Gli animali degli oceani

SUCCESSIONI
Una successione è una funzione il cui dominio è l’insieme dei numeri naturali.
L’elemento generico di una successione si denota con xn. In luogo di x(n). Una successione si indica
con:
{xn} n
{xn}
Si rappresenta elencandone un certo numero di termini
1,2,3,5,8,13
Disegno i punti di coordinate (n; xn)
Rappresentazione analitica: n xn
Questa legge permette di determinare
un xn
1) SUCCESSIONE IDENTICA
xn=n
ovvero 1,2,3,4,….n… (a 1 associa 1, a 2 associa 2)
sarebbe la restrizione della funzione identità all’insieme dei numeri naturali
diverge
2) SUCCESSIONE DEI RECIPROCI
xn=
ovvero 1,
o in forma decimale 1,000 , 0,500 , 0,333 , 0,250…
converge
3) ESEMPIO 3
Xn=(-1)n
Ovvero -1,1,-1,1,….
n pari1
n dispari-1
4) ESEMPIO 4
Xn=cosπ x
cosπ, cos2π, cos3π,….
Ovvero -1,1,-1,1…
5) SUCCESSIONE COSTANTE
Xn=4
Ovvero 4,4,4,4,….
Il codominio di una successione è detto il supporto di una successione.
1) La successione costante xn=c ha supporto {c}
2) La successione xn=(-1)n ha supporto {-1,1}
3) Xn=n ha supporto
4)
ha supporto contenuto in (0,1]. Gli irrazionali non ne fanno parte.
Una successione {xn} si dice inferiormente limitata se esiste un numero
tale che
Xn ≥ h
Una successione è inferiormente limitata se tutti i suoi termini si trovano sopra una retta // al
primo asse.
Stessa cosa se è superiormente limitata
limitata se posso racchiudere gli elementi tra due rette
Esempio xn=
Risulta x1=1 xn < 1
1 è il massimo
0 è il più grande minoranteè estremo inferiore
Non fa parte del codominio non è minimo
Nessun numero positivo h è un minorante della successione
Indichiamo infatti con m-1 la parte intera di
m-1 < < m
si ha
<h
a maggior ragione
<h
inf =0
xn=n2 verifica la proprietà xn > 0
ovvero la successione xn è positiva.
xn=n2-10. I primi termini sono -9,-6,-1,6, 15…
proprietà soddisfatta DEFINITIVAMENTE  soddisfatta da un certo indice in poi
si dice che una successione { xn} verifica definitivamente una data proprietà se è possibile
determinare un numero naturale m tale che la proprietà è verificata da ogni termine xn con n > m
Esempio: xn=n!
1,2,6,24,120,720
Verifica definitivamente la proprietà xn > 100
In quanto tale proprietà è soddisfatta
>4
SUCCESSIONI CONVERGENTI
Una successione {xn} si dice convergente se esiste un numero
comunque si scelga un numero reale positivo
che si abbia definitivamente:
in corrispondenza del quale
si possa determinare un numero naturale
tale
Si dice in tal caso che l è il limite della successione {xn} o anche che la successione { xn} converge a l
e si scrive:
La doppia disuguaglianza
Ed equivale all’unica disuguaglianza |
si può scrivere anche
|x| <
Dal punto di vista grafico ciò significa che per ogni
tutti i termini della successione a partire
da un certo valore di n appartengono alla striscia individuata dalle due rette parallele all’asse delle
ascisse e corrispondenti ai valori
e
TEOREMA DELL’UNICITA’ DEL LIMITE
Una successione {xn} non può convergere a due limiti distinti.
Se per assurdo si avesse allo stesso tempo
Allora in virtù della proprietà triangolare del valore assoluto dovrebbe risultare definitivamente
A causa dell’arbitrarietà del numero positivo ciò è possibile solo se
ovvero
SUCCESSIONI DIVERGENTI
Una successione {xn} si dice positivamente divergente se per ogni numero k si può determinare un
numero naturale tale che si abbia:
xn > k
si dice in tal caso che la successione {xn} tende a +
e si scrive:
+
Una successione si dice negativamente divergente se per ogni numero h si può determinare un
numero naturale tale che si abbia:
xn < h
si dice in tal caso che la successione {xn} tende a -
e si scrive:
si dice in tal caso che la successione {xn} tende a +
e si scrive:
+
Una successione è divergente positivamente se comunque si disegni una retta orizzontale i suoi
termini si trovano definitivamente al di sopra di essa.
Successione REGOLARE successione convergente o divergente (dotata di limite)
RETTA NUMERICA AMPLIATA
La retta numerica ampliata
ulteriori elementi
è l’insieme che si ottiene unendo a quello dei numeri reali
Ovvero
Si ordina assumendo
<x<+
Ogni successione regolare ha limite in
Se un insieme A è superiormente non limitato allora non ha estremo superiore in
Se A è inferiormente non limitato allora non possiede un estremo inferiore in
i due
TEOREMA
Ogni successione convergente è limitata (non vale il contrario)
Poiché
Fissato un numero positivo risulta
Poniamo h=min{x1, x2,…
,
k=max{x1, x2,…
,
si ha h ≤ xn ≤ k
x1 < k
xn <
TEOREMA
Ogni successione positivamente divergente è inferiormente limitata e superiormente non limitata.
Poiché
Pertanto la successione non possiede maggioranti
Poniamo h=min{x1, x2,…
,
INFINITI E INFINITESIMI
Una successione {an} si dice INFINITESIMA se
N.B. infinitesimo non è un numero infinitamente piccolo, ma una quantità variabile che diviene
indefinitamente piccola.
Una successione {an} si dice INFINITA se
VERIFICA DEL LIMITE
xn=c
Se voglio dimostrare che
Fisso un
positivo: {
Esempio:
Indico con
[ ]
La soluzione di
e dell’intero sistema è n ≥
Esempio
Per dimostrare che
Fissiamo un arbitrario numero reale k tale che xn > k
[ ]
[ ]
(che verifica il limite)
SUCCESSIONI MONOTONE




