MATeXp – Nozioni di base
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Capitolo B11:
Insiemi finiti
Contenuti delle sezioni
a. Insiemi espliciti p.1 b. Insiemi esplicitabili e insiemi finiti p.6 c. Relazioni tra insiemi finiti p.12
d. Operazioni su insiemi finiti p.14 e. Oltre gli insiemi finiti p.19
B11:0.1 Gli insiemi finiti vengono qui introdotti come entit`a ottenibili da liste prive di componenti
ripetute prescindendo dall’ordine di presentazione delle componenti stesse. Per questi insiemi vengono
introdotte varie operazioni e relazioni che sono, rispettivamente, effettuabili e decidibili operando sulle
liste che rappresentano gli insiemi. Per le operazioni e per le relazioni sugli insiemi si trovano svariate
propriet`a esprimibili con formule di facile comprensione. Queste propriet`a e queste formule risultano
utili in una grande variet`a di contesti, sia per la matematica che per le sue applicazioni scientifiche e
pratiche.
Si fa inoltre osservare che gran parte delle propriet`a degli insiemi finiti valgono anche per insiemi di
altri generi che qui vengono solo accennati in termini intuitivi, ma che approfondiremo in momenti
successivi (B18, B19, B65).
B11:a. Insiemi espliciti
B11:a.01 Ci proponiamo di studiare come si possono effettuare elaborazioni di base sopra gli elenchi
di stringhe.
Per semplicit`a qui faremo riferimento solo ad elenchi di stringhe sopra un alfabeto primario A ed
⟨
⟩
organizzati mediante il separatore “,”, il delimitatore iniziale ” ” ed il delimitatore terminale ” ”;
assumiamo inoltre che questi tre segni ed un quarto con ruolo ausiliario che scriviamo ∼ non facciano
parte di A. I risultati ottenuti tuttavia valgono per qualsiasi tipo di elenchi di stringhe. I suddetti
elenchi di stringhe verranno qui chiamati “liste.
Ricordiamo che si pu`o stabilire facilmente il numero di componenti di una lista esprimendolo con una
stringa ausiliaria, ad esempio come sequenza di tacche.
Di conseguenza date due liste si pu`o decidere se hanno lo stesso numero di componenti, oppure se la
prima presenta pi`
u componenti della seconda o se viceversa ne presenta meno.
Ricordiamo (B10c03) che una lista iniettiva `e un elenco di stringhe privo di componenti ripetute e
osserviamo che, data una lista qualsiasi, si pu`o stabilire facilmente se presenta o meno ripetizioni e
che, qualora ne presenti, si pu`o ridurre ad una lista iniettiva attraverso una manovra che costituisce
un prevedibile arricchimento di quella che elimina da una stringa tutti i caratteri ripetuti.
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B11: Insiemi finiti
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Alberto Marini
B11:a.02 Introduciamo una manovra che chiamiamo ricerca di una permutazione: essa riguarda due liste
date L1 ed L2 che preliminarmente si sono accertate essere iniettive e costituite dallo stesso numero di
componenti.
Come manovra pi`
u comprensiva si organizza uno scorrimento sulle componenti di L1 ; secondariamente
per ciascuna delle dette componenti, che denotiamo con w, si scorrono le componenti di L2 alla ricerca
di una sua replica. Se la si trova si procede ad una nuova componente di L1 dopo aver marcato la
replica con il segno ∼; se non la si trova si conclude negativamente la ricerca.
L’algoritmo si conclude positivamente sse a ciascuna componente di L1 corrisponde una replica in L2 ,
negativamente sse almeno una componente di L1 non compare in L2 . Nel primo caso si dice che si ha
una permutazione fra le componenti di L1 e quelle di L2 .
Se inoltre alla fine della ricerca dell’iniezione si constata che ciascuna delle componenti di L2 corrisponde
ad una (ed una sola) componente di L1 si dice che le componenti di L1 cono sono in biiezione con le
componenti di L2 ed anche che sono in biiezione L1 ed L2 .
Una biiezione tra liste viene chiamata anche corrispondenza biunivoca o corrispondenza biiettiva.
Come vedremo le biiezioni si definiscono anche per oggetti pi`
u compositi delle liste di stringhe primarie
e in contesti pi`
u estesi dell’attuale. Tuttavia anche nella forma attuale esse sono sufficientemente ricche
di propriet`a e di conseguenze; vedremo che esse costituisce un caso di un importante genere di entit`a
chiamata relazione (v. in particolare B14: e B53:).
Si osserva che ogni lista L1 `e evidentemente in corrispondenza biunivoca con se stessa: a ciascuna
componente della (prima) lista si associa se stessa, ovvero la componente della seconda lista nella
stessa posizione. Questo rende lecito dire che la biiezione `e una relazione riflessiva (v.a. B14b08).
Si osserva poi che se L1 `e in biiezione con L2 , allora L2 `e in biiezione con L1 . Questo rende lecito dire
che la biiezione `e una relazione simmetrica (v.a. B14b09).
Infine se due liste L1 ed L2 sono in biiezione ed L2 `e in biiezione con una terza lista L3 , allora la ricerca
di una permutazione applicata ad L1 ed L3 non pu`o che avere successo, cio`e sono in biiezione anche
L1 e L3 . Questo rende lecito dire che la biiezione `e una relazione transitiva (v.a. B14b10).
Una relazione che goda delle propriet`a di riflessivit`a, simmetria e transitivit`a, come vedremo (v.
B14b11) viene detta relazione di equivalenza; la biiezione `e dunque una equivalenza.
B11:a.03 Una biiezione fra liste si pu`o presentare con un tono pi`
u “costruttivo” come un’operazione che
associa alle componenti di una data lista L1 iniettiva le componenti di una lista L2 che si `e appurato
essere con essa in biiezione. Questa operazione si pu`o descrivere come associazione ad ogni posizione
di componente su L1 di una posizione di componente su L2 ; questa associazione `e costruibile: ad ogni
componente di L1 risulta effettivamente associabile ad una e una sola componente di L2 , quella con la
quale coincide.
Questa associazione viene chiamata permutazione e due liste che sono in biiezione si dicono anche
equivalenti per permutazione.
Una permutazione pu`o descriversi anche come meccanismo che ad una posizione su L1 associa una
posizione su L2 .
Si dice permutazione di un elenco iniettivo ogni elenco ottenuto trascrivendo tutte e sole le sue stringhe in
un ordine qualsiasi: ⟨x, v, w, u⟩ `e una permutazione di ⟨u, v, w, x⟩. Per generalit`a tra le permutazioni
di ⟨u, v, w, x⟩ va considerata anche la stessa ⟨u, v, w, x⟩.
Dalla definizione segue subito che ogni elenco ottenuto permutando le stringhe di un primo elenco
iniettivo non pu`o presentare stringhe ripetute e quindi `e anch’esso un elenco iniettivo.
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B11: Insiemi finiti
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Una collezione di tutti gli elenchi ottenibili come permutazioni di un dato elenco iniettivo si dice classe
di liste iniettive equivalenti per permutazione.
Un esempio di classe di elenchi iniettivi equivalenti per permutazione, `e quella costituita da
⟨Chico, Groucho, Harpo⟩, ⟨Chico, Harpo, Groucho⟩, ⟨Groucho, Chico, Harpo⟩, ⟨Groucho, Harpo, Chico⟩,
⟨Harpo, Chico, Groucho⟩, ⟨Harpo, Groucho, Chico⟩.
Evidentemente non si pu`o dare nessun’altra lista `e equivalente per permutazione alle precedenti: infatti ciascuna delle componenti compare in due liste in ciascuna delle tre posizioni e queste due liste
presentano in ordini diversi le due componenti rimanenti.
si osserva che gli elenchi precedenti presentano le componenti in ordine alfabetico e che le diverse liste
possono servire per stabilire tutti i diversi possibili ordinamenti fra le componenti stesse.
Dato un elenco iniettivo, come vedremo pi`
u oltre, si dispone di un algoritmo che consente di generare
tutti gli elenchi iniettivi suoi permutati, cio`e ad esso equivalenti per permutazione.
Segnaliamo infine che le permutazioni di date stringhe mutuamente diverse e quindi le permutazioni
di dati oggetti diversi quale che sia la loro natura (sempre identificabili mediante stringhe differenti)
servono allo studio delle simmetrie vuoi riguardanti oggetti reali, vuoi concernenti entit`a astratte; esse
risultano tra le entit`
a pi`
u importanti della matematica, sono ampiamente studiate e servono ad una
grande variet`
a di problemi interni alla matematica o relativi a sue applicazioni.
B11:a.04 Sulle classi di liste iniettive equivalenti per occorrenza si potrebbero sviluppare varie considerazioni, introducendo relazioni ed operazioni che li riguardano e dimostrando loro propriet`a. Questo,
per`o, porterebbe ad una esposizione piuttosto verbosa: per rendere i discorsi pi`
u concisi e chiari conviene introdurre il termine che segue.
Diciamo insieme esplicito ogni classe di elenchi iniettivi equivalenti per occorrenza.
Diciamo elemento di un insieme esplicito ogni stringa che si trova comparire in uno dei suoi elenchi
iniettivi, e quindi in ciascuno di essi. Si dice anche che un tale stringa appartiene all’insieme.
