Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 2 Radicali In questa Unità affrontiamo l’operazione inversa della potenza. 2.1 Radicali algebrici e aritmetici 2.2 Caratteristiche del radicale 2.3 Semplificazione e riduzione di radicali 2.4 Trasporto dentro-fuori il segno di radice 2.5 Operazioni con radicali 2.6 Razionalizzazione del radicale Unità 2 2.1 Radicali algebrici e aritmetici Prof Considerato un numero reale a e un numero naturale n non nullo, si definisce radice algebrica n-esima di a, il numero reale b tale che b n = a In simboli, la radice algebrica n-esima di a si scrive come __ √ n a = b __ __ dove √ n a è il radicale, n è l’indice della radice, a è il radicando, √ è il segno di radice e b è la radice algebrica n-esima di a (o semplicemente il valore del radicale). Esempio La radice algebrica quarta di 16 è ± 2; in simboli __ √ 4 16 = ± 2 Infatti, se eleviamo alla quarta potenza i numeri + 2 o − 2 otteniamo 16, cioè (± 2) 4 = 16 Ricordiamo che la potenza con esponente pari è sempre positiva. La radice di indice generico n di 0 è 0; in simboli __ Infatti n √ 0 = 0 ∀n ∈ ℕ, n ≠ 0 0 n = 0 La radice algebrica può non esistere per determinati valori del radicando. Occorre quindi determinare il campo di esistenza (C.E.) del radicale, cioè l’insieme delle condizioni per cui il radicale esiste, tenendo presente la seguente distinzione. • Radicali con indice di radice n pari: il campo di esistenza per il radicando a comprende solo i numeri reali non negativi (a ∈ ℝ +0 ). • Radicali con indice di radice n dispari: il campo di esistenza per il radicando a comprende tutti i numeri reali (a ∈ ℝ). Esempio ____ 4 Determiniamo il campo di esistenza di √ a − 2 . L’indice di radice è 4, dunque pari. Di conseguenza, occorre imporre che il radicando sia maggiore o uguale a 0, cioè a − 2 ≥ 0 Il campo di esistenza della radice data comprende quindi i valori di a tali che a ≥ 2 36 Radicali Oltre ai radicali algebrici, esistono anche i radicali aritmetici, in cui il radicando è un numero non negativo. Il radicale aritmetico, pertanto, è un numero non negativo ed è unico, qualunque sia l’indice della radice. Quindi: considerato un numero reale non negativo a e un numero naturale non nullo n, si definisce radice aritmetica n-esima di a il numero reale non negativo b tale che b n = a In simboli __ n √ a = b Esempio La radice algebrica quadrata di 25 assume i valori + 5 e − 5. Invece la radice aritmetica quadrata di 25 è solo uguale a 5. Esercizi 2.1 Determina il C.E. dei seguenti radicali algebrici. Trainer ____ 4 x − 1 1. √ Poiché l’indice della radice è .......... , l’esistenza del radicale algebrico si ottiene imponendo che il radicando sia .............................. , quindi .................. ≥ ................., cioè x ≥ ........... √ __ 1 2. __ x _____ √ 2x − 4 10 3. ______ _____ 6 4. √ 1 − 2x Trainer ____ 3 x + 2 5. √ Poiché l’indice della radice è .........., l’esistenza del radicale algebrico è garantita ............................... _____ 5 6. √ 2x − 6 √ _____ x − 2 7. ______ 2x − 1 3 ____ 4 2 8. √ 3a b ____ √ x − 1 x + 1 9. _____ 4 _____ 6 2 2 10. √ 4x y _____ 11. √ x 2 + 6 37 Unità 2 2.2 Caratteristiche del radicale Prof Da questo paragrafo considereremo solo radicali aritmetici, chiamandoli semplicemente radicali. ▶▶ __ n Un radicale √ a può essere moltiplicato per un generico numero o un generico monomio k. In tale caso si afferma che il radicale ha come coefficiente il numero o monomio k e viene indicato come __ n k √ a ▶▶ Due o più radicali sono definiti simili se hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando. Esempio __ __ I radicali √ 7 e − 2√7 hanno coefficienti diversi ma, avendo uguale indice di __ 23 √ radice e radicando, sono simili. Anche i radicali con coefficienti letterali a 5 __ 3 e (a − b) √ 5 sono simili. ▶▶ In generale, il radicando può essere una potenza con esponente m, cioè ___ n m √ a Quindi la radice n-esima di a __ n √ a ___ n m non è altro che √ a con esponente del radicando unitario, cioè m = 1. È possibile sostituire la radice con un esponente frazionario: si toglie il segno di radice e si eleva il radicando a un esponente che ha come numeratore l’esponente del radicando e come denominatore l’indice della radice, cioè ___ m __ n m √ a = a n Esempio __ __ 