Questi appunti sono una versione preliminare di “Dispense per il corso di Geometria 2”: sono incompleti e probabilmente con errori: vi invito a segnalare via e-mail ogni difetto [email protected]
(versione 22 settembre 2014).
1
1.1
Prerequisiti
Sistemi lineari ematrici
Determinante e rango (o caratteristica) di una matrice. Teoria sistemi lineari ( m equazioni ed n incognite a
coefficienti in un campo K.).
1.2
Spazi vettoriali
Definizione 1.1 : Sia IK campo, un insieme V si dice IK-spazio vettoriale se sono definite due operazioni
+ : V × V −→ V, (v1 , v2 ) 7→ v1 + v2 ∈ V ,
· : IK × V −→ V (λ, v) 7→ λv ∈ V che verificano le note 8
propriet`a.
Combinazione lineare e` un vettore v = λ1 v1 + · · · + λn vn con v1 , . . . , vn ∈ V, λ1 , . . . , λn ∈ IK.
L{v1 , . . . , vn } ⊆ V e` l’insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori v1 , . . . , vn .
Sistema di generatori : un insieme {vi , i ∈ I} di vettori di V (I insieme anche infinito di indici), si dice
sistema di generatori per V se ogni vettore di V pu`o essere scritto come combinazione lineare di un numero
finito di vettori appartenenti all’insieme {vi , i ∈ I}.
Si dice che V e` spazio vettoriale di dimensione finita se possiede un sistema di generatori finito, cio`e se
esistono {v1 , . . . , vn } tali che V = L{v1 , . . . , vn }.
Nel seguito considereremo solo spazi vettoriali di dimensione finita.
Vettori linearmente indipendenti (o insieme libero di vettori) v1 , . . . , vn si dicono linearmente indipendenti
se
λ1 v1 + · · · + λn vn = 0V =⇒ λ1 =. . . =λn =0.
( linearmente dipendenti ⇐⇒ almeno uno e`
combinazione lineare degli altri).
Base e` per definizione un sistema di generatori linearmente indipendenti.
Dimensione Ogni base ha lo stesso numero N di elementi: N viene detto dimensione di V (dim V ).
Coordinate Data una base {e1 , . . . , en } di V , per ogni v ∈ V esistono unici λ1 , . . . , λn ∈ IK tali che
v = λ1 e1 + · · · + λn en :
il vettore colonna vE := [λ1 , . . . , λn ]T ∈ IKn e` detto vettore delle coordinate di v rispetto alla base E.
Valgono i seguenti teoremi:
- Da ogni sistema di generatori si pu`o estrarre una base (Scarti successivi).
- Ogni insieme libero di vettori pu`o essere completato a base.
- Se dim V = n, allora n vettori di V linearmente indipendenti sono una base di V .
- Se dim V = n, allora un sistema di generatori di V costituito da n vettori e` una base di V .
- in IKn : p vettori sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice che ha come righe (o colonne) i p
vettori ha caratteristica p.
- Pi`u in generale:
p vettori di uno spazio vettoriale V sono indip. ⇐⇒ la matrice che ha come colonne le coordinate dei vettori
rispetto ad una (qualsiasi) base E di V ha caratteristica p.
Matrice di passaggio Date due diverse basi E, F di uno spazio vettoriale V si chiama matrice di passaggio
da E ad F la matrice invertibile PE,F = [f1E | f2E | . . . | fnE ]. Dato v ∈ V e i due vettori delle coordinate
−1
vE , vF valgono le formule:
PF,E = [e1F | e2F | . . . | enF ] = PE,F
,
−1
vE = PE,F vF ,
vF = PE,F
vE = PF,E vE , dove PE,F = [f1E | f2E | . . . | fnE ].
Sottospazi Un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V si dice sottospazio se e` spazio vettoriale con le
operazioni ereditate da V .
- W e` sottospazio ⇐⇒ e` ”chiuso” rispetto alle combinazioni lineari:
per ogni w1 , w2 ∈ W e per ogni λ1 , λ2 ∈ IK vale λ1 w1 + λ2 w2 ∈ W .
Sono sottospazi:
1
-L{v1 , . . . , vp }
-L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare a coefficienti in IK: Ax = b e` un sottospazio ⇐⇒ il sistema
e` omogeneo (b = 0). Le soluzioni di Ax = 0 con A ∈ Mm,n (IK) costituiscono un sottospazio di IKn di
dimensione = n − ρ(A).
2
2.1
Vettori geometrici e spazi euclidei
Vettori geometrici.
Un vettore geometrico e` una classe di equivalenza di segmenti orientati aventi stessa direzione, verso, lunghezza:
~ e` un vettore invece che rappresenta un vettore”. I vettori si
per brevit`a diremo che un segmento orientato AB
sommano con la “regola del parallelogramma” ed e` definita la moltiplicazione λv ∀λ ∈ IR. Quindi si pu`o
dimostrare che con queste operazioni l’insieme dei vettori geometrici del piano V2 (risp. dello spazio V3 ) e`
IR-spazio vettoriale e si ha : dim V2 = 2, dim V3 = 3.
Se fissiamo un sistema di coordinate monometriche con origine O, i versori i, j, k degli assi costituiscono
una base ortonormale E di V3 (analogo il caso di V2 ) e
~ , con P (a, b, c).
v = ai + bj + ck ⇐⇒ v = OP
Spesso identificheremo un vettore v con la terna (a, b, c) delle coordinate rispetto alla base E.
~ allora B = A + v, quindi AB
~ ha coordinate (a, b, c) = B − A (per questa
Se un rappresentante di v e` AB
~ anche con B − A).
ragione si usa indicare AB
Prodotto scalare Si definisce angolo tra due vettori l’angolo
θ := minimo degli angoli f ormati dalle semirette dei due vettori.
Dati due vettori v = (a, b, c), w = (a0 , b0 , c0 ), il loro prodotto scalare e` :
v · w := ||v||cos θ||w|| = aa0 + bb0 + cc0 .
(L’ultimo = e` conseguenza delle propriet`a associativa e distributiva del prodotto scalare. La definizione e`
analoga per i vettori di V2 ).
Prodotto vettore Dati due vettori v = (a, b, c), w = (a0 , b0 , c0 ) il loro prodotto vettore e` : il vettore t (che
denotiamo v ∧ w) avente direzione ortogonale ad entrambi i vettori, verso tale che la terna v,w,t sia destrorsa
e modulo ||v ∧ w|| := ||v|| sen θ ||w||. 

i i k
Si ha
v ∧ w = det  a b c .
a0 b0 c0
2.2
Spazi euclidei
Una naturale estensione degli spazi vettoriali V2 , V3 di cui sopra sono gli spazi euclidei:
Definizione 2.1 Un IR-spazio vettoriale V si dice spazio euclideo se in V e` definito un prodotto scalare, cio`e
un’operazione

u · v = v · u ∀u, v ∈ V



v · v ≥ 0 ∀v ∈ V, e v · v = 0 ⇐⇒ v = 0
· : V × V −→ IR tale che
.
(v, w) 7→ v · w ∈ IR
(u + u0 ) · v = u · v + u0 · v ∀ u, u0 , v ∈ V



