PROPRIETÀ MAGNETICHE DELLA MATERIA

PROPRIETÀ MAGNETICHE DELLA MATERIA
a cura di Nicola Tedeschi
17 giugno 2014
Per avere un'idea iniziale sulle caratteristiche magnetiche dei diversi materiali possiamo pensare al seguente
esperimento. Si consideri un solenoide percorso da corrente e si pensi di inserire parzialmente in questo solenoide
dei cilindri di materiale per osservare come il campo magnetico assiale prodotto dal solenoide agisca su questi
materiali.
In generale potremo osservare tre diversi comportamenti:
1. Il materiale viene attratto verso l'interno del solenoide con una forza molto intensa, diciamo dell'ordine della
forza gravitazionale terrestre. Diremo che questi materiali sono Ferromagnetici.
2. Il materiale viene attratto verso l'interno del solenoide ma con una forza di vari ordini di grandezza inferiori
rispetto a quella a cui sono sottoposti i ferromagneti. Diremo che questi materiali sono Paramagnetici.
3. Il materiale viene spinto fuori dal solenoide con una forza, in modulo, paragonabile a quella misurata per i
paramagnetici. Diremo che questi materiali sono Diamagnetici.
Notiamo subito che il diamagnetismo è presente in realtà in tutti i materiali, ma è trascurabile nei paramagneti
e nei ferromagneti. Per capire da dove derivi questo comportamento dei materiali facciamo una breve trattazione
microscopica del magnetismo nella materia.
Ci limiteremo ad una trattazione classica, riferendoci al semplice modello di Rutherford per l'atomo.
Supponiamo quindi che l'atomo sia composto da un nucleo dotato di carica elettrica positiva ed attorno al quale
orbiti un elettrone con carica elettrica negativa e, il quale moto abbia raggio r0 = 0, 5 armstong e con velocità
angolare ω nota. Per ricavare r0 e ω è suciente applicare la legge di Newton considerando l'energia di legame che
si può ricavare sperimentalmente. A questo punto possiamo ricavare il momento angolare e il momento magnetico
dell'atomo. Supponiamo di poter porre, in un sistema di riferimento cilindrico, la velocità diretta lungo ϕ in modo
che il moto sia diretto su un piano perpendicolare all'asse z . In questo caso il momento angolare sarà:
L = mr0 × v = mr0 · ωr0 z 0 = mr02 ωz 0
(1)
m = I · S z0
(2)
dove m è la massa dell'elettrone.
Il momento magnetico sarà:
dove I è la corrente dovuta all'elettrone e S è la supercie racchiusa dentro l'orbita, quindi:
m=−
e
e
· πr02 z 0 = − ωr02 z 0
T
2
(3)
Notiamo subito che L e m sono antiparalleli. Vediamo inoltre che il rapporto tra i loro moduli è:
g=
|m|
e
=−
|L|
2m
(4)
g è detto fattore giromagnetico.
Da queste considerazioni è possibile ricavare il comportamento magnetico del materiale. Prima di fare ciò però
notiamo che non solo gli atomi hanno un momento magnetico e angolare, ma le singole particelle hanno un grado
di libertà ulteriore. Sappiamo infatti che un elettrone è dotato di un momento di spin pari a :
s=
¯
h
s
2 0
1
(5)
Il momento magnetico corrispondente si ricava moltiplicando s per il fattore giromagnetico che, nel caso dell'elettrone, vale ge = − me .
