studio di funzioni – cap4

STUDIO DI FUNZIONI I MASSIMI E I MINIMI. LA DERIVATA PRIMA.
Un’altra importantissima caratteristica di un grafico è quella dei punti
estremanti: MASSIMI RELATIVI e MINIMI RELATIVI.
DEF.6 Consideriamo la funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 e sia 𝑃 𝑥! , 𝑦! un punto del suo
grafico.
Diremo che 𝑃 𝑥! , 𝑦! è un MASSIMO RELATIVO (o LOCALE) di 𝑓 𝑥
se ∃ 𝛿 > 0 tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝑥! − 𝛿, 𝑥! + 𝛿 si ha 𝑓 𝑥 ≤ 𝑦! .
Diremo che 𝑃 𝑥! , 𝑦! è un MINIMO RELATIVO (o LOCALE) di 𝑓 𝑥
se ∃ 𝛿 > 0 tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝑥! − 𝛿, 𝑥! + 𝛿 si ha 𝑓 𝑥 ≥ 𝑦! .
La ricerca dei massimi e minimi relativi si effettua grazie ad uno dei più
importanti concetti dell’analisi matematica: LA DERIVATA.
Illustriamo il significato geometrico di questo concetto frutto del genio di
Newton e Leibniz.
Sia 𝑃 𝑥! , 𝑓 𝑥!
un punto del grafico della funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Consideriamo un altro punto del grafico 𝑄 𝑥! + ℎ, 𝑓 𝑥! + ℎ
.
∆!
Il coefficiente angolare 𝑚! della retta secante 𝑃𝑄 è uguale a 𝑚! = ∆! =
! !! !! !! !!
!
ed è chiamato RAPPORTO INCREMENTALE.
Se scegliamo ℎ sempre più piccolo, cioè se ℎ → 0 , allora il punto
𝑄 𝑥! + ℎ, 𝑓 𝑥! + ℎ
si muove lungo il grafico di 𝑦 = 𝑓 𝑥 e si avvicina
sempre di più al punto 𝑃 𝑥! , 𝑓 𝑥!
. Di conseguenza la retta secante 𝑃𝑄 ,
ruotando, si avvicina sempre di più alla retta tangente al grafico della funzione
nel punto 𝑃 𝑥! , 𝑓 𝑥!
.
Pertanto il coefficiente angolare della retta per 𝑃 𝑥! , 𝑓 𝑥!
e tangente al
grafico della funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 si ottiene come limite del rapporto
incrementale:
mt = lim
h →0
STUDIO DI FUNZIONI f (x 0 + h ) − f (x 0 )
h
20 STUDIO DI FUNZIONI Tale limite se esiste ed è finito prende il nome di
DERIVATA PRIMA DI 𝑦 = 𝑓 𝑥 CALCOLATA NEL PUNTO DI ASCISSA
𝑥!
e si indica con uno dei simboli seguenti: 𝑓′ 𝑥! , 𝐷𝑓 𝑥! ,
t
f(x0+h)
f(x0)
Q
P x0
!"
!"
𝑥! .
s
H
x0+h
Dalla precedente definizione scaturiscono le seguenti formule:
21 STUDIO DI FUNZIONI STUDIO DI FUNZIONI DERIVATE PRINCIPALI:
1. derivata di una costante 𝑦 = 𝑘
𝐷 𝑘 =0
2. derivata di una costante 𝑦 = 𝑥
𝐷 𝑥 =1
3. derivata di una costante 𝑦 = 𝑥 !
𝐷 𝑥 ! = 2𝑥
4. derivata di una costante 𝑦 = 𝑥 !
𝐷 𝑥 ! = 3𝑥 !
5. derivata di una costante 𝑦 = 𝑥 !
𝐷 𝑥 ! = 𝑛𝑥 !!!
TEOREMI PRINCIPALI:
1. derivata di una somma di due funzioni:
𝐷 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥
= 𝑓 ! 𝑥 + 𝑔′ 𝑥
2. derivata di una differenza di due funzioni:
𝐷 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥
= 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥
3. derivata di un prodotto fra una costante ed una funzione:
𝐷 𝑘∙𝑓 𝑥
= 𝑘 ∙ 𝑓′ 𝑥
4. derivata di un prodotto di due funzioni:
𝐷 𝑓 𝑥 ∙𝑔 𝑥
= 𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥
5. derivata di un quoziente di due funzioni:
𝑓 𝑥
𝐷
𝑔 𝑥
=
𝑓 ! 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥
𝑔 𝑥
!