(λu · v) = λ(u · v) = (u · λv) ∀λ ∈ IR, ∀ u, v ∈ V
Un prodotto scalare consente di definire una metrica in V , cio`e una ”distanza” e un ”angolo” tra due vettori:
Definizione 2.2 Sia V uno spazio Euclideo e siano u, v ∈√V :
si chiama norma di v il numero reale positivo ||v|| := v · v
si chiama distanza dei due vettori u, v il numero d(u, v) := ||u − v||.
Teorema 2.3 ( Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz ) Sia V spazio euclideo e sia · il prodotto scalare definito
in V . Allora
|u · v| ≤ ||u|| ||v||
∀u, v ∈ V .
Dim: ∀ h ∈ IR : ||hu + v||2 = (u · u)h2 + 2h(u · v) + (v · v) ≥ 0. Poich`e tale funzione sempre positiva,
dobbiamo avere ∆/4 = |u · v|2 − ||u||2 ||v||2 ≤ 0. La diseguaglianza segue subito (essendo i numeri tutti ≥ 0).
Corollario 2.4
||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||, ∀ u, v ∈ V ;
2
−1 ≤
u·v
≤ 1.
||u|| ||v||
Dim. La prima diseguaglianza (diseguaglianza triangolare) segue ponendo h = 1:
||u + v|| = ||u||2 + 2u · v + ||v||2 ≤ ||u||2 + 2|u · v| + ||v||2 ≤ ||u||2 + 2||u||||v|| + ||v||2 = (||u|| + ||v||)2 .
La seconda diseguaglianza consente di definire l’angolo tra due vettori:
Definizione 2.5 In uno spazio euclideo V si definisce angolo
vettori u, v ∈ V l’angolo
u · vdi due
.
θ := arccos
||u|| ||v||
In particolare diremo che due vettori sono ortogonali quando (u · v) = 0.
Esempio 2.6 (1) Prodotto scalare usuale in IRn estende il prodotto scalare tra vettori geometrici:
(x1 , . . . , xn ) · (y1 , . . . , yn ) := x1 y1 + · · · + xn yn = (x1 . . . xn )(y1 . . . yn )T
(prodotto riga per colonna).
(2) Lo spazio vettoriale reale C 0 [a, b] delle funzioni reali continue a tratti nell’intervallo [a, b] e` dotato di
prodotto scalare :
Rb
0
f
·
g
:=
f (t)g(t)dt
∀ f, g ∈
a
C [a, b].
2 1
x1
y1
(3) Siano V = IR2 , M =
, v1 =
, v2 =
∈ IR2 : il prodotto (·) definito da
1 2
x
y
2
2
y1
2 1
y1
(v1 · v2 ) := v1T M v2 = (x1 x2 )
= 2x1 + x2 x1 + 2x2
1 2
y2
y2
e` un prodotto scalare in IR2 .
Infatti si verifica che (v1 · v2 ) = (v2 · v1 ), valgono le propriet`a distributive, inoltre (v1 · v1 ) = 2x21 + 2x1 x2 +
2x22 = x21 + x22 + (x1 + x2 )2 ≥ 0 quindi
√ (v1 · v1 ) = 0 ⇐⇒ v1 = 0.
Con questo prodotto scalare ||(1, 0)|| = 2 e e si verifica che (1, 0) ⊥ (1, −2).
(4). Pi´u in generale (vedere dopo) una matrice simmetrica n × n a coefficienti reali definita positiva definisce
un prodotto scalare in IRn .
(Come nel caso precedente, la positivit`a discende dal fatto che la forma quadratica associata e` definita positiva).
2.3
Ortogonalit`a
.
Sia V spazio vettoriale euclideo di dimensione n. Diremo che una base B = {v1 , . . . , vn } di V e` ortonormale (brevemente o.n. ) se
1 se i = j
vi · vj = δi,j , dove δi,j =
e` il simbolo di Kronecker.
0 se i 6= j
• Vettori ortogonali di V sono linearmente indipendenti.
Dim. Supponiamo v1 , . . . , vn vettori due a due ortogonali e λ1 v1 + · · · + λn vn = 0. Allora
0 = (λ1 v1 + · · · + λn vn ) · vi = λi ||vi ||2 =⇒ λi = 0.
Teorema 2.7 (Algoritmo di Gram-Schmidt) Sia B = {w1 , . . . , wh } base per un sottospazio W di uno spazio
euclideo V . Allora e` possibile costruire (quindi esiste) una base o.n. di W .
w1
il versore di w1 .
||w1 ||
0
Passo (2) Siano w2 := w2 − (w2 · v1 )v1 , dove (w2 · v1 )v1 si chiama proiezione ortogonale di w2 su
w20
w1 , e v2 :=
il suo versore. Si vede che: w20 · v1 = w2 · v1 − (w2 · v1 )(v1 · v1 ) = 0, perch´e
||w20 ||
(v1 · v1 ) = ||v1 ||2 = 1. Quindi v1 ⊥ v2 , inoltre L{v1 , v2 } = L{w1 , w2 }.
...
Passo (i) Il vettore ti = (wi · v1 )v1 + (wi · v2 )v2 + · · · + (wi · vi−1 )vi−1
e` la proiezione ortogonale di wi sul sottospazio L{w1 , . . . , wi−1 } = L{v1 , . . . , vi−1 }
(infatti wi − ti ⊥ vj ∀ j = 1, . . . , i − 1). Siano
wi0
wi0 := wi − (wi · v1 )v1 − (wi · v2 )v2 − · · · − (wi · vi−1 )vi−1 , vi :=
||wi0 ||
Il versore vi ∈ L{w1 , . . . , wi } risulta essere perpendicolare ai vettori v1 , . . . , vi−1 .
Infatti vi ⊥ vj , ∀i 6= j: wi0 · vj = wi · vj − (wi · v1 )(v1 · vj ) − · · · − (wi · vi−1 )(vi−1 · vj ) = 0, quindi
Dim. Passo (1) Sia v1 :=
3
vi ⊥ vj , ∀ j = 1, . . . , i − 1. Inoltre L{v1 , . . . , vi } = L{w1 , . . . , wi }.
Poich`e dim W = h < ∞, dopo h passi si ottiene la base o.n. richiesta. Definizione 2.8 Sia W sottospazio dello spazio euclideo V.
• Dico che un vettore v e` ortogonale a W (e scrivo v ⊥ W ) se v · w = 0 ∀w ∈ W.
• Chiamo ortogonale di W l’insieme W ⊥ := {v ∈ V | v ⊥ w, ∀w ∈ W }.
Teorema 2.9 Sia W sottospazio dello spazio euclideo V, dim V = n, dim W = p e sia B = {w1 , . . . , wh }
base di W. Allora:
(1) v ⊥ W ⇐⇒ v ⊥ w1 , . . . , v ⊥ wh ( ⇐⇒ v · w1 = · · · = v · wh = 0).
(2) W ⊥ e` sottospazio di V e si ha: dim W ⊥ = dim V − dim W .
(3) La somma W ⊕ W ⊥ e` diretta e W ⊕ W ⊥ = V (cio`e base W ∪ base W ⊥ = base V ).
(4) Se la base
allora ∀ w ∈ W la matrice delle coordinate di w rispetto alla base B e`
 B e` ortonormale

w · w1
 w · w2 

wB = 
 . . . .
w · wp
Dim. (1) “ ⇒ ” e` ovvia. “ ⇐ ”: B e` base quindi ∀ w ∈ W, abbiamo
w = λ1 w1 + · · · + λp wp . Quindi v · w = λ1 v · w1 + · · · + λp v · wp = 0.
(2)-(3) Completo a base di V una base di W : mediante l’algoritmo di Gram Schmidt si pu`o costruire una base
0
0
, . . . , wn0
, . . . , wn0 . I vettori wp+1
o.n. w10 , . . . , wp0 di W e completarla a base o.n. di V, aggiungendo wp+1
⊥
sono necessariamente

 una base per W . Infatti sono indipendenti
λ1
 λ2 

(4) wB = 
 . . .  ⇐⇒ w = λ1 w1 + · · · + λp wp . In altre parole, se la base B e` ortonormale si ha che
λp
w · wi = (λ1 w1 + · · · + λp wp ) · wi = λ1 w1 · wi + · · · + λp wp · wi = λi . 2.4
Cambi di coordinate - matrici ortogonali.
Sia V spazio vettoriale di dimensione n e siano E, F due basidi V . Per ogni vettore v∈ V le coordinate
|
|
...
|



vE , vF sono legate dalla matrice di passaggio P := PE,F := 
 f1E f2E . . . fnE 
|
|
...
|
−1
mediante le formule
vE = P vF , PF,E = PE,F .
Proposizione-Definizione 2.10 Sia V spazio euclideo e sia E base ortonormale di V sono fatti equivalenti
(1) la matrice di passaggio P = PEF verifica P −1 = P T .
(2) F e` base ortonormale di V .
Una matrice P che verifica queste condizioni si dice matrice ortogonale.
Dim. Prima notiamo che se E e` base o.n. , due vettori v =
µ1 e1 + · · · + µn en sono
P=
Pλn1 e1 + . . . λn en , w
n
T
ortogonali ⇐⇒ vE · wE = vE
wE = 0. Infatti v · w = i,j=1 λi µj ei ej = i=1 λi µi = vE · wE .
Quindi 




|
|
...
|
−− f1E −−
f1E · f1E f1E · f2E . . . f1E · fnE
 −− f2E −−  



  f1E f2E . . . fnE  =  f1E · f2E f2E · f2E . . . f2E · fnE  =
PTP = 
 .





.
.
...
...
−− fnE −−
fnE · f1E
...
. . . fnE · fnE
|
|
...
|
T
In se e solo se F e` base ortonormale poich`
e
P
P
risulta
essere
la
matrice
dei
prodotti
scalari dei vettori
colonna di P : al posto (i, j) abbiamo fi · fj .
4
2.5
Matrici simmetriche, teorema Spettrale e forme quadratiche.
Definizione 2.11 Sia M matrice m × n: la trasposta M T (=
righe le colonne di M .
T
M ) di M e` la matrice n × m che ha come
Una matrice A ∈ Mn,n si dice simmetrica se A = AT .
Per ogni coppia di matrici M, N valgono:
(M N )T = N T M T ,
(M T )T = M,
M M T e M T M sono matrici simmetriche .
(L’ultima affermazione discende dalle prime due ben note: (M M T )T = (M T )T M T = M M T ).
Teorema 2.12 (T eorema spettrale). Sia A ∈ Mn,n (IR). Sono fatti equivalenti:
(1) A e` simmetrica.
(2) A e` diagonalizzabile e gli autospazi di A sono due a due ortogonali.
(3) A e` diagonalizzabile mediante una matrice P ortogonale.
Dim. (1) =⇒ (2) (Solo in parte) Siano λ1 6= λ2 autovalori di A e siano v, w ∈ IRn autovettori(colonna) tali
che Av = λ1 v, Aw = λ2 w. Sia λ1 6= 0, allora λ1 (w · v) = w · (λ1 v) = wT (Av) = (wT A)v = (AT w)T v =
(Aw)T v = (λ2 w) · v; quindi (λ1 − λ2 )(w · v) = 0, ma questo implica w ⊥ v.
(2) =⇒ (3) Siccome gli autospazi di A sono due a due ortogonali, costruendo una base ortonormale per ogni
singolo autospazio si ottiene una base E ON di autovettori. La matrice P di passaggio dalla base caononica
alla base E e` ovviamente ortogonale.
(3) =⇒ (1) per ipotesi P T AP = ∆, con ∆ matrice diagonale. Ne segue A = P ∆P T ; inoltre AT =
(P ∆P T )T = P T T ∆T P = P ∆P T = A. Quindi A e` simmetrica Definizione 2.13
Si chiama forma quadratica una funzione Q : IRn −→ IR definita da un polinomio
omogeneo di grado 2:
Q(x1 , . . . , xn ) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + 2a13 x1 x3 + · · · + ann x2n .
Pi`u in generale si chiama forma di grado d un polinomio omogeneo di grado d.
Una forma quadratica si dice

def inita positiva se
Q(v) > 0 ∀v ∈ IRn , v 6= 0
 semi def inita positiva se
6 0 tale che Q(v) = 0
Q(v) ≥ 0 ∀v ∈ IRn , ed esiste v =

n
 def inita negativa se
Q(v)
<
0
∀v
∈
IR
,
v
=
6
0
.