Abbiamo trovato il legame tra momento angolare e momento magnetico che in generale possiamo scrivere:
m = gL
(6)
Supponiamo ora di applicare un campo esterno. Il momento magnetico risentirà di un momento della forza pari a:
Mg = m × B
(7)
Sappiamo inoltre che il momento della forza è legato alle variazioni del momento angolare:
Mg =
dL
dt
(8)
Combinando queste equazioni, si ottiene:
dL
=m×B
dt
(9)
Ricordando il legame tra L e m possiamo quindi scrivere:
dm
= gm × B
dt
(10)
Questa è un'equazione dierenziale che descrive il moto del dipolo magnetico. È facile vedere che la soluzione di
questa equazione fornisce la componente di m parallela a B costante nel tempo. Le componenti di m sul piano
perpendicolare a B invece iniziano un moto circolare. Il dipolo quindi descrive un cono nello spazio. In questo
modello abbiamo completamente trascurato gli eetti di attrito all'interno del materiale. Tali eetti fanno sì che il
moto sul piano perpendicolare a B sia una spirale e che quindi, dopo un certo tempo, il dipolo si allinei perfettamente
a B.
Diremo a questo punto che il materiale ha raggiunto la saturazione.
La relazione da noi trovata è una relazione microscopica. Possiamo pensare di moltiplicare ambo i membri per
il numero di dipoli magnetici per unità di volume n:
d nm
= g nm × B
dt
(11)
M =n<m>
(12)
Deniamo quindi il vettore di magnetizzazione:
dove < m > è il momento magnetico medio. Considerando che l'equazione dierenziale sarà sicuramente vera in
media, potremo allora scrivere:
dM
= gM × B
dt
2
(13)
Questa viene detta equazione magnetodinamica. E' un legame dierenziale tra induzione magnetica e magnetizzazione del materiale.
Risolvendo questa equazione si può in teoria ricavare un legame integrale tra M e B . Questo fatto è legato alla
natura lineare del materiale. Il materiale può essere infatti visto come un sistema lineare in cui l'ingresso (B) è
legato all'uscita (M ) tramite una equazione dierenziale.
Lasciamo ora questa equazione, proponendoci di riprenderla più avanti per studiare il comportamento delle ferriti.
Andremo ora a vedere come sia possibile prendere in considerazione la magnetizzazione di un materiale a livello
macroscopico. Dalla denizione di magnetizzazione, si può scrivere:
M = n < m >=
dN
<m>
dτ
(14)
Potremo, poi, scrivere il potenziale vettore magnetico A = ∇ × B .
In generale il potenziale A generato da una densità di corrente J e da una distribuzione di dipoli magnetici con
momento magnetico medio < m > potrà scriversi, considerando il volume innitesimo dτ , come segue:
dA =
4π J(r0 )
4π < m > ×(r − r0 )
0
ndτ 0
dτ
+
µ0 |r − r0 |
µ0
|r − r0 |3
(15)
Ricordando la denizione della magnetizzazione ed integrando nel volume τ 0 che contiene le sorgenti:
A(r) =
J(r0 )
4π
dτ 0 +
|r − r0 |
µ0
Z
4π
µ0
τ
Z
τ
M (r0 ) × (r − r0 )
dτ 0
|r − r0 |3
(16)
Ora notiamo che:
(r − r0 )
1
0
=
∇
|r − r0 |3
|r − r0 |
(17)
Quindi:
4π
A(r) =
µ0
4π
J(r0 )
dτ 0 +
|r − r0 |
µ0
Z
τ
Z
M ×∇
0
τ
1
|r − r0 |
(18)
dτ 0
Ricordiamo ora l'identità vettoriale:
(19)
∇ × (φA) = φ∇ × A − A × (∇φ)
Applicando questa proprietà il secondo integrale diventa:
Z
M ×∇
τ
0
1
|r − r0 |
0
Z
dτ =
τ
∇0 × M
dτ 0 −
|r − r0 |
Z
0
∇ ×
τ
M
|r − r0 |
dτ 0
(20)
Al secondo integrale a secondo membro può essere applicata la seconda identità di Green, ottenendo così un integrale
di supercie. Di conseguenza, si può scrivere:
4π
A=
µ0
Z
τ
(J + ∇0 × M )
dτ 0 +
|r − r0 |
Z
S
M × n0
dS 0
|r − r0 |
(21)
In questo modo, si può pensare il potenziale vettore generato da una distribuzione volumica di corrente e da una
distribuzione superciale di corrente. Supponendo di essere all'interno del materiale, lontano dalle interfacce con
altri mezzi, potremo tenere conto della sola densità di corrente totale:
JT = J + ∇ × M
(22)
Vediamo quindi che la magnetizzazione può essere trattata macroscopicamente usando una densità di corrente totale
che comprenda le correnti magnetiche equivalenti.
