istituto professionale “versari-macrelli”, cesena
lorenzo pantieri
matematica per le classi terze
Dipartimento di Matematica
Anno scolastico 2014-2015
Scopo di questo
lavoro è spiegare
il contenuto del programma
di matematica agli alunni
dell’Istituto professionale “VersariMacrelli” di Cesena. Tale obiettivo
è perseguito esponendo i concetti fondamentali della materia, presentandoli nella maniera più chiara e semplice possibile, e fornendo una vasta gamma di esercizi risolti
passo per passo. Desidero ringraziare innanzitutto il Dirigente scolastico ing. Mauro Tosi per
aver sostenuto fin da subito questo progetto. Ringrazio inoltre i miei colleghi del dipartimento
di matematica Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Emanuela Montanari, Arianna Monti, Monica Morelli, Enrico Petroncini ed Emanuela Pompili per l’aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione
nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un “grazie” altrettanto speciale va ai miei
studenti, per i consigli durante la stesura di un’opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti
da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura sia di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi,
soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive.
Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo
lavoro risultino di facile comprensione e quali invece potrebbero essere
spiegate meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un’incomprensione vostra o di uno sbaglio
mio (e ribadisco che quest’ultima eventualità è tutt’altro che impossibile). È con questo spirito
che ho scritto questo lavoro: spero che
possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere.
♥
Lorenzo Pantieri
Matematica per l’Istituto professionale “Versari-Macrelli”
c 2015
Copyright + [email protected]
Il frontespizio riproduce l’incisione Tassellazione del piano con uccelli
di Maurits Cornelis Escher e la litografia Cascata, dello stesso autore.
INDICE
1
2
3
4
rette nel piano cartesiano
1
1.1 Funzione lineare
1
1.2 Appartenenza di un punto a una retta
2
1.2.1 Punti d’intersezione con gli assi
2
1.2.2 Significato dei coefficienti m e q
3
1.3 Equazione della retta nel piano cartesiano
4
1.3.1 Rette orizzontali e verticali
6
1.3.2 Retta passante per l’origine
7
1.3.3 Retta generica
7
1.4 Posizione reciproca di due rette
8
1.4.1 Rette parallele
10
1.4.2 Rette perpendicolari
11
1.5 Determinare l’equazione di una retta
12
1.5.1 Retta passante per un punto e di direzione assegnata
1.5.2 Retta passante per due punti
14
1.5.3 Asse di un segmento
15
1.6 Esercizi
16
equazioni di secondo grado
25
2.1 Radici quadrate e cenni ai numeri reali
25
2.2 Equazioni di secondo grado intere
27
2.2.1 Equazioni monomie
27
2.2.2 Equazioni pure
28
2.2.3 Equazioni spurie
29
2.2.4 Equazioni complete
30
2.3 Equazioni di secondo grado fratte
33
2.4 Scomposizione dei trinomi di secondo grado
2.5 Esercizi
43
parabola
47
3.1 Appartenenza di un punto a una parabola
3.2 Disegno di parabole
51
3.3 Intersezioni tra retta e parabola
57
3.4 Esercizi
59
matematica per l’economia
63
4.1 Problemi di scelta
63
4.2 Problemi di costi e ricavo
66
4.2.1 Costi
66
4.2.2 Ricavo
67
4.2.3 Profitto
67
4.2.4 Punto di pareggio (break even point)
4.3 Esercizi
78
13
41
48
67
iii
1
1.1
RETTE NEL PIANO CARTESIANO
funzione lineare
Ricordiamo anzitutto che una funzione viene detta lineare se è definita da un’equazione
del tipo:
y = mx + q
Il grafico di una funzione lineare è una retta. Per tracciare il grafico di una funzione lineare
basta determinare alcuni suoi punti (in linea di principio ne bastano due, dal momento che
una retta è univocamente individuata da due suoi punti) e tracciare la retta che passa per
essi.
Esercizio 1. Traccia per punti il grafico della funzione y = x + 1.
Soluzione. Per determinare alcuni punti del grafico della funzione diamo dei valori a scelta
alla variabile x e calcoliamo i corrispondenti valori di y. Per esempio, sostituendo 2 al
posto di x nell’equazione y = x + 1 otteniamo:
y = 2+1 = 3
Attribuendo a x i valori −3, −2, −1, 0, 1, 2 e 3 otteniamo la tabella 1b. Rappresentando i
punti corrispondenti e congiungendoli, otteniamo la retta che costituisce il grafico di y =
x + 1 (figura 1a).
4
y
3
2
1
x
−3
−2
−1
−1
1
2
3
x
y = x+1
−3
−2
−1
0
1
2
3
−2
−1
0
1
2
3
4
−2
(a) Grafico
(b) Alcuni valori
Figura 1: La funzione y = x + 1.
Esercizio 2. Traccia per punti il grafico della funzione y = −2x + 4.
Soluzione. La figura 2 mostra il grafico della funzione.
1
2
rette nel piano cartesiano
y
6
5
4
3
2
1
x
−2 −1
−1
1
2
3
4
x
y = −2x + 4
−1
0
1
2
3
6
4
2
0
−2
−2
(a) Grafico
(b) Alcuni valori
Figura 2: La funzione y = −2x + 4.
1.2
appartenenza di un punto a una retta
Data una retta r e un punto P del piano cartesiano ci si può chiedere se P appartiene o
no a r: il punto appartiene alla retta se le sue coordinate ne verificano l’equazione, mentre
non appartiene alla retta se le sue coordinate non ne verificano l’equazione.
Esercizio 3. Data la retta r di equazione y = −2x + 4, stabilisci se i punti P = (1, 2)
e Q = (3, 5) appartengono o no alla retta.
Soluzione.
• Sostituendo le coordinate del punto P nell’equazione della retta otteniamo:
2 = −2 · 1 + 4
che è vero. Dunque P appartiene alla retta.
• Sostituendo le coordinate del punto Q nell’equazione della retta otteniamo:
5 = −2 · 3 + 4
che è falso. Dunque Q non appartiene alla retta.
Vedi la figura 3.
1.2.1 Punti d’intersezione con gli assi
Spesso si è interessati a determinare i punti d’intersezione del grafico di una funzione
lineare con gli assi cartesiani.
• I punti dell’asse x hanno ordinata uguale a 0. Quindi, per determinare l’ascissa x del
punto d’intersezione del grafico di y = mx + q con l’asse x, basta risolvere il sistema
y = mx + q
y=0
ovvero basta porre y = 0 nell’equazione y = mx + q e risolvere l’equazione ottenuta.
1.2 appartenenza di un punto a una retta
y
6
Q
5
4
3
2
P
1
x
−2 −1
−1
1
2
3
4
−2
Figura 3: Appartenenza di un punto a una retta
• I punti dell’asse y hanno ascissa uguale a 0. Quindi, per determinare l’ordinata del
punto d’intersezione del grafico di y = mx + q con l’asse y, basta risolvere il sistema
y = mx + q
x=0
ovvero basta porre x = 0 nell’equazione y = mx + q.
Esercizio 4. Traccia il grafico della funzione lineare y = 2x − 4, dopo avere
determinato i suoi punti d’intersezione con gli assi cartesiani.
Soluzione.
• Per determinare l’ascissa del punto d’intersezione del grafico con l’asse x poniamo y = 0 nell’equazione y = 2x − 4. Otteniamo l’equazione:
2x − 4 = 0
=⇒
2x = 4
=⇒
x=2
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto A(2, 0).
• Per determinare l’ordinata del punto d’intersezione del grafico con l’asse y poniamo x = 0 nell’equazione y = 2x − 4. Abbiamo:
y = 2 · 0 − 4 = −4
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto B(0, −4).
Il grafico di y = 2x − 4 è la retta passante per A e B (figura 4).
1.2.2 Significato dei coefficienti m e q
Nell’equazione y = mx + q, il coefficiente m si chiama coefficiente angolare e il coefficiente q ordinata all’origine. Per esempio, nella funzione lineare di equazione:
y = 2x + 3
il coefficiente angolare è 2 e l’ordinata all’origine è 3.
3
4
rette nel piano cartesiano
y
2
1
x
−2 −1
−1
1
2
3
4
−2
−3
−4
−5
−6
Figura 4: La funzione y = 2x − 4
• Il termine q è l’ordinata del punto d’intersezione del grafico di y = mx + q con
l’asse y: infatti, ponendo x = 0 nell’equazione y = mx + q, otteniamo y = q (figura 5).
• Il coefficiente angolare m dà invece informazioni sull’inclinazione rispetto all’asse x
della retta che costituisce il grafico della funzione: per questo motivo m viene anche
chiamato pendenza della retta. La figura 6 mostra il legame tra m e il grafico di y =
mx + q.
Osserviamo che se m = 0 il grafico di y = mx + q è una retta orizzontale, ovvero
parallela all’asse x (figura 6e).
y
q
y = mx + q
x
Figura 5: Significato del coefficiente q
1.3
equazione della retta nel piano cartesiano
Nel paragrafo precedente abbiamo impiegato il piano cartesiano come ambiente per
tracciare il grafico di una funzione lineare.
1.3 equazione della retta nel piano cartesiano
y
y
y = mx + q
y = mx + q
m>0
m<0
angolo
ottuso x
angolo
acuto x
(a) Se m > 0, la retta grafico di y = mx + q
forma con l’asse x un angolo acuto. Percorrendo la retta da sinistra verso destra, si sale: si dice che la funzione è
crescente.
y
(b) Se m < 0, la retta grafico di y = mx + q
forma con l’asse x un angolo ottuso.
Percorrendo la retta da sinistra verso
destra, si scende: si dice che la funzione
è decrescente.
m = −2
m = −1
m=2
m=1
m = − 21
1
2
m=
y
x
x
y = − 21 x
y = 12 x
y=x
y = 2x
y = −x
y = −2x
(c) Se m > 0, al crescere di m le rette grafico di y = mx + q formano con l’asse x
angoli acuti di ampiezza via via maggiore. In altre parole, al crescere di m si
ottengono rette sempre più ripide.
(d) Se m < 0, al crescere di m le rette grafico di y = mx + q formano con l’asse x
angoli ottusi di ampiezza via via maggiore. In altre parole, al crescere di m
si ottengono rette sempre meno ripide.
y
y = mx + q
m=0
x
(e) Se m = 0, il grafico di y = mx + q è una
retta orizzontale
Figura 6: Significato del coefficiente m
5
6
rette nel piano cartesiano
y
y
y = −2
y=3
3
x
x
−2
(a) Retta di equazione y = −2
(b) Retta di equazione y = 3
y
y
x = −4
x=2
x
x
−4
2
(c) Retta di equazione x = −4
(d) Retta di equazione x = 2
Figura 7: Rette parallele agli assi cartesiani
In questo paragrafo, invece, adotteremo il punto di vista tipico della geometria analitica:
quello di caratterizzare gli oggetti geometrici dal punto di vista algebrico. Sappiamo già
che un punto può essere identificato da una coppia ordinata di numeri reali; ora vogliamo caratterizzare, dal punto di vista algebrico, una retta. Più precisamente, cercheremo
di determinare l’equazione di una generica retta, cioè di scrivere un’equazione che sia
soddisfatta dalle coordinate di tutti e soli i punti della retta. Iniziamo dai casi più semplici.
1.3.1 Rette orizzontali e verticali
Supponiamo che r sia una retta orizzontale, ovvero parallela all’asse x. I punti appartenenti alla retta r sono caratterizzati dall’avere tutti la stessa ordinata, che indicheremo con h:
perciò l’equazione della retta r è y = h. Per esempio, le rette disegnate nelle figure 7a e 7b
hanno equazioni y = −2 e y = 3.
Consideriamo ora una retta s verticale, ovvero parallela all’asse y. I punti della retta sono
caratterizzati dall’avere tutti la stessa ascissa, che indicheremo con k: l’equazione della retta
è perciò x = k. Per esempio, le rette disegnate nelle figure 7c e 7d hanno equazioni x = −4
e x = 2.
Assi cartesiani
La figura 8 mostra due casi particolari di rette orizzontali e verticali: l’asse x, di equazione y = 0, e l’asse y, di equazione x = 0.
1.3 equazione della retta nel piano cartesiano
y
y
y=0
x=0
x
x
(a) L’asse x ha equazione y = 0
(b) L’asse y ha equazione x = 0
Figura 8: Assi cartesiani
1.3.2 Retta passante per l’origine
Una retta passante per l’origine, diversa dall’asse y, ha equazione del tipo y = mx,
dove m è un numero reale.
Per esempio, la retta disegnata nella figura 9 passa per l’origine e per il punto P(1, 2).
L’equazione della retta è y = 2x.
y
y = 2x
P
x
Figura 9: Una retta passante per l’origine
Bisettrici
La figura 10 mostra due casi particolari di rette passanti per l’origine: la bisettrice del
primo e terzo quadrante e la bisettrice de secondo e quarto quadrante.
1.3.3 Retta generica
Proposizione 1. Ogni retta non verticale ha equazione del tipo y = mx + q, dove m
e q sono numeri reali.
L’equazione y = mx + q comprende, come casi particolari, le equazioni delle rette orizzontali (che si ottengono quando m = 0) e le equazioni delle rette passanti per l’origine
(che si ottengono quando q = 0). Restano escluse solo le rette verticali.
7
8
rette nel piano cartesiano
y
y
y=x
y = −x
x
(a) La bisettrice del primo e del terzo
quadrante ha equazione y = x
x
(b) La bisettrice del secondo e del
quarto quadrante ha equazione y = −x
Figura 10: Bisettrici
Pertanto, data una retta nel piano cartesiano, ci sono due possibilità: o la retta è verticale,
e quindi la sua equazione è del tipo x = k, oppure la sua equazione è del tipo y = mx + q.
Riepilogo
La figura 11 riassume i risultati fin qui ottenuti, evidenziando i coefficienti angolari dei
vari tipi di retta.
Nota che ogni retta non verticale, avendo equazione del tipo y = mx + q, è il grafico di
una funzione lineare; al contrario, le rette parallele all’asse y non rappresentano il grafico
di una funzione perché a un solo valore di x corrispondono infiniti valori di y (ciò porta
come conseguenza che per queste rette il coefficiente angolare non è definito).
1.4
posizione reciproca di due rette
Sappiamo dalla geometria euclidea che due rette r e s del piano possono essere:
• incidenti, se hanno in comune uno e un solo punto;
• parallele distinte, se non hanno punti d’intersezione;
• coincidenti.
Dal punto di vista della geometria analitica, date due rette di equazioni assegnate, per
discutere la loro posizione reciproca è possibile considerare il sistema delle loro equazioni:
• se il sistema è determinato le due rette sono incidenti e le coordinate del loro punto
d’intersezione sono date dalla soluzione del sistema;
• se il sistema è impossibile le due rette sono parallele distinte;
• se il sistema è indeterminato le due rette sono coincidenti.
1.4 posizione reciproca di due rette
y
y
y=h
x=k
m=0
x
(a) Retta orizzontale; l’equazione della retta è y = h; il coefficiente
angolare è m = 0
x
(b) Retta verticale; l’equazione della retta è x = k; il coefficiente
angolare non è definito
y
y
y = mx
y = mx + q
m
m
x
(c) Retta passante per l’origine, diversa dall’asse y; l’equazione della
retta è y = mx; il coefficiente
angolare è m
x
(d) Retta generica non verticale; l’equazione della retta è y = mx + q;
il coefficiente angolare è m
Figura 11: Riassunto dei vari tipi di retta
9
10
rette nel piano cartesiano
y
y = −2x + 1
y = x−2
x
P
Figura 12: Le rette sono incidenti e P(1, −1) è il loro punto di intersezione
Esercizio 5. Date le rette r, di equazione y = x − 2, e s, di equazione y = −2x + 1,
stabilisci se sono incidenti, parallele distinte oppure coincidenti; se sono incidenti,
determina le coordinate del loro punto d’intersezione.
Soluzione. Risolviamo il sistema delle equazioni delle rette assegnate.
da cui
x − 2 = −2x + 1
y = −2x + 1
=⇒
y = x−2
y = −2x + 1
3x = 3
y = −2x + 1
=⇒
x=1
y = −2x + 1
=⇒
x=1
y = −1
Pertanto le rette sono incidenti e P(1, −1) è il loro punto di intersezione (figura 12).