 semi def inita negativa se
6 0 tale che Q(v) = 0
Q(v) ≤ 0 ∀v ∈ IRn , ed esiste v =
non def inita (indef inita) se Q(v1 ) > 0 e Q(v2 ) < 0
La matrice simmetrica n × n A = (aij ) si dice matrice associata alla forma quadratica e si ha:
Q(x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn )A(x1 , . . . , xn )T .
Diremo che A matrice simmetrica e` definita positiva, semidefinita etc se la forma quadratica QA ha la
stessa propriet`a.
Nota 2.14 (1) Sia M una qualsiasi matrice n × n: la funzione QM : IRn −→ R definita da :
QM (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn )M (x1 , . . . , xn )T
e` una forma quadratica. Vale la scomposizione M = A + B, dove
M + MT
M − MT
A=
e` simmetrica e B =
e` antisimmetrica, cio`e tale che B T = −B.
2
2
(2) La forma quadratica associata ad una matrice reale antisimmetrica e` identicamente nulla (in altre parole
una matrice antisimmetrica trasforma ogni vettore in uno ortogonale).
Infatti sia B una qualsiasi matrice antismmetrica n × n: per ogni v = (x1 , . . . , xn )T ∈ IRn il prodotto
scalare v T ·(Bv) e` uguale al valore della forma quadratica QB (v) := v T Bv. Tenendo conto delle propriet`a
del prodotto scalare e del prodotto righe per colonne, otteniamo
v T Bv = v T · (Bv) = (Bv) · v = (Bv)T v = v T B T v = −v T Bv =⇒ 2v T Bv = 0.
Quindi QB (v) = 0 per ogni vettore v.
5
M + MT
.
2
T
T
T
T
T
T
T
Infatti v M v = v (A + B)v = (v A + v B)v = v Av + v Bv = v Av.
(3) Da (2) segue che la matrice simmetrica associata a QM e` A =
Definizione 2.15 (1) Due matrici simmetriche A, B ∈ Mnn (IR) si dicono congruenti se esiste P ∈ Mnn (IR)
matrice invertibile tale che
P T AP = B.
(2) Sia K campo, due matrici quadrate A, B ∈ Mnn (K) si dicono simili se esiste P ∈ Mnn (K) matrice
invertibile tale che
P −1 AP = B.
Notiamo che ogni matrice simmetrica a coefficienti reali essendo diagonalizzabile mediante una matrice P
ortogonale e` sia congruente che simile alla matrice diagonale ∆ avente sulla diagonale gli autovalori di A (ved.
teorema spettrale).
Teorema 2.16 (1) Matrici congruenti sono associate a forme quadratiche con lo stesso carattere di definizione.
(2) Il carattere di definizione di una forma quadratica dipende dal segno degli autovalori della matrice simmetrica
 associata:
def inita se
A ha autovalori tutti concordi
A ha autovalori tutti concordi e almeno uno e` nullo .
A e`  semi def inita se
non def inita (indef inita) se ha due autovalori discordi
Matrici congruenti hanno lo stesso numero di autovalori positivi, negativi e nulli.
Dim. (1) Siano A, B ∈ Mnn (IR) matrici simmetriche congruenti. Sia P invertibile tale che B = P T AP : per
ogni w ∈ IRn (vettore colonna) esiste unico v ∈ IRn tale che w = P T v (si ha v = P w). Abbiamo:
QA (w) = wT Aw = vP t A(vP T )T = v T P T AP v = QB (v).
Quindi le due forme quadratiche QA , QB assumono lo stesso insieme di valori (ma su vettori generalmente
diversi).
(2) Segue da (1), perch´e ogni matrice A simmetrica e` congruente ad una matrice diagonale ∆ avente sulla
diagonale gli autovalori λ1 , . . . , λn di A. Quindi se w = (y1 , . . . , yn ), v = (x1 , . . . , xn ) abbiamo
QA (w) = Q∆ (v) = λ1 x21 + λ2 x22 + · · · + λn x2n .
La tesi e` chiara, siccome sull’ i-esimo vettore vi = (0, . . . , 1, . . . 0) della base canonica abbiamo
Q∆ (0, . . . , 1, . . . , 0) = λi .
2.17 Metodo di Gauss: algoritmo per trovare una matrice diagonale D congruente alla matrice simmetrica
A e quindi il carattere di definizione della forma quadratica associata.
Dim. Ricordiamo che le matrici elementari moltiplicate a sinistra per una matrice A ”effettuano” su A una delle
tre operazioni elementari Ri 7→ Ri + λRj (i 6= j), Ri ↔ Rj , Ri 7→ λRi (λ 6= 0). Una matrice elementare si
costruisce effettuando sulla matrice identica l’operazione elementare voluta.
E’ facile vedere che la trasposta di una matrice elementare E e` ancora elementare (dello stesso tipo) e che per
una matrice quadrata A fare il prodotto EAE T equivale a fare successivamente su A l’operazione elementare
definita da E sulle righe e la stessa operazione elementare sulle colonne. Quindi mediante l’algoritmo di
Gauss (con ogni passo fatto sulle righe e poi sulle colonne) (eventualmente con qualche operazione elementare
”extra” talvolta necessaria), si pu`o costruire una matrice diagonale D congruente alla matrice A. Gli elementi
sulla diagonale NON sono in generale gli autovalori di A, ma avranno lo stesso segno di questi (solamente gli
autovalori nulli di D sono nello stesso numero degli autovalori nulli di A, perch´e le operazioni elementari non
cambiano la caratteristica di una matrice). Corollario 2.18 Ogni matrice A simmetrica n × n e` congruente ad una matrice diagonale D avente gli elementi dii appartenenti all’insieme {+1, −1, 0}. La terna (n+ , n− , n0 ) del numero di autovalori nulli, positivi
e negativi di D (e quindi di A) si dice segnatura di A (o della forma quadratica associata).
6

λ1

0
Dim. Per 2.17 ogni matrice simmetrica e` congruente ad una matrice D0 = 

0
0
λ2
0
...
...
...
...

0
0 
.

λn
1
Continuando l’algoritmo 2.17 moltiplichiamo ogni riga non nulla Ri (e quindi anche la colonna Ci ) per p
:
|λi |
il risultato e` la matrice D che rappresenta la segnatura di A. Ricordiamo che data una matrice quadrata A n×n, si dicono minori principali gli n determinanti Mi , i =
1, . . . , n delle sottomatrici di A formate dalle righe R1 , . . . , Ri e dalle colonne C1 , . . . , Ci .
Teorema 2.19 ( Criterio dei minori principali ) A matrice simmetrica e` definita positiva ⇐⇒ i “minori
principali” sono tutti > 0. A e` definita negativa ⇐⇒ i “minori principali hanno segno alterno (− + − . . . ).
Dim. Vediamo la dimostrazione nel caso A definita positiva, l’altro caso e` analogo.
“ ⇒” Se A e` definita positiva allora QA (x1 , 0, 0, . . . , 0) = a11 x21 > 0, quindi a11 > 0; inoltre laforma
a11 a12
quadratica (in IR2 ) QA (x1 , x2 , 0, . . . , 0) >= a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 > 0 =⇒ det
> 0.
a12 a22
Si ottiene la tesi considerando che per ogni i = 1, . . . , n vale: QA (x1 , x2 , . . . , xi , 0, . . . , 0) > 0 e la matrice
i × i associata a questa forma quadratica ha determinante Mi .
“ ⇐” Se tutti i minori principali M1 , . . . , Mn = det A sono positivi, allora a11 > 0 con la matrice elementare
E = E21 (−a12 /a11 ) e il prodotto EAE T otteniamo una matrice B congruente ad A e avente lo stesso minore
principale M2 in forma diagonale, quindi con l’elemento b22 6= 0. Iterando il procedimento, possiamo, con
operazioni elementari tutte dello stesso tipo (che notoriamente non alterano i minori) trasformare A in una
matrice diagonale D con la diagonale tutta costituita da numeri positivi. 3
Linee e superfici: generalit`a.
Ricordiamo alcuni importanti prerequisiti.
Definizione 3.1 (a) Un sottoinsieme U ⊆ IRn si dice aperto di IRn se per ogni punto P ∈ U esiste un disco
aperto D = {(x1 , ..., xn ) ∈ IRn | ||(x1 , ..., xn ) − P || < R, con R > 0} che sia contenuto in U .
(b) Sia U ⊆ IRn aperto; una funzione F : U −→ IR si dice di classe C (0) in U se e` continua in U , di
classe C (1) se e` continua e tutte le sue derivate parziali prime esistono in ogni punto di U e sono funzioni
continue in U . F si dice di classe C (k) in U , con k ∈ IN, se e` continua in U e tutte le sue derivate parziali
di ogni ordine minore o uguale a k esistono in ogni punto di U e sono funzioni continue in U . F e` di
classe C (∞) in U se e` di classe C (k) per ogni k ∈ IN.
(c) Se U ⊆ IRn e` un aperto, una funzione (a “valori vettoriali”) F : U −→ IRm si dice di classe C (k) in U ,
con k ∈ IN ∪ {∞}, se per ogni x = (x1 , . . . , xn ) ∈ U le componenti del vettore
F (x) = (F1 (x), . . . , Fm (x))
sono di classe C (k) . Le funzioni “scalari” F1 , . . . , Fm : U −→ IR si dicono funzioni coordinate di F .
Si potrebbero unificare i concetti di curva differenziabile e superficie differenziabile mediante la nozione di
“variet`a differenziabile”, il lettore interessato pu`o vedere al riguardo Sernesi2, Cap. 5
3.1
Superfici: definizioni
Abbiamo essenzialmente due modi per definire una superficie nello spazio: mediante equazioni parametriche
oppure mediante una equazione cartesiana. Questi due modi di rappresentare una superficie dello spazio
sono spesso equivalenti. Il primo approccio e` computazionalmente ottimale, il secondo approccio (equazione
cartesiana) e` per`o particolarmente importante nel caso delle superfici quadriche.
Le definizioni sono molto delicate perch´e compaiono molte ”patolgie”, ma non entreremo in maggiori
dettagli per non appesantire la trattazione.
7
3.2
Equazioni parametriche.
Supponiamo fissato nello spazio un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz.
Definizione 3.2 Una superficie (parametrizzata) dello spazio e` il luogo S dei punti

 x = x(u, v)
y = y(u, v) ,
P (u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , o equivalentemente

z = z(u, v)
dove le funzioni x, y, z : U −→ IR sono definite (almeno) su un aperto U di IR2 , sono (almeno) C (1) su U , e
tali che la matrice jacobiana delle derivate parziali


xu xv
J =  yu yv 
zu zv
abbia rango 2 per ogni punto A ∈ U, U intorno aperto contenuto in D.
Per ogni punto P = P (u0 , v0 ) della superficie passano in particolare le due curve di S aventi rispettivamente equazioni parametriche


 x = x(u, v0 )
 x = x(u0 , v)
y = y(u, v0 )
y
=
y(u
,
v)
, L2 :
L1 :
0


z = z(u, v0 )
z = z(u0 , v)
L1 e L2 si dicono linee coordinate.
Definizione 3.3 Una superficie S si dice rigata se e` un luogo di rette (in altre parole, per ogni punto P di S
passa una retta tutta contenuta in S.
Nei seguenti esempi ed osservazioni evidenziamo alcune situazioni che si possono presentare.
Esempio 3.4 (1) Parametriche di un piano. Dati due vettori w = (l, m, n), w0 = (l0 , m0 , n0 ), lineramente
indipendenti e un punto P0 (x0 , y0 , z0 ) dello spazio, una rappresentazione parametrica del piano passante
per P0 con vettore normale n = w ∧ w0 e` :

 x = x0 + ul + vl0
0
y = y0 + um + vm0
P = P0 + uw + vw ovvero

z = z0 + un + vn0

l
Qui U = IR2 e J =  m
n

l0
m0  ha rango 2 in tutto U .
n0
(2) Le equazioni parametriche non sono in generale uniche: per esempio


 x=1+v
 x = 2u − v
y=u
y = u + 2v
,


z =u+v
z = 3u + v − 1
sono entrambe due rappresentazioni parametriche per il piano di equazione
x + y − z = 1.
(3) Delle equazioni parametriche con due parametri definiscono una superficie se la caratteristica della matrice Jacobiana e` due in almeno in un punto.


