Le progressioni geometriche - Liceo Scientifico Castelnuovo

Le progressioni geometriche
Dai chicchi di riso ai frattali passando
per la crescita esponenziale:
Un’ipotesi di percorso didattico
Tre ipotesi per una chiacchierata
(e per un percorso didattico)
La ricompensa dell’inventore
degli scacchi
•  Secondo la leggenda, l’inventore degli scacchi
chiese al Re, come ricompensa, un quantitativo
di riso così calcolato:
1 chicco sulla prima casella
2 chicchi sulla seconda casella
4 chicchi sulla terza casella
8 chicchi sulla quarta
…e così via, fino alla 64ma casella!
“Duplicatio scacherii”
Il Re, avrà “riso”?
•  Il doppio senso è pienamente giustificato!
•  Infatti: Chicchi = 1+ 2 + 4 + 8 + ⋅⋅⋅ + 2 64
•  Prima di calcolare il valore di questa somma,
osserviamo che il numero di chicchi su ogni
casella forma una progressione
geometrica: una successione in cui il
rapporto tra un termine e il precedente è
costante.
Problemi di “successione”
(non solo per il Re!)
•  Una progressione geometrica è una
successione il cui termine generico è
n
a
=
a
q
n
0
1, q, q 2 , q 3,..., q n−1 (a0 := 1)
•  La somma dei primi n termini è n−1
Sn = 1+ q +... + q n−1 := ∑ q k
k=0
Quanto fa
n−1
Sn = ∑ q k
k=0
•  Si sfrutta il seguente artificio:
Sn = 1+ q +... + q n−1
q ⋅ Sn = q + q 2 +... + q n−1 + q n
(1− q) Sn = 1− q
n
1− q n
Sn =
1− q
?
Un ponte per la Luna!
Piccolo esercizio
•  Basta prendere un foglio di carta, di spessore d,
e piegarlo in due, poi ancora in due, di nuovo in
due, e così via…
•  Infatti, ad ogni piegatura lo spessore raddoppia
rispetto alla piegatura precedente: la distanza
Terra-luna è circa 380 mila km, basta eseguire
n piegature in modo tale che 8
4
⋅10
12
d ⋅ 2n ≥ 3,8 ⋅108 m ⇒ 2n ≈
⇒
n
≈
log
(4
⋅10
)
2
−4
10
n ≈ 42
E il riso della ricompensa,
quant’è?
• 
• 
A questo punto è semplice:
64
1− 2
Chicchi =1+ 2 + 4 + 8 + ⋅⋅⋅ + 2 =
= 264 −1
1− 2
18.446.744.073.709.551.615
63
Ora, supponendo che 16 chicchi di riso abbiano
una massa di 1g, la ricompensa
avrebbe massa 18
15
M ≈ 1⋅10 g =1⋅10 kg
•  Di quante super-petroliere con capacità di carico
pari a 200 mila tonnellate dovrebbe disporre il
Re?
Pensiamo “in grande” (I)
n
lim
q
Quanto fa n→∞ = ?
Il risultato dipende dalla ragione. Infatti:
' +∞ se q > 1
)
)) ≡ 1 se q = 1
lim q n = ( 0 se q < 1
n→∞
)
)
)* ∃/ se q ≤ −1
• 
• 
•  Esercizio: dimostra quanto sopra.
•  Suggerimento: sfrutta la disuguaglianza di Bernoulli
n
(1+ x ) ≥ 1+ nx ∀x > −1
e lim nx = +∞ ∀x > 0
n→∞
Pensiamo “in grande” (II)
•  E la somma di infiniti termini di una progressione
geometrica, quanto fa?
& +∞
(
1− q n ( 1
lim
='
n→∞ 1− q
( 1− q
( ?
)
se
q ≥1
se
q <1
se q ≤ −1
•  Sul primo risultato, chiedere al Re, sul secondo a
Zenone, mentre sul terzo…
Somme infinite: una bella sfida!
•  Attenzione! Sia T = 1+ 3+ 9 + 27 + 81+ 243+...
3T = 3+ 9 + 27 + 81+ 243+ 729 +...
1
⇒ T − 3T = 1 ⇒ T = − !!!!!!!
2
•  Evidentemente, qualcosa non va. Questo è solo
un piccolo esempio delle difficoltà che si
incontrano nel passaggio dal finito all’infinito!
Somme finite di infiniti termini:
caro Zenone, si può fare!
La Bbanca dei sogni
•  Nella Bbanca è possibile investire 1€ al tasso di
interesse del 100% annuo!!!
