MATEMATICA CORSO A
II COMPITINO (Tema 2)
15 Aprile 2014
Soluzioni
` noto che un determinato bioritmo varia in funzione delle ore del giorno da un minimo
1. E
di 1 alle ore 17 ad un massimo di 5 alle ore 5. Determina una funzione sinusoidale che
esprima l’andamento del bioritmo in funzione dell’ora del giorno.
Una funzione sinusoidale f : R → R `e caratterizzata da quattro grandezze, espresse da
numeri reali:
– il periodo T (per seno e coseno vale T = 2 π);
– l’ampiezza A, data da A = (M − m)/2, dove M `e il valore massimo e m il valore
minimo assunto da f (per seno e coseno vale A = 1);
– il valor medio y, dato da y = (M + m)/2, che rappresenta il punto centrale
dell’intervallo di variazione di f (per seno e coseno si ha y = 0);
– la fase x0 , che `e l’ascissa positiva del primo punto di massimo (il coseno ha fase
x0 = 0, mentre il seno ha fase x0 = π/2).
Una generica funzione sinusoidale f (x) con periodo T , ampiezza A, valor medio y e fase
x0 si pu`
o scrivere
2π
f (x) = A cos
(x − x0 ) + y
T
Nel nostro caso si ha T = 24, M = 5, m = 1, x0 = 5 da cui
A=2
e
y=3
e quindi la funzione cercata `e
f (x) = 2 cos
π
(x − 5) + 3
12
2. Quale delle seguenti funzioni pu`
o avere un grafico come quello in figura? Giustifica la
risposta.
a) y = x2 + 4 x + 3
b)
y = 2|x−2|
1
c)
y = 2 − 2|x+2|
d) y = 2 + 2|x+2|
La funzione in figura `e simmetrica rispetto alla retta verticale x = −2 e si pu`o notare che
il punto di coordinate (−2, 3) `e un punto angoloso (punto di non derivabilit`a); data la
non derivabilit`
a in un punto del dominio possiamo subito escludere la funzione quadratica
a). In realt`
a per risolvere l’esercizio `e sufficiente valutare le diverse funzioni in x = 0 e
trovare quale ha come valore 6:
b) y(0) = 2|0−2| = 22 = 4
c)
d)
y(0) = 2 − 2|0+2| = 2 − 22 = −2
y(0) = 2 + 2|0+2| = 2 + 22 = 2 + 4 = 6
La funzione in figura `e quindi y = 2 + 2|x+2| .
3. In un’azienda sono presenti 1 amministratore, 3 direttori generali, 6 impiegati operativi
e 2 impiegati amministrativi. Gli stipendi annui, in migliaia di euro, per ciascuna figura
sono cos`ı distribuiti:
amministratore
direttore generale
impiegato operativo
impiegato amministrativo
50
36
25
20
Calcola la media aritmetica e la mediana degli stipendi.
Indichiamo con S l’insieme degli stipendi:
S = {20, 20, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 36, 36, 36, 50}
Allora la media vale
E(S) =
20 · 2 + 25 · 6 + 36 · 3 + 50
348
=
= 29 ,
12
12
la mediana `e 25.
4. A partire dal grafico della funzione g(x) = ln x, disegna il grafico della funzione
f (x) = 2 −
x
ln x
Esistono x ∈ R tali che f (x) ≥ 0? Qual `e l’insieme immagine di f (x)?
2
Si ha f (x) > 0 se e solo se 0 < x < 1 (la funzione non si annulla mai). L’immagine di
f (x) `e (−∞, 2 − e] ∪ (2, +∞), dove 2 − e `e l’ordinata del punto di massimo relativo della
funzione avente ascissa e (ovvero f 0 (e) = 0).
