RIPASSO SUL CALCOLO ALGEBRICO: Ripassiamo alcuni concetti fondamentali del calcolo algebrico e guardiamo di risolvere alcuni quesiti che sono stati proposti nei test di ammissione in varie facoltà su questo tema: 1) a m a n am n 2) a m : a n am n 3) a 1 a n 4) a n b n n n a b 5) a n : b n a :b 2 2 3 A. 108/31 B. 25/108 C. 31/108 D. 108/23 E. 108/25 1 3 n è uguale a : Soluzione: Questo esercizio si risolve applicando la terza proprietà delle potenze ed otteniamo: 1 2 2 1 3 1 3 1 4 1 1 27 1 4 La risposta corretta era quindi la lettera A Soluzione: L’affermazione corretta è la C infatti : 2 23 2 8 ma 2 8 2 24 2 23 22 4 44 1 27 1 31 108 1 108 31 La metà di A. 1 4 1 2 50 vale: 25 1 B 2 51 1 C 4 50 1 D 2 25 1 2 E 49 Soluzione: 1 Fare la metà di 2 pertanto la B 50 1 è come fare 2 50 : 2 cioè 1 2 50 1 2 1 2 51 Soluzione: Dobbiamo scomporre in fattori primi il numero 30 ed otteniamo: 30 13 2 3 5 13 2 13 313 513 , la risposta corretta è quindi la B Il triplo del quadrato del reciproco di A. B. C. D. E. -1/3 1/3 -3 3 1/9 1 3 1 vale: la risposta corretta è Soluzione: 1 3 1 31 3, il reciproco di -3 vale 1 1 1 e quindi il suo quadrato è , il suo triplo è allora . La risposta 3 9 3 corretta è pertanto la B. In questa tipologia di esercizio può essere utile osservare che sono senz’altro errate le risposte A,C in quanto numeri negativi L’ordinamento corretto tra i numeri 2500 ; 5300 A. 5300<10100<2500 B. 10100<2500 <5300 C. 10100 <5300 <2500 D. 2500 <5300 <10100 E. 5300 <2500 <10100 ; 10100 è: Soluzione: Per poter confrontare tra di loro delle potenze è opportuno scriverle tutte con lo stesso esponente e confrontare le basi 5 300 5 3 100 53 100 125100 2 500 2 5 100 25 100 32100 L’ordinamento tra le basi ottenute è quindi 10 < 32< 125 da cui 10100 <32100<125100 la risposta corretta è quindi la B Quanto fa 0.036/0.9 ? A. 0.4 B. 0.0004 C. 0.004 D. 0.04 E. 400 Soluzione: 0.036=36.10-3 0.9=9.10-1 quindi 0.036/0.9=36.10-3 / 9.10-1 = 4.10-2 =0.04 La risposta corretta è quindi la lettera D Cominciamo a ripassare il prodotto tra polinomi ed in particolare quelli che sono i principali : 1. 2. 3. 4. (a+b).(a-b) = a2 – b2 ( a + b )2 = a2 + 2ab +b2 ( a + b+c )2 = a2 +b2+c2+ 2ab+ 2ac+ 2bc ( a + b )3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3 Soluzione: Indichiamo con x e y i numeri cercati , possiamo quindi scrivere: 45 x y 7 e xy l’esercizio chiede di calcolare x2+y2, noi però sappiamo che: 4 45 53 x y 2 x 2 2 xy y 2 x 2 y 2 x y 2 2 xy x 2 y 2 7 2 2 4 2 La risposta corretta era pertanto la lettera A Lo sviluppo di (x-y)4 è : A. x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4 B. x4 - 4x3 y + 6x2 y2 - 4xy3 + y4 C. x4 + 4x3 y - 6x2 y2 + 4xy3 + y4 D. x4 - 4x3 y - 6x2 y2 - 4xy3 + y4 E. nessuna delle altre risposte è esatta Soluzione: Lo sviluppo di un binomio alla quarta non è una conoscenza di base, non tutti infatti al biennio hanno fatto la regola del triangolo del Tartaglia, pertanto spesso nel risolvere questi esercizi bisogna “ arrangiarsi “ con i prodotti notevoli già conosciuti, ed è quello che faremo ora: x y 4 x y 2 x y 2 (x2 y 2 2 xy ) ( x 2 