1.4.1 Rette parallele
La prossima proposizione permette di stabilire se due rette non verticali sono parallele
senza risolvere il sistema delle loro equazioni.
Proposizione 2. Due rette non verticali, di equazioni y = mx + q e y = m 0 x + q 0 ,
sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. La condizione di
parallelismo è quindi:
m = m0
Esercizio 6. Stabilisci se le rette y = −2x e y = −2x + 4 sono parallele.
Soluzione. Le rette di equazione y = −2x e y = −2x + 4 hanno entrambe coefficiente
angolare uguale a −2, quindi sono parallele (figura 13a).
1.4 posizione reciproca di due rette
y
y = −2x
m = −2
y
y = −2x + 4
m 0 = −2
y = −x + 1
m = −1
y = x−3
m0 = 1
x
x
(b) Le rette non sono parallele
(a) Le rette sono parallele
Figura 13: Parallelismo
Esercizio 7. Stabilisci se le rette y = −x + 1 e y = x − 3 sono parallele.
Soluzione. La retta di equazione y = −x + 1 ha coefficiente angolare uguale a −1, mentre
la retta di equazione y = x − 3 ha coefficiente angolare uguale a 1. Dal momento che le
due rette hanno coefficienti angolari diversi, possiamo concludere che non sono parallele
(figura 13b).
1.4.2 Rette perpendicolari
Dopo aver stabilito la condizione di parallelismo tra due rette nel piano cartesiano, poniamoci il problema di stabilire quale condizione algebrica traduce la loro perpendicolarità.
La condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due rette non parallele agli
assi è espressa dal prossima proposizione che ci limitiamo a enunciare.
Proposizione 3. Due rette non parallele agli assi, di equazioni y = mx + q
e y = m 0 x + q 0 , sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari hanno
prodotto −1. La condizione di perpendicolarità è quindi
m · m 0 = −1
Dalla relazione m · m 0 = −1 si ricava che
m0 = −
1
m
Quindi se una retta ha coefficiente angolare m, con m 6= 0, una retta a essa perpendicolare
1
ha coefficiente angolare uguale a − , cioè all’opposto del reciproco (ossia all’antireciproco)
m
di m.
1
Esercizio 8. Stabilisci se le rette y = 4x − 1 e y = x + 1 sono perpendicolari.
4
11
12
rette nel piano cartesiano
y
y = 4x − 1
m=4
y = −3x + 2
m = −3
y
x
x
y = 14 x + 1
m 0 = 41
y = 13 x − 1
m 0 = 13
(a) Le rette non sono perpendicolari
(b) Le rette sono perpendicolari
Figura 14: Perpendicolarità
Soluzione. I coefficienti angolari delle due rette sono
m=4
e m0 =
Poiché
m · m0 = 4 ·
1
4
1
=1
4
le due rette non sono perpendicolari (figura 14a).
1
Esercizio 9. Stabilisci se le rette y = −3x + 2 e y = x − 1 sono perpendicolari.
3
Soluzione. I coefficienti angolari delle due rette sono
m = −3
e
Poiché
m · m 0 = −3 ·
m0 =
1
3
1
= −1
3
le due rette sono perpendicolari (figura 14b).
1.5
determinare l’equazione di una retta
Sappiamo dalla geometria euclidea che una retta è univocamente individuata quando se
ne conoscono un punto e la direzione, oppure due punti. Trasferendoci nell’ambito della
geometria analitica, scaturiscono i due seguenti problemi:
• determinare l’equazione di una retta passante per un punto P(a, b) e di coefficiente
angolare m assegnato (il coefficiente angolare individua la direzione della retta);
• determinare l’equazione di una retta passante per due punti assegnati.
1.5 determinare l’equazione di una retta
y
P
y
P
r
r
x
(a) Retta passante per un punto e
parallela a una retta data
x
(b) Retta passante per un punto e
perpendicolare a una retta data
Figura 15: Retta passante per un punto e di direzione assegnata
1.5.1 Retta passante per un punto e di coefficiente angolare assegnato
La retta passante per un punto P(x0 , y0 ) e di assegnato coefficiente angolare ha equazione
y − y0 = m(x − x0 )
(1)
Retta passante per un punto e parallela a una retta data
Esercizio 10. Determina l’equazione della retta passante per P(1, 3) e parallela alla
retta r di equazione y = 2x − 4.
Soluzione. Il coefficiente angolare di r è 2. La retta passante per P(1, 3) e parallela a r non è
altro che la retta passante per P e di coefficiente angolare uguale a 2. In base alla formula 1
la sua equazione è
y − 3 = 2(x − 1)
=⇒
y = 2x + 1
Vedi la figura 15a.
Retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data
Esercizio 11. Determina l’equazione della retta passante per P(1, 3) e perpendicolare
alla retta r di equazione y = 2x − 4.
Soluzione. Il coefficiente angolare della retta r è 2; pertanto una retta perpendicolare a r
1
deve avere coefficiente angolare − . La retta cercata è allora quella passante per P(1, 3) e
2
1
di coefficiente angolare − . In base alla formula 1 la sua equazione sarà:
2
1
y − 3 = − (x − 1)
2
Vedi la figura 15b.
=⇒
1
7
y = − x+
2
2
13
14
rette nel piano cartesiano
1.5.2 Retta passante per due punti
Occupiamoci ora del secondo problema che avevamo introdotto all’inizio di questo
paragrafo: scrivere l’equazione della retta passante per due punti A(x1 , y1 ) e B(x2 , y2 )
assegnati. Si dimostra anzitutto la seguente proposizione.
Proposizione 4. Il coefficiente angolare m della retta passante per A(x1 , y1 )
e B(x2 , y2 ), con x1 6= x2 , è uguale al rapporto tra la differenza delle ordinate e
la differenza delle ascisse di A e di B; in simboli:
m=
y2 − y1
x2 − x1
(2)
Tale rapporto è detto rapporto incrementale.
L’interpretazione grafica della formula 2 è riportata nella figura 16: il coefficiente angolare di una retta è il rapporto tra la variazione subita dalle ordinate e la variazione subita
dalle ascisse nel passaggio da un punto di ascissa minore a un punto di ascissa maggiore.
La variazione può essere un incremento (come nel caso in figura) o una diminuzione (nel
caso di una retta che forma con l’asse x un angolo ottuso).
y
y2
y1
B(x2 , y2 )
incremento
delle ordinate:
y 2 − y1
A(x1 , y1 )
incremento
delle ascisse:
x1
x2 − x1
x
x2
Figura 16: Il coefficiente angolare di una retta è il rapporto tra la variazione subita dalle ordinate e
la corrispondente variazione delle ascisse
Ora possiamo risolvere il problema da cui siamo partiti, cioè scrivere l’equazione della
retta passante per due punti A(x1 , y1 ) e B(x2 , y2 ):
• se x1 = x2 , la retta AB è verticale, quindi la sua equazione è x = x1 ;
• se x1 6= x2 , il coefficiente angolare m della retta AB si può determinare mediante la
formula 2, e l’equazione della retta AB si può ottenere scrivendo l’equazione della
retta passante per A (o per B), di coefficiente angolare m.
Esercizio 12. Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A(−1, 1) e B(3, 4)
1.5 determinare l’equazione di una retta
y
y
y=
4
7
3x + 4
x=3
B(3, 4)
A(3, 4)
3
A(−1, 1)
x
B(3, −2)
4
x
(a)
(b)
Figura 17: Retta passante due punti
Soluzione. La retta AB non è parallela all’asse y perché xA 6= xB . Calcoliamo anzitutto il
coefficiente angolare m della retta AB.
m=
4−1
3
yB − yA
=
=
xB − xA
3 − (−1)
4
Allora l’equazione della retta AB si può calcolare scrivendo l’equazione della retta passante
3
per A o per B e di coefficiente angolare . Per esempio utilizziamo il punto B. L’equazione
4
3
della retta passante per B(3, 4) e di coefficiente angolare è
4
3
y − 4 = (x − 3)
4
ossia
3
7
y = x+
4
4
Vedi la figura 17a.
Esercizio 13. Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A(3, 4) e B(3, −2)
Soluzione. I due punti A e B hanno la stessa ascissa, quindi la retta AB è verticale (figura 17b). La sua equazione è ovviamente x = 3.
1.5.3 Asse di un segmento
Le nozioni apprese in questo paragrafo ci permettono di affrontare un altro problema:
determinare l’equazione dell’asse di un segmento AB, note le coordinate di A e di B. Il
problema si risolve ricordando che l’asse di AB è la retta passante per il punto medio di AB
e perpendicolare ad AB.
15
16
rette nel piano cartesiano
y
B(5, 7)
asse di AB
M
x
A(−3, 1)
Figura 18: Asse di un segmento
Esercizio 14. Determina l’equazione dell’asse del segmento AB, di estremi A(−3, 1)
e B(5, 7).
Soluzione.
• Il punto medio di AB è
xA + xB yA + yB
−3 + 5 1 + 7
M=
,
,
=
= (1, 4)
2
2
2
2
• Il coefficiente angolare della retta AB è:
m=
yB − yA
7−1
6
3
=
= =
xB − xA
5 − (−3)
8
4
quindi una retta a essa perpendicolare (quale è l’asse) deve avere coefficiente angolare
4
uguale a − .
3
• L’asse di AB è la retta passante per M(1, 4) e di coefficiente angolare −
quindi ha equazione:
4
y − 4 = − (x − 1)
3
1.6
=⇒
4
(figura 18),
3
4
16
y = − x+
3
3
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 15. Vero o falso?
1. I punti A(0, 2), B(4, 4), C(6, 0) e D(2, −2) sono i vertici di un quadrato
V
F
2. Non esiste il coefficiente angolare della retta di equazione y = —2
V
F
1.6 esercizi
3. La retta di equazione y = 2x + 3 forma con l’asse x un angolo acuto
V
F
4. La retta di equazione y = 3x + 3 interseca l’asse x in (−1, 0)
V
F
5. La retta di equazione y = −4x − 2 interseca l’asse y in (0, −2)
V
F
6. Il punto P(2, 3) appartiene alla retta di equazione y = x − 1
V
F
7. La retta passante per i punti A(10, 18) e B(11, 17) è parallela alla retta y = −x + 1
V
F
8. Le rette di equazioni y = −3x e y =
1
x non sono perpendicolari
V F
3
[6 affermazioni vere e 2 false]
Esercizio 16. Date le seguenti rette, individua il coefficiente angolare m e il termine noto q:
1. y = 2x − 3
3. y = 1
5. y = −x
2. y = −x + 1
4. y = x
6. y = −1
Esercizio 17. Ciascuna delle rette disegnate nella seguente figura è il grafico di una delle seguenti
funzioni lineari:
1. y = −2x + 3
2. y = 2x − 3
3. y = −2x − 3
4. y = 2x + 3
Associa a ciascuna retta la sua equazione.
y
y
x
(a)
y
x
y
x
(b)
x
(c)
(d)
Figura 19
Esercizio 18. Le rette disegnate nella figura seguente hanno le seguenti equazioni:
1. y =
3
x−1
2
2. y = −3x + 1
3. y = −2x + 1
4. y =
1
x−2
2
Associa a ciascuna retta la sua equazione.
y
y
x
(a)
y
y
x
(b)
(c)
Figura 20
x
x
(d)
17
18
rette nel piano cartesiano
Esercizio 19. Una funzione lineare è definita da un’equazione il cui termine noto è −3. Quali sono
le coordinate del punto in cui il grafico della funzione interseca l’asse y?
Esercizio 20. Una funzione lineare è definita da un’equazione il cui coefficiente angolare è −3.
L’angolo che la retta forma con l’asse x è acuto o ottuso?
Esercizio 21. Sapendo che y = 2x − 4, completa la seguente tabella:
x
y
−1
...
0
...
...
0
...
2
Esercizio 22. Traccia i grafici delle seguenti funzioni lineari, dopo aver determinato le coordinate
di almeno quattro punti.
2
4. y = − x
3
5. y = −2x + 3
1. y = 2x
2. y = −2x
9. y =
6. y = 3x − 4
3
3. y = x
2
3
x−1
2
4
12. y = x − 3
3
3
13. y = − x + 3
2
8. y = −x + 1
11. y =
1
x+1
2
2
10. y = − x + 2
3
7. y = x + 2
Esercizio 23. Traccia il grafico delle seguenti funzioni lineari, dopo aver determinato i loro punti di
intersezione con gli assi cartesiani (nelle risposte sono indicati solo i punti di intersezione con gli
assi).
1
1
[(0, 2); (−4, 0)]
5. y = x + 2
1. y = −2x − 1
(0, −1); (− , 0)
2
2
1
[(0, 2); (2, 0)]
2. y = −x + 2
[(0, −1); (−2, 0)]
6. y = − x − 1
2
[(0, 3); (−1, 0)]
3. y = 3x + 3
9
2
7.
y
=
−
x
+
3
(0,
3);
(
,
0)
[(0, −3); (3, 0)]
4. y = x − 3
3
2
Esercizio 24. Ciascuna delle rette disegnate nella seguente figura è il grafico di una funzione lineare,
di equazione y = mx + q. Per ciascun grafico poni una crocetta sulle caselle che esprimono i segni
di m e q.
y
y
x
x
(a)
m > 0 m < 0
q > 0 q < 0
y
(b)
m > 0 m < 0
q > 0 q < 0
y
x
(c)
m > 0 m < 0
q > 0 q < 0
x
(d)
m > 0 m < 0
q > 0 q < 0
Figura 21
Esercizio 25. Vero o falso?
1. Ogni retta del piano cartesiano ha un’equazione del tipo y = mx + q
V
F
1.6 esercizi
2. Il coefficiente angolare della retta y = −1 è zero
V
F
3. Ogni retta verticale ha equazione del tipo x = k, dove k è un numero reale
V
F
4. Una retta di equazione y = mx + q è parallela all’asse x se e solo se m = 0
V
F
5. Il coefficiente angolare di ogni retta verticale è zero
V
F
[2 affermazioni vere e 3 false]
Esercizio 26. Ciascuna delle rette disegnate nella figura seguente ha una delle seguenti equazioni:
1. x = −2
2. y = −2
3. y = −x
4. y = x − 1
Associa a ogni grafico la sua equazione.
y
x
Esercizio 27. Completa la seguente tabella, sull’esempio della prima riga.
Equazioni delle rette
y = 2x + 1
y=
y=
y = −2x + 1
1
x+1
3
y=
1
x+1
2
y = 0.5x + 1
y = 4x + 1
y = x+1
Coefficienti angolari
1
x+1
3
m=2
m 0 = −2
Sì
perché
m = ...
m0 = . . .
Sì
m = ...
m = ...
m = ...
m0 = . . .
m0 = . . .
m0 = . . .
No
m 6= m 0
No
perché
y = 0.25x + 1
y = −x + 1
Le rette sono parallele?
......
Sì
No
perché
...
Sì
perché
...
Sì
perché
No
No
...
Esercizio 28. Stabilisci se le seguenti coppie di rette sono formate da rette parallele distinte, incidenti o coincidenti.
1.
x=1
x = −1 [parallele e distinte]
4.
y=1
y = x+1
[incidenti]
2.
y=x
y = −x
[incidenti]
5.
y = x−2
y = −x + 2
[incidenti]
3.
y=x
x=y
[coincidenti]
6.
y=0
y=1
Esercizio 29. Completa la seguente tabella, sull’esempio della prima riga.
[parallele e distinte]
19
20
rette nel piano cartesiano
Equazioni delle rette
1
y = − x+1
2
m=2
1
x+1
3
y = −3x + 1
m = ...
1
x+1
2
y = −0.5x + 1
y = 2x + 1
y=
y=
Coefficienti angolari
m0 = −
1
2
Le rette sono perpedicolari?
Sì
perché
m0 = . . .
y = 4x + 1
y = −0.25x + 1
y = x+1
y = −x + 1
m = ...
m = ...
m0 = . . .
m0 = . . .
m0 = . . .
mm 0 = −1
Sì
perché
m = ...
No
No
......
Sì
No
perché
...