Abbiamo dunque introdotto un’entit`
a che identifica una classe di entit`a note in precedenza e caratterizzate da rilevante omogeneit`a: un’operazione di questo genere la effettueremo ancora varie volte e la
chiamiamo soggettizzazione collettivizzante.
Questa sorta di unificazione di elenchi si accorda con il fatto che nella pratica ben raramente si usano
tutti gli elenchi di una classe di equivalenza per permutazione; spesso se ne usa uno solo scelto secondo
criteri di praticit`a e di abitudine; al pi`
u se ne utilizzano due o tre scelti secondo criteri diversi che
presentino vantaggi parziali. Queste scelte comportano anche diversi ordinamenti tra le componenti,
ovvero tra gli elementi. Ad esempio trattandosi di persone con determinate caratteristiche (consumatori, simpatizzanti, abbonati, aventi diritto a un voto, ...) si potrebbero preferire un ordine alfabetico,
oppure un ordine di iscrizione, oppure un ordine di anzianit`a o altro. Trattandosi di localit`a potrebbero
essere convenienti, oltre all’ordine alfabetico, l’ordine dato dalla popolazione decrescente, un ordine
geografico, o un ordine dato da un parametro di qualit`a della vita.
B11:a.05 Per ottenere una certa confidenza intuitiva e immaginativa con questi argomenti pu`o essere
utile associare mentalmente ad ogni insieme esplicito S un contenitore materiale per le stringhe che gli
appartengono, in modo da distogliere l’attenzione dai molti elenchi che, secondo la definizione data,
costituiscono S. L’appartenenza di un elemento ad un insieme esplicito pu`o quindi essere dichiarata
“fatto pi`
u sostanziale” della manovra su stringhe che consente di verificare che una stringa compaia in
un particolare elenco.
L’individualit`
a e la utilizzabilit`a degli insiemi espliciti e di altre entit`a che introdurremo tra breve
(v. :b, B18: e B19:) e che presentano caratteristiche tanto simili da indurre ad usare anche per
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loro il termine “insieme” vengono rafforzate, per quanto riguarda la facilit`a di presentarli e di pensarli
secondo schemi intuitivi, con l’introduzione di un esteso repertorio di notazioni specifiche. Innanzi tutto
l’insieme associato ad un elenco come ⟨alfa, beta, gamma⟩ ed agli altri cinque ottenuti permutando le
tre stringhe conveniamo di denotarlo con la scrittura {alfa, beta, gamma}.
Dal significato attribuito a questo geere di definizione evidentemente segue che
{alfa, beta, gamma} = {alfa, gamma, beta} = {beta, alfa, gamma}
= {beta, gamma, alfa} = {gamma, alfa, beta} = {gamma, beta, alfa} .
` facile convincersi che in molti brani espositivi `e opportuno individuare stringhe, elenchi,
B11:a.06 E
insiemi espliciti e altri scritture composite rimpiazzandoli con simboli semplici; a questa convinzione
pu`o contribuire anche il prolisso periodo precedente.
Servendoci della sostituzione invertibile Sost[alfa, beta, gamma][α, β, γ] avremmo le uguaglianze
{α, β, γ} = {α, γ, β} = {β, α, γ} = {β, γ, α} = {γ, α, β} = {γ, β, α}. Una concisione ancora maggiore si ottiene sostituendo gli elenchi di lettere greche con le equivalenti stringhe: αβγ = αγβ =
βαγ = βγα = γαβ = γβα. Che la precedente relazione riguardi scritture relative ad insiemi per`o
richiede la segnalazione che si `e adottata una abbreviazione specifica, non generale ma locale, ovvero
temporanea. Un’abbreviazione come la precedente costituisce un esempio di notazione locale o notazione
temporanea. Come vedremo, molti brani espositivi sono resi pi`
u concisi ed efficaci da buone notazioni
e da convenzioni locali indovinate, cio`e agevoli da condividere.
Queste pratiche sono rese possibili dal fatto che le sostituzioni invertibili collegano liste iniettive equivalenti per permutazione e stabiliscono corrispondenze biunivoche fra stringhe che si estendono a corrispondenze biunivoche fra elenchi ed enunciati e dal fatto che queste consentono esposizioni equivalenti.
Si possono avere esposizioni equivalenti o quasi equivalenti riconducibili a trasformazioni pi`
u complesse.
Come avremo modo di notare nel seguito, la possibilit`a di scegliere fra esposizioni sostanzialmente
equivalenti redatte in modo da differire nel livello di concisione/esplicitazione, spesso porta notevoli
vantaggi nella terminologia, nelle notazioni, negli algoritmi e nelle relative implementazioni (software)
.
Date due liste iniettive della stessa lunghezza, ad esempio ⟨α, β, γ, δ⟩ e ⟨alf a, beta, gammadelta⟩, `e
individuato l’insieme delle coppie
⟨
⟩
⟨α, alf a⟩, ⟨⟨β, beta⟩, ⟨⟨γ, gamma⟩, ⟨⟨δ, delta⟩ .
Un tale insieme viene detto corrispondenza biunivoca tra l’insieme ⟨α, β, γ, δ⟩ .
B11:a.07 Ancora nell’ottica della prassi della comunicazione, risulta in genere molto utile individuare
un insieme esplicito specifico o generico con un simbolo o con una scrittura apposita; per gli insiemi
espliciti, come per gli insiemi che incontreremo in seguito, spesso si preferisce usare lettere maiuscole.
Se un insieme esplicito si denota con il simbolo S, adottiamo scritture della forma e ∈ S e E ∈ S per
indicare, rispettivamente, che l’entit`
a denotata dal simbolo e e quella individuata dall’espressione E
sono elementi di S.
Le precedenti scritture possono leggersi “l’entit`a e espressa da E appartiene all’insieme S”.
Denotiamo con L un elenco iniettivo e con S l’insieme esplicito di cui L pu`o considerarsi una rappresentazione scritta. La manovra volta a decidere se una stringa s compare in L svolge il ruolo di
procedura che consente di decidere l’appartenenza o meno all’insieme S dell’entit`a rappresentata da s.
B11:a.08 Abbiamo visto, e vedremo spesso pi`
u avanti, insiemi di oggetti semplici ed omogenei come
insiemi di caratteri tipografici insiemi chiamati alfabeti), di stringhe e di numeri.
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B11: Insiemi finiti
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Quando si d`a inizio a uno sviluppo matematico-elaborativo, volendo essere formalmente completi, si
deve definire l’alfabeto sul quale sono costruite le stringhe e le espressioni che verranno usate distinguendo i diversi ruoli dei caratteri. Dichiarazioni analoghe si fanno all’inizio della presentazione dei
linguaggi di programmazione.
Nello studio della matematica e delle computazioni si incontrano vari alfabeti di rilievo; in particolare
vengono usati l’alfabeto greco, l’alfabeto latino di 26 lettere maiuscole e di altrettante minuscole,
l’alfabeto delle cifre decimali, l’alfabeto dei caratteri ASCII di base, l’alfabeto del codice multilingue
Unicode (v. http://www.unicode.org/). In effetti accade in molti contesti di parlare di stringhe su
un dato alfabeto; in particolare la citazione di un alfabeto specifico avrebbe potuto chiarire alcune frasi
in B10: .
Incontreremo anche insiemi di oggetti pi`
u compositi ed elaborati come insiemi di sequenze, di insiemi,
di funzioni, di strutture, di equazioni, di assiomi, di espressioni, di propriet`a, ... .
Oltre al termine insieme si usa come suo sinonimo il termine aggregato e spesso si trova comodo
usare il conciso termine inglese set. Quando si parla di insiemi con determinate caratteristiche, per
fare riferimento all’insieme di tali insiemi preferiremo servirci del termine collezione di insiemi. Per
qualificare un insieme entro il quale si collocano interi discorsi articolati useremo spesso il termine
ambiente e talora il termine universo. Inoltre incontreremo altri termini quasi sinonimi di insieme:
famiglia, classe e sistema.
Osserviamo che oltre agli insiemi di elementi omogenei, nulla vieta di considerare insiemi arbitrariamente disomogenei; un esempio
{π, x + e−x , 2 π Z, Sost(a, a; b, bi; c, ci; d, di; e, e; f, ef f e; g, gi; h, acca)} .
Questi per`o in genere risultano poco utili e destano poco interesse.
B11:a.09 Tra gli insiemi espliciti occorre includere anche l’insieme vuoto, entit`a che si denota con ∅
e si definisce come l’insieme rappresentato dall’elenco vuoto ⟨⟩; a tale insieme non appartiene alcun
elemento. L’insieme vuoto quindi si pu`o anche individuare con {}. Questa entit`a potrebbe apparire
bizzarra, ma in realt`a, come la stringa muta ed il numero 0, risulta estremamente utile per presentare
in modo preciso e chiaro numerose situazioni di indubbio interesse: in effetti il segno ∅ lo incontreremo
in molte formule.
Spesso si incontrano insiemi costituiti da un solo elemento come {7} o {a}; in inglese sono chia{
}
mati singletons; qui li chiameremo singoletti. Sono singoletti anche {∅}, {u, v, w} , {stringa} e
{⟨Dante, Petrarca, Boccaccio⟩}. Spesso si pu`o confondere un singoletto con l’elemento che lo costituisce senza incorrere in sostanziali ambiguit`a.
