli, camminamento, trapezio,
proporzionalità tra aree e quadrati dilati corrispondenti quando vi sono triangoli simili.
A seguito riportiamo alcuni casi di spostamento e di rettifica dei confini:
Dispense e Appunti di Topografia
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-
SPOSTAMENTO DI CONFINE:
1° CASO: il nuovo confine dovrà passare per un punto noto
��; ��
Noti:
𝛼; 𝛽; 𝐴𝐵
𝐴𝐻
Condizioni: 𝑆𝐴𝐻𝐵 = 𝑆𝐻𝐵𝐾
Incognita: 𝑥
Risoluzione:
Sapendo che l’ angolo KBH è facilmente
determinabile mediante la seguente
considerazione:
𝐾𝐵�𝐻 = 200 𝑔 − 𝛽 + 𝐴𝐵�𝐻
Allora sostituendo alla condizione i termini
delle superfici, si ottiene:
��
𝑥 ∗ ��
𝐻𝐵 ∗ sin 𝐾𝐵�𝐻
𝐴𝐵
𝐴𝐻 ∗ ��
∗ sin 𝛼 =
2
2
Da cui si ricava:
2° CASO: il nuovo confine avrà una direzione nota
𝒙=
2𝑆 = 𝑥 ∗ ��
𝐻𝐵 ∗ sin 𝐾𝐵�𝐻
𝟐𝑺
�𝑯
�� 𝐬𝐢𝐧 𝑲𝑩
𝑯𝑩
��; e direzione del confine
𝛼; 𝛽; 𝐴𝐵
(angolo 𝜇)
Condizioni: 𝑆𝐴𝐵′𝐵 = 𝑆𝐵′𝐵𝐾𝐻
��; ��
Incognita: 𝐵𝐾
𝐵′𝐻
Risoluzione:
Sapendo che l’ angolo 𝜇′ è facilmente
determinabile mediante la seguente
considerazione:
𝜇′ = 200 𝑔 − 𝜇
Noti:
�� del trapezio B’BKH
Ricavandosi la base 𝐵′𝐵
mediante la seguente relazione:
Da cui è possibile calcolare la superficie 𝑆𝐴𝐵′𝐵
𝑆𝐴𝐵′𝐵 =
��
��
𝐴𝐵
𝐵′𝐵
=
sin 𝛼 sin 𝜇′
𝐴𝐵 ∗ 𝐵′𝐵
∗ sin[200 𝑔 − (𝜇′ + 𝛼)]
2
Considerando inoltre che l’ angolo 𝐾𝐵�𝐵′ (vedendo la figura) è determinabile mediante la seguente
relazione:
𝐾𝐵𝐵′ = (200 𝑔 − 𝛽) + 𝐴𝐵�𝐵′
Dispense e Appunti di Topografia
16
Ricordando infine la condizione iniziale:
𝑆𝐴𝐵′𝐵 = 𝑆𝐵′𝐵𝐾𝐻
Allora sostituendo alla formula del trapezio gli angoli, la base e la superficie, otterremmo:
��′ 𝐗 + 𝟐𝐒𝑩′𝑩𝑲𝑯 = 𝟎
� 𝐁′) 𝐗² – 𝟐 𝐁𝐁
(𝐜𝐭𝐠 𝛍′ + 𝐜𝐭𝐠 𝐊𝐁
Una volta trovata l’ altezza del trapezio X, potremmo trovare le incognite del problema mediante:
��
𝑩𝑲 =
-
𝑿
� 𝑩′
𝐬𝐢𝐧 𝑲𝑩
E
�� =
𝑩′𝑯
𝑿
𝐬𝐢𝐧 𝝁′
RETTIFICA DICONFINE
Applicando le formule illustrate per gli spostamenti dei confini, illustriamo velocemente i casi delle
rettifiche con le condizioni iniziali da imporre:
1° CASO: il nuovo confine dovrà essere passante per un vertice
��; ��
Noti:
𝛼; 𝛽; 𝛾; 𝛿; 𝐴𝐵
𝐵𝐶 ; ��
𝐶𝐷
Condizioni: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐷𝐾
Incognita: 𝑥
2° CASO: il nuovo confine dovrà passare per un punto noto
��; ��
��
Noti:
𝛼; 𝛽; 𝛾; 𝛿; 𝐴𝐵
𝐵𝐶 ; ��
𝐶𝐷 ; 𝐴𝐻
Condizioni: 𝑆𝐻𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐻𝐷
Incognita: 𝑥
3° CASO: il nuovo confine avrà una direzione nota
��; e direzione del confine
𝛼; 𝛽; 𝐴𝐵
(angolo 𝜇)
Condizioni: 𝑆𝐴𝐵′𝐵 = 𝑆𝐵′𝐵𝐾𝐻
�� ; ��
Incognita: 𝐴𝐻
𝐴′𝐾
Noti:
Dispense e Appunti di Topografia
17
5. CELERIMENSURA
E’ un metodo di rilevamento mediante il quale si determinano le posizioni planimetriche e altimetriche dei
punti del terreno. Lo strumento adoperato è la stazione totale. Un rilevamento celerimetrico comprende
sia operazioni di campagna, dove si effettuano misure e si esegue uno schizzo a vista del terreno da rilevare
(eidotipo), che operazioni a tavolino che comprendono l’ elaborazione dei dati e la stesura dello stesso.
