Unnützes Wissen 2015: Tages

Elementi di Fisica 2, M. Baiesi
LEZIONE 1: Coulomb
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•
⃗ =k
F
•
q 1 q2
r
2
•
•
•
•
•
2
2
1
r^ 12
⃗ 12 che sente la 2 a causa della 1, il versore versore r^ 12 punta dalla 1 alla 2
forza F
Elettrizzazione da sfera a capelli: che succede?
LEZIONE 2: Campo elettrico
•
−12
9
2
2
ϵ0 =8.85⋅10 C / Nm ← k =
=9⋅10 Nm /C
cenni storici
4 π ϵ0
due segni: Bachelite + / Vetro −19
e=1.6⋅10 C
conservazione della carica
−31
m e=9.1⋅10 kg massa elettrone
attrazione/repulsione a seconda del segno
−27
m p=1.67⋅10 kg massa protone
induzione
Unita' di misura della carica: coulomb (C)
μ
μ 0=4 π k m ≃1.26⋅10−6 H /m ← k m= 0 =10−7 H / m
Legge di Coulomb (1785)
4π
tra cariche a distanza r
q q
F=k 1 2 2 decade con la distanza
r
9
2
2
k =9⋅10 Nm /C
2
1
−12 C
con ϵ0 =8.85⋅10
k=
4 π ϵ0
N m2
−19
coulomb e' unita' enorme: carica e' quantizzata, carica elementare e=1.6⋅10 C
elettroni: -e, protoni: +e, neutroni 0
⃗ → somma di vettori, con un occhio al segno → esempio 2 o 3 cariche
Forza: vettore → F
⃗
⃗= F
E
q0
⃗ e' la somma degli effetti di tutte le cariche esclusa q 0
E
Distribuzione continua di cariche:
q
x
⃗ ( x)= q |⃗
Anello nel piano yz: E
E ( x)|cosθ x^ =
x^
2
4 π ϵ0
4 π ϵ0 ( R +x 2 )3 /2
- campo sull'asse x e' parallelo all'asse x
- derivazione con frammentazione simmetrica di cariche (q → 2*q/2 → 4*q/4 ...)
- come si riscrive con densita' di carica lineare λ=q / 2 π R
Anello, raggio y e spesso dy: q=(2 π y dy)σ (area per densita' di carica superficiale)
Disco: integrare effetto di anelli con 0<y<R:
R
|x|
y
⃗ ( x)=σ x ∫
E
dy x^ =± σ (1− 2 2 ) x^
2
2 3/ 2
0
2 ϵ0
2ϵ0
( y +x )
√ x +R
σ
⃗ =±
Piano: R →∞ per disco, E
. Notare che e' costante in modulo
2 ϵ0
2 Piani: somma degli effetti
Linee di forza: due cariche, ecc.
1
q
⃗ =q ⃗
E quindi l'accelerazione e' ⃗a= ⃗
Moto di una carica: F
F= ⃗
E
m
m
esempio con E uniforme: equazioni del moto
introduzione al concetto di flusso
carica esploratrice sente campo elettrostatico,
LEZIONE 3: Legge di Gauss
•
Concetto di flusso
•
Flusso su sfera centrata nella carica di
•
⃗ (⃗r )=
flusso su superficie chiusa di E
•
•
•
•
⃗ (⃗r )=
E
q
r^
4 π ϵ0 r 2
q
r^ (a) carica racchiusa (b) carica esterna
4 π ϵ0 r 2
⃗ )= ϵq
Legge di Gauss per carica isolata: Φ Σ ( E
0
Somma di effetti di cariche: Gauss per distribuzione di cariche
casi:
(a) piano
(b) superficie metallica
(c) sfera carica superficialmente
(d) sfera uniformemente carica
(e) filo
(f) tubo uniformemente carico
Richiamo di relazione tra energia potenziale e forza: gradiente, integrale del lavoro
LEZIONE 4: Potenziale elettrico (V) ed energia potenziale elettrostatica (U)
•
•
⃗⋅d ⃗s (prodotto scalare, componente di ⃗
F∥d ⃗s )
Lavoro: forza per spostamento d W = F
CASO 1D:
forze conservative: energia potenziale U, da cui F=−dU /ds
B
⃗⋅d ⃗s
ΔU AB=U B−U A =−∫ F
W AB=U A −U B lavoro fatto dalle cariche
A
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