Per gli insiemi con 2, 3, 4, ... elementi useremo, rispettivamente, i termini duetto, trio, quartetto,
quintetto, ... . Osserviamo che questi denotano entit`a diverse, rispettivamente, da quelle chiamate
coppia, terna, quaterna, quintupla, ... ).
{
} {
} {
}
Osserviamo anche che gli insiemi espliciti {a, b}, a, {b} , {a}, b e {a}, {b} sono tutti diversi.
{
}
{
}
Nell’insieme a, {b} e nell’insieme {b}, a le entit`a a e b hanno ruoli diversi, come nella coppia
⟨a, b⟩, diversa dalla ⟨b, a⟩: in effetti gli insiemi {a, {b}} = {{b}, a} e {b, {a}} = {{a}, b} risultano
informativamente equivalenti alle coppie ⟨a, b⟩; similmente la scrittura {a, {b}, {{c}}} pu`o considerarsi
equivalente alla {a, {b, {c}}}, alla {a, ⟨b, c⟩}, alla ⟨a, ⟨b, c⟩⟩ e alla ⟨a, b, c⟩ .
Per considerazioni generali risulta spesso utile fare riferimento ad un insieme esplicito i cui elementi si
lasciano imprecisati e che si individuano con lettere che hanno il ruolo di identificatori generici.
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Per indicare un generico insieme esplicito di pi`
u elementi talora `e preferibile una notazione della forma
{a, b}, {a, B, C} o {α, β, γ, δ}, talaltra una notazione che si serve di lettere dotate di pedici, come
{a1 , a2 }, {a1 , A2 , A3 } o {α1 , α2 , α3 , α4 }. Per individuare l’insieme associato ad un generico elenco
iniettivo con un numero generico n di componenti introdotto con la scrittura di n-upla ⟨e1 , e2 , ..., en ⟩,
si usa la scrittura {e1 , e2 , ..., en }. Un tale insieme viene detto n-upletto (termine chiaramente diverso
da n-upla). Se si lascia indefinita la lunghezza n si parla di multipletto.
B11:a.10 Si dice cardinalit`a, numerosit`a, potenza o numero degli elementi di un insieme esplicito il numero che fornisce la lunghezza di una (e quindi di ciascuna) delle liste (sequenze di stringhe) che lo
rappresentano.
La cardinalit`a dell’insieme vuoto `e zero; tutti gli altri insiemi espliciti hanno come cardinalit`a un
intero positivo; la cardinalit`a dei singoletti `e 1, quella dei duetti `e 2, quella dei trii `e 3, ..., quella degli
n-upletti `e n.
La cardinalit`a dell’insieme esplicito individuato dal simbolo o dalla espressione S si indica con
Card(S), con |S|, con #(S) o con S # . Si ha quindi {alfa, beta, gamma} = 3; gi`a abbiamo
individuato la manovra che dalla precedente scrittura ottiene la stringa unadica
. Un altro
trio `e {Gilgamesh, No`
e, Deucalione e Pirra}. Scritture come {Ren´e Clair, Ren´e Chaumette} e
{YvesMontand, IvoLivi} invece potrebbero essere considerate espresssioni di singoletto.
B11:a.11 La cardinalit`a fornisce una indicazione dell’estensione di un insieme esplicito spesso molto
utile. In genere la determinazione della cardinalit`a di un insieme porta una conoscenza vantaggiosa,
in quanto pu`o fornire la base di scelte efficaci sul piano operativo e oculate sul piano pratico.
In particolare potrebbe essere utile attribuire a insiemi complessi delle cardinalit`a approssimate: risulterebbe lecito affermare che gli italiani sono 60 milioni, e che le molecole dell’universo sono 106 5.
Lo studio delle cardinalit`a degli insiemi espliciti che si incontrano nelle costruzioni formali, nei procedimenti elaborativi ed in molti problemi applicativi costituisce la cosiddetta problematica della enumerazione: essa costituisce uno dei temi di maggior rilievo della matematica odierna e trova importanti
applicazioni in settori come il calcolo scientifico e tecnologico, la statistica, la teoria della probabilit`a, la
ricerca operativa, l’ingegneria del software, la tecnologia delle basidati, le telecomunicazioni, la chimica
combinatoria e la biologia molecolare. Nel seguito affronteremo molti problemi di enumerazione.
B11:b. Insiemi esplicitabili e insiemi finiti
B11:b.01 La definizione data degli insiemi espliciti, presa alla lettera, richiede la disponibilit`a di un
elenco dei suoi elementi. Questa disponibilit`a, essenziale in gran parte delle attivit`a con obiettivi pratici
specifici, pu`o costituire un appesantimento poco utile per le considerazioni e le analisi con fini generali,
volte a fornire indicazioni di larga portata sulle elaborazioni che possono essere eseguite effettivamente.
Per queste analisi servono nozioni di insieme pi`
u versatili e pi`
u aperte alla potenzialit`a.
Diciamo quindi insieme esplicitabile una entit`
a per la quale si pu`o “fornire una garanzia sufficientemente
condivisibile” della possibilit`a di costruire un elenco iniettivo (finito) di stringhe che lo rappresenti.
` quindi lecito applicare agli insiemi esplicitabili tutte le costruzioni, le definizioni, le notazioni inE
trodotte per gli insiemi espliciti, pur di interpretare alcune nozioni in termini di “potenzialit`a operativa”. Con la stessa avvertenza, inoltre, si pu`o cercare di utilizzare ciascuno dei risultati ottenuti.
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B11: Insiemi finiti
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MATeXp – Nozioni di base
Per soddisfare molte richieste di utilizzo effettivo di un particolare insieme esplicitabile E risulta
necessario costruire concretamente un suo elenco, oppure fornire un procedimento in grado di produrre
questo elenco. Per altri utilizzi invece risulta sufficiente una procedura meno incisiva ma che richiede
meno risorse la quale in un numero finito di passi sappia decidere se un oggetto individuato in un modo
simile a quello che ha consentito di ottenere gli elementi di E appartenga effettivamente ad E o meno.
B11:b.02 Presentiamo ora degli esempi di insiemi esplicitabili, anche al fine di chiarire alcune locuzioni
usate nella definizione (“fornire una qualche garanzia”, “in termini di potenzialit`a”) precedentemente
adottati facendo ricorso alla mera intuizione.
La distinzione fra insiemi espliciti ed insiemi esplicitabili `e importante quando occorre essere precisi
nei confronti delle conoscenze effettivamente disponibili per finalit`a specifiche.
Vi sono insiemi esplicitabili per i quali `e facile dimostrare che l’elencazione esplicita degli elementi `e
possibile in linea di principio, ma risulta estremamente impegnativo e costoso costruirla effettivamente.
Un primo esempio da considerare `e quello dell’insieme S degli interi positivi minori o uguali di 1020 ; un
procedimento per scriverli tutti in sequenza `e banale, ma la sua esecuzione con un computer odierno
richiederebbe intorno a 300.000 anni. Se questo elenco fosse necessario per risolvere un problema di
una certa urgenza, S non si potrebbe considerare esplicitabile (a meno di considerare la possibilit`a
di accelerare la costruzione dell’elenco mediante l’uso di un milione di computers che procedono in
parallelo per soli tre mesi o di far conto sulla futura disponibilit`a di computers quantici che mantengono
le promesse degli attuali sostenitori di questi progetti. Tuttavia si pu`o pensare che un problema pratico
non richieda la disponibilit`a materiale dell’elenco, ma solo qualche sua prestazione, ad esempio la
possibilit`a di decidere se una certa scrittura binaria esprima uno degli interi di S, problema risolvibile
facilmente. In tal caso S si pu`o ritenere esplicitabile.
Un altro esempio `e costituito dall’insieme dei fattori primi (v. B12c02) di un intero espresso da
alcune centinaia di cifre decimali: questo insieme, in linea di principio, `e completamente determinato
ed esplicitabile, ma la sua effettiva elencazione, allo stato attuale delle conoscenze sui numeri interi,
richiederebbe migliaia di anni di calcoli anche con gli elaboratori pi`
u potenti attualmente disponibili o
in via di realizzazione. Quando si studia un problema che richiede l’effettiva conoscenza dei suddetti
fattori primi non `e sensato considerare che loro insieme sia esplicitabile.
B11:b.03 In molte applicazioni si trattano insiemi costituiti da un numero finito, ma molto elevato,
di stringhe di natura empirica, non dominabili con strumenti prettamente matematici, cio`e con propriet`a, procedimenti e metodi di ampia portata e retti da precise regole logiche. Per le comunicazioni
internazionali servono decine di migliaia di simboli, per le attivit`a amministrative di una nazione o
di una azienda multinazionale si trattano milioni di indicazioni anagrafiche, per il funzionamento del
Web si opera su centinaia di milioni di URL (Uniform resource locators). Gli elenchi accennati, forse
con la sola eccezione del primo, risultano onerosi da maneggiare e molti cambiano nel tempo a ritmi
vorticosi. Questi elenchi quindi richiedono procedimenti e dispositivi specifici che operano sulle loro
rappresentazioni: archivi, cataloghi, repertori, ... . Queste rappresentazioni nel passato (in realt`a solo
fra i secoli XVI e XX) risiedevano prevalentemente su carta, mentre oggi risiedono sempre pi`
u spesso
su supporti digitali organizzati da opportune procedure in files.