Oggi tutte queste operazioni vengono eseguite mediante aiuti tecnologici (stazioni totali con
memorizzazione dei dati, computer, software specifici ecc..) che permettono una determinazione più
veloce e più precisa dei punti collimati.
Ad ogni punto vengono assegnate le tre coordinate (x,y,z) determinate in base a un sistema cartesiano
destrorso (regola della mano destra), dove l’ asse Z è orientato allo zenit, l’ origine del sistema di
riferimento è la stazione celerimetrica (100), l’ asse delle ordinate (y) è orientato in base all’ azzeramento
dell’ azimut strumentale e infine l’ asse delle ascisse (X) è perpendicolare rispetto a quest’ ultimo e
passante per l’ origine.
Illustrando che il piano x,y del sistema sopracitato passa per il punto di stazione considerato come origine,
si evince che si opera con misure orizzontali, pertanto si deve ricorrere alle formule citate nel capitolo
“RILIEVO TOPOGRAFICO”, ovvero:
𝑑0 = 𝑑𝑖 sin 𝜑
Ricordando inoltre che l’ asse delle ordinate (Y) è orientato in base all’ azzeramento dell’ azimut, possiamo
affermare che tutti gli angoli azimutali (della stazione 100, impostata come origine) saranno angoli di
direzione.
Infine si fa presente che per ottenere punti in quota (determinazione della coordinata Z) è necessario
conoscere l’ altezza strumentale (hs), e l’ altezza del prisma (hp) dei punti collimati. Tali misure sono
eseguite e memorizzate (o annotate) dal topografo durante le operazioni di campagna.
Riepilogando:
coordinate stazione celerimetrica 100:
𝑋100 = 0,00 𝑚𝑡.
𝑌100 = 0,00 𝑚𝑡.
𝑍100 = 0,00 𝑚𝑡.
Coordinate del punto collimato (in questo caso il punto 101):
� − 101
�)
𝑋101 = 𝑑0 sin(100
� − 101
�)
𝑌101 = 𝑑0 cos(100
𝑍101 = 𝑑𝑜 cot 𝜑 + ℎ𝑠 − ℎ𝑝
oppure
𝑍101 = 𝑑𝑖 cos 𝜑 + ℎ𝑠 − ℎ𝑝
Dispense e Appunti di Topografia
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Considerando che raramente si avrà un rilievo topografico composto da una sola stazione (a causa di
ostacoli che non permettono la vista dell’ intera area da rilevare, o dalla difficoltà nel vedere i punti da
collimare a causa della grande distanza), occorre prendere in considerazione il fatto di operare con
poligonali, ove apporre nei suoi vertici i punti di stazione.
Considerando che ogni stazione sia un sistema di coordinate a se, si può tranquillamente affermare che se
tutti i sistemi hanno gli assi paralleli ed equiversi, allora le coordinate dei punti della stazione successiva si
otterranno mediante la somma tra le coordinate della stazione medesima con le coordinate parziali (riferite
al sistema della seconda stazione) dei punti stessi.
