Ricerca Operativa (Compito A) max 0.045x A + 0.027xB

Ricerca Operativa (Compito A)
Appello del 16/06/2014
Andrea Scozzari
Esercizio n.1
Un’agenzia finanziaria deve investire 1000000 di euro di un suo cliente in fondi di
investimento. Il mercato offre cinque tipi di fondi che sono riassunti nella tabella
seguente
Nome
Tipologia
Rating
A
B
C
D
E
Privato
Pubblico
Stato
Stato
Privato
2
3
1
4
5
Rendita alla
maturazione
4.5%
5.4%
5.1%
4.4%
4.1%
I fondi pubblici e dello stato sono tassati al 50% alla fine del periodo (maturazione). Il
cliente chiede di riservare almeno il 40% del capitale a fondi pubblici o dello stato.
Inoltre il cliente esige che al massimo uno tra i fondi di investimento C e D sia attivato, e
nel caso in cui si acquistino fondi di tipo C o D, la spesa non deve essere superiore a
50000 euro ciascuno. Infine, si vuole che il valore medio dell’investimento non deve
superare un rating complessivo di 1.4. Si vuole massimizzare la rendita dell’investimento.
SOLUZIONE
Si introducano le variabili: xA, xB, xC, xD, xE che rappresentano le quantità (in euro)
investite nei fondi A, B, C, D e E.
Si introducano anche le variabili binarie yC e yD, che valgono 0 se non si investe nei
fondi C e D ed 1 altrimenti.
Funzione Obiettivo (nota: i fondi pubblici e dello stato hanno una rendita alla
maturazione dimezzata):
max 0.045xA + 0.027xB + 0.0255xC + 0.022xD + 0.041xE
Vincolo di Budget:
xA + xB + xC + xD + xE ≤ 1000000
Vincolo sull’investimento nei titoli pubblici e di stato: xB + xC + xD ≥ 400000
Vincolo sul valore medio dell’investimento:
2xA + 3xB + xC + 4xD + 5xE ≤ 1.4(xA + xB + xC + xD + xE )
xC ≤ 50000yC
xD ≤ 50000yD
yC + yD ≤ 1
xA, xB, xC, xD, xE ≥ 0
yC, yD {0,1}
Esercizio n.2
Risolvere il seguente problema di PL con l’algoritmo del simplesso
min -2x1 - x2
x1 - 2x2 ≤ 2
-3x1 + x2 ≤ 3
x1 + x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SOLUZIONE
x1=10/3, x2=2/3 Z*=-22/3
Esercizio n.3
Determinare il duale del seguente problema di PL. Risolvere sia il primale che il duale
per via geometrica.
max x1 + x2
-x1 + x2 ≤ 1
4x1 + x2 ≤ 0
x1 libera, x2 ≥ 0
SOLUZIONE
Duale: min u1
-u1 + 4u2 = 1
u1 + u2 ≥ 1
u1, u2 ≥ 0
Soluzione ottima Primale: x1 = -1/5, x2 = 4/5, Z*=3/5
Soluzione ottima Duale: u1 = 3/5, u2 = 2/5, W*=3/5
Esercizio n.4
Enunciare il teorema degli scarti complementari e verificare, se possibile, il teorema per
l’Esercizio n.3
SOLUZIONE
TEOREMA: Sia x una soluzione ammissibile per il primale (P) ed u una soluzione
ammissibile per il duale (D), allora x ed u sono soluzioni ottime rispettivamente per il
primale e per il duale se e solo se sono verificate le seguenti condizioni di ortogonalità:
u(b - Ax) = 0
(uA - c)x = 0
Tali condizioni sono verificate per i problemi Primale e Duale dell’esercizio precedente.
Ricerca Operativa (Compito B)
Appello del 16/06/2014
Andrea Scozzari
Esercizio n.1
Un’agenzia finanziaria deve investire 1000000 di euro di un suo cliente in fondi di
investimento. Il mercato offre cinque tipi di fondi che sono riassunti nella tabella seguente
Nome
Tipologia
Rating
A
B
C
D
E
Privato
Pubblico
Stato
Stato
Privato
2
3
1
4
5
Rendita alla
maturazione
4.5%
5.4%
5.1%
4.4%
4.1%
I fondi pubblici e dello stato sono tassati al 50% alla fine del periodo (maturazione). Il
cliente chiede di riservare almeno il 40% del capitale a fondi pubblici o dello stato. Inoltre
il cliente esige che al massimo uno tra i fondi di investimento C e D sia attivato, e nel caso
in cui si acquistino fondi di tipo C o D, la spesa non deve essere superiore a 50000 euro
ciascuno. Infine, si vuole che il valore medio dell’investimento non deve superare un rating
complessivo di 1.4. Si vuole massimizzare la rendita dell’investimento.
SOLUZIONE
Si introducano le variabili: xA, xB, xC, xD, xE che rappresentano le quantità (in euro)
investite nei fondi A, B, C, D e E.
Si introducano anche le variabili binarie yC e yD, che valgono 0 se non si investe nei fondi
C e D ed 1 altrimenti.
Funzione Obiettivo (nota: i fondi pubblici e dello stato hanno una rendita alla maturazione
dimezzata):
max 0.045xA + 0.027xB + 0.0255xC + 0.022xD + 0.041xE
Vincolo di Budget:
xA + xB + xC + xD + xE ≤ 1000000
Vincolo sull’investimento nei titoli pubblici e di stato: xB + xC + xD ≥ 400000
Vincolo sul valore medio dell’investimento:
2xA + 3xB + xC + 4xD + 5xE ≤ 1.4(xA + xB + xC + xD + xE )
xC ≤ 50000yC
xD ≤ 50000yD
yC + yD ≤ 1
xA, xB, xC, xD, xE ≥ 0
yC, yD {0,1}
Esercizio n.2
Risolvere il seguente problema di PL con l’algoritmo del simplesso
min -2x1 - x2
x1 ≤ 3
x2 ≤ 2
x1 + x2 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0
SOLUZIONE
x1=3, x2=2 Z*=-8
Esercizio n.3
Determinare il duale del seguente problema di PL. Risolvere sia il primale che il duale per
via geometrica.
max x1 + x2
-x2 ≤ -1
x1 - x2 ≤ 1
-2x1 + x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
SOLUZIONE
Duale: min -u1 + u2 + 2u3
u2 - 2u3 ≥ 1
-u1 - u2 + u3 ≥ 1
u1, u2, u3 ≥ 0
Soluzione ottima Primale: Ottimo illimitato
Soluzione Duale: Per il teorema di dualità in forma debole il problema duale è
inammissibile
Esercizio n.4
Enunciare il teorema degli scarti complementari e verificare, se possibile, il teorema per
l’Esercizio n.3
TEOREMA: Sia x una soluzione ammissibile per il primale (P) ed u una soluzione
ammissibile per il duale (D), allora x ed u sono soluzioni ottime rispettivamente per il
primale e per il duale se e solo se sono verificate le seguenti condizioni di ortogonalità:
u(b - Ax) = 0
(uA - c)x = 0
Tali condizioni non possono essere verificate per i problemi Primale e Duale dell’esercizio
precedente.

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