Lezione 2

Geomatics for large structures in Civil
Engineering - II
Prof. Ing. Luciano Surace
1
Nella progettazione di grandi infrastrutture dell’ingegneria
civile, l’affinamento dei prodotti, la velocità di esecuzione e
l’automazione dei processi mettono fuori gioco i modelli della
topografia classica, frutto di obbligate semplificazioni.
A fronte di risultati non coerenti con le accuratezze richieste,
occorre rivedere i modelli: quali?
• Campo di gravità, normale e anomalo; gravity-relatedobservations e no-gravity-related-obvservations
• Propagazione delle onde elettromagnetiche: rettilinea, curva
piana su un piano verticale, gobba.
• Sistema di riferimento (globale, locale, …), sistema di
coordinate, piano del progetto, coordinate rettilinee e
deformazioni della rappresentazione cartografica
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Fasi dell’opera:
Progetto di massima
Rilievo
Progetto definitivo
Progetto esecutivo
Elaborazione dati per tracciamento
Tracciamento
Costruzione
Vita (monitoraggio)
3
Legame tra le fasi = topografia
-sistema di riferimento: Global datum, local datum,
engineering datum, … glocal datum
-sistema di coordinate: conversione, trasformazione
-rappresentazione 2D
Terreno – carta – terreno …
4
La fase topografica della progettazione e dell’esecuzione
di grandi infrastrutture ha subito una grande
trasformazione grazie alla potenzialità del GNSS, oggi
giunto al posizionamento di precisione in tempo reale.
Le metodologie satellitari:
1. semplificano le operazioni di campagna
2. rendono possibile l’inserimento dell’opera nei sistemi
informativi geografici che coprono l’area
3. agevolano il monitoraggio dell’opera
4. Introducono una famiglia di misure non legate alla
gravità (come tutte le misure classiche)
ma
rendono necessaria una rigorosa impostazione del
trattamento e dell’uso dei dati, .
5
Di norma si impiegano DATUM LOCALI finalizzati
all’esecuzione dell’opera che consentono di ottenere
una rappresentazione più aderente alla realtà fisica.
L’uso di tali sistemi definiti ad “hoc” non elimina la
necessità né esclude la possibilità di riferirsi anche ai
datum nazionali e al datum globale per l’inserimento
dell’opera nel contesto attuale e futuro.
6
PROGETTO DI MASSIMA SU CARTOGRAFIA
ESISTENTE
(SISTEMA
GEODETICO-
CARTOGRAFICO LOCALE) “TRASPORTATO” NEL
SISTEMA “GLOBALE” (UTMWGS84)
7
PROGETTO ESECUTIVO
Calcolo delle coordinate per il tracciamento:
(X, Y)Sist. Loc. , Hgeoid.
8
RICHIAMI DI GEODESIA
DATUM
«E’ il modello della Terra che usiamo per
definire la posizione dei punti attraverso
una serie di coordinate» …
10
3D = 2D + 1D
La determinazione delle posizioni è stata
tradizionalmente scissa in due componenti:
orizzontale e verticale, come risulta naturale
dall’impiego
delle
sole
metodologie
trigonometriche.
La diversità delle superfici di riferimento delle
coordinate ellissoidiche (ellissoide biassiale) e
delle quote (geoide) ha implicato che nel
contesto classico sono definiti due sistemi di
riferimento geodetico: DATUM orizzontale e
DATUM verticale / planimetrico e altimetrico.
11
N
12
SUPERFICIE FISICA, GEOIDE,
ELLISSOIDE E …
13
DATUM ORIZZONTALE/PLANIMETRICO
Un datum planimetrico è un set di 8
parametri: due di forma e dimensione
dell’ellissoide (a, b) e sei di posizione e di
orientamento (RS = Reference System), cui
è associato un sistema di coordinate (CRS
= Coordinate Reference System) e una rete
compensata di punti (con le rispettive velocità)
che lo materializza (RF = Reference Frame)
14
DATUM ORIZZONTALE/PLANIMETRICO
In uno stesso datum orizzontale/planimetrico
(sistema di riferimento - RS) si possono usare
molti sistemi di coordinate: le conversioni tra
questi ultimi (CS) sono sempre puramente
matematiche e non richiedono l’introduzione di
misure.
La trasformazione di coordinate tra due datum
orizzontali/planimetrici (RS) può essere calcolata
solo quando vi siano sufficienti misure
che
legano punti nei due sistemi.
