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Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici.
Proprieta` del prodotto.
Matrici invertibili.
Identita` su inverse e trasposte.
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2.
9) Algebra delle matrici
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Composizione di applicazioni lineari
Teorema (La funzione composta di applicazioni lineari e` lineare)
F
G
Siano V −→ W e W −→ Z lineari. Allora la funzione composta
G ◦ F e` lineare.
F
V
W
G◦F
G
Z
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La funzione composta di applicazioni lineari e` lineare
Dimostrazione
`
Additivita:
(G ◦ F )(v + w) = G(F (v + w))
= G(F (v) + F (w))
= G(F (v)) + G(F (w))
= (G ◦ F )(v) + (G ◦ F )(w)
`
Omogeneita:
(G ◦ F )(λv) = G(F (λv))
= G(λF (v))
= λG(F (v))
= λ(G ◦ F )(v)
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Composizione di applicazioni e prodotto di matrici
Problema
Date le matrici B (q × p) e A (r × q), l’applicazione composta e`
lineare e quindi e` rappresentata da una matrice (di tipo r × p).
B
Rp
Rq
A
C?
Rr
Trovare C. Tale matrice si denota AB:
C = AB,
e si chiama prodotto di A e B.
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Costruzione della matrice prodotto C = AB
B
A
Rp −→ Rq , B matrice q × p;
Rq −→ Rr , A matrice r × q.
Le colonne C1 , ..., Cp di C = AB sono le immagini dei vettori
colonna E1 , ..., Ep della base canonica di Rp .
Il vettore colonna Ek (k = 1, ..., p) viene mandato da B nella
k-esima colonna Bk di B. A sua volta, il vettore Bk (dette
A1 , ..., Aq le colonne di A) viene mandato da A nel vettore
A Bk = A1 b1k + · · · + Aq bqk
` per costruzione di C = AB, la k-esima colonna di AB.
che e,
L’elemento (AB)hk di posto h di tale colonna e` allora:
(AB)hk = ah1 b1k + · · · + ahq bqk
Questo conto giustifica la seguente definizione.
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Prodotto di matrici
Definizione (Prodotto di matrici)
Se A e` r × q e B e` q × p, si chiama matrice prodotto AB la
matrice r × p il cui elemento di posto i, j (i = 1, ..., r, j = 1, ..., p)
`
e:
j-esima (AB)ij = |i-esima riga di A| colonna di B = ai1 b1j + · · · + aiq bqj
=
q
X
aih bhj
h=1
Esempio:
2
1
1
3
3
5 −1
2 2
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4
2
1
=
15 15 4 12 9) Algebra delle matrici
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Proprieta` del prodotto di matrici
Quando le dimensioni delle matrici consentono le operazioni:
Proprieta` associativa:
(AB)C = A(BC)
Proprieta` distributiva:
A(B + C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA
Il prodotto di matrici non e` commutativo: In generale
AB 6= BA
Se A e` una matrice quadrata di ordine n e I = In e` la
matrice identita` n × n,
AI = IA = A
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Matrici n × n invertibili
Definizione
Una matrice A ∈ M (n × n) si dice invertibile se esiste una
matrice B ∈ M (n × n) per la quale
AB = In
e
BA = In
dove In e` la matrice identita` n × n.
Se una tale B esiste, e` unica; si denota A−1 e si chiama
l’inversa di A.
Dimostrazione della unicita` dell’inversa. Supponiamo che B, B 0
siano inverse di A. Allora
B = IB = (B 0 A)B = B 0 (AB) = B 0 I = B 0
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Per ogni A, B ∈ Mat(n × n),
BA = In =⇒ AB = In
Teorema
Siano A, B ∈ Mat(n × n). Se BA = I, allora AB = I.
Dimostrazione. (Scriviamo In = I).