1 Il radicale √ 8 è uguale a 8 2. __ __ 3 Se esprimiamo 8 come 2 3, il radicale è √ 2 3 , che risulta uguale a 2 2. ▶▶ Per i radicali è valida la seguente proprietà invariantiva: il valore di un radicale non cambia se si moltiplicano o si dividono sia l’indice di radice che l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale non nullo, cioè ___ n m √ a = 38 np ___ mp √ a ___ n m √ o a = n:p ___ m:p √ a Radicali Una conseguenza diretta della proprietà invariantiva è che __ ___ __ 1 n n n:n 1 √ a = n:n√ a = √ a = a se cioè il radicando ha per esponente l’indice del radicale,“sparisce” il segno di radice. Se n = 1, come già detto, il simbolo di radice non si scrive. Se n = 2, si omette l’indice di radice e si ha la radice quadrata. Esempi _____ _____ 3 6 2 3 2 4 6 Il radicale √ ab c è uguale al radicale √ a b c ; infatti abbiamo applicato la proprietà invariantiva moltiplicando per 2 l’indice della radice e l’esponente di ciascun fattore del radicando. _____ ______ 3 6 10 12 4 5 6 2 Il radicale √ a b c è uguale al radicale √ a b c ; infatti abbiamo diviso per 2 l’indice della radice e l’esponente di ciascun fattore del radicando. ▶▶ ▶▶ Esercizi 2.2 Trasforma in radicali le seguenti potenze a esponente frazionario, considerando positive le lettere che compaiono. Trainer 2 __ 5 12. 3 La potenza equivale a un radicale che ha per indice il ........................................... dell’esponente e per radicando una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il ............................................................ dell’esponente. Quindi ___ ___ ...... 3 = ....√ ........ 3 = √ 2 __ 5 .... 2 __ 13. 2 3 ( 3) 1 __ 2 2 14. __ 5 __ 15. (3x) 8 Trainer 2 − __ 3 16. 3 Applicando la proprietà delle potenze, rendi positivo l’esponente 2 − __ 1 3 3 = ____ ...... 3 2 − __ 1 ___ . quindi trasforma la potenza in radicale 3 3 = ______ .... ...... √ 3 1 − __ 17. 5 2 3 − __ 18. 2 4 2 − __ 1 5 19. __ 6 39 Unità 2 Scrivi come potenze a esponente frazionario i seguenti radicali, considerando positive le lettere che compaiono. Trainer __ 20. √ 6 3 Il radicale equivale a una potenza che ha per base la stessa base del .................................................. e come esponente una frazione avente denominatore uguale .................................................. della radice e numeratore uguale .................................................. del radi- cando. Quindi __ ...... ____ √ 6 3 = 6 ...... __ ____ 5 3 21. √ 2 __ 4 22. √ 8 ________ 3 23. √ a + b 25. √ 3 x 2 (x + y 2 ) 24. √ a 5 b 3 1__ 26. ____ 7 7 ____ √ 2 5 2.3 Semplificazione e riduzione di radicali Prof Un radicale è in forma irriducibile quando l’indice della radice e l’esponente del radicando sono numeri primi fra loro. Esempi ▶▶ ▶▶ ___ 12 Il radicale √ a non è irriducibile perché l’indice della radice 18 e l’esponente del radicando 12 non sono numeri primi fra loro. __ 5 2 Il radicale √ a è irriducibile perché l’indice della radice 5 e l’esponente del radicando 2 sono numeri primi fra loro. Ricordiamo che due o più numeri sono primi fra loro quando hanno come divisore comune solo il numero 1. 18 La semplificazione di un radicale consiste nel ridurlo in forma irriducibile e si esegue con i seguenti passaggi: 1. si calcola il massimo comune divisore (M.C.D.) tra l’indice della radice e l’esponente del radicando; 2. applicando la proprietà invariantiva, si dividono l’indice della radice e l’esponente del radicando per il M.C.D. trovato. 40 Radicali Esempio Il radicale ____ a b √ ____ c 4 4 8 6 non è in forma irriducibile. Infatti l’indice della radice (4) e gli esponenti dei fattori del radicando (4, 8 e 6) non sono fra loro numeri primi. Procediamo alla semplificazione, cioè portiamo il radicale in forma irriducibile. 1. Il M.C.D tra l’indice 4 e gli esponenti 4, 8 e 6 è 2. 