15
Nel posizionamento satellitare è naturale il
ricorso ad un sistema di riferimento
geocentrico, costituito da:
1. una terna di assi cartesiani (resa
geocentrica e solidale alla Terra (ECEF)
tramite l’osservazione delle orbite
satellitari)
2. un ellissoide biassiale (GRS80 per il GPS)
concentrico ad essa
3. un modello di geoide.
16
In ambito regionale la realizzazione del
sistema è attribuita a reti di punti a terra
contenenti un adeguato numero di
stazioni permanenti.
Un esempio in ambito europeo è
rappresentato dal sistema ETRS89, nelle
sue varie realizzazioni ETRF89, ETRF90,
…, ETRF2000, etc. legate ai successivi
aggiornamenti.
In ambito italiano: RDN (Rete Dinamica
Nazionale).
17
Quali alterazioni sono indotte dal cambio di
datum?
Il cambio di ellissoide conseguente al cambio
di sistema di riferimento comporta l’adozione
di una superficie di dimensioni, forma e
posizione differenti rispetto alla precedente.
18
contesto topografico classico
definizioni
- piano della rappresentazione (es. piano
conforme di Gauss) ≡ piano adottato per la
definizione delle coordinate cartografiche dei
punti di interesse ≡ piano adottato per la
condotta dei calcoli cui sottoporre le misure
per la stima delle coordinate
19
- ellissoide di riferimento (ieri Hayford
orientamento Roma40; oggi WGS84) ≡
superficie adottata per la definizione univoca
della posizione "planimetrica«:
∞2 punti sull’ellissoide posti in corrispondenza
biunivoca con ∞2 punti del piano di
rappresentazione attraverso le equazioni della
carta.
La legge di corrispondenza fornisce anche le
"eventuali" correzioni da apportare alle
grandezze ellissoidiche (angoli e distanze)
derivanti dalle misure preventivamente
ridotte all'ellissoide, per operare sul piano
20
- geoide ≡ superficie equipotenziale del campo di
gravità approssimata al meglio dal livello medio dei
mari e adottata come superficie di riferimento per le
quote ortometriche
- geoide locale ≡ superficie equipotenziale del
campo di gravità passante per un punto
convenzionalmente
scelto,
cui
è
convenzionalmente associata una quota
riferita ad un istante convenzionale di un
periodo convenzionale ≡ superficie di
riferimento per le quote «ufficiali» di lavoro
21
- superficie fisica ≡ superficie su cui vengono
condotte le misure topografiche, ma su cui non
possono ovviamente essere condotti i calcoli
problema:
da misure su superficie fisica a coordinate sul
piano della rappresentazione (A/R)
22
SUPERFICIE FISICA
V
GEOIDE
H
ELLISSOIDE
PIANO
23
DATUM VERTICALE/ALTIMETRICO
Criteri di scelta di un sistema altimetrico
• collegamento naturale con la direzione di
scorrimento dell’acqua
• indipendenza della quota dal cammino
percorso nelle misure
• indipendenza, per quanto possibile, da ipotesi
sulla composizione dell’interno della Terra
Diversi possibili concetti di quota
=
diversi sistemi altimetrici
24
Elementi necessari per la definizione della
QUOTA
• superficie di riferimento e origine
• direzione e verso di misura
• scala delle misure, esplicitata dalla
realizzazione del sistema di riferimento
25
Per l’altimetria tradizionalmente si usa come
superficie di riferimento il livello medio del mare
(H=0).
Tutte le carte del mondo usano il l.m.m. per le quote,
mentre esistono un centinaio di differenti datum
planimetrici, ma il l.m.m. è solo una buona
approssimazione di una superficie di livello, definita
dalla gravità, il GEOIDE, che è la vera superficie zero
per la misura delle quote.
E’ più corretto definire il l.m.m. come la superficie di
quota zero per una certa area (datum regionale). Il
l.m.m. è uno standard solo nominale e il Geoide non
è una superficie semplice.