Gli elementi di questi insiemi spesso non sono disponibili in singoli elenchi espliciti ma sono reperibili
in elenchi distribuiti, sottoposti a frequenti aggiornamenti, in parte incerti e in genere sono accessibili attraverso sistemi informatici piuttosto complessi. I relativi insiemi vanno comunque considerati
esplicitabili in una versione momentanea.
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B11:b.04 Quando si studiano propriet`a matematiche generali o si definiscono manovre applicative di portata piuttosto generale , risulta spesso necessario individuare un insieme esteso come
insieme di oggetti che ubbidiscono a regole definite o che godono di propriet`a definite. Ad es.
l’insieme dei comuni italiani viene individuato molto pi`
u concisamente dalla precedente espressione
sottolineata che dal relativo elenco esplicito che richiede oltre 8000 stringhe che costituiscono le loro
denominazioni ufficiali.
Naturalmente per molte applicazioni pratiche e nelle circostanze che richiedono di evitare dubbi sui
dettagli, l’elenco esplicito risulta indispensabile e non pu`o ricavarsi dalla sola definizione concisa.
Questo si verifica ad es. per la normativa e le elaborazioni riguardanti una consultazione elettorale:
per l’insieme degli aventi diritto al voto fanno fede le liste elettorali.
B11:b.05 Per molte argomentazioni di portata generale in effetti risulta opportuno prescindere dalla
onerosit`a delle elaborazioni richieste dalle costruzioni effettive. In tali circostanze `e opportuno rinunciare a distinguere fra insiemi espliciti ed esplicitabili ma parlare comprensivamente di insiemi finiti.
Occorre quindi procedere ad introdurre notazioni e termini riguardanti gli insiemi finiti. Nel paragrafo
successivo introdurremo le principali operazioni e relazioni fra insiemi finiti al fine di stabilire loro
propriet`a generali. Accade inoltre che queste nozioni ed i conseguenti risultati sono in gran parte
applicabili anche ad entit`
a che non sono gli insiemi finiti ma hanno caratteristiche tali da rendere opportuno applicare anche ad essi il termine “insiemi”. Nel far questo ci limitiamo a poche osservazioni
sul costo delle elaborazioni che le costruzioni definite implicherebbero.
B11:b.06 In genere gli insiemi finiti che si trattano sono costituiti da oggetti di “natura ben determinata”, ovvero da oggetti ottenibili con costruzioni di un tipo ben determinato. Ad esempio vengono
considerati insiemi di interi naturali, di stringhe sopra un dato alfabeto, di persone residenti in una
certa citt`a, di prodotti facenti parte di un catalogo, ... . In particolare si trattano insiemi di oggetti
scelti con un determinato criterio tra gli elementi di un insieme esplicito o esplicitabile tendenzialmente ben definito che pu`o essere molto esteso. Uno di questi insiemi entro i quali sieffettuano scelte
viene chiamato ambito o ambiente e si dice che si trattano gli oggetti appartenenti a un dato ambiente.
All’interno dei discorsi nei quali si trattano solo elementi di un unico ambiente, per questo insieme si
usa anche il termine universo.
L’insieme delle entit`
a facenti parte di un dato ambiente e soddisfacenti una data propriet`a si denota
con una scrittura della forma {x ∈ U t.c. P(x)} o con la equivalente {x ∈ U P(x)} , con le quali si
dice che si considerano oggetti il cui generico esemplare si denota con il segno x, i quali appartengono
all’ambiente o universo U e che inoltre soddisfano la propriet`a individuata da una espressione sufficientemente interpretabile P; i simboli “ t.c. ” e “ ” possono leggersi, rispettivamente, come “tale che” e
come “such that”.
In una definizione generica come quella della frase precedente la scrittura P(x) `e solo una indicazione
generica. in una definizione specifica P(x) pu`o essere una espressione nella quale oltre alla lettera x
intervengono: caratteri e stringhe con i ruoli di separatori e delimitatori per l’espressione, segni di
operazioni e relazioni di uso generale (come quelli gi`a introdotti ·, ← , +, ℓ, ≤, ... e come i molti altri
che definiremo per i quali rinviamo al fascicolo 007:), costrutti che determinano entit`a pi`
u complesse
e segni introdotti in precedenza per denotare costruzioni ed entit`a oggetti di precedenti definizioni
specifiche. Incontreremo molte scritture della forma {x ∈ U t.c. P(x)} che cerchiamo di rendere
efficaci e versatili.
Con espressioni di questo tipo si possono tradurre frasi come insieme dei nomi dei comuni italiani
inizianti con la lettera L o insieme dei nomi inglesi dei naturali inferiori a 100 costituiti da meno di 9
8
B11: Insiemi finiti
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MATeXp – Nozioni di base
lettere.
B11:b.07 Osserviamo che a questo punto ai termini regola e propriet`a con i quali abbiamo introdotti i
modi concisi per individuare insiemi esplicitabili, possiamo attribuire solo una attendibilit`a di prospettiva e fiduciaria. Nei prossimi discorsi potremo precisare che alcuni enunciati concernenti entit`a chiaramente introdotte costituiscono regole o propriet`a accettabili, ma non saremo in grado di dare indicazioni
generali per individuare un insieme delle propriet`a. Spesso proporremo di far ricorso all’intuizione.
Dobbiamo anche osservare che gli ambienti invocati per introdurre le notazioni per insiemi caratterizzati da propriet`a, a questo punto non possono essere che insiemi finiti, altri insiemi non essendo stati
introdotti. Questa limitazione, come vedremo, costituisce una limitazione che andr`a superata. Un
sentore della accennata inadeguatezza degli ambienti finiti si ha considerando modi di esprimere propriet`a degli interi naturali, ad esempio propriet`a di divisibilit`a; il rispetto della finitezza condurrebbe
ad insiemi soggetti a limitazioni sterili e fastidiose; ad esempio si dovrebbe affermare che le scritture
decimali dei naturali pari ed inferiori a 1 000 000 devono concludersi con 0, 2, 4, 6 o 8.
Altri tipi di insiemi verranno introdotti e sviluppati gradualmente: dopo gli insiemi finiti, in B18:
introdurremo insiemi generati da procedure e pi`
u avanti (B42:, B65:) parleremo di insiemi da trattare
in modo pi`
u astratto servendosi delle argomentazioni piuttosto impegnative della logica matematica.
Contemporaneamente procederemo a chiarire le nozioni di regola e di propriet`a.
Ora proseguiremo presentando insiemi definiti mediante regole, propriet`a o espressioni per le quali si
trova un ampio accordo sulla effettiva possibilit`a di costruire senza difficolt`a di principio precisi elenchi
espliciti corrispondenti. Per questi insiemi esplicitabili introdurremo costruzioni e propriet`a che in gran
parte varranno anche per gli insiemi pi`
u generali che introdurremo in seguito.
B11:b.08 Nella matematica e nella elaborazione dei dati accade di precisare costruzioni diverse volte a
definire diversi insiemi le quali successivamente confluiscono in sviluppi e conclusioni comuni. In questi
casi pu`o rendersi necessario essere precisi e circostanziati nella definizione degli ambiti. Spesso per`o
certe lunghe precisazioni risultano tediose e per avere esposizioni leggibili ed efficaci (non dispersive) si
rende opportuno raggiungere dei compromessi fra precisione e concisione. Con opportune scelte delle
notazioni cercheremo di evitare di essere troppo verbosi e di essere precisi quanto basta per evitare
ambiguit`a sostanziali ad un lettore in grado di avvalersi del contesto.
In particolare spesso l’indicazione dell’ambiente si pu`o lasciare implicita e si pu`o usare una scrittura del
tipo {x t.c. P(x)}: in un contesto specifico l’ambiente potrebbe essere sottinteso in quanto si parla,
ad es., solo di numeri interi o solo di figure piane.
In certi casi l’espressione P(x) consente di individuare in modo convincente l’insieme nel quale si deve
trovare l’entit`
a denotata con la stessa x.
Talora per`o la P(x) viene espressa descrivendo, eventualmente in modo discorsivo, un meccanismo o
una costruzione che consente di decidere se per un particolare x vale o meno una propriet`a.
Conviene anche notare subito che la richiesta che l’ambiente U sia un insieme esplicito o esplicitabile
si rivela una limitazione eccessiva per molte applicazioni: essa va quindi superata, e di questo ci
preoccuperemo tra poco introducendo altri tipi di insiemi.
B11:b.09 Un altro tipo di espressione utile alla definizione di insiemi ha la forma {x ∈ X :| E(x)} nella
quale X `e un insieme esplicito o esplicitabile (o d’altro genere) precedentemente definito ed E(x) denota
una espressione nella quale compaiono segni e costrutti noti e che per ogni x ∈ X consente di individuare
un ben determinato oggetto che viene a far parte dell’insieme che si sta definendo. Alternativamente
E(x) denota la descrizione di una costruzione o di un meccanismo in grado di trasformare ogni x ∈ X in
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B11: Insiemi finiti
9
Alberto Marini
un oggetto che va assegnato all’insieme in via di definizione. Nei casi meglio interpretabili la scrittura
x ∈ X suggerisce naturalmente un procedimento di scorrimento di un elenco X e la E(x) individua una
procedura di generazione di stringhe esprimenti gli oggetti dell’insieme da definire. Una definizione
come la precedente talora si pu`o associare ad un meccanismo che legge da un nastro di input le
successive stringhe x dell’elenco X ed emette ordinatamente su un nastro di output le corrispondenti
stringhe E(x) da collocare nell’insieme.