x 4 y 4 4 x 2 y 2 2 x 2 y 2 4 x 3 y 4 xy 3 La risposta corretta è quindi la B y2 2 xy ) ( x 2 x 4 4x3 y 6x 2 y 2 4 xy 3 y2 y4 2 xy ) 2 x e y sono due numeri naturali il cui prodotto dà un numero a e x è il successivo di y. Quanto vale x2+y2 ? A. 2a+1 B. 2a-1 C. 1-2a D. a+1 E. 2a2+1 Soluzione: x=y+1 essendo xy =a y(y+1)=a, da cui otteniamo x2+y2 = ( y+1 )2 + y2 = y2+2y+1+ y2 = 2 2 y +2y+1 = 2y(y+1)+1 = 2a+1 La risposta corretta è quindi la lettera A Dati due polinomi A(x) e B(x) , con B(x) 0, esistono sempre, e sono unici, due polinomi Q(x) e R(x) tali che : A(x) = Q(x) . B(x) + R(x) dove B(x) o è nullo o è un polinomio di grado minore di B(x). Il polinomio Q(x) è chiamato quoziente e R(x) resto della divisione di A(x) per B(x). Se il polinomio B(x) è un binomio di primo grado possiamo ricorrere alla regola di Ruffini , che consente di effettuare la divisione lavorando unicamente sui coefficienti dei polinomi: Ad es: 3x3+5x2-7 : x-2 Dove i coeff. scritti in alto sono quelli del polinomio ordinato A(x) ( lo 0 è perché manca il termine in x ) Il 2 è l’opposto del termine noto del divisore I coefficienti ottenuti in basso sono quelli del quoziente che ha grado inferiore di 1 del polinomio A(x) Pertanto abbiamo ottenuto: Q(x)=3x2+11x+22 R(x)=37 Ripassiamo anche il teorema del resto di Ruffini: Se un polinomio A(x) di grado maggiore o uguale a 1 viene diviso per un binomio (x – k ) , il resto della divisione è uguale a A(k) Soluzione: Questo esercizio è un’applicazione del teorema del resto di Ruffini. P( 2) P(4) 2 4 3 3 3 2 34 2 2 44 4 2 8 12 8 0 64 48 16 0 P( 4) 43 3 42 4 4 64 48 16 0 La risposta corretta è quindi la lettera C Se un polinomio P(x) è divisibile per x2-4 allora: 2 sono certamente radici di P(x) A. 2 e B. P(x) non ha radici reali C. 2 non è una radice di P(x) D. -2 non è una radice di P(x) E. 2 e -2 sono certamente radici di P(x) Soluzione: Se il polinomio è divisibile per x2-4, allora essendo x2-4=(x+2).(x-2) ammetterà come radici -2 e +2 La risposta esatta è quindi la E Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi aventi grado inferiore. Ripassiamo le principali regole di scomposizione in fattori primi di un polinomio: Raccoglimento a fattor comune Raccoglimento a gruppi Prodotti notevoli Trinomio di secondo grado Facciamo ora alcuni esempi: Raccoglimento a fattor comune: x3-8x2+5x osserviamo che il termine x è in comune tra tutti ed otteniamo x(x2-8x+5 ) Raccoglimento a gruppi ax+ay+bx+by osserviamo che tra i primi due termini possiamo mettere in evidenza a, mentre tra il terzo e il quarto b ed otteniamo pertanto: a(x +y) +b(x +y) ( x +y ) (a +b) Prodotti notevoli a2 +2ab+b2 = ( a +b)2 a2 -2ab+b2 = ( a-b)2 a2-b2 = (a +b)(a-b) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3+b3=(a +b)(a2-ab+b2) a3+3a2b+3ab2+b3= (a +b)3 a3-3a2b+3ab2-b3= (a-b)3 Trinomio di secondo grado x2+bx+c deve essere scritto come prodotto di (x+ ).(x+ ) dove + =b e . =c es: x2+5x+6 =2 =3 x2+5x+6=(x+2).