26
DATUM ALTIMETRICO
• Il datum altimetrico è la superficie zero a
cui sono riferite le quote
• IL
GEOIDE
E’
LA
SUPERFICIE
EQUIPOTENZIALE
DEL
CAMPO
DI
GRAVITA’ USATA COME RIFERIMENTO
DELLE ALTEZZE ORTOMETRICHE
• L’ondulazione
geoidica
(scostamento
geoide-ellissoide) è la quantità che
connette quote ellissoidiche e quote
geoidiche
27
N
28
SUPERFICIE FISICA, GEOIDE,
ELLISSOIDE E …
29
Il geoide, come superficie di riferimento mondiale
per le quote, utilizzato per la rappresentazione
della morfologia della terra e della superficie dei
mari, può essere dunque definito come quella
superficie equipotenziale del campo di gravità
approssimata al meglio
dal livello medio del
mare.
30
Geoide locale
superficie equipotenziale del campo della
gravità passante per un punto prestabilito
dell’area di interesse,
in genere un punto della linea di costa più
vicina, posto all’altezza del
livello medio del mare convenzionalmente
definito per una data epoca:
convenzionale nello spazio e nel tempo
31
Le superfici di livello non sono parallele. Sono
superfici equipotenziali del campo di gravità. La
gravità diminuisce di circa il 5‰ dai poli all’equatore,
la distanza tra le superfici di livello , cioè il dislivello,
varia in senso inverso e la variazione non è
trascurabile.
32
Le superfici di livello non sono parallele
C
WB= Wc
B
A”
A’
B’
A
W0
A0
WA
B”
B0
C0
geoide
33
Livellazione geometrica
una battuta di livellazione tra due stadie fornisce il
dislivello misurato a – b = δh
stadia avanti
stadia indietro
a
C
terreno
b
B
superficie di livello
A
verticale
Tangente in C’
A0
B0
34
geoide
Superfici di livello e dislivelli ortometrici
P
δh ≠ δh’ ≠ δh”
GEOIDE W= W0
P0
P’
P’0
Sommando i δh osservati si ottiene la differenza di quota livellata ∆h.
superfici di livello non parallele → ∆h dipende dal percorso
Il risultato della livellazione non corrisponde al dislivello
35
geoidico → correzione ortometrica
Deviazione della verticale e ondulazione geoidica
Linea di forza = direzione del filo a piombo
Deviazione della verticale ε
P
Ho
P’
P0
Ondulazione geoidica N
36
SULLA SUPERFICIE FISICA LO STRUMENTO SI DISPONE SECONDO LA
VERTICALE LOCALE NON COINCIDENTE CON LA NORMALE ELLISSOIDICA,
A QUOTA GEOIDICA H0 E QUOTA ELLISSOIDICA h = H+N
direzione del filo a piombo
deviazione della verticale ε
P
Ho
P’
occorre
stimare ε e N e
valutare se
tenerne conto
nei calcoli
(sull’ellissoide)
P
0
Ondulazione geoidica N
37
deviazione della verticale
strumento in misura
superficie topografica
ellissoide
perpendicolare all’ellissoide
direzione del filo a piombo
38
La deviazione della verticale ε in un punto sulla
superficie fisica è definita (Helmert) come l’angolo tra la
verticale (tangente nel punto alla linea di forza della
gravità) e la normale all’ellissoide. Essa viene espressa
nelle due componenti:
ξ = φastr - φell
deviazione in latitudine
η = (λ astr – λell)*cos φastr deviazione in longitudine
eq. Laplace - differenza fra azimut astronomico e azimut
ellissoidico
∆α=A astr- α ell = η tg φastr + (ξ sinα- ηcos α ) ctgζ
39
Componenti
della deviazione
della verticale
N
ξ
O
η
ε
S
E
perpendicolare all’ellissoide
direzione della gravità
40
SUPERFICIE FISICA
V
GEOIDE
H
ELLISSOIDE
PIANO
41
da ellissoide a piano
… la scelta di una rappresentazione
cartografica, con i problemi che comporta,
resta un’opzione utile per molti utenti.
Rappresentazione cartografica
=
interfaccia
tra la realtà fisica quadri-dimensionale
e le esigenze di analisi sinottica delle
informazioni territoriali.
