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Volantino - Parrocchia di Sommacampagna

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Problema1-suppletiva 2014-PNI
PROBLEMA 1
La curva è rappresentata dalle seguenti equazioni parametriche:
1. Se ne ricavi l’equazione cartesiana
e se ne costruisca il grafico.
2. Si scriva l’equazione della retta che congiunge i punti estremanti relativi di e si
calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l’ampiezza dell’angolo acuto  che tale retta
forma con l’asintoto obliquo.
3. Si calcoli l’area della regione di piano , delimitata da  , dal suo asintoto obliquo
e dalle rette e x=2 e x=4
4. Verificato che è A()= log 3, si calcoli un’approssimazione di log 3, utilizzando
uno dei metodi di integrazione numerica studiati
Soluzione
1.
Studio di f(x)
Funzione algebrica razionale fratta di grado 2
Definita per
Il numeratore è sempre positivo quindi la
frazione ha lo stesso segno del denominatore,
negativo per x<1 e positivo per x>1
Quindi la retta x=1 è asintoto verticale
Scrivendo la frazione nella forma
si evince che la retta y=x-1 è asintoto obliquo
La funzione, scritta in forma polinomiale, rappresenta l’equazione di una conica, che si riconosce essere
un’iperbole per la presenza dei due asintoti.
Il centro di simmetria è il punto di incontro degli asintoti C((1;0). La curva non possiede flessi.
Soluzione di Adriana Lanza
Problema1-suppletiva 2014-PNI
Per determinare gli estremi relativi studiamo la derivata prima
è crescente per x<0 e per x>2,
decrescente
per 0<x<1 e per 1<x<2
Il punto M1(0;-1) è minimo relativo
Il punto M2(2;2) è massimo relativo
In figura è rappresentato il grafico che , in seguito, viene indicato con
2. La definizione di punto estremante genera spesso equivoco. Ad esser rigorosi, punto
<<estremante>> , cioè che rende estrema la funzione, dovrebbe essere un punto del dominio,
quindi un valore di x.
Spesso però si dà lo stesso nome agli <<estremi>> cioè ai punti di massimo o minimo della
funzione, quindi appartenenti alla curva.
Secondo la prima definizione, dovremmo considerare due punti dell’asse x , pertanto la retta
richiesta sarebbe y=0
Ritenendo più plausibile la seconda interpretazione, la retta M1M2 ha equazione y=2x -2
L’’angolo acuto che forma con l’asse x è uguale a
L’angolo acuto che forma
con l’asintoto obliquo si ottiene da questo sottraendo un angolo di 45°

3.L’area richiesta è quella del quadrilatero mistilineo
M2NPQ
uguale a
= ln 3
3. Applichiamo il metodo dei trapezi alla funzione
Metodo dei trapezi
L'intervallo [a, b] viene diviso in n intervalli di ampiezza h, dove x0 = a e xn = b La formula
assume la forma:
Soluzione di Adriana Lanza
Problema1-suppletiva 2014-PNI
Poiché la curva volge la concavità verso l’alto la somma dei trapezi fornirà un valore approssimato
per eccesso
a
b
4
passo
0,50
1,00
0,67
0,50
0,40
0,33
somma addendi
somma trapezi
addendi
0,50
0,67
0,50
0,40
0,17
2,23
1,12
2
x
f(x)
2
2,50
3,00
3,50
4,00
Quindi
( il valore fornito da una calcolatrice è
Soluzione di Adriana Lanza
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