𝑋201 = 𝑋200 + 𝑋′201
𝑌201 = 𝑌200 + 𝑌′201
dove: - X e Y sono coordinate riferite alla prima stazione
- X’ e Y’ sono coordinate parziali riferite alla stazione successiva
In alternativa si possono applicare le formule:
𝑿𝟐𝟎𝟏 = 𝑿𝟐𝟎𝟎 + 𝒅𝟐𝟎𝟎−𝟐𝟎𝟏 ∗ 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟏)
𝒀𝟐𝟎𝟏 = 𝒀𝟐𝟎𝟎 + 𝒅𝟐𝟎𝟎−𝟐𝟎𝟏 ∗ 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟏)
Per ottenere ciò, occorreva avere gli azzeramenti strumentali di entrambe le stazioni paralleli ed equiversi,
pertanto si collimava la prima stazione, da quella successiva, con angolo reciproco rispetto all’ azimut con
cui si era collimata la seconda stazione da quella precedente:
(200 − 100) = (100 − 200) +/− 200 𝑔
Dispense e Appunti di Topografia
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Siccome avere tutti gli azzeramenti paralleli ed equiversi tra le stazioni non è ne pratico (in quanto è
preferibile azzerare l’ azimut su punti fissi), nè è sempre possibile, oltre a considerare che con gli odierni
software è facile determinare le coordinate riferite ad un solo piano cartesiano, si usa il collegamento
MOINOT.
Questo collegamento consiste nel trasformare gli angoli azimutali con i quali si sono collimati i punti dalla
stazione successiva (i quali si possono considerare come angoli di direzione riferiti al sistema di coordinate
della stazione considerata) in angoli di direzione riferiti al sistema di coordinate della stazione precedente,
successivamente, una volta ottenuti gli angoli corretti si potrà applicare il collegamento precedentemente
illustrato, così facendo abbiamo ottenuto tutti i sistemi di coordinate paralleli ed equiversi.
Pertanto, occorre trovare l’ errore di orientamento che è dato dalla differenza tra l’ azimut collimante la
stazione precedente da quella successiva, con l’ angolo di direzione tra quest’ ultima e la precedente
riferito al sistema di coordinate della prima stazione.
In formule (considerando la coppia di stazioni 100 e 200):
dove:
-
𝜀
𝜀 = (200 − 100)′ − (200 − 100)
errore di orientamento
- (200 − 100)′
azimut collimante la stazione precedente da quella successiva
- (200 − 100)
angolo di direzione riferito al sitema di coordinate corretto, tra la stazione
successiva e quella precedente, esso è noto in quanto è il reciproco dell’ azimut
collimante la stazione successiva da quella precedente, si ricorda che si ottiene
con (200 − 100) = (100 − 200) +/− 200 𝑔
Dispense e Appunti di Topografia
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Ottenuto l’ errore di orientamento, si può calcolare la correzione angolare che equivale al suo opposto:
𝑪 = −𝜺
Tale correzione va’ aggiunta a tutte le letture azimutali della seconda stazione, così da ottenere angoli di
direzione correttamente riferiti al sistema di coordinate voluto.
Pertanto ora risulta facile il calcolo delle coordinate richiamando le formule viste in precedenza.
𝑋201 = 𝑋200 + 𝑑200−201 ∗ sin(200 − 201)
𝑌201 = 𝑌200 + 𝑑200−201 ∗ cos(200 − 201)
Altimetricamente invece la questione è ulteriormente più semplice in quanto:
𝒁𝟐𝟎𝟏 = 𝒁𝟐𝟎𝟎 + ∆𝟐𝟎𝟎−𝟐𝟎𝟏
Dispense e Appunti di Topografia
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6. SPIANAMENTI
Si è alle volte chiamati a sistemare la superficie del terreno per renderla piana. Con tale operazione,
eseguibile a seguito delle operazioni celerimetriche con le quali si è rappresenta graficamente la superficie
per terreno per piani quotati, è possibile ottenere una superficie piana-orizzontale o piana-inclinata.