42
RICHIAMI DI
CARTOGRAFIA
CARTOGRAFIA TEORIA DELLE CARTE
SCOPO rappresentazione grafica o video- grafica
della superficie terrestre:
a) posizione planimetrica ELLISSOIDE corrispondenza analitica
biunivoca con il PIANO Equazioni della carta
P(X,Y,Z) ↔ P(ϕ, λ)
PN
P' P" = X P
r
OP" = YP
PP ' = Z P
b) indicazione posizione altimetrica
Z
ϕ
O
G
X
T
S
P
λ
P”
P’
E Y
RAPPRESENTAZIONE CARTOGRAFICA
=
LEGGE DI CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA ELLISSOIDE E
PIANO
SUPERFICIE OBIETTIVA ↔ TRASFORMAZIONE ↔ SUPERFICIE
SUBIETTIVA
In generale T non garantisce la similitudine tra figure finite
corrispondenti
SIMILITUDINE → APPLICABILITÀ
APPLICABILITÀ → GAUSS → UGUALE CURVATURA TOTALE (?)
45
CURVATURA MEDIA H = media delle curvature di tutte le sezioni normali in P
RAGGIO MEDIO = media dei raggi di curvatura di tutte le sezioni normali in P
CURVATURA TOTALE K = inverso del quadrato del raggio medio
1 1 1 
H =  +  = media delle curvature principali
2ρ N 
Rm = ρN !!!
1
K=
= prodotto delle curvature principali
ρN
46
Esempi
Le uniche superfici isometriche al piano sono
quelle sviluppabili (ad esempio CONO e
CILINDRO) per le quali K = 0
a
r
R1 = r
R2 = ∞
n
n
R1 = a
R2 = ∞
Esempi
Ellissoide :
KE =
Sfera :
1
R2
KS =
1
ρN
(f(ϕ) - non costante)
condizione NECESSARIA perché si abbia applicabilità
(locale) tra ellissoide e sfera è che localmente sia
KE = K S
R=
ρN
Per CILINDRO, CONO e PIANO, l’applicabilità sussiste
perché K = 0
Osservazione (importante)
K sfera
1
= 2
R
K ellissoide
1
=
ρN
Kpiano = 0
non esiste ISOMETRIA o SIMILITUDINE tra sfera
e piano oppure tra ellissoide e piano
qualsiasi trasformazione tra sfera e piano oppure tra
ellissoide e piano induce deformazioni nelle figure
finite
RAPPRESENTAZIONE
P(ϕ , λ ) ↔ P ' ( x, y )
ds'
ds
dσ '
µ=
dσ
δ = α -α '
m=
modulo di deformazione lineare
modulo di deformazione superficiale
modulo di deformazione angolare
50
IDEALE → CARTA EQUIDISTANTE
Manterrebbe inalterate le distanze in un rapporto di scala assegnato
IMPOSSIBILE!!!
• CARTE EQUIVALENTI
mantengono inalterate le superfici
in un rapporto di scala assegnato
POSSIBILI
• CARTE CONFORMI
mantengono inalterati gli angoli
tra linee corrispondenti
• CARTE AFILATTICHE
compromesso= né conformi
né equivalenti
µ =1
dσ ' = dσ
δ = 0 ⇒α =α'
m = f (ϕ , λ )
m ≠ f ( Azimut )
δ ≠0
µ ≠1
51
Formulazione analitica delle rappresentazioni
cartografiche
Superficie obiettiva
ϕ = cost paralleli
λ = cost meridiani
P = P(ϕ
ϕP , λ P )
rdλ
λ
P+dP
Superficie subiettiva
OXY
P’ = P’(XP’ , YP’)
x
dy
ds
ρdϕ
ϕ α
dx A
P
P’+d
P’
ds’
P’
O
.