•  Questo significa che dopo un anno il nostro
investimento è raddoppiato: 100
1+1
=2
100
•  E se l’interesse fosse calcolato ogni sei mesi al
tasso semestrale composto del 50%?
La capitalizzazione conveniente
•  Si tratta del modo con cui una banca calcola
gli interessi. L’interesse composto è l’interesse
sull’interesse. Infatti, nella capitalizzazione
semestrale, l’interesse maturato nei primi sei mesi
va a comporre, insieme al capitale inizialmente
versato (nel nostro caso 1€), la base di calcolo
dell’interesse dei restanti sei mesi:
Ogni sei mesi è meglio!
1
2
" 1 % " 1 % 50 " 1 %
50 " 1 %
1→ 1+1
= $1+ ' → $1+ ' + $1+ '
= $1+ ' = 2,25
100 # 2 &
# 2 & # 2 &100 # 2 &
0
mesi
6
mesi
Di nuovo una progressione
geometrica, pare…
12
mesi
Qual è la soluzione migliore (per
chi investe)?
•  E’ vero quindi, che più spesso ci vengono
capitalizzati gli interessi, migliore è
l’investimento? Facciamo “due conti”, e
vediamo cosa succede in caso di
capitalizzazione mensile, settimanale, giornaliera,
oraria,…
Verso la capitalizzazione
istantanea…
CAPITALIZZAZIONE
MONTANTE
annuale
(1+1) = 2€
semestrale
!
1$
#1+ & = 2,25€
2%
"
2
12
mensile
!
1 $
1+
#
&
" 12 %
settimanale
!
1 $
#1+
&
52 %
"
giornaliera(360)
!
1 $
1+
#
&
360 %
"
oraria
!
1 $
#1+
&
8.640 %
"
/min
!
$
1
1+
#
&
518.400 %
"
= 2,613035€
52
= 2,692597€
360
= 2,714516€
8.640
= 2,718125€
518.400
= 2,718276€
31.104.000
/sec
!
$
1
#1+
&
31.104.000 %
"
= 2,718282€
La capitalizzazione istantanea e il
numero di Nepero e
•  All’aumentare della frequenza con cui vengono
corrisposti gli interessi, il montante alla fine del
primo anno tende al valore di euro
2,71828...
•  Si tratta del numero di Nepero, limite della
successione:
n
# 1&
lim %1+ ( = 2,71828... := e
n→∞
$ n'
L’importanza del numero di
Nepero
•  Il numero di Nepero è anche la base dei logaritmi
naturali, uno strumento di calcolo ideato da
Nepero per meglio operare con numeri molto
grandi, di cui quest’anno ricorre il 400-mo
anniversario della loro presentazione nell’opera
“mirifici logarithmorum canonis descriptio”.
Una questione di “interesse
generale”: dal numero di Nepero alla
funzione esponenziale
•  E se l’interesse, capitalizzato istantaneamente,
fosse del generico x% annuo, quanto sarebbe il
valore del montante alla fine del primo anno?
•  Dobbiamo calcolare un limite del tipo:
n
# x&
lim %1+ ( = ?
n→∞
$ n'
•  Come si fa?
“trucchi del mestiere…”
n
# 1&
•  Sappiamo che lim %1+ ( = 2,71828... := e
n→∞
$ n'
x 1
•  Ora, quando n è grande ≈
n n
x 1
poniamo := e riconduciamoci così al limite n m
x
n
mx
m,
)
# x&
# 1&
# 1&
lim %1+ ( = lim %1+ ( = lim +%1+ ( . = e x
n→∞
m→∞ +
m
.
$ n ' m→∞ $ m '
$
'
*
-
…e doverose precisazioni
•  Se x fosse un numero naturale nulla da eccepire: si
moltiplica e per se stesso x volte (“limite del
prodotto”).
•  La questione si complica formalmente quando x è
un numero, ad esempio, irrazionale.
•  La teoria dei numeri reali, fortunatamente, ci
viene in soccorso, ma non approfondiremo qui
la questione (assioma di continuità)!
La funzione esponenziale: adesso
è realtà!
•  Il montante quindi, è funzione del tasso x:
f x := e x
()
•  Immaginando di far variare x su tutto l’insieme
dei numeri reali, giungiamo alla definizione di
funzione esponenziale:
f :
R→
x!
R
y = ex
+
Il grafico della funzione
esponenziale
La funzione esponenziale e i
modelli di crescita
•  In natura sono presenti svariate situazioni in
cui la velocità con cui varia il numero di individui di
una certa popolazione, è proporzionale al numero di
individui all’inizio del periodo di riferimento.
