Problemi risolti di elettrostatica

1. Esercizio
Calcolare il potenziale elettrico nel punto A sull’asse di simmetria della distribuzione di cariche in
figura. Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 µC dall’infinito al punto A?
Soluzione.
Il potenziale a distanza r da una carica puntiforme è dato da V = kq/r, quindi è sufficiente calcolare
Vsx dovuto alla carica a sinistra:
Vsx = (8.99 109 Nm2/C2) (7 10-6 C) / 5 m = 12.6 103 V
e calcolare Vdx dovuto alla carica posta a destra:
Vdx = (8.99 109 Nm2/C2) (-3.5 10-6 C) / 5 m = -6.3 103 V
In virtù del principio di sovrapposizione, sommare i valori ottenuti:
Vtot = +12.6 103 V + (-6.3 103 V) = +6.3 103 V
Il lavoro necessario per portare una carica da 2 µC dall’infinito al punto A coincide con la
variazione di energia potenziale elettrica, che in questo caso è positiva (U finale è maggiore di U
iniziale = 0):
L = ∆U = ∆V q = (+6.3 103 V) (2 10-6 C) = +12.6 mJ
2. Esercizio
Due cariche positive uguali di carica Q = 5 10-4 C sono fissate rispettivamente nei punti di
coordinate A(1 m, 0) e B(-1 m, 0) di un sistema di assi cartesiani (x, y). Si calcoli:
(a) Modulo, direzione e verso della forza che agisce si una carica positiva q = 10-6 C che si
trova nel punto P(0, 1 m)
(b) Il campo elettrico ed il potenziale elettrico nell’origine degli assi cartesiani
(c) Il lavoro dalla forza elettrostatica quando la carica positiva q si sposta dall’origine degli assi
al punto P.
Soluzione.
3. Esercizio
Due piani infinitamente estesi sono posti a distanza d = 20 cm. I piani sono
elettricamente carichi con carica opposta e densità di carica superficiale
uniforme. pari, in valore assoluto, a σ = 20 nC/m2. Una pallina di massa
trascurabile e carica positiva q = +1 nC è mantenuta in equilibrio tra i due
piani mediante un filo isolante di lunghezza L = 10 cm, vincolato al piano
carico positivamente, come mostrato in figura.
Si svolgano i seguenti punti (trascurando gli effetti della forza
gravitazionale):
(a) Determinare il campo elettrico E fra i due piani e la tensione T del
filo, specificando per entrambi il modulo, la direzione ed il verso
(b) Si supponga di tagliare il filo: calcolare il lavoro fatto dalla forza
elettrostatica per portare la pallina dal punto di equilibrio precedente
sino alla lamina di carica negativa.
Soluzione.
4. Esercizio
Una pallina carica di plastica di massa m = 5 g è sospesa ad un filo di lunghezza L
= 10 cm. Il filo è vincolato ad una superficie piana infinitamente estesa e con
densità di carica superficiale σ = +20 nC/m2, come mostrato in figura.
Se all’equilibrio il filo forma un angolo di 20° con la superficie piana, qual’é la
carica elettrica della pallina?
Soluzione.
5. Esercizio
Le cariche +2q e -q sono fissate lungo l’asse x, rispettivamente nei punti O(0, 0) ed A(d, 0).
Stabilire:
(a) il campo elettrico nel punto dell’asse x di coordinata x0 = 2d + √2 d
(b) se esistano punti dell’asse x, compresi tra O ed A, in cui il potenziale è nullo e, se sì,
calcolarne la distanza da O
(c) se esistano punti del semiasse positivo x in cui il campo elettrostatico totale sia nullo e, se sì,
calcolarne la distanza da O.
Soluzione.
6. Esercizio
Una particella A con carica positiva Q = 2 10-8 C è fissata in un punto O. Una particella B di massa
m = 2 10-6 g e carica negativa q = 10-10 C, si muove di moto circolare uniforme lungo una
circonferenza di centro O e raggio R = 1 cm. Si determini:
(a) il modulo della velocità della particella B
(b) l’energia totale del sistema delle due cariche.
Soluzione.
7. Esercizio
Una particella P di massa m = 2 10-14 kg e carica negativa q = -2 10-12 C si muove di moto circolare
uniforme in un piano orizzontale attorno ad una particella A di carica positiva pari a 10q, fissata in
un punto O. Il raggio della circonferenza è R = 2m. Trascurando la forza gravitazionale tra le due
particelle, si determini:
(a) il modulo della forza a cui è soggetta la particella P
(b) il modulo della velocità della particella P.
