Appunti di calcolo integrale parte I prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico “A. Volta” - Milano 18 aprile 2014 Il calcolo integrale Il calcolo integrale si sviluppa seguendo due linee: 1 Ricerca delle primitive di una funzione (integrazione indefinita) 2 Calcolo di aree di regioni curvilinee (integrazione definita). prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Il calcolo integrale L’integrale indefinito: Z f (x) dx = F (x) + k `e un insieme di funzioni. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Il calcolo integrale L’integrale definito: b Z f (x) dx = F (b) − F (a) a `e un numero reale. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’operatore derivata L’azione dell’operatore D sulla funzione f (x) genera f 0 (x), cio`e la funzione derivata di f (x). Poich´e f 0 (x) `e unica, l’operatore D `e univoco. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’operatore primitiva L’operatore inverso di D, applicato alla funzione f 0 (x) genera tutte le funzioni la cui derivata `e f 0 (x), e si chiama operatore R primitiva ( ) Poich´e funzioni che differiscono per una costante hanno la R stessa derivata, l’operatore non `e univoco. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’operatore primitiva Definizione Si dice che una funzione y = F (x) `e una primitiva di y = f (x) se: F 0 (x) = f (x). prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’operatore primitiva Le seguenti affermazioni sono equivalenti: f 0 (x) `e la derivata di f (x) f (x) `e una primitiva di f 0 (x). Ma perch´e “una” e non “la” primitiva? Perch´e la primitiva di una funzione non `e unica. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’operatore primitiva Esempio: Le funzioni: x 2 , x 2 − 3 e x 2 + derivata: √ 2 hanno tutte la stessa Dx 2 = D(x 2 − 3) = D(x 2 + √ 2) = 2x. In modo equivalente, la funzione y = 2x ammette come primitive tutte le funzioni precedenti. E pi` u in generale: Z 2x dx = x 2 + k, ∀k ∈ R. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito Una funzione che ammetta primitive si dice integrabile. Una funzione integrabile ammette infinite primitive, che differiscono per una costante. L’integrale indefinito di una funzione `e l’insieme di tutte le sue primitive: Z f (x) dx = {F (x) + k}k∈R . prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito: nomenclatura Z f (x) dx = F (x) + k. R : segno di integrale f (x): funzione integranda f (x)dx: integrando d: differenziale F (x): una primitiva di f (x) k: costante additiva. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito Teorema La derivata di un integrale indefinito `e uguale alla funzione integranda: Z D f (x) dx = f (x). Infatti: Z D f (x) dx = D {F (x) + k} = F 0 (x) + 0 = f (x). prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito Teorema Il differenziale di un integrale indefinito `e uguale all’integrando: Z d f (x) dx = f (x) dx. Infatti: Z d f (x) dx = d {F (x) + k} = F 0 (x) dx + 0 dx = f (x) dx. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito Teorema L’integrale indefinito del differenziale di una funzione `e uguale alla funzione, a meno di una costante additiva: Z df (x) = f (x) + k. Infatti: Z Z df (x) = f 0 (x) dx = f (x) + k. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito: propriet`a omogeneit`a: Z Z k · f (x) dx = k · additivit`a: Z f (x) dx Z [f (x) + g (x)] dx = prof. Paolo Sarti Z f (x) dx + g (x) dx. Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito: propriet`a linearit`a (omogeneit`a + additivit`a): Z Z Z [k · f (x) + µ · g (x)] dx = k · f (x) dx + µ · g (x) dx. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito: primitive elementari Z 0 dx = k. Z Z 1 dx = Z x α dx = dx = x + k. x α+1 + k, α+1 prof. Paolo Sarti α 6= −1. Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito: primitive elementari Poich´e D(x α+1 ) = (α + 1)x α , integrando ambo i membri si ha: Z Z Z α+1 α D(x ) dx = (α + 1)x dx = (α + 1) x α dx; nell’ultimo passaggioRsi `e usata la propriet`a di omogeneit`a. Ricordando che D e sono l’uno l’inverso dell’altro e dividendo ambo i membri per α + 1, si ha la tesi: Z x α+1 x α dx = + k, α 6= −1. α+1 prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito: primitive elementari Z sin x dx = − cos x + k. Z cos x dx = sin x + k. Z dx = tan x + k. cos2 x Z − dx = cot x + k. sin2 x prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito: primitive elementari Z Z √ dx = arcsin x + k. 1 − x2 −√ Z dx = arccos x + k. 1 − x2 dx = arctan x + k. 1 + x2 prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale L’integrale indefinito: primitive elementari Z Z ax dx = ax + k. ln a dx = ln |x| + k. x prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Metodi d’integrazione indefinita 1 integrazione immediata 2 integrazione per sostituzione 3 integrazione per parti 4 integrazione di funzioni razionali 5 integrazione di funzioni irrazionali prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale
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