2. Dividiamo indice ed esponenti per 2, portando il radicale in forma irriducibile ____ √ 2 4 ____ a b3 c Attenzione: se il radicando è un polinomio, il radicale non si può semplificare, a meno che il polinomio non si possa scomporre in fattori. Esempi ▶▶ Il radicale ________ 4 √ a 2 + 2a + 1 ha come radicando un polinomio che possiamo scomporre in fattori come quadrato del binomio a + 1. Quindi ______ 4 (a + 1) 2 √ A questo punto procediamo con la semplificazione. Il M.C.D. tra l’indice della radice e l’esponente del radicando è 2. Quindi dividiamo indice ed esponente per 2, portando il radicale in forma irriducibile ____ √ a + 1 ▶▶ Il radicale ________ √ a 3 + a 2 + 1 non può essere scomposto in fattori, quindi è irriducibile. Può essere utile trasformare due o più radicali, inizialmente con indice di radice diverso, in radicali con lo stesso indice di radice. Tale operazione è definita riduzione e si esegue con i seguenti passaggi: 1. si calcola il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra tutti gli indici dei radicali e si pone come indice comune per tutti i radicali; 2. si divide il m.c.m. per ciascun indice e si moltiplica il quoziente per l’esponente di ciascun fattore del rispettivo radicando. 41 Unità 2 Esempio Riduciamo al medesimo indice di radice i seguenti radicali __ __ __ √ √ √ a 3 a a 4 2 1. Il m.c.m. tra gli indici 3, 4 e 2 è 12. 2. Dividiamo 12 per i tre indici, e moltiplichiamo ogni quoziente per i rispettivi esponenti dei radicandi: otteniamo la riduzione __ __ __ 4 6 6 √ √ √ a a a 12 12 12 Riduciamo al medesimo indice di radice i seguenti radicali ____ _____ ____ 4 x − y 8 x + y √ √ x + y √ 2 2 Il m.c.m. degli indici è 8; i rispettivi radicali con indice di radice comune diventano ____ ______ _______ 4 (x + y ) 8 x + y √ (x − y ) 2 √ √ 8 8 2 2 Esercizi 2.3 Semplifica i seguenti radicali aritmetici, considerando positive le lettere che compaiono. Trainer __ 8 16 27. √ Scomponi in fattori primi il radicando 16 = 2....... Determina il M.C.D. tra l’indice della radice e l’esponente del radicando: M.C.D. = ........... Applica la proprietà invariantiva: dividi sia l’indice del radicale che l’esponente del radicando per il M.C.D. e ottieni __ √ 8 16 = .......... __ 9 28. √ 27 __ 6 29. √ 81 ___ √ 64 27 30. ___ 6 ____ √ 25 144 31. ____ 4 42 ___ 6 32. √ 512 ____ 6 3 6 33. √ x y _____ 6 9 3 34. √ 8a b Radicali Trainer __________ x 2 + 10x + 25 35. √ Il radicando è una somma algebrica. Dapprima trasforma la somma in una potenza e quindi semplifica il radicale __________ _____ √ x 2 + 10x + 25 = √ (..........) 2 = .......... ________________ 6 36. √ a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 ______ 37. √ 8 (x + 1) 6 ________ 38. √ 9 x 3 (x − 5) 6 Riduci allo stesso indice i seguenti radicali aritmetici. __ Trainer __ 5 2 3 39. √ 2 3 ; √ Determina il m.c.m. tra gli indici della radice dei due radicali: m.c.m.(2, 5) = ........... Dividi il m.c.m. trovato per il “vecchio” indice di radice: per la prima radice il quoziente è ...................., mentre per la seconda è ..................... Applica la proprietà invariantiva: moltiplica sia l’indice del radicale che l’esponente del radicando per i quozienti ottenuti __ ___ __ ___ .... ... ... 5 2 √ 2 = √ √ 2 ; 3 = √ 3 3 .... __ __ __ __ 3 40. √ 3 ; √ 2 6 41. √ 2 ; √ 3 ___ ____ 4 4 3 2 42. √ ab ; √ a b 6 ____ ____ 4 43. √ x + 1 ; √ x + 5 ___ ___ 3 4 3 4 9a ; √ 8a 44. √ Trainer Prima di procedere con la riduzione allo stesso indice, scomponi in fattori primi i radicandi. __ __ 3 45. √ 12 ; √ 27 ______ __ 46. √ 4 (x + 1) 3 ; √ x 43 Unità 2 2.4 Trasporto dentro-fuori il segno di radice Prof È possibile trasportare dentro il segno di radice il coefficiente positivo k di un radicale elevandolo all’indice della radice, cioè ___ __ n n n k √ a = √ k a Se il coefficiente k ha esponente p, si ha, secondo le regole delle potenze, ____ __ n pn n k p √ a = √ k a Osserviamo che il termine trasportato dentro il radicale diventa fattore del radicando. Esempi ▶▶ Dato il radicale __ 3 __ 1 √ 16 2 1 . trasportiamo dentro il segno di radice il coefficiente __ 2 1 all’indice di radice 3 e portare la nuova Dobbiamo semplicemente elevare __ 2 potenza sotto il segno di radice come fattore del radicando, cioè ______ √( ) __ __ 3 3 3 __ 1 √ 16 = 3 __ 1 16 = √ 2 2 2 ▶▶ Dato il radicale ____ 2 a 2 b 4 √ 2ac 5 trasportiamo dentro il segno di radice il coefficiente a 2 b 4 , dopo averlo elevato all’indice di radice 5, cioè ____ ________ _______ 2 10 20 2 11 20 2 a 2 b 4 √ 2ac = √ a b 2ac = √ 2a b c 5 5 5 Se il radicando è composto da fattori, è possibile trasportare fuori dal segno di radice i fattori che hanno esponenti maggiori o uguali all’indice della radice. Si possono presentare i seguenti due casi. • Esponente