ds2 = ρ2 dϕ2 + r 2 dλ 2
ds'2 = dx 2 + dy 2
y
Formulazione analitica delle rappresentazioni
cartografiche
Equazioni della carta differenziabili (continue) e invertibili
 x = x( ϕ , λ )

 y = y( ϕ , λ )
ϕ = ϕ( x , y )

 λ = λ( x , y )
Le deformazioni delle figure trasformate tramite le equazioni della
carta vengono espresse mediante i moduli di deformazione
Per conoscere le caratteristiche di una rappresentazione
cartografica è necessario e sufficiente esaminare il comportamento
dei moduli di deformazione
Modulo di deformazione lineare
rdλ
λ
ds'2 dx 2 + dy 2
m = 2 =
ds
ds2
2
P+dP
ds
ρdϕ
ϕ α
r dλ = ds sin α

 ρ dϕ = ds cos α
P
m2 = e cos2 α + 2 f sin α cos α + g sin2 α
1. m= f(α
α)
2. e, f, g → f(eq. carta, P)
Modulo di deformazione lineare
m2 = e cos2 α + 2 f sin α cos α + g sin2 α
m= f(α
α)
e, f, g → f(eq. carta, P)
1. m dipende da α(azimut), dalla posizione del punto P (ϕ
ϕ e λ)
sull’ellissoide e dalle equazioni della rappresentazione;
2. per una data rappresentazione, in ogni punto m varia al variare di
α, assumendo due valori max e due valori min su direzioni
opposte, fra loro perpendicolari;
3. la legge di variazione di m è un’ellisse, detta ellisse indicatrice di
Tissot, che degenera in un cerchio nelle carte conformi
55
Rappresentazioni conformi
Equazioni generali di una rappresentazione conforme
parte reale e parte immaginaria di una funzione F nel campo complesso
x + i y = F (U + i λ )
dove:
U = latitudine crescente
(−
−∞≤U ≤∞ ) ,
λ = longitudine
(−
− π≤λ ≤ π )
m dipende solo dal punto P
Cerchio obbiettivo infinitesimo cerchio subiettivo infinitesimo
Rappresentazione di Gauss
1a condizione
[ λ = 0 (meridiano origine)
y = 0 (asse x) ]
O(ϕ
ϕ=0, λ=0)
→
O’(x=0,y=0)
↓
↓
Origine coord. geografiche→
→ Origine coord. piane
2a condizione
[ isometria sul meridiano origine (λ
λ = 0) ]
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
Nsenϕ cos ϕ 2 Nsenϕ cos3 ϕ 4
Nsenϕ cos 5 ϕ 6
λ ( B) + ...
λ +
λ ( A) +
x = Bϕ +
2
24
720
N cos3 ϕ 3
N cos5 ϕ 5
λ (C ) +
λ ( D) + ...
y = N cos ϕλ +
6
120
A, B, C , D ⇒ f (ϕ , e'2 )
FORMA DEL RETICOLATO GEOGRAFICO
x (-λ
λ) = x (λ
λ)
y (-λ
λ) = -y (λ
λ)
PARALLELI SIMMETRICI
RISPETTO AL MERIDIANO
CENTRALE
x (-ϕ
ϕ) = -x (ϕ
ϕ)
y (-ϕ
ϕ) = y (ϕ
ϕ)
MERIDIANI SIMMETRICI
RISPETTO ALL’EQUATORE
58
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
Nsenϕ cos ϕ 2 Nsenϕ cos3 ϕ 4
Nsenϕ cos 5 ϕ 6
λ ( B) + ...
λ +
λ ( A) +
x = Bϕ +
2
24
720
N cos3 ϕ 3
N cos5 ϕ 5
λ (C ) +
λ ( D) + ...
y = N cos ϕλ +
6
120
A, B, C , D ⇒ f (ϕ , e'2 )
P1 (ϕ , λ ) ⇒ P1' ( x, y )
P2 (−ϕ ,−λ ) ⇒ P (− x,− y )
'
2
SIMMETRIA RISPETTO ALL’ORIGINE
λ = 0 → y = 0 meridiano origine → asse x
ϕ = 0 → x = 0 equatore → asse y (ortogonale)
59
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
Nsenϕ cos ϕ 2 Nsenϕ cos3 ϕ 4
Nsenϕ cos5 ϕ 6
λ ( B) + ...
λ +
λ ( A) +
x = Bϕ +
2
24
720
N cos3 ϕ 3
N cos5 ϕ 5
λ (C ) +
λ ( D) + ...
y = N cos ϕλ +
6
120
A, B, C , D ⇒ f (ϕ , e'2 )
ϕ = costante
↓
Paralleli
→
→
λ = costante →
↓
Meridiani →
x=f(λ
λ), y=f(λ
λ)
↓
∼ ellissi
x=f(ϕ
ϕ), y=f(ϕ
ϕ)
↓
∼ sinusoidi
Impropriamente cilindrica inversa
60
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
Nsenϕ cos ϕ 2 Nsenϕ cos3 ϕ 4
Nsenϕ cos5 ϕ 6
λ ( B) + ...