Sì
perché
...
Sì
perché
...
No
No
Esercizio 30. Riconosci quali delle seguenti coppie di rette sono perpendicolari.
1.
y=x
y = −x
4.
y = 2x − 2
2.
x=1
y = −1
5.
y = 3x − 2
3.
y = 2x + 1
y = −2x − 1
6.
y = x−1
1
y = − x+2
2
1
y = x+2
3
y = x+1
Esercizio 31. Quale delle seguenti è l’equazione della retta passante per P(1, −3) e parallela alla
retta di equazione y = 2x?
A y = 2x − 5
B y = 5x + 2
C y = 2x + 5
D y = x−3
Esercizio 32. Quale delle seguenti è l’equazione della retta passante per P(1, −3) e perpendicolare
alla retta di equazione y = 2x?
1
2
A y = x−
5
2
1
2
B y = − x−
5
2
1
2
C y = − x+
5
2
1
2
D y = x+
5
2
Esercizio 33. Quale delle seguenti formule fornisce il coefficiente angolare della retta passante
per A(3, 4) e B(5, 7)?
A mAB =
3−5
4−7
B mAB =
4−3
7−5
C mAB =
4−7
5−3
D mAB =
7−4
5−3
Esercizio 34. Quale delle seguenti è l’equazione della retta passante per A(−1, 0) e B(0, 3)?
A y = 3x − 3
B y = −3x + 3
C y = 3x + 3
D y = −3x − 3
Esercizio 35. Scrivi l’equazione della retta passante per P e parallela alla retta r.
1.
P(1, 3)
r : y = 2x − 1
[y = 2x + 1]
3.
P(−1, 3)
r : y = −2x − 1 [y = −2x + 1]
2.
P(−1, −2) r : y = 2x + 1
[y = 2x]
4.
P(1, 3)
r : y = −2x − 1 [y = −2x + 5]
Esercizio 36. Scrivi l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla retta r.
1
5
[y = −x]
r: y = x + 1
1. P(−1, 1)
3. P(−1, −2) r : y = 2x + 1 y = − x −
2
2
2.
P(−1, 1)
1
r: y = − x + 2
2
[y = 2x + 3]
4.
P(−1, 1)
1
r: y = − x + 1
4
[y = 4x + 5]
1.6 esercizi
21
Esercizio 37. Determina il coefficiente angolare delle rette disegnate nella figura seguente.
y
y
y
6
5
5
x
x
2
3
−4
x
−2
(a)
(b)
(c)
Figura 22
Esercizio 38. Disegna la retta che passa per A e per B e determina, se esiste, il suo coefficiente
angolare.
1.
A(−4, 0)
[1]
1
7
1
3
B(0, 4)
2.
A(−3, 0)
B(4, 1)
3.
A(−3, 0)
B(6, 3)
4.
A(−5, 4)
B(0, 4)
5.
A(−6, 3)
B(9, 0)
6.
A(7, 0)
B(7, 8)
[0]
1
−
5
[non è definito]
Esercizio 39. Scrivi le equazioni delle rette passanti per A e per B.
1.
2.
3.
A(−1, 0)
1
A 0,
4
[y = x + 1]
1
1
y = x+
8
4
B(3, 4)
B(−2, 0)
[x = −1]
A(−1, −1) B(−1, 3)
4.
A(0, 3)
B(4, 0)
5.
A(1, 4)
B(−2, 4)
6.
A(1, 6)
B(4, 0)
3
y = − x+3
4
[y = 4]
[y = −2x + 8]
Esercizio 40. Ognuna delle seguenti figure rappresenta un sistema di due equazioni in due incognite. Per ciascuna figura scrivi un sistema che è rappresentato dalle rette raffigurate (un quadretto
corrisponde all’unità).
y
y
x
y
x
(a)
(b)
Figura 23
Esercizio 41. Determina l’asse del semento AB.
x
(c)
22
rette nel piano cartesiano
1.
A(−1, 3)
B(1, 5)
[y = −x + 4]
3.
A(0, 1)
B(2, 0)
[y = −x + 2]
4.
A(1, −1)
B(3, −2)
3
y = 2x −
2
11
2
2.
A(−1, 0)
B(2, 3)
y = 2x −
Esercizio 42. Osserva le rette disegnate nella figura seguente e rispondi alle seguenti domande.
1. Quale retta ha coefficiente angolare positivo?
3. Quale retta ha coefficiente angolare nullo?
2. Quale retta ha coefficiente angolare negativo?
4. Per quale il coefficiente angolare non è
definito?
s
y
t
u
x
r
Esercizio 43. La figura seguente riporta i grafici delle seguenti funzioni:
1. y = 2x
3. y = −2x + 4
5. y = 2x + 4
2. y = −2x
4. y = 2x − 4
6. y = −2x − 4
Associa a ogni grafico la sua equazione.
r
s
ya
t
b
c
x
Esercizio 44. Traccia la retta passante per P e parallela alla retta r e la retta passante per P e
perpendicolare alla retta r e scrivi le equazioni di tali rette.
y
r
P
4
x
2
1.6 esercizi
Esercizio 45. Disegna il triangolo di vertici A(−3, 1), B(0, 2) e C(2, −4). Verifica che il triangolo è
rettangolo, nei seguenti due modi:
1. mostrando che è soddisfatto il teorema di Pitagora;
2. mostrando, mediante i coefficienti angolari, che i due lati sono perpendicolari.
Esercizio 46. Considera i punti A(0, 4), B(3, 0), C(3, −5) e D(0, −1). Verifica che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma nei seguenti tre modi:
1. mostrando che i lati opposti sono congruenti;
2. mostrando che i lati opposti sono paralleli;
3. mostrando che i punti medi delle diagonali coincidono.
Determina poi la misura del perimetro e dell’area di ABCD e il punto d’intersezione
P delle
3 1
diagonali.
Perimetro = 20, area = 15, P =
,−
2 2
23
2
2.1
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
radici quadrate e cenni ai numeri reali
Ricordiamo che il quadrato di un numero reale a è il numero, sempre maggiore o uguale
a zero, che si ottiene moltiplicando a per se stesso. L’operazione inversa dell’elevamento
al quadrato si chiama radice quadrata.
Definizione 1. La radice quadrata di un numero a > 0, detto radicando, è quel
√
numero b > 0 che elevato al quadrato dà a. In simboli: b = a ⇐⇒ b2 = a.
Osserviamo che non esiste la radice quadrata di un numero negativo, poiché non esiste
nessun numero che elevato al quadrato dia come risultato un numero negativo.
Per esempio:
√
9 = 3, poiché 32 = 9;
√
• 25 = 5, poiché 52 = 25;
r
2
9
3
3
9
•
= , poiché
= ;
16
4
4
16
√
1 = 1, poichè 12 = 1;
√
• 0 = 0, poichè 02 = 0;
√
• −16 non esiste, poiché il radicando è
negativo.
•
•
√
Poniamoci questo problema: quanto vale 2? Dalla definizione di radice quadrata sap√ 2
√
piamo che 2 = 2. Poiché 12 = 1 e 22 = 4, ne segue che che 1 < 2 < 2. Il valore cercato
non è quindi un numero intero. Può essere un numero decimale finito? Costruiamo una
tabella che contenga nella prima riga i numeri con una sola cifra decimale compresi tra 1
e 2 e nella seconda riga i rispettivi quadrati:
x
x2
1.1
1.21
1.2
1.44
1.3
1.69
1.4
1.96
1.5
2.25
1.6
2.56
1.7
2.89
1.8
3.24
1.9
3.61
√
Osserviamo che il numero 2 è compreso tra 1.42 e 1.52 , di conseguenza 1.4 < 2 < 1.5.
Anche se √
abbiamo ristretto l’intervallo in cui si trova, non possiamo√ancora precisare il
valore di 2. Diciamo che 1.4 √
è un valore approssimato
per difetto
√
√ di 2, mentre 1.5 è un
valore approssimato per eccesso di 2. Scrivendo 2 = 1.4 oppure 2 = 1.5 commettiamo un
errore minore di 1/10.
√
Per migliorare l’approssimazione e tentare di ottenere 2 come numero decimale finito
costruiamo una tabella di numeri decimali con due cifre compresi tra 1.4 e 1.5:
x
x2
1.41
1.9881
1.42
2.0164
1.43
2.0049
1.44
2.0776
√
Ora possiamo dire che 1.41 è un valore approssimato per difetto di 2 mentre 1.42 è
un valore approssimato per eccesso, con un errore dell’ordine di 1/100. Abbiamo quindi migliorato
l’approssimazione e di conseguenza abbiamo ristretto l’intervallo in cui
√
√ si
trova 2, ma ancora non abbiamo trovato un numero decimale finito che sia uguale a 2.
25
26
equazioni di secondo grado
√
Per migliorare ancora l’approssimazione e tentare di ottenere 2 come numero decimale
finito costruiamo una tabella di numeri decimali con tre cifre compresi tra 1.41 e 1.42:
x
x
1.411
1.990
1.412
1.993
1.413
1.996
1.414
1.999
1.415
2.002
1.416
2.005
√
Ora possiamo dire che 1.414 è un valore approssimato per difetto di 2 mentre 1.415 è
un valore approssimato per eccesso, con un errore dell’ordine
di 1/1000, ma non abbiamo
√
trovato un numero decimale finito che sia uguale a 2.
Continuando con lo stesso procedimento si possono costruire due sequenze di numeri
decimali che approssimano una per difetto e una per eccesso
il numero cercato, restringen√
do ogni volta l’ampiezza dell’intervallo in cui si trova 2. Si dimostra che il procedimento
continua√all’infinito e le cifre decimali che troviamo non si ripetono periodicamente. Il
numero 2 è dunque un numero decimale a infinite cifre non periodico. Riportiamo le prime
trenta cifre decimali del numero:
√
2 = 1.414 213 562 373 095 0488 016 887 242 096 . . .
√
Poiché 2 è un numero decimale
√ a infinite cifre non periodico, esso non può essere scritto
come frazione.
√ In altre parole, 2 non è un numero razionale.
Oltre a 2 ci sono infiniti numeri che non possono essere scritti come frazione. Per
esempio, tutte le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti. Per
esempio:
√
3 = 1.732 050 807 568 877 293 527 446 341 506 . . .
Un altro famoso numero non razionale che si incontra in geometria è il numero π, che
corrisponde alla misura della circonferenza di diametro 1:
π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 280 . . .
Questi numeri sono detti numeri irrazionali. L’insieme dei numeri irrazionali si indica con J.
Definizione 2. L’unione dell’insieme Q dei numeri razionali e dell’insieme J dei
numeri irrazionali costituisce l’insieme R dei numeri reali.
Si può dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei punti della
retta geometrica e l’insieme R dei numeri reali. Da ciò segue la possibilità di definire
sulla retta un sistema di coordinate: a ogni punto corrisponde un numero reale (la sua
ascissa) e viceversa a ogni numero reale è associato uno e un solo punto sulla retta. Una
possibilità analoga si ha nel piano, dove il sistema di assi cartesiani permette di realizzare
una corrispondenza biunivoca tra coppie di numeri reali (ascissa e ordinata del punto) e
un punto del piano geometrico.
introduzione
Consideriamo il seguente problema: «in un triangolo rettangolo l’ipotenusa supera il
cateto minore di 2 cm, mentre l’altro cateto supera il cateto minore di 1cm». Si vogliono
trovare le misure dei tre lati”.
Si può formalizzare il problema indicando con x la misura incognita del cateto minore.
La lunghezza dell’ipotenusa sarà x + 2, mentre quella dell’altro cateto x + 1.
2.2 equazioni di secondo grado intere
x+1
x+2
x
Figura 24: Un problema di secondo grado.
Applicando il teorema di Pitagora si ha: x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 . Dopo aver effettuato i
calcoli e aver portato tutti i termini a sinistra del predicato uguale abbiamo:
x2 − 2x − 3 = 0.
Questa è una equazione di secondo grado in una incognita in quanto la variabile x vi
compare elevata al secondo grado.
Definizione 3. Si dice equazione di secondo grado, un’equazione del tipo: ax2 + bx +
c = 0 con a 6= 0. I valori a, b, c prendono il nome di coefficienti e, in particolare, c
viene detto termine noto.
Definizione 4. Un’equazione di secondo grado si definisce:
• monomia quando il secondo e il terzo coefficiente sono nulli ax2 = 0;
• pura quando il secondo coefficiente è nullo ax2 + c = 0;
• spuria quando il terzo coefficiente è nullo ax2 + bx = 0;
• completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero ax2 + bx + c = 0.
2.2
equazioni di secondo grado intere
2.2.1 Equazioni monomie
Un’equazione di secondo grado monomia si risolve nel modo seguente:
• si dividono entrambi i membri per il coefficiente di x2 ;
• poiché zero è l’unico numero che elevato al quadrato dà zero, l’unica soluzione è
zero.
Esercizio 47. Risolvi l’equazione 4x2 = 0.
Soluzione. Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di x2 :
4x2 = 0
=⇒
da cui
S = {0}
x=0
27
28
equazioni di secondo grado
2.2.2 Equazioni pure
Un’equazione di secondo grado pura si risolve nel modo seguente:
• si porta al secondo membro il termine noto;
• si dividono entrambi i membri per il coefficiente di x2 ;
• se il secondo membro è positivo, si calcola la sua radice quadrata: le soluzioni
saranno il valore di questa radice e il suo opposto;
• se il secondo membro è negativo, l’equazione è impossibile.
Esercizio 48. Risolvi l’equazione 4x2 − 9 = 0.
Soluzione. Portiamo il termine noto a secondo membro:
4x2 = 9
Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di x2 :
4x2
9
=
4
4
x2 =
=⇒
da cui
r
x=±
9
4
9
3
=±
4
2
L’equazione ha due soluzioni opposte e
S=
3 3
− ;
2 2
Esercizio 49. Risolvi l’equazione 4x2 + 9 = 0.
Soluzione. Portiamo il termine noto a secondo membro:
4x2 = −9
Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di x2 :
4x2
9
=
4
4
x2 = −
=⇒
da cui
9
4
r
9
4
che è impossibile. L’equazione non ha soluzioni e
x=±
−
S=∅
Un’equazione pura può avere due soluzioni reali distinte opposte oppure può non avere
soluzioni reali.
2.2 equazioni di secondo grado intere
2.2.3 Equazioni spurie
Un’equazione di secondo grado spuria si risolve nel modo seguente:
• portiamo tutti i termini a primo membro;
• raccogliamo a fattor comune;
• applichiamo la legge di annullamento del prodotto, uguagliando a zero entrambi i
fattori;
• risolviamo le due equazioni di primo grado ottenute;
• mettiamo insieme le soluzioni.
Esercizio 50. Risolvi l’equazione 2x2 − 4x = 0.
Soluzione. Raccogliendo 2x a fattor comune si ha:
2x2 − 4x = 2x(x − 2)
da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, segue:
2x = 0
∨
x−2 = 0
per cui
∨
x=0
x=2
L’equazione ha due soluzioni:
S = { 0, 2 }
Esercizio 51. Risolvi l’equazione x2 + x = 0.
Soluzione. Raccogliendo 2x a fattor comune si ha:
x2 + x = x(x + 1)
da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, segue:
x=0
∨
x+1 = 0
per cui
x=0
∨
x = −1
L’equazione ha due soluzioni:
S = { −1, 0 }
Un’equazione spuria ha sempre due soluzioni reali distinte, di cui una nulla.
29
30
equazioni di secondo grado
2.2.4 Equazioni complete
Per risolvere un’equazione di secondo grado completa si applica la seguente formula
risolutiva:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Questa formula si può applicare anche ai tipi di equazioni incomplete che abbiamo già
studiato.
L’espressione b2 − 4ac prende il nome di discriminante e si indica con la lettera greca ∆
(Delta). Si possono presentare tre casi:
• Se ∆ > 0 l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;
• Se ∆ = 0 l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti;
• Se ∆ < 0 l’equazione non ha soluzioni reali.
Esercizio 52. Risolvi l’equazione x2 − 5x + 6 = 0.