A seguito di tale sistemazione si potranno avere dei volumi in eccesso (STERRI) i quali dovranno essere
trasportati in altri lotti, volumi mancanti che bisognerà importare da altri appezzamenti (RIPORTI) o gli
spostamenti di terreno all’ interno del lotto si compenseranno in modo tale che i volumi di sterro siano
uguali ai volumi di riporto.
Il progetto di uno spianamento ha come scopo il calcolo delle quote rosse, dei punti di passaggio, dei
volumi (sterro e di riporto).
Facendo una piccola parentesi e ricordando che per pendenza di un piano si intende sempre quella
massima, che è individuata dalla RETTA DI MASSIMA PENDENZA, e che quest’ultima si ottiene come
perpendicolare a un retta orizzontale del piano considerato , si illustrano a seguito meglio gli scopi del
progetto sopraindicati:
QUOTE ROSSE:
la quota rossa è la differenza tra la quota del progetto (quota che si avrà a fine delle operazioni) e la quota
del terreno dello stesso punto (quota che attualmente ha il punto).
In formula:
𝒉 = 𝒒𝑨 − 𝑸𝑨
DOVE:
ℎ è la quota rossa
𝑞𝐴 è la quota di progetto
𝑄𝐴 è la quota del terreno
Pertanto è facile dedurre dalla formula che se ℎ > 0 (quota di progetto maggiore a quella del terreno)allora
ci troviamo in corrispondenza di RIPORTO, analogamente se invece abbiamo ℎ < 0 abbiamo dello STERRO.
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PUNTI DI PASSAGGIO:
sono quei punti dove c’è un cambio tra volumi di sterro e volumi di riporto, in altre parole sono quei punti
dove le quote rosse sono pari a zero (ovvero dove le quote di progetto coincidono con quelle del terreno).
Essi si trovano lungo i lati delimitanti i piani quotati, aventi quote rosse discordanti.
Il metodo analitico con il quale è possibile individuare la posizione esatta dei punti di passaggio, è
effettuabile mediante due formule con le quali si individuano i segmenti interessati da STERRO e quelli
interessati da RIPORTO:
𝒅𝒓 =
𝒅𝒔 =
𝑫∗𝑹
𝑹+𝑺
𝑫∗𝑺
𝑹+𝑺
DOVE:
𝐷
ReS
è la distanza totale del
segmento (𝐷 = 𝑑𝑟 + 𝑑𝑠 )
sono le quote rosse negli estremi del
segmento considerato (in queste
formule si devono considerare
entrambe positive)
Una volta determinati, tutti i punti di passaggio si congiungono mediante linee (linee di passaggio) così da
individuare le aree di sterro (in genere colorate in giallo) e quelle a riporto (in genere colorate di rosso). A
seguito di tale determinazione e alla scomposizione delle aree in triangoli, si procede mediante le formule
precedentemente illustrate, al calcolo delle superfici (si sterro e di riporto).
Dispense e Appunti di Topografia
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VOLUMI:
Per il calcolo dei volumi si considerano solidi con spigoli paralleli tra loro e verticali, con le basi che
giacciono su piani variamente orientati.
La formula per la loro determinazione è la seguente:
DOVE:
𝐻 è la distanza tra i baricentri delle due
basi
𝑆 è la superficie della sezione perpendicolare
agli spigoli, giacente su un piano orizzontale,
ossia l'area della sezione retta del prisma
𝑉 = 𝐻∗𝑆
Per la determinazione dei volumi di STERRO e di RIPORTO, si considerano prismi aventi basi triangolari,
dove come altezza del solido si considera la distanza verticale che divide i due baricentri delle due basi e
come superficie di riferimento si considera l’ area della sezione perpendicolare agli spigoli:
DOVE:
��
𝐺
1 𝐺2
𝑉 = ��
𝐺1 𝐺2 ∗ 𝑆
𝑆
distanza verticale dei due baricentri
delle basi
Superficie di riferimento,
Nel caso in cui si considerano prismi aventi una base perpendicolare agli spigoli, allora la distanza tra i
baricentri risulta essere la media aritmetica dell'altezza degli spigoli.