divisibile per l’indice di radice: si divide l’esponente per l’indice di radice e il quoziente diventa l’esponente del fattore fuori dalla radice. Esempio Dato il radicale ____ √9x 4 y valutiamo quali fattori possiamo trasportare fuori dal segno di radice. Se poniamo 9 come 3 2, il radicale diventa _____ √3 2x 4 y 44 Radicali A questo punto osserviamo che dei tre fattori che compongono il radicando, solo 3 2e x 4 hanno esponente maggiore o uguale a 2. Possiamo quindi trasportali fuori dalla radice, dividendo i rispettivi esponenti per 2 e ottenendo _ 3x 2 √y • Esponente non divisibile per l’indice di radice: si scompone il relativo fattore del radicando in un prodotto di fattori, in modo che un fattore abbia il massimo esponente divisibile per l’indice di radice e si possa quindi trasportare fuori dal segno di radice. Esempio Dato il radicale _____ 3 √ 8a 7 b 2 valutiamo quali fattori possiamo trasportare fuori dal segno di radice. Se poniamo 8 come 2 3, il radicale diventa _____ 3 √ 2 3a 7 b 2 Osserviamo che i fattori 2 3e a 7 hanno esponente uguale o maggiore di 3. Però 7 non è divisibile per 3. Scomponiamo quindi a 7 in fattori, in modo che uno dei fattori abbia esponente il massimo multiplo di 3, cioè a 7 = (a 6 ) (a). Il radicale diventa __________ 3 2 3(a 6 ) (a) b 2 √ Applicando le regole del trasporto fuori dalla radice, otteniamo ____ 2a 2 √ a b 2 3 A volte i coefficienti di un radicale o il radicando non sono composti da fattori, ma da polinomi. In questi casi per il trasporto dentro-fuori è necessario che il polinomio-coefficiente o il polinomio-radicando siano scomponibili in fattori (Unità 5, Volume 1). Esempio Dato il radicale _____________ √a 3 b − 2a 2 b 2 + ab 3 valutiamo se è possibile il trasporto fuori dal radicale. Il radicando è un polinomio: occorre quindi scomporlo in fattori. Innanzitutto raccogliamo il fattore ab, ottenendo _____________ √ab ( a 2 − 2ab + b 2 ) Il fattore tra parentesi è il quadrato di un binomio, quindi ________ √ab (a − b) 2 A questo punto abbiamo nel radicando un fattore con esponente uguale all’indice 2 della radice e quindi possiamo portarlo fuori, ottenendo ___ (a − b) √ab 45 Unità 2 Esercizi 2.4 Trasporta sotto radice i fattori esterni, considerandoli positivi. Trainer __ 4 47. 2 √ 5 Puoi trasportare il coefficiente 2 all’interno della radice se lo elevi a una potenza uguale ………………………… della radice, cioè __ ______ 4 5 = √ (2 ) (5) = √ 2 √ 4 4 ... ____ .......... ___ √ 81 __ 5 48. 3 ___ 3 4 51. (x + y) √ x ____ √ x + 1 __ √9 3 52. (x + 1) 3 _____ 3 __ 8 49. __ 2 __ 50. 3ab 2 √ 2b Trasporta fuori dalla radice, considerando i fattori positivi. Trainer __ 53. √ 12 ..... Scomponi il radicando in fattori primi: 12 = (2 ) (3). Poiché l’esponente del fattore 2 è uguale all’indice della radice, 2 può essere portato fuori dividendo l’esponente per ........... L’esponente di 3 è invece minore dell’indice della radice e quindi il fattore 3 .............................................................................: __ √ 12 = .......... √ ____ .......... __ __ 55. √ 50 54. √ 28 Trainer __ 3 56. √ 48 Scomponi il radicando in fattori primi: 48 = (2 4) (3). Poiché l’esponente del fattore 2 è maggiore dell’indice della radice, 2 può essere portato fuori. L’esponente di 2 non è multiplo dell’indice della radice, ..... ..... quindi scrivi 2 4 = (2 ) (2 ) e porta fuori ........... L’esponente di 3 è invece minore dell’indice della radice e quindi il fattore 3 .............................................................................: __ 3 √ 3 48 = .......... √ 46 ____ .......... Radicali ______ __ 3 57. √ 81 4 3 7 8 59. √ 2 3 5 58. √ x 5 y 9 60. √ x 5 ____ 3 ____ 61. √ a 7 b 4 3 __ Trainer _________ 62. √ a 3 + 2a 2 + a Scomponi dapprima il radicando, quindi esegui il trasporto fuori dalla radice. ______ √ 4a + 4b _______________ 63. √ 12a 3 b − 12a 2 b + 3ab 3 5 64. _______ 3a b 2.5 Operazioni con radicali Prof Analizziamo le operazioni di addizione algebrica, moltiplicazione e divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice con i radicali. L’addizione algebrica è possibile solo tra radicali simili, cioè radicali con medesimo indice di radice e radicando. La somma ottenuta è un radicale simile con coefficiente uguale alla somma algebrica dei coefficienti dei