Soluzione. Applicando la formula risolutiva si ha:
p
√
√
−(−5) ± (−5)2 − 4 · 1 · 6
5 ± 25 − 24
5± 1
5±1
x=
=
=
=
2·1
2
2
2
da cui
5−1
4
= =2
2
2
L’equazione ha due soluzioni distinte e
x=
∨
x=
5+1
6
= =3
2
2
S = { 2, 3 }
L’equazione precedente si può anche risolvere osservando che il primo membro è un
trinomio speciale. Per scomporlo in fattori cerchiamo due numeri la sui somma sia −5 e il
cui prodotto sia 6. Questi numeri sono −3 e −2. In definitiva si ha:
x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)
L’equazione diventa
(x − 3)(x − 2) = 0
da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto,
x−3 = 0
∨
x−2 = 0
x=3
∨
x=2
da cui
L’equazione ha due soluzioni distinte e
S = { 2, 3 }
che coincide con il risultato trovato applicando la formula risolutiva.
2.2 equazioni di secondo grado intere
Esercizio 53. Risolvi l’equazione x2 + 4x + 3 = 0.
Soluzione. Applicando la formula risolutiva si ha:
p
√
√
−(−4) ± (−4)2 − 4 · 1 · 3
4 ± 16 − 12
4± 4
4±2
=
=
=
x=
2·1
2
2
2
da cui
4−2
2
= =1
2
2
L’equazione ha due soluzioni distinte e
x=
∨
x=
4+2
6
= =3
2
2
S = { 1, 3 }
Esercizio 54. Risolvi l’equazione x2 − 2x − 3 = 0.
Soluzione. Applicando la formula risolutiva si ha:
p
√
√
−(−2) ± (−2)2 − 4 · 1 · (−3)
2 ± 4 + 12
2 ± 16
2±4
=
=
=
x=
2·1
2
2
6
da cui
2−4
−2
=
= −1
2
2
L’equazione ha due soluzioni distinte e
x=
∨
x=
2+4
6
= =3
2
2
S = { −1, 3 }
Esercizio 55. Risolvi l’equazione x2 − 6x + 9 = 0.
Soluzione. Applicando la formula risolutiva si ha:
p
√
√
−(−6) ± (−6)2 − 4 · 1 · 9
6 ± 36 − 36
6± 0
6±0
x=
=
=
=
2·1
2
2
2
ovvero
x=
6
=3
2
L’equazione ha una sola soluzione e
S = {3}
L’equazione precedente si può anche risolvere osservando che il primo membro è il
quadrato di un binomio:
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2
per cui l’equazione diventa
(x − 3)2 = 0
da cui
x−3 = 0
=⇒
x=3
31
32
equazioni di secondo grado
Esercizio 56. Risolvi l’equazione 4x2 − 12x + 9 = 0.
Soluzione. Applicando la formula risolutiva si ha:
p
√
√
−(−12) ± (−12)2 − 4 · 4 · 9
12 ± 144 − 144
12 ± 0
12 ± 0
=
=
=
x=
2·4
8
8
8
ovvero
12
3
x=
=
8
2
L’equazione ha una sola soluzione e
3
S=
2
Come l’equazione dell’esempio 55, anche l’equazione precedente si può risolvere osservando che il primo membro è il quadrato di un binomio:
4x2 − 12x + 9 = (2x − 3)2
per cui l’equazione diventa
(2x − 3)2 = 0
da cui
2x − 3 = 0
=⇒
x=
3
2
Esercizio 57. Risolvi l’equazione 2x2 + 3x − 5 = 0.
Soluzione. Applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
p
√
√
−3 ± 32 − 4 · 2 · (−5)
−3 ± 9 + 40
−3 ± 49
−3 ± 7
=
=
=
x=
2·2
4
4
4
da cui
−3 − 7
−10
5
−3 + 7
+4
=
=−
∨ x=
=
=1
4
4
2
4
4
In conclusione si ha che:
5
S = − ,1
2
x=
Esercizio 58. Risolvi l’equazione 2x2 − x − 1 = 0.
Soluzione. Applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
p
√
√
−(−1) ± (−1)2 − 4 · 2 · (−1)
1± 1+8
1± 9
1±3
x=
=
=
=
2·2
4
4
4
da cui
1−3
−2
1
1+3
+4
=
=−
∨ x=
=
=1
4
4
2
4
4
In conclusione si ha che:
1
S = − ,1
2
x=
2.3 equazioni di secondo grado fratte
Esercizio 59. Risolvi l’equazione 6x2 − x − 2 = 0.
Soluzione. Applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
x=
−(−1) ±
p
√
√
(−1)2 − 4 · 6 · (−2)
1 ± 1 + 48
1 ± 49
1±7
=
=
=
2·6
12
12
12
da cui
x=
1−7
−6
1
=
=−
12
12
2
In conclusione:
∨
S=
x=
1 2
− ,
2 3
1+7
+8
2
=
=
12
12
3
Esercizio 60. Risolvi l’equazione x2 + x + 1 = 0.
Soluzione. Applicando la formula risolutiva si ha:
x=
−(−1) ±
p
√
√
(−1)2 − 4 · 1 · 1
1± 1−4
1 ± −3
=
=
2·1
2
3
che è impossibile. L’equazione non ha soluzioni e
S=∅
Esercizio 61. Risolvi l’equazione x2 − x + 3 = 0.
Soluzione. Applicando la formula risolutiva si ha:
x=
−(−1) ±
√
√
(−1)2 − 4 · 1 · 3
1 ± 1 − 12
1 ± −11
=
=
2·1
2
6
p
che è impossibile. L’equazione non ha soluzioni e
S=∅
2.3
equazioni di secondo grado fratte
Definizione 5. Un’equazione in cui compare l’incognita al denominatore si chiama
frazionaria o fratta.
33
34
equazioni di secondo grado
Esercizio 62. Risolvi l’equazione
x2
6
1
1
+
= .
−9 x+3
2
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − 9 è la differenza tra due quadrati:
x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)
L’equazione diventa:
6
1
1
+
=
(x − 3)(x + 3) x + 3
2
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = 2(x − 3) · (x + 3).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= −3 ∧ x 6= 3
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
(x − 3)(x + 3)
6 · 2 + 2(x − 3)
=
2(x − 3)(x + 3)
2(x − 3)(x + 3)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
6 · 2 + 2(x − 3) = (x − 3)(x + 3)
da cui
12 + 2x − 6 = x2 − 9
Portando tutto al primo membro si ha:
−x2 + 2x + 12 − 6 + 9 = 0
=⇒
−x2 + 2x + 15 = 0
da cui
x2 − 2x − 15 = 0
• Applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
p
√
√
−(−2) ± (−2)2 − 4 · 1 · (−15)
2 ± 4 + 60
2 ± 64
2±8
=
=
=
x=
2·1
2
2
2
da cui
x=
2−8
= −3
2
∨
x=
2+8
=5
2
• Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza: la soluzione x = −3 non è
accettabile e l’insieme soluzione è:
S = {5}
2.3 equazioni di secondo grado fratte
4
x
3
+ 2
=− .
x−2 x −x−2
2
Esercizio 63. Risolvi l’equazione
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − x − 2 è un trinomio speciale. Dobbiamo trovare due numeri che abbiano somma −1 e prodotto −2: questi numeri sono −2
e 1, per cui
x2 − x − 2 = (x − 2) · (x + 1)
L’equazione diventa:
4
x
3
+
=−
x − 2 (x − 2)(x + 1)
2
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = 2(x − 2)(x + 1).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= −1 ∧ x 6= 2
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
−3(x − 2)(x + 1)
4 · 2(x + 1) + 2x
=
2(x − 2)(x + 1)
2(x − 2)(x + 1)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
4 · 2(x + 1) + 2x = −3(x − 2)(x + 1)
da cui
8(x + 1) + 2x = −3(x2 + x − 2x − 2)
ovvero
8x + 8 + 2x = −3x2 − 3x + 6x + 6
• Portando tutto al primo membro si ha:
3x2 + 8x + 2x + 3x − 6x + 8 − 6 = 0
da cui
3x2 + 7x + 2 = 0
• Applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
√
√
√
−7 ± 72 − 4 · 3 · 2
−7 ± 49 − 24
−7 ± 25
−7 ± 5
x=
=
=
=
2·3
6
6
6
da cui
x=
−7 − 5
= −2
6
∨
x=
−7 + 5
1
=−
6
3
• Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza: le soluzioni sono entrambe
accettabili e l’insieme soluzione è:
1
S = −2, −
3
35
36
equazioni di secondo grado
Esercizio 64. Risolvi l’equazione
8
3
6
− = 2
.
x+1 x
x −x
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − x si scompone raccogliendo x a
fattor comune:
x2 − x = x(x − 1)
L’equazione diventa:
8
3
6
− =
x+1 x
x(x − 1)
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = x(x − 1)(x + 1).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= 0 ∧ x − 1 ∧ x 6= 1
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
8x(x − 1) − 3(x − 1)(x + 1)
6(x + 1)
=
x(x − 1)(x + 1)
x(x − 1)(x + 1)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
8x2 − 8x − 3(x2 − 1) = 6x + 6
da cui
8x2 − 8x − 3x2 + 3 = 6x + 6
• L’equazione che si ottiene è di secondo grado; portiamo l’equazione alla forma canonica:
5x2 − 14x − 3 = 0
• Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, troviamo che
l’equazione è determinata e ammette due soluzioni reali distinte:
x=
14 ±
p
√
√
196 − 4 · 5 · (−3)
14 ± 196 + 60
14 ± 256
14 ± 16
=
=
=
2·5
10
10
10
x=
14 − 16
−2
2
1
=
=− =−
10
10
10
5
da cui
∨
x=
14 + 16
30
=
=3
10
10
• Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza: le soluzioni sono entrambe
accettabili e l’insieme soluzione è:
1
S = − ,3
5
2.3 equazioni di secondo grado fratte
Esercizio 65. Risolvi l’equazione
x2
x
5
2
− 2
= .
− 2x 3x − 12
x
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori.
– Il polinomio x2 − 2x si scompone raccogliendo a fattor comune:
x2 − 2x = x(x − 2)
– Il polinomio 3x2 − 12 si scompone raccogliendo prima a fattor comune e poi con
la differenza tra due quadrati:
3x2 − 12 = 3(x2 − 4) = 3(x − 2)(x + 2)
L’equazione diventa:
x
5
2
−
= .
x(x − 2) 3(x − 2)(x + 2)
x
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = 3x(x − 1)(x + 1).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= 0 ∧ x 6= −2 ∧ x 6= 2
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
3x(x + 2) − 5x
3 · 2(x − 2)(x + 2)
=
3x(x − 2)(x + 2)
3x(x − 2)(x + 2)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
3x(x + 2) − 5x = 6(x − 2)(x + 2)
da cui
3x2 + 6x − 5x = 6(x2 − 4)
=⇒
3x2 + 6x − 5x = 6x2 − 24
• L’equazione che si ottiene è di secondo grado; portiamo l’equazione alla forma canonica:
−3x2 + x + 24 = 0
=⇒
3x2 − x − 24 = 0
• Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, troviamo che
l’equazione è determinata e ammette due soluzioni reali distinte:
p
√
√
−(−1) ± (−1)2 − 4 · 3 · (−24)
1 ± 1 + 288
1 ± 289
1 ± 17
x=
=
=
=
2·3
6
6
6
da cui
1 − 17
−16
16
8
1 + 17
18
x=
=
=− =−
∨ x=
=
=3
6
6
6
3
6
6
• Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza: le soluzioni sono entrambe
accettabili e l’insieme soluzione è:
8
S = − ,3
3
37
38
equazioni di secondo grado
Esercizio 66. Risolvi l’equazione
x2
1
1
+
= 2
.
2
x −1 x+1
x −1
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − 1 si scompone come differenza di
due quadrati:
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
L’equazione diventa:
1
1
x2
+
=
(x − 1)(x + 1) x + 1
(x − 1)(x + 1)
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = (x − 1)(x + 1)
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= −1
∨
x 6= 1
• Svolgendo i calcoli otteniamo
x2 + (x − 1)
1
=
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
x2 + x − 1 = 1
da cui
x2 + x − 2 = 0
• Applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
x=
−1 ±
p
√
12 − 4 · 1 · (−2)
−1 ± 1 + 8
−1 ± 3
=
=
2·1
2
2
da cui
x=
−1 − 3
−4
=
= −2
2
2
∨
x=
−1 + 3
2
= =1
2
2
• Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza: la soluzione x = 1 non è
accettabile e l’insieme soluzione è:
S = { −2 }
2.3 equazioni di secondo grado fratte
Esercizio 67. Risolvi l’equazione
1
2
x
+ 2
=
.
x − 1 x − 3x + 2
x−2
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − 3x + 2 è un trinomio speciale. Dobbiamo trovare due numeri che abbiano somma −3 e prodotto 2: questi numeri
sono −2 e −1, per cui
x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1)
L’equazione diventa:
2
x
1
+
=
x − 1 (x − 2)(x − 1)
x−2
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = (x − 2) · (x + 1)
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
x 6= 1 ∧ x 6= 2
C. E.
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
(x − 2) + 2
x(x − 1)
=
(x − 2)(x − 1)
(x − 2)(x − 1)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
x − 2 + 2 = x2 − x
da cui
−x2 + 2x = 0
x2 − 2x = 0
=⇒
• Risolviamo l’equazione di secondo grado spuria così ottenuta raccogliendo x a fattor
comune:
x(x − 2) = 0
da cui, per la legge di annullamento del prodotto,
∨
x=0
x−2 = 0
da cui
x=0
∨
x=2
• Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza: la soluzione x = 2 non è
accettabile e l’insieme soluzione è:
S = {0}
39
40
equazioni di secondo grado
Esercizio 68. Risolvi la seguente equazione
x2
x−2
1
=
−
.
2
x − 3x + 2
x−1 x+2
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − 3x + 2 è un trinomio speciale. Dobbiamo trovare due numeri che abbiano somma −3 e prodotto 2: questi numeri
sono −1 e −2, per cui
x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)
L’equazione diventa
x2
x−2
1
=
−
(x − 1)(x − 2)
x−1 x+2
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = (x − 1)(x − 2)(x + 2)
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= −2 ∧ x 6= 1 ∧ x 6= 2
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
(x − 2)2 (x + 2) − (x − 1)(x − 2)
x2 (x + 2)
=
(x − 1)(x − 2)(x + 2)
(x − 1)(x − 2)(x + 2)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
x2 (x + 2) = (x − 2)2 (x + 2) − (x − 1)(x − 2)
da cui
x3 + 2x = (x2 − 4x + 4)(x + 2) − (x2 − x + 2x − 2)
ovvero
x3 + 2x = x3 + 2x2 − 4x2 + 8x + 4x + 8 − x2 + x − 2x + 2
da cui, portando tutto al primo membro,
2x2 + x2 + 2x + 4x − x + 2x − 2 − 8 = 0
da cui
3x2 + 7x − 10 = 0
• L’equazione che si ottiene è di secondo grado; risolvendola troviamo
p
√
√
−7 ± 72 − 4 · 3 · (−10)
−7 ± 49 + 120
−7 ± 169
−7 ± 13
x=
=
=
=
2·3
6
6
6
da cui
x=
−20
10
−7 − 13
=
=−
6
6
3
∨
x=
−7 + 13
6
= =1
6
6
• Confrontiamo con le C. E.; in questo caso solo x1 appartiene all’insieme dom, mentre
mentre x2 = 1 non è accettabile. diciamo che l’insieme soluzione è:
10
S= −
3
2.4 scomposizione dei trinomi di secondo grado
2.4
scomposizione dei trinomi di secondo grado
Si consideri il trinomio di secondo grado
ax2 + bx + c
Sulla base del numero di soluzioni dell’equazione associata
ax2 + bx + c = 0
ovvero del segno di ∆ = b2 − 4ac, è possibile distinguere i casi indicati nella tabella 1.
Tabella 1: Scomposizione del trinomio di secondo grado ax2 + bx + c.
Discriminante
Soluzioni
Scomposizione
∆>0
∆=0
∆<0
x1 6= x2
x1 = x2
impossibile
a(x − x1 )(x − x2 )
a(x − x1 )2
il trinomio è irriducibile
Esercizio 69. Scomponi in fattori il trinomio x2 − 5x + 6.