6. derivata delle funzioni composte:
𝐷 𝑓 𝑔 𝑥
= 𝑓′ 𝑔 𝑥
∙ 𝑔′ 𝑥
Queste formule saranno sufficienti per affrontare lo studio delle funzioni
razionali.
Ma perché la derivata prima è così importante per lo studio di una funzione?
È presto detto! Il significato geometrico della derivata prima, come abbiamo
visto, ci dice che essa rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al
grafico in un punto.
STUDIO DI FUNZIONI 22 STUDIO DI FUNZIONI Ma la retta tangente approssima il grafico in un intorno del punto di tangenza,
quindi se la tangente è crescente lo sarà anche la funzione (e così se è
decrescente lo sarà anche la funzione).
Il teorema che formalizza questo discorso intuitivo è il seguente:
TEO DI LAGRANGE
Sia 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑎, 𝑏
una funzione CONTINUA in un intervallo chiuso e limitato
e DERIVABILE nell’intervallo aperto 𝑎, 𝑏 . Allora esiste almeno un
punto 𝑥! ∈ 𝑎, 𝑏 tale 𝑓 ! 𝑥! =
! ! !! !
!!!
.
Useremo questo risultato per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce
e quelli in cui la funzione decresce, così da poter scovare i punti di massimo e
minimo relativi del grafico:
1. calcoliamo la derivata prima di 𝑦 = 𝑓 𝑥 ;
2. studiamo il segno della derivata
f ʹ′(x) > 0,
f ʹ′(x) = 0,
f ʹ′(x) < 0;
3. stabiliamo in quali punti del 𝐶. 𝐸. sono i massimi e i minimi.
f ʹ′(x)
++++
−−−−
−−−−
++++
++++
f (x)
MAX
MIN
MAX
MIN
ES.16 Determiniamo gli eventuali massimi e minimi relativi della funzione
! ! !!!!
𝑦 = ! ! !!!!!.
Sappiamo già (cfr. ES.14) che il 𝐶. 𝐸. = ℝ − −3, 1 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ −3 ∧ 𝑥 ≠
1 e sappiamo anche (cfr. ES.15) che ha Asintoti Verticali in 𝑥 = −3 e in 𝑥 = 1
e Asintoto Orizzontale 𝑦 = 1 .
Calcoliamo la derivata prima:
(
2 x − 1) ⋅ (x 2 + 2 x − 3) − (x 2 − x − 6)⋅ (2 x + 2)
f ʹ′(x ) =
=
(x
2
2
)
+ 2x − 3
23 STUDIO DI FUNZIONI STUDIO DI FUNZIONI =
=
2 x 3 + 4 x 2 − 6 x − x 2 − 2 x + 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 2 x 2 + 2 x + 12 x + 12
(x
3x 2 + 6 x + 15
(x
2
2
)
+ 2x − 3
=
2
)
+ 2x − 3
(
3 ⋅ x 2 + 2x + 5
(x
2
2
=
)
2
)
+ 2x − 3
Ora è facile capire che 𝑓 ! 𝑥 > 0 per ogni 𝑥 ∈ ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −3 ∧ 𝑥 ≠ 1 e
quindi la funzione è sempre crescente, non ha né max né min relativi.
STUDIO DI FUNZIONI 24 STUDIO DI FUNZIONI I FLESSI. LA DERIVATA SECONDA.
L’ultimo passo nel percorso che ci porta a costruire il grafico di una funzione è
quello legato alla derivata seconda.
DEF.7 Si chiama DERIVATA SECONDA di una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥
la
DERIVATA DELLA DERIVATA PRIMA, cioè 𝑓" 𝑥 = 𝐷𝑓′ 𝑥 .
Ma come ci aiuta la derivata seconda a costruire il grafico della 𝑓 𝑥 ?
Detto in parole semplici, la derivata seconda ci fa capire in quali intervalli 𝑎, 𝑏
contenuti nel 𝐶. 𝐸. il grafico della funzione ha la concavità rivolta verso l’alto
(caso in cui 𝑓" 𝑥 > 0 ) e invece ha la concavità rivolta verso il basso (caso in
cui 𝑓" 𝑥 < 0 ).
Inoltre la derivata seconda ci fa individuare anche gli eventuali PUNTI DI
FLESSO, punti in cui il grafico passa da una concavità rivolta verso l’alto ad
una rivolta verso il basso. Per capire meglio la caratteristica di questi punti
consideriamo una comune esperienza che ognuno di noi ha sperimentato
andando in auto. Immaginiamo di percorrere a bordo di un’auto una strada con
tante curve. Siamo su un breve rettilineo, ora iniziamo a percorrere una curva
girando verso destra: i viaggiatori si inclinano verso sinistra a causa della forza
centrifuga. Subito dopo dobbiamo affrontare un’altra curva, stavolta giriamo
verso sinistra ed ora i passeggeri subiscono una spinta che dapprima li fa
rialzare e subito dopo li fa inclinare verso destra. Ebbene l’istante in cui i
viaggiatori si sono rialzati, è l’istante in cui l’auto ha transitato nel punto di
flesso della curva.
