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Anno scolastico 2013 - 2014
APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA
Retta orientata
Una retta r si dice orientata quando:
1. È fissato un punto di riferimento, detto origine;
2. Dei due possibili versi in cui un punto si può muovere su essa, se ne è scelto uno che, per
distinguerlo dall’altro, dicesi positivo e si indica con una freccia;
3. È fissato un segmento u, detto unità di misura.
u
O
Assegnare queste tre informazioni significa introdurre un sistema di riferimento sulla retta r.
Si stabilisce così una corrispondenza biunivoca tra i punti P della retta (enti geometrici) e l’insieme
dei numeri reali (enti algebrici), cioè ad ogni punto P della retta viene associato un numero reale x
(detto ascissa di P) e viceversa ad ogni numero reale x è associato sulla retta un unico punto P che
ha x come ascissa. Grazie a tale corrispondenza biunivoca si può parlare indifferentemente di
numeri reali o di punti sulla retta reale.
Misura di un segmento su una retta orientata
Considerati due punti A e B di una retta orientata
O
A
B
Si definisce distanza assoluta tra i due punti A(xA) e B(xB) la differenza tra l'ascissa del punto più a
destra meno l'ascissa del punto più a sinistra:
AB = xB - xA
Ascissa del punto medio di un segmento su una retta orientata
Dati su una retta orientata due punti A(xA) e B(xB), si vuole calcolare l’ascissa del punto medio
M(xM) del segmento AB.
Dimostrazione
O
A
M
B
Poiché M è il punto medio di AB, si avrà:
xA
AM = MB
xM - xA = xB - xM
2 xM = xB + xA
xM
xB
xM =
xB + x A
2
Il sistema di riferimento introdotto è utile solamente per studiare fenomeni che si verificano in un
“universo” mono-dimensionali ( ad esempio lo studio del moto di un corpo che si muove lungo una
linea retta); poiché in pratica la maggior parte dei fenomeni si svolgono in un “universo “ bidimensionale e tri-dimensionale , è necessario introdurre un diverso tipo di sistema di riferimento.
Sistema di riferimento cartesiano ortogonale
È costituito da due rette orientate perpendicolari tra di loro, sulle quali viene fissata un’unità di
misura (che potrà essere la stessa per i due assi nel qual caso chiameremo il sistema monometrico o
diversa nel qual caso il sistema sarà detto dimetrico). I due assi si chiamano: quello orizzontale
asse delle ascisse (o asse delle x), quello verticale asse delle ordinate (o asse delle y).
Essi hanno la stessa origine O che divide ognuno di esse in due semiassi, uno positivo e l’altro
negativo. Tali assi, inoltre, determinano quattro angoli retti detti quadranti.
Essendo le rette continue (e quindi prive di “buchi”) anche il piano determinato dalle due rette reali
sarà privo di “buchi”, nel senso che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti del
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piano (enti geometrici) e le corrispondenti coppie di numeri reali(uno sull’asse x e l’altro sull’asse
y) (enti algebrici) , cioè ad ogni coppia ordinata di numeri reali (x, y) corrisponde un punto P del
piano e viceversa. Per indicare che x e y sono le coordinate del punto P, scriveremo: P(x ; y)
La corrispondenza biunivoca messa ora in evidenza ci consente di individuare i punti di un piano
(enti geometrici) in modo analitico, ossia mediante numeri: R x R = R2 = { (x ; y ) / x∈R ^ y∈R }
Distanza di due punti di un piano
Si vuole calcolare la distanza tra i punti A(x1; y1) e B(x2; y2)
Dimostrazione:
Si applica il teorema di Pitagora al triangolo ABC:
y2
B
y1
A
AB =
C
x1
AC 2 + BC 2
essendo AC = x2 – x1
BC = y2 – y1
si ha:
AB = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
x2
Casi particolari
Se il segmento, di cui bisogna calcolare la misura, è parallelo ad uno degli assi, si può evitare di
utilizzare la formula precedente.