Crescente se xn ≤ xn+1
Strettamente crescente se xn < xn+1
Decrescente se xn ≥ xn+1
Strettamente decrescente se xn > xn+1
Sia xn una successione crescente e superiormente limitata. Allora la successione è convergente e il
suo limite coincide con il suo estremo superiore.
DIMOSTRAZIONE
Poniamo
(è l’estremo superiore del supporto della successione
Mostriamo che
La disuguaglianza
è soddisfatta
in quanto è un maggiorante della successione.
Proviamo che
Il numero
non è un maggiorante della successione e dunque esiste un
Poiché la successione è crescente si ha allora xn ≥
tale che
>
In modo analogo si prova che
Con xn successione decrescente e inferiormente limitata.
Per esprimere simbolicamente che una successione {xn} tende a un limite si scrive:
Se una successione crescente tende al suo estremo superiore o che una decrescente tende al suo
estremo inferiore si scrive rispettivamente:
TEOREMA
Sia {an} una successione monotona crescente. Allora esiste:
Se {an} è superiormente limitata, allora converge e il suo limite è uguale all’estremo superiore dei
suoi valori (un numero reale).
Se {an} è superiormente illimitata, allora an tende a
dei suoi valori).
(che in questo caso è l’estremo superiore
Una successione monotona, converge o diverge (non può essere irregolare).
DIM.
Se {an} illimitata 
Siccome la successione è crescente 
si ha xn > k
Quindi
Quindi an
PROGRESSIONE GEOMETRICA
Xn=qn n
q= ragione i suoi termini sono 1,q,q2,q3,….qn,…

Se q=1 la progressione è la successione costante 1,1,1,1…. 


Se q= -1 successione alternata 1,-1,1,-1… ed è non regolare
Se q=0 0,0,0….

Se 0 < q < 1 la progressione geometrica è monotona decrescente e inferiormente limitata
q=

1,
,….
Se -1 < q < 0 si ha
Infatti -1 < q < 0  |qn| <

[
]
Se q > 1 la progressione geometrica è monotona crescente e superiormente non limitata.
{
{

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