IL VETTORE AREA La grandezza AREA A ha carattere vettoriale (ricorda il significato geometrico del prodotto vettoriale fra due vettori v1 e v2: il risultato è un vettore che in modulo è equivalente all’area del parallelogramma che ha per lati i due vettori v1 e v2,, la direzione è quella ortogonale al piano individuato dai due vettori il verso è dato dalla regola della mano destra Il caso mostrato nella figura corrisponde al prodotto A=v1×v2. La freccia evidenzia il verso di rotazione della vite destrorsa in avanzamento: questo equivale a percorrere il perimetro del parallelogramma in senso antiorario da v1 verso v2 A v2 v1 θ Questo si generalizza ad una superficie di forma qualsiasi … A … e per una superficie CHIUSA il versore di A è sempre uscente dalla superficie, perpendicolare al piano tangente locale dA FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE I caso II caso flusso d’aria S FLUSSO di un CAMPO VETTORIALE attraverso una SUPERFICIE ≡ numero di linee del campo vettoriale passanti attraverso la superficie Φ = vA Nel I caso il campo vettoriale v è perpendicolare alla sezione piana A (v//A): Nel II caso v ed A formano un angolo θ fra loro: il numero di linee del campo vettoriale v che attraversa A è lo stesso che attraversa la sezione S, di modulo A·cosθ e diretta // v NB Φ = vA cos θ v A v θ A Φ = vA Φ = vA cos θ Il numero di linee del campo vettoriale v che attraversa la superficie piana A è maggiore se A // v r r Φ=v⋅A r r Φ = ∑ν ⋅Ai i r r Φ = ∫ v ⋅ dA Se la superficie è CHIUSA si può avere Φ≠0 solo se ci sono SORGENTI o POZZI all’INTERNO della superficie IL TEOREMA DI GAUSS Il flusso del vettore campo elettrico attraverso un QUALSIASI SUPERFICIE CHIUSA è proporzionale alla CARICA NETTA racchiusa dalla superficie stessa prodotto scalare r r 1 Φ Er = ∫ E ⋅ dA = Σ integrale esteso ad una superficie chiusa Σ detta SUPERFICIE GAUSSIANA ε0 ∑q i i vettore campo elettrico locale somma algebrica delle cariche sull’elemento di interne a Σ superficie dA L’unità di misura del flusso del campo elettrico è il Nm2/C DIPOLO S1,S2,S3 e S4 sono quattro possibili superfici gaussiane: Φ1>0 Φ2<0 Φ3=0 Φ4=0 Il calcolo del flusso del campo elettrico risulta particolarmente semplice quando il versore area è perpendicolare o parallelo localmente al vettore campo elettrico. Questa situazione può verificarsi solo se il vettore campo elettrico ha in ogni punto dello spazio direzioni particolari: nel caso mostrato a lato il campo elettrico è uniforme SINGOLA CARICA 1. r r E // dA P in ogni punto della superficie gaussiana r r E ⋅ dA = EdA 2. Il campo elettrico ha lo stesso valore su tutta la superficie sferica r r ε 0 ∫ E ⋅ dA =q ε 0 E sfera Perciò: ( ) 2 dA = q ε 0 E 4πr = q ∫ sfera Il campo elettrico è radiale e in modulo costante su superfici sferiche concentriche: questo consente di ottenere il MODULO del campo elettrico nel punto P (distante r da q) dalla legge di Gauss. Il procedimento può essere applicato a distribuzioni di carica di elevata simmetria EP = q 4πε 0 r 2 Il campo dipende dalla distanza dalla carica q DISTRIBUZIONI DI ELEVATA SIMMETRIA Piano infinito uniformemente carico Filo infinito uniformemente carico Guscio sferico uniformemente carico Guscio cilindrico uniformemente carico IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE Sfera piena uniformemente carica Cilindro pieno uniformemente carico Coppia di gusci sferici concentrici Coppia di piani paralleli infiniti Coppia di gusci cilindrici coassiali infiniti FILO INFINITO CARICO λ: densità lineare di carica uniforme la carica interna alla superficie è q = λh, dove h è l’altezza della superficie cilindrica Σ; SL=2πrh è la superficie laterale SL =2πrh P SB = πr2 Il campo è radiale ed è costante su superfici cilindriche coassiali al filo carico: la superficie gaussiana deve essere scelta in modo che il campo elettrico sia ovunque o parallelo o perpendicolare ad essa r r r r r r ε 0 ∫ E ⋅ dA = 2ε 0 ∫ E ⋅ dA + ε 0 ∫ E ⋅ dA = SB Σ SL = 0 + ε 0 ∫ EdA = ε 0 E ∫ dA = ε 0 E (2πrh ) = q SL Il campo elettrico è quello prodotto da TUTTA la distribuzione di carica e non alla sola carica interna SL EP = q λ = 2πrhε 0 2πε 0 r Il campo dipende dalla distanza dal filo carico PIANO INFINITO CARICO σ: densità superficiale di carica uniforme la carica