Un tipo di espressione utilizzato spesso `e la variante del precedente della forma {E(x) |: x ∈ X}; entrambi si possono leggere come insieme degli oggetti forniti dalla costruzione data da E(x) al variare di
x in X. La prima forma `e un po’ preferibile soprattutto nei casi in cui si associa a procedimenti costruttivi effettivi per i quali conviene avere subito presenti gli oggetti noti da utilizzare per la costruzione
degli oggetti che si definiscono.
B11:b.10 Nella convinzione che sia utile disporre di un buon sistema di espressioni costruttive, introdurremo varie notazioni specifiche per insiemi a cui spesso accade di fare riferimento.
Iniziamo con alcuni insiemi espliciti di stringhe individuati da meccanismi che consentono di generare
in un certo ordine i loro elementi.
Data una stringa u, `e facile costruire l’elenco dei suoi prefissi: si tratta di riprodurla pi`
u volte arre`
standosi dopo 0, 1, 2, ..., ℓ(u) caratteri. E opportuno introdurre una notazione specifica per il loro
insieme, Pfx(u). Ad es. Pfx(abcd) = {µ, a, ab, abc, abcd}.
Per la cardinalit`a di tale insieme si trova subito la formula enumerativa |Pfx(u)| = ℓ(u) + 1.
Considerazioni del tutto simili si possono ripetere per l’insieme dei suffissi di u che indichiamo Sfx(u);
anche per esso Sfx(u) = ℓ(u) + 1. Ad es. Sfx(abcde) = {µ, e, de, cde, bcde, abcde}.
Una manovra un po’ pi`
u complicata consente di elencare gli infissi di una parola qualsiasi. Per questo
insieme, dopo aver considerata la µ, si pu`o procedere per fasi successive nelle quali si elencano gli infissi
che iniziano con il suo primo, secondo, ... carattere; nella fase relativa alla generica posizione iniziale
i > 0 si elencano gli infissi delle successive lunghezze 1, 2, ... ; occorre anche per ogni nuova occorrenza
di infisso controllare di non introdurre nel nastro di uscita una componente ripetuta.
In tal modo, ad es., per gli infissi di ababba si ottiene l’elenco µ, a, ab, aba, abab, ababb, ababba, b,
ba, bab, babb, babba, abb, abba, bb, bba.
(1) Eserc. Dimostrare le formule che consentono di ricondurre lo studio dei prefissi di una qualsiasi
stringa u a quello dei suoi suffissi o viceversa
Sfx(u) = {v ∈ Pfx(u← ) :| v ← }
e
Pfx(u) = {v ∈ Sfx(u← ) :| v ← } .
B11:b.11 Introduciamo gli intervalli di interi naturali.
Se h e k sono interi naturali, introduciamo:
[h : k] per l’insieme dei naturali n t.c. h ≤ n ≤ k, intervallo chiuso delimitato da h e k;
(h : k) per l’insieme dei naturali n t.c. h < n < k, intervallo aperto delimitato da h e k;
(h : k] per l’insieme dei naturali n t.c. h < n ≤ k, intervallo aperto a sinistra [e chiuso a destra]
delimitato da h e k;
[h : k) per l’insieme dei naturali n t.c. h ≤ n < k, intervallo [chiuso a sinistra e] aperto a destra
delimitato da h e k.
Si osservi che, se h > 0 e k > 0 si ha [h : k] = (h − 1 : k + 1) = [h : k + 1) = (h − 1 : k] .
10
B11: Insiemi finiti
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MATeXp – Nozioni di base
Di [h : k] i naturali h e k si dicono, rispettivamente, estremit`a sinistra o inferiore ed estremit`a destra o
superiore.
Talora sono utili le seguenti notazioni abbreviate:
[k] := [0 : k] = {0, 1, 2, ..., k};
(k] := (0 : k] = {1, 2, ..., k};
(k) := (0 : k) = {1, 2, ..., k − 1};
[k) := [0 : k) = {0, 1, 2, ..., k − 1}.
Osserviamo che le notazioni precedenti si possono usare anche per insiemi che risultano vuoti. Infatti
si trova:
[h : k] = ∅ ⇐⇒ h > k; quando invece h < k, [h : k] = k − h + 1.
(h : k) = ∅ ⇐⇒ h ≥ k − 1; se invece h < k − 1, (h : k) = k − h − 1.
(h : k] = ∅ ⇐⇒ [h : k) = ∅ ⇐⇒ h ≥ k; se invece h < k, (h : k] = [h : k) = k − h.
[k] ̸= ∅ per ogni k naturale e [k] = k + 1.
(k] = ∅ ⇐⇒ [k) = ∅ ⇐⇒ k = 0; per la cardinalit`a per ogni k naturale si ha (k] = [k) = k.
(k) = ∅ ⇐⇒ k < 2; se invece 2 ≤ k, (k) = k − 1.
B11:b.12 Nelle espressioni della forma {x ∈ U t.c. P(x)} la scrittura P spesso esprime una propriet`a
selettiva da soddisfare ed auspicabilmente suggerisce un meccanismo che per ogni elemento x ∈ U
consente di decidere se la propriet`a `e soddisfatta e quindi se x appartiene all’insieme. Si possono
prospettare due approcci: (i) generare tutti gli elementi x ∈ U e stabilire per ciascun x se vale o meno
l’enunciato P(x); (ii) trovare un criterio che permette di generare in un certo ordine tutti e soli gli
elementi x di U . Il primo approccio pu`o essere un po’ pedestre, ma `e spesso praticabile; il secondo
richiede la conoscenza di un criterio che potrebbe rivelarsi tutt’altro che semplice da individuare. Il
primo approccio si pu`o adottare per costruire l’elenco degli interi espressi in forma decimale (v.o.)
da tre cifre la cui somma `e minore di 10, {100, 101, ..., 108, 110, ..., 117, 120, ..., 801, 810, 900}: infatti
`e semplice generare le scritture decimali di tre cifre x degli interi compresi fra 100 e 999 ed `e facile
verificare la P(x) per ciascuna di tali scritture.
Procedendo in questo modo si devono generare tanti numeri che successivamente finiscono scartati.
Un criterio che dopo un numero accettabile porti al suo successivo non `e semplicissimo. In questo
caso pu`o convenire un approccio intermedio, di compromesso fra studio ed esecuzione, consistente
nel saltare intervalli di interi facili da delimitare e palesemente inaccettabili. Un tale atteggiamento
compromissorio spesso consente soluzioni accettabili (ad es. la rapida messa a punto di sottoprogrammi
di efficienza ragionevole, anche se non dimostrata ottima).
In genere se l’insieme S = {x ∈ U t.c. P(x)} ha un numero di elementi molto minore dell’ambiente
U nel quale si ci si deve collocare (ad esempio l’insieme delle permutazioni di n interi `e un piccolo
sottoinsieme delle corrispondenti disposizioni con ripetizioni (B13e07)), la generazione dell’ambiente
seguita dalla selezione risulta molto inefficiente e pu`o essere opportuno dedicare tempo alla ricerca di
procedimenti di generazione dei soli elementi di U che appartengono ad S.
B11:b.13 Occorre rilevare che si possono incontrare presentazioni di insiemi della forma
{x ∈ U t.c. P(x)}
che si servono di propriet`a espresse con semplicit`a ed apparentemente semplici, ma tali che risulti molto
oneroso costruire l’elenco degli elementi, almeno in certe circostanze, cio`e quando si padroneggiano solo
determinati schemi generali, determinate tecniche o determinati strumenti elaborativi (in particolare
se si producono programmi disponendo solo di librerie di procedure di base poco complete).
Garantire la finitezza di una elaborazione elencativa corrispondente ad una presentazione P di un
insieme pu`o risultare di importanza primaria. Infatti l’elencazione degli oggetti x definiti dalla P(x)
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B11: Insiemi finiti
11
Alberto Marini
spesso corrisponde alla soluzione di un problema rilevante. Pu`o invece accadere che ad un certo punto
di una elaborazione elencativa si riscontrino situazioni nelle quali non si sa se la P sta portando ad
un insieme esplicitabile oppure abbia fornito una elencazione di oggetti cercati che ancora non riesca
a concludersi ma richieda di proseguire. Analizzando le possibilit`a si individuano situazioni che vanno
chiaramente distinte. Gli oggetti da elencare potrebbero: (1) non esistere, (2) ridursi ad uno solo,
(3) essere in numero limitato, (4) essere tanto numerosi, in atto o in potenza, da richiedere specifiche
tecniche di controllo effettivo (approfondimenti con metodi matematici, strumenti informatici o altro)
oppure (x) non aver condotto alla individuazione di un insieme finito. L’ultima situazione richiede
ulteriori distinzioni. Potrebbe (5) riguardare un processo di elencazione che risulta possibile protrarre
tanto quanto si vuole individuando sempre nuovi elementi, oppure (6) potrebbe proseguire ulteriormente (con l’emissione o meno di nuovi elementi in un determinato intervallo di tempo) senza fornire
indizi sulla possibilit`a di arrivare ad una successiva conclusione oppure di proseguire illimitatamente.
Nella situazione (6) si dovrebbe indagare alla ricerca di chiarimenti; a questo proposito possiamo anticipare che sul piano dei risultati generali si ha solo la sicurezza della impossibilit`a di un dominio delle
situazioni (6).