5. Tra le variabili X e Y della tabella sottostante si ipotizza una relazione esponenziale di Y
in funzione di X. I dati in tabella sono approssimati alla seconda cifra decimale (l’ultima
riga contiene le medie). Determina tale relazione mediante una opportuna analisi di
` buona l’approssimazione? Se s`ı, utilizzala per determinare Y (1.5).
regressione. E
X
0.20
1.00
0.40
2.00
1.70
2.10
2.20
1.20
1.35
Y
1.60
11.00
2.60
103.00
67.20
115.00
120.00
17.10
54.69
XY
0.32
11.00
1.04
206.00
114.24
241.50
264.00
20.52
107.33
X2
0.04
1.00
0.16
4.00
2.89
4.41
4.84
1.44
2.35
Y2
2.56
121.00
6.76
10609.00
4515.84
13225.00
14400.00
292.41
5396.57
ln X
-1.61
0
-0.92
0.69
0.53
0.74
0.79
0.18
0.05
ln Y
0.47
2.40
0.96
4.63
4.21
4.74
4.79
2.84
3.13
(ln X) (ln Y )
-0.76
0
-0.88
3.21
2.23
3.52
3.77
0.52
1.45
(ln X)2
2.59
0
0.84
0.48
0.28
0.55
0.62
0.03
0.67
(ln Y )2
0.22
5.75
0.91
21.48
17.70
22.51
22.92
8.06
12.44
Indaghiamo, con un’analisi di regressione, se `e plausibile una relazione, tra le due variabili
X ed Y , del tipo
Y = k aX
3
X ln Y
0.09
2.40
0.38
9.27
7.15
9.96
10.53
3.41
5.40
Y ln
-2.
0
-2.
71.
35.
85.
94.
83.
35.
con k ∈ R e a reale positivo e diverso da 1.
Applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri della precedente uguaglianza si
ottiene una relazione lineare tra X e la variabile ln Y :
ln Y = ln(k aX ) = ln k + X ln a
Applicando le formule della regressione lineare (utilizzando le opportune medie della
tabella data) si ha
m∗ = ln a =
(X · ln Y )∗ − X ∗ · (ln Y )∗
1.17
'
' 2.21
2
∗
∗
2
(X ) − (X )
0.53
da cui
a ' e2.21 ' 9.12
ed inoltre
q ∗ = ln k = (ln Y )∗ − m∗ · X ∗ ' 3.13 − 2.98 = 0.15
da cui
k ' e0.15 ' 1.16
La relazione cercata `e
Y = 1.16 · 9.12X
Il coefficente di Pearson vale
(X · ln Y )∗ − X ∗ · (ln Y )∗
q
' 0.99
[(X 2 )∗ − (X ∗ )2 ] [(ln2 Y )∗ − ((ln Y )∗ )2 ]
e quindi l’approssimazione `e buona. Possiamo allora calcolare Y (1.5):
Y (1.5) = 1.16 · 9.121.5 ' 1.16 · 27.54 ' 31.95
Per calcolare quest’ultimo valore `e possibile anche non ricavare i valori dei parametri k e
a, ma utilizzare direttamente i parametri m∗ e q ∗ della relazione lineare.
6. (8 punti) Studia (campo di esistenza, segno, limiti, derivata prima, eventuali punti stazionari,
grafico) la seguente funzione:
f (x) =
e(x−1)
(x2 + 2 x + 1)
1. CAMPO DI ESISTENZA : la funzione data presenta a numeratore una funzione
esponenziale definita su tutto R, mentre a denominatore presenta (x2 + 2 x + 1) =
(x+1)2 , che si annulla solo per x = −1. Il campo di esistenza della funzione `e quindi
D = R − {−1}.
2. SEGNO: il numeratore `e sempre positivo, ed il denominatore, essendo un quadrato `e
sempre non negativo, in particolare `e positivo in tutto il campo di esistenza. Quindi
f (x) > 0 ∀x ∈ D.
4
3. LIMITI
lim f (x) = 0
x→−∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim
x→−1−
f (x) = +∞
lim
x→−1+
f (x) = +∞
Si hanno quindi due asintoti: uno verticale, x = −1, ed uno orizzontale y = 0 a −∞.
A +∞ non c’`e asintoto obliquo in quanto
f (x)
= +∞ .
x→+∞ x
lim
4. DERIVATE
f 0 (x) =
e(x−1) [x2 − 1]
(x + 1)4
La derivata prima si annulla per x = 1 (ricorda che in x = −1 la funzione non `e
definita), `e positiva per x < −1 e x > 1, mentre `e negativa sul restante campo di
esistenza. Il grafico della funzione presenta un minimo relativo in x = 1.
5. GRAFICO
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