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Bozza del 03-06
La seguente lista di problemi/esercizi verrà aggiornata di volta in volta (fare riferimento alla data
qui sopra) e comprende questioni che vengono citate a lezione e lasciate agli studenti da
completare.
1.
2.
Se z e w sono due numeri complessi, verificare che |z+w||z|+|w| e che |zw|=|z||w|.
Sia V uno spazio vettoriale e v1, …, vn vettori di V. Per ciascuna delle seguenti implicazioni, dire
se è vera o se è falsa; se è vera, dimostrarla; se è falsa esibire un contro esempio:
v1, …, vn linearmente indipendenti in V

v1, …, vn-1 linearmente indipendenti in V
v1, …, vn-1 linearmente indipendenti in V

v1, …, vn linearmente indipendenti in V
v1, …, vn linearmente dipendenti in V

v1, …, vn-1 linearmente dipendenti in V
v1, …, vn-1 linearmente dipendenti in V

v1, …, vn linearmente dipendenti in V
v1, …, vn generano V

v1, …, vn-1 generano V
v1, …, vn-1 generano V

v1, …, vn generano V
3. Dimostrare che i due vettori (a,b) e (c,d) sono linearmente dipendenti in K2 se e solo se
ad-bc=0.
4. Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi dello spazio vettoriale Vn dei polinomi a coefficienti
reali di grado al più n dire (giustificando la risposta) se si tratta di un sottospazio vettoriale:
W1= {p(x)V : p(0)=1},
W2= {p(x)V : p(1)=0},
W3= {p(x)V : p(1)=p(0)2}.
5. Sia K un corpo e a1, …, an siano n elementi di K.
Dire se i seguenti sono sottospazi vettoriali di Kn:
 V = {(x1,x2,…,xn)Kn: a1x1+ a2x2 +…+anxn= 0},
 W = {(x1,x2,…,xn)Kn: a1x1+ a2x2 +…+anxn = 1},
 Wλ = {(x1,x2,…,xn)Kn: a1x1+ a2x2 +…+anxn = λ}, dove λ è un elemento non nullo di K.
6. Individuare tre diverse basi dello spazio vettoriale V = {(x,y,z)R3: x-y+z=0}.
7. Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali; individuare tre diverse basi del
sottospazio vettoriale V2 = {p(x)V : deg p2}.
8. Nello spazio vettoriale V dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 2 si considerino i due
polinomi p1(x)=1+x e p2(x)=1-x.
a) È possibile trovare un polinomio p(x) tale che S={p1(x), p2(x),p(x)} sia una base di V? dare
un esempio.
b) Cosa succede se si cambiano i polinomi p1(x) e p2(x)? la risposta alla domanda a) è sempre
la stessa, indipendentemente dai polinomi p1(x) e p2(x)? Se così non è, caratterizzare i
polinomi p1 e p2 per i quali la risposta è affermativa.
9. Nello spazio vettoriale V=Rn, siano v1, …, vn dei vettori non nulli e a due a due ortogonali (cioè
tali che vi ·vj = 0, ij). Dimostrare che i vettori v1, …, vn sono linearmente indipendenti.
10. Sia V uno spazio vettoriale; v1, …, vn, v siano n+1 vettori di V;W= <v1, …, vn> sia il sottospazio
vettoriale generato da v1, …, vn e W’ = <v1, …, vn,v>.
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Allora o W=W’ (se vW), oppure dimW’ = dimW+1 (se vW).
Dimostrare che i soli sottospazi vettoriali di R2 non banali (cioè diversi dal sottospazio che si
riduce al solo vettore nullo e da quello che coincide con tutto l’ambiente R2) sono le rette per
l’origine. Dimostrare che i soli sottospazi vettoriali non banali di R3 sono le rette per l’origine
e i piani per l’origine.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n; dimostrare che n vettori di V sono generatori se e
solo se sono linearmente indipendenti.
Sia V l’insieme delle successioni {an, nN,n0} a coefficienti reali, che verifichino la