interna alla superficie è q = σA, dove A è l’area di base della superficie Σ, mentre SL è la sua superficie laterale P Il campo è costante su piani paralleli alla superficie carica: la superficie gaussiana deve essere scelta in modo che il campo elettrico sia ovunque o parallelo o perpendicolare ad essa r r r r r r ε 0 ∫ E ⋅ dA = 2ε 0 ∫ E ⋅ dA + ε 0 ∫ E ⋅ dA = A Σ SL = 2ε 0 ∫ EdA + 0 = 2ε 0 E ∫ dA = 2ε 0 EA = q A Il campo elettrico è quello prodotto da TUTTA la distribuzione di carica e non alla sola carica interna A σ EP = = 2ε 0 A 2ε 0 q Il campo non dipende dalla distanza dal piano carico GUSCIO SFERICO UNIFORMEMENTE CARICO P2 · P1 · Le superfici gaussiane passano per i punti in cui si vuole determinare il modulo del campo elettrico Il guscio sferico ha densità superficiale COSTANTE σ e carica totale q=4πR2σ S1 ed S2 sono superfici gaussiane sferiche, concentriche con il guscio carico Per simmetria il campo è RADIALE (ruotando intorno al centro il guscio sferico nulla cambia, perciò il campo elettrico non può avere componenti diverse da quella radiale) La carica interna ad S1 è nulla La carica interna ad S2 è uguale a q Il campo elettrico è NULLO NELLA CAVITÀ (P1) mentre nei punti esterni al guscio sferico (P2) è UGUALE a quello che si avrebbe negli stessi punti se TUTTA LA CARICA q fosse POSTA nel CENTRO del guscio GUSCIO CILINDRICO INFINITO UNIFORMEMENTE CARICO P2 · P1 · Le superfici gaussiane passano per i punti in cui si vuole determinare il modulo del campo elettrico Il guscio cilindrico ha densità superficiale COSTANTE σ e carica q=2πRhσ in ogni tratto di lunghezza h. S1 ed S2 sono superfici gaussiane cilindriche, coassiali con il guscio carico, e di lunghezza h Per simmetria il campo è RADIALE e PERPENDICOLARE all’asse (ruotando intorno all’asse o capovolgendo il cilindro nulla cambia, perciò il campo elettrico non può avere componenti in direzioni diverse da quella suddetta) La carica interna ad S1 è nulla La carica interna ad S2 è uguale a q Il campo elettrico è NULLO NELLA CAVITÀ (P1) mentre nei punti esterni al guscio cilindrico (P2) è UGUALE a quello che si avrebbe negli stessi punti se TUTTA LA CARICA fosse POSTA sull’ASSE della distribuzione h r asse R ·P S2 2 guscio cilindrico infinito h r R superficie gaussiana S1 asse P1 · SFERA PIENA UNIFORMEMENTE CARICA R dr r Il campo elettrico dovuto ad una carica Q uniformemente distribuita nel volume di una sfera di raggio R, può essere determinato utilizzando il PRINCIPIO di SOVRAPPOSIZIONE ed il campo elettrico per un guscio sferico uniformemente carico All’ESTERNO della distribuzione il campo risulta uguale a quello che si avrebbe negli stessi punti se tutta la carica Q fosse concentrata nel suo centro: il campo risultante è ancora un campo radiale Per il calcolo del campo elettrico in un punto P INTERNO alla distribuzione (r<R) si considera una superficie gaussiana sferica concentrica alla distribuzione e passante per P: il campo elettrico dipende dalla carica q' interna alla superficie gaussiana ed è radiale r≥R E (r ) = r < R E (r ) = Q 4πε 0 r 2 ∝ 1 r2 q(r ) Q q (r ) = = 2 2 4πε 0 r 4πε 0 r Q Qr 4 3 ρπr 3 = = ∝r 2 3 3 4πε 0 r 4 3 ρπR 4πε 0 R Q CILINDRO INFINITO PIENO UNIFORMEMENTE CARICO superficie gaussiana asse asse · · R R cilindro r≥R r<R Il campo elettrico dovuto ad una distribuzione uniforme di carica di volume (densità ρ), a simmetria cilindrica di sezione πR2 e lunghezza infinita, può essere determinato utilizzando il PRINCIPIO di SOVRAPPOSIZIONE ed il campo elettrico per un guscio cilindrico infinito uniformemente carico All’ESTERNO della distribuzione il campo risulta uguale a quello che si avrebbe negli stessi punti se tutta la carica fosse concentrata sull’asse con densità lineare λ=ρπR2: il campo risultante è radiale, perpendicolare all’asse Per il calcolo del campo elettrico in un punto P INTERNO alla distribuzione si considera una superficie gaussiana cilindrica di lunghezza h, coassiale alla distribuzione e passante per P: il campo elettrico risultante dipende dalla carica q' interna alla superficie gaussiana, è radiale e perpendicolare all’asse r≥R ρπR 2 λ 1 E (r ) = = ∝ 2πε 0 r 2πε 0 r r r<R λ (r ) q (r ) / h = 2πε 0 r 2πε 0 r ρπr 2 ρr = = ∝r 2πε 0 r 2ε 0 E (r ) =
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