(x+3) La semplificazione della seguente frazione : A) 220+220+1 B) 420 -220+1 C) 420+220+1 D) 220+1 E) Nessuna delle precedenti risposte Soluzione: 2 60 1 2 20 1 è: Per rispondere alla domanda osserviamo le seguenti cose: il numeratore è una differenza di quadrati ( in quanto 60 è un numero pari ed 1 è un quadrato ) il numeratore è una differenza di cubi ( in quanto 60 è un multiplo di 3 ed 1 è un cubo ) il denominatore è una differenza di quadrati ( in quanto 20 è un numero pari ed 1 è un quadrato ) Guardiamo quali tra le informazioni scritte è quella utile : Se confrontiamo l’esponente del numeratore e l’esponente del denominatore osserviamo che 60 è il triplo di 20, e cioè 260 = (220)3, questo ci fa capire che l’informazione corretta è la seconda:otteniamo pertanto: 260 1 2 60 1 20 2 20 1 2 40 1 2 20 = 2 20 1 2 40 1 2 20 2 40 1 2 20 20 2 1 2 1 Essendo 240=(22)20=420 otteniamo che la risposta corretta è la C Soluzione: Ricordiamo che: il MCD tra due o più polinomi ( non tutti nulli ) è dato dal prodotto dei fattori comuni, preso ciascuno una volta sola con il minimo esponente, il mcm tra due o più polinomi ( non tutti nulli ) è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, preso ciascuno una volta sola, con il massimo esponente Essendo quindi x3 – y3 = (x – y ).( x2 +xy+y2) otteniamo che MCD=x-y;mcm =(x – y ).( x2 +xy+y2) La risposta corretta è quindi la lettera E L’espressione algebrica 3 2 a 3 a B a 2 a a 2 è uguale a : 3 a 3 a a 3 3 a C E D 2 a 2 a a 2 a 2 Soluzione: per poter effettuare la somma dobbiamo fare il mcm dei polinomi al denominatore, ma in questo caso basta osservare che a-2 = -(2-a ) e quindi l’espressione diventa 3 a 3 a 3 a La risposta corretta è quindi la lettera A 2 a a 2 2 a 2 a 2 a A. Preso n No si definisce radice n.ma di x : a) per n dispari e x R n x a, a R a n x b) per n pari e x R+ n x a, a R an x in entrambi i casi n viene chiamato indice del radicale e x radicando Per quanto riguarda le operazioni con i radicali è importante ricordarsi che : a. la somma tra radicali si fa solo tra radicali simili, cioè tra radicali che hanno lo stesso indice e lo stesso radicando b. il prodotto tra radicali si fa tra radicali che hanno lo stesso indice a. Per poter effettuare la somma spesso dobbiamo portare un fattore fuori dal segno di radice, questo potrà essere effettuato a patto che, una volta scomposto in fattori primi il radicando, l’esponente di qualche suo fattore sia maggiore o uguale dell’indice del radicale 3 Es : 3 16 2 4 23 2 b. Per poter effettuare il prodotto spesso dobbiamo ridurre i radicali allo stesso indice , per fare questo basta applicare la proprietà invariantiva che afferma che , moltiplicando l’indice di una radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da zero, si ottiene un radicale che rappresenta lo stesso numero reale di quello di partenza Es: Riduciamo allo stesso indice i radicali 5 23 e 4 3 20 12 2 Il mcm tra gli indici 5 e 4 è 20 pertanto i due radicali diventano e 20 5 3 Associata alla definizione di radicale vi è la definizione di potenza con esponente razionale positivo: Sia a>0 e siano m e n due numeri naturali con n 0, poniamo per definizione n a m m an Altra operazione importante è la razionalizzazione, cioè