Per problemi pi`
u specifici, invece, va segnalato che si sono affrontati problemi di questo genere che
sono rimasti aperti per molti anni e che solo in parte hanno potuto essere risolti. Nella storia della
matematica sono state studiate varie congetture esprimibili in termini di elencazione che hanno avuto
grande rilievo, nel senso che la dimostrazione o la confutazione di una di esse ha richiesto il chiarimento
di molte altre questioni ed ha fornito un forte stimolo allo sviluppo della disciplina. Alcune di queste
congetture (in particolare per il [[teorema dei quattro colori]] e per l’[[ultimo teorema di Fermat]])
sono state chiarite solo dopo molti decenni di indagini e di ricerche collaterali. Altre ([[congettura
di Goldbach]]), nonostante il grande dispiego di indagini, rimangono tuttora aperte. (v.a. [[Problemi
irrisolti in matematica]]).
B11:c. Relazioni tra insiemi finiti
B11:c.01 Consideriamo due elenchi rappresentanti gli insiemi finiti A e B.
` possibile stabilire se A e B hanno o meno elementi in comune, cio`e se esiste o meno una entit`a e
E
che sia elemento di entrambi, ovvero t.c. e ∈ A e e ∈ B: quando un tale elemento comune non si
trova, si dice che A e B sono insiemi disgiunti e si esprime questa constatazione scrivendo A♢B; questa
affermazione vale anche se uno o entrambi gli insiemi considerati sono vuoti.
Ad esempio sono disgiunti gli intervalli [2 : 5) e [5 : 8] e sono disgiunti i due insiemi dei prefissi non
muti delle stringhe prefissi e suffissi, mentre i due insiemi dei rispettivi suffissi non muti hanno
in comune 5 stringhe: fissi, issi, ssi, si e i .
Se viceversa A e B hanno elementi comuni (e quindi nessuno dei due `e vuoto) si dice che sono insiemi
che si intersecano. La negazione della relazione di disgiunzione fra insiemi si denota con il segno : ad
esempio si accade che [4 : 7] [7 : 13).
` possibile stabilire anche se tutti gli elementi di A appartengono anche a B: in questo caso si dice
E
che A `e sottoinsieme di B, ovvero che A `e contenuto [in senso lato] in B e si scrive A ⊆ B; si conviene
che questo fatto si verifichi anche quando A = B.
Se A `e sottoinsieme di B ma non `e uguale ad esso, si dice che `e sottoinsieme proprio o sottoinsieme in senso
stretto di B, ovvero che A `e contenuto propriamente o contenuto in senso stretto in B e si scrive A ⊂ B.
12
B11: Insiemi finiti
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MATeXp – Nozioni di base
Ad esempio [3 : 7] ⊂ (4 : 9); inoltre, se h e k sono naturali con h ≤ k, l’insieme delle stringhe su un
certo alfabeto A aventi lunghezza ≤ h `e contenuto nell’insieme delle stringhe su A aventi lunghezza
≤ k.
Chiaramente se si stabilisce che A ⊆ B e che B ⊆ A, deve essere A = B.
Invece che A ⊆ B pu`
o essere opportuno scrivere B ⊇ A e dire che B `e sovrainsieme di A, ovvero che
contiene [in senso lato] A. Invece che A ⊂ B, pu`o essere opportuno scrivere B ⊃ A e dire che B `e
sovrainsieme proprio di A, ovvero che contiene in senso stretto A.
B11:c.02 Si dice che due insiemi A e B sono insiemi confrontabili sse accade che A ⊂ B, A = B oppure
A ⊃ B; per esprimere questa constatazione si scrive A B. Per esprimere la constatazione opposta
si scrive A B. Se due insiemi non vuoti sono disgiunti, allora non sono confrontabili. Se A e B non
sono confrontabili e non sono disgiunti, allora deve trovarsi qualche elemento di A che non appartiene
a B (in caso contrario sarebbe A ⊆ B) e deve trovarsi qualche elemento di B che non appartiene ad A
(in caso contrario sarebbe A ⊇ B). Per esprimere il fatto che A e B non sono confrontabili e non sono
disgiunti si scrive A ⊃
⊂ B. Ad esempio (10 : 30) ⊃⊂ (20 : 30].
Possiamo dunque affermare che A B sse A♢B oppure A ⊃⊂ B.
B11:c.03 Quindi, dati due insiemi finiti A e B, si pu`o verificare una delle seguenti situazioni:
(1) A = B , (2) A ⊂ B , (3) A ⊃ B , (4) A♢B , (5) A ⊃⊂ B
e non si pu`o verificare nessun’altra situazione. Le cinque affermazioni concernenti le situazioni precedenti si dicono costituire un insieme completo di enunciati [mutuamente] incompatibili.
In varie circostanze `e utile saper decidere quale delle suddette situazioni si verifica.
Osserviamo che con un certo studio si potrebbe giungere a stabilire che A ⊆ B, senza riuscire a decidere
se A ⊂ B oppure A = B. La affermazione A ⊆ B potrebbe essere considerata poco soddisfacente, ma
serve a rappresentare un ben definito stadio di conoscenza (incompleta).
Similmente si potrebbe stabilire che A ⊇ B, senza riuscire a decidere se A ⊃ B oppure A = B; oppure
stabilire che A B senza distinguere se accade aut (1), aut (2), aut (3), aut (5); oppure stabilire che
A ̸= B senza saper distinguere se accade aut (2), aut (3), aut (4), aut (5).
Va anche precisato che se un insieme A `e vuoto pu`o accadere solo che sia B = A = ∅ aut A ⊂ B
(equivalente alla A♢B); se invece A `e un singoletto e B non `e vuoto, pu`o accadere solo A = B, A ⊂ B
aut A♢B; solo se A e B hanno almeno due elementi possono verificarsi tutte le 5 relazioni ammissibili.
B11:c.04 Molte situazioni riguardanti insiemi possono essere vantaggiosamente presentate con l’aiuto
di schemi chiamati diagrammi di Eulero-Venn.
Si tratta di rappresentare intuitivamente gli insiemi in esame disegnando curve piane chiuse (come
cerchi, ellissi e rettangoli) e intendendo che ogni insieme corrisponda alla regione interna ad una di tali
curve. Questa raffigurazione in genere non vuole essere realistica e non implica una caratterizzazione
geometrica degli insiemi in gioco: essa vuole solo dare un’idea visiva delle relazioni esistenti fra gli
insiemi in esame ed eventualmente segnalare alcuni dei loro elementi. In particolare non si precisa se
i punti della curva rappresentino punti dell’insieme o meno.
Un primo tipo di diagramma rappresenta gli elementi di un insieme finito con punti e l’insieme come
regione ben delimitata che comprende tali punti.
B11:c.05 I diagrammi che seguono consentono di presentare le diverse relazioni mutuamente incompatibili che possono intercorrere tra due insiemi non meglio specificati.
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B11: Insiemi finiti
13
Alberto Marini
Per 3 o pi`
u insiemi le possibili relazioni sono molto pi`
u numerose.
B11:d. Operazioni su insiemi finiti
B11:d.01 Con l’aiuto di diagrammi di Venn definiamo ora alcune importanti operazioni che, a partire
da due insiemi finiti portano a nuovi insiemi finiti.
Si dice unione degli insiemi A e B, e si indica con A∪B l’insieme formato dagli elementi che appartengono
ad A e da quelli appartenenti a B (ed eventualmente ad entrambi).
Ad es. [4 : 9] ∪ [7 : 11] = [4 : 11] , [7 : 20] ∪ (8 : 14] = [7 : 20] , [0 : 10) ∪ [10 : 20) = [0 : 20) .
P f x(abaa) ∪ Sf x(aaba) = {a, ab, ba, aba, abaa, aaba} .
Si dice intersezione degli insiemi A e B, e si indica con A ∩ B l’insieme formato dagli elementi che
appartengono sia ad A che a B.
Ad es. [4 : 10] ∩ (6 : 17) = [7 : 11), (8 : 16) ∩ [4 : 8] = ∅, [2 : 8) ∩ [3 : 5) = (2 : 4] .
P f x(abab) ∩ Sf x(bbab) = {ab} .
L’unione e l’intersezione di due insiemi non disgiunti si visualizzano con figure come le seguenti:
U
U
...........
........... B
..... .....
..... .....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... .....
..... .....
.....
.....
...........
A ...........
.....
.....
.....
.....
.....
A ∪ B)
B
A
A∩B
B11:d.02 Anche l’unione e l’intersezione di due insiemi finiti sono insiemi finiti, in quanto a partire
dagli elenchi che danno A e B risulta possibile costruire un elenco degli elementi di A ∪ B ed un elenco
degli elementi di A ∩ B.
14
B11: Insiemi finiti
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MATeXp – Nozioni di base
Dalle definizioni seguono subito le seguenti propriet`a delle operazioni di unione e intersezione, valide
per A, B e C insiemi arbitrari.
A∪A=A
(idempotenza dell’unione);
A∩A=A
(idempotenza dell’intersezione);
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
(associativit`a dell’unione);
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
(associativit`a dell’intersezione).