condizione:
ak = ak-1 + ak-2 , k2.
Dimostrare che V è uno spazio vettoriale su R e determinarne la dimensione.
Sia V l’insieme dei quadrati magici, ovvero delle matrici A =(aij, 1i3,1j3) tali che è sempre
uguale la somma dei termini su ciascuna riga, su ciascuna colonna, e sulle due diagonali; cioè:
a11+ a12+ a13 = a21+ a22+ a23 = a31+ a32+ a33=
=a11+ a21+ a31= a12+ a22+ a32= a13+ a23+ a33=
=a11+ a22+ a33=a13+ a22+ a31.
Dimostrare che V è uno spazio vettoriale su R e determinarne la dimensione.
Nello spazio vettoriale V dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 3 si considerino i due
polinomi p1(x)=1-x3 e p2(x)=1+x. Completare {p1, p2} a una base di V.
Nello spazio vettoriale V dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 2 si considerino i sei
polinomi p1(x)=1+x; p2(x)=-1+x2; p3(x)=x+x2; p4(x)=-3-2x+x2; p5(x)=1+x2; p6(x)=-2+x.
Estrarre da {p1, p2, p3, p4, p5, p6} una base di V.
Nello spazio vettoriale V=R4 si considerino i due vettori v1= (1,0,0,-1) e v2= (1,1,0,0).
Completare {v1, v2} a una base di V.
Nello spazio vettoriale V=R3si considerino i sei vettori:
v1=(1,1,0); v2=(-1,0,1); v3=(0,1,1); v4=(-3,-2,1); v5=(1,0,1); v6=(-2,1,0).
Estrarre da {v1, v2, v3, v4, v5, v6} una base di V.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, e siano U e W due sottospazi vettoriali di V, di
dimensione h e k rispettivamente. Che dimensioni possono assumere i sottospazi U+W e
UW? Tutti i possibili valori fra 0 e n o ci sono delle restrizioni? Cominciare a studiare il caso
n=7, k=5, h=3: per ogni s da 0 a 7, dire se è possibile trovare un esempio di due sottospazi
vettoriali di dimensione 3 e 5, in uno spazio vettoriale di dimensione 7, tali che la loro somma
(risp. intersezione) abbia dimensione s: se è possibile, esibire un esempio esplicito; se non è
possibile, giustificarlo. Successivamente, generalizzare.
Sia V uno spazio vettoriale, siano v1, v2, v3, v4, v5 cinque assegnati vettori di V, e siano U e W i
due sottospazi vettoriali di V definiti da: U = <v1, v2, v3, v4> e W = <v3, v4, v5>. Dire se le due
seguenti affermazioni sono vere o false; se sono vere, dimostrarle (e generalizzarle); se sono
false, esibire un controesempio esplicito:
 U+ W= <v1, v2, v3, v4, v5>;
 UW= <v3, v4>.
Sia V lo spazio vettoriale Rn, siano v1, v2, v3, v4, v5 cinque assegnati vettori di V, e siano U e W i
due sottospazi vettoriali di V definiti da:
U = {xRn: x·v1=x·v2=x·v3= x·v4=0} e W = {xRn: x·v3= x·v4= x·v5=0}.
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Dire se le due seguenti affermazioni sono vere o false; se sono vere, dimostrarle (e
generalizzarle); se sono false, esibire un controesempio esplicito:
 UW= {x Rn: x·v1= x·v2= x·v3= x·v4=x·v5=0};
 U+W= {x Rn: x·v3= x·v4=0}.
Dare un esempio di una applicazione f: CC che sia R-lineare ma non C-lineare.
Siano Ve W due spazi vettoriali sul corpo K; siano v1, …, vn vettori assegnati in V e si
considerino le loro immagini w1, …, wn in W rispetto a una applicazione lineare f: VW, ovvero
wi=f(vi). Dire se le sei seguenti implicazioni sono vere o false: se sono vere, dimostrarle; se
sono false, esibire un controesempio esplicito:
 v1, …, vn linearmente dipendenti in V 
w1, …,wn linearmente dipendenti in W;
 v1, …, vn linearmente indipendenti in V 
w1, …,wn linearmente indipendenti in W;
 v1, …, vn generano V