Soluzione. Risolviamo l’equazione
x2 − 5x + 6 = 0
Si ha che:
x=
−(−5) ±
p
√
√
(−5)2 − 4 · 1 · 6
5 ± 25 − 24
5± 1
5±1
=
=
=
2·1
2
2
2
da cui
x1 =
5−1
4
= =2
2
2
∨
x2 =
5+1
6
= =3
2
2
Le soluzioni dell’equazione associata sono dunque
S = { 2, 3 }
Applichiamo la formula indicata nella tabella 1 nel caso ∆ > 0, con a = 1, x1 = 2 e x2 = 3.
Il trinomio si scompone dunque come:
x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)
Il trinomio x2 − 5x + 6 poteva essere scomposto in fattori anche con il metodo del trinomio speciale. A tal fine cerchiamo due numeri la sui somma sia −5 e il cui prodotto sia 6.
Questi numeri sono −3 e −2. Pertanto x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2), che coincide con il
risultato precedente.
41
42
equazioni di secondo grado
Esercizio 70. Scomponi in fattori il trinomio x2 − 6x − 9.
Soluzione. Risolviamo l’equazione
x2 − 6x − 9 = 0
Si ha che:
x=
−(−6) ±
p
√
√
(−6)2 − 4 · 1 · (−9)
6 ± 36 − 36
6± 0
6±0
=
=
=
2·1
2
2
2
per cui l’equazione ha un’unica soluzione
S = {3}
Applichiamo la formula indicata nella tabella 1 nel caso ∆ = 0, con a = 1 e x1 = 3. Il
trinomio si scompone dunque come:
x2 − 6x − 9 = (x − 3)2
ovvero è il quadrato di un binomio.
Il trinomio x2 − 6x + 9 poteva essere scomposto in fattori anche osservando che è il
quadrato di un binomio. Pertanto x2 − 6x − 9 = (x − 3)2 , che coincide con il risultato
precedente.
Esercizio 71. Scomponi 2x2 − x − 1.
Soluzione. Risolviamo l’equazione
2x2 − x − 1 = 0
Si ha che:
x=
−(−1) ±
p
√
√
(−1)2 − 4 · 2 · (−1)
1± 1+8
1± 9
1±3
=
=
=
2·2
4
4
4
da cui
1−3
−2
1
1+3
4
=
=−
∨ x=
= =1
4
4
2
4
4
Le soluzioni dell’equazione associata sono dunque
1
S = − ,1
2
x=
1
Applichiamo la formula indicata nella tabella 1 nel caso ∆ > 0, con a = 2, x1 = − e x2 = 1.
2
Il trinomio si scompone dunque come:
1
2(x + )(x − 1) = (2x + 1)(x − 1)
2
A differenza dei trinomi dei due esercizi precedenti, questo trinomio non è scomponibile
con i metodi elementari, non essendo né un trinomio speciale né il quadrato di un binomio.
2.5 esercizi
Esercizio 72. Scomponi 6x2 − x − 2.
Soluzione. Non possiamo applicare la regola del trinomio caratteristico. Risolvendo l’equazione associata
6x2 − x − 2 = 0
con la formula risolutiva si ha:
p
√
√
−(−1) ± (−1)2 − 4 · 6 · (−2)
1 ± 1 + 48
1 ± 49
1±7
=
=
=
x=
2·6
12
12
12
da cui
1−7
−6
1
1+7
8
2
=
=−
∨ x=
=
=
12
12
2
12
12
3
Le soluzioni dell’equazione associata sono dunque
1 2
S= − ;
2 3
x=
1
Applichiamo la formula indicata nella tabella 1 nel caso ∆ > 0, con a = 6, x1 = −
2
2
e x2 = . Il trinomio si scompone dunque come:
3
2
1
2
1
6(x + )(x − ) = 2(x + ) · 3(x − ) = (2x + 1)(3x − 2)
2
3
2
3
Esercizio 73. Scomponi in fattori il trinomio x2 + x + 1.
Soluzione. Risolviamo l’equazione
x2 + x + 1
Si ha che:
p
√
√
(1)2 − 4 · 1 · 1
−1 ± 1 − 4
1 ± −3
x=
=
=
2·1
2
4
che è impossibile. L’insieme soluzione dell’equazione è dunque:
−1 ±
S=∅
Applicando la formula indicata nella tabella 1 nel caso ∆ < 0 si ha che il trinomio è
irriducibile.
2.5
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 74. Per ciascuno dei seguenti numeri reali scrivi una sequenza A di cinque numeri razionali che lo approssimano per difetto
e una sequenza B di cinque numeri razionali che lo approssima√
no per eccesso. Per esempio, 3: A = { 1, 1.7, 1.73, 1.732, 1.7320 }, B = { 2, 1.8, 1.74, 1.733, 1.7321 }.
43
44
equazioni di secondo grado
1.
√
5;
2.
6
;
7
1
;
7
√
4. 5;
3.
5.
√
7;
6.
1
.
3
Esercizio 75. Determina per√ciascuno dei seguenti numeri irrazionali i numeri interi tra i quali è
compreso (per esempio, 5 < 30 < 6).
√
73;
√
5.
91;
√
6.
99;
√
5;
√
2.
47;
√
3.
50;
√
101;
√
8.
107;
√
9.
119.
4.
1.
7.
Esercizio 76. Disponi in ordine crescente i seguenti numeri reali:
1.
√
2,
2. π,
1,
√
3,
√
2
, 2.013,
5,
3
√
11
, 0.9,
10,
5
3
,
2
0.75.
3.14,
π.
Esercizio 77. Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn l’insieme dei numeri reali R, suddividilo nei seguenti sottoinsiemi: l’insieme dei numeri naturali N, l’insieme dei numeri interi
relativi Z, l’insieme dei numeri razionali Q, l’insieme J dei numeri irrazionali. Disponi in maniera
√
√
3
opportuna i seguenti numeri: 3, 3 5, π, 0, 3, 3, 14,
, −2.
2
Esercizio 78. Vero o falso?
1. un numero decimale finito è sempre un numero razionale;
V
F
2. un numero decimale illimitato è sempre un numero irrazionale;
V
F
3. un numero decimale periodico è un numero irrazionale;
V
F
4. la somma di due numeri razionali è sempre un numero razionale;
V
F
5. la somma di due numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale;
V
F
6. il prodotto di due numeri razionali è sempre un numero razionale;
V
F
7. il prodotto di due numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale.
V
F
Esercizio 79. Calcola (quando è possibile) il valore delle seguenti radici quadrate.
r
r
√
16
144
1. 9;
6.
;
9.
;
√
25
36
2. 36;
r
r
√
49
−1
3. −49;
7.
;
10.
;
81
4
√
4. 64;
r
r
121
144
√
8.
;
11.
;
5. −81;
100
9
Esercizio 80. Senza usare la calcolatrice determina per
q ciascuna
q delle seguenti radici quadrate il
√
√
√
√
1
17
3,
5,
7,
11,
valore approssimato a 1/10:
2,
4 .
Esercizio 81. Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado pure.
1. x2 − 1 = 0
2. x2 =
49
25
[±1]
±
7
5
3. 2x2 − 32 = 0
[±4]
4. x2 − 25 = 0
[±5]
2.5 esercizi
5.
16x2
=1
6. 3x2 + 3 = 0
7. x2 − 9 = 0
8. 25 = 9x2
9. x2 − 3 = 0
10. x2 + 36 = 0
1
±
4
[impossibile]
[±3]
5
±
3
h √ i
± 3
[impossibile]
11. 4 − x2 = 0
[±2]
12. x2 + 4 = 0
[impossibile]
13. x2 = 49
14. 4 − 9x2 = 0
15. 4x2 − 9 = 0
[±7]
2
±
3
3
±
2
16.
9x2
− 25 = 0
5
±
3
17. 6x2 = 0
19.
[0]
18. 4x2 + 16 = 0
1 + x2
45
[impossibile]
= 50
20. 27x2 − 3 = 0
[±7]
1
±
3
21. 7x2 = 28
[±2]
4x2
[±1]
22.
−4 = 0
23. 5x2 − 125 = 0;
[±5]
1 2
x −2 = 0
2
9
25. x2 − = 0
4
24.
26. x2 +
9
=0
4
[±2]
3
±
2
[impossibile]
Esercizio 82. Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado spurie.
1. x2 − 3x = 0
2. 3x2 − 2x = 0
3. 7x2 + 2x = 0
[0, 3]
2
0,
3
2
− ,0
7
4. x2 + 2x = 0
[−2, 0]
5. x2 + 5x = 0
[−5, 0]
6. x2 − x = 0
[0, 1]
7. 18x2 − 36x = 0
[0, 2]
8. 2x2 + 6x = 0
9.
9x2
+ 16x = 0
[−3, 0]
16
− ,0
9
10.
6x2
= 5x
5
0,
6
1
5
11. 5x = 25x2
0,
12. 3x2 − 2x = 4x
[0, 2]
1
0,
9
2
0,
7
13. 81x2 = 9x
14. 7x2 − 2x = 0
15. −2x2 + 4x = 0
[0, 2]
16. (x − 2)2 = 4
[0, 4]
17.
(x + 1)2
[−2, 0]
=1
18. 77x − 11x2 = 0
[0, 7]
Esercizio 83. Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado complete.
1. x2 − 5x + 6 = 0
2.
x2
3.
−x2
+ x + 42 = 0
4.
−x2
+ 10x − 25 = 0
+ x − 20 = 0
5. −2x2 + 7x − 5 = 0
6. 3x2 + 2x − 1 = 0
[2, 3]
7. x2 − 3x − 2 = 0
[−5, 4]
[−6, 7]
[5]
5
1,
2
1
−1,
3
√ #
17
2
"
√ #
5 ± 13
2
1
,1
2
2
−1,
3
"
8. x2 − 5x + 3 = 0
9. 2x2 − 3x + 1 = 0
10. 3x2 + x − 2 = 0
Esercizio 84. Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado fratte.
3±
46
equazioni di secondo grado
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
3
[−3, 1]
−2 = x
x
3 − 2x
4 − 3x
[1]
=
x
x2
1
1
[impossibile]
=
−1
x
x+1
x
x+2
[0, 6]
=
+1
2
x−2
3
1 1
[−2, −1]
− + =0
x−1 x 2
4x − 3
3x
4
4x
[1, 5]
−
=
−
2−x 2+x
x2 − 4 x − 2
3x + 2
3−x
3
[−19, 2]
−
=−
x+2
2x2 − 2x − 12 4x − 12
1
2x + 1
x
−1, −
=
x
2x + 1
3
9.
10.
x−4
x−1
4 − 2x
+
+
=0
x − 2 x2 − 5x + 6
x−3
1
2+x
x−1
+
+
=0
x
x + 1 x2 + x
[−1]
[impossibile]
5
2x
6x2 − 10
11.
+
= 2
x+1 x−2
x −x−2
7
0,
4
1
− ,3
3
12.
x+1
3x
x2 + 2x
−
= 2
x−2 x+3
x +x−6
13.
1
3
2 − 2x
−
=
x x2
x3
[−1, 2]
14.
x+3
= x+3
x+1
[−3, 0]
15.
1
4x − 9
2x + 1
+
= 2
x+3
x−4
x − x − 12
[1]
Esercizio 85. Scomponi in fattori i seguenti trinomi di secondo grado.
1. 2x2 − 7x − 4
[(x − 4)(2x + 1)]
2. 4x2 + 4x − 15
[(2x − 3)(2x + 5)]
3. 4x2 − 9x + 2
[(x − 2)(4x − 1)]
4. 3x2 + 5x − 2
[(x + 2)(3x − 1)]
5. 4x2 − 24x + 20
[4(x − 5)(x − 1)]
6. 3x2 + 2x − 1
[(3x − 1)(x + 1)]
Esercizio 86. Indica la risposta corretta.
1. L’equazione 25x2 + 1 = 0 ha per soluzioni:
1
A x = ±5
B x=±
C x=4 ∨ x=1
5
D
2. L’equazione 16x2 + x = 0 ha per soluzioni:
1
1
C x=− ∨ x=0
A x=4 ∨ x=1 B x=±
4
16
3. L’equazione 4x2 − 9x = 0 ha per soluzioni:
3
9
3
A x=±
B x=±
C x= ∨ x=0
2
4
2
4. L’equazione 9x2 + 6x + 1 = 0 ha per soluzioni:
1
1
A x = ±3
B x=±
C x=−
3
3
D
5. L’equazione x2 − 6x + 36 = 0 ha per soluzioni:
√
B x=± 6
C x=6
A x = ±6
D
è impossibile
D
D
è impossibile
x=
9
∨ x=0
4
è impossibile
è impossibile
6. Quale di queste equazioni ammette l’unica soluzione x = 3?
A
2x2 − 12x + 18 = 0
B
9 − x2 = 0
C
x2 + 6x + 9 = 0
D
3x2 + 9x = 0
7. Il polinomio x2 + 5x + 6 può essere scomposto in:
A (x + 2)(x − 3)
B (x + 5)(x + 1)
C (x − 2)(x − 3)
D nessuna delle precedenti
[D, C, D, C, D, A, D]
3
PA R A B O L A
Definizione 6. Una parabola è l’insieme dei punti (x, y) del piano cartesiano che
soddisfano l’equazione:
y = ax2 + bx + c
dove a, b e c sono tre numeri reali, con a 6= 0.
Esercizio 87. Rappresenta per punti la parabola y = x2 .
y
9
8
7
6
x
5
4
3
2
1
x
−3 −2 −1
V
1
(a) Grafico.
2
−3
−2
−1
0
1
2
3
y = x2
(−3)2 = 9
(−2)2 = 4
(−1)2 = 1
02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
3
(b) Alcuni valori.
Figura 25: La parabola y = x2 disegnata per punti
Soluzione. La figura 25 rappresenta il grafico per punti della parabola.
Esercizio 88. Rappresenta per punti la parabola y = −x2 + 4x − 3.
Soluzione. La figura 26 rappresenta il grafico per punti della parabola.
La parabola è una curva che ha le seguenti proprietà:
• è simmetrica rispetto a una retta verticale, detta asse della parabola, che interseca la
parabola in un punto V detto vertice;
• “si allarga indefinitamente”, nel senso che qualunque retta parallela all’asse di simmetria la interseca in uno e uno solo punto;
47
48
parabola
y
V
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
x
−4
−1
0
1
2
3
4
5
−5
−6
−7
−8
−9
(a) Grafico.
y = −x2 + 4x − 3
−(−1)2 + 4 · (−1) − 3 = −8
−02 + 4 · 0 − 3 − 3
−12 + 4 · 1 − 3 = 0
−22 + 4 · 2 − 3 = 1
−32 + 4 · 3 − 3 = 0
−42 + 4 · 4 − 3 = −3
−52 + 4 · 5 − 3 = −8
(b) Alcuni valori.
Figura 26: La parabola y = −x2 + 4x − 3 disegnata per punti
• volge la concavità sempre dalla stessa parte.
Il coefficiente a determina la concavità della parabola:
• se a > 0 la parabola volge la concavità verso l’alto (figura 25);
• se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso (figura 26).
Per una parabola che volge la concavità verso l’alto, il vertice V è il punto più basso del
grafico (figura 25). Viceversa, per una parabola che volge la concavità verso il basso, il
vertice V è il punto più alto del grafico (figura 26).
Se provi a disegnare il grafico di alcune parabole di equazione y = ax2 con diversi valori
di a, ti accorgerai che l’ampiezza delle parabole diminuisce quando a cresce in modulo
(figura 27).
Diversi fenomeni naturali sono legati alla parabola. La figura 29 ne riporta alcuni.
3.1
appartenenza di un punto a una parabola
Data una parabola e un punto P del piano cartesiano ci si può chiedere se P appartiene
o no alla parabola: il punto P appartiene alla parabola se le sue coordinate ne verificano
l’equazione, mentre non appartiene alla parabola se le sue coordinate non ne verificano
l’equazione.
Esercizio 89. Data la parabola y = x2 , stabilisci se i punti P = (2, 4) e Q = (3, 4)
appartengono o no alla parabola.
Soluzione.