radicali. Esempio Svolgiamo l’addizione algebrica __ __ 2 √__ 3 √5 − 4 √5 + __ 5 3 I termini dell’addizione sono radicali simili, e dunque la somma è ( ) 2 √__ 1 √__ 3 − 4 + __ 5 = − __ 5 3 3 Svolgiamo l’addizione algebrica ____ ____ __ __ 3 3 3 3 a √ x + 1 + 2b √ x − 2a √ x + 1 + √ x Possiamo calcolare la somma del primo radicale e del terzo, del secondo radicale e del quarto ____ __ ____ __ 3 3 3 3 (a − 2a) √ x + 1 + (2b + 1) √ x = − a √ x + 1 + (2b + 1) √ x Attenzione: non sempre i radicali da addizionare algebricamente appaiono simili; in tal caso occorre procedere al trasporto dentro-fuori il segno di radice per eventualmente renderli tali e, dunque, procedere con il calcolo della somma algebrica. 47 Unità 2 Esempio Svolgiamo l’addizione algebrica ___ __ ____ 3 3 3 3 4 3 4 b √ a b + a √ b − 22 √ a b L’addizione non contiene radicali simili, ma possiamo effettuare il trasporto fuori dal segno di radice per renderli tali. Infatti, se scomponiamo i rispettivi radicandi nel seguente modo ______ ___ ________ 3 3 3 3 3 3 3 b √ a b + a √ (b ) (b) − 22 √ a (b ) (b) possiamo trasportare i fattori fuori dal segno di radice in modo da rendere simili i radicali, e quindi procedere con il calcolo della somma algebrica __ __ __ __ 3 3 3 3 ab √ b + ab √ b − 22ab √ b = − 20ab √ b La moltiplicazione e la divisione sono possibili solo tra radicali con il medesimo indice di radice. Il prodotto è un radicale che mantiene il medesimo indice e con radicando il prodotto dei radicandi, cioè __ ____ __ n n m n m p p √ a √ b = √ a b Il quoziente è un radicale che mantiene il medesimo indice e con radicando il quoziente dei radicandi, cioè __ √ ___ n m m √ a n ___ _____ n __p = a p b √ b Attenzione: non sempre i radicali da moltiplicare o dividere hanno il medesimo indice; in questi casi occorre procedere alla riduzione al medesimo indice dei radicali coinvolti nella moltiplicazione e divisione. Esempio Svolgiamo la moltiplicazione ____ ___ __ 1 5 ___ 2x __ √8x 3 y 2 √ y √x 10 Gli indici dei tre radicali non sono uguali: occorre quindi procedere alla riduzione. Il m.c.m. dei tre indici è 10. Dividiamo 10 per ciascun indice e moltiplichiamo ogni quoziente per gli esponenti dei fattori del relativo radicando ____ √ ____ 10 √8x 3 y 2 10 2 √ __ 2 x ____ 10 __ 15 2 y x 2 Ora possiamo moltiplicare i tre radicali sotto la comune radice decima ______ √ 32x 5 y 2 10 ______ 5 2 x y Semplificando, otteniamo il risultato finale __ __ __ 5 10√ 32 = 10√ 2 = √ 2 48 Radicali ▶▶ L’elevamento a potenza di un radicale consiste nell’elevare a potenza il suo radicando, cioè ___ p ___ n n m) mp ( √ a = √ a Esempio Svolgiamo l’elevamento a potenza __ ( √ 5 3 ) 4 Dobbiamo elevare il radicando 3 a esponente 4, cioè __ √ 5 3 4 ▶▶ L’estrazione di radice di un radicale consiste nel porre il radicando sotto un unico segno di radice con indice uguale al prodotto dei due indici di radice ____ ___ ___ n m m √ √ a = √ a p pn Esempio Svolgiamo l’estrazione di radice ___ __ 3 √ √3 Dobbiamo porre il radicando 3 sotto il segno di radice con indice uguale al prodotto degli indici dei due radicali (3 e 2), cioè __ √ 6 3 Esercizi 2.5 Calcola le seguenti somme algebriche di radicali, considerando positivi tutti i fattori. __ __ Trainer __ 65. 3 √ 5 + 6 √ 5 − 4 √ 5 I tre addendi sono radicali simili, quindi la somma algebrica è un radicale .............................. con coefficiente pari alla .............................. dei .............................. dei radicali __ __ __ 3 √ 5 + 6 √ 5 − 4 √ 5 = .......... √ __ __ __ ____ .......... __ 3 3 3 3 66. 2 √ 6 − 4 √ 6 + 8 √ 6 − √ 6 __ __ __ ___ ___ __ 67. x 2 √ 3 + 2x √ 3 + √ 3 __ ___ ___ 5 5 5 5 68. 3 √ 2a − 7 √ 2a + √ 2 + 4 √ 2 + √ 2a − 5 √ 2a __ __ __ 69. √ 12 + 5 √ 3 − √ 27 49 Unità 2 __ __ __ __ 1 √ 2 + 2 √ 18 − 4 70. √ 16 + √ 12 − __ __ 2 __ __ __ __ __ 71. 2 √ 2 + 3 √ 32 + 2 √ 50 − √ 48 − 15 √ 2 + 3 √ 3 ___ __ __ 3 1 3 x 3 __ 72. √ 27x − √ x + √ 9 2 ___ _____ _ 3 3 6 3 4 3 y 73. √ x y + √ + √ 8x y ______ _____ ______ _____ 74. √ 4 + 4x 2 − √ 1 + x 2 − √ 9 + 9x 2 + 4 √ 1 + x 2 _______ __________ ________ 75. √ 4a 3 + 8a 2 + √ 4a 3 b 2 + 8a 2 b 2 − 2 √ 9a 3 + 18a 2 Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni di radicali, considerando positivi tutti i fattori e trasporta, se possibile, esternamente i fattori. __ Trainer __ 76. √ 2 √ 5 3 3 I due radicali hanno lo stesso indice: il prodotto è un radicale avente .................... indice e per radicando .................... dei radicandi; quindi __ __ ___ 3 .... √ 5 = √ .......... 