Rumore termico

Rumore termico
Telecomunicazioni per l’Aerospazio
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Rumore - 1
Rumore Termico: statistica
Istogramma
Volts
Il rumore ha una densità di probabilità gaussiana
Volts
Realizzazione
rumore
t
Contatore
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Rumore - 2
Rumore Termico: potenza
• Qualsiasi conduttore con resistenza R0 a temperatura T superiore allo zero assoluto
presenta ai suoi capi una tensione aleatoria dovuta all’agitazione termica degli
elettroni  la “tensione di rumore” ha ddp gaussiana con valor medio nullo e
varianza pari

2
n
 4 kTRB
K: costante di Boltzmann (1.3810-23 J/K);
R: valore resistenza (Ohm);
T: valore temperatura (Kelvin);
B: banda monolatera (Hz)
• Circuito equivalente di un resistore reale: generatore di tensione con valore n in serie ad un
resistore ideale (non rumoroso)
•generatore connesso carico R’;
R
•condizione di massimo trasferimento di potenza (R’=R);
+
-
n

R’
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i
n
R  R'
Potenza trasferita
sulla banda B
2

  
P   n  R'  n  kTB
4R
 R  R' 
2
Rumore - 3
Rumore: spettro di densità di potenza
Spettro di densità di potenza
monolatero
Spettro di densità di potenza
bilatero
Sn(f)
Snm(f)
N0/2
N0
f
f
• Lo spettro di densità di potenza disponibile del rumore termico è indipendente
dalla frequenza (rumore bianco: approx valida fino a 104 GHz)
Spettro di densità di potenza bilatero
Sn ( f ) 
N 0 kT

(W / Hz )
2
2
Spettro di densità di potenza monolatero
S nm ( f )  N 0  kT (W / Hz )
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Rumore - 4
Rumore: potenza (II)
Sn(f)
Spettro
bilatero
Spettro
monolatero
N0/2
Snm(f)
N0
f
B
-B
f
B
Snm(f)
Sn(f)
N0/2
N0
f
B
B
Pn  2B  Sn ( f )  N0 B  kTB (W )
f
B
Pn  B  Snm ( f )  N0 B  kTB (W )
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Rumore - 5
Decibels (dB)
Ampiezza (Volt)
Decibels
- 10 dB
- 7 dB
- 6 dB
- 3 dB
0 dB
3 dB
6 dB
7 dB
10 dB
20 dB
30 dB
40 dB
60 dB
66 dB
72 dB
80 dB
100 dB
120 dB
Potenza (Watt)
Rapporto di voltaggio
½:1
0,72:1
1:1
1,414:1
2:1
10:1
100:1
1.000:1
2.000:1
4.000:1
10.000:1
100.000:1
1.000.000:1
Rapporto di potenza
1/10:1
1/5 :1
¼:1
½:1
1:1
2:1
4:1
5:1
10:1
100:1
1000:1
10.000:1
1.000.000:1
4.000.000:1
16.000.000:1
108:1
1010:1
1012:1
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Rumore - 6
Rumore: potenza (III)
Densità
spettrale
k  1.38 1023 J / K   228.6 W / Hz / K
N0  k T  1.38 1023 J / K  290 K  400,2 1023 J
N0  400,2 1023W  s  400,2 1023W / Hz  4,002 1021W / Hz
 N0 dB / Hz  6  210dBW / Hz  204dBW / Hz
 N0 dBm/ Hz  204  30 dBm/ Hz  174 dBm/ Hz
B  1 KHz
 Pn  N0 B dBm  174 30 dBm  144dBm
B  1 MHz
 Pn  N0 B dBm  174 60 dBm  114dBm
B  10 MHz
 Pn  N0 B dBm  174 70 dBm  104dBm
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Rumore - 7
Rumore Termico: autocorrelazione (I)
Dominio della frequenza
Sn(f)
.5N0
Dominio del tempo
Rn()
.5N0()
f

