Appunti di calcolo integrale

Appunti di calcolo integrale
parte I
prof. Paolo Sarti
Liceo Scientifico “A. Volta” - Milano
18 aprile 2014
Il calcolo integrale
Il calcolo integrale si sviluppa seguendo due linee:
1
Ricerca delle primitive di una funzione (integrazione indefinita)
2
Calcolo di aree di regioni curvilinee (integrazione definita).
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
Il calcolo integrale
L’integrale indefinito:
Z
f (x) dx = F (x) + k
`e un insieme di funzioni.
prof. Paolo Sarti
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Il calcolo integrale
L’integrale definito:
b
Z
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
`e un numero reale.
prof. Paolo Sarti
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L’operatore derivata
L’azione dell’operatore D sulla funzione f (x) genera f 0 (x),
cio`e la funzione derivata di f (x).
Poich´e f 0 (x) `e unica, l’operatore D `e univoco.
prof. Paolo Sarti
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L’operatore primitiva
L’operatore inverso di D, applicato alla funzione f 0 (x) genera
tutte le funzioni
la cui derivata `e f 0 (x), e si chiama operatore
R
primitiva ( )
Poich´e funzioni che differiscono
per una costante hanno la
R
stessa derivata, l’operatore non `e univoco.
prof. Paolo Sarti
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L’operatore primitiva
Definizione
Si dice che una funzione y = F (x) `e una primitiva di y = f (x) se:
F 0 (x) = f (x).
prof. Paolo Sarti
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L’operatore primitiva
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
f 0 (x) `e la derivata di f (x)
f (x) `e una primitiva di f 0 (x).
Ma perch´e “una” e non “la” primitiva?
Perch´e la primitiva di una funzione non `e unica.
prof. Paolo Sarti
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L’operatore primitiva
Esempio:
Le funzioni: x 2 , x 2 − 3 e x 2 +
derivata:
√
2 hanno tutte la stessa
Dx 2 = D(x 2 − 3) = D(x 2 +
√
2) = 2x.
In modo equivalente, la funzione y = 2x ammette come
primitive tutte le funzioni precedenti. E pi`
u in generale:
Z
2x dx = x 2 + k, ∀k ∈ R.
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito
Una funzione che ammetta primitive si dice integrabile.
Una funzione integrabile ammette infinite primitive, che
differiscono per una costante.
L’integrale indefinito di una funzione `e l’insieme di tutte le sue
primitive:
Z
f (x) dx = {F (x) + k}k∈R .
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito: nomenclatura
Z
f (x) dx = F (x) + k.
R
: segno di integrale
f (x): funzione integranda
f (x)dx: integrando
d: differenziale
F (x): una primitiva di f (x)
k: costante additiva.
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito
Teorema
La derivata di un integrale indefinito `e uguale alla funzione
integranda:
Z
D f (x) dx = f (x).
Infatti:
Z
D
f (x) dx = D {F (x) + k} = F 0 (x) + 0 = f (x).
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito
Teorema
Il differenziale di un integrale indefinito `e uguale all’integrando:
Z
d f (x) dx = f (x) dx.
Infatti:
Z
d f (x) dx = d {F (x) + k} = F 0 (x) dx + 0 dx = f (x) dx.
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito
Teorema
L’integrale indefinito del differenziale di una funzione `e uguale alla
funzione, a meno di una costante additiva:
Z
df (x) = f (x) + k.
Infatti:
Z
Z
df (x) =
f 0 (x) dx = f (x) + k.
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito: propriet`a
omogeneit`a:
Z
Z
k · f (x) dx = k ·
additivit`a:
Z
f (x) dx
Z
[f (x) + g (x)] dx =
prof. Paolo Sarti
Z
f (x) dx +
g (x) dx.
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L’integrale indefinito: propriet`a
linearit`a (omogeneit`a + additivit`a):
Z
Z
Z
[k · f (x) + µ · g (x)] dx = k · f (x) dx + µ · g (x) dx.
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Z
0 dx = k.
Z
Z
1 dx =
Z
x α dx =
dx = x + k.
x α+1
+ k,
α+1
prof. Paolo Sarti
α 6= −1.
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Poich´e D(x α+1 ) = (α + 1)x α , integrando ambo i membri si ha:
Z
Z
Z
α+1
α
D(x
) dx = (α + 1)x dx = (α + 1) x α dx;
nell’ultimo passaggioRsi `e usata la propriet`a di omogeneit`a.
Ricordando che D e sono l’uno l’inverso dell’altro e dividendo
ambo i membri per α + 1, si ha la tesi:
Z
x α+1
x α dx =
+ k, α 6= −1.
α+1
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Z
sin x dx = − cos x + k.
Z
cos x dx = sin x + k.
Z
dx
= tan x + k.
cos2 x
Z
−
dx
= cot x + k.
sin2 x
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Z
Z
√
dx
= arcsin x + k.
1 − x2
−√
Z
dx
= arccos x + k.
1 − x2
dx
= arctan x + k.
1 + x2
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Z
Z
ax dx =
ax
+ k.
ln a
dx
= ln |x| + k.
x
prof. Paolo Sarti
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Metodi d’integrazione indefinita
1
integrazione immediata
2
integrazione per sostituzione
3
integrazione per parti
4
integrazione di funzioni razionali
5
integrazione di funzioni irrazionali
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