3 2 √ __ __ __ __ __ ___ __ 5 √ 78. √ 2x 4x 2 3 3 77. √ 8 √ 2 5 ___ ___ 79. √ 2 √ 7a √ ab 2 Trainer 80. √ 2 √ 2 4 Riduci dapprima i due radicali allo stesso indice: ___ __ 4 ... √ 2 √ 2 4 Esegui la moltiplicazione e ottieni il prodotto: ___ 4 ... √ 2 __ 3 __ 9 √ __ 81. √ 6 √ 5 __ __ ____ √ _____ 2 2xy 4 ______ 84. 6 ____ 27a2 b2 3ab 8x y ___ ____ ____ √ 4ab 4 1 2 √ 2ab 2 3 _____ 85. √ 4a 3 50 6 √ ______ √ _____ 3 √ _______ (2a − 3) 2 2a + 3 87. √ 4a − 9 6 ______ ________ 2a − 3 2a + 3 ___ √ ______ 3 4 3 √ 83. √ 8a b 6 4a ____ √ ____ (a + 2) a − 2 a 2 86. _____ 4 _____ 8 _______ a + 2 a − 2 a 3 82. √ 4 √ 6 √ 5 3 ____ 2 √ ____ √ __ 125 5 88. ____ : 4 __ 3 3 4 __ __ ___ 9 89. √ 3 : √ 6 3 _____ 90. √ 2a 3 : √ 8a 5 b 2 6 Radicali __ ___ __ __ √3 √ 9 __ __ x √ 3 2 93. √ __ 6 __ y y : √ x 3 32 2 : 4 ___ 91. √ 4 __ __ __ __ 4 92. √ 18 √ 8 : √ 3 2 √ y ___________ ____ √( ) a + __ b + 2 ___ a 1 94. _____ : __ a + b b a ab 3 Esegui l’elevamento a potenza dei seguenti radicali. __ ______ 3 2 4 ) 98. ( √ (x + 1) 95. (√ 5 ) 4 __ ___ 3 ) 5 96. ( √ 2 (√ 2 ) __ 3 ) 3 99. (a 2 b √ ab 3 3 97. __ __ __ Trainer 100. ( 2 √ 2 + √ 5 ) 2 __ __ 2 ) 2 = .........., il quaCalcola il quadrato del primo termine: ( 2 √ 2 ) 2 = 2 2 (√ __ 2 drato del secondo termine: ( √ 5 ) = .......... e il doppio prodotto del primo termi__ __ ne per il secondo: 2 (2 √ 2 ) (√ 5 ) = 4 √ __ __ ____ . Il risultato è .......... 2 (2 √ 2 + √ 5 ) = ...................................................................... __ __ __ __ 2 3 102. ( √ a + √ b ) 3 3 ) 2 101. ( √ 2 − √ 5 3 3 Esegui l’estrazione di radice dei seguenti radicali, considerando positivi tutti i fattori. Trainer ___ __ 103. √ √ 5 4 La radice di un radicale è un radicale che ha per indice il ................................ __ 4 . Scomponi il radicando in fattori primi 4 = degli indici, quindi ...√ semplifica il radicale, ottenendo il risultato √ ... ___ __ 104. √ √ 3 9 ____ __ 4 3 105. √ √ 12 ____ .......... e . .......... ______ ____ 3 106. √ √ 25a 2 Trainer ____ __ 3 4 107. √ 2 √ 3 Porta dentro la radice quarta il fattore 2, quindi estrai la radice. ____ __ 6 108. √ 3 √ 2 ____ __ √ √2 1 109. 2 3 __ 4 _______ ____ 110. √ a √ a + 1 51 Unità 2 2.6 Razionalizzazione del radicale Prof La razionalizzazione del radicale consiste nel trasformare frazioni con a denominatore uno o più radicali in frazioni equivalenti senza radicali a denominatore. In questo modo risulta più semplice elaborare le frazioni per calcolare, per esempio, un m.c.m. La razionalizzazione sfrutta la proprietà invariantiva delle frazioni: moltiplicando il numeratore e il denominatore per uno stesso termine diverso da zero, il valore della frazione non cambia. A seconda di come si presentano i radicali al denominatore della frazione, si procede a una diversa razionalizzazione. Esaminiamo quattro casi. b__ Primo caso: frazione del tipo ____ √ a __ Si razionalizza moltiplicando numeratore e denominatore per il termine √ a __ __ __ √ a _____ a _____ b√ a b__ b__ ____ __ = b√__ ____ = ____ = √ a √ a √ a √ a 2 a dove nel secondo passaggio si è calcolato il prodotto tra due radicali con uguale indice di radice e nell’ultimo si è semplificato il radicale a denominatore. Esempio Razionalizziamo la frazione _____ 5 __ 7 √3 __ Moltiplichiamo numeratore e denominatore per √ 3 e procediamo con i calcoli e le semplificazioni __ __ √ __ 3 _____ 5 √ 3 5 __ ____ _____ 5 __ = _____ = 7 √3 7 √3 √3 21 b___ Secondo caso: frazione del tipo _____ m n √ a ____ n n−m a Si razionalizza moltiplicando numeratore e denominatore per il termine √ ____ ____ ____ ____ n n n n n−m n−m n−m n−m √ a ____________ b √ a _______ b √ a _______ b √ a b__ b__ ______ _____ ____ ________ __ _____ = = = = n n n n−m m m n n m n−m a n √ a √ √ a √ a √ a (a ) (a ) dove nel secondo passaggio si è calcolato il prodotto tra due radicali con uguale indice di radice e nell’ultimo si è semplificato il radicale. 