Lezione 21: Sistemi a più gradi di libertà: sistemi continui (6) Federico Cluni 21 Maggio 2014 1 Riduzione della trave ad un oscillatore elementare Si riprenda l’equazione del moto della trave, dove oltre ai carichi esterni tutti i vincoli esterni sono sottoposti a spostamenti (verticali) y(t): µ ∂ 2 yg ∂2v ∂4v ∂2v + E I − N = q(x, t) − µ ∂t2 ∂x4 ∂x2 ∂t2 (1) che con notazione più compatta si esprime nella maniera seguente: µ v¨ + E I v IV − N v II = q(x, t) − µ y¨g (t) (2) Tale equazione si può risolvere, come visto, determinando pulsazioni proprie e forme modali e risolvendo gli (infiniti) oscillatori elementari in cui può pensarsi scomposta la trave. v(x, t) = ∞ X uk (x) ϕk (t) (3) k=1 con ϕk determinate risolvendo la (normalizzando i modi rispetto alla massa): ϕ¨k + ak ϕk = Z 0 L uk (q − µ y¨g ) dx con ak = Z L EI 0 uIV k uk dx − Z 0 L N uII k uk dx (4) Tuttavia, tale strada richiede un costo computazionale piuttosto impegnativo, per cui si cerca di ottenere una semplificazione del problema attraverso la ricerca di una soluzione approssimata. In pratica l’idea è quella di considerare la trave non come la “somma” di infiniti oscillatori elementari ma come un unico oscillatore elementare. In questa maniera si può evitare la determinazione dei modi di vibrare. L’idea alla base della semplificazione è quella suggerita dall’analisi modale, ovvero esprimendo v tramite separazione delle variabili: v(x, t) = ψ(x) · ξ(t) (5) solo che questa volta si assumerà ψ(x) nota a priori. In questa maniera l’unico grado di libertà del problema è costituita dalla ξ, funzione del tempo t. Si noti come l’assumere nota ψ equivale ad aggiungere dei vincoli al problema, e la bontà della soluzione dipende dalla scelta di ψ: tanto più questa è vicina alla soluzione effettiva, tanto più accurata è la soluzione. Tuttavia, con la (5) non è possibile soddisfare la (2) (esprimente l’equilibrio mediante il principio di D’Alembert) per ogni valore dell’ascissa, per cui si impone una condizione di equilibrio globale, basandosi sul principio dei lavori virtuali. 1 Il lavoro complessivo per tutta la trave per spostamenti virtuali δv è (dalla (2)) : Z L µ v¨ + E I v IV − N v II − q(x, t) + µ y¨g (t) δv dx = 0 (6) 0 dove si può porre, per la (5): δv = ψ(x) δξ (7) Sostituendo la precedente, insieme alla (5), i termini della (6) danno: Z L Z L µ v¨ δv dx = ξ¨ µ ψ 2 dx δξ (8) 0 0 Z L Z L IV IV E I v δv dx = ξ E I ψ ψ dx δξ = 0 0 (9) Z L Z L L II 2 III II I L II 2 =ξ EIψ ψ 0 − EIψ ψ 0 + E I ψ dx δξ E I ψ dx δξ = ξ 0 0 Z L Z L II II N v δv dx = ξ N ψ ψ dx δξ = 0 0 (10) Z L Z L L I2 I2 I N ψ dx δξ =ξ Nψ ψ 0 − N ψ dx δξ = ξ − 0 0 e quindi: Z Z L 2 ¨ ξ µ ψ dx + ξ 0 L EIψ II 2 dx + 0 Z L Nψ I2 dx + 0 − Z L q ψ dx + Z 0 0 L µ y¨g ψ dx δξ = 0 (11) Dovendo valere la precedente per qualsiasi valore di δξ deve essere (assumendo y¨g indipendente da x): (12) m∗ ξ¨ + k ∗ ξ = F ∗ (t) − α m∗ y¨g (t) con: m∗ = Z L µ ψ 2 dx (13a) 0 ∗ k = Z L EIψ II 2 dx + 0 ∗ F (t) = Z αm = Z 0 L 2 N ψ I dx (13b) 0 L q ψ dx (13c) 0 ∗ Z RL L µ ψ dx e quindi α = R 0L 0 µ ψ dx µ ψ 2 dx (13d) Si noti che tutte le funzioni che compaiono negli integrali dipendono solo da x. La (12) rappresenta l’equazione del moto di un oscillatore elementare equivalente alla trave, che può essere risolta senza difficoltà. In assenza di spostamenti impressi: Z L k∗ 1 ¨ ξ+ ∗ξ= ∗ q ψ dx (14) m m 0 Se si prende µ costante e ψ pari alla prima autofunzione (in tal caso m∗ = µ) si riconosce nella