•  Il decadimento radioattivo dovuto
all’instabilità del nucleo. •  La crescita di una popolazione in presenza di
risorse illimitate.
La funzione esponenziale risolve
l’equazione del modello
Datazione di reperti con il
metodo del C14
•  Al momento della morte di un essere vivente,
l’isotopo radioattivo 14C presente nel suo
organismo, comincia a decadere, con un tempo
di dimezzamento di circa 5730 anni. Supponendo
che il 14C contenuto in un frammento osseo di
massa m = 2g faccia registrare 22 decadimenti al
minuto, si stabilisca l’età del frammento,
sapendo che un uomo in vita produce 15
decadimenti al minuto per grammo di massa
corporea…..
La soluzione:
le variabili in gioco
•  n0 : numero di particelle, al momento del
decesso, all’interno dell’organismo;
•  t : tempo trascorso dal decesso all’inizio della
rilevazione dei 22 decadimenti;
•  t +1 : un minuto dopo t;
La soluzione:
le equazioni risolventi
•  Nel primo minuto dopo il decesso si hanno
ancora 15 decadimenti per grammo;
•  Tra il tempo t e il tempo t+1 si hanno 22
decadimenti al minuto, quindi:
() ( )
n (t +1) − n (t ) = −22 ⇒ n e
n 1 − n 0 = −15⋅ 2 ⇒ n0 e − λ − n0 = −30
0
( )
− λ t+1
− n0 e − λt = −22
Come la mettiamo con il numero
iniziale di isotopi, e con il
parametro λ ?
Il tempo di dimezzamento permette di calcolare
il parametro λ : 1 = e − λ⋅5730a ⇒ λ = ln2 a −1 .
2
5730
Il numero iniziale di isotopi è un dato superfluo:
dividendo membro a membro le due equazioni
scritte in precedenza otteniamo: 11
− ln
ln2
−
a t
11
15 a = 2654a
e 5730 = ⇒ t = 5730
−1
15
ln2
La funzione esponenziale e i
numeri complessi
•  Si tratta di uno dei collegamenti più
affascinanti della Matematica, per la cui
trattazione occorrerebbero conoscenze di
Analisi infinitesimale non proprio banali…
•  Tuttavia, alcune speculazioni non rigorose
possono farci intravedere il risultato.
•  Si parte da un numero complesso di modulo
unitario, espresso in forma trigonometrica:
z = cosθ + i sinθ
La formula di De Moivre
ed un’interessante analogia
•  La relazione (cosθ + i sinθ )n = cos nθ + i sin nθ , nota
come formula di De Moivre, generalizza il
prodotto di due numeri complessi, che
presentiamo insieme al prodotto di due
potenze.
(
)
(
z1 ⋅ z2 = cos θ1 + θ2 + i sin θ1 + θ2
)
x
x +x
x
e ⋅e = e
•  L’analogia è tra la somma degli angoli e la
somma degli esponenti…
1
2
1
2
Un ragionamento “audace”
•  In questo ragionamento consideriamo n
“grande”, in modo tale da giustificare le
seguenti, grossolane, approssimazioni:
θ
cos ≈ 1
n
θ θ
sin ≈
n n
•  Passando al limite per n → ∞ ….
Una conclusione straordinaria:
la forma esponenziale di un
numero complesso
n
! θ
θ $ ! iθ $
z = cosθ + i sinθ = # cos + i sin & ≈ #1+ &
n
n% " n %
"
(
)
n
! iθ $
iθ
z = lim #1+ & = e
n→∞
" n%
n
L’identità di Eulero
•  Dalla relazione −1= (cos π + i sin π ) = e iπ segue
quella che, non a torto, è considerata
l’equazione più bella della Matematica: la
cosiddetta identità di Eulero:
iπ
e
+1= 0
•  Questa relazione contiene i 5 numeri più
importanti della Matematica…
La divina proporzione b:a = a:b−a
La sezione aurea Φ
a:b =b−a:a
b2 − ab − a 2 = 0
b 1+ 5
=
:= Φ
a
2
La successione dei rettangoli
aurei
La successione dei lati corti e
quella dei lati lunghi a confronto
La# cor# La# lunghi a b b-‐a a 2a-‐b b-‐a 2b-‐3a 2a-‐b 5a-‐3b 2b-‐3a 5b-‐8a 5a-‐3b 13a-‐8b 5b-‐8a … … Lati lunghi e lati corti: le leggi
ricorsive
"
c0 = a
$
$
l0 = b
#
$ cn+1 := ln − cn
$ l := c
n+1
n
%
"
l0 = b
$$
l1 = a
#
$
$% ln+2 = ln − ln+1
⇒
"
c0 = a
$$
# c1 = b − a
$
$% cn+1 = cn−1 − cn
Il rettangolo aureo in architettura
Il rettangolo aureo nel corpo
umano
Leonardo Pisano
detto “il Fibonacci”
Pisa, 1170-1240
Dicono di lui…
•  Viaggiatore al seguito del padre, facoltoso mercante, ebbe
modo di venire a conoscenza delle opere dei matematici
arabi. Fu autore del liber abbaci e della Practica geometriae.