l’eliminazione di un’espressione contenente uno o più radicali dal denominatore. Ripassiamo al solito i casi più comuni che si possono incontrare: Al denominatore c’è un radicale 6 basta moltiplicare numeratore e denominatore per 2 ed otteniamo 2 3 6 2 2 4 2 2 4 3 2 6 2 2 3 2 basta moltiplicare numeratore e denominatore per 3 3 22 43 4 2 23 4 3 2 2 ed otteniamo 22 Al denominatore c’è la somma o la differenza tra due termini di cui almeno uno è un radicale 6 basta moltiplicare numeratore e denominatore per 7 2 ed otteniamo 7 2 6 7 2 7 2 7 2 6 7 2 7 4 6 7 2 3 2 7 2 Quanto vale 50 72 ? A B 4 122 C 242 D 4 3600 122 Soluzione: Scomponiamo in fattori primi i due radicali e portiamo fuori 52 2 50 5 2 32 23 72 3 2 2 6 2 112 2 La somma vale pertanto 5 2 6 2 11 2 La risposta corretta è pertanto la C E nessuna delle precedenti 242 Sono dati i numeri reali a = 5 10 ; b = 190 ; c = 2 51 . Quale delle seguenti scritture è vera ? A. c<a<b B. a<b<c C. c<b<a D. b<c<a E. b<a<c Soluzione: I tre radicali hanno già tutti lo stesso indice e quindi per confrontarli basterà confrontare i rispettivi radicandi, per fare questo porteremo dentro i vari coefficienti: 5 2 10 a 5 10 250 c 2 51 2 2 51 204 Essendo allora 190<204<250 la disuguaglianza corretta è b<c<a e quindi la risposta esatta è la D Un numero razionale compreso tra 5 e 8 è A 2.52 B 1.98 C 3.01 D 5 8 /2 E 5 8 /2 Soluzione: In questo esercizio bisogna fare molta attenzione al testo, dove si parla di numero razionale e quindi necessariamente sono sbagliate le risposte D e E che sono numeri irrazionali. Il numero cercato deve essere maggiore di 2 in quanto 5 4 2 e minore di 3 in quanto 8 9 3 . L’unica risposta che verifica queste condizioni è la A Quali delle seguenti catene di disuguaglianze è l’unica valida ? 5 13 39 A. 3 7 2 15 5 5 B. 2 15 39 5 C. 2 15 3 7 D. 2 15 3 7 E. 2 15 5 13 3 7 5 13 5 5 39 5 5 13 5 5 13 5 3 7 39 5 39 5 Soluzione: 32 7 3 7 63 2 2 15 2 15 60 5 13 5 13 5 5 39 7.8 7. 8 2 60.84 pertanto la disuguaglianza corretta è 5 La risposta corretta è quindi la B Il radicale A 4 6 5 5 60 5 65 5 60.84 65 63 65 3 è uguale a : B 6 27 C 12 6561 D 10 32 E 8 12 Soluzione: Semplifichiamo i vari radicali 4 6 non può essere semplificato 27 6 33 3 La risposta corretta è pertanto la B 6 Una funzione esponenziale è una funzione che ammette l’incognita al numeratore, cioè che si presenta nella forma y=ax. Il grafico della funzione esponenziale cambia a seconda che la base a>1 oppure 0<a<1 Grafico di y=2x Funzione crescente dominio R condominio R+ Grafico di y=(1/2)x Funzione decrescente dominio R condominio R+ Risolviamo ora alcuni esercizi proposti su questo argomento: Sia f(x)=5x . Allora f(x+1)-f(x) è uguale a: A 4.5x B 5x C 5.5x D 5 Soluzione: E 1 f(x+1)=5x+1=5x . 5 f(x+1)-f(x)= 5x . 5 – 5x =5x(5-1) = 4. 