x = 1 + u − v
Come controesempio consideriamo le equazioni: y = (u − v)2
.


z = 2v − 2u
8


1
−1
Qui U = IR2 e la matrice Jacobiana J =  2(u − v) −2(u − v)  ha rango 1 in ogni punto. Queste
−2
2
equazioni sono in realt`a equazioni parametriche con essenzialmente un solo parametro,
quindi di una curva


x
=
1
+
t

2
(in questo caso una parabola), come si vede con la sostituzione t = u − v:
(t ∈ IR).
y=t


z = −2t
(4) Cilindro. Se una superficie S ha equazioni parametriche del tipo


x = α1 (u) + β1 v
P (u, v) = α(u) + vβ ,
y = α2 (u) + β2 v , (u, v) ∈ I × IR


z = α3 (u) + β3 v
dove α(u) = α1 (u),
α
(u),
α
(u)
,
u
∈
I
aperto
⊆
IR e` curva regolare salvo un numero finito di punti
2
3
e β = β1 , β2 , β3 6= (0, 0, 0) e` costante, allora S e` un luogo di rette parallele (cilindro).


x = α1 (u) + β1 v
Infatti per ogni punto P (u, v) appartenente ad S, la retta ru : y = α2 (u) + β2 v (con v ∈ IR variabile


z = α3 (u) + β3 v
ed u ∈ IR fissato) passa per P ed e` tutta contenuta nella superficie S:
P (u, v) ∈ ru ⊆ S.
In particolare S e` una superficie rigata con direttrici le linee che si ottengono dalla rappresentazione parametrica ponendo v = v e u variabile:


x = α1 (u) + β1 v
y = α2 (u) + β2 v e` una direttrice passante per il punto P (u, v).


z = α3 (u) + β3 v
(5) Cono. E` una superficie rigata luogo di rette uscenti da un punto V (x0 , y0 , z0 ) detto vertice. Equazioni
parametriche del tipo:

 x = x0 + f1 (u) v
y = y0 + f2 (u) v , (u, v) ∈ I × IR
P (u, v) = V + v α(u),

z = z0 + f3 (u) v
con α(u) = f1 (u), f2 (u), f3 (u) , u ∈ I aperto ⊆ IR curva regolare in quasi ogni punto.
parametrizz di Monge
3.3
Equazione cartesiana
Le superfici ottenute come parametrizzazioni di Monge sono esempi di una classe di oggetti pi`u generale: le
”superfici definite mediante equazioni cartesiane”. Infatti, se S = (u, v, ϕ(u, v)) e` una tale superficie i punti di
S sono tutti e soli i punti di IR3 che soddisfano l’equazione cartesiana
ϕ(x, y) − z = 0.
In generale:
Definizione 3.5 Data una funzione in tre variabili f = f (x, y, z) definita (almeno) in un aperto V di IR3 , ed
ivi (almeno) di classe C (1) chiamiamo “superficie di equazione cartesiana f ” l’insieme S dei punti dello
spazio che verificano l’equazione:
f (x, y, z) = 0.
Un punto P ∈ S tale che ∇f (P ) 6= (0, 0, 0) si dice punto semplice, o regolare, di S, altrimenti P si dice
punto multiplo, o singolare.
9
Detto insieme pu`o essere variamente degenere (eg pu`o essere vuoto oppure costituito da un solo punto, o da
una linea, etc.), se per`o esiste almeno un punto semplice P ∈ S, allora per il Teorema di Dini (vedi sotto)
P e` contenuto in una superficie parametrica regolare S 0 tutta contenuta in S. Le superfici date mediante
parametrizzazione di Monge si ottengono prendendo f (x, y, z) = ϕ(x, y) − z e sono costituite da punti tutti
regolari (fz = −1 in ogni punto). Notiamo esplicitamente che ci sono superfici definite da equazioni cartesiane
che non sono superfici parametrizzate regolari nel senso sopra definito (vedi esempio XY sotto). Richiamiamo
l’importante teorema di Dini che riportiamo nella versione adatta ai nostri scopi:
Teorema 3.6 Sia e S e` una superficie regolare definita da un’equazione F (x, y, z) = 0, allora per ogni punto
P ∈ S esistono un aperto U ⊆ IR2 , un aperto V ⊆ S contenente P e una parametrizzazione φ : U −→ IR3
tale che i punti di V siano tutti e soli quelli che soddisfano una equazione del tipo z = φ(x, y) per ogni
(x, y) ∈ U , [ oppure y = φ(x, z), oppure [x = φ(y, z)]. (In parametriche : ( x = u, y = v, z = φ(u, v)).
Esempio 3.7 Sfera: tutti punti semplici, ma non basta una sola carta (si pu`o dimostrare che non si pu`o fare
con meno di due)
Cono: tutti punti semplici meno uno...varie parametrizzazioni
Piani: parametrizzazioni non uniche
Una superficie S nello spazio in cui e` stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxyz, e` il luogo dei punti P (x, y, z) che verificano un’equazione del tipo F (x, y, z) = 0, dove F (x, y, z) e` una funzione di
classe almeno C 1 in un dominio Ω dello spazio. Se F (x, y, z) e` un polinomio la superficie si chiama algebrica.
Un punto P (x0 , y0 , z0 ) si dice semplice per la superficie S se il vettore (Fx (P ), Fy (P ), Fz (P )) 6= 0. Una superficie si dice regolare se dF (P ) 6= 0 per ogni P ∈ S. Se dF (P ) 6= 0, allora esiste in P il piano tangente
che per definizione e` il luogo geometrico delle rette tangenti in P alle curve semplici contenute in S e passanti
per P . Infatti se α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ (a, b) una rappresentazione parametrica di una tale curva
C ⊂ S e passante per P abbiamo
α(t0 ) = P, F (x(t), y(t), z(t)) = 0 per ogni t ∈ (ab)
.
0
Ne segue che F (x(t), y(t), z(t)) ≡ 0 per ogni t ∈ (ab), quindi in particolare per t = t0 . Usando le note
regole di derivazione di funzioni composte si ottiene
0 = F 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) = Fx (P )x0 (t0 ) + Fy (P )y 0 (t0 ) + Fz (P )z 0 (t0 ),
in altre parole il prodotto scalare Fx (P ), Fy (P ), +Fz (P ) x0 (t0 ), y 0 (t0 ), z 0 (t0 ) = 0. Quindi per ogni
curva
Fx (P ), Fy (P ), +Fz (P ) ⊥ x0 (t0 ), y 0 (t0 ), z 0 (t0 ) .
α(t) = x(t), y(t), z(t) ⊆ S. Abbiamo cos`ı provato
che le rette tangenti in P
alle curve semplici contenute in
S e passanti per P sono tutte ortogonali al vettore Fx (P ), Fy (P ), +Fz (P ) , quindi sono tutte complanari:
si chiama piano tangente alla superficie in P il piano che le contiene. La sua equazione e`
Fx (P )(x − x0 ) + Fy (P )(y − y0 ) + Fz (P )(z − z0 ) = 0.
3.4
Equazioni parametriche.

 x = x(u, v)
y = y(u, v) tre funzioni differenziabili in un dominio D ⊆ piano IR2 con coordinate (u, v).
Siano

z = z(u, v)
3.5
Superfici rigate
Una superficie S si dice rigata se e` luogo di rette, ossia se per ogni punto P ∈ S esiste una retta rP passante
per P e contenuta in S. Le rette della superficie si dicono generatrici e si chiama direttice una linea di S che
interseca ogni generatrice in un punto.
In parametriche una buona rappresentazione parametrica per una superficie rigata e` del tipo
10
P (u, v) = α(u) + vβ(u) dove α(u) e` curva regolare per u ∈ I, I ⊆ IR intervallo e β(u) 6= 0 for u ∈ I.
Le rette si trovano su S fissando u = u e lasciando variare v ∈ IR, le direttrici si trovano per esempio fissando
v = v e lasciando variare u ∈ I.
3.6
Cilindri.
Una superficie si dice cilindro se e` un luogo di rette parallele.
Equazioni cartesiane. Il luogo S dello spazio definito da un’equazione del tipo
F (x, y) = 0
e` un cilindro luogo di rette parallele all’asse z. Infatti per ogni (x0 , y0 ) tali che F (x0 , y0 ) = 0, tutti i punti della
retta x = x0 , y = y0 , z = t verificano ancora l’equazione F (x, y) = 0. Quindi S e` luogo di rette parallele
all’asse z. Viceversa, se f (x, y, z) = 0 e` equazione polinomiale di cilindro C con generatrici parallele all’asse
z, e (x0 , y0 , 0) ∈ C, ogni punto P (t) = (x0 , y0 , t), t ∈ IR deve verificare l’ equazione f . Quindi il polinomio
f deve essere del tipo f (x, y) = 0; questo fatto vale pi`u in generale anche per equazioni non polinomiali.
Analogamente equazioni del tipo F (x, z) = 0 oppure F (y, z) = 0 definiscono cilindri con generatrici rispettivamente parallele all’asse y e all’asse x.
Pi`u in generale si dimostra che un’equazione cartesiana del tipo
F (ax + by + cz + d, a0 x + b0 y + c0 z + d0 ) = 0
definisce un cilindro con le generatrici parallele alla retta ax + by + cz + d = a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0.
Per dimostrarlo basta pensare che mediante un opportuno cambiamento di coordinate Oxyz 7→ OXY Z posso
sempre supporre che le generatrici del cilindro siano parallele all’asse Z, quindi nel nuovo sistema il cilindro
avr`a equazione del tipo F 0 (X, Y ) = 0; siccome le formule di cambiamento di coordinate sono lineari, la sua
equazione nel sistema Oxyz sar`a del tipo
F (ax + by + cz + d, a0 x + b0 y + c0 z + d0 ) = 0.
Le equazioni parametriche di un cilindro sono del tipo
P (u, v) = α(u) + vβ(u)
dove α(u) e` curva regolare per u ∈ I aperto ⊆ IR e β(u) = l(u), m(u), n(u) 6= (0, 0, 0) e` costante.
Esempio 3.8 (1). La superficie di equazione x2 + y 2 = R2 e` il cilindro che proietta la circonferenza
del piano < x, y > con centro l’origine e raggio R parallelamente all’asse z. Infatti ogni punto del tipo
(Rcos θ, Rsen θ, v), v ∈ IR verifica l’equazione
x2 + y 2 = R 2 .
 x = R cos u
y = R sen u .
Una rappresentazione parametrica del cilindro e`