a) Se è parallelo all’asse x ( cioè i punti hanno la stessa ordinata)
A
B
AB = x 2 − x1
y1=y2
con
x 2 ≥ x1
x1
x2
b) Se è parallelo all’asse y (cioè i punti hanno la stessa ascissa)
y2
A
AB = y 2 − y1 con
y1
y 2 ≥ y1
B
x1=x2
Coordinate del punto medio di un segmento nel piano
Si vuole calcolare le coordinate del punto medio M(xM; yM) di un segmento di estremi A(x1; y1) e
B(x2; y2).
y2
B”
B
yM M”
y1 A”
M
A
A’
x1
M’
xM
B’
x2
Dimostrazione
Condotta per il punto medio M la parallela all’asse y,
si vengono ad avere le rette parallele AA’, MM’,BB’
tagliate dalla trasversali AB e A’B’; per il teorema sul
fascio di rette parallele , essendo AM=MB, si ha
A’M’=M’B’. Allora M’ è il punto medio di A’B’,
quindi xM =(x1+x2)/2. Analogamente si dimostra che
M” è il punto medio di A”B”, quindi yM=(y1+y2)/2.
In conclusione:
M(
x1 + x 2 y1 + y 2
;
)
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LA RETTA
E’ possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra una retta (ente geometrico) e un’equazione
lineare di primo grado a due incognite ax+by+c=0 (ente algebrico).
A tale scopo basta analizzare le diverse situazioni che una retta può assumere nel piano.
Ente geometrico
Retta: luogo geometrico di punti
retta parallela all’asse x
y
k
x
x=k
tale retta rappresenta rappresenta l’equazione della retta
il luogo dei punti parallela all’asse x;
equidistanti dall’asse
y, cioè la x di tutti i in particolare
punti è uguale a k.
x=0
rappresenta l’equazione dell’asse y
B
0
Equazione della retta: esprime la
proprietà del luogo geometrico dei
punti
y=k
tale retta rappresenta rappresenta l’equazione della retta
il luogo dei punti parallela all’asse x;
equidistanti dall’asse
x, cioè la y di tutti i in particolare
punti è uguale a k.
y=0
rappresenta l’equazione dell’asse x
A
0
retta parallela all’asse y
y
Ente algebrico
x
k
C
retta bisettrice 1˚ e 3˚ quadrante
y
tale retta rappresenta
il luogo dei punti
y=x
equidistanti dall’asse
x e dall’asse y .
rappresenta l’equazione della retta
bisettrice 1˚ e 3˚ quadrante;
0
x
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D
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retta bisettrice 2˚ e 4˚ quadrante
y
tale retta rappresenta
il luogo dei punti
y = -x
equidistanti dall’asse
x e dall’asse y (però rappresenta l’equazione della retta
l’ascissa e l’ordinata bisettrice 2˚ e 4˚ quadrante;
hanno segno opposto)
0
x
retta generica passante per l’origine
Il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa dei punti della retta è
y
costante, cioè = m = costante. Infatti:
x
E
0
A
B
A’
B’ C’ x
y = mx
rappresenta l’equazione della retta
generica passante per l’origine;
m si chiama coefficiente angolare
o pendenza della retta.
C
I triangoli OAA’, OBB’, OCC’ sono simili per il 1˚
criterio di similitudine, per cui i lati sono in
proporzione, cioè:
y
AA’/OA’ = BB’/OB’ = CC’/OC’ = = m
x
retta generica
r
:
r’
q
F
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y = mx + q
rappresenta l’equazione della retta
generica;
m si chiama coefficiente angolare
Si traccia la retta r’ passante per l’origine e parallela
o pendenza della retta.
alla retta data r; tutti i punti della retta r hanno l’ordinata
q si chiama ordinata all’origine
che supera di q l’ordinata dei corrispondenti punti di r’
aventi la stessa ascissa.