•  Fibonacci è noto soprattutto per la sequenza di numeri da
lui individuata e conosciuta, appunto, come
“successione di Fibonacci" - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89 ... - in cui ogni termine, a parte i primi due, è la somma
dei due che lo precedono
•  Una particolarità della sequenza o successione di Fibonacci
è che il rapporto fra le coppie di termini successivi aumenta
progressivamente per poi tendere molto rapidamente al
numero 1,61803..., noto con il nome di rapporto aureo o
sezione aurea.
La successione di Fibonacci:
definizione ricorsiva
•  La successione di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,…
!
a0 =1
##
1 2 3 5 8 13 21
a1 =1
⇒ , , , , , , →1,618...
"
1 1 2 3 5 8 13
#
#$ an+2 = an+1 + an
•  Il rapporto tra un termine ed il successivo tende ad
un valore costante: si riconosce una “parentela”
con la progressione geometrica…
La successione di Fibonacci:
il termine generico
•  La convergenza del rapporto tra un termine ed il
precedente induce la ricerca di soluzioni della forma x n
dell’equazione data dalla legge ricorsiva: 1± 5
x = x + x ⇒ x x − x −1 = 0 ⇒ x =
2 .
•  Da queste soluzioni segue, imponendo le condizioni a0 =1,a1 =1 alla soluzione generale
n+2
n+1
n
n
n
(
)
2
n
n
!1+ 5 $
!1− 5 $
1 !1+ 5 $
1 !1− 5 $
& + B#
& ⇒ an =
#
& −
#
&
an = A ##
&
#
&
#
&
#
&
2
2
2
2
5
5
"
%
"
%
"
%
"
%
n
Costruzione approssimata dei
rettangoli aurei mediante la
successione di Fibonacci
Lati lunghi e lati corti
•  Applichiamo quanto visto alle successioni dei
lati lunghi e corti. Risulta:
(
)
c n+2 = −c n+1 + c n ⇒ c n c 2 + c −1 = 0 ⇒ c =
(
)
l n+2 = −l n+1 + l n ⇒ l n l 2 + l −1 = 0 ⇒ l =
5 −1
−1
= Φ := ϕ
2
−1− 5
2
5 −1
= Φ−1 := ϕ
2
−1− 5
2
La somma delle aree dei
rettangoli aurei
•  Con le condizioni iniziali a =1 b = Φ è
possibile determinare i termini generici delle
successioni dei lati lunghi e corti:
n
n
" −1+ 5 %
" −1− 5 %
' + B$
' ⇒ l n = Φϕ n ⇒ cn = ϕ n
l n = A $$
'
$ 2 '
2
#
&
#
&
•  La somma delle aree dei rettangoli aurei è
quindi: n
n
&
)
1
2
A = lim ∑ ln cn lim ∑ Φϕ = Φ (
−1
=
...
=
Φ
+
2
n→∞
n→∞
'1− ϕ
*
k=0
k=0
2n
La spirale logaritmica e i problemi
d’inseguimento
L’equazione della spirale logaritmica
in coordinate polari: uno sguardo sul
futuro…
Il grafico della spirale logaritmica: le
distanze tra i bracci formano una
progressione geometrica 1%
0,8%
0,6%
0,4%
0,2%
0%
!1%
!0,8%
!0,6%
!0,4%
!0,2%
0%
!0,2%
!0,4%
!0,6%
!0,8%
0,2%
0,4%
0,6%
0,8%
1%
1,2%
La spirale di Fibonacci
quarti di circonferenza inscritti nei quadrati
Esercizio!