• Sostituendo le coordinate del punto P nell’equazione della parabola otteniamo:
4 = 22
3.1 appartenenza di un punto a una parabola
4
y
y = 4x2
y = x2
3
y = 14 x2
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
y = − 41 x2
−2
−3
−4
y = −x2
y = −4x2
Figura 27: Parabole di equazione y = ax2 : l’ampiezza delle parabole diminuisce quando a cresce
in modulo
che è vero. Dunque P appartiene alla parabola.
• Sostituendo le coordinate del punto Q nell’equazione della parabola otteniamo:
4 = 32 = 9
che è falso. Dunque Q non appartiene alla parabola.
Vedi la figura 28.
y
9
8
7
6
5
4
Q
P
3
2
1
x
−3 −2 −1
1
2
3
Figura 28: Appartenenza di un punto a una parabola
49
50
parabola
(a) Fontana d’acqua zampillante
(b) Palla lanciata da un giocatore
(c) Pallina da tennis che rimbalza
(d) Particelle luminose dei fuochi d’artificio
(e) Un’antenna parabolica riflette la radiazione che la raggiunge in un unico punto,
detto fuoco
(f) Formazione di una superficie parabolica su un
fluido in rotazione
Figura 29: Parabole in natura
3.2 disegno di parabole
3.2
disegno di parabole
Per disegnare una parabola conviene procedere nel modo seguente:
• si trovano le intersezioni della parabola con gli assi cartesiani;
• si trovano le coordinate del vertice V = (xV , yV ), dove xV è dato dalla formula
xV = −
b
2a
e yV si ottiene sostituendo il valore di xV ottenuto nell’equazione della parabola;
• si individuano graficamente i punti simmetrici, rispetto all’asse della parabola, di
quelli precedentemente trovati;
• si riportano i punti trovati nel piano cartesiano e si collegano con una curva continua.
Esercizio 90. Disegna la parabola y = x2 − 4x + 3.
Soluzione.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y. Facciamo il sistema fra
l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = x2 − 4x + 3
x=0
Sostituendo alla x nella prima equazione il valore 0 troviamo:
y = 02 − 4 · 0 + 3
x=0
=⇒
y=3
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto (0, 3).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x. Facciamo il sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = x2 − 4x + 3
y=0
da cui
x2 − 4x + 3 = 0
che ha per soluzioni:
x=
−(−4) ±
p
√
√
(−4)2 − 4 · 1 · 3
4 ± 16 − 12
4± 4
4±2
=
=
=
2·1
2
2
2
da cui
4−2
2
4+2
6
= =1 ∨ x=
= =3
2
2
2
2
Quindi la parabola interseca l’asse x nei punti (1, 0) e (3, 0).
x=
51
52
parabola
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
V
Figura 30: La parabola y = x2 − 4x + 3
• Troviamo le coordinate del vertice V tenendo conto che:
a=1
b = −4
c=3
Calcoliamo l’ascissa del vertice usando la relativa formula:
xV = −
b
−4
−4
=−
=−
=2
2a
2·1
2
Calcoliamo l’ordinata del vertice sostituendo il valore trovato nell’equazione della
parabola.
yV = 22 − 4 · 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
Quindi il vertice ha coordinate:
V = (2, −1)
• Il simmetrico del punto (0, 3) rispetto all’asse della parabola è il punto (4, 3).
La figura 30 mostra il grafico della parabola. Una parabola come questa, che interseca
l’asse x in due punti distinti, è detta secante l’asse x.
Esercizio 91. Disegna la parabola y = x2 − 6x + 9.
Soluzione.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y. Facciamo il sistema fra
l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = x2 − 6x + 9
x=0
3.2 disegno di parabole
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
V
−1
1
2
3
x
4
5
6
Figura 31: La parabola y = x2 − 6x + 9
Sostituendo alla x nella prima equazione il valore 0 troviamo:
y = 02 − 6 · 0 + 9
y=9
=⇒
x=0
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto (0, 9).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x. Facciamo il sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = x2 − 6x + 9
y=0
da cui
x2 − 6x + 9 = 0
(x − 3)2 = 0
=⇒
=⇒
x−3 = 0
=⇒
x=3
Quindi la parabola interseca l’asse x nel punto (3, 0).
• Troviamo le coordinate del vertice V tenendo conto che:
a=1
b = −6
c=9
Calcoliamo l’ascissa del vertice usando la relativa formula:
xV = −
b
−6
−6
=−
=−
=3
2a
2·1
2
Calcoliamo l’ordinata del vertice sostituendo il valore trovato nell’equazione della
parabola.
yV = 32 − 6 · 3 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0
Quindi il vertice ha coordinate:
V = (3, 0)
53
54
parabola
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−2 −1
V
1
x
2
3
4
Figura 32: La parabola y = x2 − 2x + 2
• Il simmetrico del punto (0, 9) rispetto all’asse della parabola è il punto (6, 9).
La figura 31 mostra il grafico della parabola. Una parabola come questa, che interseca
l’asse x in un solo punto, è detta tangente l’asse x.
Esercizio 92. Disegna la parabola y = x2 − 2x + 2.
Soluzione.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y. Facciamo il sistema fra
l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = x2 − 2x + 2
x=0
Sostituendo alla x nella prima equazione il valore 0 troviamo:
y = 02 − 2 · 0 + 2
y=2
=⇒
x=0
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto (0, 2).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x. Facciamo il sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = x2 − 2x + 2
y=0
da cui
p
√
√
(−2)2 − 4 · 1 · 2
2± 4−8
2 ± −4
x=
=
=
2·1
2
2
che è impossibile. Quindi la parabola non interseca mai l’asse x.
−(−2) ±
3.2 disegno di parabole
y
10
9
8
7
6
x
5
4
3
2
1
x
−2 −1
1
2
3
y = x2 − 2x + 2
−2
−1
0
1
2
3
4
10
5
2
1
2
5
10
4
(a) Grafico.
(b) Alcuni valori.
Figura 33: La parabola y = x2 − 2x + 2 disegnata per punti
• Troviamo le coordinate del vertice V tenendo conto che:
a=1
b = −2
c=2
Calcoliamo l’ascissa del vertice usando la relativa formula:
xV = −
b
−2
−2
=−
=−
=1
2a
2·1
2
Calcoliamo l’ordinata del vertice sostituendo il valore trovato nell’equazione della
parabola.
yV = 1 2 − 2 · 1 + 2 = 1 − 2 + 2 = 1
Quindi il vertice ha coordinate:
V = (1, 1)
• Il simmetrico del punto (0, 2) rispetto all’asse della parabola è il punto (2, 2).
La figura 32 mostra il grafico della parabola. Una parabola come questa, che interseca
l’asse x in un solo punto, è detta esterna all’asse x.
Nota che di solito basta il vertice e un altro punto per disegnare la parabola. Tuttavia,
se ne hai bisogno, puoi trovare altri punti per cui passa la parabola assegnando un valore
a scelta a x e calcolando il valore corrispondente di y. La figura 33 mostra la parabola
precedente disegnata per punti.
55
56
parabola
y
5
V
4
3
2
1
x
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
Figura 34: La parabola y = −x2 + 4x
Esercizio 93. Disegna la parabola y = −x2 + 4x.
Soluzione.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y. Facciamo il sistema fra
l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = −x2 + 4x
x=0
Sostituendo alla x nella prima equazione il valore 0 troviamo:
y = 02 + 4 · 0
y=0
=⇒
x=0
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nell’origine.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x. Facciamo il sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = −x2 + 4x
y=0
da cui
−x2 + 4x = 0
=⇒
x(−x + 4) = 0
che ha per soluzioni:
x=0
∨
−x + 4 = 0
=⇒
x=4
Quindi la parabola interseca l’asse x nell’origine e nel punto (4, 0).
3.3 intersezioni tra retta e parabola
• Troviamo le coordinate del vertice V tenendo conto che:
a = −1
b=4
c=0
Calcoliamo l’ascissa del vertice usando la relativa formula:
xV = −
b
4
4
=−
=−
=2
2a
2 · (−1)
−2
Calcoliamo l’ordinata del vertice sostituendo il valore trovato nell’equazione della
parabola.
yV = −22 + 4 · 2 = −4 + 8 = 4
Quindi il vertice ha coordinate:
V = (2, 4)
La figura 34 mostra il grafico della parabola.
3.3
intersezioni tra retta e parabola
Le eventuali intersezioni tra una parabola e una retta possono essere determinate risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni. Nel caso di retta non parallela all’asse y:
y = ax2 + bx + c
y = mx + q
Il sistema è di secondo grado e può avere:
• due soluzioni distinte: in questo caso la retta è secante la parabola;
• una sola soluzione: la retta è tangente alla parabola;
• nessuna soluzione: la retta è esterna alla parabola, ovvero non la incontra.
Nel caso particolare in cui la retta sia parallela all’asse y, cioè all’asse di simmetria della
parabola, c’è sempre un solo punto di intersezione. Infatti il sistema
y = ax2 + bx + c
x=k
ha sempre una unica soluzione.
Esercizio 94. Trova i punti di intersezione tra la parabola di equazione y = x2 − 4x +
3 e la retta di equazione y = x − 1.
Soluzione. Risolviamo il sistema
y = x2 − 4x + 3
y = x−1
Uguagliando i secondi membri delle due equazioni si ha:
x2 − 4x + 3 = x − 1
57
58
parabola
y
y
y
x
x
(a) Retta secante
(b) Retta tangente
x
(c) Retta esterna
Figura 35: Intersezioni tra retta e parabola
da cui
x2 − 5x + 4 = 0
=⇒
(x − 1)(x − 4) = 0
da cui
x=1
∨
x=4
Sostituendo i valori trovati alla x nella seconda equazione del sistema otteniamo
y = 12 − 4 · 1 + 3 = 1 − 4 + 3 = 0
∨
y = 42 − 4 · 4 + 3 = 16 − 16 + 3 = 3
Quindi le soluzioni del sistema sono (1, 0) e (4, 3). Poiché il sistema ha due soluzioni, la
parabola e la retta sono secanti e i loro punti di incontro sono (1, 0) e (3, 4) (figura 35a).
Esercizio 95. Trova i punti di intersezione tra la parabola di equazione y = x2 − 4x +
3 e la retta di equazione y = 2x − 6.
Soluzione. Risolviamo il sistema
y = x2 − 4x + 3
y = 2x − 6
Uguagliando i secondi membri delle due equazioni si ha:
x2 − 4x + 3 = 2x − 6
da cui
x2 − 6x + 9 = 0
=⇒
(x − 3)2 = 0
=⇒
x−3 = 0
=⇒
x=3
Sostituendo il valore trovato alla x nella seconda equazione del sistema otteniamo
y = 2·3−6 = 6−6 = 0
Quindi la soluzione del sistema è (3, 0). La retta è tangente alla parabola (figura 35b) e il
loro punto di incontro è (3, 0).
3.4 esercizi
Esercizio 96. Trova i punti di intersezione tra la parabola di equazione y = x2 − 4x +
3 e la retta di equazione y = 2x − 8.
Soluzione. Risolviamo il sistema
y = x2 − 4x + 3
y = 2x − 8
Uguagliando i secondi membri delle due equazioni si ha:
x2 − 4x + 3 = 2x − 8
ovvero
x2 − 6x + 11 = 0
da cui
p
√
√
(−6)2 − 4 · 1 · 11
6 ± 36 − 44
4 ± −8
x=
=
=
2·1
2
2
che è impossibile, per cui il sistema non ha soluzioni. Perciò La retta è esterna alla parabola
(figura 35c) e il loro punto di incontro è (3, 0).
−(−6) ±
3.4
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 97. Traccia il grafico delle parabole aventi le seguenti equazioni.
1. y = −2x2
14. y = x2 − x + 1
2. y = 3x2
15. y = −3x2 + 3
1
3. y = − x2
3
1
4. y = − x2
4
16. y = x2 + 4x + 3
5. y = x2 + x − 2
19. y = x2 − 5x + 6
6. y = x2 − 4x + 4
20. y = x2 − 3x − 4
7. y = x2 − 2x + 5
21. y = x2 − 6x + 5
8. y = y = x2 − 2x − 3
22. y = 6x2 + x − 2
9. y = x2 + x − 2
10. y = x2 − 2x + 7
11. y = −3x2 + x
12. y =
1 2
3
x − 2x +
2
2
13. y = x2 + x − 1
17. y = x2 + 5
18. y = 2x2 + 3x − 1
23. y = 15x2 + x − 6
24. y = −x2 + 1
1
4
1
26. y = x2 +
4
25. y = x2 −
27. y = x2 + 2x
59
60
parabola
28. y = x2 + 2x + 1
36. y = x2 + 4x + 4
29. y = x2 + x + 1
37. y = x2 − x + 1
30. y = 9 − 4x2
31. y =
38. y = x2 −
3x − 2x2
1
9
32. y = 2x2 + 4
39. y = 9x2 + 3x − 2
33. y = x2 − x − 2
40. y = 2x2 + 5
34. y = x2 + 11x + 30
41. y = 4x − x2
35. y = −x2 + 4x + 3
42. y = 2x2 − 11x − 6
Esercizio 98. Vero o falso?
1. La parabola di equazione y = −x2 + 2x passa per l’origine
V
F
2. La parabola di equazione y = x2 − 4 passa per l’origine
V
F
3. L’asse della parabola di equazione y = −2x2 + 1 è l’asse y
√
4. La parabola di equazione ( 3 − 2)x2 + 1 ha la concavità verso l’alto
V
F
V
F
Esercizio 99. Associa a ciascuna delle seguenti parabole la relativa equazione
1. y = −x2 + 4x − 1
4. y = −x2 + 4
2. y = x2 − 4
5. y = x2 + 4x − 1
3. y = −x2 + 4x − 1
6. y = −x2 − 4x − 1
y
x
y
x
x
(b)
(a)
(c)
y
y
x
(d)
y
y
x
x
(e)
(f)
Figura 36
Esercizio 100. La figura seguente riporta i grafici di tre parabole di equazione y = f(x), y = g(x)
e y = h(x). Deduci, dai grafici, le eventuali soluzioni delle tre equazioni.
3.4 esercizi
1. f(x) = 0
2. g(x) = 0
3. h(x) = 0
y
y
y = f(x)
y
y = f(x)
x
x
-3
y = f(x)
2
x
3
(a) f(x) = 0
(b) g(x) = 0
(c) h(x) = 0
Figura 37
Esercizio 101. Per ciascuna delle seguenti parabole, di equazione y = ax2 + bx + c, poni una
crocetta sulle caselle che esprimono il segno dei coefficienti a, b e c.
y
y
y
x
a > 0
(a) b > 0
c > 0
a = 0
b = 0
c = 0
a<0
b<0
c<0
x
a > 0
(b) b > 0
c > 0
a = 0
b = 0
c = 0
x
a > 0
(c) b > 0
c > 0
a<0
b<0
c<0
a = 0
b = 0
c = 0
a<0
b<0
c<0
Figura 38
Esercizio 102. Verifica analiticamente e graficamente che le rette
1. r : y = 2x − 3
2. r : y = 2x + 1
3. r : y = 3x − 4
sono rispettivamente esterna, secante e tangente rispetto alla parabola y = x2 − 3x + 5.
Esercizio 103. Determina analiticamente e graficamente la posizione retta r e la parabola P nei
seguenti casi:
x
10
1
2
x+
3
3
P : y = 4x2 + 5x
4.
r: y =
r : y = −7x + 4
P : y = x2 − 9x + 5
5.
r : y = −x − 7
r : y = 5x
P : y = −x2 − 10
6.
r: x =
1.
r: y =
2.
3.
1
2
P: y =
1 2
x −x+2
3
P : y = −2x2 + 3x + 1
P : y = 3x2 − 12x + 10
Esercizio 104. La figura seguente riporta i grafici delle quattro parabole di equazione:
61
62
parabola
1. y = −2x2 + 4x
2. y = 2x2 − 4x
3. y = 2x2 + 4x
4. y = −2x2 − 4x
Associa a ciascun grafico la sua equazione.
y
x
Esercizio 105.
