xn = x⋅x⋅x⋅ ..... ⋅x xa xa ⋅xb = x⋅x⋅x⋅ ..... ⋅x ⋅ x⋅x⋅x

FUNZIONE
POTENZA
La funzione potenza è quella che, data una variabile indipendente
x
, ad essa associa la sua potenza
all'esponente α , dove l'esponente può essere via via naturale, intero, razionale e irrazionale.
Ogni estensione dell'esponente comprende la definizione precedente.
f  x = x
y = f  x = x 
x

Vediamo definizioni e proprietà a partire dall'esponente più semplice e poi via via più complesso.
●
ESPONENTE NATURALE MAGGIORE DI UNO
(2, 3, 4, 5.....)
La potenza “x alla enne” è definita come prodotto di “enne” basi
x
uguali
x n = x⋅x ⋅x⋅ ..... ⋅x
n
In pratica è una specie di “scorciatoia” della moltiplicazione, quando i fattori sono uguali
●
PRIMA PROPRIETÀ FONDAMENTALE
x a ⋅ xb = x a  b
Dimostrazione molto facile, che si basa sulla precedente definizione:
x a ⋅ xb = x⋅x⋅x ⋅ ..... ⋅ x ⋅ x⋅ x⋅x⋅ ..... ⋅x
b
a
= x⋅x⋅x⋅ ..... ⋅x ⋅ x⋅x⋅ x⋅ ..... ⋅x = x ab
ab
●
ESPONENTE NULLO
Secondo la definizione iniziale, l'esponente zero non ha significato, perché non sappiamo che cosa
significhi “prendere la base zero volte e moltiplicarla”.
La definizione viene data, allora, in seguito alla scelta di MANTENERE VALIDA SEMPRE LA
PROPRIETÀ FONDAMENTALE vista qui sopra.
xa = x a  0
ma in base alla proprietà fondamentale, essa si scompone come segue:
x a = x a  0 = x a ⋅ x0
cioè
x a = x a ⋅x 0
che risulta valida solo quando il secondo fattore della moltiplicazione risulta uguale a uno.
Pertanto si deve concludere che il significato da dare alla potenza con esponente nullo, qualunque sia la
base, è UNO. Questo proprio per mantenere sempre la validità della proprietà fondamentale.
x0 = 1
Con lo stesso tipo di dimostrazione definiamo la potenza con esponente UNO
●
ESPONENTE = 1
Secondo la definizione:
x a1 = x⋅x⋅ x⋅ ..... ⋅x
a1
ma anche:
x a1 = x⋅x⋅ x⋅ ..... ⋅x ⋅x
a
e quindi, mantenendo valide la definizione di potenza e la prima proprietà, otteniamo:
x a ⋅ x1 = x a ⋅ x
per confronto, si deduce
●
x1 = x
ESPONENTE INTERO NEGATIVO (-1, -2, -3, -4 ...)
Anche qui la definizione iniziale si troverebbe in difficoltà.
Che cosa significherebbe “prendo meno 5 volte la base e ... “ ?
Per definire la potenza ad esponente negativo, di nuovo si mantengono valide la definizione iniziale, la
proprietà fondamentale e le potenze con esponente nullo ed esponente uno che abbiamo appena
dimostrato.
1 = x0
per la dimostrazione fatta sopra
allora:
1 = x 0 = x −aa
ma scomponendo l'ultimo termine in base alla prima proprietà:
1 = x−a ⋅ x a
in definitiva:
x−a =
1
xa
La potenza con esponente negativo deve essere definita, per tutte le definizioni e proprietà precedenti,
come il reciproco della medesima potenza con esponente positivo.
●
SECONDA PROPRIETÀ FONDAMENTALE
 x a b = x ab
Dimostrazione molto facile, che si basa sempre sulla definizione di potenza:
 x a b = x a ⋅x a ⋅x a ⋅ ..... ⋅ x a
b
= x⋅x⋅x⋅ ..... ⋅x⋅
.... ⋅ x⋅x⋅x ⋅ ..... ⋅x
a
a
b
In sostanza è una moltiplicazione di tante basi quante sono il prodotto dei due esponenti
Nei prossimi fogli si amplia la definizione di potenza quando l'esponente è frazionario, cioè è un
numero razionale, ovvero il rapporto fra due numeri interi.
Per esempio
x
3
4
La nuova definizione, tuttavia, comprende le precedenti quando la frazione è un numero intero.
●
ESPONENTE FRAZIONARIO
La definizione di base non vale, in quanto che cosa significherebbe dire “prendo ¾ di volte la base” ?
La matematica definisce la potenza ad esponente razionale come radice.
La definizione, se la frazione è apparente, cioè è un numero intero, torna ad essere quella definita nelle
pagine precedenti. Non c'è quindi contraddizione con le proprietà precedenti.
Vedremo che in sostanza la frazione è comunque apparente, perché le radici di potenze sono comunque
confronti tra numeri interi della base.
Inoltre vedremo che se ammettiamo basi negative, possiamo dimostrare uguaglianze false.
Pertanto la MATEMATICA DEFINISCE LA POTENZA AD ESPONENTE RAZIONALE
SOLO QUANDO LA BASE E' UN NUMERO POSITIVO
m
Se
ed
y = x
m
n
n
=
sono due numeri interi, allora si definisce la potenza come segue:
n x m
y
Pertanto il numero
, “radice ennesima di x elevato alla emme” è, secondo la definizione di
radice, quel numero che moltiplicato per se stesso (n-1) volte ci dà il valore che si ottiene moltiplicando
x
per se stesso
Ovvero:
(m-1) volte.
y⋅ y .... y = x m
n
Cioè
y⋅ y .... y = x⋅ x .... x
n
m
Come si vede, si tratta di un confronto tra prodotti di due numeri interi di basi.
La frazione è puramente apparente.
Questa definizione, se la frazione è un numero intero, comprende le precedenti; per esempio:
6
2
y = x =
6
2
2
x
2
6
cioè
6
2
y = x =
2
 x⋅x ⋅x⋅x⋅x⋅x
y = x =  x⋅ x⋅x⋅ x⋅x⋅ x = x⋅x ⋅x = x 3
LA POTENZA CON ESPONENTE RAZIONALE NON PUO' AVERE BASE NEGATIVA
Dimostriamo, con passaggi perfettamente validi, che se accettiamo di dare base negativa ad una
potenza con esponente razionale, allora si dimostra una uguaglianza assurda:
sappiamo che
3
−1 = −1
perché (-1) elevato alla terza dà sempre (-1)
−1 = −1
Se ammettiamo questo, ammettiamo quindi
1
3
E' una potenza con base negativa ed esponente frazionario; consideriamo per il momento che questa
possibilità sia accettabile.
1
2
3
6
Non si può negare che vale anche:
−1 = −1 = −1
1
3
cioè
−1 = −1 = −1
2⋅
1
6
Ma per la seconda proprietà possiamo trasformare il terzo termine in potenza di potenza, come segue:
1
3
2⋅
1
6
1
3
2⋅
1
6
−1 = −1 = −1
1
2 6
= [−1 ]
e allora
−1 = −1 = −1
1
2 6
= [−1 ] = [ 1 ]
1
6
L'ultimo è la radice sesta di UNO, CHE VALE UNO: quindi con passaggi regolari abbiamo questo
risultato:
1
3
−1 = −1 = −1
2⋅
1
6
1
2 6
1
6
6
= −1  =  1  =  1 = 1
che è chiaramente falso.
Per evitare queste contraddizioni, la matematica sceglie di non considerare valido il primo passaggio.
Se l'esponente è una frazione, la base deve essere POSITIVA.

Download Report