52 Radicali Esempio Razionalizziamo la frazione ____ 5 3__ √ 8 __ 5 3 Scriviamo il denominatore come √ 2 , quindi moltiplichiamo numeratore e __ 5 2 denominatore per √ 2 e procediamo con i calcoli e le semplificazioni __ __ __ √ 2 2 _____ √ 4 √ 2 2 ______ 3__ ____ ____ 5 3__ = ____ 5 __ = 3 5 __ = 3 5 3 3 2 5 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 5 5 5 m Terzo caso: frazione del tipo _________ __ __ √ a ± √ b Si esegue la razionalizzazione moltiplicando numeratore e denominatore per il ter__ __ mine √ a ∓ √ b , in modo da avere a denominatore il prodotto notevole somma per differenza (Unità 4, Volume 1). __ __ ( √ a ∓ √ b ) m m _________ = __________ ___________ __ __ __ __ __ __ √ a ± √ b ( √ a ± √ b ) ( √ a ∓ √ b ) Eseguiamo il prodotto e otteniamo __ __ __ __ __ __ m (√ a ∓ √ b ) _____________ m (√ a ∓ √ b ) _____________ m (√ a ∓ √ b ) __ _____________ __ 2 = __ = __ 2 a − b ( √ √ a ) − (√ b ) a 2 − √ b 2 dove nel primo passaggio abbiamo usato la definizione di potenza di un radicale e nell’ultimo abbiamo semplificato i radicali. Esempio Razionalizziamo la frazione 10 __________ __ __ 2 √2 − √3 __ __ Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 √2 + √3 e procediamo con i calcoli e le semplificazioni __ __ __ __ (2 √ 2 + √3 ) ______________ 10 (2√2 + √ 3 ) ( √__ √__) 10 10 __ __ __________ = ___________ = 2 2 2 + 3 __ __ ___________ __ __ = 8 − 3 2 √2 − √3 (2 √2 − √3 ) (2 √2 + √3 ) m __ Quarto caso: frazione del tipo _________ __ 3 √ 3 a ± √ b Si esegue la razionalizzazione moltiplicando numeratore e denominatore per il termi__ __ 3 __ 3 3 2 ne √ a 2 ∓ √ ab + √ b , in modo da avere a denominatore il prodotto notevole che dà la somma o la differenza di due cubi (Unità 4, Volume 1). __ __ __ 3 3 2 ( √ a 2 ∓ √ ab + √ b ) m __ m __ __________ __________________ _________ = __ __ __ __ __ 3 3 3 3 3 3 3 ) ( √ 2 √ a ± √ b (√ a ± √ b a 2 ∓ √ ab + √ b ) 3 53 Unità 2 Eseguiamo il prodotto e otteniamo __ __ __ __ __ __ __ __ __ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 m (√ a 2 ∓ √ ab + √ b ) ____________________ m (√ a 2 ∓ √ ab + √ b ) ____________________ m (√ a 2 ∓ √ ab + √ b ) __ ____________________ = = __ __ __ 3 3 3 3 3 3 3 3 a ± b ( √ √ a ) ± (√ b ) a ± √ b dove nel primo passaggio abbiamo usato la definizione di potenza di un radicale e nell’ultimo abbiamo semplificato i radicali. Esempio Svolgiamo la razionalizzazione della frazione 2a _____________ _____ __ 3 3 √ 2a + 3 − √ 3 _______ _______ __ 3 3 3 2 2 Moltiplichiamo numeratore e denominatore per √ (2a + 3) + √ 3(2a + 3) + √ 3 e procediamo con i calcoli e le semplificazioni _______ _____ __ 3 3 ) 2a (√ 3 ( 2a + 3) 2 + √ 6a + 9 + √ 9 2a _____________ _____ __ = _______________________________________ _______ _____ __ _____ __ = 3 3 3 3 3 √ 2a + 3 − √ 3 (√ 3 2a + 3 − √ 3 ) (√ 3 (2a + 3) 2 + √ 6a + 9 + √ 9 ) _______ _____ __ 3 3 _____ 3 __ 2a (√ 3 ( 2a + 3) 2 + √ 6a + 9 + √ 9 ) 3 _______ 3 = √ ( 2a + 3) 2 + √ 6a + 9 + √ 9 = ____________________________ 2a + 3 − 3 Esercizi 2.6 Razionalizza i seguenti radicali del primo caso. Trainer 4__ 111. ____ √ 6 Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per .......... e semplifica: 4.......... _____ 2.......... .......... 4__ ____ _____ ____ = = .......... .......... .......... √ 6 2__ 112. ____ √ 2 20 __ 113. _____ √ 10 2 __ 114. _____ 3 √ 5 2 ____ 115. _______ √ x + y Razionalizza i seguenti radicali del secondo caso. Trainer 3__ 116. ____ 8 √ 2 5 Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per ..........: 3.......... .......... 3__ ____ ____ = _____ 8 .......... .......... √ 2 5 54 Radicali 14__ 117. ____ 3 21__ 119. _____ 5 3__ 118. ____ 4 3__ 120. _____ 3 √ 2 x__ 121. ____ 5 y 2 √ 5 √ 7 √ a 2 √ 2 Razionalizza i seguenti radicali del terzo caso. Trainer 5 __ __ 122. _________ √ 2 + √ 7 Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per .......... − ..........: .......... − .......... 5 _________ __ __ _________ √ √ 2 + 7 .......... − .......... A denominatore applica il prodotto notevole somma per differenza e semplifica: 5 (.......... − ..........) 5 (.......... − ..........) ____________ ..................................... _____________ = = ____________ = ......... 2 2 .......... − .......... .......... (..........) − (..........) __ __ __ √ __ 2 − √__ 3 _________ 123. √ √ 2 + 3 1 + √ 2 __ 125. ________ 3 − 2√ 2 3 __ __ 124. __________ x + 1 ____ __ 126. ____________ _____ x − √_____ x 2 − 1 127. ___________ x + √ x 2 − 1 √ x + 4 − √ 3 2√ 5 − √ 3 Razionalizza i seguenti radicali del quarto caso. Trainer 1 __ __ 128. _________ 3 3 √ 5 + √ 2 Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per: ___ ___ __ __ 3 3 ... ... 