1. Risolvi l’equazione x2 − 4x = −x2 + 2x.
2. Traccia i grafici delle due parabole di equazioni y = x2 − 4x e y = −x2 + 2x.
3. Interpreta graficamente l’equazione risolta algebricamente al punto 1.
4
M A T E M A T I C A P E R L’ E C O N O M I A
Questo capitolo presenta due applicazioni della matematica in ambito economico: la
risoluzione dei problemi di scelta e dei problemi di costi e ricavo.
4.1
problemi di scelta
Questo paragrafo affronta i problemi di scelta: si chiamano così i problemi in cui viene
chiesto di operare, fra varie alternative, la scelta più conveniente (secondo un determinato
criterio, che può essere per esempio quello di massimizzare un profitto o minimizzare una
spesa).
Esercizio 106. A un promotore di polizze assicurative vengono proposti due tipi di
stipendio:
• contratto A: 1000 euro al mese più un compenso di 50 euro per ogni polizza
stipulata;
• contratto B: 500 euro al mese più un compenso di 100 euro per ogni polizza
stipulata.
Determina, in dipendenza del numero di polizze stipulate, il contratto più
conveniente.
Soluzione. Familiarizziamoci con il problema. È evidente che non potrà esserci una scelta
più conveniente “in assoluto”: la maggiore o minore convenienza di un contratto dipendono infatti dal numero di polizze che l’assicuratore stipulerà in un mese. Ci proponiamo
perciò di determinare qual è la scelta più conveniente in relazione al numero di polizze
stipulate.
Costruiamo il modello matematico del problema. Indichiamo con x il numero (intero > 0) di polizze stipulate e con y il corrispondente stipendio in euro. Allora:
• lo stipendio relativo al contratto A è espresso dalla funzione y = 50x + 1000;
• lo stipendio relativo al contratto B è espresso dalla funzione y = 100x + 500.
Tracciando i grafici delle due funzioni e confrontandoli, potremo stabilire qual è la scelta
più conveniente.
Poiché le due funzioni sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per comodità tracciamo
queste due rette come se x fosse una variabile reale (anche se i punti delle rette che rappresentano il problema sono in realtà solo quelli a coordinate intere, dal momento che il
dominio di x è costituito dall’insieme degli interi > 0). La figura 39 riposta le rette grafico
delle due funzioni, in un opportuno sistema di riferimento cartesiano.
63
64
matematica per l’economia
y
B: y = 100x + 500
A: y = 50x + 1000
P
1500
1000
500
x
10
Figura 39: La linea di “massimo stipendio” è evidenziata con maggiore spessore, in giallo
Per risolvere il problema determiniamo le coordinate del punto d’intersezione P delle
rette che abbiamo tracciato in figura. A tal fine risolviamo il seguente sistema:
y = 100x + 500
y = 50x + 1000
da cui
100x + 500 = 50x + 1000
y = 50x + 1000
=⇒
50x = 500
y = 50x + 1000
=⇒
x = 10
y = 1500
Pertanto il punto di intersezione è P(10, 1500).
La linea di “massimo stipendio” è evidenziata in figura con maggiore spessore, in giallo:
essa è costituita per x < 10 dalla retta blu (corrispondente al contratto A) e per x > 10 dalla
retta rossa (corrispondente al contratto B). In conclusione, possiamo affermare che:
• per un numero di polizze inferiore a 10 conviene il contratto A;
• per un numero di polizze superiore a 10 conviene il contratto B;
• per esattamente 10 polizze è indifferente il contratto A o B.
Esercizio 107. Paolo vuole frequentare una palestra per un mese e si trova a dover
scegliere tra le seguenti tre possibilità:
• la palestra A richiede un costo fisso di iscrizione di 15 euro, più 7 euro per
ogni ingresso;
4.1 problemi di scelta
y
A: y = 7x + 15
B: y = 5x + 25
Q
R
85
C: y = 85
P
50
x
5
10
12
Figura 40: La linea di “minimo costo” è evidenziata con maggiore spessore, in giallo
• la palestra B richiede un costo fisso di iscrizione di 25 euro, più 5 euro per ogni
ingresso;
• la palestra C richiede un abbonamento mensile di 85 euro, senza limiti di
ingresso.
Qual è la scelta più conveniente per Paolo?
Soluzione. Indichiamo con x il numero di ingressi alla palestra che Paolo intende effettuare
in un mese e con y la corrispondente spesa in euro: x potrà variare nell’insieme dei numeri
interi compresi tra 0 e 30. Abbiamo che:
• la spesa per frequentare la palestra A è espressa dalla funzione y = 7x + 15;
• la spesa per frequentare la palestra B è espressa dalla funzione y = 5x + 25;
• la spesa per frequentare la palestra C è espressa dalla funzione y = 85.
Tracciando i grafici delle tre funzioni e confrontandoli, potremo stabilire qual è la scelta
più conveniente.
Poiché le tre funzioni sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Come al solito, per
comodità tracciamo queste tre rette come se x fosse una variabile reale (anche se i punti
delle rette che rappresentano il problema sono in realtà solo quelli a coordinate intere, dal
momento che il dominio di x è costituito dai numeri interi compresi tra 0 e 30). La figura 40
riporta le rette grafico delle tre funzioni, in un opportuno sistema di riferimento cartesiano.
65
66
matematica per l’economia
Per risolvere il problema determiniamo le coordinate dei punti d’intersezione P, Q e R
delle rette che abbiamo tracciato in figura. A tal fine risolviamo i seguenti sistemi:
y = 7x + 15
y = 5x + 25
=⇒
7x + 15 = 5x + 25
y = 5x + 25
y = 7x + 15
y = 85
y = 5x + 25
y = 85
=⇒
=⇒
=⇒
7x + 15 = 85
y = 85
5x + 25 = 85
y = 85
x=5
y = 5x + 25
=⇒
=⇒
=⇒
x=5
y = 50
x = 10
y = 85
x = 12
y = 85
Pertanto i punti di intersezione sono P(5, 50), Q(10, 85) e R(12, 85).
La linea di “minimo costo” è quella evidenziata in figura con maggiore spessore, in giallo:
essa è costituita per x < 5 dalla retta rossa (corrispondente alla palestra A), per 5 < x < 12
dalla retta blu (corrispondente alla palestra B) e per x > 12 dalla retta verde (corrispondente
alla palestra C). In conclusione, possiamo affermare che:
• per un numero di ingressi inferiore a 5 conviene scegliere la palestra A;
• per un numero di ingressi compreso tra 5 e 12 conviene scegliere la palestra B;
• per un numero di ingressi superiore a 12 conviene scegliere la palestra C;
• per esattamente 5 ingressi e indifferente scegliere la palestra A o la B;
• per esattamente 12 ingressi è indifferente scegliere la palestra B o la C.
4.2
problemi di costi e ricavo
Questo paragrafo affronta i problemi di ottimizzazione, in cui bisogna trovare la soluzione
ottimale in base a un dato criterio (massimizzare un profitto o minimizzare un costo, per
esempio), determinando il massimo o il minimo di una opportuna funzione.
4.2.1 Costi
Ogni bene prodotto ha un costo che deriva dalla combinazione di molti fattori: il costo
delle materie prime, della manodopera, dei macchinari, eccetera. I costi si suddividono in
due categorie.
Definizione 7. I costi fissi (CF ) sono quelli che non variano al variare della quantità
prodotta o acquistata. I costi variabili (CV ) sono, invece, quei costi che variano al
variare della quantità acquistata.
Esempi di costi fissi sono le spese per l’affitto dei locali, lo stipendio dei dipendenti e le
spese di assicurazione. Esempi di costi variabili sono le spese per l’acquisto delle materie
prime, per la manutenzione degli impianti e per il consumo energetico.
4.2 problemi di costi e ricavo
Definizione 8. Il costo totale (CT ) è la somma dei costi fissi e dei costi variabili:
CT = CF + CV
4.2.2 Ricavo
Definizione 9. Il ricavo (R) è costituito dal denaro che si trae dalla vendita di un
prodotto. Il ricavo è dato dalla formula
R = p·x
dove p indica il prezzo di vendita di un singolo oggetto e x il il numero di oggetti
venduti.
4.2.3 Profitto
La finalità di ogni azienda è quella di ottenere un profitto dalla vendita dei propri beni
prodotti.
Definizione 10. Per profitto (o guadagno) si intende l’utile realizzato dall’azienda. Il
profitto è espresso dalla formula
P = R − CT
e quindi si calcola sottraendo il costo totale dal ricavo.
4.2.4 Punto di pareggio (break even point)
Si può rappresentare graficamente l’andamento del profitto in funzione della quantità di
beni venduti, oppure si possono rappresentare in uno stesso piano cartesiano l’andamento
dei costi e del ricavo; quest’ultimo diagramma prende il nome di diagramma di redditività. In questi grafici si possono individuare alcuni elementi essenziali per l’analisi della
produzione:
• la zona di perdita, in cui i ricavi sono minori dei costi;
• la zona di utile, in cui i costi sono minori dei ricavi;
• il punto di pareggio (break even point, in inglese), che divide la zona di perdita dalla
zona di guadagno, e che corrisponde al valore della quantità di beni venduti per cui
costo totale e ricavo si equivalgono.
Esempi
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68
matematica per l’economia
Esercizio 108. Un commerciante acquista olio d’oliva al costo di 7 euro al litro e lo
rivende a 12 euro al litro. Per il trasporto sostiene costi fissi giornalieri di 6 euro.
Descrivi l’andamento del profitto giornaliero in funzione dei litri d’olio venduti.
Soluzione.
• Indichiamo con x i litri d’olio venduti. Non ci sono vincoli tecnici: il commerciante
può vendere tutto l’olio che i suoi clienti gli chiedono. L’unico vincolo cui è soggetto x
è il “vincolo di segno”:
x>0
• I costi fissi (indipendenti dal numero di litri venduti) sono di 6 euro al giorno:
CF = 6
• I costi variabili sono di 7 euro al litro per il numero x di litri venduti:
CV = 7x
• Il costo totale è la somma dei costi fissi e dei costi variabili:
CT = 7x + 60
• Il ricavo è di 12 euro al litro per il numero x di litri venduti:
R = 12x
• Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale:
P = R − CT = 12x − (7x + 60) = 5x − 60
Poiché tutte le funzioni in gioco sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per tracciare
il grafico della funzione profitto determiniamo le coordinate del punto d’intersezione del
grafico con l’asse x. A tal fine risolviamo il seguente sistema:
y = 5x − 60
y=0
da cui
5x − 60 = 0
y=0
=⇒
5x = 60
y=0
=⇒
x = 12
y=0
Pertanto il punto di intersezione è (12, 0).
La figura 41a rappresenta il grafico della funzione profitto. Abbiamo che:
• per quantitativi di olio venduto inferiori a 12 litri, cioè per 0 6 x < 12, il commerciante è in perdita in quanto per tali valori la funzione profitto è negativa;
• per x = 12 il commerciante non ha né utile né perdita, infatti l’ordinata è y = 0 (punto
di pareggio o break even point, indicato con BEP)
• per tutti i valori superiori a 12 il commerciante ha un profitto positivo: quanto più
grande è x > 12, tanto più grande è il profitto.
4.2 problemi di costi e ricavo
y
P
BEP
Zona di perdita
Zona di utile
x
12
−60
(a) Grafico del profitto
y
R
Zona di utile
CT
BEP
144
CV
Zona di perdita
60
CF
x
12
(b) Diagramma di redditività
Figura 41: Un problema di ottimizzazione; x rappresenta il numero di litri d’olio d’oliva venduti;
non ci sono vincoli tecnici
69
70
matematica per l’economia
In alternativa, il problema può essere risolto costruendo il diagramma di redditività. La
figura 41b rappresenta le rette grafico delle funzioni CF , CV , CT ed R. Per trovare il break
even point troviamo il punto di intersezione tra la funzione che rappresenta il costo totale e
la funzione che rappresenta il ricavo, risolvendo il sistema:
y = 7x + 60
y = 12x
da cui
12x = 7x + 60
y = 12x
=⇒
5x = 60
y = 12
=⇒
x = 12
y = 144
Il break even point si ha dunque per x = 12. Pertanto:
• se 0 6 x < 12 il commerciante è in perdita;
• se x = 12 il commerciante non ha né profitto né perdita;
• se x > 12 il commerciante ha un profitto positivo.
Le conclusioni coincidono con quelle trovate in precedenza.
Esercizio 109. Consideriamo il problema precedente, aggiungendo la condizione
che il commerciante può trasportare al massimo 20 litri d’olio al giorno. Quanti litri
d’olio deve vendere per avere il massimo profitto? A quanto corrisponde il massimo
profitto? A quanti litri venduti si ha il punto di pareggio?
Soluzione. L’unica differenza rispetto all’esercizio precedente è la presenza del vincolo tecnico x 6 20. Determiniamo il punto di intersezione del grafico della funzione profitto con
la retta x = 20.
y = 5x − 60
x = 20
da cui
y = 5 · 20 − 60
x=0
=⇒
y = 40
y=0
Pertanto il punto di intersezione è (20, 40).
La figura 42a rappresenta il grafico della funzione profitto. Abbiamo che:
• per quantitativi di olio venduto inferiori a 12 litri, cioè per 0 6 x < 12, il commerciante è in perdita;
• per x = 12 il commerciante non ha né utile né perdita (break even point);
• per tutti i valori superiori a 12 fino al massimo trasportabile 20, cioè per 12 < x 6 20,
il commerciante ha un profitto positivo;
• il profitto è crescente e raggiunge il massimo, pari a 40 euro, in corrispondenza della
quantità d’olio massima trasportabile, cioè per x = 20.
In alternativa, il problema può essere risolto costruendo il diagramma di redditività. La
figura 42b rappresenta le rette grafico delle funzioni CF , CV , CT ed R. Il massimo profitto
si ha quando la differenza tra ricavo e costo è massima, ovvero per x = 20, per cui
R(20) − P(20) = 12 · 20 − (7 · 20 + 60) = 240 − 200 = 40
e lanalisi economica coincide con quella fatta in precedenza.
4.2 problemi di costi e ricavo
y
P
40
BEP
Zona di perdita
Zona di utile
x
12
20
−60
(a) Grafico del profitto
y
R
240
Zona di utile
40
200
CT
BEP
144
Zona di perdita
CV
60
CF
x
12
20
(b) Diagramma di redditività
Figura 42: Un problema di ottimizzazione; la x rappresenta il numero di litri d’olio d’oliva venduti;
c’è il vincolo tecnico x 6 20
71
72
matematica per l’economia
Esercizio 110. Un lattaio acquista il latte sfuso a 0.6 euro al litro e lo rivende a 1.4 euro al litro. Ogni giorno spende 10 euro di trasporto e il recipiente in cui tiene il latte
ha capienza massima di 30 litri. I litri invenduti non rappresentano un costo perché
il lattaio può renderli al suo fornitore. Quanti litri di latte deve vendere per avere
il massimo guadagno? A quanto corrisponde il massimo guadagno? A quanti litri
venduti si verifica il punto di pareggio?
Soluzione.
• Indichiamo con x i litri venduti. Acquistando e vendendo il latte sfuso, x può non essere intero. Oltre al vincolo di segno x > 0 c’è il vincolo tecnico dovuto alla capienza
del recipiente, pari a 30 litri. pertanto
0 6 x 6 30
• I costi fissi (indipendenti dal numero di litri venduti) sono di 10 euro al giorno:
CF = 10
• I costi variabili sono di 0.6 euro al litro per il numero x di litri venduti:
CV = 0.6x
• Il costo totale è la somma dei costi fissi e dei costi variabili:
CT = 0.6x + 10
• Il ricavo è di 1.4 euro al litro per il numero x di litri venduti:
R = 1.4x
• Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale:
P = R − CT = 1.4x − (0.6x + 10) = 0.8x − 10
Poiché tutte le funzioni in gioco sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per tracciare
il grafico della funzione profitto determiniamo le coordinate del punto d’intersezione del
grafico con l’asse x. A tal fine risolviamo il seguente sistema:
y = 0.8x − 10
y=0
da cui
0.8x − 10 = 0
y=0
=⇒
0.8x = 10
y=0
=⇒
x = 12.5
y=0
Pertanto il punto di intersezione è (12.5, 0). Determiniamo inoltre il punto di intersezione
del grafico con la retta x = 30.
y = 0.8x − 10
x = 30
da cui
y = 0.8 · 30 − 10
y=0
=⇒
x = 14
y=0
Pertanto il punto di intersezione è (14, 0).