precedente la (4) considerando il primo modo. Quindi il presente approccio coincide in tal caso con il fare un’analisi modale limitandosi al primo modo. 2 Esempio Si consideri una trave appoggiata carico distribuito uniformemente lungo l’asse avente andamento nel tempo dato da:  t   t ≤ Td  Td    2 t − T2d Td f (t) = (15) 1− T < t ≤ Td   d  2  2   0 t > Td Figura 1: Schema della trave con carico distribuito. Come funzione ψ si considerano tre possibilità (si assume che lo spostamento in mezzeria sia unitario): π • sinusoide: ψ(x) = sin x L 16 x4 x3 x • curva della deformata statica sotto carico uniforme: ψ(x) = −2 3 + 5 L4 L L • parabola: ψ(x) = 4 x (L − x) L2 π ψ(x) = sin L x 4 x x3 ψ(x) = 16 5 L4 − 2 L3 + 0.0 ψ(x) −0.2 ψ(x) = −0.4 4 x (L−x) L2 x L −0.6 −0.8 −1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x 2.5 3.0 3.5 4.0 Figura 2: Andamento delle funzioni ψ considerate. Il carico si può esprimere come: q(x, t) = q f (t) 3 (16) Utilizzando le (13) si ha (ω1 rappresenta la pulsazione del primo modo): • sinusoide: 1 µ L = 0.5 µ L 2 π4 E I EI k∗ = = 48.705 3 3 2 L s L m∗ = ω ∗ = 9.8696 F ∗ (t) = EI = ω1 µ L4 16 q L f (t) 25.133 (17) (18) (19) (20) • curva della deformata statica sotto carico uniforme: 256 31 µ L = 0.5039 µ L 25 630 EI 1922 1 E I = 49.152 3 k∗ = 25 30sL3 L m∗ = ω ∗ = 9.8767 F ∗ (t) = EI = 1.0007 · ω1 µ L4 16 q L f (t) 25 (21) (22) (23) (24) • parabola: 8 µ L = 0.5333 µ L 15 EI k ∗ = 64 3 L s m∗ = ω ∗ = 10.954 F ∗ (t) = EI = 1.110 · ω1 µ L4 16 q L f (t) 24 (25) (26) (27) (28) Lo spettro di risposta in termini di spostamenti alla forzante f (t) in esame è riportato di seguito normalizzato rispetto allo spostamento statico dato da ξstat = 1/k: 4 1.6 1.4 ξmax /ξstat 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Td /T1 2.5 3.0 3.5 4.0 Figura 3: Spettro di risposta in termini di spostamenti sotto f (t): ξmax è lo spostamento massimo in dinamica, ξstat è lo spostamento massimo corrispondente alla forza applicata in maniera quasistatica. Si vede che, anche con errori del 10 % su T ∗ , la differenza in termini di amplificazione della risposta ξmax /ξstat , non è elevata. Tuttavia, in termini di momento massimo in mezzeria si ha: L L L ξmax max M = M = −E I ψ II ξmax = −E I ψ II ξstat (29) 2 2 2 ξstat con ξstat spostamento massimo ottenuto applicando F ∗ staticamente e pari a: ξstat = F ∗ (Td /2) k∗ (30) che per i diversi caso valgono: • sinusoide: ξstat = 16 1 q L4 q L4 = 0.0131 25.133 48.705 E I EI (31) • curva della deformata statica sotto carico uniforme: ξstat = (si noti che ξstat = 16 1 q L4 q L4 = 0.0130 25 49.152 E I EI (32) 16 1 q L4 q L4 = 0.0104 24 64 E I EI (33) 5 q L4 ) 384 E I • parabola: ξstat = I momenti massimi valgono quindi: • sinusoide: max M = E I π 2 1 ξmax ξmax ξstat = 0.129 q L2 L2 ξstat ξstat 5 (34) • curva della deformata statica sotto carico uniforme: max M = E I (si noti che max M = • parabola: ξmax ξmax 48 1 = 0.125 q L2 ξstat 2 5 L ξstat ξstat (35) ξmax 1 ξmax = 0.083 q L2 ξstat L2 ξstat ξstat (36) q L2 ξmax ) 8 ξstat max M = E I 8 Si nota che la differenza raggiunge circa il 35 %, cui va aggiunta la quota relativa a ξmax ξstat dovuta all’approssimazione del periodo esatto con T ∗ . In definitiva, con una stessa funzione ψ si possono ottenere risultati con grado di approssimazione anche molto diverso a seconda della quantità presa in considerazione: infatti dalle (31)-(33) si vede che le differenze per gli spostamenti in mezzeria sono all’incirca del 21 %. 6