3 √ ___ ___ 3 5 √ 5 + √ 2 − √ 2 1 ____________________ __ __ _________ ... 3 ... 3 3 __ __ 3 √ √ 3 3 5 + 2 √ 2 − √ 5 + √ 5 √ 2 A denominatore applica il prodotto notevole che dà la somma di cubi e semplifica: ___ ___ __ __ ___ ___ .......... __ 3 3 ... ... √ √ 5 + √ 2 − √ 3 10 5 + √ 2 − √ 5 √ 2 __________________ ____________________ = 3 ... 3 ... 3 3 3 __ ... 3 __ ... ( √ 5 ) + (√ 2 ) 6 __ __ 129. _________ 3 3 √ 4 − √ 6 __ 3 √ 20 __ __ 130. _________ 3 3 √ 4 + √ 2 x ____ 131. ____________ 3 3 __ √ x + √ x + 1 55 Unità 2 Esercizi di riepilogo Semplifica i seguenti radicali (i fattori letterali sono positivi). __ __ ________ ___ __ _____ ____ [ 6 √ 2 ] [ 3a √ a + 2 ] 132. √ 72 137. √ 9a 3 + 18a 2 ___ 5 21 14 4 2 5 4 [ 10 √ 2 ] x y xy 133. √ 200 138. √ [ x y √ ] _____ _________ 2 x+y 8 2 1 + __ 1 + ___ 2 _____ __ ] 134. 9 ___ 3 ___ 22 2 2 [ √ ] 139. [ xy xy √(27) ___ √ x 3 __ __ √ y ________ [ 21 √ 7 ] 135. 7 √ 63 a 2 b + a 4 c a 140. _________ __ 2 [ ] ____ ___ 4a c + 4b 9 3 6 [ √ ] 136. √ 64x 4x2 2 Calcola il risultato delle seguenti espressioni. ___ ___ 7 √ 3 3 − 4 ___ 9 + 2√__ 141. ___ 3 _____ [ 4 ] 16 16 √ √ __ __ __ __ [ 70 − 20 √ 10 ] 142. ( 2 √ 5 − 5 √ 2 ) 2 __ __ __ [ 4 √ 2 ] 143. ( √ 2 + 1) 2 − (√ 2 − 1) 2 __ __ __ __ __ __ [ 6 √ 6 − 59 ] 144. √ 3 − (3 √ 6 − 2) 2 − (2 − √ 3 ) (2 + √ 3 ) − √ 3 ____ ___ ____ ___ ___ 6 4 2 3 [ 2 √ 3a ] 145. √ 3 5a 5 + 2 √ 9a − 2 √ 27a + √ 3a 10 ______ x − y 2 − y 2 x x + 2 146. _____ : ______ 6 _____________ [ (x + y) 3 (x − y) ] x + 2 x + 2 √ 3 √ √ ____ ____ √ √ ____ ____________ 2 3 ___ 16 6 ____ [ √ ] 147. ____ a b 6 ab 3 5 4 a b 3 __ __ √ √ √ ____ __ 3 __ 125 4 6 ____ [ √ 148. __ 8 24 ] 2 5 8 8 _____________ ________ 3 (x + y) 2 (x − y) 5 6 _________ (x + y) 3 3 (x − y)3 4 ________ 149. 4 _______________ : ( x − y) [ ] 2 2x 4 x 6 (x − y) 3 √ ____ __ √ __ √ _______ __ 3 [ √ 3 ] 150. √ 3 √ 2 :√ 6 2 ___ __ __ __ 3 ) √ [ √ 151. ( √ √ 2 2 3 4 ] 3 (√ 2 √ 2 ) (√ 4 ) ____ __ ____ __ 1 1 √ 2 1 __ 152. 4 __ 3 __ [ ] 3 56 2 4 2 Radicali Razionalizza le seguenti frazioni. __ √ 2 2__ 153. ____ [ ____ 2 ] √ 8 5 __ 5 2 _____ 154. _____ [ ] √ __ 6 3 √ 2 __ √ 3 __ + 2 3 + 2 √ 3 155. _______ ________ [ ] 9 √ 27 __ 3 3 √ a + b ____ 156. _______ ________ [ ] a + b √ a + b ____ __ 2__ x 157. ____ 2 x ] [ ______ 5 5 √ √ x 2 3 _____ 2a + b [ √ ] _______ 158. __________ 3 2a + b 3 (2a + b) 2 √ __ __ 3 √ 2 [ 3 √ 6 − 6 ] __ __ 159. _________ √ 2 + √ 3 __ 3 − 3 2 3 2 − 2 3 + 2 6 − 6 _____________________ __ __ 160. ___________ ] [ √ √ 12 + √ 18 √ __ √ __ √ 2 __ _____ a − 9 [ √ _____ 161. ___________ a 2 − 5 + 2 ] 2 √ a 2 − 5 − 2 ___ ___ 6a ) ] [ (2 √ 5a − √ ___ ___ 162. ___________ 2a √ 2a + √ 5a 2 ( √ 25 + √ 4 + √ 10 ) 2 __ __ 163. _________ ____________________ 3 3 [ ] 3 √ 5 − √ 2 3 __ 3 __ 3 __ 1 __ 4 + 49 − 2 7 ______________ 164. _______ 3 [ ] 2 + √ 7 3 √ __ 15 3 √ __ 57 Unità 2 Test di autovalutazione Prof Trainer Per valutare il tuo livello di preparazione sugli argomenti dell’Unità, risolvi i seguenti esercizi e confronta i risultati con quelli riportati a pagina 232. Se hai svolto correttamente almeno sei esercizi, la tua preparazione è sufficiente. 1. Vero o falso? ____ a. √ − 25 = − 5 V F ____ b. √ − 27 = − 3 3 __ V F __ c. √ 16 = √ 2 8 __ 3 __ 5 3 d. √ x = x 5 __ __ V F V F ____ e. √ a + √ b = √ a + b __ __ V F ___ f. √ a √ b = √ ab ______ V F ____ g. √ a + b = √ a + b 6 __ 3 3 __ V F √9 √ 2 2 h. ____ = __ 3 V F Trasporta, se possibile, i fattori fuori da radice. _________ _____ 3 4 11 17 2. √ a b 3. √ 27x 6 − 27x 9 Calcola. ___ __ __ 4. √ 125 − √ 45 + √ 20 __ __ __ __ 5. (4 + √ 3 )(4 − √ 3 ) − (2 + 3√ 3 ) 2 − (2 − √ 3 ) 2 ___ __ ___ ____ 6 4 2 3 5 6. √ 2x − 3 √ 4x + 2 √ 8x − √ 32x ______ __________ √ a + 2ab + b 10 ____ 3 : √ 7. √ a 2 − b 2 3 ____________ 6 a − b 2 2 Razionalizza. __ __ √ √ x 3 + _________ __ 8. 2√ 3x 2 16a ______ 9. ________ 4 √ 4a 2 b 3 c __ 2 √ 6 + 4__ __ 10. _________ √ 3 − √ 2 58 Cerca il testo completo in libreria oppure acquistalo su libreriarizzoli.it I contenuti di risolto! 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