z=v
(2). La superficie S di equazione ex−z = (x + y) e` un cilindro luogo di rette parallele a x − z = x + y = 0.
ex−z = (x + y)
x + y = ek
Infatti l’intersezione di S con i piani del fascio x − z = k e`
⇐⇒
al
x−z =k
x
−z =k
x=0
variare di k ∈ IR si tratta di un luogo di rette parallele (le generatrici del cilindro). Una direttrice e`
.
y = e−z
3.7
Coni.
Un cono e` una superficie luogo di rette uscenti da un punto detto vertice.
Una funzione F (x, y, z) si dice omogenea di grado d se F (tx, ty, tz) = td F (x, y, z).
I coni con vertice nell’origine sono definiti da un’equazione omogenea.
Dimostrazione. Sia S cono con
 vertice in O(0, 0, 0) e equazione F (x, y, z) = 0. Sia P (x0 , y0 , z0 ) ∈ S,
 x = t x0
y = t y0 deve essere contenuta nel cono. Quindi ogni punto della retta
P 6= O, allora la retta OP :

z = t z0
deve verificare l’equazione del cono: F (tx0 , ty0 , tz0 ) = 0 per ogni t ∈ IR. Se l’equazione e` omogenea allora
F (tx0 , ty0 , tz0 ) = td F (x0 , y0 , z0 ) = 0 ∀ t ∈ IR. Se non fosse omogenea, avrebbe solo un numero finito di
11
soluzioni e la retta non sarebbe contenuta nel cono.
Pi`u in generale si dimostra che un cono con vertice in V 6= (0, 0, 0) ha un’equazione cartesiana omogenea in
tre espressioni lineari:
F (ax + by + cz + d, a0 x + b0 y + c0 z + d0 , a00 x + b00 y + c00 z + d00 ) = 0
,
con i tre piani di equazione ax + by + cz + d = 0, a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0, a00 x + b00 y + c00 z + d00 = 0 che
si incontrano in un solo punto V , il vertice del cono.
Una rappresentazione parametrica di un cono con vertice V e` del tipo
P (u, v) = V + v α(u),
dove α(u) e` curva regolare per u ∈ I aperto ⊆ IR.
Esempio 3.9 (1). F (x, y, z) = xy − z 2 = 0 e` l’equazione di un cono S con vertice nell’origine, essendo F
2
funzione
 omogenea. Infatti sia P (x0 , y0 , z0 ) ∈ S, quindi x0 y0 − z0 = 0, se P 6= O ogni punto della retta
 x = t x0
y = t y0 verifica l’equazione di S perch´e F (tx0 , ty0 , tz0 ) = t2 x0 y0 − t2 z02 = t2 (x0 y0 − z02 ) = 0
OP

z = t z0

 x = u2
y = v 2 da cui non si riconosce
per ogni t ∈ IR. Una rappresentazione parametrica di questo cono e`

z = uv

 x = u2 v
y=v
neppure che la superficie e` rigata. Un’altra rappresentazione e`
da cui si riconosce che e` cono, ma

z = uv
in questa rappresentazione “manca” l’asse x che e` contenuta in S.
(2). L’equazione F (x, y, z) = (x − 1)2 (x + z) − (y + z + 1)2 (2x + z − 1) + (x + z)3 = 0 rappresenta un
cono con vertice V (1, 0, −1).
3.8
Conoidi.
Un conoide e` una superficie luogo di rette che si appoggiano ad una retta r, ad una linea L e sono parallele ad
un piano π. Se r ⊥ π si dice che il conoide e` retto.
Esempio 3.10 (1). Sia r : x − 1 = z = 0, π : y = 0 e sia L : z − sen y = x = 0 (Conoide retto).
Per ogni punto P ∈ L consideriamo il piano πP parallelo a π e passante per P : la retta sP del conoide uscente
da P passa per Q = πP ∩ r.

 x=1+v
y=t
Quindi: P (0, t, sen t), πp : y = t =⇒ Q = (1, t, 0); sP = retta QP =

z = v sen t

x
=
1
+
v

y=t
, (t, v) ∈ IR2 .
Una rappresentazione parametrica del conoide e` proprio

z = v sen t
Un’equazione cartesiana si trova “eliminando” i parametri t, v: v = x − 1, t = y =⇒ z = (x − 1) sen y.
(Si potrebbe riconoscere che la superficie di equazione
z = (x − 1) sen y e` rigata perch´e intersecandola col
y=k
fascio di piani y = k si trova la famiglia di rette
, k ∈ IR ).
z = sen k (x − 1)

 x = R cos t
y = R sen t, (h 6= 0) , sia r : x = y = 0 (r = asse z), π :
(2). Consideriamo l’elica cilindrica L :

z = ht
z = 0.

 x = R v cos t
z
y
y = R v sen t ,
=⇒
Il conoide (retto) definito da questi dati e` l’elicoide:
( quindi = tg t, t =

x
h
z = ht
z
superficie di equazione cartesiana y = x tg
.
h
12
3.9
Superfici di rotazione.
Una superficie si dice di rotazione se e` un luogo di circonferenze aventi tutte lo stesso asse. Ricordiamo che
l’asse di una circonferenza e` la retta perpendicolare al piano che la contiene a passante per il suo centro. Si
pu`o dimostrare che una superficie di rotazione luogo di circonferenze parallelle al piano ax + by + cz = 0 ha
equazione del tipo
F (x2 + y 2 + z 2 , ax + by + cz) = 0.
Esempio 3.11 Scrivere un’equazione cartesiana per la superficie ottenuta ruotando la parabola x = y 2 − z = 0
attorno al suo asse x = y = 0.
Per ogni punto P della linea L che ruota attorno alla retta a devo scrivere la circonferenza γP descritta da P
nella rotazione: γP =
(sfera con centro in C, punto fisso sull’asse a, e raggio CP ) ∩ ( piano per P ortogonale all’asse di rotazione).
Nel
caso P (0, t, t2 ), si pu`o scegliere il centro C = (0, 0, 0) ∈ asse z:
nostro
2
2
x + y + z 2 = t2 + t4
=⇒ x2 + y 2 + z 2 = z + z 2 .
z = t2
Quindi la superficie ottenuta ha equazione x2 + y 2 = z
3.10
(`e paraboloide ellittico in forma canonica).
Quadriche.
Vedere appunti separati.
4
Cono tangente ad una curva piana in un punto singolare.
Sia C una curva piana passante per O(0, 0) di equazione g(x, y) = 0. Supponiamo g ammetta derivate parziali
almeno fino al 2o ordine.
Ricordiamo che g avendo derivate seconde ammette uno sviluppo in serie di Taylor in (0, 0) del tipo:
g(x, y) = gx (O)x + gy (O)y +
1
2
gxx (O)x2 + 2gxy (O)xy + gyy (O)y 2 + O2 (||(x, y)||)
dove O2 (||(x, y)||) tende a zero di ordine > 2 quando (x, y) → (0, 0).
(1) Se almeno una delle due derivate parziali gx (O), gy (O) e` non nulla, quindi la matrice jacobiana J(O) =
(gx (O), gy (O)) e` non nulla, la retta tangente a C nell’origine e`
gx (O)x + gy (O)y = 0.
(Infatti questa retta incontra C in un punto almeno doppio.)
(2) Supponiamo ora che C non abbia retta tangente in O, ossia che J(O) = 0 ( si dice che la curva C e` singolare in O ). Supponiamo che la forma omogenea di secondo grado
nello sviluppo in serie
di g sia non nulla,
gxx (O) gxy (O)
quindi che la matrice hessiana calcolata nell’origine H(O) =
sia non nulla.
gxy (O) gyy (O)
2
2
Per semplicit`a scriviamo la forma di grado 2 come ax +2bxy+cy (quindi a = gxx (O), b = gxy (O), c =
gyy (O)).
Definizione 4.1 Diremo che la curva di equazione ax2 + 2bxy + cy 2 = 0 e` il cono tangente a C in O.
Il cono tangente e` l’unione di due rette, perch´e una forma omogenea in due variabili si spezza per il teorema fondamentale dell’algebra nel prodotto di forme di grado 1 (eventualmente a coefficienti complessi).
Per capire la definizione,
consideriamo il fascio di rette uscenti da O: λx + µy = 0 e studiamone
λx + µy = 0
l’intersezione con C:
ax2 + 2bxy + cy 2 + O2 (x, y) = 0
se λ 6= 0 scriviamo per semplicit`a l’equazione della retta come x = hy (se λ = 0 non cambia quasi nulla
nel
ragionamento). Otteniamo
x = hy
x = hy
=⇒
.
ax2 + 2bxy + cy 2 + O2 (x, y) = 0
x2 (ah2 + 2bh + c) + O2 (x, mx) = 0
13
Se ah2 + 2bh + c 6= 0, allora l’intersezione consiste nell’origine contata due volte unita eventualmente
con altri punti distinti da O. Se ah2 + 2bh + c = 0 allora la molteplicit`a di intersezione della retta con
C e` maggiore di due: le due rette che soddisfano questa condizione, si dicono rette tangenti a C in O, la
loro unione costituisce il cono tangente.
Si distinguono tre casi:
a b
2
(a) b − ac > 0, equivalentemente det
= det H < 0, dove H e` la matrice hessiana di g
b c
calcolata in O.
Le rette tangenti sono due, reali e distinte (il punto O e` un “nodo” per C ),
la forma ax2 +2bxy+cy 2 e` l’equazione del cono tangente e si scompone nel prodotto delle equazioni
delle due rette tangenti in O.
(b) b2 − ac = 0, equivalentemente det H = 0.
Le rette tangenti sono due coincidenti (retta doppia: il punto O e` una “cuspide” per C),
la forma ax2 + 2bxy + cy 2 e` il quadrato di una forma lineare.
(c) b2 − ac < 0, equivalentemente det H > 0.
Le rette tangenti sono complesse (il punto O e` un “punto isolato” per C), la forma ax2 + 2bxy + cy 2
non si scompone a coefficienti reali.
(3) Se in O la matrice jacobiana e la matrice hessiana fossero entrambe nulle e se la funzione g(x, y) ammettesse anche le derivate parziali terze, non tutte nulle, allora il cono tangente e` definito dalla forma di
grado tre dello sviuppo di Taylor in O. (Infatti g(x, y) = a30 x3 + 3a21 x2 y + 3a12 xy 2 + O3 (||(x, y)||);j
le rette “tangenti” saranno tre.)
Il seguente esempio illustra i tre casi possibili (a), (b), (c) di (2).
Esempio 4.2 Studiamo per h ∈ {−1, 0, 1} il cono tangente in O(0, 0) alla curva C singolare in O di equazione
y 2 = hx2 + x3 .
2
3
(1) Caso h = 0. g(x, y) = y − x = 0. Il cono tangente ha equazione y 2 = 0 quindi consiste in una retta
doppia (asse x). Per disegnare la curva
C potremmo esplicitare y in funzione di x e vedere la curva C
√
come unione dei due grafici y = ± x3 .
(2) Caso h = 1. g(x, y) = x2 − y 2 + x3 = 0. Il cono tangente ha equazione (x − y)(x + y) = 0 quindi
si spezza nell’unione delle due bisettrici (x − y = 0) ∪ (x + y = 0). Per disegnare√la curva C potremmo
esplicitare y in funzione di x vedere la curva C come unione dei due grafici y = ± x2 + x3 .
(3) Caso h = −1. g(x, y) = x2 +y 2 −x3 = 0. Il cono tangente ha equazione x2 +y 2 = (x+iy)(x−iy) = 0
quindi e` l’unione di due rette complesse: questo significa che non ci sono punti della curva in un intorno
dell’origine.
Nella figura seguente sono riportati i disegni della curva C rispettivamente nei tre casi h = 0, h = 1, h = −1.
5
Intersezioni di una superficie con un piano tangente.
Questo paragrafo riguarda lo studio delle curve intersezioni di una superficie con i piani tangenti: vedremo che
l’intersezione di una superficie S col piano tangente in un suo punto P e` una curva C singolare in P . Distingueremo il tipo di punto come ellittico, iperbolico, parabolico a seconda del tipo di singolarit`a della curva.
Questo studio chiarisce meglio la ”forma” della superficie in un intorno di P .
Sia S sia una superficie definita dall’equazione F (x, y, z) = 0 e sia P (x0 , y0 , z0 ) punto regolare di S. Supponiamo che la funzione F (x, y, z) sia differenziabile almeno due volte in un aperto di IR3 contenente P .
Allora lo sviluppo in serie di Taylor di F in P (x0 , y0 , z0 ) ∈ S (ricordare che F (x0 , y0 , z0 ) = 0) ) e` :
F (x, y, z) = Fx (P )(x − x0 ) + Fy (P )(y − y0 ) + Fz (P )(z − z0 )+
i
1h
Fxx (P )(x−x0 )2 + 2Fxy (P )(x−x0 )(y−y0 ) + Fyy (P )(y−y0 )2 + 2Fxz (P ) · · · + Fzz (P )(z−z0 )2
2
+ O2 ||(x, y, z)−P || ,
14
dove i termini lineari definiscono l’equazione del piano tangente a S in P
Fx (P )(x − x0 ) + Fy (P )(y − y0 ) + Fz (P )(z − z0 ) = 0,
la funzione “resto” O2 ||(x, y, x)−P || tende a zero di ordine > 2 quando (x, y, z) → (x0 , y0 , z0 ),
se almeno
una delle derivate seconde di F e` non nulla in P , la superficie di equazione F (x, y, z)−O2 ||(x, y, z)−
P || = 0, si chiama quadrica osculatrice a S in P . Notare che la quadrica osculatrice ha equazione