•  Tracciare il grafico della curva definita a
“pezzi”:
#
2
25
−
x
%
% 2 + 9 − x2
%
2
y=$
% 2 + 4 − x +1
%
2
% 1+ 1− x +1
&
0≤x≤5
−3 ≤ x ≤ 0
(
)
−3 ≤ x ≤ −1
(
)
−1≤ x ≤ 0
La spirale logaritmica e quella di
Fibonacci a confronto
• 
φ-1
• 
1/φ3
Non poteva mancare lei…
Spirali del cavolo (romanesco)
Una curva nell’occhio del ciclone
E per finire con i numeri di
Fibonacci, una curiosità:
•  Sono noti a tutti i coefficienti binomiali ! n $
n!
#
&=
" k % k !(n − k )!
relativi allo sviluppo della potenza del binomio
n !
$ k n−k
n
n
( p + q) = ∑#" k &%p q
k=0
caratterizzante, ad esempio, lo studio dei processi
bernoulliani.
I coefficienti binomiali e il
triangolo di Tartaglia
•  E’ noto che i coefficienti binomiali, detti anche
numeri di Pascal, si prestano ad una
rappresentazione grafica mediante un
diagramma ad albero, il famoso triangolo di Tartaglia
1
1
1
1
1
2
3
! n $ ! n −1 $ ! n −1 $
#
&=#
&+#
&
" k % " k % " k −1 %
1
3
1
Il triangolo di Tartaglia e i numeri
di Fibonacci 1 1 2 1 1 3 5 1 2 1 8 13 1 3 3 1 21 34 1 4 6 4 1 55 89 1 5 10 10 5 1 144 233 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 987 1 8 28 56 70 56 28 8 1 377 610 Le progressioni geometriche nello
studio dei frattali:
la dimensione euclidea
•  Cosa vuol dire che un cubo ha dimensione 3?
•  Quella che chiamiamo dimensione, è la
del cubo: un
numero tale che, se riduciamo la dimensione
D
1
N
=
l
lineare di un fattore , il cubo contiene
l
cubi simili. Il significato geometrico di
dimensione euclidea
La curva di Von Koch
•  Un segmento di lunghezza unitaria viene diviso
in tre parti, si cancella il tratto centrale e si
costruisce un triangolo equilatero sul tratto
mancante: si ottengono così 4 copie del
segmento di partenza, contratte di un fattore 3.
•  La successione dei perimetri ottenuti iterando il
procedimento è una progressione geometrica: n
%4(
4
⇒℘= lim ' * = +∞
n→∞ 3
3
& )
La dimensione della curva di
Koch
Il triangolo di Sierpinsky
•  consideriamo un triangolo equilatero. Se dimezziamo i laA , oCeniamo N=3 triangoli simili a quello di partenza, in esso contenuA. Adesso dimezziamo il lato di ognuno di quesA tre triangoli (l=2*2) : oCeniamo N=3*3=9 triangoli simili a quello di partenza. Dimezziamo il lato di ognuno di quesA (l=2*2*2=8): oCeniamo N=3*3*3=27 triangoli e così via. Triangolo di Sierpinsky:
perimetro infinito e area zero!
•  Calcoliamo il perimetro e l’area del triangolo di
n/
,
$3'
Sierpinsky:
.1− & ) 1
∞
∞
$1' k
. %2( 1
℘= ∑3 l k N k = ∑3& k )3 = lim 3.
= +∞
1
k→∞
$3'
k=0
k=0 % 2 (
. 1− & ) 1
.- % 2 ( 10
( )
2
1 3
1 3$ 1 ' k
A = lim
l k N k = lim
3 =0
&
)
k
k→∞ 2 2
k→∞ 2 2
%2 (
•  La dimensione frattale è D frattale
kD frattale
ln3
k
N =l
⇒3 =2
⇒ D frattale =
≈ 1,585
ln2
( )
Il tappeto di Sierpinsky
•  Per costruire questa figura geometrica (frattale
autosimile), si parte da un quadrato, lo si divide in
9 quadrati uguali, e si toglie il quadrato centrale.
•  Questo procedimento viene ripetuto per ognuno
degli 8 quadrati rimanenti e si continua a dividere
ciascuno degli 8 quadrati in 9 quadratini, sempre
togliendo quello centrale. Questo procedimento
continua a essere ripetuto. Il "Tappeto di
Sierpinski" risulta essere composto da 8 copie di se
stesso ognuna larga 1/3.
Esercizio: calcolare il perimetro,
l’area (euclidei!) e la dimensione
frattale del tappeto
E per finire, un po’ di “cinema”…
•  hCp://www.youtube.com/watch?v=O19K9EuxXWY •  hCp://www.youtube.com/watch?v=vTInHhVl1qY •  hCp://www.youtube.com/watch?v=jQyTOib7_I0

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