Pertanto:
DOVE:
ℎ𝐴 ; ℎ𝐵 ; ℎ𝐶
sono le quote rosse nei vertici
della falda considerata
𝑉=
ℎ𝐴 +ℎ𝐵 +ℎ𝐶
3
∗𝑆
𝑆
è la superfice orizzontale della
falda,
comunque tale formula è estesa anche a prismi in cui nessuna delle due basi sia perpendicolare ai vertici in
quanto con la media delle quote rosse si determina la distanza dei baricentri, unica raccomandazione è che
come superficie si deve utilizzare sempre quella orizzontale della falda.
Dispense e Appunti di Topografia
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I conclusione elenchiamo i possibili casi di spianamento:
-
-
SPIANAMENTI CON PIANO ORIZZONTALE
Tali piani possono essere impostati in modo tale che:
-
passino per una quota prestabilita
-
o che creino volumi di compenso (volume di sterro = volume di riporto)
SPIANAMENTI CON PIANO INCLINATO
Tali piani possono essere impostati in modo tale che:
-
passino per una punto prestabilito e aventi una pendenza impostata con direzione della
stessa nota
-
creino volumi di compenso e aventi una pendenza impostata con direzione della stessa
nota
-
passino per due punti prestabiliti e aventi una pendenza impostata passante per i due punti
-
creino volumi di compenso e aventi una pendenza con direzione impostata passante per un
punto
-
passino per due punti prestabiliti e aventi una pendenza impostata non passante per i due
punti (il problema potrebbe risolversi con una, due o con nessuna soluzione)
-
creino volumi di compenso e aventi una pendenza impostata ma non la direzione della
stessa incognita, passante per un punto (anche tale problema potrebbe risolversi con una,
due o con nessuna soluzione)
-
passino per tre punti noti
-
creino volumi di compenso passando per due punti
Dispense e Appunti di Topografia
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7. STRADE
La progettazione stradale prevede la determinazione di un tracciato il quale a seconda del terreno avrà una
sezione longitudinale da cui si studiano le pendenze della strada. Una volta impostato sia il tracciato che la
sezione longitudinale, si procederà alla redazione delle sezioni trasversali (collocate in punti strategici) con
le quali si potrà infine calcolare i volumi di sterro e di riporto che si andranno a creare con l’ esecuzione di
tale opera.
DETERMINAZIONE DEL TRACCIATO
L’ andamento è scelto dal progettista a seconda: della tipologia di strada da progettare (autostrada, strada
principale, strada secondaria ecc…), se si vuole o meno avere volumi di compenso, dalla pendenza che si
vuole ottenere, dall’ ampiezza delle curve volute ecc...
Pertanto a seguito di queste considerazioni, si redige il tracciolino (una spezzata passante per i punti voluti),
da cui si otterrà, crenando curve con raggi stabiliti e rettilinei, il tracciato stradale che corrisponderà con l’
asse della carreggiata.
A seguito illustreremo la formula per il calcolo di una curva circolare:
NOTI:
INCOGNITA:
𝛽; 𝑡
R
Applicando la formula:
𝑡 = 𝑅 ∗ cot
𝛽
2
Da cui si ricava:
𝑅 = 𝑡 ∗ tan
𝛽
2
Una volta determinato il raggio della curva, si potrà
calcolare lo sviluppo della stessa:
𝑻�
𝟏 𝑻𝟐 = 𝑹 ∗ 𝜶
DOVE:
�
T
è lo sviluppo dell’ arco
1 T2
R
è il raggio della curva
α
è l’ angolo al centro espresso in radianti
Passaggio da angoli centesimali a radianti:
𝜋
𝛼 = 𝛼′ ∗
200
DOVE:
α
è l’ angolo al centro espresso in radianti
α′
è l’ angolo al centro espresso in gradi
centesimali
una volta ottenuti tutti gli sviluppi delle curve, sommandoli ai rettilinei, otterremo la lunghezza totale della
strada.
Dispense e Appunti di Topografia
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LIVELLETTE
Una volta determinato il tracciato, si provvederà alla redazione della sezione longitudinale del terreno cui
portiamo di seguito un esempio.