Con questa posizione la quarta equazione di Maxwell si può scrivere come segue (caso stazionario):
∇ × B = µ0 J T
(23)
∇ × B = µ0 (J + ∇ × M )
(24)
da cui:
3
da cui:
∇×H =J
(25)
con:
H=
1
B − M
µ0
(26)
ovvero:
B = µ0 H + µ0 M
(27)
In alcuni materiali è possibile porre un legame lineare tra M e B , quindi:
M = χm H = (µr − 1)H
(28)
dove χm è la suscettività magnetica e µr è la permeabilità relativa.
Vediamo che in questo caso si ha:
B = µH
(29)
con µ = µ0 µr .
Tale posizione è possibile però solo per le sostanze paramagnetiche (in cui µ > µ0 ) e per le sostanze diamagnetiche
(in cui µ < µ0 ). Per i ferromagneti il legame tra B e H diventa non lineare:
B = f (H)
(30)
Come è ben noto in queste sostanze ha luogo il fenomeno dell'isteresi magnetica che non solo è un fenomeno non
lineare, ma dipende dalla storia del materiale, come vedremo tra poco. Prima diciamo che la relazione tra B e H
in un mezzo anisotropo, come i ferromagneti a saturazione, diventa un legame tensoriale del tipo:
B =µ·H
(31)
dove µ è una diade dalle cui proprietà si possono ricavare le proprietà del materiale. Nel dominio della frequenza,
se µ risulta hermitiana, allora il materiale è non dissipativo.
In generale il legame lineare più complesso che si può avere tra B e H si ha nel caso di un mezzo lineare, anisotropo, non omogeneo, n
e dissipativo nello spazio:
Z
t
Z
B(r) =
−∞
µ (r, r0 , t, t0 ) · H (r, r0 , t0 ) dt0 dV 0
(32)
V
Un legame di questo genere mostra come il mezzo possa essere pensato come un sistema lineare la cui funzione di
trasferimento è la funzione µ. In teoria sarà sempre possibile scrivere un'equazione dierenziale tra B e H la cui
soluzione sia espressa dall'integrale di cui sopra.
Torniamo ora a parlare dell'isteresi magnetica. Supponiamo di imporre un campo magnetico H su un ferromagnete
e vediamo come varia B . Al crescere di H si avrà un andamento come quello mostrato in gura (1). Dove si è
supposto che il materiale non abbia magnetizzazione pregresse. Vediamo che B cresce non linearmente con H no
ad un valore H s , valore per il quale si ha la saturazione. Da questo punto in poi H e B crescono linearmente, ovvero
la permeabilità magnetica diventa una costante. Notiamo che in questo caso la permeabilità magnetica è funzione
di H :
µ = µ(H)
(33)
prima della saturazione. Tale funzione tende ad una costante quando H tende al valore di saturazione.
Se ora si riduce il valore di H la funzione assume i valori di gura. Vediamo che per un campo magnetico esterno
nullo il materiale continua a presentare una induzione magnetica residua Br (2). Se ora si inverte il verso di H e lo
si fa crescere in modulo notiamo un andamento del tipo (3); Vediamo che l'induzione nel mezzo arriva a saturazione
per il valore −Hs . A questo punto possiamo riportare H a zero e farlo cresere nel verso positivo ottenendo la
gura completa (4). E' bene notare che ricominciando il processo la nuova curva si posizionerebbe dentro a quella
mostrata in (4) e, mano a mano, dopo le magnetizzazioni successive tenderebbe a collassare verso lo zero. Appare
4
chiaro quindi la dipendenza del valore di µ(H) dalla storia del materiale.