Fxx Fxy Fxz
x−x0
x−x0
1
Fx , Fy , Fz (P )  y−y0  + x−x0 , y−y0 , z−z0  Fxy Fyy Fyz  (P )  y−y0  = 0
2
Fxz Fyz Fzz
z−z0
z−z0
o meglio,




x−x0
x−x0
1
x−x0 , y−y0 , z−z0 H(P )  y−y0  = 0,
J(P )  y−y0  +
2
z−z0
z−z0
dove J(P ), H(P ) sono la matrice Jacobiana e la matrice Hessiana di F calcolate in P .
Mediante un’opportuna rototraslazione degli assi possiamo sempre fare in modo che P = O(0, 0, 0) e che il
piano tangente in O ad S abbia equazione z = 0. Quindi nel riferimento cos`ı ottenuto e mediante lo sviluppo
in serie di Taylor di F in O al secondo ordine, possiamo scrivere l’equazione di S in un intorno di O pi`u semplicemente come
 
x
1
F (x, y, z) = z + x, y, z H(O)  y  + O2 (||(x, y, z)||) = 0.
2
z
L’intersezione tra S e il piano tangente in O e` la curva (piana)
F (x, y, z) = 0
Fxx (O) x2 + 2Fxy (O) xy + Fyy (O) y 2 + 2O2 (||(x, y, z)||) = 0
⇐⇒
.
z=0
z=0
Abbiamo quindi:
Proposizione 5.1 L’intersezione di una superficie S col piano tangente in un suo punto regolare P e` una curva
C avente in P un punto singolare.
Studiando il cono tangente alla curva singolare C, possiamo dare la seguente definizione:
Definizione 5.2 Sia S superficie e sia P punto regolare di S e sia C la curva sezione della superficie S col
piano tagente in P . Diremo che P e` punto parabolico, iperbolico, ellittico o planare a seconda che il luogo
(cono tangente alla curva C in P ) definito da
φxx (P )x2 + 2φxy (P )xy + φyy (P )y 2 = 0
sia rispettivamente costituito da due rette coincidenti, due rette reali incidenti, due rette complesse con P unico
punto reale, oppure si abbia φxx (P ) = φxy (P ) = φyy (P ) = 0.
Proposizione 5.3 Con le notazioni precedenti, sia H(x, y) la matrice Hessiana della curva piana C. Allora il
punto P ∈ S e` :

parabolico ⇐⇒ det H(0, 0) = 0, rango H = 1
 iperbolico ⇐⇒ det H(0, 0) < 0

 ellittico
⇐⇒ det H(0, 0) > 0
planare
⇐⇒ H(0, 0) = (matrice nulla)
5.0.1
Caso delle quadriche.
Proposizione 5.4 L’intersezione di una quadrica (a punti reali e
suo piano tangente e` una conica degenere:

coppia di rette reali incidenti se Q e` doppiamente rigata
 retta doppia se Q e` cono o cilindro
coppia di rette complesse coniugate se Q non e` rigata
15
che non sia unione di due piani) Q con un
(diremo che Q ha punti iperbolici)
(diremo che Q ha punti parabolici)
(diremo che Q ha punti ellittici)
Dim. Sia P punto di Q e sia π il piano tangente a Q in P . Mediante un cambiamento di coordinate possiamo
fare in modo che P = O(0, 0, 0) e che l’equazione di π sia z = 0. Come visto l’equazione di Q e` del tipo
ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dxz + 2eyz + f z 2 − z = 0.
L’intersezione Q ∩ π e` una conica (essendo l’intersezione di una superficie di grado due con un piano) che si
trova risolvendo il sistema
ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dxz + 2eyz + f z 2 − z = 0
ax2 + 2bxy + cy 2 = 0
⇐⇒
.
z=0
z=0
Si vede immediatamente che la conica e` degenere e quindi unione di due rette. Abbiamo vari casi da considerare:
Se a = b = c = 0 =⇒ Q e` unione di due piani di equazione: z(2dx + 2ey + f z − 1) = 0.
 Negli altri casi avremo che la conica e` :
coppia di rette reali incidenti
se b2 − ac > 0 (conica degenere di tipo iperbolico)
 retta doppia
se b2 − ac = 0 (conica degenere di tipo parabolico)
coppia di rette complesse coniugate se b2 − ac < 0 (conica degenere di tipo ellittico)
Corollario 5.5 Data una quadrica Q a punti reali che non sia coppia di piani, sia A la matrice (4×4) associata
a Q allora:

se |A| > 0 la quadrica e` a punti iperbolici
 se |A| < 0 la quadrica e` a punti ellittici
se |A| = 0 la quadrica e` a punti parabolici
Dim. Chiaramente i punti su una quadrica Q sono tutti dello stesso tipo; inoltre il piano tangente in un punto
P ad una superficie contiene le eventuali rette della superficie passanti per P . Ricordiamo infine che per una
quadrica a punti reali il segno di det A distingue se la quadrica e` a punti iperbolici, parabolici o ellittici.
Avremo

punti iperbolici ⇐⇒ Q doppiamente rigata (paraboloide iperbolico, iperbolide a una f alda)

⇐⇒ |A| > 0

.
 punti parabolici ⇐⇒ Q cono o cilindro ⇐⇒ |A| = 0
punti ellittici
⇐⇒ Q paraboloide ellittico o ellissoide o iperboloide a due f alde ⇐⇒ |A| < 0
5.0.2
Caso z = ϕ(x, y).
Supponiamo che in un intorno del punto P (x0 , y0 , z0 ) in esame la superficie data abbia equazione cartesiana
del tipo z = φ(x, y). Allora il piano tangente a S in P ha equazione
z − z0 = φx (P )x + φy (P )y.
Supponiamo anche che P = (0, 0, 0) (sempre possibile a meno di traslazione); sviluppando in serie di Taylor
φ otteniamo
z = φx (P )x + φy (P )y + 21 φxx (P )x2 + 2φxy (P )xy + φyy (P )y 2 + O2 (x, y).
L’ intersezione col piano tangente d`a quindi la curva piana C singolare in P (5.1) di equazioni
(
z = φx (P )x + φy (P )y
φxx (P )x2 + 2φxy (P )xy + φyy (P )y 2 + O2 (x, y) = 0 .
Il cono tangente della proiezione ortogonale C 0 di C sul piano z = 0 e` dello stesso tipo di quello di C e ha
equazione
φxx (P )x2 + 2φxyx (P )xy + φyy (P )y 2 = 0.
Quindi lo studio del tipo di punto si pu`o fare pi`u facilmente senza bisogno della roto-traslazione in O, come
nel caso della prop.5.3:
Proposizione 5.6 Con le notazioni precedenti, sia S superficie definita dall’equazione z = φ(x, y) e sia
H(x, y) la matrice Hessiana della funzione ϕ(x, y). Allora il punto P ∈ S e` :
16