• Il segnale varia molto rapidamente;
• Rumore bianco: buona approssimazione della realtà;
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Rumore - 8
Rumore Termico: autocorrelazione (II)
•
•
Spettro di densità di potenza uniforme in frequenza;
Autocorrelazione pari a un impulso delta di Dirac
Autocorrelazione è relativa alla predicibilità nel tempo:
dato il valore del rumore all’istante t1 quanto è predicibile il
valore del rumore all’istante t1+?
Rumore bianco: disturbo a banda larga  il
rumore varia molto rapidamente:
dal valore di rumore ad un certo istante t1 non è
possibile predire il valore di rumore all’istante
t1+.
Volts
t
Rxx
0
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 (secondi)
Rumore - 9
Rumore Termico: autocorrelazione (III)
•
Filtraggio rumore bianco: introduce correlazione.
Sn(f)=N0/2
N0/2|H(f)|2
H(f)
Spettro densità di potenza
rumore in uscita dal filtro.
Spettro densità di potenza rumore
bianco in ingresso al filtro.
Filtro passabasso ideale
N0/2
N0/2|H(f)|2
f
-B
B
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Rumore - 10
Rumore Termico: autocorrelazione (IV)
1/B
2/B
3/B
4/B
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Rumore - 11
Rumore Termico: demodulazione I&Q
Filtro passabanda ideale
N0/2
N0/2|H(f)|2
f
B
B
Low Pass Filter
rI (t )
N0/2
2 cos(2f 0t   )
r
( R)
(t )
f
LO
-B/2
π/2
2 sin(2f 0t   )
Low Pass Filter
rQ (t )
B/2
N0/2
f
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-B/2
B/2
Rumore - 12
Figura di Rumore (I)
• La figura di rumore F (Noise Figure) caratterizza la rumorosità di un dispositivo o
di un sottosistema: in particolare misura la degradazione del rapporto
segnale/rumore tra ingresso e uscita dovuta all’aggiunta del rumore generato
dal dispositivo
Psi
Pni=kT0B
Pso=GPsi
Banda B
Guadagno G
Figura di rumore F
Psi: potenza segnale utile in ingresso;
Pni: potenza rumore in ingresso;
Pso: potenza segnale utile in uscita;
Pno: potenza rumore in uscita;
Pno=GPni+Pno
Psi Pni
F
Pso Pno
FIGURA DI
RUMORE
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Rumore - 13
Figura di Rumore (II)
• Figura di rumore definita con riferimento ad una specifica condizione in ingresso:
- resistore adattato a temperatura T0=290K:
Psi
Pni=kT0B
Pso=GPsi
Pno=GPni+P0
Psi Pno
Pno
F
 1
Pso Pni
GkT0 B
• Figura di rumore sempre 1;
• Dispositivi ideali
(non rumorosi: Pno) F=1;
•Il dispositivo rumoroso è equivalente ad un dispositivo non rumoroso
con in ingresso una sorgente a temperatura FT0 anziché T0.
Psi
Pno=(F-1)GkT0B
Pno=GkT0B+ (F-1)GkT0B=
=FGkT0B
Pni=kT0B
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+
Pso=GPsi
Banda B
Guadagno G
Sistema ideale (F=1) Pno=FGPni
Pno/G=(F-1)kT0B
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Rumore - 14
Figura di Rumore (III)
Pno=(F-1)GkT0B
Psi
Pso=GPsi
Banda B
Guadagno G
Sistema ideale (F=1) Pno=FGPni
Pno=GkT0B+ (F-1)GkT0B=
=FGkT0B
Pni=kT0B
+
Pno/G=(F-1)kT0B
•Il dispositivo rumoroso è equivalente ad un dispositivo non rumoroso
con in ingresso una sorgente a temperatura FT0 anziché T0.
Pni(eq) =FkT0B
Pno=FGkT0B
Psi
Pso=GPsi
Banda B
Guadagno G
Pni(eq) =FkT0B Sistema ideale (F=1) Pno=FGPni
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Rumore - 15
Temperatura Equivalente di Rumore (I)
• La temperatura equivalente di rumore TE (descrizione alternativa ad F) caratterizza
la rumorosità di un dispositivo o di un sottosistema: è la temperatura di un resistore
adattato che, posto all’ingresso del dispositivo in esame assunto ideale, è in grado di
produrre una potenza in uscita pari a Pno.
Pno=GkTEB  TE= Pno/GkB
Per un dispositivo ideale
(non rumoroso) si ha TE=0.
• La relazione con la figura di rumore è data da
TE=(F-1)T0
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Rumore - 16
Temperatura Equivalente di Rumore (II)
• Se in ingresso al dispositivo sorgente a temperatura Ts:
Pno  GPni  Pno  GkTs B  ( F  1)kT0 B  Gk (Ts  TE ) B
Pso
SNRi
SNRi
SNR0 