E' importante notare ora che molti ferromagneti (naturali o trattati) presentano dei valori di permeabilità
magnetica, di saturazione, molto elevati. Tali sostanze si comportano in modo analogo ai conduttori perfetti con
le linee del campo elettrico, nel senso che le linee del campo magnetico tendono a rimanere perpendicolari alla
supercie di questi materiali. Consideriamo a tale proposito due materiali aventi permeabilità magnetiche µ1 e µ2
e scriviamo le condizioni di continuità dei campi normali:
Bn1 = Bn2
(34)
µ1 Hn1 = µ2 Hn2
(35)
Da cui:
Se ora supponiamo che µ1 >> µ2 ed in particolare µ1 → ∞, notiamo che la componente normale del campo nel
mezzo 2 diventa molto grande, quindi al limite le linee di campo nel mezzo 2 tenderanno ad essere ortogonali alla
supercie di separazione del mezzo 1.
A questo punto parliamo di un particolare materiale ferromagnetico: la Ferrite (miscela di metalli e di ossidi di
ferro). Per studiare questa sostanza riprendiamo l'equazione magnetodinamica:
dM
= gM × B
dt
(36)
Ricordiamo che B è il campo esterno nel vuoto, quindi potremo scrivere:
dM
= µ0 gM × H
dt
5
(37)
Ricordiamo ora che questa equazione vale solo in condizioni di saturazione, prima della saturazione si dovrebbe
considerare un termine di smorzamento. Supponiamo quindi che il campo esterno H abbia una componente continua
H s , per semplicità diretta lungo z , tale da portare il mezzo in saturazione. Supponiamo che alla componente continua
sia sovrapposta una componente variabile h i cui singoli componenti siano tutti molto minori di |H s |. Potremo
scrivere:
H = Hs z 0 + h
(38)
Per il principio di sovrapposizione potremo supporre che anche per il vettore di magnetizzazione valga la stessa
posizione e scrivere:
M = Ms z 0 + m
(39)
dm
= µ0 g(Ms z 0 + m) × (Hs z 0 + h)
dt
(40)
Andando a sostituire:
Svolgendo il prodotto ricordiamo che |m| << Ms e |h| << Hs , quindi trascuriamo il termine h × m. Potremo
scrivere:
dm
= µ0 g(Ms z 0 × h + Hs m × z 0 )
dt
(41)
dm
= µ0 gHs (m × z 0 − ρh × z 0 )
dt
(42)
da cui:
con:
ρ=
Ms
Hs
(43)
Proiettando sui tre assi:
dmx
= µ0 gHs (my − ρhy )
dt
dmy
= µ0 gHs (−mx + ρhx )
dt
dmz
=0
dt
(44)
(45)
(46)
Supponendo che h e m varino nel tempo come ejωt e chiamando ω0 = −µ0 gHs , si ha:
jωmx = ω0 (my − ρhy )
jωmy = ω0 (ρhx − mx )
jωmz = 0
(47)
(48)
(49)
La prima cosa che notiamo è che non c'è magnetizzazione lungo z . Quindi le variazioni di H lungo z non hanno
eetto sulla magnetizzazione. Ponendo τ = ωω0 , si giunge alle seguenti relazioni:
hx − jτ hy
1 − τ2
hy + jτ hx
my = ρ
1 − τ2
mx = ρ
(50)
(51)
Potremo quindi scrivere l'induzione magnetica variabile nel tempo come segue:
b = µ0 h + µ0 m
6
(52)
quindi:
i
jτ ρ
ρ
h
−
h
x
y
1 − τ2
1 − τ2
h
i
ρ
jτ ρ
h
by = µ0 1 +