parabolico
 iperbolico

 ellittico
planare
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
det H(P ) = 0, rango H = 1
det H(P ) < 0
det H(P ) > 0
H(P ) = (matrice nulla)
Esempio 5.7 (1) Studiare il tipo del punto O(0, 0, 0) e del punto A(−1, 1, 1) sulla superficie di equazione
x + y 2 + x3 + z 3 = 0. (Studiare direttamente l’intersezione col piano tangente nei due punti).
(2) Studiare il tipo dei punti della superficie z = exy.
Risposta. φx = yexy , φy = xexy ,
H(x, y) =
y 2 exy
(1 + xy)exy
(1 + xy)exy
x2 exy
,
det(H) = (−1 − 2xy)exy .
Quindi se (x, y) sta sull’iperbole 2xy + 1 = 0 il punto e` punto ”parabolico”; i punti per cui (x, y) e`
”esterno” all’iperbole sono punti iperbolici (per esempio O(0, 0, 0) e` punto iperbolico), mentre i restanti
sono ellittici.
(3) Studiare il tipo dei punti della superficie z = x3 − xy 2 detta sella di scimmia.
2
2
Risposta. φ
x = 3x − y , φy = −2xy,
6x −2y
H(x, y) =
, det(H) = −12x2 − 4y 2 = −4(3x2 + y 2 ).
−2y −2x
Quindi tutti i punti sono iperbolici, salvo l’origine, che e` ”planare:” l’intersezione col piano tangente in O
e` costituita da 3 rette uscenti da O (quindi e` curva avente in O un punto triplo).
6
Curvatura di una linea in un punto regolare.
E’ abbastanza intuitivo il concetto di curvatura in un punto P di una linea: richiamiamo la definizione.
6.1 Sia α : I ⊂ IR −→ IRn , α(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) funzione differenziabile almeno due volte
dove I = (a, b) e` intervallo aperto. Diremo curva C l’insieme dei punti ottenuti: C = {(x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈
IRn , t ∈ I}.
Rt
Esiste per una curva C una parametrizzazione speciale che richiamiamo: sia s = s(t) = t0 kα0 (t)k dt,
con t0 , t ∈
(a, b) “ascissa curvilinea”, e sia β(s) := α(t(s)) ottenuta col cambio di parametro (parametrizzazione attraverso la lunghezza dell’arco: la lunghezza ` dell’arco di curva tra due punti P1 = β(s1 ), P2 = β(s2 ) e`
uguale alla lunghezza dell’intervallo di estremi s1 , s2 : ` = |s2 − s1 |).
Sia P = β(s) = α(t) ∈ C, richiamiamo i seguenti fatti:
1. β(s) e` rappresentazione parametrica della curva C con velocit`a unitaria perch´e ||β 0 (s)|| = 1.
2. Il versore t =
α0 (t0 )
= β 0 (s0 ), con s0 = s(t0 ) si chiama versore tangente a C in P0 = α(t0 )
||α0 (t0 )||
3. t0 = β 00 (s0 ) e` ortogonale a β 0 (s0 ) ed e` vettore orientato verso la concavit`a dell’arco C.
4. Si definiscono inoltre il versore normale e quello binormale che formano con t la terna ortonormale
intrinseca {t, n, b}, secondo le seguenti formule:
t0
β 00
(α0 ∧ α00 ) ∧ α0
il versore normale e` n := 0 =
(s
)
=
(t0 )
0
||t ||
||β 00 ||
||α0 ∧ α00 || ||α0 ||
il versore binormale e` b := t ∧ n =
α0 ∧ α00
β 0 ∧ β 00
(s
)
=
(t0 ).
0
||β 00 ||
||α0 ∧ α00 ||
5. Il raggio di curvatura in P ∈ C e` definito come R :=
1
||t0 ||
La curvatura in P e` per definizione
1
k := ||t || = ||β (s0 )|| =
=
R
0
00
p
||α0 ||2 ||α00 ||2 − |(α0 · α00 )|2
||α0 ∧ α00 ||
=
(t0 ).
0
3
||α ||
||α0 ||3
17
Il raggio di curvatura R e` il raggio del cerchio osculatore cio`e del cerchio “tangente” in P0 a C (ossia che
assorbe in P0 almeno 3 delle sue intersezioni con la curva) contenuto nel piano osculatore ( piano passante
per P e parallelo ai vettori t e n e quindi contenente l’arco di curva C in un intorno di P0 ).
NB. Percorrendo la curva α(t) in verso opposto (quindi sostituendo t con −t, il vettore tangente cambia
segno, quindi verso, ma il vettore normale resta invariato, con verso concorde a C − P , se indichiamo con C il
centro del cerchio osculatore.
Esempio 6.2 Per capire le definizioni precedenti si consideri la circonferenza di raggio r nel piano z = 0 data
con le equazioni parametriche
α(t) = (r cost, r sent, 0) ovvero con ascissa curvilinea : β(t) = (r cos(t/r), r sen(t/r), 0).
Si ha: t = (−sen(t/r), cos(t/r), 0) , t0 = (−(1/r) cos(t/r), −(1/r) sen(t/r), 0) , quindi otteniamo
1
che la curvatura del cerchio e` ||t0 || =
(inverso del raggio!).
r
Notare infine che nel punto P = (rcost, rsent, 0) il vettore nP = (−cos(t/r), −sen(t/r), 0) , ha verso
concorde col vettore (O − P ).
a
a
Esempio 6.3 Sia ora C la parabola y = x2 , z = 0, di equazioni parametriche α(t) = t, t2 , 0 :
2
2
α0 (t) = (1, at, 0),
α00 (t) = (0, a, 0) ,
α0 ∧ α00 = (0, 0, a)
√
a
a
(−at, 1, 0), b =
(0, 0, 1).
t = (1, at, 0)/ 1 + a2 t2 , n = √
2
2
|a|
|a| 1 + a t
La sua curvatura nel punto α(t) vale
|a|
||α0 ∧ α00 ||
(P ) = √
k=
.
||α0 ||3
( 1 + a2 t2 )3
Abbiamo 0 < k ≤ |a| e il massimo di curvatura si ha in O(0, 0, 0) : k = |a|.
Il cerchio osculatore in O ha centro del tipo (0, h) e raggio = |h|, quindi equazione x2 + y 2 − 2hy = z0. Per
determinarlo studiamo cerchio
 ∩ parabola:
a
(
(
a
a 2
 y = x2
y = x2
y= x
2
2
=⇒
=⇒
;
2
2
 x2 + a x4 − hax2 = 0
x2 + y 2 − 2hy = 0
x2 (a2 x2 + 4 − 4ha) = 0
4
1
affinch`e O assorba almeno tre intersezioni deve essere 4 − 4ha = 0 quindi h = .
a
1
Ritroviamo in questo modo che il raggio di curvatura e` R =
e la curvatura e` k = |a|.
|a|
Troviamo pi`u in generale il cerchio osculatore nel√
punto P (1, a, 0): il centro C = (1 − 2au, a + u, 0) ∈ retta
normale a t uscente da P il raggio R = CP = |u| 4a2 + 1.
L’intersezione
cerchio ∩ parabola ha rappresentazione cartesiana
y = ax2
y = ax2
⇐⇒
2
2
2 2
2
(x − 1 + 2au) + (y − a − u) = 4a u + u
(x − 1 + 2au)2 + (ax2 − a − u)2 = 4a2 u2 + u2
y = ax2
=⇒
(x − 1)2 + 4au(x − 1) + 4a2 u2 + a2 (x − 1)2 (x + 1)2 − 2au(x + 1)(x − 1) + u2 = 4a2 u2 + u2
(x − 1)[(x − 1) − 2au(x − 1) + a2 (x − 1)(x + 1)2 ] = (x − 1)2 [1 − 2au + a2 (x + 1)2 ] = 0.
Affinch´e A assorba tre intersezioni, e` necessario che x √
= 1 sia radice di molteplicit`a almeno 3, quindi
2
2
1
+
4a
(1
+
4a
)
4a2 + 1
1 − 2au + 4a2 = 0 =⇒ u =
=⇒ R =
.
2a
2|a|
Ritroviamo direttamente la curvatura data precedentemente per mezzo della formula generale. Esempio 6.4 Vogliamo calcolare la curvatura in P (0, 0, 0) della linea L definita da


 X=t
Y = mt
α(t) :
(a 6= 0).

 Z = a t2 + O2 (||(X, Y, Z)||)
2
18
Si ha: α0 (P ) = (1, m, 0),
α00 (P ) = (0, 0, a) ,
Quindi L in P (0, 0, 0) ha curvatura k =
7
(α0 ∧ α00 )(P ) = a(m, −1, 0),
n(P ) = (0, 0,
a
).
|a|
||α0 ∧ α00 ||
|a|
(P ) = 2
(calcolo diretto come in 6.1).
0
3
||α ||
m +1
Curvatura di una superficie in un punto.
Quando passiamo in dimensione 2, non e` pi`u cos`ı evidente come possa definirsi la curvatura di una superficie
S in un suo punto P . Chiaramente deve essere legata alle curvature delle linee contenute in S e passanti per P .
Se per esempio S e` un piano, e` ovvio che ci sono curve con ogni curvatura passanti per P . L’idea invece e` che
la curvatura di un piano sia = 0. Si capisce da questo esempio che una buona definizione si otterr`a andando a
studiare le curvature delle sezioni normali di S in P . Una sezione normale in P e` la curva intersezione di S
con un piano ortogonale al piano tangente e passante per P . (Nel caso del piano, le sezioni normali sono
tutte rette, con curvatura nulla, come auspicato). Vedremo nel prossimo paragrafo che queste curvature (salvo
alcuni casi) hanno un valore massimo k1 ed un valore minimo k2 che si ottengono intersecando S con due
piani π1 , π2 tra loro ortogonali. Quindi possiamo sempre supporre che in un intorno del punto P0 in esame la
superficie data abbia equazione cartesiana del tipo z = φ(x, y).
7.0.3
Caso di superficie definita da un’equazione cartesiana f (x, y, z) = 0 oppure z = φ(x, y).
Consideriamo ora la superficie S regolare in P di equazione f (x, y, z) = 0. Ruotiamo e trasliamo gli assi in
modo che il piano tangente in P abbia equazione z = 0, e P = (0, 0, 0). Il Teorema 3.6 afferma che e` possibile
scrivere l’equazione di S in un intorno di P in una delle forme z = φ(x, y), oppure x = φ1 (y, z), oppure
y = φ2 (x, z). Visto che il piano tangente e` z = 0, l’unica possibile e` la forma z = φ(x, y). Applicando
Taylor (se φ non polinomiale) si ottiene:
1
z = φ(x, y) = (φxx (P )x2 + 2φxy (P )xy + φyy (P )y 2 ) + O2 (||(x, y)||).
2
Eseguiamo ancora una rotazione degli assi attorno all’asse z in modo da avere la forma quadratica (φxx x2 +
2φxy xy + φyy y 2 ) dello sviluppo in serie di Taylor di φ in forma canonica:(λ1 X 2 + λ2 Y 2 ) per cui
λ1 2 λ2 2
Z=
X + Y + O2 (||(X, Y )||)
2
2
con λ1 , λ2 autovalori della matrice hessiana. Per definire la curvatura della superficie in P , si calcolano le
curvature delle sezioni normali in P , cio`e le curvature delle linee ottenute tagliando la superficie col fascio di
piani aX + bY = 0 contenenti l’asse Z, (quindi ortogonali al piano tangente). Si definiscono le curvature
normali assegnando a tali curvature segno + o − a seconda che il vettore normale della sezione sia n = (0, 0, 1)
oppure (0, 0, −1).
(1) Se λ1 = λ2 = 0 il punto si dice planare.
λ1 2
(2) Supponiamo λ1 6= 0, λ2 = 0. L’equazione della superficie diventa Z =
X + O2 (||(x, y, z)||).
2
X=0
Se tagliamo con X = 0, otteniamo
, che avendo il vettore normale nullo ha curvatura
Z = O2 (Y, Z)
nulla.