Soluzione.
8. Esercizio
In una regione compresa tra due lamine piane e parallele, cariche con la stessa densità superficiale
ma di segno opposto, c’è un campo elettrico di intensità E = 104 N/C. La lunghezza delle lamine è
pari a L = 5 cm. All’istante iniziale, un elettrone (me = 9.11 10-31 kg, e = -l.6 10-19 C) entra tra le
lamine con velocità v0 = 107 m/s, parallela alle lamine stesse. Trascurando la forza di gravità,
(a) Determinare la forza, in modulo direzione e verso, di cui risente l’elettrone
(b) Determinare il modulo della velocità e l’angolo di deflessione dell’elettrone all’uscita dal
campo elettrico.
Soluzione.
9. Esercizio
Due lamine piane infinitamente estese poste alla distanza
d = 1.5 in sono uniformemente cariche, con densità di
carica uguale ed opposta e pari in valore assoluto a σ = 3
µC/m2. Una carica negativa q = -1 10-12 C è posta nel
punto A(0.5 m, 0). Si calcolino:
(a) intensità, direzione e verso del campo E fra le
lamine e della forza di cui risente la carica q
(b) il lavoro fatto dalla forza elettrostatica per
spostare la carica q dal punto A al punto C(1 m,
0.5 m), seguendo il percorso A-B-C mostrato in
figura.
[Nota: ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2]
Soluzione.
10.
Esercizio
Una lamina piana, infinitamente estesa, uniformemente carica con densità di carica superficiale
positiva σ, è posta a distanza d dall’origine O di un sistema d’assi cartesiani (x, y). Dall’origine O
viene lanciata una particella di massa m che ha carica positiva pari a q e velocità v0 inclinata di 45°
rispetto all’asse x. Trascurare la forza peso agente sulla particella.
(a) Determinare la traiettoria della particella carica (si supponga che la particella non colpisca
mai la lamina)
(b) Calcolare la quota massima raggiunta dalla particella carica.
Soluzione.
11.
Esercizio
Una carica positiva pari a +2q è fissata nel punto A(d, 0) di un sistema di assi (x, y). Si calcoli:
(a) il modulo del campo elettrostatico nel punto B(0, d)
(b) il lavoro che le forze del campo compiono quando una carica positiva pari a 4q si sposta dal
punto B al punto C(0, 2d).
Soluzione.
12.
Esercizio
Ne1l’origine O degli assi (x, y) è fissata una particella carica positivamente con carica Q = +2 10-8
C. Una carica di prova positiva q = +4 10-16 C, si sposta dal punto A(2 m, l m) al punto B(4 m. 1 m).
Si calcoli:
(a) il modulo del campo elettrostatico nel punto A
(b) il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica durante lo spostamento della particella da A a B
Soluzione.
13.
Esercizio
Una piccola sferetta carica elettricamente, q = +2.5 10-15 C,
m 3 10-6 Kg, si trova al tempo t = 0 nella posizione O che
prendiamo come origine di un sistema di riferimento (x, y).
La carica si trova immersa nel campo elettrico generato da
un piano infinito posto alla distanza xp = 50 cm dall’origine
(vedi figura) con una densità superficiale di carica positiva
a pari a 4 10-4 C/m2.
Al tempo t = 0 la carica q si sia muovendo con velocità v0
di modulo pari a 10 cm/s, lungo una direzione che forma un
angolo α = 45° con l’asse delle x.
Si calcoli:
(a) Quanto vale la minima distanza nella direzione x tra la carica e il piano generatore del
campo
(b) Posizione (x1, y1) e velocità (v1x, v1y) della particella all’istante t1 = 30 s
Soluzione.
14.
Esercizio
Data la lamina piana, infinitamente estesa, uniformemente carica
positivamente con densità superficiale σ = 10-6 C/m2, passante per il
punto A(2 m, 0) e la cui sezione è parallela all’asse y, e la carica
positiva Q = 2 10-6 C, posta nell’origine degli assi in figura, si
determini:
(a) in quale punto P dell’asse x (si indichi con d l’ascissa del
punto P) debba essere posta una carica puntiforme positiva q
= +10-8 C, perché q risulti in equilibrio
(b) il lavoro che la risultante delle forze elettrostatiche compie,
quando la carica q viene spostata dal punto B(1 m, 0) al
punto C(0, 1 m)
(Note: Trascurare la forza peso; ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2)
Soluzione.

Download Report