h
+
y
x
1 − τ2
1 − τ2
bz = µ0 hz
bx = µ0
h
1 +
(53)
(54)
(55)
da cui possiamo scrivere il tensore di permeabilità magnetica come segue:

µ1
µ = µ0  jµ2
0
−jµ2
µ1
0

0
0 
1
dove:
µ1 = 1 +
µ2 =
ρ
1 − τ2
τρ
1 − τ2
(56)
(57)
Da questa diade vediamo subito che la ferrite, per come è stata studiata con il presente modello, è un componente
non dissipativo, la diade è infatti hermitiana. Ovviamente, la diade non sarebbe stata hermitiana se avessimo tenuto
conto delle perdite nell'equazione magnetodinamica. La seconda cosa che notiamo è che per τ = 1 (ω = ω0 ) si
ha un comportamento di risonanza, la µ2 infatti tende a ∞. Questo vuol dire che basta una piccola componente
lungo x (o y ) del campo h per eccitare un valore nito di b lungo y (o x). Questo fenomeno prende il nome di
risonanza giromagnetica. Ricordiamo che ω0 = gµ0 Hs , quindi la frequenza di risonanza dipende linearmente dal
campo magnetico esterno di magnetizzazione. É importante notare che per τ = 1, si ha µ1 , µ2 → ∞ solo perché si
sono trascurate le perdite del mezzo, se infatti avessimo considerato il fenomeno della dissipazione µ1 e µ2 avrebbero
avuto la classica forma a campana, raggiungendo un valore massimo per ω = ω0 , ma senza divergere.
Possiamo citare alcune applicazioni del fenomeno di risonanza giromagnetica. Il primo è quello nell'accoppiamento di due guide ortogonali. Se si vuole accoppiare due guide rettangolari, ortogonali, nel modo fondamentale
T E10 tramite un foro praticato al centro della guida, magnetizzando lungo x, la seconda deve averlo diretto solo
lungo y . Sarà quindi suciente porre la ferrite nel punto in cui si accoppiano le due guide, magnetizzando lungo x.
Trattandosi di un fenomeno di risonanza sarà un accoppiamento a banda stretta.
Il secondo esempio di applicazione è l'isolatore. Considerando una guida d'onda rettangolare in cui la direzione
di propagazione sia l'asse z ed il modo fondamentale sia il T E10 , se si pone un'iride di ferrite sul piano (y, z) in essa
i momenti magnetici saranno in rotazione sul piano (x, z) in senso antiorario. Quindi si accoppiano con il campo
magnetico del modo T E10 dell'onda riessa, attenuandola. In questo modo nella guida potrà propagarsi solo l'onda
diretta.
Un altro importante eetto nella propagazione di onde elettromagnetiche nella ferrite magnetizzata, è l'eetto Faraday.
In poche parole, l'eetto Faraday consiste nella rotazione della polarizzazione dell'onda che si propaga nella ferrite.
In questo modo, cambiando la lunghezza della ferrite o l'intensità del campo di magnetizzazione, si può scegliere
la polarizzazione dell'onda uscente una volta nota la polarizzazione dell'onda entrante. Un componente che sfrutta
l'eetto Faraday è il giratore.
