Elenco responsabili

Capitolo 4
Equazioni differenziali ordinarie
4.1
O.D.E. del primo ordine
Esempio 4.1.1. Risolvere il problema di Cauchy
⇢ 0
y = xy
y(1) = 1.
La O.D.E. e` del primo ordine a variabili separabili: ponendo y 6= 0 abbiamo
Z
Z
x2
x2
dy
x2
= xdx ! log |y| =
+ C ! |y| = e 2 +C = eC e 2
y
2
da cui ponendo k = eC > 0 abbiamo
x2
x2
|y| = ke 2
! y = ±ke 2 .
Abbiamo però che anche y = 0 e` soluzione (all’inizio l’avevamo esclusa per poter applicare il metodo risolutivo delle O.D.E. del primo ordine a variabili separabili): quindi
avremo l’integrale generale della O.D.E.
8
x2
>
< ke 2 y < 0
0
y=0
y(x) =
(4.1)
>
x2
:
ke 2
y > 0.
Imponiamo ora la condizione iniziale y(1) =
prima funzione in 4.1, ovvero
1=
1: essendo y < 0 dovremo scegliere la
1
!k= p
e
1
ke 2
da cui l’integrale particolare risulta
y(x) =
1 x2
p e2.
e
22
4 - Equazioni differenziali ordinarie
23
Esempio 4.1.2. Risolvere il problema di Cauchy
⇢
(1 + x2 )y 0 = (1 + y 2 )
y ⇡4 = ⇡6 .
La O.D.E. e` del primo ordine a variabili separabili: abbiamo l’integrale generale
Z
Z
dy
dx
=
! arctan(y) = arctan(x) + C.
2
1+y
1 + x2
Imponiamo la condizione iniziale y ⇡4 = ⇡6 :
p
p
⇣⇡ ⌘
⇣⇡ ⌘
3
3
arctan
= arctan
+C !
=1+C !C =
3
4
3
3
Quindi l’integrale particolare e`
p
3
arctan(y) = arctan(x) +
1.
3
1.
Esempio 4.1.3. Risolvere l’O.D.E. del primo ordine y 0 = x + y.
La O.D.E. e` del primo ordine lineare. Applicando la formula risolutiva1 abbiamo
Z R
Z
R
dx
dx
x
y(x) = e
e
xdx + C = e
xe x dx + C =
⇥
⇤
= ex e x (1 + x) + C = (1 + x) + Cex .
Esempio 4.1.4. Risolvere l’O.D.E. del primo ordine y 0
2y = x2 + x.
La O.D.E. e` del primo ordine lineare. Applicando la formula risolutiva abbiamo
Z R
R
2dx
y(x) = e
e 2dx (x2 + x)dx + C =
Z R
R
2dx
=e
e 2dx (x2 + x)dx + C =
Z
2x
=e
e 2x (x2 + x)dx + C =
= Ce2x
1
(1 + x)2
.
2
Se la O.D.E. del primo ordine lineare ha forma
y 0 + a(x)y = b(x)
ha integrale generale
y(x) = e
R
a(x)dx
Z
e
R
a(x)dx
b(x)dx + C .
24
Esercitazioni di Analisi Matematica 1
Esempio 4.1.5. Risolvere il problema di Cauchy
⇢ 0
y y = xy 2
y(0) = 1.
La O.D.E. e` del primo ordine di Bernoulli con ↵ = 2. Quindi poniamo la sostituzione
(y 6= 0)
y
y0
z = 2 ! z0 = 2 .
y
y
2
Dividiamo l’equazione data per y (si pone y 6= 0)
y0
y2
y
=x !
y2
z0
z = x ! z0 + z =
x.
Abbiamo quindi ricondotto la O.D.E. di Bernoulli ad una equazione lineare:
 Z R
R
dx
z(x) = e
e dx xdx + C =
 Z
x
=e
xex dx + C =
= e x [ ex (x 1) + C] =
= (x 1) + Ce x .
Quindi ritornando in y otteniamo per y 6= 0
1
=
y
(x
1) + Ce
x
!y=
Ce
x
1
(x
1)
.
Inoltre anche y = 0 e` soluzione poichè verifica direttamente l’equazione.
Imponiamo la condizione iniziale y(0) = 1:
1
=
y
(x
1) + Ce
x y(0)=1
da cui l’integrale particolare sarà y =
! 1=
( 1) + C ! C = 0
1
.
(x 1)
Esempio 4.1.6. Risolvere l’O.D.E. del primo ordine y = xy 0 + (y 0 )2 .
La O.D.E. e` del primo ordine di Clairaut. Deriviamo rispetto a x l’equazione e semplifichiamo
y 0 = y 0 + xy 00 + 2y 0 y 00 ! y 00 (x + 2y 0 ) = 0.
Da y 00 = 0 otteniamo la soluzione generale yg = Ax + B con A, B costanti. Sostituendo
yg nella equazione si ha
Ax + B = Ax + A2 ! B = A2 .
Quindi la soluzione generale relativa al particolare problema e` yg = Ax + A2 .