Pno 1  ( F  1) T0 Ts 1  TE Ts
Psi
Pni=kTsB
+
Banda B &
Guadagno G
Sistema ideale
(F=1 & TE=0)
Pso=GPsi
Pno
Pno/G=(F-1)kT0B=kTEB
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Rumore - 17
Temperatura Equivalente di Rumore (III)
• Se in ingresso al dispositivo sorgente a temperatura Ts:
Pno  GPni  Pno  GkTs B  ( F  1)kT0 B  Gk (Ts  TE ) B
Pso
SNRi
SNRi
SNR0 


Pno 1  ( F  1) T0 Ts 1  TE Ts
Psi
Pni (eq) =k(Ts+TE)B
Banda B &
Guadagno G
Sistema ideale
(F=1 & TE=0)
Pso=GPsi
Pno
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Rumore - 18
Rumore termico (IV)
Rumore prodotto
da un attenuatore
• Linee di trasmissione, giunti, giunti rotanti, duplexer sono
attenuatori: se l’attenuatore è alla temperatura fisica Tp ed è
caratterizzato da un’attenuazione L (L=Psi/Pso, L>1)
Pno  kT p B (
Psi
L 1
)
L
Banda B
Gudagno G=1/L
Pni
+
Attenuatore ideale (F=1)
Pno/G=kTpB(L-1)
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TE  ( L  1)T p
F  1  ( L  1)
Tp
T0
Pso=Psi/L
Pno=Pni/L+kTpB(L-1)/L
Se Tp=T0  F=L: un attenuatore
puro per Tp=T0 è trasparente al
rumore cioè vede in ingresso e in
uscita lo stesso rumore.
Rumore - 19
Rumore termico (V)
Sistema 1
Sottosistemi
in cascata
Psi
Banda B & Guadagno G1
Banda B & Guadagno G2
Figura di rumore F1
Figura di rumore F2
Temp. di rumore TE1
Temp. di rumore TE2
Pni=kTsB
Psi
Pni=kTsB
Sistema 2
Banda B & Guadagno
G1
Sistema 1 ideale
+
Pn1=kTE1
B
Pni=kTsB
Pso=G1Psi
Banda B & Guadagno
G2
+
Sistema 2 ideale
Pso
Pno
Pso=G1G2Psi
Pno
Pn2=kTE2B
Psi
Banda B
Guadagno G1G2
+
Sistema equivalente ideale
Pso=G1G2Psi
Pno=G1G2k(Ts+TE)B
Pno/G1G2=kTEB
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Rumore - 20
Rumore termico (VI)
Pno  G1G2 k (Ts  TE1 
Pno  G1G2 ( Pni 
TE 2
)B
G1
Pno
)  G1G2 k (Ts  TE ) B
G1G2
TE  TE 1 
TE 2
G1
F  1
F 1
TE
 F1  2
G1
T0
Generalizzando al caso di N sottosistemi in cascata:
TE 3
TE N
TE 2
TE  TE1 

