Sessione ordinaria 2014 Ministero dell’Istruzione, dell’ Università e della Ricerca Y557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE Indirizzo: PIANO NAZIONALE INFORMATICA Tema di: MATEMATICA PROBLEMA 2 Sia ( ) ( )√ 1. A lato è disegnato il grafico  di f (x) . Si dimostri che (2; 0) è centro di simmetria di  e si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’angolo che la tangente in esso a  forma con la direzione positiva dell’asse x . 2. Si dimostri che, qualunque sia t, 0 < t < 2 , le rette tangenti a  nei suoi punti di ascisse 2+t e 2-t sono parallele. Esistono rette tangenti a  che siano parallele alla retta 21x+10y+31=0 ? E che siano parallele alla retta 23x+12y+35=0? 3. Si calcoli l’area della regione compresa tra  e l'asse x . 4. Sia h(x) = sen(f (x)). Quanti sono i punti del grafico di h(x) di ordinata 1? Il grafico di h(x) presenta punti di minimo, assoluti o relativi? Per quali valori reali di k l’equazione h(x) = k ha 4 soluzioni distinte? Qual è il valore di ∫ ( ) ? Soluzione Premettiamo il calcolo della derivata prima allo sviluppo dei 4 punti richiesti. √ ( ) ( ) √ Da cui, sviluppando i calcoli, si ha: ( ) √  La simmetria di centro (2; 0) ha equazioni: { Sostituendo nell’equazione della f(x) abbiamo: )√ ( ( ) ( ) Da cui, sviluppando i calcoli, si ha: ( )√ Che è, appunto, l’equazione della f(x). Con ciò resta provata la simmetria. 1 Sessione ordinaria 2014 Il coefficiente angolare della tangente nel punto di simmetria è dato da f  (2) = - 2. Essendo questo valore negativo, si ha:  = arctan(-2) + 180° = 116,565 ° =116° 33 54.  Risulta semplice costruire il grafico della derivata partendo da quello della f (x). Tenendo presente che il centro di simmetria rappresenta l’unico flesso della f, possiamo dedurre che f  presenterà un estremo relativo in corrispondenza di detto punto. L’ordinata del minimo è stata calcolata al punto precedente essendo f  (2). Pertanto il minimo è (2; -2). Risulta semplice verificare che f  (2+t) = f  (2-t), con 0 < t < 2. La retta 21x+10y+31=0 ha coefficiente angolare -21/10, mentre la retta 23x+12y+35=0 ha coefficiente angolare -23/12. Perché si abbiano tangenti a queste rette si deve avere f  (x) = - 21/10 e, poi, f  (x) = -23/12. Nel grafico sono riportate le rette a: y=-21/10 e la retta b: y=-23/12. La retta a non ha intersezioni con f  quindi non ci sono, tra le tangenti, parallele a 21x+10y+31=0. La retta b, invece, taglia la f  in due punti, quindi vi sono due tangenti parallele alla 23x+12y+35=0.  Per la simmetria della curva, l’area è data da: ∫ ( )√ ∫ ( )√ [ ( ) ]  Tenendo conto dell’andamento grafico della funzione seno e della funzione f(x) possiamo ricavare il grafico della h(x). La h(x) ha lo stesso centro di simmetria della f(x), ci limiteremo, quindi, a condurre lo studio in [0, 2], per simmetria i risultati potranno essere estesi all’intervallo [2; 4]. Il massimo della funzione seno vale 1 e lo otteniamo quando il suo argomento vale /2. Intersecando, quindi, la f(x) con la retta y = /2 otteniamo i due punti, in corrispondenza dei quali, si hanno i due massimi per la h(x). Fra questi due massimi vi deve essere un minimo relativo. Questo minimo si ha nel punto in cui la f cambia monotonia, ossia, in corrispondenza del massimo della f(x). Il massimo della f si ottiene per √ dove è nulla f . Discutere l’equazione h(x) =k equivale a discutere il 2 Sessione ordinaria 2014 sistema: { ( ) . Dal grafico si evince subito che le 4 soluzioni si hanno per sen(2) < k < 1. Per simmetria, otteniamo le soluzioni quando k < 0: -1 < k < sen(-2). Per la simmetria della h(x), infine, abbiamo che ∫ ( ) .  Prof. Ettore Limoli 3