λ +
λ ( A) +
x = Bϕ +
2
24
720
N cos3 ϕ 3
N cos5 ϕ 5
λ (C ) +
λ ( D) + ...
y = N cos ϕλ +
6
120
A, B, C , D ⇒ f (ϕ , e'2 )
ϕ <0 → x <0
λ < 0 → y <0
(sen ϕ)
(potenze dispari di λ)
↓
N = x + x0
E = y + y0
↓
N>0 , E>0
61
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
x ≥ Bϕ
y ≥ rλ
⇓
m ≥1
62
Rappresentazione di Gauss
Per riassumere:
Origine (sull’Equatore) Origine Assi
Meridiano centrale Asse x
Equatore Asse y
Inoltre:
Paralleli curve chiuse (simili ad ellissi) concentriche ad un Polo
Meridiani curve chiuse (simili a sinusoidi) passanti per i Poli
La proiezione è detta (impropriamente) CILINDRICA INVERSA
Rappresentazione di Gauss
Modulo di deformazione lineare
2


e
λ
2
2
cos ϕ 
m ≅ 1 + cos ϕ 1 +
2
2
 1− e

oppure, in coordinate piane
2
m ≅ 1+
y
2
2 ρN
Sul meridiano centrale (y = 0 ovvero λ = 0): m = 1 (2a condizione)
Altrove: m > 1 ( m cresce con legge quadratica in funzione di y )
Per contenere le deformazioni → limitare in longitudine la zona
fusi di ampiezza ∆λ = 6° (– 80°<
< ϕ < + 80°)
Rappresentazione di Gauss
Modulo di deformazione lineare
y2
m ≅ 1+
2 ρN
Per ridurre il valore assoluto della deformazione viene applicato un
fattore di scala costante m0 alle coordinate x ed y.
Per λ = ± 3° si avrebbe mmax = 1,0008
applicando un fattore di scala m0 = 0,9996 , si ottiene mmax = 1,0004
(agli estremi del fuso) e mmin = 0,9996 (sul meridiano centrale)
m
1,0008
1,0004
.
1
0,9996
− 3°
+ 3°
λ
Rappresentazione di Gauss
Rappresentazione Universale Trasversa di Mercatore
UTM
- CONFORME
- MODULARE Fusi identici
STANDARD :
- Fusi 6°
- m0 = 0,9996
- E0 = 500 km
- N0 = 0 (Emisfero boreale) / 10000 km (emisfero
australe)
Le deformazioni
1.0075
fusi di 6° con
isometria m.c.
modulo di deformazione lineare
1.0070
1.0065
fuso 32
1.0060
1.0055
fuso 33
1.0050
1.0045
1.0040
1.0035
1.0030
1.0025
1.0020
1.0015
1.0010
1.0005
1.0000
0.9996
0.9990
0.9985
0.9980
-6°
-4°
-2°
0°
2°
4°
6°
longitudine
67
Proiezione conica conforme di Lambert
Equazione del meridiano
y = − (tg h λ ) x retta per O inclinata di h λ)
Proiezione conica conforme di Lambert
Reticolato geografico
 x = k exp (− h U) cos h λ

 y = − k exp (− h U) sin h λ
0< h < 1
k>0
x 2 + y 2 = k 2 exp (− 2 h U) ⇒ paralleli (ϕ = cost) : circonferenze con centro nell'origine
e raggio costante
y
= − tg h λ ⇒ meridiani ( λ = cost) : rette passanti per l'origine che spazzano un angolo
x
di ampiezza complessiva 2π h < 2π
h = sin ϕh
.
⇒ ϕ = ϕh → parallelo di isometria
Proiezione conica conforme di Lambert
Assi cartografici
 x = k exp (− h U) cos h λ

 y = − k exp (− h U) sin h λ
0< h < 1
k>0
 x' = k exp (− h Uϕh ) cos h λ − x
ϕh = arc sin h = latitudine parallelo isometria

 y' = − y
N. = x' + Cx
Cx , Cy : opportune costanti numeriche

E
=
y'
+
Cy

x’
y
N
O = PN
O’
y’
Cx
k exp (−
−hUϕ
ϕ h)
coshλ
λ
Cy
x
O”
E
Quali alterazioni sono indotte sulla
geometria delle informazioni nel passaggio
dalla superficie fisica alla superficie di
riferimento e al piano cartografico?