´ per ipotesi, A ha un’inversa sinistra B (cioe,
` BA = I),
Poiche,
A
l’applicazione Rn −→ Rn e` iniettiva. Infatti, da AX = AY
segue: B(AX) = B(AY ), (BA)X = (BA)Y , e quindi X = Y
A
(perche´ BA = I). Allora Rn −→ Rn e` un isomorfismo e quindi
la matrice A e` invertibile. Detta A−1 la sua inversa (bilatera), da
BA = I, moltiplicando a destra per A−1 , si ha BAA−1 = A−1 ,
da cui segue B = A−1 . Pertanto, anche AB = AA−1 = I.
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Matrice trasposta
Definizione (Matrice trasposta)
Sia A una qualunque matrice p × q. La matrice trasposta At e`
la matrice di tipo q × p cos`ı definita: (At )ij = Aji .
A
Rq −→ Rp
A, matrice p × q, rappresenta una mappa lineare:
At , matrice q × p, rappresenta una mappa lineare:
At
Rp −→ Rq
Esercizio
Sia A una qualunque matrice p × q. Per ogni X ∈ Rq , Y ∈ Rp ,
(AX) · Y = X · (At Y )
(A sinistra, il prodotto scalare e` in Rp , a destra in Rq ).
At
A
Rp −→ Rq si chiama anche l’aggiunta di Rq −→ Rp .
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Soluzione dell’esercizio: (AX) · Y = X · (At Y )
Soluzione Usiamo la convenzione di Einstein: si somma su
un indice ripetuto due volte. (Dal contesto, e` chiaro dove
variano gli indici; basta notare che AX, Y sono in Rp e X, At Y
in Rq ).
(AX) · Y = (AX)i Yi = Aij Xj Yi
X · (At Y ) = Xh (At Y )h = Xh (At )hk Yk
= Xh Akh Yk = Akh Xh Yk
Sono uguali.
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Esercizio: (AB)t = B t At
Esercizio
Quando il prodotto AB e` definito,
(AB)t = B t At
Soluzione A ∈ Mat(p × q); B ∈ Mat(q × s); X ∈ Mat(s × 1);
Y ∈ Mat(q × 1). Da un lato, < (AB)X, Y >=< X, (AB)t Y >.
Del resto (per l’esercizio precedente),
< (AB)X, Y > = < A(BX), Y >=< BX, At Y >
= < X, B t (At Y ) >=< X, (B t At ) Y >
Dunque < X, (AB)t Y >=< X, (B t At ) Y >, ossia
< X, (AB)t Y − (B t At ) Y >= 0. Pertanto (AB)t − B t At = 0.
(Infatti, da < X, P Y >= 0 segue, ponendo X = Ei , Y = Ej ,
segue < Ei , P Ej >= Pij = 0, per ogni i, j).
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Identita` su inverse e trasposte
Se esiste il prodotto AB,
(AB)t = B t At
Se A, B ∈ M (n × n) sono invertibili, anche AB e` invertibile
e
(AB)−1 = B −1 A−1
Se A ∈ M (n × n) e` invertibile,
(At )−1 = (A−1 )t
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Dimostrazioni
(AB)t = B t At
Dimostrazione
Gia` dimostrato. Diamone un’altra
dimostrazione, facendo direttamente i conti:
(AB)tij = (AB)ji = Ajh Bhi = Bhi Ajh = (B t )ih (At )hj = (B t At )ij
(AB)−1 = B −1 A−1
Dimostrazione P e` l’inversa di Q (P, Q matrici quadrate
dello stesso ordine) se e solo se P Q = I. Dunque per
dimostrare che l’inversa di AB e` B −1 A−1 basta dimostrare
che (AB)(B −1 A−1 ) = I. Il calcolo e` semplice:
(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIA−1 = AA−1 = I
(At )−1 = (A−1 )t
Dimostrazione Basta dimostrare (At )(A−1 )t = I:
(At )(A−1 )t = (A−1 A)t = I t = I
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