Cerchiamo la soluzione singolare: si pone y 0 = t da cui x+2t = 0 ovvero x = 2t. Dalla
equazione di partenza ricaviamo y = t2 . Abbiamo ↵S = ( 2t, t2 ) che e` l’equazione
parametrica della soluzione singolare.
4 - Equazioni differenziali ordinarie
4.2
25
O.D.E. lineari di ordine n a coefficienti costanti
Esercizio 4.2.1. Risolvere y 00 + 4y 0
5y = 0.
L’equazione differenziale e` lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti.
Imponendo che l’equazione abbia soluzioni del tipo y = e x si ha l’equazione algebrica
associata
2
+4
5=0
la quale ha soluzioni
sono
1
=
5e
2
= 1. Quindi avremo che le soluzioni della O.D.E.
y(x) = c1 e
5x
+ c2 e x
con c1 , c2 costanti reali che dipendono dalle eventuali condizioni iniziali che si pongono.
Esercizio 4.2.2. Risolvere y 00
y = 0.
L’equazione differenziale e` lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti.
Imponendo che l’equazione abbia soluzioni del tipo y = e x si ha l’equazione algebrica
associata
2
1=0
la quale ha soluzioni
sono
1
=
1e
2
= 1. Quindi avremo che le soluzioni della O.D.E.
y(x) = c1 e
x
+ c2 e x
con c1 , c2 costanti reali che dipendono dalle eventuali condizioni iniziali che si pongono.
Esercizio 4.2.3. Risolvere y 00
2y 0 + y = 0.
L’equazione differenziale e` lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti.
Imponendo che l’equazione abbia soluzioni del tipo y = e x si ha l’equazione algebrica
associata
2
2 +1=0
la quale ha soluzioni unica (molteplicità 2) 0 = 1. Quindi avremo che le soluzioni della
O.D.E. sono
y(x) = c1 e x + c2 xex
con c1 , c2 costanti reali che dipendono dalle eventuali condizioni iniziali che si pongono.
Si osserva che e` sbagliato affermare che essendo uguali le soluzioni dell’equazione algebrica associata allora abbiamo c1 ex +c2 ex : le due soluzioni di cui prendo la combinazione
lineare devono essere linearmente indipendenti2 .
2
Due funzioni f (x), g(x) sono linearmente indipendenti se 8x del dominio comune alle due funzioni si
ha f (x) = cg(x) con c costante reale.
26
Esercitazioni di Analisi Matematica 1
Esercizio 4.2.4. Risolvere y 00
2y 0 + 2y = 0.
L’equazione differenziale e` lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti.
Imponendo che l’equazione abbia soluzioni del tipo y = e x si ha l’equazione algebrica
associata
2
2 +2=0
la quale ha soluzioni
O.D.E. sono
1
=
1+ie
y(x) = e
2
x
=
1
i. Quindi avremo che le soluzioni della
(c1 cos(x) + c2 sin(x))
con c1 , c2 costanti reali che dipendono dalle eventuali condizioni iniziali che si pongono.
Esercizio 4.2.5. Risolvere y 000
y = 0.
L’equazione differenziale e` lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti.
Imponendo che l’equazione abbia soluzioni del tipo y = e x si ha l’equazione algebrica
associata
3
1=0
la quale, sfruttando
la divisione
fra polinomi o il metodo di Ruffini, ha soluzioni 1 = 1 e
p
p
3
3
1
1
i 2 . Quindi avremo che le soluzioni della O.D.E. sono
2 = 2 +i 2 e 2 = 2
p !
p !!
x
3
3
y(x) = c1 ex + e 2 c2 cos
+ c3 sin
2
2
con c1 , c2 , c3 costanti reali che dipendono dalle eventuali condizioni iniziali che si pongono.
4 - Equazioni differenziali ordinarie
4.3
Esercizi
Esercizio 4.3.1. Risolvere le seguenti O.D.E.
del primo ordine:
⇢ 0
y = xy(y + 1)
1.
y(0) = 1;
2. y 0 = (1 + x2 )x3 ;
⇢ 0
y + 3xy = x3
3.
y(0) = 2;
⇢ 0 1
y + x y = 4x
4.
y(1) = 1;
⇢ 0
y + y = xy 3
5.
y(0) = 2;
6. y = xy 0 + y 0 ;
7. y = xy 0 + y 0 sin(y 0 ).
Esercizio 4.3.2. Risolvere le seguenti O.D.E.
lineari omogenee a coefficienti costanti:
8 00
8y 0 10 = 0
< 2y
y(0) = 1
1.
: 0
y (0) = 2;
8 00
2y 0 = 0
< 3y
y(3) = 0
2.
: 0
y (3) = e2 ;
8 00
< y + 3y = 0
y(0) = 1
3.
: 0
y (0) = 1;
8 00
4y 0 + 5y = 0
< y
y(0) = 1
4.
: 0
y (0) = 1;
8 000
y
6y 00 + 13y 0 10y = 0
>
>
<
y(0) = 0
5.
y 0 (0) = 1
>
>
: 00
y (0) = 1
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