notare: U definito a meno di una costante arbitraria, che non influenza le forze e le ΔU
per spostare una carica nei pressi di un altra: cambio di energia elettrostatica
1 qi q j
Energia elettrostatica di un insieme di cariche U TOT =∑i < j U ij =∑i< j
4 π ϵ0 r ij
1 qi
Energia elettrostatica di una carica esploratrice U 0=∑i U i 0 = ∑i
q =V q 0
4 π ϵ0 r i 0 0
e' uguale alla carica per il valore del potenziale elettrico V generato dalle altre cariche
dU
dV
dV
F=q 0 E=−
=−q 0
quindi E=−
Unita' di misura del potenziale: volt, V
ds
ds
ds
[
B
Integrando V B−V A =−∫A E(s)ds
]
unita' di misura: volt, V → campo elettr. in V/m
q
Potenziale attorno ad una sfera carica superficialmente: V (r)=
+const per r>R
4 π ϵ0 r
6
mentre e' uguale a V(R) all'interno r<R (es. Terra = 6.4⋅10 m , V (r)−V (∞)≃1400q
r
Potenziale attorno ad un filo indefinito carico: V (r)=− λ ln
scegliendo V(R)=0
2 π ϵ0 R
variazione di energia ΔU convertita in altre forme di energia, es. energia cinetica
CASO 3D:
⃗⋅d ⃗s =F dr , quindi e' conservativa
Forza di Coulomb e' una forza “centrale”: d W = F
⃗ U (x , y , z)= ∂ U x^ + ∂ U ^y + ∂U ^z generalizza la derivata
Concetto di gradiente ∇
∂x
∂y
∂z
⃗
⃗
⃗ =− ∇ V , forza/energia F
⃗ =−∇ U
campo/potenziale E
B
⃗ V⋅d ⃗r =− E
⃗⋅d ⃗s : V B−V A =−∫ E
⃗⋅d ⃗s
Integrale di d V = ∇
A
A
⃗⋅d ⃗s =0 per campi elettrostatici
Circuitazione: V A −V A =∫A E
LEZIONE 5: Cariche accelerate, oscilloscopio, esercizi
•
•
•
conservazione dell'energia meccanica, cioe' cinetica piu' potenziale, per singola carica q:
1
1
1
1
2
2
2
2
m v A +U ( x⃗A )= m v B +U ( x⃗B) →
m v A +q V ( x⃗A )= m v B +q V ( x⃗B )
2
2
2
2
esempio: elettrone respinto da sfera carica negativamente
1 2
Caso uniformemente accelerato x (t )=x 0 +v 0 t + a t , v (t )=v0 +a t , a=q E /m
2
Tubo catodico / oscilloscopio, q=e: x (t )=v 0 t → tempo di attraversamento τ=L /v 0
2
1 eE 2
1 e E x (t )
→ deviazione verticale y (t)=
t →
y (t)=
2 m
2 m v0
dy
eEL
→ angolo di deflessione tg α=
=
dx x =L m v 20
11
→ Thomson misurò e / m=1.76⋅10 C / kg
Ricavare V(x) da E(x)
V(r) della sfera e del filo indefinito
2
intermezzo: Perché E∼1/r ? Fotoni?
0
0
λ dx
L
λ [ 1 ] = λ
E(r), r a destra di sbarra [-L,0], E=∫−L
=
2
4
π
ϵ
r−x
4
π
ϵ
r
(r+
L)
4 π ϵ0 (r−x)
0
−L
0
E x , E y al centro di un quarto di circonferenza:
π/ 2
λR
λ ds
cosθ d θ= λ
dE x =
cos θ , ds=d (R θ)=R d θ , E x=
2
2 ∫0
4 π ϵ0 R
4 π ϵ0 R
4 π ϵ0 R
( )
•
•
•
•
•
LEZIONE 6: Conduttori (LoRusso)
LEZIONE 7: Condensatori (LoRusso)
LEZIONE 8: Dielettrici (LoRusso)
( )
LEZIONE 9: esercizi su conduttori, condensatori, dielettrici
•
•
•
•
Metalli = conduttori
Concetto di “mettere a massa”
Sfera cava concentrica contenente altra sfera carica→che succede se a) isolata, b) a massa
Condensatore sferico,
potenziale V A −V B =
•
[
]
Q
1
1
Q R B −R A
−
=
, capacita'
4 π ϵ0 R A R B 4 π ϵ0 R A R B
R R
Q
C = =4 π ϵ0 A B
V
R B −R A
•
Schermo elettrostatico: da fuori non si nota la posizione di un oggetto carico all'interno di sfera
metallica.