 X=t
Y = mt
Se tagliamo col generico piano Y = mX otteniamo la linea L :
.

 Z = λ1 t2 + O2 (||(X, Y, Z)||)
2
λ1
|λ1 |
L ha vettore normale n = (0, 0,
) e curvatura k = 2
(vedere Esempio 6.4).
|λ1 |
m +1
Quindi la curvatura normale in P di L e`
|λ1 |
λ1
λ1
kN = 2
0, 0,
· (0, 0, 1) = 2
.
m +1
|λ1 |
m +1
Le curvature normali kN sono comprese tra
19
0 ≤ kN ≤ λ1 , se λ1 > 0,
oppure
λ1 ≤ kN ≤ 0, se λ1 < 0.
Il punto e` di tipo parabolico per quanto visto precedentemente.
λ1 2 λ2 2
X + Y + O2 (||(X, Y, Z)||) con λ1 ≥ λ2 , λ1 λ2 6= 0.
2
2
Studiamo le curve intersezione della superficie col fascio di pianiax + by = 0, che possiamo anche scrivere
come (y = mx) ∪ (x = 0) contenenti l’asse z:
per tali curve possiamo dare la rappresentazione parametrica


X= t



 X=0
Y = mt
Y =t
∪
2


 Z = (λ1 + λ2 m ) t2 + O (t)
 Z = λ2 t2 + O2 (||(X, Y, Z)||).
2
2
2
Procedendo analogamente all’Esempio6.4, le curvature
normali
in
P
(0, 0, 0) risultano essere
λ2 2
1+ m
λ1
λ1 ∪ kN = λ2 .
kN =
1 + m2
(3) Sia ora
Z=
Inoltre al variare di m avremo curvature normali λ2 ≤ kN ≤ λ1 (= λ1 , se m = 0). Quindi la
massima e la minima curvatura sono rispettivamente i due autovalori λ1 , λ2 della matrice hessiana.
Il punto e` di tipo ellittico oppure iperbolico, a seconda del segno dei due autovalori.
Possiamo concludere che
Teorema 7.1 Le sezioni normali nel punto P di una superficie S avente equazione derivabile almeno due volte,
non singolare e non planare, hanno in P curvatura normale limitata :
λ2 ≤ kN ≤ λ1 ;
inoltre le curve di massima e minima curvatura giacciono su due piani ortogonali tra loro.
Precisamente, scelta una rappresentazione della superficie del tipo z = φ(x, y) in modo che P (0, 0, 0) e
il piano tangente in P abbia equazione z = 0, la curvatura delle sezioni
normali e` compresa tra i due
φxx (P ) φxy (P )
autovalori λ2 , λ1 della matrice hessiana H(P ) =
della funzione φ(x, y). Inoltre le
φxy (P ) φyy (P )
curve di massima e minima curvatura giacciono nei due piani perpendicolari aventi come vettori normali gli
autovettori della matrice H(P ).
Definizione 7.2 Si chiamano curvatura di Gauss e curvatura media rispettivamente il prodotto degli autoλ1 + λ2
T r(H)
valori della matrice hessiana H e la loro media: K = λ1 λ2 = det H
km =
=
.
2
2
Corollario 7.3 - Se la curvatura di Gauss in P e` positiva la superficie in un intorno del punto e` contenuta in
uno dei due semispazi individuati dal piano tangente (`e convessa e P e` punto ellittico)
- Se la curvatura di Gauss in P e` negativa la superficie contiene curve contenute in entrambi i semispazi
individuati dal piano tangente (per esempio punto di sella); ( P e` punto iperbolico).
- Il caso curvatura di Gauss nulla significa punto parabolico.
- Se l’equazione della superficie e` del tipo z = ax2 + by 2 , la massima e la minima curvatura sono 2a, 2b.
√
Esempio 7.4 (1) Consideriamo√il cilindro z 2 + x2 − 2z =√0. In un intorno di O abbiamo z = 1 ± 1 − x2
noi scegliamo z = g(x) = 1 − 1 − x2 (perch´e z = 1 + 1 − x2 non passa per O).
x
1
√
Abbiamo g 0 (x) = √
, g 00 (x) =
.
2
2
1−x
(1 − x ) 1 − x2
Se taglio con x = 0 ottengo la retta x = z = 0 che ha curvatura
nulla. Tagliando il cilindro con un piano

 x=t
y = mt
y = mx otteniamo come sezione normale la linea α(t) =
Quindi la curvatura in O

z = t2 /2 + O2 (t)
||(m, −1, 0)||
1
verifica 0 < kN = p
≤ 1. Possiamo concludere che la curvatura k di una sezione
=
2
2
3
(m + 1)
(m + 1)
20
normale in O al cilindro verifica 0 ≤ k ≤ 1.
Quindi il cilindro ha curvatura di Gauss nulla in ogni suo punto.
(2). Stabilire il tipo di punto dell’origine O per le seguenti superfici S1 , S2 , S3 di equazione
S1 : z = xy, S2 : z = y 2 − x4 , S3 : x + y + z − x2 − y 2 − z 3 = 0.
Caso di superficie data mediante equazioni parametriche P (u, v). (Cenno)

 x = g1 (u, v)
y = g2 (u, v) .
Nel caso di superficie S data in parametriche, S : P (u, v) = g(u, v) =

z = g3 (u, v)
Siano P = g( u0 , v0 ), N P = vers (gu ∧ gv ) (P ).
7.0.4
Per decidere se il punto P e` di tipo parabolico, iperbolico, ellittico o planare dobbiamo studiare l’intersezione
di S col piano tangente in P : questa intersezione si pu`o determinare mediante l’equazione
(P (u, v) − P ) · N P = 0.
D’altra parte indicando per brevit`a con Pu , Pv , . . . le derivate parziali di g calcolate in P , notoriamente lo
sviluppo in serie di Taylor in P e` : P (u, v) − P =
Pu (u − u0 ) + Pv (v − v0 ) + 21 (Puu (u − u0 )2 + 2Puv (u − u0 )(v − v0 ) + Pvv (v − v0 )2 + O2 (||P (u, v) − P ||).
Tenendo conto che Pu ⊥ N P , Pv ⊥ N P otteniamo la linea nel piano < u, v > di equazione
(Puu (u − u0 )2 + 2Puv (u − u0 )(v − v0 ) + Pvv (v − v0 )2 ) · N P = 0.
Visto che il punto P e` regolare, questa curva nel piano < u, v > e` in corrispondenza biunivoca con la curva
S ∩(piano tangente in P ). Inoltre questa corrispondenza induce corrispondenza biunivoca tra le rette tangenti
alle due curve, ne consegue che il tipo di punto dipende dal carattere di definizione delle forma quadratica
Q(u, v) = L(u − u0 )2 + 2M (u − u0 )(v − v0 ) + N (v − v0 )2 .

 L = Puu · N P
L M
M = Puv · N P e quindi dal determinante della matrice A =
.
dove
M N

N = Puu · N P
Nota. Se volessimo
S in P si devono considerare anche i tre numeri
 la curvatura della superficie
 E = Pu · Pu = ||Pu ||2
E F
F = Pu · Pv
per cui il det
= ||Pu ∧ Pv ||2 .
F G

2
G = Pvv · Pvv = ||Pvv ||
Si dimostrano le seguenti formule
(1) Curvatura di Gauss = K =
LN − M 2
;
EG − F 2
LG − 2M F + N E
;
2(EG − F 2 )
√
(3) Curvature massima e minima k1,2 = H ± H 2 − K.
(2) Curvatura media
8
=H =
Superfici sviluppabili. (Cenno)
Si chiama superficie sviluppabile una superficie che verifica le seguenti condizioni equivalenti.
Teorema 8.1 Sono fatti equivalenti
(1) S e` superficie isometrica ad una regione del piano reale contenente un aperto non vuoto, cio`e pu`o essere
localmente deformata in una regione del piano compatta, connessa e con bordo regolare a tratti (se esiste)
senza cambiare le misure di angoli e lunghezze, cio`e tramite un diffeomormismo che conserva il prodotto
scalare.
21
(2) S ha curvatura di Gauss nulla in ogni punto (essendo isometrica al piano che ha curvatura nulla)
(3) S e` superficie rigata nel senso che preso un punto P di S c’`e un intervallo di retta RP completamente
contenuto in P .
(4) Il piano tangente lungo una generatrice si mantiene costante.
(5) S = Scil ∪ Scono ∪ Stan ,
dove con Scil denotiamo parti di cilindro, con Scono parti di cono e con Stan parti di superficie luogo delle
rette tangenti a curve gobbe (non piane) nello spazio.
(Dimostrazione omessa)
Esempio 8.2 Sono superfici sviluppabili
(1) i cilindri, e i coni che avendo tutti punti parabolici hanno curvatura di Gauss nulla in ogni punto.
(2) L’oloide
(3) l’Elicoide sviluppabile, luogo delle rette tangenti all’elica Rcos T, Rsen t, ht.
(4) Le superfici fatte piegando fogli di carta (es Origami).
Le superfici sviluppabili vengono utilizzate per esempio nella costruzione delle carene a spigolo (ma hanno
molte altre applicazioni, per esempio nella realizzazioni di manufatti in lamiera, nella realizzazione di carte
geografiche).
22

Ingegneria Edile-Architettura Test di Geometria

Prova suppletiva liceo di ordinamento

Lezione 21. 26 Novembre 2014 2 ore

Liceo della comunicazione e corsi sperimentali

Compensazione di un anello di livellazione

Prova scritta con svolgimento 02/09 (pdf)

Compito 8

Matematica - C.d.L. in Scienze Biologiche A.A. 2013/2014 Università

y = x +1 2x −2y = 2 ⎧ ⎨ ⎩ y = x +1 2x − y =1 ⎧ ⎨ ⎩ y = x +1

Corso di Chimica Fisica 1 con Laboratorio (Canale M