16 aprile 2014 Laurea triennale in Informatica e Comunicazione Digitale Corso di Analisi Matematica Prima prova di valutazione parziale Traccia A Esercizi 1. Calcolare i seguenti limiti, usando le stime asintotiche 2 (cos x − 1)(ex − 1) 1 3 2 √ lim . lim (x + x + log x) log 1 + x→0 x→+∞ x2 sen2 x x+ x 2. Data x+1 e x−2 f (x) = x (a) determinarne il dominio; (b) calcolarne i limiti significativi e determinarne eventuali asintoti. 3. Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche ∞ X n=1 1 n log 1 + 3n + 2 n ∞ X arctg n n=1 n3 + 2 . Teoria 1. Giustificando tutte le risposte, (a) tracciare il grafico di f (x) = arcsen x e g(x) = x3 specificandone dominio e immagine; √ (b) se f (x) = x2 + x + 4 e g(x) = x + 1, determinare, se `e ben definita, g ◦ f specificandone il dominio; (c) dire se la funzione f (x) = x2 arctg x `e pari, dispari o nessuna delle due cose; (d) dire se `e vera o falsa l’affermazione per x → 0 tg x ∼ ex − 1; (e) fare un esempio di funzione strettamente crescente; (f) fare un esempio di successione che diverge a +∞; (g) fare un esempio di funzione che ammette limite finito al finito; (h) scrivere i primi tre termini della successione delle somme parziali relativa alla serie ∞ X 1 √ . n n=1 (i) fare un esempio di funzione discontinua in un punto; (j) dire se per x ∈ [−1, 1] la funzione f (x) = arctg x verifica le ipotesi del teorema degli zeri. 2. Enunciare le definizioni di (a) maggiorante ed estremo superiore di un insieme; (b) somma parziale n-esima e convergenza di una serie numerica. 3. Enunciare e dimostrare (a) il teorema di invertibilit`a delle funzioni strettamente monotone; (b) il teorema sulla divergenza della serie armonica. Valutazione - La teoria sar`a valutata solo se gli esercizi risulteranno sufficienti. - Le domande 2. e 3. della teoria saranno valutate solo se almeno cinque risposte alle domande in 1. risulteranno esatte. 16 aprile 2014 Laurea triennale in Informatica e Comunicazione Digitale Corso di Analisi Matematica Prima prova di valutazione parziale Traccia B Esercizi 1. Calcolare i seguenti limiti, usando le stime asintotiche lim x→+∞ 2x+1 (x + log x) e x2 − 1 2. Data f (x) = log(1 + 2x)(1 − cos x) . x→0 x tg x2 lim log x ex−2 − 1 (a) determinarne il dominio; (b) calcolarne i limiti significativi e determinarne eventuali asintoti. 3. Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche ∞ X n=1 sen n √ n3 + n ∞ X n=1 1 n n − 1). (e n2 + 2 Teoria 1. Giustificando tutte le risposte, (a) tracciare il grafico di f (x) = arccos x e g(x) = log2 x specificandone dominio e immagine; (b) se f (x) = x2 + x + 1 e g(x) = log x, determinare, se `e ben definita, g ◦ f , specificandone il dominio; (c) dire se la funzione f (x) = x3 sen x `e pari, dispari o nessuna delle due cose; (d) dire se `e vera o falsa l’affermazione per x → +∞ log x ∼ x; (e) fare un esempio di funzione limitata superiormente; (f) fare un esempio di successione che diverge a −∞; (g) fare un esempio di funzione che ammette limite finito all’infinito; (h) scrivere i primi tre termini della successione delle somme parziali relativa alla serie ∞ X 1 . n + 2 n=1 (i) fare un esempio di funzione discontinua in un punto; (j) dire se per x ∈ [0, 1] f (x) = e−x − x verifica le ipotesi del teorema degli zeri. 2. Enunciare le definizioni di (a) funzione strettamente crescente; (b) funzione continua in un punto. 3. Enunciare e dimostrare (a) il teorema di confronto sulla convergenza di successioni; (b) il teorema sulla convergenza e divergenza della serie geometrica. Valutazione - La teoria sar`a valutata solo se gli esercizi risulteranno sufficienti. - Le domande 2. e 3. della teoria saranno valutate solo se almeno cinque risposte alle domande in 1. risulteranno esatte. 