Appunti di calcolo integrale parte II prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico “A. Volta” - Milano 18 aprile 2014 Integrale definito Data una funzione y = f (x), continua nell’intervallo I = [a, b], si chiama trapezoide la figura curvilinea piana delimitata: dal grafico della funzione y = f (x) dall’immagine di I sull’asse x dalle rette di equazioni: x = a e x = b. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Vogliamo stimare (per eccesso e per difetto) l’area A del trapezoide di una funzione y = f (x), continua e non-negativa nell’intervallo I = [a, b]. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito La stima elementare `e: m · (b − a) ≤ A ≤ M · (b − a). prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Con un punto di divisione si ottiene: prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Con 2 punti di divisione si ottiene: prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Con 3 punti di divisione si ottiene: prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Con 5 punti di divisione si ottiene: prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Con 10 punti di divisione si ottiene: prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Con 20 punti di divisione si ottiene: prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Con 50 punti di divisione si ottiene: prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Al crescere del numero n dei punti di divisione: l’ampiezza di ogni sub-intervallo diminuisce la somma delle aree dei rettangoli azzurri diminuisce la somma delle aree dei rettangoli rossi aumenta. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito Se: lim Adifetto = lim Aeccesso = A ∈ R, n→+∞ n→+∞ allora f (x) `e integrabile in [a, b] e: Z A= b f (x) dx a `e l’integrale definito di f (x) su [a, b]. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito e area Se f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], l’area A del trapezoide coincide con il valore dell’integrale definito: Z A= b f (x) dx. a prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito e area Esempio: Z π sin x dx = 2 A= 0 prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito e area Se f (x) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b], l’integrale definito ha valore opposto all’area A del trapezoide, quindi: Z b Z b Z b A= |f (x)| dx = [−f (x)] dx = − f (x) dx. a a prof. Paolo Sarti a Appunti di calcolo integrale Integrale definito e area Esempio: Z 2π sin x dx = −2, π quindi l’area del trapezoide `e A = −(−2) = +2. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito e area Se la funzione cambia segno nell’intervallo [a, b], questo va sezionato in modo da ricondursi alle situazioni precedenti. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito e area Esempio: Z 2π sin x dx = −1, π/2 mentre l’area del trapezoide `e: Z π Z 2π A= sin x dx + | sin x| dx = 1 + 2 = 3. π/2 π prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito: propriet`a Additivit`a (rispetto alla funzione integranda) Z b Z [f (x) + g (x)] dx = a b Z b f (x) dx + a g (x) dx. a Omogeneit`a Z b Z k · f (x) dx = k · a b f (x) dx. a prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito: propriet`a Additivit`a (rispetto all’intervallo d’integrazione) Z ∀c ∈ [a, b] b Z f (x) dx = a c Z f (x) dx + a Se gli estremi coincidono, l’integrale si annulla: Z a f (x) dx = 0. a prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale b f (x) dx. c Integrale definito: propriet`a Invertendo l’ordine degli estremi, l’integrale cambia segno: b Z Z f (x) dx = − a a f (x) dx. b Calcolo dell’integrale definito. Se F (x) `e una primitiva di f (x): Z b f (x) dx = F (b) − F (a). a (Formula di Newton-Leibniz) prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito: propriet`a Monotonia I. Se ∀x ∈ I = [a, b] risulta: f (x) ≤ g (x) e queste sono ambedue integrabili in I , allora: Z b b Z f (x) dx ≤ a g (x) dx. a Monotonia II. Se f (x) `e integrabile in I , allora lo `e anche |f (x)| e risulta: Z b Z b f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a a N.B.: vale l’uguale quando f (x) ha segno costante in I . prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Integrale definito: propriet`a Teorema (della media integrale) Sia y = f (x) una funzione continua in I = [a, b]. Allora esiste almeno un punto x0 ∈ I tale che: Z b f (x) dx = (b − a) · f (x0 ). a La quantit`a f (x0 ) `e detta media integrale di f (x) in I . prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Il teorema della media integrale Il teorema della media determina un rettangolo avente: la stessa area del trapezoide base uguale a b − a altezza uguale alla media integrale f (x0 ). prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Il teorema della media integrale Ad esempio, la media integrale di y = sin x in [0, π] `e data da: Rπ sin x dx 2 sin x0 = 0 = , π π da cui: x0 = arcsin(2/π) ' 39, 5◦ . prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Il teorema della media integrale Graficamente: prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Il teorema della media integrale Il teorema di Lagrange per una funzione y = ϕ(x) in I afferma che: ∃x0 ∈ [a, b] | ϕ0 (x0 ) = ϕ(b) − ϕ(a) . b−a Se ϕ(x) `e una primitiva di f (x), allora ϕ0 (x) = f (x) e si ottiene: Rb ∃x0 ∈ [a, b] | f (x0 ) = a f (x) dx , b−a cio`e il teorema della media integrale per f (x) in [a, b]. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Premessa Il valore di un integrale definito non dipende dalla variabile d’integrazione: Z b Z f (x) dx = a b Z a prof. Paolo Sarti b f (z) dz = · · · f (t) dt = a Appunti di calcolo integrale Funzione integrale Sia f (x) integrabile in I = [a, b]. La funzione Φ(x) che associa ad ogni x ∈ I l’integrale di f da a a x, si chiama funzione integrale. Z x Φ(x) = f (t) dt. a N. B.: la dipendenza da x `e contenuta nell’estremo superiore. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Teorema di Torricelli-Barrow Teorema Sia f (x) continua in I = [a, b] e sia x un punto interno ad esso. Allora la funzione integrale: Z x Φ(x) = f (t) dt a `e derivabile e risulta: Φ0 (x) = f (x), cio`e Φ(x) `e quella primitiva di f (x) che si annulla quando x = a. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Teorema di Torricelli-Barrow Il teorema ha grande importanza per due ragioni: 1 stabilisce il legame tra integrale definito e indefinito 2 permette di calcolare l’integrale definito. prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Teorema di Torricelli-Barrow 1. Poich`e: Z f (x) dx = F (x) + k, dal teorema di Torricelli-Barrow segue subito: Z Z f (x) dx = x f (t) dt + k. a prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Teorema di Torricelli-Barrow 2. La generica primitiva di f (x) ha la forma: Z x F (x) = f (t) dt + k. a Risulta allora: Z F (b) = b Z f (t) dt + k, a F (a) = a f (t) dt + k; a prof. Paolo Sarti Appunti di calcolo integrale Teorema di Torricelli-Barrow Si ottiene allora: Z b F (b) = f (t) dt + F (a), a cio`e la formula di Newton-Leibniz: b Z f (t) dt = F (b) − F (a). a Ricorda! il valore di un integrale definito `e indipendente dalla variabile d’integrazione: Z b Z b Z b f (t) dt = f (x) dx = · · · = f (z) dz. a a prof. Paolo Sarti a Appunti di calcolo integrale
© Copyright 2024 Paperzz