Si osserva che due insiemi sono disgiunti sse la loro intersezione `e il vuoto. Sinteticamente
A♢B ⇐⇒ A ∩ B = ∅ ,
Spesso risulta comodo usare una scrittura del tipo A ∪˙ B per denotare l’unione di due insiemi A e B
e inoltre per segnalare che si tratta di insiemi disgiunti. Ad es. si pu`o scrivere [2 : 5] ∪˙ [7 : 9]. Pi`
u in
generale si ha
Se h, k, l, m sono interi naturali tali che h ≤ k ≤ l ≤ m, allora si pu`o considerare [h : k) ∪˙ [l : m].
B11:d.03 Si dice eliminazione dall’insieme finito A dell’insieme finito B, e si indica con A\B, l’insieme
formato dagli elementi che appartengono ad A ma non a B. L’operazione espressa da “\” talora viene
detta differenza, mentre la scrittura A\B si pu`o leggere “A senza B)”. Evidentemente la differenza
fra due insiemi finiti `e un insieme finito.
Ad es. [5 : 10]\[9 : 12] = [5 : 8] e [2 : 9]\[4 : 7] = [2 : 3] ∪˙ [8 : 9].
Si osserva che A\B = A\(A ∩ B) e che A = (A\B) ∪˙ (A ∩ B).
Si dimostrano inoltre le seguenti uguaglianze:
A \ (B \ A) = A ,
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) ,
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) ,
(A \ B) \ C = (A \ C) \ B = A \ (B ∪ C) .
B11:d.04 Si dice differenza simmetrica degli insiemi finiti A e B, e si denota con A ⊖ B (ma si usa anche
la scrittura A △ B) l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad A ma non a B e da quelli
che sono elementi di B ma non di A.
Si trova facilmente che la differenza simmetrica fra due insiemi finiti `e un insieme finito.
La differenza e la differenza simmetrica di due insiemi non disgiunti si visualizzano con le due seguenti
immagini:
U
U
.....
.....
.....
.....
.....
.....
A ...........
...........
...........
...........
B
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
A ...........
...........
B
A\B = A∩B
A ⊖ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
In generale si ha
A ⊖ B = (A\B) ∪˙ (B\A) = (A ∪ B)\(A ∩ B),
In particolare la differenza di due insiemi disgiunti coincide con il primo di essi, mentre la loro differenza
simmetrica coincide con la loro unione.
Si dimostrano inoltre le seguenti uguaglianze:
A⊖B =B⊖A ,
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A⊖∅=A ,
A⊖A=∅ ,
(A ⊖ B) △ C = A ⊖ (B ⊖ C) ,
B11: Insiemi finiti
15
Alberto Marini
B11:d.05 Dalle definizioni si dimostra che per arbitrari insiemi finiti A, B, C valgono le seguenti
uguaglianze
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ,
Esse esprimono le cosiddette propriet`a distributive per unione ed intersezione.
I diagrammi di Venn che seguono consentono di rendersi conto facilmente della loro validit`a
.....
...........
A
.............
...............
.................
.................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
.................
.................
...............
.............
...........
.........
.........
.........
.......
.......
.....
...
.
C
..........
.......... ...............
......
.....
....
...
...
...
..
..
.
.............................. ............................
.
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.... .........
.
.
.
.
.
.
... .......
.
.
...
... .....
...
... .....
...
... ...
... .....
...
...
..... ...
.
.
...
.
.
.
....
.
.......
....
..
...
......................................
...
..
.
.
...
.
..
...
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B
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A
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.......
.........
.........
.........
.........
...
B
C
B11:d.06 Osserviamo che un elenco degli elementi dell’unione di due insiemi disgiunti A e B si ottiene
semplicemente giustapponendo un elenco di A ed uno per B; quindi per la cardinalit`a si ha |A ∪˙ B| =
|A| + |B|. Similmente per l’unione di 3 insiemi mutuamente disgiunti A, B e C si trova |A ∪˙ B ∪˙ C| =
|A| + |B| + |C|.
Formule concernenti le cardinalit`a di insiemi disgiunti servono alla soluzione di molti problemi enumerativi. Infatti per calcolare la cardinalit`a di certi insiemi finiti si riesce ad adottare il seguente modo
di procedere che si pu`o richiamare con il motto dividi ed enumera (che richiama il latino divide et
impera). Si ripartisce l’insieme S di cui si cerca la cardinalit`a in insiemi disgiunti che si presentano
abbastanza semplici; si cerca di determinare le loro cardinalit`a; si sommano gli interi trovati.
Per due insiemi A e B non disgiunti, si pu`o considerare la seguente ripartizione:
A ∪ B = (A\B) ∪˙ (A ∩ B) ∪˙ (B\A) ;
di conseguenza, dato che |A| = |A\B| + |A ∩ B|, per la cardinalit`a si trova
|A ∪ B| = |A\B| + |A ∩ B| + |B\A| = |A| + |B| − |A ∩ B| ,
Per l’unione di tre insiemi generici si ha invece la formula di ripartizione:
A ∪ B ∪ C = (A\(B ∪ C)) ∪˙ (B\(C ∪ A)) ∪˙ (C\(A ∪ B)) ∪˙
((A ∩ B)\(A ∩ B ∩ C)) ∪˙ ((B ∩ C)\(A ∩ B ∩ C)) ∪˙ ((C ∩ A)\(A ∩ B ∩ C)) ∪˙ (A ∩ B ∩ C) .
I successivi insiemi della partizione si leggono facilmente nel diagramma delle possibili intersezioni di
tre insiemi:
B
....................
........
.....
.....
....
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.....
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......
...........................................................
2
4
1
7
6
5
3
A
16
B11: Insiemi finiti
C
2015-01-08
MATeXp – Nozioni di base
Di conseguenza si ha l’uguaglianza enumerativa:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C| ,
B11:d.07 Quando si trattano 4 o pi`
u insiemi si hanno figure e formule generali via via pi`
u complesse.
(1) Eserc. Verificare che per 4 generici insiemi A, B, C, D:
|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |A ∩ D| − |B ∩ C| − |B ∩ D| − |C ∩ D|
+|A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D| − |A ∩ B ∩ C ∩ D| ,
B11:d.08 Fissiamo ora un universo U e consideriamo un suo sottoinsieme A. In genere vi sono elementi
dell’universo che appartengono ad A ed elementi che non vi appartengono. Questi ultimi costituiscono
un insieme chiamato insieme complementare di A. Esso si denota con U \A, con U (A) o con A U ;
quando U si pu`o sottintendere, in genere risulta comodo servirsi delle notazioni abbreviate A o A.
Si dimostrano facilmente le seguenti uguaglianze:
U ( U (A))
A∪
=A=A
U (A)
U (U )
=A∪A=U
=U =∅
A∩
U (∅)
U (A)
=∅=U
=A∩A=∅ ,
La prima esprime il cosiddetto carattere involutorio della complementazione.
Si trova inoltre che
A ⊂ B ⇐⇒ A ⊃ B ,
Per presentare un insieme A come parte di un universo U e per dare un’idea del suo complementare si
possono usare figure come la seguente.
........
...... .........
...
...
..
.....
...
...
...... .......
...........
.
.
A ...
.. A
...
A
A
U
U
L’universo viene raffigurato dal rettangolo, figura che da l’idea dell’inquadramento; il suo sottoinsieme A come la regione interna alla curva chiusa e l’insieme complementare di A come la regione del
rettangolo che circonda la precedente.
B11:d.09 Combinando la complementazione con unione ed intersezione si trovano le seguenti propriet`a,
note come leggi di De Morgan:
(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B ,
Anch’esse si leggono facilmente nei relativi diagrammi di Venn:
2015-01-08
U
.............................
.............................
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.....
...........
.....
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B .....
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.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... A
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.....
...........
.....
...........
.............................
.............................
U
.............................
.............................
...........
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...........
........ .....
...........
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B .....
..... ..... ........
..
.....
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.....
.....
.....
..... .....
.....
..... .....
.....
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.....
.....
.....
.....
..... .....
.....
.....
..
.....
..... A ........
........ ...........
...........
.....
.....
...........
.............................
.............................
(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B
B11: Insiemi finiti
17
Alberto Marini
B11:d.10 Talora si incontrano sequenze di un numero n di insiemi finiti, n che potrebbe rappresentare
un intero naturale particolare, un naturale generico oppure una espressione in grado di fornire un
naturale. Una tale sequenza conviene sia individuata con una scrittura come ⟨A1 , A2 , ..., An ⟩.
La propriet`a associativa dell’unione consente di definire come unione di tale sequenza di insiemi
l’insieme degli oggetti che appartengono ad elmeno uno degli Ai ; tale composizione si denota con
n
∪
(1)
Ai
oppure
con
∪
{i = 1, ..., n :| Ai } .
i=1
Abbiamo ad esempio
n
∪
[i : i2 ) = [0 : n2 ) .
i=0
La propriet`a associativa dell’intersezione rende lecito definire come intersezione di tale sequenza di
insiemi l’insieme degli oggetti che appartengono a ciascuno degli Ai ; tale composizione si denota con
n
∩
(2)
Ai
oppure
con
∩
{i = 1, ..., n :| Ai } .
i=1
Abbiamo ad esempio
5
∩
[i : i + 10) = [5 : 10) .
i=1
B11:d.11 Consideriamo una collezione di insiemi A1 , A2 , ... , An ; essa si dice collezione di insiemi
mutuamente disgiunti sse per ogni duetto di indici {i, j} ⊂ {1, 2, ..., n} gli insiemi Ai e Aj sono disgiunti,
cio`e Ai ♢Aj .