Oggetti conduttori connessi: stesso potenziale (altrimenti ci sarebbe ⃗E e Q in moto)
– sfere concentriche → Van der Graaf (video)
– sfere lontane connesse, raggi R 1 , R 2 → trovare Q 1 e Q 2 , dato Q=Q1 +Q2 e
•
Condensatori: unità di misura farad, F
V 1=V 2
- in serie: stessa Q, 1/C eq =1/C 1 +1/C 2 → C eq =
•
•
•
C 1C2
,
C 1 +C 2
V 1=Q /C 1, V 2=Q/C 2, V 1+V 2=Q /C eq
- in parallelo: stesso V, C eq =C 1 +C 2 , Q 1=C 1 V , Q 2=C 2 V
Condensatore piano: C=ϵ0 Σ , come varia V a Q costante, se h cambia? Per Q dato V fisso?
h
→ Laboratorio, 1a esperienza
Dielettrico: E 0 → E=E 0 / κ quindi V A −V B → (V A −V B )/ κ quindi C → κ C
– la costante dielettrica relativa κ=ϵ/ϵ0 è un numero adimensionale
– col dielettrico la capacità aumenta, con meno campo elettrico si trattiene la stessa carica
campo E diminuisce se si passa dal vuoto ad un dielettrico, con cariche fisse:
Polarizzazione, dipoli microscopici
E⃗0
1
⃗
E= κ = E⃗0 + ⃗
E pol → campo di polarizzazione nel dielettrico ⃗
E pol=( κ −1) E⃗0 ha verso
opposto al campo E⃗0 che ci sarebbe nel vuoto
LEZIONE 10: Corrente elettrica (LoRusso)
LEZIONE 11: Corrente elettrica, modelli microscopici (LoRusso)
LEZIONE 12: Energia elettrostatica, polarizzazione / Resistenze
1
2
•
Densità di energia elettrica: ue = ϵ E2 con ϵ=κϵ 0 , unità
•
Energia in un condensatore U = Q V = C V 2 =
•
Collegamento in parallelo di C 1
1
2
2
si passa da
•
•
•
•
•
•
2
1 Q1 1 Q2
U ini =
+
a
2 C1 2 C2
1
2
3
J / m , N /m
2
2
1Q
(equivalenti, Q=CV )
2 C
contenente Q 1 con C 2 contenente Q 2
2
1 (Q 1+Q2 )
U fin =
con C eq =C 1 +C 2 , notare U fin <U ini
2
C eq
Dielettrico in un condensatore
1) inserimento a Q costante
2) inserimento a V costante
Esempio: con Q costante su C 1 in parallelo a C 2 , variare C 2 : cosa cambia
B≈ A
Generatori e forza elettromotrice E =∫ A ⃗E⋅d ⃗s def. da “circuitazione”
Prima legge di Kirchhoff e conservazione della carica
Resistenze in serie e in parallelo: esempi
Potenza dissipata: P =V i=R i2=V 2 / R , Potenza fornita da generatore P =E i
Potenza persa nella resistenza interna del generatore di tensione
LEZIONE 13: Leggi di Kirchhoff, circuito RC
•
•
•
•
Maglie nei circuiti elettrici
Seconda legge di Kirchhoff, esempio con 2 generatori in serie a 2 R, esempio con due maglie
Fili come parti effettivamente a V costante
Con un voltmetro si può misurare una corrente? inserire R bassa, V su R
•
Circuito RC: scala di tempo τ=R C
convergenza esponenziale ∼ e−t / τ delle varie quantità a nuovo stato
q
C
q
C
Carica: E =V C +V R = +R i= +R
dq
→
dt
−RC
dq
=q−C E →
dt
dq
dt
=−
q−C E
RC
Caso dell'onda quadra racchiude sia carica che scarica completa, se ha periodo