Cerchiamo ora di ricavare l'eetto Faraday andando a inserire l'espressione trovata per la permeabilità della
ferrite all'interno delle equazioni di Maxwell. Se si suppone che non siano presenti correnti elettriche, si potrà
scrivere:
∇ × E = −jωµ · H
(58)
∇ × H = jω0 E
(59)
per semplicità, supponiamo che l'onda si propaghi lungo l'asse z :
E = E 0 e−jkz
−jkz
H = H 0e
(60)
(61)
in questo modo potremo scrivere:
−jkz 0 × E = −jωµ · H
(62)
−jkz 0 × H = jω0 E
(63)
7
dalla seconda equazione, otteniamo:
E=−
k
z ×H
ω0 0
(64)
che inserita nella prima equazione fornisce:
−
k2
z × z 0 × H = ωµ · H
ω0 0
(65)
da cui:
−k 2 [z 0 (z 0 · H) − H] = ω 2 0 µ · H
(66)
ω 2 0 µ0 µ1 − k 2 Hx − jω 2 0 µ0 µ2 Hy = 0
jω 2 0 µ0 µ2 Hx + ω 2 0 µ0 µ1 − k 2 Hy = 0
(67)
(68)
(69)
scrivendo le tre diverse componenti:
Hz = 0
Notiamo subito che l'onda è TEM. Esplicitando la forma matriciale, possiamo scrivere:
 2
ω 0 µ0 µ1 − k 2
 jω 2 0 µ0 µ2
0
−jω 2 0 µ0 µ2
ω 2 0 µ0 µ1 − k 2
0
  
0
Hx
0  · Hy  = 0
ω 2 0 µ0
Hz
(70)
Se si cerca una soluzione non banale si deve imporre l'annullamento del determinante della matrice. Tale uguaglianza
risulta essere l'equazione di dispersione del mezzo:
ω 2 0 µ0
h
ω 2 0 µ0 µ1 − k 2
2
− ω 2 0 µ0 µ2
2 i
(71)
=0
da cui:
ω 2 0 µ0 µ1 − k 2 = ± ω 2 0 µ0 µ2
(72)
k 2 = k02 (µ1 ± µ2 )
(73)
ovvero:
vediamo quindi che esistono due diverse soluzioni dell'equazione di dispersione, ovvero esistono due onde, con due
diverse velocità di fase, che possono propagarsi nel materiale1 . Diamo due nomi diversi alle costanti di propagazione
delle due onde:
√
k+ = k0 µ1 + µ2
√
k− = k0 µ1 − µ2
(74)
(75)
inserendo queste espressioni in una delle due equazioni (67) o (68), si ottiene:
Con k+ :
−k02 µ2 Hx − jk02 µ2 Hy = 0
→
Hx = −jHy
(76)
k02 µ2 Hx − jk02 µ2 Hy = 0
→
Hx = jHy
(77)
Con k− :
Vediamo quindi che in entrambi i casi l'onda è polarizzata circolarmente, una volta è circolare destra (con k+ ) e
l'altra è circolare sinistra (con k− ). Notiamo prima di tutto che questo comportamento non è reciproco, infatti, se
prendiamo un onda che si propaga con costante k+ , essa avrà polarizzazione destra se si propaga nel verso positivo
1 In
realtà questo risultato è una conseguenza del fatto che il materiale sia anisotropo, infatti, in tutti i mezzi anisotropi esiste il
fenomeno della birifrangenza, ovvero della propagazione di due onde con diverse velocità di fase.
8
delle zeta e sinistra se si propaga nel verso negativo. Vediamo quindi che lungo l'asse z il comportamento della ferrite
è non reciproco. Vediamo a questo punto in cosa consista l'eetto Faraday. Supponiamo che un'onda polarizzata
linearmente lungo l'asse x entri nella ferrite magnetizzata, propagandosi nella direzione z . Tale onda potrà sempre
vedersi come la sovrapposizione di due onde polarizzate circolarmente, una destra e l'altra sinistra:
H(z)|z=0 = H0 x0 =
i
H0 h
x0 + jy 0 + x0 − jy 0
2
(78)
durante la propagazione nella ferrite, le due onde polarizzate circolarmente si propagheranno con due velocità di
fase diverse:
H(z) =
i
H0 h
x0 + jy 0 e−jk+ z + x0 − jy 0 e−jk− z
2
(79)
deniamo ora le seguenti costanti:
k1 =
k2 =
k+ +k−
2
k+ = k1 + k2
→
k+ −k−
2
(80)
k− = k1 − k2
andando a sostituire, otteniamo:
h
i
H(z) = H0 e−jk1 z cos(k2 z)x0 − sin(k2 z)y 0
(81)
vediamo che durante la propagazione la polarizzazione dell'onda ruota. La velocità di rotazione dipende dalle
costanti k+ e k− , le quali sono a loro volta legate alle caratteristiche della ferrite. É quindi possibile ruotare la
polarizzazione dell'onda incidente di un angolo ssato attraverso la progettazione della lunghezza della ferrite e del
campo di magnetizzazione.
9

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