Superfici

Quadriche
Sfera
Equazione implicita:
x2 + y 2 + z 2 = 1 .
Rappresentazione parametrica:

 x = cos(θ) cos(φ) ,
y = sin(θ) cos(φ) ,

z = sin(φ) .
Ellisoide
Equazione implicita:
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
Rappresentazione parametrica:

 x = a cos(θ) cos(φ) ,
y = b sin(θ) cos(φ) ,

z = c sin(φ) .
1
Paraboloide Ellitico
Equazione implicita:
x2 y 2
+ 2 = 2pz .
a2
b
Rappresentazione parametrica:


 x = x,
y = y,
2
x2

+y

z = a2 2p b2 .
Paraboloide iperbolico
Equazione implicita:
x2 y 2
− 2 = 2pz .
a2
b
Rappresentazione parametrica:


 x = x,
y = y,
2
x2

−y

z = a2 2p b2 .
2
Iperboloide iperbolico
Equazione implicita:
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 = 1.
a2
b
c
Rappresentazione parametrica:

 x = r cos(θ)a ,
y = r sin(θ)b
,
√

2
z = ±c r − 1 .
Iperboloide ellitico
Equazione implicita:
−
x2 y 2 z 2
− 2 + 2 = 1.
a2
b
c
Rappresentazione parametrica:

 x = ra cos(θ) ,
y = rb sin(θ)
√

z = ±c 1 + r2 .
3
Superfici di rotazione di asse z
Iperboloide iperbolico
Equazione implicita:
x2 + y 2
z2
=
+ 1.
a2
b2
Rappresentazione parametrica:

 x = −a cosh(t) sin(θ) ,
y = b sinh(t) cos(θ) ,

z = b sinh(t) .
Toro
Equazione implicita:
(x2 + y 2 + z 2 + a)2 = 4b2 (x2 + y 2 ) .
Rappresentazione parametrica:
√

− b2 − a (cos(t) + b) sin(θ) ,
 x=√
y = √b2 − a (cos(t) + b) cos(θ) ,

z = b2 − a sin(t) .
4
Coni
Cono
Equazione implicita:
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 =0.
a2
b
c
Rappresentazione parametrica:

 x = ra cos(θ) ,
y = rb sin(θ) ,

z = rc .
Cono
Equazione implicita:
yz − ax2 = 0 .
Rappresentazione parametrica:

 x = rt ,
y = rat2 ,

z = r.
5
Cilindri
Cilindro ellitico
Equazione implicita:
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
Rappresentazione parametrica:

 x = a cos(θ) ,
y = b sin(θ) ,

z = r.
Cilindro parabolico
Equazione implicita:
ax2 − y = 0 .
Rappresentazione parametrica:

 x = t,
y = at2 ,

z = u.
6
Cilindro iperbolico
Equazione implicita:
x2 y 2
− 2 − 1 = 0.
a2
b
Rappresentazione parametrica:

 x = ±a cosh(t) ,
y = b sinh(t) ,

z = u.
Cilindro lemniscato
Equazione implicita:
(x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ) .
Rappresentazione parametrica:
p

 x = ±ap cos(2θ) cos(θ) ,
y = ±a cos(2θ) sin(θ) ,

z = u.
7

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