– carica: q 0=0
q (t )=C E [1−e−t /τ ] , V (t )=E [1−e−t /τ ] , i(t)=
– scarica: q 0=C E , equazione con E =0
q (t )=C E e −t/ τ , V (t )=E e −t/ τ , i(t)=
•
dq E −t/ τ
= e
dt R
dq −E −t /τ
=
e
dt
R
Potenza nella carica dell'RC: integrandola si ha energia spesa/guadagnata
W gen=∫ E
dq
2
dt =E q (t )→C E =
dt
1
2
Δ UC → C E ,
2
t
∞
Ediss=∫0 Ri 2 (t ' )dt ' →R ∫0 (
•
>10 τ
Δ U C +E diss ,
E 2 −2 t ' /RC
E 2 RC 1
)e
dt '=
= CE2
R
R 2 2
((Lavoro per allontanare armature di condensatore piano: caso a Q costante o a V costante))
LEZIONE 14: Campo magnetico, Forza di Lorentz
•
•
•
Storia: Magnesia, calamite, campo magnetico terrestre,
Oersted: corrente + calamita
Ampere: corrente + corrente
Polo nord e polo sud di calamita, sempre in coppia (non esiste carica magnetica)
Forza di Lorentz: su carica elettrica q in movimento
•
è data da prodotto vettoriale → regola della mano destra, versione matriciale
Forza cambia verso se q cambia segno
•
Visto che
•
Forza di Lorentz non fa lavoro, quindi non può cambiare l'energia della q
→ non si può definire un potenziale magnetico
⃗ , raggio r
B uniforme: Moto circolare nel piano ortogonale a B
2
accelerazione centrifuga in generale è v /r (dimensionalmente, dati m,v,r,...)
velocità angolare ω=v / r=2 π f , f=frequenza, periodo T =1/ f =2 π/ ω
⃗
F=q ⃗v × ⃗
B
⃗
F ⊥⃗v ,
⃗
⃗ d ⃗s =0 , forza e spostamento sono ortogonali,
F⋅⃗v = F⋅
dt
modulo della forza centripeta = modulo della forza centrifuga
q v B=m
v2
r
→ il centro del moto circolare non comprende un punto speciale con cariche
→ r=
•
•
•
mv
qB
→ ω=
qB
non dipende dalla velocità →
m
T=
2π m
qB
Esempio: entrata ed uscita da una zona magnetizzata, spettrometro di massa
⃗
Forza di Lorentz generalizzata: se c'è anche campo elettrico ⃗F=q( ⃗E+⃗v ×B)
Esempio: selettore di velocità
LEZIONE 15: Leggi di Laplace, momento magnetico
•
Forza su tratto di filo percorso da corrente i, Seconda legge di Laplace:
•
sul filo da P a Q: integrale,
•
⃗ omogeneo:
Caso con B
•
•
Spira: circuito chiuso (maglia) → P=Q → ⃗F filo =0 (risultante totale)
ma possono esserci coppie di forze non nulle:
→ spira quadrata in B omogeneo
⃗ =i Σ n^
momento magnetico ed energia potenziale magnetica della spira m
•
Momento delle forze nella spira quadrata
•
è la derivata rispetto all'angolo θ di un energia potenziale
Galvanometro, contachilometri, bilancia
•
campo magnetico generato da corrente, Prima legge di Laplace:
⃗ dq⃗v ×B=
⃗ dq d ⃗s ×B=
⃗ i d ⃗s × ⃗
d F=
B
dt
Q
Q
⃗F filo=∫ d ⃗F=i∫ d ⃗s × ⃗B
P
P
⃗F filo=i
(∫ d ⃗s )× ⃗B= i
Q
P
⃗ B=
⃗ i ⃗l × ⃗B
PQ×
2
dU B
dθ
U B =−⃗
m⋅⃗
B=−m B cosθ
M F =F l sen θ=i B l sen θ=i Σsen θ=−
