A Questa raccolta è stata preparata a Pavona (RM) iniziando sabato ottobre Per contattare l’autore: [email protected]. Matteo Allegro Equazioni differenziali ordinarie Esercizi svolti Prefazione di Giuseppina Anatriello Copyright © MMXIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Raffaele Garofalo, /A–B Roma () ---- I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. I edizione: maggio A chi mi ha allenato fino a ieri a chi mi sta allenando ancora oggi. Indice Prefazione Introduzione Capitolo I Alcuni richiami Capitolo II Equazioni del primo ordine .. Equazioni del primo ordine lineari, – ... Equazione a coefficienti costanti omogenea y0 = y, – ... Equazione a coefficienti variabili omogenea y0 = t y. Approssimazioni successive, – ... Equazione a coefficienti variabili omogenea y0 = t+t y, – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = y + , – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = y + t, – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = y + t, – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = y + t + t, – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = −y + et , – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = −y + et , – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = y + et , – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = − y + sen(t), – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = y + senh(t) + cosh(t), – ... Equazione a coefficienti costanti non omogenea y0 = − y + log(t), – ... Equazione a coefficienti variabili non omogenea y0 = t y − t, – ... Equazione a coefficienti variabili non omogenea y0 = t y + t , – ... Equazione a coefficienti variabili non omogenea y0 = −t y + sen(t), – ... Equazione a coefficienti variabili non omogenea y0 = −et y + et , – ... Equazione a coefficienti variabili non omogenea y0 = t y + t , – .. Equazioni del primo ordine non lineari, – ... Equazione y0 = f (t, y) con f omogenea, – ... Equazioni t y + ai differenziali, – ... Equazione y0 = − t y , – ... Equazione di Clairault, – .. Equazioni a variabili separabili, – ... Equazione y0 = y , – ... Equazione y0 = y + , – ... Equazione y0 = ey , – +y t 0 0 ... Equazione y = +t y, – ... Equazione y = +t , – ... Equazione y0 = t+ y , – ... Equazione y0 = t y − t , – ... Equazione t Indice t − y0 = y+ , – ... Equazione y0 = – Esercizi proposti, . t (y −) , – ... Equazione y0 y (t −) = t+y , t Capitolo III Equazioni del secondo ordine .. Equazioni del secondo ordine lineari a coefficienti costanti, – ... Equazione omogenea y00 = y0 − y (∆ > ), – ... Equazione omogenea y00 = −y0 − y (∆ = ), – ... Equazione omogenea y00 = −y0 − y (∆ < ), – ... Equazione non omogenea y00 = y + , – ... Equazione non omogenea y00 = −y + t, – ... Equazione non omogenea y00 = y0 − y + et , – ... Equazione non omogenea y00 = y + et , – ... Equazione non omogenea y00 = y0 − y + t et , – ... Equazione non omogenea y00 = −y + sen(t), – ... Equazione non omogenea y00 = −y + sen(t), – ... Equazione non omogenea y00 = − y0 + y + t sen(t). Metodo di somiglianza, – ... Equazione non omogenea y00 = − y0 + t + e−t , – ... Equazioni dei moti armonici e di risonanza, – .. Equazioni del secondo ordine lineari a coefficienti variabili, – ... Equazione di Eulero, – ... Equazione omogenea y00 + ty0 = , – ... Equazione omogenea y00 − ty = . Soluzione per serie, – Esercizi proposti, . Capitolo IV Equazioni di ordine superiore al secondo .. Equazioni del terzo ordine lineari, – ... Equazione omogenea y000 = y, – ... Equazione omogenea y000 = − y00 − y0 − y, – ... Equazione non omogenea y000 − y00 = t, – ... Equazione non omogenea y000 + y0 = sen(t), – .. Equazioni del quarto ordine lineari, – ... Equazione non omogenea y0000 + y = , – Esercizi proposti, . Capitolo V Sistemi di EDO .. Sistemi lineari omogenei, – ... Sistema omogeneo, – ... Sistema omogeneo. Matrice fondamentale, – ... Sistema omogeneo, – ... Sistema omogeneo, – ... Sistema omogeneo, – .. Sistemi lineari non omogenei, – ... Sistema non omogeneo, – ... Sistema non omogeneo, – Esercizi proposti, . Bibliografia Prefazione Questo testo di esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie, come afferma l’autore, attinge i suoi contenuti in larga parte dalle lezioni e da testi di esami scritti dei professori A. Bove, A. Favini, E. Lanconelli, E. Obrecht, per un arco temporale che va dal al e per diversi corsi di laurea in discipline scientifiche dell’Università di Bologna. Rivolta a studenti dei corsi dei primi anni di discipline tecnico–scientifiche, è frutto dell’esperienza, degli approfondimenti e del lavoro di risistemazione di un neolaureato in Matematica con interessi per l’editoria. Non è però una semplice raccolta. Sono presentati un congruo numero di esercizi base, di vari livelli di difficoltà, ma che non prevedono la conoscenza di particolari tecniche di calcolo. Adoperando un linguaggio semplice e lineare gli svolgimenti vengono sviluppati in modo particolareggiato con continui richiami agli aspetti teorici delle risoluzioni. Le varie tracce proposte (con soluzione, ma senza svolgimento) ripropongono i metodi di soluzione mostrati negli esercizi svolti per consentire di esercitarsi e verificare autonomamente il livello di apprendimento raggiunto. Nel volume sono esposti in modo chiaro e ordinato anche richiami teorici sufficienti