Problema1-suppletiva 2014-PNI PROBLEMA 1 La curva è rappresentata dalle seguenti equazioni parametriche: 1. Se ne ricavi l’equazione cartesiana e se ne costruisca il grafico. 2. Si scriva l’equazione della retta che congiunge i punti estremanti relativi di e si calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l’ampiezza dell’angolo acuto che tale retta forma con l’asintoto obliquo. 3. Si calcoli l’area della regione di piano , delimitata da , dal suo asintoto obliquo e dalle rette e x=2 e x=4 4. Verificato che è A()= log 3, si calcoli un’approssimazione di log 3, utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati Soluzione 1. Studio di f(x) Funzione algebrica razionale fratta di grado 2 Definita per Il numeratore è sempre positivo quindi la frazione ha lo stesso segno del denominatore, negativo per x<1 e positivo per x>1 Quindi la retta x=1 è asintoto verticale Scrivendo la frazione nella forma si evince che la retta y=x-1 è asintoto obliquo La funzione, scritta in forma polinomiale, rappresenta l’equazione di una conica, che si riconosce essere un’iperbole per la presenza dei due asintoti. Il centro di simmetria è il punto di incontro degli asintoti C((1;0). La curva non possiede flessi. Soluzione di Adriana Lanza Problema1-suppletiva 2014-PNI Per determinare gli estremi relativi studiamo la derivata prima è crescente per x<0 e per x>2, decrescente per 0<x<1 e per 1<x<2 Il punto M1(0;-1) è minimo relativo Il punto M2(2;2) è massimo relativo In figura è rappresentato il grafico che , in seguito, viene indicato con 2. La definizione di punto estremante genera spesso equivoco. Ad esser rigorosi, punto <<estremante>> , cioè che rende estrema la funzione, dovrebbe essere un punto del dominio, quindi un valore di x. Spesso però si dà lo stesso nome agli <<estremi>> cioè ai punti di massimo o minimo della funzione, quindi appartenenti alla curva. Secondo la prima definizione, dovremmo considerare due punti dell’asse x , pertanto la retta richiesta sarebbe y=0 Ritenendo più plausibile la seconda interpretazione, la retta M1M2 ha equazione y=2x -2 L’’angolo acuto che forma con l’asse x è uguale a L’angolo acuto che forma con l’asintoto obliquo si ottiene da questo sottraendo un angolo di 45° 3.L’area richiesta è quella del quadrilatero mistilineo M2NPQ uguale a = ln 3 3. Applichiamo il metodo dei trapezi alla funzione Metodo dei trapezi L'intervallo [a, b] viene diviso in n intervalli di ampiezza h, dove x0 = a e xn = b La formula assume la forma: Soluzione di Adriana Lanza Problema1-suppletiva 2014-PNI Poiché la curva volge la concavità verso l’alto la somma dei trapezi fornirà un valore approssimato per eccesso a b 4 passo 0,50 1,00 0,67 0,50 0,40 0,33 somma addendi somma trapezi addendi 0,50 0,67 0,50 0,40 0,17 2,23 1,12 2 x f(x) 2 2,50 3,00 3,50 4,00 Quindi ( il valore fornito da una calcolatrice è Soluzione di Adriana Lanza
© Copyright 2024 Paperzz