μ 0 i ds
i ds
^ ^
^s×r^
(per carica in moto i ds= v dq)
2 s×r =
4 π r2
r
μ 0= 4 π k m ≃1.26⋅10−6 H /m è la permeabilità magnetica del vuoto
⃗ =k m
dB
•
dove
Campo generato da spira circolare, analogo a grandi r di dipolo elettrico
μ0 i
n^ con n^ orientato seguendo regola della mano destra
2R
⃗ (0)
⃗ è orientato come B
→ nella spira circolare m
⃗ (r=0)=
→ al centro B
→ il B generato dalla spira nel suo centro tende ad allinearsi con il B esterno
LEZIONE 16: Biot-Savart, spira circ., attrazione tra correnti
•
μ0 i
sen θ ^
ds
t , r2 = R2 + s2 (la distanza^2 di ds dal punto)
2
4π
r
μ i
μi
R=r sen θ , senθ=R /r , tan θ=s/ R , B= 0 I= 0
Biot-Savart
4π
2π R
∞
∞
d (tan θ)
sen θ
R
1 ∞
dy
1 π/2
perché I=∫−∞ ds 2 =∫−∞ 2 2 3/ 2 ds= ∫−∞
= ∫−π /2
2 3/2
R
R
r
(R +s )
(1+ y )
(1+tan 2 θ)3/2
1 π /2
d θ/ cos2 θ
1 π/2
2
con
y=s/ R
= ∫−π/ 2
d θcos θ=
∫
2
2
3/2
3 =
−π
/2
R
R
(cos θ+sen θ) / cos θ R
Laplace per filo rettilineo:
⃗=
dB
→ esempio: campo generato da due fili paralleli
μ 0 i 1 i2
2π r
→ esempio: elettrodinamometro con 2 spire circolari a distanza r≪ R (raggio)
•
Forza tra fili paralleli percorsi da correnti e distanti r:
•
•
Forza su spira vicino a filo: B non omogeneo dà F totale non nulla sulla spira
Esercizi
F1,2 =F 2,1=
LEZIONE 17: ESERCIZI
LEZIONE 18: Legge di Ampere, solenoide indefinito, Legge di Gauss per B
⃗ ⃗s=
B⋅d
μ 0 i ds μ 0 i
=
dθ
2π r 2π
•
Integrando su circonferenza attorno a filo rettilineo:
•
Integrando in direzione qualsiasi: lo stesso
•
Integrale che racchiude il filo:
•
Vale per fili anche non rettilinei: Legge di Ampere per correnti concatenate:
orientare una curva chiusa e contare le correnti concatenate col segno opportuno:
•
μ i
∫∘ ⃗B⋅d ⃗s = 2 0π (2 π)=μ0 i
•
•
∫∘ ⃗B⋅d ⃗s =0
∫∘ ⃗B⋅d ⃗s =μ0 iconc
Esempi:
(a) con vari fili 1d
(b) filo di raggio R con densita' di corrente j:
•
..che esclude il filo:
1
B= μ 0 j r al suo interno, B-S all'esterno
2
(c) filo coassiale → si può avere B=0 al suo esterno
Solenoide rettilineo indefinito: assumiamo B≠0 solo all'interno del solenoide
B h=∫∘ ⃗
B⋅d ⃗s =μ 0 N i=μ 0 n h i → B=μ 0 n i
– confronto con il caso del solenoide reale (laboratorio), B varia lungo l'asse
Interrompere le linee di B non è fisico: è un campo solenoidale, non ci sono sorgenti=cariche, e
ha flusso nullo su qualsiasi superficie chiusa
⃗ n d Σ=0 → su due metà della superficie chiusa il
Legge di Gauss per il flusso di B: ∫Σ−chiusa B⋅^
flusso di B è uguale e contrario
LEZIONE 19: Campi variabili nel tempo, Legge di Faraday, Lenz, alternatore, “binari”
•
•
⃗ attraverso una curva chiusa orientata
Flusso di B
Esperimenti di Faraday: un campo B variabile genera una f.e.m.