0
x
VICEVERSA
A
B
C
D
Ente algebrico
Ente geometrico
Equazione algebrica di 1˚ grado in due incognite: Retta
ax+by+c=0
a=0
y = - c/b
Retta parallela all’asse x
b=0
x = - c/a
Retta parallela all’asse y
c=0
y = - a/b x
Retta generica per l’origine
a≠0 , b≠0, c≠0
y = -a/b x – c/b
Retta generica
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EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA ED IN FORMA IMPLICITA
Forma esplicita : y = m x + q
Forma implicita : ax +by +c = 0
ax+by+c = 0
si osserva che :
by=-ax-c
m=−
y = -a/b x – c/b confrontando tale risultato con la forma esplicita
a
b
q=−
c
b
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UNA RETTA
Per rappresentare graficamente una retta occorre determinare due punti:
se è in forma esplicita, si assegnano due valori alla x e si ricavano i corrispondenti valori di y;
se è in forma implicita, conviene assegnare una volta zero alla x e si ricava la y, quindi si
assegna zero alla y e si ricava la x; i punti trovati in questo modo rappresentano le intersezioni
della retta con gli assi, cioè i punti dove la retta incontra gli assi.
RETTE PARALLELE
Due rette parallele hanno la stessa pendenza, cioè lo stesso coefficiente angolare: m = m’.
RETTE PERPENDICOLARI
Consideriamo due rette passanti per l’origine e perpendicolari tra loro.
Y
y=mx
A
A(1,m)
B(1,m’ )
H(1,0)
OAB è un triangolo rettangolo; per il 2º
teorema di Euclide:
OH2 = AH · HB
AH = yA – yH = m – 0 = m
HB = yH – yB = 0 – m’ = - m’
H
1
x
O
Pertanto sostituendo si ha:
1 = m · (- m’ )
B
y=m’x
1
cioè il
m
coefficiente angolare di una retta è l’inverso
e l’opposto del coefficiente angolare
dell’altra.
m · m’ = -1
m’ = −
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PROPRIETA’ FONDAMENTALI
Siano A(xA,yA) e B(xB,yB) due punti di una retta non parallela agli assi (quindi xA ≠ xB, yA ≠ yB).
Sia P(x,y) un punto generico del piano.
Si intuisce che:
P è allineato con A e B ↔ PAˆ K = BAˆ H
↔
ABH simile APK
y
P
y
yB
B
yA
A
O
H
XA
K
XB
X
x
Dalla similitudine dei triangoli ABH e APK risulta:
BH PK
=
= costante
AH AK
↔
yB − y A y − y A
=
=m
xB − x A
x − xA
si possono dedurre tre risultati fondamentali:
1.
m=
yB − yA
xB − x A
serve per calcolare il coefficiente angolare m
della retta (non // asse y) passante per due punti
2.
3.
yB − y A y − y A
=
equazione della retta passante per due punti.
xB − x A
x − xA
y − yA
=m ↔
y − yA = m ⋅ (x − xA )
serve per calcolare l’equazione della retta
x − xA
passante per un punto e avente coefficiente angolare m .
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ASSE DI UN SEGMENTO
1° modo
L’asse di un segmento è la retta r perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio.
Per determinare l’equazione dell’asse:
• Si trova il punto medio del segmento per cui passa l’asse
• Si trova m della retta r passante per i due estremi del segmento
• Poiché l’asse è perpendicolare al segmento, si calcola il suo coefficiente angolare sapendo
che è l’inverso e l’opposto di quello della retta r.
• Si scrive l’equazione dell’asse
2° modo
L’asse è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.
Per determinarne la sua equazione si trovano i punti P(x,y) dell’asse tale che PA = PB.
BISETTRICE DI UN ANGOLO
Sia α l’angolo formato dalle rette r e s; la bisettrice è il luogo geometrico dei punti P(x,y)
equidistanti dai lati dell’angolo, cioè: PH = PK (sono le perpendicolari ai lati dell’angolo).
Per calcolare l’equazione della bisettrice si trovano le distanze del punto P(x,y) dalle rette r ed s
e si pongono uguali.
CIRCOCENTRO
1° modo
Punto d’incontro degli assi dei lati di un triangolo.
Per trovarlo si mettono a sistema le equazioni di due assi,
2° modo
Il circocentro è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai vertici del triangolo.