 ... 
G1 G1G2
G1G2 ...G N 1
F  F1 
FN  1
F2  1 F3  1

 ... 
G1
G1G 2
G1G 2 ...G N 1
Per sottosistemi in cascata il primo stadio è l’elemento critico:
per contenere la rumorosità globale il primo stadio deve assere
a bassa cifra di rumore e ad elevato guadagno.
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Rumore - 21
Caratterizzazione rumore
ESEMPIO: Valutazione temperatura di rumore di sistema
Tin=50 K
TRF=50 K GRF=23 dB
Tm=500 K Gm=-10 dB
TIF=1000 K GIF=30 dB
Ts=50+50+500/200+1000/20=152.5 K
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Rumore - 22
Filtro adattato (I)
In generale il ricevitore di un sistema di telecomunicazioni/telerilevamento ha al suo ingresso la somma
del segnale utile e del rumore e le prestazioni del sistema dipendono dal rapporto potenza di segnale a
potenza di rumore (SNR: Signal to Noise power Ratio).
È possibile progettare un filtro in modo da massimizzare il valore del rapporto segnale
a rumore alla sua uscita  concetto di filtro adattato (“matched”) al segnale trasmesso.
PROBLEMA
Determinare la funzione di trasferimento H(f) o
equivalentemente la risposta impulsiva h(t) del
filtro che massimizza il rapporto segnale a rumore
alla sua uscita ad un dato istante di tempo t0.
Ingresso:
• si(t): segnale utile;
• ni(t): rumore gaussiano bianco
con densità spettrale N0/2;
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si(t)
ni(t)
so(t)
IF
H(f)
no(t)
Bisogna determinare H(f) tale
che sia massimizzata la quantità:
SNRa 
s o t 0 

2

E no2 t 
N.B. SNRa definito come picco del segnale al
quadrato su potenza di rumore  SNRa=2SNR.
Rumore - 23
Filtro adattato (II)
s o t 0  

 S  f H  f e
j 2ft 0
i

df



E n t 0 
2
o
N0

2

 Hf 
SNRa 
2
df
s o t 0 

2

E no2 t 0 

2
 A( f ) B ( f ) df
• Utilizzando la disuguaglianza di Schwartz





SNRa 
 S i  f H  f e
2
df

N0
2



H  f  df

2


S i  f  df
2



H  f  df
N0
2


H  f  df
2

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




2
B ( f ) df

2

N0
2
2
A( f ) df
•con l’uguaglianza valida se A(f)=KB*(f) con K costante generica si ottiene:
j 2ft 0

H(f) da determinare in modo da
rendere massima questa quantità



j 2ft 0




S
f
H
f
e
df
i

H  f  df
2
2E

N0
SNRa 
2E
 SNRMF
N0
Il valore massimo possibile per SNRa dipende dalla
energia del segnale E e dalla densità spettrale del
rumore N0 ma non dalla forma del segnale.
Rumore - 24
2
Filtro adattato (III)
• La funzione di trasferimento del filtro adattato è data da:
H MF  f   KS i* ( f ) e  j 2ft 0
Il filtro pesa le diverse frequenze in
accordo con lo spettro del segnale utile
• La risposta impulsiva del filtro adattato è data da:
hMF t   Ks t 0  t 
*
i
Il filtro ha risposta impulsiva pari al segnale utile
coniugato, ribaltato e traslato di t0 affinchè il
filtro sia causale deve essere t0 .
• La componente utile di segnale all’uscita del filtro adattato è data da:
s o t  


s i  h MF t   d   K


 s i  s i   t 0  t d 
*

Il filtro ottimo realizza la autocorrelazione del segnale. so(t0)=KE: vero per ogni
segnale che transita attraverso il suo filtro adattato
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Rumore - 25

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