E’ consigliabile eseguire l’ opera in modo tale che i volumi di sterro e riporto siano eguali, pertanto a
seguito si riporta le due casistiche con cui si determinano le livellette di compenso:
a) Livelletta di compenso passante per un punto assegnato ma con pendenza incognita
Impostando la relazione che:
𝑆=
𝐷∗(𝑦1 +𝑦)
2
(area del trapezio)
Da cui si ricava:
𝑦=
2𝑆 − 𝐷𝑦1
𝐷
𝒚=
𝟐𝑺
− 𝒚𝟏
𝑫
Che in altri termini:
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b) Livelletta di compenso con pendenza assegnata e posizionamento incognito
Impostando la relazione che:
𝑆=
𝐷∗(𝑦0 +𝑦)
2
(area del trapezio)
A cui si aggiunge la seguente relazione:
𝑦 = 𝑦0 + 𝐷 ∗ 𝑝
Ottenendo:
2𝑆 = 𝐷(𝑦0 + 𝑦0 + 𝐷𝑝)
Perciò:
2𝑆 − 𝐷 2 𝑝
𝑦0 =
2𝐷
Che in altri termini:
𝒚𝟎 =
𝑺 𝑫𝒑
−
𝑫
𝟐
SEZIONI TRASVERSALI
Le sezioni trasversali vanno poste: a ogni incrocio tra il tracciato con le isoipse; all’ inizio, centro e fine
curva; a ogni differenza di pendenza ed eventualmente lungo i rettilinei qual’ ora ritenuti troppo lunghi.
Per la loro determinazione occorre predisporre dei canali di scolo e delle scarpate che per convenzione
hanno rispettivamente inclinazione di 45° (rapporto 1:1) e un rapporto di 3:2 (3 in verticale e 2 in
orizzontale, circa il 66%).
Si potranno avere o sezioni completamente a STERRO, a RIPORTO o miste (comprendenti sia sterro che
riporto), alle quali si dovranno calcolare le superfici opportunamente suddivise.
A seguito vengono proposte due sezioni contigue con indicanti la suddivisione più consona (si faccia
attenzione alla relazione dei cambi tra sterro e riporto tra le due sezioni).
Dispense e Appunti di Topografia
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CALCOLO DEI VOLUMI
Una volta suddivise correttamente le superfici delle sezioni (come precedentemente indicato), si è ora in
grado di effettuare i calcoli dei volumi di sterro e di riporto.
Immaginando un solido delimitato da due basi parallele e verticali di forma diversa, si può ricorrere alla
formula di Torricelli vista in precedenza leggermente modificata:
DOVE:
𝐻
𝑉 = (𝐴1 + 4𝐴𝑚 + 𝐴2 ) ∗ 6
𝐴1 ; 𝐴2
𝐴𝑚
aree di sezioni di base situate a
distanza H delle basi
area della sezione situata a
metà della distanza tra le 2 basi
𝐴𝑚 è incognita, quindi assumiamo che essa sia pari alla media aritmetica delle aree delle sezioni di
estremità; la formula risultante è:
𝑽=
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐
∗𝑯
𝟐
Appurato ciò occorre suddividere il calcolo dei volumi in base alle casistiche:
a) Avendo due sezioni, entrambe a sterro o a riporto
Applicando la formula sopracitata si determina il volume (tutto a sterro o tutto a riporto)
DOVE:
𝑽𝒔 =
𝑺𝟏 +𝑺𝟐
𝟐
∗𝑫
𝑆1 ; 𝑆2
𝐷
aree delle sezioni
Distanza tra le sezioni
b) Avendo sezioni miste
dei volumi mantenendo le medesime suddivisioni delle superfici. In tal modo si potrà applicare la
formula del volume appena illustrata nelle porzioni in cui le aree in relazione sono entrambe o
sterro o di riporto, mentre per le rimanenti porzioni occorre aggiungere le seguenti formule:
𝑹𝟐𝟏
𝑫
𝑽′𝑹 =
∗
𝑹𝟏 +𝑺𝟐 𝟐
𝑽′𝑺 =
𝑺𝟐𝟐
𝑫
∗
𝑹𝟏 +𝑺𝟐 𝟐
Mentre per le porzioni con entrambe le aree a sterro o riporto:
𝑽𝒔 =
𝑽𝑹 =
𝑺 + 𝑺𝟏
𝟐
𝑹𝟐 + 𝑹
𝟐
∗𝑫
∗𝑫
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