Il teorema che formalizza questo discorso intuitivo è il seguente:
25 STUDIO DI FUNZIONI STUDIO DI FUNZIONI TEO DI TAYLOR
Sia 𝑦 = 𝑓 𝑥
una funzione CONTINUA in un intervallo chiuso e limitato
𝑎, 𝑏 e DERIVABILE DUE VOLTE nell’intervallo aperto 𝑎, 𝑏 .
Allora in un intorno di 𝑥! si ha
f (x ) = f (x0 ) + f ʹ′(x0 ) ⋅ (x − x0 ) +
f ʹ′ʹ′(x0 )
2
2
⋅ (x − x 0 ) + ο (x − x 0 )
2
cioè 𝑦 = 𝑓 𝑥 si può approssimare con un polinomio di secondo grado.
Useremo questo risultato per determinare gli intervalli in cui la funzione volge
la concavità verso l’alto, verso il basso e i punti di flesso del grafico:
1. calcoliamo la derivata prima di 𝑦 = 𝑓 𝑥 ;
2. calcoliamo la derivata seconda di 𝑦 = 𝑓 𝑥 ;
3. studiamo il segno della derivata seconda
f ʹ′ʹ′(x) > 0,
f ʹ′ʹ′(x) = 0,
f ʹ′ʹ′(x) < 0;
4. stabiliamo in quali punti del C.E. sono i flessi.
f ʹ′ʹ′(x )
++++
−−−−
++++
−−−−
++++
f (x)
𝐹!
𝐹!
𝐹!
𝐹!
ES.17 Determiniamo gli eventuali flessi della funzione
x2 − x − 6
y= 2
.
x + 2x − 3
Abbiamo già calcolato la derivata prima di questa funzione
f ʹ′(x ) =
(
3 ⋅ x 2 + 2x + 5
(x
2
)
2
)
+ 2x − 3
Per ottenere la derivata seconda di 𝑦 = 𝑓 𝑥 basterà calcolare la derivata di
𝑓′ 𝑥 così otteniamo:
STUDIO DI FUNZIONI 26 STUDIO DI FUNZIONI (
⎛ 3 ⋅ x 2 + 2 x + 5
ʹ′
ʹ′
f (x ) = D⎜
⎜ x 2 + 2 x − 3 2
⎝
=
2
(
)
)⎞⎟ =
(
)
(
) (
⎟
⎠
)
3 ⋅ (2 x + 2) ⋅ x 2 + 2 x − 3 − 3 x 2 + 2 x + 5 ⋅ 2 x 2 + 2 x − 3 (2 x + 2)
(x
=
2
4
)
+ 2x − 3
) [(
(
)
(
3 ⋅ (2 x + 2) ⋅ x 2 + 2 x − 3 ⋅ x 2 + 2 x − 3 − 2 ⋅ x 2 + 2 x + 5
(x
=
=
2
4
)
+ 2x − 3
[
3 ⋅ (2 x + 2) ⋅ x 2 + 2 x − 3 − 2 x 2 − 4 x − 10
(x
[
2
3
)
+ 2x − 3
2
3
)
+ 2x − 3
)] =
]=
] = − 3 ⋅ (2x + 2)⋅ (x + 2x + 13)
(x + 2 x − 3)
3 ⋅ (2 x + 2) ⋅ − x 2 − 2 x − 13
(x
=
2
3
2
Dallo studio del segno della derivata seconda segue che
𝑓" 𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 < − 1 , 𝑓" 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 , 𝑓 𝑥 < 0 ⟺ 𝑥 > − 1
dunque in 𝑥! = −1 c’è un punto di flesso della funzione.
Sostituendo il valore dell’ascissa nella funzione si ottiene che le coordinate del
punto
di
flesso
sono
2
⎛
(
− 1) − (− 1) − 6 ⎞ ⎛
− 4 ⎞
⎟
F (x F , f (x F )) = ⎜⎜ − 1,
=
−
1
,
⎜
⎟ = (− 1, 1) .
2
⎟ ⎝
−
4
(
)
(
)
−
1
+
2
−
1
−
3
⎠
⎝
⎠
Il grafico della nostra funzione ora può essere costruito con sufficiente
accuratezza:
27 STUDIO DI FUNZIONI

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