La figura 43a descrive il grafico della funzione profitto. Possiamo dire che il lattaio:
4.2 problemi di costi e ricavo
y
P
14
BEP
Zona di utile
x
12.5
30
Zona di perdita
−10
(a) Grafico del profitto
y
R
42
Zona di utile
14
28
CT
Zona di perdita
17.5
BEP
CV
10
CF
x
12.5
30
(b) Diagramma di redditività
Figura 43: Un problema di ottimizzazione: x rappresenta il numero di litri di latte venduti; c’è il
vincolo tecnico x 6 30
73
74
matematica per l’economia
• è in perdita se vende meno di 12.5 litri;
• è in pareggio se vende esattamente 12.5 litri (break even point);
• realizza un guadagno se vende più di 12.5 litri;
• realizza il massimo guadagno (14 euro) se vende tutti e 30 i litri di latte.
In alternativa, il problema può essere risolto costruendo il diagramma di redditività. La
figura 43b rappresenta le rette grafico delle funzioni CF , CV , CT ed R. Per trovare il break
even point troviamo il punto di intersezione tra la funzione che rappresenta il costo totale e
la funzione che rappresenta il ricavo, risolvendo il sistema:
da cui
1.4x = 0.6x + 10
y = 1.4x
y = 0.6x + 10
y = 1.4x
=⇒
0.8x = 10
y = 1.4x
=⇒
x = 12.5
y = 17.5
Il break even point si ha dunque per x = 12.5. Il massimo profitto si ha quando la differenza
tra ricavo e costo è massima, ovvero per x = 30, per cui
R(30) − P(30) = 1.4 · 30 − (0.6 · 30 + 10) = 42 − 28 = 14
e l’analisi economica coincide con quella fatta in precedenza.
Esercizio 111. Un’azienda agricola produce vino di pregio. Il costo di produzione
mensile comporta una spesa fissa di 5000 euro, cui vanno aggiunti 40 euro per ogni
bottiglia di vino prodotto. L’azienda sostiene inoltre delle spese di vendita, per ogni
bottiglia di vino venduto, di importo in euro pari al 10% delle bottiglie vendute.
Ogni bottiglia di vino viene venduta a 100 euro. Descrivi l’andamento del profitto
mensile in funzione delle bottiglie vendute.
Soluzione. Indichiamo con x il numero di bottiglie di vino vendute in un mese. L’unico
vincolo cui è soggetto x è il “vincolo di segno” (in alte parole, non ci sono vincoli tecnici):
x>0
Calcoliamo le spese di vendita. Poiché, per ogni bottiglia di vino venduta, le spese di
vendita sono di importo in euro pari al 10% delle bottiglie vendute, le spese di vendita
10
a bottiglia sono di 100
x euro. Per avere le spese di vendita totali, questa quantità va
moltiplicata per il numero di bottiglie vendute, per cui le spese di vendita totali sono
10
x · x = 0.1x2
100
La situazione è allora la seguente.
• I costi fissi (indipendenti dal numero x di bottiglie vendute) sono di 5000 euro al
mese:
CF = 5000
4.2 problemi di costi e ricavo
y
4000
Zona di utile
BEP
BEP
100
300
x
500
Zona di perdita
−5000
(a)
y
4000
Zona di utile
3000
BEP
BEP
100
300
400
x
500
Zona di perdita
−5000
(b)
y
4000
Zona di utile
3000
BEP
100
BEP
200
300
x
500
Zona di perdita
−5000
(c)
Figura 44: Un problema di ottimizzazione: x rappresenta il numero di bottiglie di vino vendute
75
76
matematica per l’economia
• I costi variabili sono di 40 euro per ogni bottiglia venduta più le spese di vendita:
CV = 40x + 0.1x2
• Il costo totale è la somma dei costi fissi e del costi variabili:
CT = CF + CV = 5000 + 40x + 0.1x2
• Io ricavo è di 100 euro per il numero x di bottiglie vendute:
R = 100x
• Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale:
P = R − CT
= 100x − (5000 + 40x + 0.1x2 )
= −0.1x2 + 60x − 5000
Quest’ultima è la funzione da massimizzare. Dal punto di vista della geometria analitica
il grafico della funzione è una parabola; inoltre, essendo il coefficiente di x2 negativo,
questa parabola ha la concavità rivolta verso il basso. Tracciamo il grafico della parabola.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y. Facciamo il sistema fra
l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = −0.1x2 + 60x − 5000
x=0
=⇒
y = −5000
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto (0, −5000).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x. Facciamo il sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = −0.1x2 + 60x − 5000
y=0
da cui
−0.1x2 + 60x − 5000 = 0
=⇒
0.1x2 − 60x + 5000 = 0
che ha per soluzioni:
x=
−(−60) ±
p
√
√
(−60)2 − 4 · 0.1 · 5000
60 ± 3600 − 2000
60 ± 1600
60 ± 40
=
=
=
2 · 0.1
0.2
0.2
0.2
da cui
x=
60 − 40
20
=
= 100
0.2
0.2
∨
x=
60 + 40
100
=
= 500
0.2
0.2
Quindi la parabola interseca l’asse x nei punti (200, 0) e (500, 0), ciascuno dei quali è
un punto di pareggio (break even point, indicato con BEP).
4.2 problemi di costi e ricavo
• Troviamo le coordinate del vertice V tenendo conto che:
a = −0.1
b = 60
c = −5000
Calcoliamo l’ascissa del vertice usando la relativa formula:
60
60
b
=−
=−
= 300
xV = −
2a
2 · (−0.1)
−0.2
Calcoliamo l’ordinata del vertice sostituendo il valore trovato nell’equazione della
parabola.
yV = −0.1(300)2 + 60 · 300 − 5000 = −9000 + 18 000 − 5000 = 4000
Quindi il vertice ha coordinate:
V = (300, 4000)
La figura 44a rappresenta la situazione. La funzione cresce fra 0 e 300; a 300 raggiunge il valore massimo (che corrisponde al massimo profitto per l’azienda) e poi decresce.
Possiamo quindi concludere che l’azienda:
• se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro;
• se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita;
• se vende 100 bottiglie, è in pareggio;
• se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 500, guadagna: in particolare,
realizza il massimo profitto vendendo 300 bottiglie, guadagnando 4000 euro;
• se vende 500 bottiglie, è in pareggio;
• se vende più di 500 bottiglie è in perdita.
Osserviamo che in questo caso alla ditta non conviene produrre più di 300 bottiglie.
Esercizio 112. Consideriamo il problema precedente, aggiungendo la condizione che
l’azienda non può produrre più di 400 bottiglie al mese.
Soluzione. L’unica differenza rispetto all’esercizio precedente è la presenza del vincolo tecnico x 6 400. La figura 44b evidenzia questo vincolo. Rispetto al caso precedente, la
situazione non cambia di molto. Infatti l’azienda:
• se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro;
• se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita;
• se vende 100 bottiglie, è in pareggio;
• se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 400, guadagna: in particolare,
realizza il massimo profitto vendendo 300 bottiglie, guadagnando 4000 euro.
• se vende 400 bottiglie (massimo valore di produzione), guadagna 3000 euro (valore
ottenuto sostituendo 400 alla x nell’equazione della parabola).
In questo caso l’analisi si ferma a 400 litri per la presenza del vincolo di produzione.
Notiamo però che questo vincolo non provoca grandi cambiamenti perché, come abbiamo
già osservato, alla ditta non conviene produrre più di 300 bottiglie di vino al mese.
77
78
matematica per l’economia
Esercizio 113. Consideriamo ancora il problema 111 dell’azienda vinicola, aggiungendo la condizione che l’azienda non può produrre più di 200 bottiglie al
mese.
Soluzione. La figura 44c evidenzia il nuovo vincolo tecnico x 6 200. In questo caso l’azienda:
• se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro;
• se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita;
• se vende 100 bottiglie, è in pareggio:
• se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 200, guadagna: in particolare,
realizza il massimo profitto vendendo 200 bottiglie, guadagnando 3000 euro (valore
ottenuto sostituendo 300 alla x nell’equazione della parabola).
Osserviamo che questa volta il vincolo tecnico cambia notevolmente l’analisi economica: infatti non potendo raggiungere una produzione di 300 bottiglie al mese, il massimo
profitto lo si ottiene producendo il maggior numero di bottiglie consentite.
4.3
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 114. Per il noleggio di un’auto due diverse compagnie offrono le seguenti condizioni:
• la compagnia A applica 20 euro di costo fisso più 50 euro per ogni giorno di noleggio;
• la compagnia B non applica nessun costo fisso e richiede 60 euro per ogni giorno di noleggio.
Stabilisci, in dipendenza del numero di giorni per cui si vuole noleggiare l’auto, qual è la scelta più
conveniente.
[Per un solo giorno di noleggio conviene la compagnia B, per più di due giorni conviene la
compagnia A, per due giorni è indifferente]
Esercizio 115. A un promotore di polizze assicurative vengono proposti due tipi di contratto:
• 500 euro al mese più un compenso di 100 euro per ogni polizza stipulata;
• 1000 euro al mese più un compenso di 50 euro per ogni polizza stipulata.
Determina, in dipendenza del numero di polizze stipulate, il contratto più conveniente.
[Fino a 10 polizze al mese conviene il secondo contratto, per più di 10 polizze conviene il primo;
per 10 polizze è indifferente]
Esercizio 116. Per produrre un certo prodotto un’azienda ha la possibilità di utilizzare due macchinari diversi, che chiamiamo A e B. Il macchinario A richiede 20 minuti di preparazione e produce
due oggetti al minuto; il macchinario B richiede 10 minuti di preparazione e produce tre oggetti al minuto. Determina, in dipendenza del numero di oggetti che si vogliono produrre, quale
macchinario consente di impiegare meno tempo.
[Volendo produrre meno di 10 oggetti è più conveniente scegliere B; per più di 10 oggetti è più
conveniente A; per 10 oggetti è indifferente]
4.3 esercizi
Esercizio 117. Una fabbrica deve scegliere se produrre:
• un tessuto A che richiede costi fissi giornalieri di 1000 euro e fornisce un ricavo di 10 euro
per metro di tessuto;
• oppure un tessuto B che richiede costi fissi giornalieri di 2000 euro e fornisce un ricavo di
15 euro per metro di tessuto.
Determina, al variare dei metri di tessuto che la fabbrica intende produrre giornalmente, la produzione più conveniente.
[Volendo produrre meno di 200 metri di tessuto al giorno conviene produrre il tessuto del tipo A;
volendo produrre più di 200 metri di tessuto conviene produrre il tessuto B; per 200 metri la scelta
è indifferente]
Esercizio 118. Per il trasporto di una certa merce due ditte diverse applicano le seguenti condizioni:
• la ditta A applica una spesa fissa di 100 euro più 10 euro per ogni quintale di merce trasportata;
• la ditta B non applica nessuna spesa fissa e chiede 12 euro per ogni quintale di merce
trasportata.
Stabilisci, in dipendenza del numero di quintali di merce che si vogliono trasportare, la scelta più
conveniente.
[Fino a 50 quintali conviene la ditta B; per più di 50 quintali conviene la ditta A; per 50 quintali è
indifferente]
Esercizio 119. Una banca propone tre diverse forme di investimento:
• un rendimento annuo netto del 4% diminuito di 100 euro per le spese di gestione;
• un rendimento annuo netto del 5% diminuito di 200 euro per le spese di gestione;
• un rendimento annuo netto del 6% diminuito di 300 euro per le spese di gestione.
Determina, in dipendenza del capitale investito, qual è la forma di investimento più conveniente.
[Per capitali fino a 10 000 euro conviene il primo investimento; per capitali oltre i 10 000 euro il
terzo, per un capitale di 10 000 euro è indifferente scegliere la prima, la seconda o la terza forma di
investimento]
Esercizio 120. Tre differenti compagnie telefoniche applicano le seguenti tariffe:
• la compagnia A applica un costo fisso di 25 centesimi per ogni telefonata più 25 centesimi
per ogni minuto di conversazione;
• la compagnia B applica un costo fisso di 40 centesimi per ogni telefonata più 20 centesimi per
ogni minuto di conversazione;
• la compagnia C applica la tariffa di 30 centesimi per minuto di conversazione, senza costi
fissi.
Stabilisci, in dipendenza della durata di una telefonata, quale scelta è la più conveniente.
[Fino a 4 minuti di conversazione è più conveniente C; oltre i 4 minuti conviene B; per 4 minuti è
indifferente B o C]
Esercizio 121. Un ricco signore vuole ormeggiare durante la stagione estiva il suo panfilo per un
certo periodo di tempo in un porticciolo gestito da una club nautico. Ha le seguenti possibilità:
• prendere in affitto il posto barca per l’intera stagione estiva (dal primo giugno al 30 settembre), pagando 3600 euro;
• pagare la tariffa di ormeggio di 200 euro al giorno;
79
80
matematica per l’economia
• iscriversi al club, pagando una quota di iscrizione di 800 euro, quindi pagare la tariffa di
ormeggio agevolata, di 40 euro al giorno.
Stabilisci qual è la scelta più conveniente, in relazione al numero dei giorni di ormeggio.
[Per meno di 5 giorni conviene pagare la tariffa di ormeggio; per ormeggio tra i 5 e i 70 giorni conviene iscriversi al club; per più di 70 giorni di ormeggio conviene affittare per l’intera stagione; per
5 giorni è indifferente pagare la tariffa di ormeggio o iscriversi al club; per 70 giorni è indifferente
iscriversi al club o affittare per l’intera stagione]
Esercizio 122. A un rappresentante di televisori vengono proposte tre diverse forme di retribuzione:
• la prima prevede 600 euro al mese, più 40 euro per ogni televisore venduto;
• la seconda prevede 400 euro al mese, più 80 euro per ogni televisore venduto;
• la terza non prevede nessuno stipendio fisso, ma 100 euro per ogni televisore venduto.
Stabilisci qual è la forma di retribuzione più conveniente, in relazione al numero di televisori
venduti in un mese.
[Per meno di 5 televisori venduti in un mese conviene la prima forma di retribuzione; per vendite
tra i 5 e i 20 televisori conviene la seconda; per vendite superiori ai 20 televisori la terza; per 5
televisori è indifferente la prima o la seconda; per 20 televisori è indifferente la seconda o la terza]
Esercizio 123. Per fabbricare dei bulloni un’azienda ha la possibilità di utilizzare tre macchinari
diversi, che chiamiamo A, B e C:
• il macchinario A richiede 10 minuti di preparazione e produce 4 bulloni al minuto;
• il macchinario B richiede 15 minuti di preparazione e produce 6 bulloni al minuto;
• il macchinario C richiede 30 minuti di preparazione e produce 10 bulloni al minuto.
Determina, in dipendenza del numero di bulloni che si vogliono produrre, quale macchinario consente di impiegare il minimo tempo complessivo (intendendo come tempo complessivo la somma
del tempo di preparazione e di quello di produzione).
[Per meno di 60 bulloni conviene A, per una produzione tra i 60 e i 225 bulloni conviene B; per più
di 225 bulloni conviene C, per 60 bulloni è indifferente A o B; per 225 bulloni è indifferente B o C]
Esercizio 124. A un assicuratore vengono offerte tre diverse forme di contratto:
• 1000 euro al mese più 100 euro per ogni polizza stipulata in quel mese;
• 1200 euro al mese più 75 euro per ogni polizza stipulata in quel mese;
• 1500 euro, indipendentemente dal numero di polizze stipulate.
Stabilisci, in dipendenza del numero di polizze che l’assicuratore stipula in un mese, il contratto
più conveniente.

Liceo della Comunicazione

Vienne au crépuscule

Gloster Javelin

Document 5242512

Volantino - Parrocchia di Sommacampagna

Prof. Masi

Lezione 2

Prova suppletiva liceo di ordinamento

.I.S.S. “N. Palmeri”- sez. ass. Liceo Scientifico Ciminna Programma