per un’adeguata comprensione della risoluzione delle tipologie scelte. In considerazione della contrazione del numero di ore di insegnamento il testo può essere considerato senz’altro un’utile guida per lo studio e l’approfondimento dell’argomento di cui tratta. Il pregio di questa trattazione consiste nel fatto che le sue finalità non si limitano a essere un aiuto nell’acquisizione di una padronanza nello svolgimento di un tema di esercizi ma anche nei contenuti teorici che sono alla base dello svolgimento dello stesso. Giuseppina A Università degli Studi di Napoli Federico II Introduzione La presente è una raccolta di equazioni differenziali ordinarie (brevemente EDO) risolte. La maggior parte di queste è tratta dagli esempi presentati all’Università di Bologna dal Prof. E. Obrecht nel corso di Analisi L–B nell’A.A. / (CdL in Ingegneria Meccanica ), dal Prof. A. Favini nel corso di Analisi Matematica II e dal Prof. A. Bove nel corso di Equazioni Differenziali I nell’A.A. / (CdL in Matematica ) e da testi di esami scritti di Analisi Matematica IV assegnati dal Prof. E. Lanconelli negli Anni Accademici da / a / (CdL in Matematica ). Questo testo può essere utile allo studente di Matematica, Fisica o Ingegneria che deva preparare un esame semestrale o annuale di analisi matematica e che si trovi a confrontarsi con esercizi su equazioni differenziali, sistemi e soluzione locale di problemi di Cauchy. L’unico prerequisito per la lettura è la conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale. Non è tuttavia richiesta una pratica eccezionale nel calcolo integrale in quanto le equazioni qui svolte sono state scelte pensando a mostrare la varietà delle tipologie di soluzioni piuttosto che a mettere alla prova l’abilità nell’integrazione di funzioni di variabile reale. Nel primo capitolo sono esposte in modo sintetico solo alcune definizioni e nozioni necessarie a risolvere (o, come si usa dire, a « integrare ») le equazioni diferenziali proposte nel seguito; altre nozioni sono esposte successivamente. Nel secondo capitolo vengono risolte le prime equazioni, con ordine massimo di derivazione . Viene mostrato come determinare l’insieme di tutte le soluzioni e come determinare una soluzione particolare che soddisfi un problema con condizione iniziale assegnata. Vengono poi discusse una classe particolare di equazioni del primo ordine, dette a variabili separabili e, più brevemente, le equa Introduzione zioni differenziali esatte e l’equazione che prende il nome da Alexis C. Clairault . Nel terzo capitolo l’ordine massimo di derivazione è . Anche qui viene mostrato come determinare l’integrale generale e come determinare un integrale particolare che risolva un problema di Cauchy. Vengono affrontati due esempi di equazione lineare del secondo ordine che gli studenti di ingegneria possono trovare, oltre che nei corsi di Fisica I e Meccanica Razionale, anche in quello di meccanica applicata: l’equazione differenziale del moto armonico semplice e l’equazione dei sistemi massa–molla–smorzatore. Nel quarto capitolo sono raccolti esempi salienti di equazioni di ordine superiore al secondo (principalmente del terzo ordine), tali equazioni saranno risolte con metodi che generalizzano quelli usati nei capitoli e . Nel quinto e ultimo capitolo si parla, limitandosi a pochi e semplici esempi, di sistemi lineari di equazioni differenziali. Anche in questo, come negli altri capitoli, la soluzione di un sistema o di un’equazione potrà avvalersi di procedimenti mostrati nelle sezioni precedenti. Ogni sottosezione (ad esempio ..) contiene un esercizio svolto a se stante. Al termine di ogni capitolo sono presentati ulteriori esercizi di cui non è riportato lo svolgimento ma solo la soluzione. Essi non intendono ampliare la teoria ma mostrare esempi analoghi a quelli già affrontati, da risolvere da soli. Si rimanda alle prime quattro voci della bibliografia per la discussione di esempi celebri non trattati in queste pagine, come le equazioni di Bernoulli e di Riccati o l’equazione logistica; si rimanda alle successive tre voci e al primo dei siti internet per la trattazione della prolungabilità delle soluzioni e per un quadro teorico consistente. Si denoteranno con f ∈ C (A, B) una funzione f continua sull’insieme A a valori in B, con g ∈ C n (A) una funzione g con n derivate continue su tutto A e con g(k) (t) la derivata k–esima di g rispetto a t. Si denoteranno poi con y¯ un integrale particolare di un’EDO e con ϕ la . Parigi, –. Introduzione soluzione di un problema di Cauchy. Si indicheranno con t un valore fissato della variabile reale t, con I un intervallo reale o un intorno di t in R, e con y il valore di y in t ; x e y saranno sempre funzioni di t. Solo nelle equazioni dei moti armonici, le notazioni x˙ , x¨ in luogo di x0 , x00 indicano derivazione rispetto al tempo. Nel capitolo Mm R denoterà l’insieme delle matrici reali quadrate di ordine m e Im la matrice identità di ordine m. Oltre a EDO in luogo di equazione differenziale ordinaria si useranno frequentemente nel testo le seguenti abbreviazioni: ENO EO IG IP PC equazione (differenziale ordinaria lineare) non omogenea equazione (differenziale ordinaria lineare) omogenea integrale generale integrale particolare problema di Cauchy
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