•
f.e.m indotta E ind=−
•
perché: caso di sbarra che scorre, impone v alle cariche, genera ~E, genera fem
⃗)
d ΦΣ ( B
dt
che corrisponde a E ind=−
•
(flusso di B si misura in weber)
⃗
d ΦΣ ( B)
dt
E ind=E l=v Bl
Corrente alternata da spira che ruota in B: Φ(B)=ΣB cosθ
se θ=ω t → Φ(B)=ΣB cos (ωt ) → fem=
i=E ind / R=
−d Φ(B)
=Σ B ω sin(ω t)
dt
ΣB ω
sin (ω t) → potenza dissipata Ri^2
R
•
Binari...
•
Circuito fisso in B che varia (linearmente)
LEZIONE 20: Autoinduzione, circuito RL, induzione mutua
•
•
⃗
Autoinduzione/induttanza L: ΦC ,Σ ( B)=Laplace
integrato in Σ=Li è proporzionale a i
→ L è sempre positiva
⃗
esempio: solenoide ideale → sommare il flusso su tutte le spire Φ( B)=N
(μ 0 n i) Σ
2
2
quindi L=μ 0 n Σ L=μ 0 n ( volume)
d Φ (⃗
B)
di
=−L
dt
dt
•
f.e.m sull'induttanza E L=−
•
circuito RL: la corrente non può essere discontinua perché la sua derivata non può essere
L
−L di −E
=
+i → τ=
R dt R
R
di
E
−t /τ
−t / τ
accendendo il generatore da i=0, i(t)= [1−e ] va a regime→ E (t )=−L =−E e
R
dt
E
E −t / τ
mentre spegnendo il generatore da i(0)=
, i(t)= e
la corrente scende gradualmente
R
R
→ esempio (quando si raggiunge metà della i max? ... (ln 2) τ≃0.69 τ )
infinita (causa Faraday che darebbe f.e.m infinita): E + E L=R i →
•
•
•
•
Coefficienti di mutua induzione:
flusso del campo B 1 in circuito 2: Φ1,2 =M 1,2 i 1 ; viceversa Φ2,1 =M 2,1 i2
→ gli M possono anche essere negativi
Esempi: solenoide coassiale con
(a) spira
(b1) altro solenoide parallelo
(b2) ..perpendicolare
(b3) ..antiparallelo
Si troverà che M 1,2 =M 2,1
Trasformatore ideale: circuito con N 1 avvolgimenti accoppiato a circuito con
avvolgimenti (vedere lez. su materiali ferromagnetici)
dΦ
dΦ
|E 1 (t )|= 1 , |E 2 (t)|= 2 , flussi principale ϕ t.c. Φ1 =N 1 ϕ , Φ2 =N 2 ϕ
dt
dt
|E 1 (t)| N 1
=
da cui
|E 2 (t)| N 2
N2
LEZIONE 21: Energia magnetica, corrente di spostamento e Ampere-Maxwell,
Eq. di Maxwell
•
•
•
di
=R i
dt
dU
di
→ potenza istantanea fornita − L =−L i=R i 2 potenza istantanea dissipata,
dt
dt
1
La potenza fornita è la derivata temporale dell'energia nell'induttanza U L = L i2
2
1
1 2
2 2
2
Siccome L=μ 0 n (volume) → U L = μ 0 n i (volume)=
B (volume)
2
2 μ0
1
1 2
2
Densità di energia magnetica um =
B (quella elettrica era ue = ϵ0 E )
2
2μ 0
1
1
notare: anche dalla relazione U L = L i2 =
∫ B 2 (⃗x)d ⃗x=U m si puo' ricavare L
2
2 μ 0 volume
in un RL, ad ogni istante: E L=−L
(esempio: cavo coassiale)
•
Perchè
M 1,2 =M 2,1 ?
