Esercitazioni in aula parte II_a Esercizio 1) Dall’Aglio III.5 N. 1) Per ogni n intero positivo c’è una lotteria con n premi equiprobabili di valore 1,2,3,..,n. Si partecipa ad una delle lotterie scegliendola aleatoriamente con distribuzione di probabilità 𝑝𝑛 = 𝑛⁄2𝑛+1 . Trovare la distribuzione di probabilità (f.m.p.) della vincita. Esercizio 2) Dall’Aglio III.5 N. 7) Trovare la distribuzione di 𝑌 = 𝑒 𝑋 , se 𝑋 è una v.a. uniformemente distribuita in (a,b). Esercizio 3) Ross (probabilità) Cap 4. N.1) Due palline vengono scelte a caso da un’urna contenente 8 palline bianche, 4 nere e 2 gialle. Supponiamo che si vincano 2 euro per ogni pallina nera estratta e se ne perda 1 per ogni pallina bianca estratta. Denotiamo con X la vincita. Quali sono i possibili valori di X e con quali probabilità vengono ottenuti? Esercizio 4) Ross (probabilità) Cap 4.N.20) Un libro delle scommesse suggerisce la seguente “strategia vincente” per il gioco della roulette. Raccomanda che si scommetta un euro sul rosso. Se esce il rosso (che ha prob 18/38 di uscire), allora il giocatore deve prendere la sua vincita di un euro ed andarsene. Se invece perde la prima giocata (evento di prob pari a 20/38) deve fare una ulteriore giocata di un euro per i successivi due giri della roulette e quindi lasciare il gioco. Denotiamo con X la variabile aleatoria che indica la vincita del giocatore quando lascia il tavolo. a) Si determini P(X>0). b) Siete d’accordo che questa sia davvero una strategia vincente? Perché? c) Si determini E(X). Esercizio 5) Ross Cap.4 N.81) Un rivenditore compra i transistor a lotti di 20. La sua politica è di controllare 4 componenti di ogni lotto e di accettarlo solo se tutti e 4 i campioni non sono difettosi. Se ogni componente di un lotto è difettoso, indipendentemente dagli altri, con probabilità pari a 0.1, qual è la percentuale di lotti che vengono rifiutati? Esercizio 6) Sia X una v.a. di valore atteso µ e varianza Y X   2 . Si determini il valore atteso e la varianza della v.a. . Esercizio 7) Sia X tale che P(X=1)=p=1-P(X=-1). Si determini c tale E(𝑐 𝑋 ) = 1 Esercizio 8) Calcolare E(X) se la densità di X è data da f X ( x)  xe  x / 2 se x>0 zero altrimenti. 4 Esercizio 9) Ross Cap. 4 N. 32 ) Per determinare se hanno o meno una certa malattia, 100 persone si sottopongono ad un esame del sangue. Tuttavia, invece che fare il test ad ogni singola persona separatamente, si decide di raggrupparli inizialmente in gruppi di 10 persone. Il campione di sangue di queste 10 persone viene mischiato assieme e quindi analizzato. Se il test è negativo, un solo esame sarà sufficiente per le 10 persone; altrimenti, se il test risulta positivo, lo si ripete per ogni singola persona e cosi in totale si saranno fatti 11 test relativamente a questo gruppo. Supponiamo che la probabilità che ogni persona presenti la malattia sia pari a 0.1, in maniera indipendente dagli altri individui, si calcoli il numero atteso di test che si dovranno effettuare per ogni gruppo. (Si noti che stiamo assumendo che il test di gruppo è positivo se almeno una persona del gruppo ha la malattia) Risposte esercizio del foglio Esercitazioni_aula_parteII_a esercizio 1) 𝑝𝑘= 1⁄ , k=1,2,3….. 2𝑘 esercizio 2) 𝑓𝑌 (𝑦) = 1 𝑦(𝑏−𝑎) se 𝑒 𝑎 < y < 𝑒 𝑏 esercizio 3) p(4)=6/91; p(2)=8/91; p(1)=32/91; p(0)=1/91; p(-1)=16/91; p(-2)=28/91 esercizio 4) p(X=1)=0.5918; p(X=-1)=0.2624; p(X=-3)=0.1458. Non è una buona strategia perché se vince, vince un euro questo quasi al 59% se perde però perde un euro oppure 3 euro. Infatti la sua vincita media E(X)=-0.108 è negativa. Esercizio 5) 1-(0.9)^4=0.3439 Esercizio 6) valor medio 0 e varianza 1 Esercizio 7) c=1 oppure c=(1-p)/p Esercizio 8) E(X)=4 Esercizio 9) Indichiamo con X la v.c. che rappresenta il numero di test da effettuare per analizzare un gruppo di 10 persone. I valori assunti da X sono 1, se il gruppo è sano se cioè nessuna persona al suo interno ha la malattia, 11, se almeno un a persona all’interno del gruppo ha ,la malattia. Dunque X è una variabile di dicotoma troviamo una delle due probabilità l’altra sarà ricavabile dalla prima per differenza con 1. P(“nessuna delle 10 persone ha la 10  0 10  0.1 0.9  0.910  0.3487 0 malattia”)=   Dunque il valore atteso vale E(X)=1 * 0.3487 + 11 * 0.6513= 7.5 Dunque piuttosto che effettuare 10 test con probabilità 1 effettuo X test il cui valore atteso è 7.5 < 10 e avrò quindi un risparmio in media di 2,5 test per ogni gruppo di 10 persone!