71
a) aspetti cartografici
Distanza geodetica sull’ellissoide a quota media Hm
A
PIANO CARTOGRAFICO
Ha
ELLISSOIDE
vs GEOIDE
B
Hb
DISTANZA GEODETICA
DISTANZA CARTOGRAFICA
SUPERFICIE TOPOGRAFICA
RAGGIO DI CURVATURA DELLA SFERA LOCALE
CENTRO SFERA LOCALE
72
b) aspetti topografici
errore di direzione
Strumento
visuale
mira
Differenze di temperatura fra gli strati d’aria a ridosso delle pareti e
quelli della parte centrale→ errori azimutali sistematici.
La linea di mira assume un andamento curvilineo sul piano orizzontale
(rifrazione laterale) dovuto all’attraversamento di strati a differente
temperatura (visuali radenti alle pareti per le necessità di movimento
del cantiere).
L’errore (0.6 ÷ 0.7 mgon a stazione) aumenta con il diminuire della
sezione della galleria e con l’aumento del gradiente termico e si
accumula nelle poligonali con molti lati corti (spesso minori di 100 m).
Con 0.5 mgon per lato, dopo 30 lati → 3 mgon → 5.4 cm/km
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Soluzione: orientamento giroscopico ogni 4/5 stazioni
ORIENTAMENTO CON APPARATI GIROSCOPICI
IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE
SOLIDO:
- RUOTANTE INTORNO
BARICENTRICO
AD
UN
GENERICO
UN
ASSE
- DOTATO DI MOMENTO ANGOLARE (MOMENTO D’INERZIA
RISPETTO ALL’ASSE DI ROTAZIONE ISTANTANEO PER
VELOCITA’ ANGOLARE) SUFFICIENTEMENTE ELEVATO DA
POTER CONSIDERARE TRASCURABILI LE PERTURBAZIONI
ESTERNE
- VINCOLATO SOLO NEL BARICENTRO (= LIBERO DI
ASSUMERE QUALSIASI ASSETTO ANGOLARE)
E’ UN GIROSCOPIO
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ESSO TENDE A:
1. MODIFICARE L’ASSE DI ROTAZIONE FINO A
RUOTARE INTORNO AD UN ASSE PRINCIPALE DI
INERZIA BARICENTRICO
2. CONSERVARE LA DIREZIONE DELL’ASSE DI
ROTAZIONE CONSEGUITO (Iω
ω = COST)
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IL COLLEGAMENTO FISICO DEL GIROSCOPIO
ALLA TERRA (GIROSCOPIO) IMPONE AL
SOLIDO UN MOVIMENTO RISPETTO ALLA
POSIZIONE INIZIALE CHE FA ASSUMERE
ALL’ASSE DI ROTAZIONE UNA DIREZIONE
DIVERSA E QUINDI NON PARALLELA A QUELLA
INIZIALE
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L’UNICA DIREZIONE DELL’ASSE DI ROTAZIONE DEL
SOLIDO CHE CONSENTA IL MANTENIMENTO DEL
PARALLELISMO A SE STESSO IN PRESENZA DELLA
CONTEMPORANEA ROTAZIONE TERRESTRE E’
QUELLA IN CUI L’ASSE PROPRIO E’ PARALLELO
ALL’ASSE TERRESTRE.
QUESTA E’ LA CONFIGURAZIONE CHE TENDE AD
ASSUMERE L’ASSE DEL GIROSCOPIO, SE E’ LIBERO
DI FARLO!
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A REGIME L’ASSE DI ROTAZIONE DEL GIROSCOPIO
TENDE AL PARALLELISMO CON L’ASSE DI
ROTAZIONE TERRESTRE, TANTO PIU’ VERIFICATO
QUANTO PIU’ VICINI SI E’ ALL’EQUATORE.
AL POLO LA COMPLANARITA’ E’ INDIPENDENTE
DALLA DIREZIONE AZIMUTALE E QUINDI IL
GIROSCOPIO NON PUO’ FORNIRE INDICAZIONI DI
ORIENTAMENTO
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∆α=A astr- α ell = η tg φastr + (ξ sinα- ηcos α ) ctgζ
equazione di Laplace
ξ e η rappresentano le componenti della deviazione
della verticale rispettivamente nel piano del
meridiano e in primo verticale (piano verticale
ortogonale alla direzione del meridiano).
L’equazione di Laplace esprime la differenza fra
l’azimut geodetico (astronomico) stimato con il
giroscopio e quello ellissoidico desumibile dalle
coordinate di tracciamento.
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