5x La risposta corretta è quindi la lettera A La funzione y=a-x con a>0 A. E’ sempre negativa B. Può essere sia positiva che negativa C. E’ sempre positiva D. Interseca l’asse delle ascisse E. Non interseca l’asse delle ordinate Soluzione: Dal grafico che abbiamo fatto della funzione esponenziale si deduce che la risposta corretta è la lettera C Soluzione: Riportiamo tutti i termini alla stessa base 2: 23 x 1 / 3 2 2 3 x / 2 1 / 2 3 x 1 3x 1 La risposta corretta è pertanto la lettera C 0 2 La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale e quindi il suo grafico si ottiene facendo il simmetrico del grafico della funzione y=ax rispetto alla bisettrice y=x Grafico della funzione y=lnx Funzione crescente Dominio R+ Codominio R Grafico della funzione y=ln1/2 x Funzione decrescente Dominio R+ Codominio R Diamo ora la definizione di logaritmo: Assegnati due numeri positivi a e b con a 1, si chiama logaritmo in base a del numero b, l’esponente da dare ad a per ottenere b. Questo vuol dire che le due scritture ax = b e x= logab sono equivalenti PROPRIETA’ DEI LOGARITMI 1) log a b log a c log a bc 2) log a b log a c log a b / c 3) log a b n n log a b 1 log a b n log x b 5) log a b log x a 4) log a n b Soluzione: Applichiamo la definizione di logaritmo 1 16 1 4 x 4 2 4 x 2 1 x 1 2 La risposta corretta è quindi la lettera C x La soluzione dell’equazione : log2(2-x)=3 è : A 2 B -6 C1 D4 E nessuna delle precedenti Soluzione: Il dominio è dato da 2-x>0, cioè x<2 Applichiamo la definizione di logaritmo: 23=2-x 8=2-x x=-6 La risposta esatta è pertanto la lettera B Quanto vale log 3 A 1 2 1 ? 9 B C -2 2 D- 1 2 E non esiste Soluzione: La risposta è l’esponente che dobbiamo dare alla base 3 per ottenere La risposta esatta è perciò la lettera C Quanto vale log2192 –log23 ? A 6 B 8 C log2189 D log2195 Soluzione: Applichiamo la seconda proprietà dei logaritmi ed otteniamo log 2 La risposta esatta è perciò la A Il logaritmo in base un decimo di dieci A. Non si può calcolare B. Vale 1 C. Vale 10 D. Vale 1/10 E. Vale -1 Soluzione: log 1 10 10 x 1 10 x 10 10 La risposta esatta è quindi la E x 10 x 1 x 1 1 , questo valore è -2. 9 E nessuna delle precedenti 192 3 log 2 64 log 2 2 6 6 E’ data l’equazione 2 x A {-2;2} 2 16 .L’insieme di tutte le sue soluzioni reali è: B {2} C {4} D { log 2 8 } E{ Soluzione: 2x 2 2x 16 2 24 x2 4 x 2 La risposta corretta è quindi la lettera A Soluzione: Applichiamo la terza proprietà dei logaritmi: 5log10x3 = 5.3 log10x = 3.5 log10x = 3log10 x5 La risposta esatta è quindi la lettera A Soluzione: log a a 2 a a 5 2 log a a 2 1 a2 5 a2 log a a La risposta corretta è perciò la lettera D 2 1 5 2 2 log a a 0 log a 1 0 1 1 ln 16; ln 16 } 2 2 Soluzione: Dobbiamo analizzare l’argomento di ciascun logaritmo e vedere se appartiene a R+ Sen(26 )=0 quindi il suo logaritmo non ha significato cos(26 )= 1 quindi il suo logaritmo ha significato e vale 0 tan(26 )=0 quindi il suo logaritmo non ha significato La risposta corretta è quindi la E Soluzione: 4 15 4 2 10 85 10 2 log 4 4 log 4 15 log 4 4 2 log10 10 log10 85 log10 10 2 5 23 5 2 log 5 5 log 5 23 log 5 5 2 22 log 2 2 2 5 23 1 log 4 15 2 log 2 5 log 2 23 1 log10 85 2 1 log 5 23 2 2 log 2 5 3 3 8 32 log 3 3 log 3 8 log 3 32 1 log 3 8 2 Tutti i numeri sono quindi compresi tra 1 e 2 tranne log25 che invece è maggiore di 2. La risposta esatta è quindi la lettera D Autore: Rondanina Susanna