Un esempio di collezione di insiemi mutuamente disgiunti `e costituito dagli intervalli di interi [1 : 4],
[7 : 12], [13 : 20] e [31 : 34].
Dato un insieme U si dice che la collezione di insiemi {A1 , A2 , ..., An } costituisce una partizione di S
sse si tratta di una collezione di insiemi mutuamente disgiunti e la loro unione coincide con U .
Un esempio di collezione partizione riguardante l’intervallo [1 : 100] `e data dai 10 intervalli consecutivi
[1 : 10], [11 : 20], ..., [91 : 100]. Altri esempi di collezioni partizioni si trovano in molte attivit`a di
classificazione di oggetti materiali come zone del territorio o specie del mondo dei viventi. Il territorio
italiano si ripartisce in regioni, ciascuna di queste si ripartisce in province, ciascuna provincia in comuni.
Si osserva che per ogni collezione {A1 , A2 , ..., An } partizione di U = ∪ni=1 Ai , ogni elemento di U
appartiene ad uno e un solo insieme della collezione e che questa propriet`a `e caratteristica delle collezioni
partizioni.
Per tali insiemi risultano comode scritture come la A1 ∪˙ A2 ∪˙ ... ∪˙ An che esprime l’unione degli n
insiemi e contemporaneamente segnala che essi sono mutuamente disgiunti.
Se S := A1 ∪˙ A2 ∪˙ ... ∪˙ An si dice che gli insiemi A1 , ..., An ripartiscono S. Se n = 2 si dice che A1 e
A2 bipartiscono S; se n = 3 si dice che A1 , A2 e A3 tripartiscono S e cos`ı via.
B11:d.12 Esaminando le formule trovate per le operazioni di intersezione, unione e complementazione
di insiemi finiti, si trova che l’insieme delle propriet`a dei sottoinsiemi di un dato universo U viene
trasformato in s´e stesso quando si effettua una trasformazione consistente nel modificare ogni insieme
nel complementare e nello scambiare le operazioni di intersezione e di unione. In particolare si scambiano insieme vuoto e universo, le propriet`a di idempotenza, le propriet`a associative, le due propriet`a
distributive, le due leggi di De Morgan.
La suddetta trasformazione si pu`o vedere come una endofunzione entro l’insieme degli enunciati
riguardanti le operazioni di unione, intersezione e complementazione per gli insiemi finiti. Questa
18
B11: Insiemi finiti
2015-01-08
MATeXp – Nozioni di base
endofunzione pi`
u precisamente `e una involuzione e si distinguono duetti di formule che si scambiano e
formule che restano invariate. Questa involuzione la chiamiamo dualit`a insiemistica.
Come in parte vedremo si incontrano altri capitoli della matematica che sono caratterizzati da insiemi
di formule o di risultati per i qualisi individuano trasformazioni involutorie per le quali si usa il termine
dualit`a. Le dualit`a sono casi particolari di simmetrie e la loro importanza consiste nel loro contributo
a presentazioni pi`
u organiche dell’insieme dei risultati considerati. Molti enunciati dotati di duale
si possono individuare e dimostrare riconducendosi al duale stesso, realizzando quindi economia di
pensiero.
B11:d.13 Abbiamo dunque incontrati vari operatori binari che a due insiemi finiti associano un nuovo
insieme finito ed un operatore unario, la complementazione.
Servendoci di questi operatori insiemistici, di espressioni in grado di individuare insiemi finiti e con due
segni di parentesi coniugate siamo in grado di comporre le cosiddette espressioni insiemistiche, scritture
in grado di individuare un’ampia gamma di insiemi finiti.
Queste espressioni costituiscono delle cosiddette formule ben formate: queste sono stringhe che seguono
regole formali piuttosto precise e che sono in grado di esprimere una grande variet`a di entit`a matematiche attraverso indicazioni riguardanti le operazioni che consentono di individuarle a partire da entit`a
pi`
u semplici.
Qui introduciamo formule ben formate che individuano insiemi finiti senza approfondire le loro caratteristiche formali che vedremo pi`
u precisamente in D54:, ma limitandoci a presentare ed a commentare
in modo colloquiale una certa gamma di esempi.
Pi`
u avanti incontreremo molti altri generi di formule ben formate che consentiranno di esprimere con
rilevanti vantaggi numerosi tipi di entit`a matematiche che interessano campi come l’algebra, il calcolo
infinitesimale, la geometria, la logica, ... . Fortunatamente tutti questi generi di espressioni presentano
vbarie caratteristiche comuni e si possono accostare in modo intuitivo, come vedremo ora per quelle
riguardanti insiemi finiti, senza essere costretti a precisare le regole (lessicali, sintattiche e semantiche)
che le governano e senza dover precisare le loro non poche forme semplificate.
Occorre segnalare di queste espressioni si incontrano anche le varianti che consentono di ottenere le
prestazioni degli odierni sistemi per il calcolo numerico, simbolico e grafico. In questo ambito le regole
che governano le espressioni devono essere rispettate in modo assai preciso, in quanto le espressioni
vengono sottoposte ad algoritmi piuttosto esigenti e con limitate possibilit`a di adattamento i quali, le
espressioni, devono interpretarle e tradurle in prestazioni automatiche.
B11:d.14 Presentiamo dunque e commentiamo alcuni esempi di espressioni di insiemi finiti.
(A ∪ B) \ C : In questa espressione i simboli A, B e C si suppone individuino insiemi noti, ad esempio
definiti in precedenza. La coppia di parentesi che delimitano l’unione dei primi due insiemi individuano
una cosiddetta sottoespressione che si intende sia calcolata prima e indipendentemente da quanto le
sta attorno.
2015-01-08
B11: Insiemi finiti
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Alberto Marini
B11:e. Oltre gli insiemi finiti
B11:e.01 Per la massima parte degli sviluppi della matematica, degli studi sulle computazioni e delle
loro applicazioni gli insiemi finiti si rivelano miseramente insufficienti.
Per potere inquadrare le attivit`a elaborative risulta decisamente necessario introdurre i cosiddetti
insiemi procedurali, entit`
a rappresentate da liste la cui generazione pu`o essere effettuata da un meccanismo formale chiamato macchina sequenziale programmabile che si pensa potersi evolvere servendosi
di risorse (di spazio di memoria, di tempo di calcolo, di programmi) che vengono supposte illimitate
(v. B18:).
Gli insiemi procedurali sono insiemi di stringhe la cui generazione pu`o protrarsi illimitatamente e
con essi si `e introdotta la nozione di infinito potenziale. Tra i linguaggi procedurali conviene distinguere quelli chiamati ricorsivi (per i quali si trova un algoritmo in grado di decidere il problema
dell’appartenenza), da quelli per i quali un tale algoritmo non si conosce. Tipici ambienti procedurali
sono l’insieme degli interi naturali e l’insieme dei numeri razionali.
B11:e.02 Anche gli insiemi procedurali non sono coprono tutte le necessit`a della matematica e dei
problemi computazionali, in particolare le esigenze della geometria elementare.
Si impone la disponibilit`a di insiemi pi`
u ricchi di prestazioni. Un primo ambiente che non pu`o ridursi
ad un insieme procedurale `e la retta reale e di conseguenza questo accade anche agli svariati ambienti
geometrici che sulla retta reale si possono basare. Altri insiemi che devono essere pi`
u che procedurali
sono gli insiemi delle parti di un insieme procedurale; altri insiemi di questo genere si individuano con
con tecniche analoghe.
Un primo inquadramento degli insiemi procedurali si ottiene con discorsi in buona parte intuitivi con
la cosiddetta teoria ingenua degli insiemi. Qui si rendono disponibili insiemi che possono essere pi`
u
che procedurali introducendo in B19: quelli che chiamiamo insiemi definiti con propriet`a .
Queste entit`a dipendono da cosa si intende per propriet`a. Nel capitolo citato diamo una descrizione
intuitiva delle propriet`a accettabili e quindi una nozione intuitiva degli insiemi. Sostanzialmente si
propone di prendere in esame propriet`a ed insiemi la cui fondatezza sia condivisibile, limitandoci a
promettere una successiva definizione di una loro fondazione su basi logicamente pi`
u solide.
B11:e.03 Procedendo con la definizione intuitiva degli insiemi si possono incontrare paradossi e contraddizioni, situazioni che devono assolutamente essere evitate.
In effetti la teoria ingenua degli insiemi verso la fine del XIX secolo ha condotto a vari paradossi.
Si `e sentita la necessit`a di disporre di una teoria degli insiemi su basi formali pi`
u solide.
Si giunge alla necessit`a di definire apparati formali che consentano di sviluppare a teorie assiomatiche
solidamente fondate.
Una teoria assiomatica degli insiemi viene presentata con qualche dettaglio in B65: .
Va per`o detto subito che tutte le propriet`a che si vorrebbero dimostrare per queste teorie sono impossibili da garantire in modo completo, come ha dimotrato Kurt G¨odel con i cosiddetti teoremi di
incompletezza.
Anche le basi insiemistiche della matematica attuale presentano dunque elementi di precariet`a.
Va infine aggiunto che attualmente vengono anche proposti a fondamento della matematica sistemi
formali che non prevedono di servirsi della teoria degli insiemi accennata in precedenza.
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B11: Insiemi finiti
2015-01-08
MATeXp – Nozioni di base
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B11: Insiemi finiti
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