1
2
1) aumentando da 0 ad i1 → energia U 1 = L1 i 21
1
2
2) aumentando da 0 ad i2 → ulteriore energia U 2 = L2 i 22 e termine di accoppiamento
U 2,1=−(lavoro di 1 contro f.e.m.2)=−∫ (−M 2,1
•
•
•
Risulta lo stesso valore se si aumenta prima
di2
)i dt =M 2,1 i2 i 1 che e' simmetrico 1 <--> 2
dt 1
i2 → M 12=M 21
1 2 1
2
U m =U 1 +U 2 +U 1,2= L1 i1 + L2 i 1 + M 1,2 i1 i 2 energia magnetica di circuiti accoppiati
2
2
Corrente di spostamento in un condensatore piano:
dq d
d ΣV
d
d
= (CV )=ϵ0 (
)=ϵ0 ( ΣE )=ϵ0 Φ ( ⃗
E)
dt dt
dt h
dt
dt
d
Legge di Ampere-Maxwell: ∫O ⃗B⋅d ⃗s =μ 0 (iconc +i s )=μ 0 iconc +μ 0 ϵ0 Φ( E⃗ )
dt
is =
•
•
→ campi elettrici variabili nel tempo possono generare campi magnetici
→ corrispettiva della legge di Faraday (B variabili nel tempo generano E)
esempio: B in condensatore piano con V che aumenta linearmente
•
EQ. DI MAXWELL IN FORMA INTEGRALE
Gauss per campo elettrico
• Faraday
•
∫Σ chiusa ( ⃗E⋅⃗n )d Σ= ϵq0
Gauss per campo magnetico
∫Σchiusa ( ⃗B⋅⃗n)d Σ=0
∫C chiusa ⃗E⋅d ⃗s =−
•
⃗
d Φ Σ(C )( B)
dt
Ampere-Maxwell
⃗ ⃗s=μ 0
∫C chiusa B⋅d
[
iconc +ϵ0
d Φ Σ(C )( ⃗
E)
dt
]
LEZIONE 22:Proprietà magnetiche della materia
•
•
•
•
•
•
•
•
•
⃗ B⃗0 /μ 0 (unità A/m)
Campo magnetico nel vuoto B⃗0 → campo “magnetizzante” H=
⃗
⃗
Campo in un materiale B=κ
κm
m B 0 , con permeabilità magn. relativa
⃗
⃗
→permeabilità magnetica μ=κ m μ 0 che dipende dal materiale,
B =μ H
⃗ ⃗s=μ iconc
La legge di Ampere diventa ∫C chiusa B⋅d
Suscettività magnetica χ m t.c. κ m=χ+1
⃗ =χ m H
⃗ =(κ−1) H
⃗ → B⃗m=μ 0 M
⃗ , corrente amperiana im
Magnetizzazione: M
⃗ B⃗0 + B⃗m=μ 0 ( H+
⃗ M
⃗)
B=
– Sostanze –
diamagnetiche: χ m <0, κm <1 ( χ m ∼−10−5 ) (oro, piombo, rame, silicio, acqua,idrogeno,...)
paramagnetiche: χ m >0, κm >1 ( χ m ∼10−5 ) (alluminio, calcio, sodio, uranio, ossigeno...)
⃗ B⃗0 )
ferromagnetiche: χ m ≫ 0, κ m ≫1 ( χ m ∼κ m∼103 funzioni di H, B≫
→ utilizzate per amplificare e convogliare il campo magnetico (es. nei solenoidi e trasformatori)
→ curva di prima magnetizzazione di B vs H (o M vs H)
→ dip. da temperatura (Curie): χ m =
Cρ
(ferro:
T −T c
T c=1043 K , sopra si smagnetizza)
•
•
→ Domini di Weiss
Correnti amperiane im : analogia tra spira e magnete
momento magnetico di un corpo: m
⃗ =N <⃗
m mol > ,
•
magnetizzazione = momento magnetico medio per unità di volume
•
•
(proprietà intensiva del solido, mentre m
⃗ è estensiva, cioè ~ volume )
– somma di effetti di tante piccole spire dà risultato netto = spira macroscopica
⃗ → m
⃗
^ (quindi unità [M]=A/m)
cilindro di volume Σ h e asse parallelo a M
⃗ =Σ h M=Σi
mn
analogia spira / magnete
⃗ , B⃗0, H
⃗ , B⃗m , M
⃗ , es. ∫
⃗ ⃗s=im , ∫
⃗ ⃗s =icond ,
leggi di Ampere per B
M⋅d
H⋅d
C chiusa
C chiusa
itot =i cond +i m →
•
•
m
⃗
⃗ mol >
=n<m
volume
∫C chiusa ⃗B⋅d ⃗s =μ icond =μ0 itot
In molti casi, passare dal vuoto alla materia implica solo
Gauss per campo elettrico
Gauss per campo magnetico
∫Σchiusa ( ⃗B⋅⃗n)d Σ=0
ϵ0 →ϵ,
μ 0 →μ nelle eq. di Maxwell
EQ. DI MAXWELL nella materia
• Faraday
∫Σ chiusa ( ⃗E⋅⃗n )d Σ= qϵ
•
⃗=
M
∫C chiusa ⃗E⋅d ⃗s =−
•
⃗
d Φ Σ(C )( B)
dt
Ampere-Maxwell
⃗ ⃗s=μ
∫C chiusa B⋅d
Esercizi: mutua induzione con nucleo ferroso, circuitazione di M.
