Problemi di simulazione della seconda prova di matematica Esami di stato liceo scientifico 25 febbraio 2015 Lo studente deve svolgere un solo problema a sua scelta Tempo massimo assegnato alla prove tre ore Problema 2: Un mappamondo prezioso Lavori in un laboratorio d'arte vetraria e il responsabile del museo civico della tua città ti chiede di progettare un espositore avente forma conica che possa contenere un prezioso e antico mappamondo. Il mappamondo ha raggio R e l'espositore deve essere ermeticamente chiuso, per impedire che il mappamondo prenda polvere. Il tuo collega Mario dice che, per costruire l'espositore, si potrebbe utilizzare il quarzo ialino ma, data la preziosità del materiale, per risparmiare è necessario determinarne le dimensioni ottimali. Inoltre per proteggere l'espositore dalla polvere decidete di ricoprirlo con una sottile pellicola trasparente di nuova generazione e piuttosto costosa. 1. Trascurando lo spessore dell'espositore e attraverso un’opportuna modellizzazione geometrica, determina l'altezza h e il raggio di base r dell'espositore affinché sia minima la sua superficie totale, allo scopo di utilizzare una quantità minima di pellicola1. 2. Fornisci una spiegazione adeguata e convincente del procedimento seguito, eventualmente anche con rappresentazioni grafiche. Ora tu e Mario dovete scegliere la pellicola da sistemare sulla superficie esterna dell'espositore. La scelta va fatta tra due pellicole che hanno lo stesso costo unitario ma diverse proprietà: la prima ogni anno perde il 3% della resistenza all'usura che ha a inizio anno, mentre la seconda ogni anno perde il 2% della resistenza all'usura iniziale. 3. Aiuta Mario nel capire quale pellicola convenga scegliere in funzione della durata, tenendo conto del fatto che entrambe hanno la stessa resistenza di partenza e che una pellicola va cambiata quando la sua resistenza all'usura risulta inferiore al 30% della sua resistenza di partenza. 1 Ricorda che la superficie totale S di un cono è data dall’espressione: S  r  r r  h 2 2 2 3 www.matematicamente.it N. De Rosa La prova di matematica al liceo PROBLEMA 2 Punto 1 e Punto 2 Consideriamo la seguente figura che rappresenta una sezione piana del cono al cui interno c’è il mappamondo sferico. Essendo h  R l’altezza CH, si ha CO  h  R . I triangolo COD e CHB sono simili pertanto vale la seguente proporzione tra lati omologhi: Rh 2 CD : OD  CH : HB  h  R   R 2 : R  h : r  r  . 2 h  2 Rh La superficie totale del cono è pari a: S T h   r 2  r r 2  h 2    R2h2  h 2  2 Rh   R2h2  h2  2 h  2 Rh Rh  h 2  2 Rh   Rh 2  R2h2 Rh h 4  2 Rh 3  R 2 h 2 R2h2 Rh 2 h  R            h 2  2 Rh h 2  2 Rh h 2  2 Rh h 2  2 Rh  h  2 R          La minimizzazione della superficie totale la effettuiamo mediante derivazione: la derivaat prima è pari a  2 Rhh  2 R   Rh 2   Rhh  4 R  S 'T h       2 2  h  2R     h  2 R   La derivata prima è negativa in (0,4R) e positiva in 4R, pertanto la superficie totale è minima per h  4R ed in questo case vale il raggio di base misura r  e la superficie totale minima è ST ,min  ST 4R   8R 2 . Punto 3 Sia Ri la resistenza iniziale. 4 www.matematicamente.it N. De Rosa La prova di matematica al liceo Nel caso in cui si usi la pellicola di primo tipo, dopo il primo anno la resistenza è pari a dopo il secondo anno la resistenza è R  Ri  0,03Ri  0,97 Ri ; R  0,97 Ri  0,97 Ri  0,03  0,97  0,97 Ri  0,97 2  Ri ; iterando il procedimento, dopo l’n-esimo anno la resistenza sarà R  0,97 n  Ri . Se si usa la pellicola di secondo tipo, dopo il primo anno la resistenza è R  Ri  0,02Ri  0,98Ri ; dopo il secondo anno R  0,98Ri  0,02Ri  0,96Ri ; iterando il procedimento, dopo l’n-esimo anno la resistenza sarà R  1  0,02n  Ri . La pellicola di primo tipo 0,97 n  0,3  n ln 0,97  ln 0,3  n  La pellicola di va cambiata R  0,97 n  Ri  0,3Ri ovvero se ln 0,3  39,5 ovvero n  40 . ln 0,97 secondo tipo va cambiata se 1  0,02n  0,3  n  se R  1  0,02n  Ri  0,3Ri ovvero se 0,7  35 ovvero n  36 . 0,02 Quindi conviene scegliere la pellicola di primo tipo che rispetto a quella di secondo tipo dura 4 anni in più prima di avere una resistenza all’usura inferiore al 30% di quella iniziale. 5