16 aprile 2014 Laurea triennale in Informatica e Comunicazione Digitale Corso di Analisi Matematica Prima prova di valutazione parziale Traccia C Esercizi 1. Calcolare i seguenti limiti, usando le stime asintotiche 2 (ex − 1) sen 2x 6x + 2 lim . lim (x + log x) log 1 + 2 x→0 x→+∞ x +1 x arcsen x2 2. Data f (x) = log(x + 2) arctg x (a) determinarne il dominio; (b) calcolarne i limiti significativi e determinarne eventuali asintoti. 3. Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche ∞ X n+1 n=1 2n 1 sen n ∞ X 2n + 1 √ cos n. 3+ n n n=1 Teoria 1. Giustificando tutte le risposte, √ (a) tracciare il grafico di f (x) = arctg x e g(x) = x specificandone dominio e immagine; √ (b) se f (x) = x2 + 2x + 8 e g(x) = 1/ x, determinare, se `e ben definita, g ◦ f specificandone il dominio; (c) dire se la funzione f (x) = x2 cos x `e pari, dispari o nessuna delle due cose; (d) dire se `e vera o falsa l’affermazione per x → 0 x3 cos x ∼ x3 ; (e) fare un esempio di funzione non limitata inferiormente; (f) fare un esempio di successione convergente; (g) fare un esempio di funzione che ammette limite infinito al finito; (h) scrivere i primi tre termini della successione delle somme parziali relativa alla serie ∞ X 1 . 2 n + 2 n=1 (i) fare un esempio di funzione discontinua in un punto; (j) dire se per x ∈ [−1, 0] la funzione f (x) = ex + x verifica le ipotesi del teorema degli zeri. 2. Enunciare le definizioni di (a) funzione strettamente decrescente; (b) successione convergente. 3. Enunciare e dimostrare (a) il teorema sul resto n-esimo di una serie numerica; (b) il teorema dei valori intermedi per le funzioni continue. Valutazione - La teoria sar`a valutata solo se gli esercizi risulteranno sufficienti. - Le domande 2. e 3. della teoria saranno valutate solo se almeno cinque risposte alle domande in 1. risulteranno esatte. 16 aprile 2014 Laurea triennale in Informatica e Comunicazione Digitale Corso di Analisi Matematica Prima prova di valutazione parziale Traccia D Esercizi 1. Calcolare i seguenti limiti, usando le stime asintotiche x log(1 + 2x2 ) 2 lim . lim (x + log x) 1 − cos √ x→0 tg x(ex − 1)2 x→+∞ x 2. Data f (x) = 1 − x −x e x−2 (a) determinarne il dominio; (b) calcolarne i limiti significativi e determinarne eventuali asintoti. 3. Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche ∞ X n=1 1 1 − cos n n2 5n ∞ X n=1 (−1)n . n2 + sen2 n Teoria 1. Giustificando tutte le risposte, (a) tracciare il grafico di f (x) = log1/2 x e di g(x) = x4 specificandone dominio e immagine; (b) se f (x) = x2 + x + 2 e g(x) = log2 x, determinare, se `e ben definita, g ◦ f specificandone il dominio; 2 (c) dire se la funzione f (x) = x5 e−x `e pari, dispari o nessuna delle due cose; (d) dire se `e vera o falsa l’affermazione per x → +∞ xex ∼ x; (e) fare un esempio di funzione strettamente decrescente; (f) fare un esempio di successione limitata; (g) fare un esempio di funzione che ammette limite infinito all’infinito; (h) scrivere i primi tre termini della successione delle somme parziali relativa alla serie ∞ X 1 . n 2 +1 n=1 (i) fare un esempio di funzione discontinua in un punto; (j) dire se per x ∈ [−1, 1] f (x) = x3 verifica le ipotesi del teorema degli zeri. 2. Enunciare le definizioni di (a) funzione limitata superiormente; (b) successione divergente. 3. Enunciare e dimostrare (a) i teoremi della permanenza del segno per le successioni; (b) il criterio del confronto asintotico sulla convergenza delle serie numeriche. Valutazione - La teoria sar`a valutata solo se gli esercizi risulteranno sufficienti. - Le domande 2. e 3. della teoria saranno valutate solo se almeno cinque risposte alle domande in 1. risulteranno esatte.
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