[
i conc+ϵ
d Φ Σ(C )( ⃗
E)
dt
]
LEZIONE 23: Onde elettromagnetiche
•
EQ. DI MAXWELL IN FORMA DIFFERENZIALE
Gauss per campo elettrico
• Faraday
ρ
⃗ ⃗
∇⋅
E= ϵ
∂⃗
B
⃗ ×⃗
∇
E=−
∂t
0
•
•
•
•
⃗ ⃗
∇⋅
B =0
∂ Ex
=0 →
∂x
•
⃗
Stesso per B
•
Calcolare rotore con matrice
•
Faraday:
•
[
]
Nel vuoto non ci sono cariche e correnti: ρ= j=0
Maxwell: onde piane f (x −vt) e f (x +vt) sono una soluzione delle equazioni:
Consideriamo onde piane nella direzione x:
valori di ⃗E e ⃗B costanti nei piani a x costante (*) → i termini ∂ e ∂ sono nulli
Gauss + (*) →
•
Ampere-Maxwell
⃗
⃗ ×B
⃗ =μ 0 j+ϵ0 ∂ E
∇
∂t
•
•
•
Gauss per campo magnetico
∂y
E x costante in x → onda trasversale: solo
∂ Ex ∂ Ez
∂ By
−
=−
∂z
∂x
∂t
∂ Bx ∂ Bz
∂Ey
Ampere M.: (2a) comp. y
−
=ϵ0 μ 0
∂z
∂x
∂t
(1a) comp. y
(1b) componente z
(2b) componente z
(*) → si cancellano altri termini
(1a) e (2b): E z , B y
(1b) e (2a): E y , B z
∂ (1 a)= ∂ (2 b) →
∂x
∂t
∂2 E z
∂ x2
∂z
=ϵ0 μ 0
∂2 E z
∂t 2
che è un eq. di D'Alambert (
la cui soluzione sono onde piane con velocità
1
v =c= √ ϵ μ
0
0
E y ed
E z var.
∂ Ey ∂ Ex
∂B
−
=− z
∂x
∂y
∂t
∂ B y ∂ Bx
∂ Ez
−
=ϵ0 μ 0
∂x
∂y
∂t
∂2 f 1 ∂2 f
)
2= 2
2
∂ x v ∂t
e direzione ±^x
•
•
Lo stesso per E y , B y , B z
Maxwell:
nel vuoto i campi e.m. sono onde trasversali che si propagano alla velocità della luce (c)
•
•
•
Antenne
Misurate da Hertz, condizioni risonanti tra due corpi metallici → onda stazionaria
Non c'è effetto istantaneo, come il concetto di campo elettrostatico poteva suggerire
•
Relazione tra E z e B y per onda che si propaga nella direzione +x:
•
•
1
1
B y=− f (x −c t )=− E z
c
c
l'orientazione relativa tra E z e B y indica la direzione del moto
stesso tra E y e B z
→ |E|=c|B| → densità di energia uem =ϵ0 E2
⃗ → direzione del moto è ⃗
→ ⃗E perpendicolare a B
E× ⃗
B
∂ Ez ∂ By
→
=
∂x
∂t
LEZIONE 24: ESERCIZI
E z =f (x−c t )

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