Per determinarlo si cercano i punti P(x,y) tali che PA = PB = PC, cioè si risolve il sistema:
PA = PB
PB = PC
ORTOCENTRO
Punto d’incontro delle altezze del triangolo.
Per trovarlo si mettono a sistema le equazioni di due altezze.
INCENTRO
1° modo
Punto d’incontro delle bisettrici degli angoli del triangolo.
Per trovarlo si mettono a sistema le equazioni di due bisettrici.
2° modo
E’ il luogo geometrico dei punti P(x,y) equidistanti dai lati del triangolo.
Per trovarlo si determinano i punti P(x,y) tale che PH = PK = PE (sono le perpendicolari ai lati del
triangolo), cioè si risolve il sistema:
PH = PK
PK = PE
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BARICENTRO
Punto d’incontro delle mediane dei lati di un triangolo, di cui si conoscono le coordinate dei vertici.
Il baricentro G ha la proprietà di dividere ciascuna mediana in due parti tale che la parte contenente
il vertice è doppia dell’altra.
Per la mediana AM si ha : AG = 2 GM , per il teorema di Talete risulta: A’G’ = 2 G’M’ e
quindi:
xG – xA = 2 xM – 2 xG
3 xG = xA + 2 xM
xG – xA = 2 (xM – xG)
x + x B + xC
x + xC
3 xG = x A + 2 B
xG = A
3
2
y + y B + yC
in modo analogo si trova che yG = A
3
x + x B + xC y A + y B + y C
Pertanto le coordinate del baricentro sono: G ≡ A
;
3
3
ed essendo x M =
x B + xC
2
AREA DEL TRIANGOLO
1° modo
Si calcola utilizzando la formula per il calcolo dell’area di un triangolo, per cui:
• Si calcola la lunghezza della base AB
• Si determina l’equazione della retta AB
• Si determina l’equazione dell’altezza alla retta AB e passante per C
• Si trova il punto H d’incontro tra l’equazione dell’altezza e l’equazione della retta AB
• Si calcola la lunghezza dell’altezza CH
• Si calcola l’area
2° modo
• Si calcola il determinante (det) formato dalle coordinate del triangolo, con la regola di Sarrus:
xA
yA 1
1
y B 1 quindi si calcola l’area: A = ⋅ det
det = x B
( dove |det| è il modulo del
2
yC 1
xC
determinante).
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DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA
Siano P(xo;yo) il punto e r la retta di equazione ax+by+c=0, si vuole determinare la distanza d
che c’è tra il punto P e la retta r.
y
P
r
d
d=
H
ax0 + by 0 + c
a2 + b2
x
Dimostrazione
Trovo l’equazione della retta PH:
a
b
mr = −
m PH =
b
a
y − y0 =
bx − ay + (ay 0 − bx0 ) = 0
b
(x − x0 )
a
Trovo il punto H:
b 2 x0 − aby 0 − ac
x
=
a2 + b2
H
2
y = a y 0 − abx0 − bc
a2 + b2
ax + by + c = 0
bx − ay + (ay 0 − bx0 ) = 0
Trovo PH:
2
b 2 x0 − aby 0 − ac
a 2 y 0 − abx0 − bc
PH =
−
x
− y 0
0 +
2
2
2
2
a +b
a +b
b 2 x0 − aby 0 − ac − a 2 x 0 − b 2 x0
PH =
a2 + b2
2
a 2 y 0 − abx0 − bc − a 2 y 0 − b 2 y 0
+
2
2
a
+
b
− a(ax0 + by 0 + c )
− b(ax0 + by 0 + c )
PH =
+
2
2
=
a +b
a2 + b2
2
=
(ax0 + by0 + c )2 (a 2 + b 2 )
(a
2
+b
)
2 2
2
=
(ax0 + by 0 + c )2
(a
2
2
+b
2
)
=
a 2 (ax0 + by 0 + c )
(a
2
ax0 + by 0 + c
a2 + b2
+ b2
)
2
2
+
2
b 2 (ax0 + by 0 + c )
(a
2
+ b2
)
2
2
=
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