w1, …, wn generano W;
 v1, …, vn linearmente dipendenti in V 
w1, …, wn linearmente dipendenti in W;
 v1, …, vn linearmente indipendenti in V 
w1, …,wn linearmente indipendenti in W;
 v1, …, vn generano V

w1, …, wn generano W.
2
2
Sia f: R R una rotazione di centro un certo punto C e di angolo ; verificare che f è
un’applicazione lineare se e solo se C è l’origine.
Sia r una retta nel piano e sia g: R2R2 la riflessione rispetto alla retta r; verificare che g è
un’applicazione lineare se e solo se la retta r passa per l’origine.
Sia r una retta nel piano e sia h: R2R2 la proiezione ortogonale sulla retta r; verificare che h è
un’applicazione lineare se e solo se la retta r passa per l’origine.
Per ciascuno dei casi numerici seguenti, dire se esiste un’applicazione lineare f: R2R2 tale che
f(v1) =w1 e f(v2) =w2. In caso di risposta affermativa, dire anche se ce n’è una sola, e se si può
trovare anche un isomorfismo con queste caratteristiche.
 v1 = (1,1)
v2 = (2,1)
w1 = (-1,1)
w2 = (0,0)
 v1 = (1,1)
v2 = (2,1)
w1 = (1,0)
w2 = (0,1)
 v1 = (1,1)
v2 = (2,1)
w1 = (-1,1)
w2 = (2,-2)
 v1 = (-1,1)
v2 = (2,-2)
w1 = (1,0)
w2 = (0,1)
 v1 = (-1,1)
v2 = (2,-2)
w1 = (1,0)
w2 = (0,0)
 v1 = (-1,1)
v2 = (2,-2)
w1 = (2,2)
w2 = (1,1)
 v1 = (-1,1)
v2 = (2,-2)
w1 = (2,2)
w2 = (-4,-4)
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e sia f: VV una applicazione lineare da V in sé
stesso. Dimostrare che dim(KerfImf)2. Dare un esempio esplicito di uno spazio vettoriale V
e di una applicazione lineare fk: VV tale che dim(KerfkImfk) = k, per ciascuno dei tre valori
k=0, k=1, k=2. E se dimV = n?
Sia V uno spazio vettoriale e siano U e W due sottospazi vettoriali di V; si consideri
l’applicazione T:UWV definita da T(u,w) = u+w.
 Verificare che T è un’applicazione lineare;
 verificare che KerT è isomorfo a UW;
 verificare che ImT = U+W;
 dedurne la relazione di Grassman: dim(U+W) = dim U + dim W – dim (UW).
30. In R3 consideriamo i due sottospazi U = {(x,y,z)R3: x+y-z=0} e U’ = {(x,y,z)R3: x-y=z=0}.
Verificare che E = {fL(R3, R3): f(U)U’} è un sottospazio vettoriale di L(R3, R3) e determinarne
la dimensione. E se E’ = {fL(R3, R3): f(U)=U’}? Anche E’ è un sottospazio vettoriale di L(R3, R3)?
31. Sia f: R3 R3 l’applicazione lineare definita da f(x,y,z) = (7x-5y,4x-2y,0), S la base canonica, T la
base costituita dai tre vettori v1 = (3,3,0), v2 = (5,4,0), v3 = (0,0,1).
a) Determinare le seguenti 4 matrici:
 la matrice A associata a f rispetto alla base S (in partenza e in arrivo);
 la matrice B associata a f rispetto alla base T (in partenza e in arrivo);
 la matrice P del cambiamento di base dalla base S alla base T;
 la matrice Q del cambiamento di base dalla base T alla base S.
b) Verificare che PQ=QP=Id e che B=PAQ.
c) Determinare una base di Ker f e una base di Im f.
0 −1
32. Sia A la matrice (
) . Verificare che A non è diagonalizzabile su R, ma lo è su C.
1 0
Individuare una matrice P a coefficienti in C tale che P-1AP sia una matrice diagonale.
𝑐𝑜𝑠 −𝑠𝑖𝑛
Generalizzare alle matrici A del tipo (
) (per ogni ? Ci sono delle eccezioni?)
𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠
0 1
33. Sia A la matrice (
) . Verificare che A è diagonalizzabile su R (e quindi anche su C); ovvero,
1 0
individuare una matrice P a coefficienti in R tale che P-1AP sia una matrice diagonale.
𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛
Generalizzare alle matrici A del tipo (
) (per ogni ? Ci sono delle eccezioni?)
𝑠𝑖𝑛 −𝑐𝑜𝑠
0 1 0
34. Sia A la matrice 1 0 0 . Verificare che A è diagonalizzabile su R (e quindi anche su C);
0 0 1
ovvero, individuare una matrice P a coefficienti in R tale che P-1AP sia una matrice diagonale.
A è la riflessione rispetto a un piano: quale piano?
35. Sia f: R3 R3 la riflessione rispetto al piano x-2z=0. Individuare una base T di R3 tale la matrice
1 0 0
associata a f rispetto alla base T (in partenza e in arrivo) sia la matrice diagonale 0 1 0
0 0 −1
e determinare la matrice associata a f rispetto alla base canonica (in partenza e in arrivo).
36. Studiare la diagonalizzabilità su R e su C di una generica matrice 22 e dare qualche esempio
per ciascuno dei casi che si possono riscontrare.
37. Sia Q il quadrato di centro l’origine e vertici i 4 punti di coordinate (1,1) nel piano R2; le
matrici che corrispondono ad applicazioni lineari che mandano Q in se stesso sono le 8
(=24=2!22) matrici invertibili che hanno due coefficienti uguali a 1 e gli altri nulli.
Determinare autovalori e autovettori di queste matrici e usare questo conto per riconoscere
dal punto di vista geometrico le 4 rotazioni e le 4 riflessioni che mandano Q in se stesso.
38. Sia C il cubo di centro l’origine e vertici gli 8 punti di coordinate (1,1,1) nello spazio R3; le
matrici che corrispondono ad applicazioni lineari che mandano C in se stesso sono le 48
(=68=3!23) matrici invertibili che hanno tre coefficienti uguali a 1 e gli altri nulli.
Determinare autovalori e autovettori di queste matrici e usare questo conto per riconoscere
dal punto di vista geometrico le 24 rotazioni e le 24 isometrie inverse (riflessioni e
rotoriflessioni) che mandano C in se stesso. Come si imposta l’analogo problema in R4?
39. Sia A una matrice n×n a coefficienti complessi. Dimostrare che (A*)-1 = (A-1)*.
40. Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 2×2 a coefficienti reali e siano <.,.>1 e <.,.>2 due forme su
V definite da: <A,B>1 = Tr(AtB) ;
<A,B>2 = Tr(AB).
Verificare che si tratta di due forme bilineari e simmetriche.
Verificare che <.,.>1 è definita positiva, mentre <.,.>2 non lo è: determinarne la segnatura.
Trovare una base ortonormale per <.,.>1 . Trovare una base ortogonale per <.,.>2 .

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